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Ingeniera Civil.Matematicas I. 2012-2013.
Departamento de Matematica Aplicada II.Escuela Superior de
Ingenieros. Universidad de Sevilla.
Tema 3. Matrices, determinantes y sistemas de ecuacio-nes
lineales.
3.1.- Matrices. Operaciones y propiedades.
3.2.- Determinantes. Definicion y propiedades.
3.3.- Sistemas de ecuaciones lineales.
Definiciones y notacion matricial.Reduccion por filas y formas
escalonadas.Teorema de Rouche-Frobenius.Regla de Cramer.
3.4.- Resolucion de sistemas de ecuaciones lineales.
Metodo de Gauss-Jordan.Calculo de la inversa de una matriz
cuadrada.
3.5.- El conjunto solucion de un sistema de ecuaciones
lineales.
Combinaciones lineales.Sistemas homogeneos.Sistemas
completos.
3.6.- Transformaciones lineales. Matriz asociada.
Transformacion asociada a una matriz.Ejemplos geometricos.
3.7.- Ejercicios.
Enunciados.Soluciones.
En este tema vamos a considerar las operaciones con matrices y
sus propiedades, losdeterminantes y sus propiedades y los sistemas
de ecuaciones lineales. Aunque casi siemprehagamos referencia a
matrices y coeficientes reales, todo es trasladable al caso de
matrices ycoeficientes complejos. De hecho, tambien consideraremos
algunos detalles referidos a matri-ces complejas no reales. Cuando
consideremos enunciados en los que de forma indistinta sepueden
tomar coefiecientes reales o complejos, usaremos K para denotar al
conjunto numeri-co (K = R o C). Llamaremos escalares a los numeros
reales o complejos, sin especificarninguno en concreto.
Dado un numero natural n denotaremos por Rn al conjunto de los
vectores de n coorde-nadas reales, por Cn al de los vectores de n
coordenadas complejas y por Kn al de los vectores
56
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3.1.- Matrices. Operaciones y propiedades. 57
de n coordenadas sin especificar si K es R o C. Salvo que se
indique lo contrario, conside-raremos y manipularemos los vectores
de coordenadas como vectores-columna, indicandoun vector-fila como
el transpuesto de un vector-columna. Sobre los vectores con un
numerofinito de coordenadas consideraremos las operaciones, usuales
con dos y tres coordenadas,de suma de vectores (suma coordenada a
coordenada) y multiplicacion de un escalar por unvector, ademas de
la multiplicacion matriz-vector.
Salvo en la ultima seccion, en la que consideraremos algunos
ejemplos geometricos en elplano y el espacio (reales), no
consideraremos en este tema el producto escalar de vectoresreales
ni los conceptos asociados (norma, ortogonalidad,...).
La definicion que consideraremos de determinante, de un orden
generico, sera una defi-nicion recursiva. Es decir, teniendo en
cuenta la definicion de determinante de orden 2 (yorden 3)
definiremos un determinante de orden n en funcion de determinantes
de orden n1.Consideraremos las propiedades teniendo en cuenta que
para determinantes de orden 2 y 3son conocidas.
Aunque nuestro punto de partida sea la manipulacion elemental de
sistemas de ecua-ciones lineales, con un numero arbitrario de
ecuaciones y de incognitas, es prerrequisitoel conocimiento basico
de sistemas de ecuaciones lineales en dimension pequena
(sistemascon pocas ecuaciones y pocas incognitas):
que es y que no es un sistema de ecuaciones lineales,
que es y que no es una solucion de un sistema de ecuaciones
lineales,
la resolucion y discusion de un sistema de ecuaciones lineales
con pocas incognitas,
los conceptos asociados a dicha resolucion y discusion
(compatibilidad e incompatibi-lidad, numero de soluciones, rango de
una matriz, ...),
la expresion de las soluciones de un sistema compatible
indeterminado,
las operaciones sobre las ecuaciones de un sistema que no
afectan a las soluciones.
Ademas, a la hora de interpretar geometricamente los conceptos y
resultados asociados alos sistemas de ecuaciones lineales, sera un
instrumento fundamental la relacion que tienenlos sistemas de dos o
tres ecuaciones y dos o tres incognitas con la geometra analticay
vectorial del plano y del espacio tridimensional (reales):
vectores, combinaciones lineales,rectas y planos dados por
distintos tipos de ecuaciones (vectoriales, parametricas,
implcitas),etc.
3.1.- Matrices. Operaciones y propiedades.
Definicion. Una matriz A es un conjunto de numeros ordenados en
filas y columnas, deforma que todas las filas tienen el mismo
numero de elementos y todas las columnas tienen
Matematicas I. 2012-2013
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58 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
el mismo numero de elementos
A =
a11 a12 a1j a1na21 a22 a2j a2n...
... ...
ai1 ai2 aij ain...
... ...
am1 am2 amj amn
.
Si tiene m filas y n columnas, decimos que la dimension de la
matriz es mn. El elementoaij es el que esta en la fila i-esima y en
la columna j-esima. Si m 6= n decimos que la matrizA es rectangular
y si m = n decimos que es una matriz cuadrada.
Como ya hemos dicho, las operaciones matriciales pueden
considerarse tanto sobre matri-ces reales como sobre matrices
complejas. Cuando se consideran matrices complejas hay quetener
cuidado con el uso de la letra i para indicar el ndice de las
filas, puesto que tambienindica la unidad imaginaria.
Operaciones con matrices.
Suma de matrices. Dadas dos matrices A = [ahj ] y B = [bhj ]
(reales o complejas) conlas mismas dimensiones m n, la matriz suma
A + B es la matriz C = [chj] conentradas chj = ahj + bhj.
Producto de un numero por una matriz. Dada una matriz A = [ahj]
(real o com-pleja) y un escalar (numero) real o complejo, la matriz
producto A es la matriz
A = [ahj] .
Producto de matrices. Dada una matriz A,m n y una matriz B, n p,
la matrizproducto AB es la matriz C = [chj] de dimensiones m p con
entradas
chj =
nk=1
ahkbkj.
En el caso de una matriz A cuadrada, las potencias Ar de
exponente natural r = 1, 2, . . .estan definidas mediante A2 = AA,
A3 = A2A,
Matriz Transpuesta. Dada una matriz A de dimensiones m n, su
matriz transpuestaes la matriz, que denotaremos mediante AT , de
dimensiones n m, cuyo elemento(h, j), h = 1, , n; j = 1, m es el
elemento ajh de la matriz A,
Se dice que una matriz A es simetrica si coincide con su
transpuesta, AT = A (paralo cual A tiene que ser cuadrada).
Matriz Conjugada. Dada una matriz compleja A = [ahj], su matriz
conjugada A es lamatriz cuyos elementos son los conjugados de los
elementos correspondientes de A, esdecir, esta definida por A =
[ahj ]. Una matriz A es real si y solo si A = A.
Matriz Transpuesta-conjugada. La matriz transpuesta-conjugada de
una matriz com-pleja A = [ahj ] es la matriz transpuesta de la
matriz conjugada de A que se denota por
A. Es decir, el elemento (h, j) de A es ajh. Por tanto, A = (AT
) =
(A)T
y si A esreal A = AT .
Matematicas I. Ingeniera Civil
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3.1.- Matrices. Operaciones y propiedades. 59
No vamos a detallar aqu cada una de las propiedades de las
operaciones matriciales(Conmutatividad de la suma, elemento nulo y
elemento opuesto respecto a la suma, elementounidad, ...) aunque si
citamos algunas a continuacion.
(Algunas) Propiedades.
(1) Distributiva del producto respecto a la suma. Siempre que
las dimensiones de A,B y Cpermitan hacer las correspondientes
operaciones suma y producto se verifica que
A(B + C) = AB + AC y (B + C)A = BA +BC.
(2) La transpuesta de un producto es el producto de las
transpuestas en orden inverso,
(AB)T = BTAT .
(3) La transpuesta-conjugada de un producto es el producto de
las transpuestas-conjugadasen orden inverso,
(AB) = BA.
(4) El producto de matrices no es conmutativo, es decir, dadas
dos matrices A y Bpuede suceder que AB 6= BA aunque ambos productos
tengan sentido y los resultadossean matrices con las mismas
dimensiones (cosa que sucede si A y B son matricescuadradas del
mismo orden). No obstante:
Hay matrices cuadradas que conmutan con cualquier otra del mismo
orden. Dichasmatrices son los multiplos de la matriz identidad.
Siendo I la matriz identidad deorden n, para cualquier matriz A de
orden n y para cualquier escalar se verificaque (I) A = A (I) =
A.
Hay parejas de matrices que conmutan. Ejercicio. Busca dos
matrices A y B,cuadradas del mismo orden n > 1, tales que AB =
BA y de forma que ningunade ellas sea un multiplo de la
identidad.
(5) Si dos matrices (cuadradas del mismo orden) conmutan, AB =
BA, son validas lasexpresiones usuales relativas a potencias de un
binomio y desarrollo de productos. Esdecir, se verifica que
(A+B)2 = A2 +B2 +2AB, (AB)2 = A2 +B2 2AB, (A+B)(AB) = A2B2
y las formulas correspondientes para potencias de mayor
exponente.
Observaciones.
(a) Obviamente el que dos matrices A y B sean iguales es
equivalente a que sean igualeselemento a elemento, ahj = bhj para
todo h, j. Tambien es equivalente a que seaniguales columna a
columna.
Supongamos que se trata de matrices m n y denotemos por ek(k =
1, . . . , n) a losvectores canonicos de n coordenadas (la
coordenada k es 1 y las restantes son 0).Entonces la columna k de
la matriz A es el producto Aek y la de B es Bek. Por tanto,
A = B Aek = Bek (k = 1, 2, . . . , n).
Matematicas I. 2012-2013
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60 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
(b) En relacion con el producto de matrices, notemos que cada
columna de una matrizproducto AB es una combinacion lineal de las
columnas de A. Es decir, cada columnade AB es una suma de multiplos
de las columnas de A. Los coeficientes de cada unade dichas
combinaciones lineales vienen dados por la correspondiente columna
de B.
Si A es una matriz mn, B una matriz np y denotamos por b1, . . .
, bp a los vectores-columna de B (vectores pertenecientes a Rn en
el caso de que B sea una matriz real),tenemos que
AB = A
b1 b2 . . . bp
=
Ab1 Ab2 . . . Abp
.
siendo cada columna Abk de la matriz producto una combinacion
lineal de las de A.
De forma similar, la matriz producto AB tambien puede ser
descrita por filas: cadafila de AB es una combinacion lineal de las
filas de B, los coeficientes de cada una dedichas combinaciones
lineales vienen dados por la correspondiente fila de A.
(c) En contraposicion al producto de numeros el producto de dos
matrices puede ser lamatriz nula sin serlo ninguna de las dos,
incluso tratandose de matrices cuadradas,
AB = 0 6= A = 0 o B = 0.
Ejercicio. Halla dos matrices cuadradas A,B de orden 2 tales
que
AB = BA = 0.
Matriz inversa de una matriz cuadrada.
Definicion. Matriz inversa. Se dice que una matriz cuadrada A
tiene inversa si existe unamatriz X (cuadrada del mismo orden que
A) tal que
AX = I y XA = I.
En este caso, dicha matriz X tiene que ser unica, se denomina la
inversa de A y se denotapor A1.
Si una matriz A tiene inversa A1, entonces A1 tiene inversa que
es [A1]1
= A.Las matrices (cuadradas) que no tienen inversa suelen
denominarse singulares y las que
tienen inversa suelen denominarse no-singulares o regulares.
Puesto que el termino matrizregular tambien suele utilizarse para
otro tipo de matrices que no estudiaremos, nosotros nolo
utilizaremos como sinonimo de matriz no-singular.
Observacion. Puede suceder que para una cierta matriz A pueda
obtenerse otra matriz Xde forma que AX o XA sea una matriz
identidad y sin embargo la matriz A no tengainversa. Esto solo
puede suceder para matrices no-cuadradas.
Por ejemplo, siendo
A =
[1 1 20 1 3
]y X =
1 10 1
0 0
Matematicas I. Ingeniera Civil
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3.2.- Determinantes. Definicion y propiedades. 61
se verifica que AX = I (matriz identidad de orden 2). Sin
embargo A no tiene inversa (nohay ninguna matriz Y que verifique
que Y A = I (matriz identidad de orden 3).
En lo que se refiere a la aritmetica de las matrices no
singulares, tenemos las siguientespropiedades.
Propiedades.- Sean A y B matrices cuadradas n n y sea un
numero.
(1) Un multiplo A de A tiene inversa si y solo si 6= 0 y la
matriz A tiene inversa. En
dicho caso (A)1 =1
A1.
(2) A tiene inversa si y solo si alguna potencia natural Ar
tiene inversa. En dicho caso,
cualquier potencia natural Ak tiene inversa y(Ak)1
=(A1
)k.
(3) La matriz A tiene inversa si, y solo si, su transpuesta AT
tiene inversa. En dicho caso,(AT)1
=(A1
)T.
(4) La matriz producto AB tiene inversa si y solo si A y B
tienen inversa. En este caso, lainversa del producto es igual al
producto de las inversas en orden contrario,
(AB)1 = B1A1.
(5) Aunque A y B tengan inversa, puede suceder que A + B no
tenga inversa. Ejercicio.Busca un ejemplo.
Notemos que si tenemos que un producto de matrices es la matriz
nula, AB = 0, y unade las dos matrices (es cuadrada y) tiene
inversa entonces la otra es nula.
3.2.- Determinantes. Definicion y propiedades.
El determinante de una matriz cuadrada es un numero que depende
de las entradasde la matriz. A pesar de lo complicada que pueda ser
la definicion, tiene varias propiedadesimportantes en relacion con:
operaciones fila y operaciones columna sobre la matriz,
depen-dencia e independencia lineal (de las filas y de las
columnas), producto de matrices, etc.Vamos a describir los
determinantes por sus propiedades. Para ello definimos el
determinan-te de una matriz de forma recursiva: el determinante de
una matriz 1 1 es la entrada dela matriz det (a) = a, el
determinante de una matriz 2 2 y de una matriz 3 3 tambienson
conocidos por el alumno, as como sus propiedades. Para dichos
determinantes y paradeterminantes de orden superior utilizamos como
definicion el desarrollo por los elementosde una fila, que reduce
un determinante de orden n al calculo de n determinantes de ordenn
1.
Si en una matriz A, cuadrada de orden n, suprimimos la fila r y
la columna s, se obtieneuna matriz de orden n 1 que denotamos por
Ars.
Definicion. (recursiva)
Determinante de orden 2:
det (A) = det
[a11 a12a21 a22
]= a11a22 a12a21.
Matematicas I. 2012-2013
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62 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
Determinante de orden n = 3, 4, . . . (Desarrollo por los
elementos de la primera fila)
det (A) = a11det (A11)a12det (A12)+ +(1)1+ja1jdet (A1j)+
+(1)
1+ndet (A1n).
Ejemplo. El determinante de una matriz triangular es igual al
producto de los elementosdiagonales,
det
[a11 0 0... B
]= a11det (B), det
a11 0 0a21 a22 0...
.... . .
...an1 an2 ann
= a11a22 ann.
Teorema. (Desarrollo por los elementos de una fila o
columna)
Desarrollo por los elementos de una fila. Para cada i = 1, 2, .
. . , n se verifica
det (A) =n
j=1
(1)i+jaijdet (Aij).
Desarrollo por los elementos de una columna. Para cada j = 1, 2,
. . . , n se verifica
det (A) =n
i=1
(1)i+jaijdet (Aij).
Propiedades. Determinantes y operaciones-fila.
(1) Si en una matriz se intercambian dos filas (distintas) el
determinante cambia de signo.
(2) Si en una matriz una fila se multilplica por un numero, el
determinante queda multipli-cado por dicho numero.
(3) Si en una matriz a una fila se le suma un multiplo de otra
fila (distinta), el determinanteno cambia.
(4) det (A) = 0 alguna de las columnas de A es combinacion
lineal de las restantes alguna de las filas de A es combinacion
lineal de las restantes.
(5) det (AT ) = det (A). Como consecuencia, en cada una de las
propiedades anteriorespodemos sustituir filas por columnas.
(6) det (AB) = det (A)det (B). Si A tiene inversa, det (A1)
=1
det (A).
(7) La funcion determinante es lineal en cada columna (y en cada
fila). Es decir, si tenemospor ejemplo una columna vj expresada
como combinacion lineal de dos vectores vj =vj + v
j , se verifica
det
v1 vj vn
=
= det
v1 vj vn
+ det
v1 vj vn
.
Matematicas I. Ingeniera Civil
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3.3.- Sistemas de ecuaciones lineales. 63
Las propiedades de los determinantes se pueden resumir en
dos:
La linealidad en cada fila y en cada columna (propiedad (7).
La antisimetra (propiedad (1)) tanto respecto a filas como a
columnas.
3.3.- Sistemas de ecuaciones lineales.
3.3.1.- Definiciones y notacion matricial.
Consideraremos sistemas de m = 1, 2, . . . ecuaciones lineales
con n = 1, 2, . . . incognitasque denotaremos por x1, x2, . . . ,
xn, es decir sistemas de ecuaciones de la forma
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
......
...am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
.
Si los coeficientes de las incognitas aij, i = 1, . . . , m; j =
1, . . . , n, y los terminos indepen-dientes bi, i = 1, . . . , m,
son numeros reales, estudiaremos las soluciones reales del sistema.
Sialguno de los coeficientes de las incognitas o de los terminos
independientes fuera un numerocomplejo (con parte imaginaria no
nula) habra que estudiar las soluciones complejas dedicho
sistema.
Asociadas al sistema dado, consideraremos la matriz A = [aij ],
de los coeficientes de lasincognitas, el vector-columna b = [bi],
de los terminos independientes ,y lamatriz ampliada,[A|b]. De esta
forma el sistema de ecuaciones lineales dado se expresa en forma
matricialmediante Ax = b;
A =
a11 a12 a1na21 a22 a2n...
.... . .
...am1 am2 amn
, [A|b] =
a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2...
.... . .
... am1 am2 amn bm
.
Cada fila de la matriz [A|b] esta formada por los coeficientes
de la correspondiente ecuaciondel sistema. Cada una de las n
primeras columnas esta formada por los coeficientes de unade las
incognitas. La ultima columna esta formada por los terminos
independientes de lasecuaciones del sistema.
3.3.2.- Reduccion por filas y formas escalonadas.
La herramienta basica para estudiar y resolver un sistema de
ecuaciones lineales es el bienconocidometodo de eliminacion (o
reduccion) de Gauss. Desde el punto de vista matricial,consiste en
la reduccion (por filas) de la matriz ampliada del sistema a forma
escalonadasuperiormediante operaciones sobre las filas de la matriz
ampliada (equivalentemente, sobrelas ecuaciones del sistema). La
caracterstica fundamental de dichas operaciones sera que noafectan
a las posibles soluciones del sistema y que son reversibles. Es
decir, mediante unaoperacion similar se podra recuperar la matriz y
el sistema originales. Una vez obtenida dicha
Matematicas I. 2012-2013
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64 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
forma escalonada superior las soluciones del sistema resultante
se podran calcular mediantesustitucion regresiva.
Definicion. Se dice que una matriz es escalonada por filas
si
todos los elementos que estan por debajo del primer elemento no
nulo de cada fila sonnulos,
el primer elemento no nulo de cada fila esta a la derecha del
primer elemento no nulode la fila anterior y
las filas nulas (si las hay) estan por debajo de las filas no
nulas.
La definicion analoga se aplica a un sistema de ecuaciones
(escrito en forma desarrollada).
Ejemplo. La forma elemental de resolver un sistema de ecuaciones
lineales como por ejemplo
E1 : 2x2 x3 +x4 = 2E2 : x1 x2 +x3 +3x4 = 2E3 : 2x1 +3x2 x3 2x4 =
0
consiste en ir reduciendo el problema de obtener soluciones del
sistema dado al de obtenersoluciones de sistemas con cada vez menos
ecuaciones y menos incognitas. De esta forma,si resolvemos el
ultimo sistema de ecuaciones podemos obtener las soluciones del
sistemaoriginal.
Reduccion a forma escalonada: Volviendo a renombrar en cada paso
cada una de lasecuaciones, para resolver el sistema anterior
podemos hacer las siguientes operaciones sobrelas ecuaciones del
sistema dado
E1E2E3
Intercambio
E1 E2
E1 : x1 x2 +x3 +3x4 = 2E2 : 2x2 x3 +x4 = 2E3 : 2x1 +3x2 x3 2x4 =
0
E3 E3 + 2E1
E1 : x1 x2 +x3 +3x4 = 2E2 : 2x2 x3 +x4 = 2E3 : x2 +x3 +4x4 =
4
E3 E3 1
2E2
E1 : x1 x2 +x3 +3x4 = 2E2 : 2x2 x3 +x4 = 2E3 : (3/2)x3 +(7/2)x4
= 5
Del sistema final obtenido podemos deducir varias
consecuencias:
Sustitucion regresiva: si damos a x4 un valor arbitrario x4 = K,
puesto que elcoeficiente de x3 en la ecuacion E3 es distinto de
cero, podemos despejar x3 en funcionde x4,
x3 =2
3
(5
7
2
)=
10
3
7
3.
Matematicas I. Ingeniera Civil
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3.3.2.- Reduccion por filas y formas escalonadas. 65
De la ecuacion E2 podemos despejar x2 en funcion de x3 y x4, y
por tanto en funcionde x4,
x2 =1
2(2 + x3 x4) = 1
5
3
7
6
1
2 =
2
3
5
3.
Por ultimo, de la ecuacion E1 podemos despejar x1, en funcion de
x2, x3 y x4 y portanto en funcion de x4,
x1 = 2 + x2 x3 3x4 =2
3
7
3.
Resumiendo, las soluciones del sistema dado son los vectores de
la forma
x1x2x3x4
=
2
3 7
3
23 5
3
103 7
3
=
2
3
23
103
0
+
73
53
73
1
R4, K.
El proceso anterior permite obtener las soluciones del sistema
homogeneo asociadoal dado que son
x1x2x3x4
=
73
53
73
=
73
53
73
1
R4, K.
Para que otros terminos independientes tendra solucion el
sistema (con los mismoscoeficientes de las incognitas)?
Siempre.
Cuantas soluciones tendra el sistema con otros terminos
independientes? Sea quiensea el termino independiente tendramos un
sistema compatible indeterminado.
Que puede suceder si al sistema original le anadimos o le
quitamos una ecuacion?
Ejercicio.- Traslada las operaciones hechas sobre las ecuaciones
del sistema anterior a opera-ciones fila sobre la matriz ampliada
del sistema.
Las tres operaciones elementales que hemos considerado, sobre
las ecuaciones de un sis-tema de ecuaciones lineales,
Intercambio de ecuaciones;
Multiplicacion de una ecuacion por un numero distinto de
cero;
Sumar a una ecuacion un multiplo (arbitrario) de otra
(distinta);
Matematicas I. 2012-2013
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66 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
no afectan a las (posibles) soluciones del sistema: Cualquier
solucion del sistema original loes del que se obtiene y
viceversa.
Estas operaciones elementales, sobre las ecuaciones de un
sistema, se corresponden conmanipulaciones de las filas de la
matriz ampliada del sistema, puesto que afectan exclusiva-mente a
los coeficientes de las ecuaciones que intervienen y no a las
incognitas.
Definicion. Llamaremos operaciones elementales por filas sobre
una matriz a:
(a) Intercambiar filas.
(b) Multiplicar una fila por un numero distinto de cero.
(c) Sumar a una fila un multiplo de otra (distinta).
Como ya hemos dicho, una propiedad importante de las operaciones
elementales es queson reversibles. Es decir, si al hacer una
determinada operacion elemental sobre una matrizM se obtiene la
matriz N , entonces podemos recuperar la matriz M original haciendo
unaoperacion elemental (que ademas es del mismo tipo) sobre la
matriz N .
Teorema. Toda matriz A puede ser reducida a forma escalonada por
filas mediante opera-ciones elementales por filas.
Algoritmo de Gauss: Supongamos que A es una matriz no nula.
(1) Si la primera columna de A tiene algun elemento no nulo,
seleccionamos uno de dichoselementos y mediante intercambio de
filas lo llevamos a la posicion (1, 1). En casocontrario, pasamos a
la siguiente columna.
(2) Pivotamos hacia abajo con el elemento no nulo seleccionado,
llamado pivote. Es decir,a cada una de las filas siguientes le
restamos un multiplo de la fila del pivote de formaque se anule el
correspondiente elemento en la columna del pivote.
(3) Se repite el proceso con la matriz que queda al eleminar la
fila y columna del pivote.Es decir, pasamos a la siguiente columna
y buscamos un pivote (elemento no nulo) enuna fila posterior a la
del pivote utilizado en el paso (2).
(4) El proceso se termina cuando, o bien no quedan columnas en
las que obtener el siguientepivote, o bien dichas columnas estan
formadas por ceros.
En forma esquematica, al aplicar el algoritmo anterior a una
matriz A, tendremos
A =
a11 a1n...
...am1 amn
operaciones-
filaU =
0 0 0 0 ...
......
.... . .
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
Es posible que no se obtenga una ultima fila de ceros o que haya
varias filas nulas.
Observaciones.
Matematicas I. Ingeniera Civil
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3.3.2.- Reduccion por filas y formas escalonadas. 67
(1) El algoritmo que acabamos de describir:
buscar pivotes por columnas (de izquierda a derecha),
intercambiar filas si es necesario,
pivotar hacia abajo para hacer ceros por debajo del pivote,
no determina de forma unica la forma escalonada superior por
filas que se obtiene,sino que esta depende de las operaciones fila
que se hagan, es decir de la eleccion depivote que se haga en cada
columna donde sea posible.
(2) Si la matriz A es m n, el numero r de pivotes que aparecen
es menor o igual que m,puesto que una fila tiene a lo sumo hay un
pivote, y menor o igual que n, puesto queen una columna hay, a lo
sumo, un pivote.
(3) Forma escalonada reducida (por filas). En cada una de las
columnas donde se hayaobtenido un pivote, podemos pivotar hacia
arriba para anular los elementos queestan en la misma columna por
encima del pivote. Ademas, podemos dividir cada filadonde aparezca
un pivote, por dicho pivote. De esta forma pasaremos a tener un 1
encada posicion pivote. En la situacion esquematizada antes
pasaramos a tener
Uoperaciones
-
fila
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 ...
......
.... . . 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
.
Esta forma escalonada por filas (con pivotes iguales a 1 y
ningun otro elemento no nuloen las columnas pivote) se denomina
forma escalonada reducida de la matriz.
(4) Puede demostrarse que cualquier matriz A es equivalente, por
filas, a una unica matrizescalonada reducida por filas. Es decir,
si mediante operaciones elementales (por filas)sobre la matriz A
obtenemos una matriz U que esta en forma escalonada reducida,
alhacer otra serie de operaciones elementales para obtener una
forma escalonada reducidaobtendremos la misma matriz U aunque las
operaciones intermedias sean distintas.
3.3.3.- Teorema de Rouche-Frobenius.
Para estudiar y resolver un sistema de ecuaciones Ax = b, basta
con reducir (medianteoperaciones por fila) la matriz ampliada del
sistema [A|b] a forma escalonada por filas.
En el resultado de dicha reduccion a forma escalonada tendremos
un cierto numero depivotes en las primeras n columnas (la parte
correspondiente a la matriz A) y la columna delos terminos
independientes podra ser columna pivote o no.
La compatibilidad del sistema dependera de que la columna de los
terminos indepen-dientes sea o no sea una columna pivote. Si dicha
columna es una columna pivote apare-cera alguna fila de la (forma
escalonada de la) matriz ampliada del tipo
[ 0 0 0 | 6= 0 ]
Matematicas I. 2012-2013
-
68 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
en cuyo caso el sistema no tendra solucion por no existir
solucion de la ecuacion asociada ala fila dada. En caso contrario,
cada fila de la matriz ampliada donde aparezca un pivote lotendra
en la parte correspondiente a la matriz A y el sistema tendra
solucion.
Suponiendo que el sistema es compatible, la determinacion o
indeterminacion delsistema dependera, de que (en la matriz A) haya
o no haya columnas que no sean columnaspivote. Las
variables/incognitas correspondientes a columnas que no son pivote
se denomi-nan variables libres. Las correspondientes a
columnas-pivote se denominan variables fijas.Dando valores
arbitrarios a las variables libres y calculando los
correspondientes valores delas variables fijas se obtiene una
solucion del sistema.
El resultado que resume la discusion de un sistema de ecuaciones
lineales, en funcionde la matriz de coeficientes de las incognitas
y de la matriz ampliada, es el teorema deRouche-Frobenius. Los
alumnos conocen este resultado, de segundo curso de
Bachillerato,para sistemas con pocas incognitas y expresado en
terminos del rango de la matriz y dela matriz ampliada del sistema.
Nosotros definiremos el concepto de rango mas adelantey enunciamos
dicho teorema (para un sistema con un numero generico de ecuaciones
yde incognitas) en terminos del numero de pivotes que se obtienen
al reducir a formaescalonada por filas la matriz y la matriz
ampliada del sistema.
Teorema (Rouche-Frobenius). Sea Ax = b un sistema de m
ecuaciones lineales con nincognitas (A es una matriz m n) y
supongamos que al reducir a forma escalonada porfilas obtenemos r
pivotes en la matriz A. Se verifica:
(1) r min {m,n}.
(2) Ax = b es compatible la columna del termino independiente,
b, NO es una columnapivote.
(3) (a) Ax = b es un Sistema Compatible Determinado La columna
del terminoindependiente no es una columna pivote y r = n (todas
las columnas de A soncolumnas-pivote.
(b) Ax = b es un Sistema Compatible Indeterminado La columna del
terminoindependiente no es una columna pivote y r < n (hay
alguna columna de A queno es columna-pivote.
Corolario. En las condiciones del teorema anterior, se
verifica:
(1) Si r = n, Ax = b puede ser
(a) compatible determinado o
(b) incompatible.
(2) Si r = m el sistema es compatible y puede ser
(a) compatible determinado (r = m = n) o
(b) compatible indeterminado (r = m < n).
(3) Si m = n el sistema puede ser
(a) compatible determinado (r = m = n) para cualquier b Kn,
o
(b) incompatible (r < m = n) para algun b Km.
Matematicas I. Ingeniera Civil
-
3.4.- Resolucion de sistemas de ecuaciones lineales. 69
3.3.4. Regla de Cramer.
Al igual que el teorema de Rouche-Frobenius, la regla de Cramer
ya es conocida deBachillerato para sistemas con pocas ecuaciones e
incognitas. Dicha regla es la formula de lasolucion de un sistema
cuadrado (el mismo numero de ecuaciones que de incognitas)
cuandotiene solucion unica. Dicha formula es companera de la
formula de la inversa de una matriz(cuadrada que tenga inversa) en
terminos de los adjuntos de los elementos de la
matrizconsiderada.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, un vector columna b Kn y
un ndice i =1, 2, . . . , n, denotamos por Ai(b) a la matriz que se
obtiene al sustituir en A la columnaiesima por el vector b. Es
decir, siendo a1, , an los vectores columna de A,
Ai(b) =
a1 b an
.
columna i
Se suele denominar matriz adjunta de A (cuidado: no en todos los
textos significa lomismo este nombre), a la matriz dada por
adj(A) =
det [A11] det [A12] det [A1n]
det [A21] det [A22] det [A2n]...
.... . .
...det [An1] det [An2] det [Ann]
.
Teorema. Sea A una matriz cuadrada de orden n con det (A) 6= 0.
Se verifica:
(1) (Regla de Cramer) Para cada b Kn el sistema de ecuaciones Ax
= b tiene solucionunica x dada por
xi =det [Ai(b)]
det (A), x =
1
det (A)
det [A1(b)]...
det [Ai(b)]...
det [An(b)]
.
(2) (Formula de la inversa) A tiene inversa y su inversa es
A1 =1
det (A)[adj(A)]T ,
es decir, el elemento (i, j) de la matriz inversa de A es1
det (A)(1)i+jdet (Aji).
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70 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
3.4.- Resolucion de sistemas de ecuaciones lineales.
3.4.1.- Metodo de Gauss-Jordan.
Ya hemos considerado el metodo de Gauss que consiste en las dos
etapas esenciales en laresolucion de un sistema de ecuaciones
lineales:
Reduccion a forma escalonada de la matriz ampliada del sistema,
mediante operacionesfila.
Resolucion de la forma escalonada mediante sustitucion
regresiva.
La variante que suele denominarse metodo de Gauss-Jordan
consiste en la obtencion de laforma escalonada reducida de la
matriz/matrices de los coeficientes. Es decir, una vezobtenida la
forma escalonada se pivota hacia arriba para anular todos los
elementos no nulosque puedan quedar por encima del pivote, y se
divide cada fila por su pivote.
Una vez obtenida la forma escalonada reducida de la matriz
ampliada del sistema, po-dremos expresar las variables fijas
(correspondientes a columnas pivote) en funcion de lasvariables
libres (de forma unica). En caso de tener un sistema compatible,
cada solucion delsistema podra obtenerse mediante unos ciertos
valores de las variables libres y los corres-pondientes valores de
las variables fijas. En la seccion 3.5 analizaremos con mas detalle
lasconsecuencias de esto sobre los sistemas homogeneos y sobre los
sistemas completos.
3.4.2.- Calculo de la inversa de una matriz cuadrada.
Como ya se ha citado en el epgrafe dedicado a la regla de Cramer
y a la formula de lainversa de una matriz, el calculo de la inversa
de una matriz puede plantearse como el dela resolucion de los
sistemas de ecuaciones que tienen a dicha matriz como matriz de
loscoeficientes de las incognitas y a los vectores canonicos como
terminos independientes. Alutilizar el metodo de eliminacion de
Gauss, una parte de la resolucion de un sistema dependesolo de la
matriz de los coeficientes de las incognitas. Por tanto, el calculo
de la inversa deuna matriz cuadrada A de orden n puede plantearse
como la resolucion simultanea de lossistemas
Ax = e1, Ax = e2, . . . , Ax = en.
De forma equivalente, puede plantearse como la resolucion de la
ecuacion matricial AX = I.Si reducimos, a forma escalonada por
filas, la matriz ampliada [A|I] (el termino independientees la
matriz I) y alguna de las primeras n columnas (las correspondientes
a la matriz A) no espivote, la matrizA no tiene inversa. Si las
primeras n columnas son columnas pivote, la matrizA tendra inversa.
En este caso tendremos un pivote en cada una de las primeras n
columnas.Pivotando hacia arriba podemos anular (mediante
operaciones-fila, que no afectan a lassoluciones) los elementos no
nulos que puedan estar por encima del pivote. De esta forma,los
unicos elementos no nulos de las primeras n columnas seran los
elementos diagonales.Dividiendo cada fila por su pivote tendremos
un uno en cada una de las posiciones diagonalesy por tanto en las
primeras n columnas tendremos la matriz identidad de orden n. De
estaforma, la solucion de uno de los sistemas originales Ax = ek es
la solucion del correspondientesistema Ix =columna k de la matriz
que queda a la derecha de I. Es decir, la solucion deAx = ek es la
columna k citada y la solucion de la ecuacion matricial AX = I es
la matrizque queda a la derecha de la matriz identidad I. De forma
esquematica, en el caso de tener
Matematicas I. Ingeniera Civil
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3.5.- El conjunto solucion de un sistema de ecuaciones lineales.
71
n pivotes en la parte de la matriz A, la inversa de A puede
calcularse
[A|I]
*
0 * ...
. . ....
0 0 *
...
.... . .
...
* 0 0
0 * 0...
. . ....
0 0 *
...
.... . .
...
[I|A1].
El mismo planteamiento que se ha utilizado con la ecuacion
matricial AX = I (con A matrizcuadrada) puede usarse para una
ecuacion matricial de la forma AX = B siendo A y Bmatrices dadas
con dimensiones apropiadas y siendo X la matriz incognita. Si la
matriz Aes cuadrada y tiene inversa habra una unica matriz solucion
y si no es cuadrada puede quehaya una cantidad infinita de matrices
X que verifiquen la igualdad o puede que no hayaninguna.Ejercicio.
Como aplicaras lo anterior para resolver una ecuacion matricial de
la formaXA = B?
3.5.- El conjunto solucion de un sistema de ecuaciones
lineales.
3.5.1.- Combinaciones lineales.
Al describir las columnas de una matriz producto ya hemos
considerado el concepto decombinacion lineal.
Definicion.
(a) Dados v1, . . . , vn Km, se llama combinacion lineal de
dichos vectores a todo vector
de la formav = c1v1 + + cnvn, con c1, . . . , cn K.
(b) Dados v1, . . . , vn Km, se llama subespacio generado por
dichos vectores al conjunto
de todas sus combinaciones lineales. Dicho conjunto se denota
por
Gen ({v1, . . . , vn}) = {c1v1 + + cnvn : c1, . . . , cn K}
.
Las combinaciones lineales de vectores aparecen asociadas a los
sistemas de ecuacioneslineales de varias formas:
La igualdad Ax = b puede considerarse como la igualdad entre el
vector columna b, delos terminos independientes, y una suma de
multiplos de las columnas de A,
Ax = x1
a11a21...
am1
+ + xn
a1na2n...
amn
=
b1b2...bm
.
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72 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
Es decir, determinar si un sistema es compatible o no es
determinar si el terminoindependiente b puede expresarse, o no,
como combinacion lineal de las columnas deA. Reciprocamente,
determinar si un cierto vector, v Km, es o no combinacionlineal de
otros vectores, v1, . . . , vn K
m, es lo mismo que determinar si un sistema deecuaciones
lineales tiene solucion,
c1
...v1...
+ + cn
...vn...
=
...v...
.
En dicho caso cada una de las posibles soluciones nos dara una
forma de expresar vcomo combinacion lineal de v1, . . . , vn.
Al resolver un sistema homogeneo, con soluciones no triviales,
las soluciones puedenexpresarse como combinacion lineal arbitraria
de un cierto numero de soluciones par-ticulares.
Trasladando a sistemas de ecuaciones lineales el caso de
vectores que generan todo elespacio de coordenadas correspondiente
tenemos el siguiente resultado.
Teorema. Sea A una matriz (real) m n. Son equivalentes:
(a) Ax = b tiene solucion para cualquier b Rm.
(b) Las columnas de A generan todo Rm.
(c) A tiene un pivote en cada fila.
En dicho caso, tiene que ser m n.Si la matriz A es cuadrada (m =
n) las condiciones anteriores son equivalentes a
(d) A tiene inversa.
3.5.2.- Sistemas homogeneos.
Un sistema homogeneo (de m ecuaciones lineales con n incognitas)
Ax = 0 siempre tienesolucion puesto que el vector nulo 0 Rn
verifica A0 = 0 Rm. Esta solucion se denominasolucion trivial o
nula. La cuestion para un sistema homogeneo es si tiene soluciones
notriviales y como describirlas.
Teorema.- Consideremos un sistema homogeneo Ax = 0.
(a) Ax = 0 tiene alguna solucion no trivial si, y solo si, tiene
alguna variable libre.
(b) Cualquier combinacion lineal de soluciones de Ax = 0 es
solucion de Ax = 0.
(b1) La suma de soluciones de Ax = 0 es otra solucion de Ax =
0.
(b2) Cualquier multiplo de una solucion de Ax = 0 es otra
solucion de Ax = 0.
Matematicas I. Ingeniera Civil
-
3.5.- El conjunto solucion de un sistema de ecuaciones lineales.
73
Supongamos que al resolver un sistema homogeneo, por ejemplo con
5 incognitas, obte-nemos 2 variables libres, por ejemplo x3 y x5.
Asociada a cada una de las variables librestenemos una solucion y
el conjunto solucion del sistema homogeneo sera el conjunto de
todaslas combinaciones lineales de las dos soluciones citadas.
Ejemplo. Supongamos que al reducir a forma escalonada un sistema
homogeneo de 4 ecua-ciones con 5 incognitas obtenemos, en forma
matricial,
2 1 3 1 1 0
0 -1 1 2 0 0
0 0 0 3 4 00 0 0 0 0 0
.
Es decir tenemos 3 pivotes y 2 variables libres, x3 y x5.
Asociada a cada una de las variableslibres tenemos una
solucion:
solucion que se obtiene para x3 = 1, x5 = 0. Sustituyendo en el
sistema
2x1 x2 +3 +x4 = 00 x2 +1 2x4 = 00 0 0 3x4 = 0
0 = 0
x4 = 0x2 = 1
2x1 = x2 3 x4 = 2
u1 =
11100
.
solucion que se obtiene para x3 = 0, x5 = 1. Sustituyendo en el
sistema
2x1 x2 +x4 +1 = 00 x2 2x4 = 0
3x4 +4 = 00 = 0
x3 = 0,x5 = 1,x4 =
4
3,
x2 = 2x4 =8
3,
2x1 = x2 x4 1 = 3
u2 =
3/28/30
4/31
.
Cualquier combinacion lineal de u1 y u2 (u1 + u2, , K) es
solucion del sistemahomogeneo dado y cualquier solucion del sistema
homogeneo se puede expresar como com-binacion lineal de u1 y u2.
Para comprobar esto basta con despejar, en el sistema
escalonadoobtenido, las variables fijas x1, x2 y x4 en funcion de
las variables libres x3 y x5, a partir de
2x1 x2 +3x3 +x4 +x5 = 00 x2 +x3 x4 = 0
3x4 +4x5 = 00 = 0
2x1 x2 +x4 = 3x3 x50 x2 x4 = x3
3x4 = 4x5
.
Notemos que para cada valor que demos a x3 y a x5 el sistema
anterior tiene una unicasolucion (x1, x2, x4),
x4 = 4
3x5,
x2 = x3 2x4 = x3 +8
3x5,
x1 =1
2(x2 3x3 x4 x5) =
1
2
(x3 +
8
3x5 3x3 +
4
3x5 x5
)= 1
2(2x3 + 3x5) = x3 +
3
2x5,
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74 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
y, por tanto, las soluciones (x1, x2, x3, x4, x5) del sistema
dado las podemos expresar enfuncion de x3 y x5 mediante
x1x2x3x4x5
=
x3 +
3
2x5
x3 +8
3x5
x34
3x5
x5
= x3
11100
+ x5
3
28
3
04
3
1
.
Es decir, las soluciones son las combinaciones lineales de u1 y
u2. Dicho de otra forma, elconjunto solucion del sistema dado es
igual al subespacio generado por {u1, u2}.
Por otra parte, la estructura del conjunto solucion de un
sistema homogeneo Ax = 0puede resumirse con el siguiente
resultado:
Teorema. Si al reducir A a forma escalonada se obtienen r
pivotes (equivalentemente, nrvariables libres), pueden obtenerse nr
soluciones, u1, . . . , unr, tales que la solucion generalde Ax = 0
es
Gen {u1, . . . , unr} = {x = 1u1 + + nrunr Kn : 1, . . . , nr K}
.
Obviamente, la forma de obtener las n r soluciones citadas no es
unica.
3.5.3.- Sistemas completos.
El conjunto de soluciones (lo que suele llamarse la solucion
general o conjunto-solucion)de un sistema Ax = b de m ecuaciones
lineales con n incognitas
{x Rn : Ax = b}
tiene una estructura muy definida que es reflejo de la
linealidad de las ecuaciones. Estaestructura puede expresarse
mediante la relacion entre el conjunto-solucion de un sistemaAx = b
completo (no homogeneo) y el conjunto solucion del sistema
homogeneo asociadoAx = 0.
La estructura citada se basa en las propiedades del producto
matrizvector,
A(u+ v) = Au+ Av, y A(cu) = cAu.
Notemos que si consideramos un sistema de ecuaciones Ax = b y el
sistema homogeneoasociado Ax = 0, se verifica que:
(a) Al restar dos soluciones de Ax = b se obtiene una solucion
del sistema homogeneoAx = 0,
Av1 = bAv2 = b
}= A(v1 v2) = 0.
(b) Al sumar una solucion del sistema completo Ax = b y una
solucion del sistema ho-mogeneo Ax = 0 se obtiene otra solucion del
sistema completo,
Av = bAu = 0
}= A(v + u) = b.
Matematicas I. Ingeniera Civil
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3.5.- El conjunto solucion de un sistema de ecuaciones lineales.
75
Ejemplo. Consideremos un sistema no homogeneo con la matriz A de
los coeficientes de lasincognitas dada en el ejemplo anterior. Por
ejemplo, el sistema asociado a la matriz ampliada
[A|b] =
2 1 3 1 1 2
0 -1 1 2 0 1
0 0 0 3 4 30 0 0 0 0 0
.
Teniendo en cuenta cuales son las variables fijas y las
variables libres, podemos resolver elsistema anterior despejando
(x1, x2, x4) en funcion de (x3, x5) mediante sustitucion
regresiva:
x4 =1
3(3 4x5) = 1
4
3x5,
x2 = 1 + x3 2x4 = 1 + x3 2
3(3 4x5) = 1 + x3 +
8
3x5,
x1 =1
2(2 + x2 3x3 x4 x5) =
1
2
(2 1 + x3 +
8
3x5 3x3 1 +
4
3x5 x5
)=
= 12(2x3 + 3x5) = x3 +
3
2x5.
Por tanto las, soluciones del sistema completo son de la
formax1x2x3x4x5
=
x3 +3
2x5
1 + x3 +8
3x5
x31 4
3x5
x5
=
01010
+ x3
11100
+ x5
3
28
3
04
3
1
.
Es decir, estan expresadas como la suma de un cierto vector mas
todas las soluciones delsistema homogeneo asociado Ax = 0.
La relacion entre el conjunto solucion de un sistema completo
arbitrario, Ax = b, y el delsistema homogeneo asociado, Ax = 0,
esta recogida en el siguiente resultado:
Teorema. Sea A una matriz m n y b un vector m 1. Se verifica que
soluci on generaldel sistema completo
Ax = b
=
soluci on particulardel sistema completo
Ax = b
+
soluci on generaldel sistema homogeneo
asociado Ax = 0
.
Es decir: si tenemos una solucion particular vp del sistema Ax =
b, se verifica que
a) Cualquier otra solucion v del sistema Ax = b se puede
expresar como vp+ una solucion(v vp) del sistema homogeneo
asociado.
b) Al sumar vp con una solucion de Ax = 0 se obtiene una
solucion de Ax = b.
Observacion. Desde un punto de vista geometrico:
Si el conjunto solucion de Ax = 0 es un punto (que
necesariamente sera x = 0), elconjunto solucion de un sistema
completo Ax = b podra ser o bien un punto (el origendesplazado
segun el vector vp) o bien el conjunto vaco (si el sistema Ax = b
no tienesolucion).
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76 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
Si el conjunto solucion de Ax = 0 es una recta (que
necesariamente pasara por el origende coordenadas), el conjunto
solucion de un sistema completo Ax = b podra ser, o bienuna recta
paralela a la anterior (la recta anterior desplazada segun el
vector vp), o bienel conjunto vaco (si el sistema Ax = b no tiene
solucion).
Si el conjunto solucion de Ax = 0 es un plano (que
necesariamente pasara por el origende coordenadas), el conjunto
solucion de un sistema completo Ax = b podra ser o bienuna plano
paralelo al anterior (el plano anterior desplazado segun el vector
vp) o bienel conjunto vaco (si el sistema Ax = b no tiene
solucion).
Ejercicio. Pon un ejemplo para cada una de las situaciones
descritas anteriormente.
Ejercicio. Dado un sistema Ax = b de 4 ecuaciones con 3
incognitas, determina la soluciongeneral del sistema dado sabiendo
que 2 de sus soluciones son
v1 =
21
3
y v2 =
12
3
y que al reducir A a forma escalonada se obtienen 2 pivotes.
3.6.- Transformaciones lineales. Matriz asociada.
3.6.1.- Transformacion asociada a una matriz.
Definicion. Se dice que una transformacion T : Rn Rm que a cada
vector x Rn lehace corresponder un vector Tx = y Rm es lineal si se
verifica que
T (x+ x) = T (x) + T (x) , , R y x, x Rn.
Observaciones.
(1) Toda transformacion lineal T : Rn Rm transforma el vector
nulo de Rn en el vectornulo de Rm.
(2) Toda transformacion lineal T : Rn Rm no nula transforma una
recta en una recta(o un punto), un segmento en otro segmento (o un
punto), un paralelogramo en otroparalelogramo o un segmento o un
punto, etc. En general, transforma cualquier com-binacion lineal de
los vectores {v1, v2, . . . , vp} de R
n en una combinacion lineal de losvectores {T (v1), T (v2), . .
. , T (vn)} de R
m.
Proposicion-Definicion. Dada una transformacon lineal T : Rn Rm,
existe una unicamatriz A (de dimensiones m n) que verifica que la
imagen de cualquier vector x Rn
es T (x) = Ax Rm, esto es, es la unica matriz que al
multiplicarla por un vector x Rn
arbitrario da el vector transformado de x mediante T . A esa
matriz A se le llama matrizasociada a T (respecto de las bases
canonicas {e1, e2, . . . , en} de R
n y {e1, e
2, . . . , e
m} deRm). Ademas, esa matriz tiene por columnas los vectores T
(e1), T (e2), . . . , T (en),
A =
......
...T (e1) T (e2) T (en)...
... ...
.
Matematicas I. Ingeniera Civil
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3.6.- Transformaciones lineales. Matriz asociada. 77
Definicion. Consideremos una aplicacion lineal T : Rn Rm.
Se denomina nucleo de T y se denota por ker(T ) al conjunto
ker(T ) = {x Rn : T (x) = 0} .
Se denomina conjunto imagen de T al conjunto de todos los
vectores de Rm que son imagende algun vector de Rn,
Im(T ) = T (Rn) = {T (x) : x Rn} = {y Rm : existe x Rn con T (x)
= y} .
Ejemplos. Consideremos las siguientes matrices reales 2 2,
A =
[2 11 1
], B =
[2 41 2
]y C =
[1 01 1
]
(a) La matriz A transforma el cuadrado unidad en el
paralelogramo determinado por losvectores v1 = (2, 1) y v2 = (1,
1).
(b) La matriz B transforma el cuadrado unidad en el segmento de
recta que une el origende coordenadas con el punto (6, 3).
(c) La matriz C transforma la recta y = x en el eje OX .
3.6.2.- Ejemplos geometricos.
Como ejemplos geometricos de transformaciones, en el plano R2,
definidas por matri-ces cabe destacar los giros y las homotecias
(con centro el origen de coordenadas) y lasproyecciones y simetras
respecto a rectas que pasan por el origen de coordenadas.
Sabiendo que una transformacion esta definida mediante una
matriz, el calculo de lamatriz puede hacerse teniendo en cuenta
como se transforman los vectores canonicos. Laeleccion de dichos
vectores no es unica aunque si lo sea la matriz que se busca y en
ocasionesinteresa transformar vectores distintos a los canonicos
para llegar a dicha matriz buscada.Veamos algunos ejemplos.
Ejemplos.
(1) Consideremos un giro de centro el origen de coordenadas y
angulo (en el sentidopositivo). Para determinar la matriz asociada
basta con obtener los transformados delos vectores canonicos
e1 =
[10
] T (e1) =
[cos()sen()
], e2 =
[01
] T (e2) =
[ sen()cos()
].
Por tanto la matriz del giro es, como ya sabamos,
G = GI = G
[1 00 1
]=
[cos() sen()sen() cos()
].
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78 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
(2) La transformacion que asigna a cada vector de R3 su
proyeccion ortogonal sobre unplano que pasa por el origen de
coordenadas, por ejemplo x + y + z = 0, es unatransformacion
determinada por una matriz (real, 3 3). Para determinar la
matrizbasta con obtener la proyeccion ortogonal sobre dicho plano
de cada uno de los vectorescanonicos.
(3) Para la misma transformacion anterior (proyeccion ortogonal
sobre un plano que pa-sa por el origen de coordenadas), podemos
obtener la matriz asociada M teniendoen cuenta cual es el resultado
de multiplicar esta matriz por determinados vectores(de R3).
Consideremos un vector ~n ortogonal al plano dado, en el caso
anterior pode-mos tomar ~n = [1, 1, 1]t, y dos vectores {v1, v2}
que generen el plano, por ejemplo,{v1 = [1, 1, 0]
t , v2 = [1, 0, 1]t}. Puesto que el transformado de ~n es el
vector nulo
y los transformados de v1 y v2 son ellos mismos, la matriz M
debe verificar
M
1 1 11 1 0
1 0 1
=
0 1 10 1 0
0 0 1
.
Basta despejar M multiplicando a la derecha, en ambos miembros
de la igualdadanterior, por la inversa de la matriz P ,
P =
1 1 11 1 0
1 0 1
, P1 = 1
3
1 1 11 2 1
1 1 2
.
Tenemos
M =
0 1 10 1 0
0 0 1
13
1 1 11 2 1
1 1 2
= 1
3
2 1 11 2 11 1 2
.
En lugar de utilizar los vectores v1, v2 y ~n podramos haber
considerado tres vectores{u1, u2, u3} linealmente independientes.
Calculando sus transformados T (u1), T (u2) yT (u3) podrmos obtener
M de forma analoga a la que hemos descrito. Las expresionesy
calculos intermedios seran distintos pero la matriz final
coincidira con la calculada.
(4) Sabiendo que una transformacion matricial, T (x) = Ax, hace
las siguientes transforma-ciones de vectores
u1 =
[12
] Au1 =
21
0
y u2 =
[11
] Au2 =
11
1
,
podemos determinar la matriz A sin mas que plantear la ecuacion
matricial
A
[1 12 1
]=
2 11 1
0 1
y despejar A.
Matematicas I. Ingeniera Civil
-
3.6.- Transformaciones lineales. Matriz asociada. 79
A la hora de determinar una matriz A,m n, a partir de la
transformacion, medianteA, de ciertos vectores necesitaremos n
vectores (de Kn) tales que al considerar la matrizcuadrada que
tiene a dichos vectores como columnas obtengamos una matriz que
tiene inversay podamos despejar A de la ecuacion matricial
planteada,
A
u1 u2 un
=
Au1 Au2 Aun
= A =
Matematicas I. 2012-2013
-
80 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
3.7.- Ejercicios.
3.7.1.- Enunciados.
Ejercicio 1. De las matrices Amn y Bnp se sabe que ninguna de
las columnas de B esnula pero que, sin embargo, la matriz AB tiene
una columna nula. Que puede asegurarsede las columnas de A?
Ejercicio 2. Suponiendo que las dimensiones de las matrices son
coherentes (permiten hacerlas operaciones indicadas) despeja la
matriz X de las siguientes ecuaciones matriciales dandolas
condiciones bajo las cuales es posible:
(a) AX = BX, (b) AXB + C = D, (c) X2 = X.
Ejercicio 3. Resuelve los siguientes sistemas:
(1)
x1+ x2+ x3 = 32x1+3x2+ x3 = 6x1+5x2+2x3 = 8
, (2)
x1+2x2+x3 = 52x1+4x2x3 = 7x1 x2 = 1
, (3)
2x1+x2+ x3 = 1x1x2+2x3 = 1x1+x2+3x3 = 1
.
Ejercicio 4. Resuelve los siguientes sistemas y expresa la
solucion en forma vectorial pa-rametrica:
(1)
x1+x2+2x3+2x4 = 0x1+x23x33x4 = 0x1+x2+4x3+4x4 = 0x1+x2+5x3+5x4 =
0
, (2)
x1+2x2+ x3 = 32x1+4x2+3x3+x4 = 9x12x2+ x3+x4 = 2
.
Ejercicio 5. Discute los siguientes sistemas segun los valores
de los parametros:
(1)
ax+ y + z + u = ax+ ay + z + u = ax+ y + az + u = ax+ y + z + au
= a
, (2)
ax+ y + z = ax+ ay z = 13x+ y + bz = 2x y z = 1
.
Ejercicio 6. Sean
A =
1 0 1 20 2 1 0
1 2 2 2
, b =
12 2
y x =
x1x2x3x4
.
(a) Calcula los valores de y para los que el sistema Ax = b es
compatible.
(b) Con = 0 y = 1, halla la solucion (o soluciones) de Ax = b
que verifican x2 = 0 yx1 x3 + x4 = 0.
Ejercicio 7. Consideremos un sistema de ecuaciones lineales Ax =
b =
41
2
y supon-
gamos que tenemos dos soluciones u =
12
3
y v =
11
2
del sistema dado. Calcula,
cuando sea posible:
Matematicas I. Ingeniera Civil
-
3.7.- Ejercicios. 81
(a) Otras dos soluciones del sistema de ecuaciones dado Ax =
b.
(b) Dos soluciones del sistema homogeneo asociado Ax = 0.
(c) Una solucion del sistema A1x =
41
2
siendo A1 la matriz que se obtiene de A al
intercambiar sus columnas 1 y 2.
(d) Una solucion del sistema A2x =
41
2
siendo A2 la matriz que se obtiene de A al
multiplicar su primera columna por 3.
(e) Una solucion del sistema Ax = 5b.
(f) Una solucion del sistema homogeneo A
x1x2x3t
=
00
0
. siendo A la matriz que se
obtiene al anadirle a la matriz A el vector columna b =
41
2
como cuarto vector
columna.
Ejercicio 8. Determina todas las matrices cuadradas A de orden 2
tales que:
A
[a 00 b
]=
[a 00 b
]A, con a, b R, a 6= b.
Ejercicio 9. Consideremos el sistema siguiente
1 2 32 1 43 a 1b 4 b
x1x2x3
=
132
b 4
.
Determina las condiciones a satisfacer por a y b para que dicho
sistema sea, respectivamente,
(a) incompatible, (b) compatible determinado, (c) compatible
indeterminado.
Ejercicio 10. Para que valores de a y b se verifica que el
vector (0, a, b, 1) pertenece a
Gen{(1, 2, 3, 4), (1, 0, 3, 1)}?
Ejercicio 11. (1) Para que vectores (b1, b2, b3, b4) R4 es
compatible el sistema
x1+ x2 +x4 = b12x1 +3x3+x4 = b2
2x2+ x3 = b3x1+ x2+4x3 = b4
?
Matematicas I. 2012-2013
-
82 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
(2) Describe mediante una ecuacion los vectores (b1, b2, b3, b4)
R4 que pertenecen a
Gen{(1, 2, 0, 1), (1, 0, 2, 1), (0, 3, 1, 4), (1, 1, 0, 0)}.
Ejercicio 12. Calcula vectores tales que el subespacio generado
por ellos coincida con elconjunto solucion del sistema
2x1 +x3x4+2x5 = 0x1+2x2 +x4 = 0x1+2x2+x3 +2x5 = 0
.
Ejercicio 13. Calcula la inversa de la matriz A =
12 1
2 1. . .
. . .
2 1
.
Ejercicio 14.
(1) Determina, si existen, dos sistemas de ecuaciones lineales
cuyo conjunto-solucion sea elconjunto de los vectores de la
forma
x1x2x3x4
=
1 +
1 + 2+ 21 + 3 +
, , R.
(2) Determina, si existen, dos sistemas de ecuaciones lineales
cuyo conjunto-solucion sea elconjunto de los vectores de la
forma
x1x2x3x4
=
0123
+
1121
, , R.
(3) Considera los conjuntos S1 y S2 de vectores de R2 definidos
respectivamente por
S1
{x1 = 1 2x2 = 2 +
2
}, ( R); S2
{x1 = 1 2lnx2 = 2 + ln
}, ( > 0).
Es S1 el conjunto-solucion de algun sistema de ecuaciones
lineales? Por que? Lo esS2? Por que?
Ejercicio 15. Sea A una matriz n n y supongamos que det (A) = 3,
calcula el determi-nante de las siguientes matrices:
(a) AT , 2A, 2A1, (2A)1 , 2A3, A4, AAT .
(b) La matriz que se obtiene de A al multiplicarla por la
izquierda por la matriz diagonalcuyos elementos diagonales son (1,
2, . . . , n).
Matematicas I. Ingeniera Civil
-
3.7.- Ejercicios. 83
Ejercicio 16. Sea A una matriz 6 6. Calcula el determinante de
la matriz B, 7 7, quese obtiene al intercalar entre las filas 4 y 5
de A la fila (0, 0, 2, 0, 0, 0, 0) y entre las columnas2 y 3 de A
la columna (3, 1, 0,1, 2, 5, 3), es decir, A se obtiene de B
suprimiendo la fila yla columna indicada (en las posiciones
correspondientes).
Ejercicio 17. (1) Sea M la matriz n n cuyas entradas son los
numeros 1, 2, . . . , n2 orde-nados por filas, de izquierda a
derecha y de arriba abajo. Calcula el determinante deM segn los
valores de n N.
(2) Sea a1, a2, . . . una progresion aritmetica y sea An la
matriz cuadrada, n n, cuyasentradas son aij = ai+j1, 1 i, j n.
Calcula el determinante de An segun los valoresde n N.
(3) Sea b1, b2, . . . una progresion geometrica y sea Bn la
matriz cuadrada, n n, cuyasentradas son bij = ai+j1, 1 i, j n.
Calcula el determinante de Bn segun los valoresde n N.
Recuerdese que:
(a) Se dice que a1, a2, . . . es una progresion aritmetica (de
diferencia d) si la diferencia entre dosterminos consecutivos es
constante (igual a d). Es decir si
a2 a1 = a3 a2 = = d.
En este caso, tenemos que
a2 = a1 + d, a3 = a1 + 2d, , ak = a1 + (k 1)d,
(b) Se dice que b1, b2, . . . es una progresion geometrica (de
razon r 6= 0) si el cociente entre dosterminos consecutivos es
constante (igual a r). Es decir si
b2
b1=
b3
b2= = r.
En este caso, tenemos que
b2 = b1r, b3 = b1r2, , bk = b1r
k1,
Ejercicio 18. Estudia si es lineal la transformacion T : R2 R3
dada por
T
([x1x2
])=
x1 + x22x1x1 x2
.
Ejercicio 19. Sea T : R3 R3 la transformacion dada por
T
x1x2x3
=
x1 + x2x3 x1x1 x2 x3
.
Se pide:
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-
84 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
(a) Comprobar que T es una transformacion lineal. (b) Hallar la
matriz A asociada a T .
Ejercicio 20. Sea T : R3 R3 la transformacion lineal que
verifica
T
10
1
=
112
, T
01
1
=
112
y T
101
=
11
2
.
Se pide:
(a) Hallar la matriz A que representa a T . (b) Calcular ker T
.
Ejercicio 21. Determina la matriz de cada una de las siguientes
transformaciones:
(1) Proyeccion ortogonal sobre la recta 2x 3y = 0.
(2) Simetra respecto de la recta 2x 3y = 0.
(3) Proyeccion sobre la recta 2x 3y = 0 en la direccion de la
recta x+ y = 0.
(4) Proyeccion ortogonal sobre la recta
{2x 3y + z = 0x+ y + z = 0
}.
(5) Simetra respecto de la recta del apartado anterior.
(6) Proyeccion ortogonal sobre el plano 2x 3y + z = 0.
(7) Simetra respecto al plano 2x 3y + z = 0.
(8) Proyeccion sobre la recta
{2x 3y + z = 0x+ y + z = 0
}segun el plano x+ y z = 0.
(9) Proyeccion sobre el plano 2x 3y + z = 0 segun el vector u =
[1 2 1].
Ejercicio 22. Calcula la matriz de la simetra respecto a un
plano (que pasa por el origende coordenadas) sabiendo que
transforma el vector u = [1, 2, 2]t en un multiplo positivo dee1 =
[1, 0, 0]
t.
Ejercicio 23. Describe como se transforman:
(a) los vectores canonicos, (b) el cuadrado unidad y (c) el
rectangulo [2, 4] [1, 2]
mediante las matrices
A =
[32
], B =
[1 2
1
], AB y BA.
Matematicas I. Ingeniera Civil
-
3.7.- Ejercicios. 85
3.7.2.- Soluciones.
Ejercicio 1. Si una columna de AB es nula, la matriz A por la
correspondiente columnade B es nula, y esto es equivalente a que
una combinacion lineal de las columnas de A (lacombinacion lineal
cuyos coeficientes son los elementos de la columna de B
considerada).Puesto que ninguna columna de B es nula, en la
combinacion lineal considerada aparece alguncoeficiente no nulo y,
por tanto, alguna columna de A se puede expresar como
combinacionlineal de las restantes. De forma equivalente, el
sistema homogeneo Ax = 0 tiene algunasolucion no trivial (es un
sistema compatible indetermnado).
Ejercicio 2. (a) Si AB es cuadrada y (A B)1,
AX = BX = X = 0.
(b) Si A y B son cuadradas y A1 y B1,
AXB + C = D X = A1(D C)B1.
(c) Si X es cuadrada y (X1 o (X I)1),
X2 = X X = 0 o X = I
Ejercicio 3. (1)
x1 = 1x2 = 1x3 = 1
.
(2)
x1 = 2x2 = 1x3 = 1
.
(3)
x1 = 0x2 = 1x3 = 0
.
Ejercicio 4. (1) x1x2x3x4
=
1100
+
0011
, , R.
Matematicas I. 2012-2013
-
86 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
(2) x1x2x3x4
=
1021
+
2100
, R.
Ejercicio 5. (1)
Si el sistema esa 6= 1 y a 6= 3 compatible determinado
a = 3 incompatiblea = 1 compatible indeterminado
(2) Si a 6= 1, sistema incompatible b. Si a = 1, sistema
compatible indeterminado b.
Ejercicio 6. (a) El sistema es compatible si y solo si = 1
(independientemente de ).
(b) Para = 0 y = 1 el sistema es compatible segun lo obtenido en
(a).
Con las condiciones/ecuaciones adicionales tenemos que la
solucion es unica y vienedada por
1001
.
Ejercicio 7. (a) Basta considerar cualquier pareja de escalares
y que verifiquen + =1 para que u+ v sea tambin solucin.
(b) Para cualquier escalar u v es solucin del homogeneo.
(c) Al multiplicar una matriz A por un vector
x1x2x3
se obtiene una combinacion lineal de
las columnas de A. En dicha combinacion lineal los coeficientes
respectivos son x1, x2y x3. Si hacemos un intercambio en las
columnas de A basta hacer el correspondientesintercambio entre los
coeficientes para obtener el mismo resultado. Por tanto
A1
21
3
= A
12
3
= b y A1
11
2
= A
11
2
= b.
(d) Siguiendo un planteamiento similar al de (c) tenemos que
A2
132
3
= A2
131
2
= b.
(e) A(5u) = 5Au = 5b.
Matematicas I. Ingeniera Civil
-
3.7.- Ejercicios. 87
(f) Siguiendo un planteamiento similar al de los apartados (c) y
(d) la igualdad vectorialque se obtiene de Au = b se puede
reescribir como
A
1231
= A
12
3
b =
00
0
.
Por otra parte si tenemos una solucion (x1, x2, x3)T del sistema
homogeneo Ax = 0,
tambien tenemos A b
x1x2x30
=
00
0
.
Ejercicio 8. Las matrices A que conmutan con las matrices
[a 00 b
], a 6= b, son todas las
matrices diagonales
A =
[x1 00 x4
], x1, x4 R.
Observacion: Cualquier matriz A, 2 2, conmuta con cualquier
matriz que sea multiplo de lamatriz identidad, [
a 00 a
].
Ejercicio 9. Se obtiene la siguiente clasificacion:
Si el sistema esa 6= 1 y b 6= 4 incompatiblea = 1 y b 6= 4
oa 6= 1 y b = 4
compatible determinado
a = 1 y b = 4 compatible indeterminado
Ejercicio 10. Para a = 23y b = 0.
Ejercicio 11. (1) El sistema es compatible si y solo si las
coordenadas del vector b verificanque b1 b2 b3 + b4 = 0.
(2) Este apartado tiene la misma respuesta que el anterior.
Matematicas I. 2012-2013
-
88 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
Ejercicio 12. Las soluciones del sistema dado sonx1x2x3x4x5
=
01
2
110
+
00201
, , R.
Puesto que el conjunto-solucion del sistema dado es el formado
por todas las combinacioneslineales consideradas en la igualdad
anterior, dicho conjunto solucion es
Gen
01
2
110
,
00201
= Gen
01220
,
00201
.
Ejercicio 13. La matriz inversa de A es la matriz B = A1 = [bij
] dada por
bij =
{0 si i < j,(2)ij si i j,
A1 =
12 14 2 1...
. . .. . .
. . .
(2)n1 . . . 4 2 1
.
Ejercicio 14.
(1) Por ejemplo, {4x1 + 2x2 x3 = 54x1 + 3x2 x4 = 3
}y
{4x1 + 2x2 x3 = 5x2 + x3 x4 = 2
}.
(2) Por ejemplo, los sistemas homogeneos asociados a los
sistemas anteriores,{4x1 + 2x2 x3 = 04x1 + 3x2 x4 = 0
}y
{4x1 + 2x2 x3 = 0x2 + x3 x4 = 0
}.
(3) S1: Los puntos de S1 son los puntos de una parabola.
Eliminando el parametro es facilobtener su ecuacion implcita x2 +2
=
1
4(x1 1)
2. Obviamente S1 no puede ser elconjunto solucion de una
ecuacion lineal o de un sistema de ecuaciones lineales.Es facil
comprobar que si tenemos dos puntos distintos (x1, x2) y (x
1, x
2) de S1entonces en la recta que une dichos puntos hay puntos
que no estan en S1.
S2: Eliminando el parametro tenemosx1 1
2=
x2 + 2
1. Por tanto todos los puntos
de S2 pertenecen a la recta definida por la ecuacion anterior. Y
viceversa, puestoque ln() recorre todo R cuando recorre el
intervalo (0,+), cualquier puntode la recta es un punto de S2. Por
tanto, S2 es el conjunto solucion de la ecuacionlineal x1 + 2x2 =
3.
Matematicas I. Ingeniera Civil
-
3.7.- Ejercicios. 89
Ejercicio 15. (a)
det (AT ) = det (A) det (2A) = 2ndet (A) det (2A1) =2n
det (A)
det ((2A)1) =1
2ndet (A)det (2A3) = 2ndet (A)3 det (A4) = det (A)4
det (AAT ) = det (A)2
(b) (n!)det (A).
Ejercicio 16.det (B) = (1)3+52det (A).
Ejercicio 17. (1) Para n = 2, det (M) = 2 y para n 3, det (M) =
0.
(2) Para n = 2, det (A2) = 2d2 y para n 3, det (An) = 0.
(3) Para n 2, det (Bn) = 0.
Ejercicio 18. S.
Ejercicio 19. (a) Si u1, u2, u3 R3 son vectores cualesquiera, se
verifica que
T (1u1 + 2u2 + 3u3) = 1T (u1) + 2T (u2) + 3T (u3),
para cualesquiera 1, 2, 3 R. Por tanto, es una transformacion
lineal.
(b)
A =
1 1 01 0 1
1 1 1
.
Ejercicio 20. (a) A =
1 1 00 0 1
0 0 2
. (b) ker T = Gen
11
0
.
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90 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
Ejercicio 21. (1) La matriz de la proyeccion es
P =1
13
[9 66 4
].
(2) La matriz de la simetra viene dada por
S =1
13
[5 1212 5
].
(3) La matriz de esta proyeccion es
P =1
5
[3 32 2
].
(4) La proyeccion ortogonal sobre la recta es
P =1
42
16 4 204 1 520 5 25
.
(5) La simetra respecto de la recta del apartado anterior
queda
S =1
21
5 4 204 20 520 5 4
.
(6) La proyeccion ortogonal sobre el correspondiente plano
es
P =1
14
10 6 26 5 32 3 13
.
(7) La simetra respecto al mismo plano queda
A =1
7
3 6 26 2 32 3 6
(8) Proyeccion sobre la recta segun un plano
P =1
10
4 4 41 1 15 5 5
.
Matematicas I. Ingeniera Civil
-
3.7.- Ejercicios. 91
(9) Proyeccion sobre el plano segun cierto vector
P =1
5
7 3 14 1 22 3 4
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Las matrices que se
obtienen en todos los apartados de este ejercicio tienen
algunas
caractersticas comunes entre s. Consideremos una recta o plano
(que pase por el origen decoordenadas), la matriz P de una
proyeccion sobre dicha recta o plano (proyeccion ortogonalo no) y
la matriz S de la simetra correspondiente. Las matrices P y S
verifican:
P 2 = P , puesto que para cualquier vector x, PPx = Px (el
proyectado del proyectadode x es igual al primer proyectado que se
obtiene).
S2 = I, puesto que para cualquier vector x, SSx = x (el
simetrico del simetrico de xes x).
P = 12(S + I).
Ejercicio 22. Denotemos por S : R3 R3 la simetra descrita y por
A la matriz asociada(S es una transformacion lineal).
El plano que define la simetra tiene que ser el plano que
pasa por el origen de coordenadas y
un vector normal al plano es ~n = S(u) u =
222
.
Por tanto, el plano considerado tiene por ecuacion x y z = 0.La
matriz A de la simetra considerada es
A =1
3
1 2 22 1 2
2 2 1
.
Ejercicio 23. Sean e1 y e2 los vectores canonicos de R2 y
consideremos la transformacion 1
T : R2 R2 definida por una matriz real M, 2 2, T (x) =Mx.
Los vectores canonicos se transforman, respectivamente, en los
vectores Me1 y Me2que son los dos vectores columna de M .
El cuadrado unidad (superficie) esta formado por los vectores x
R2 de la formax1e1 + x2e2 con 0 x1 1 y 0 x2 1. Al transformar estos
vectores medianteT (x) = Mx obtenemos los vectores
T (x) = Mx = x1Me1 + x2Me2 con 0 x1, x2 1.
Es decir, es el paralelogramo determinado por los dos vectores
columna de M .
Matematicas I. 2012-2013
-
92 Tema 3.- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales.
El rectangulo (superficie) [2, 4] [1, 2] esta formado por los
vectores x R2 de la forma[x1x2
]=
[21
]+ e1 + e2 con 0 2 y 0 1.
Al transformar estos vectores mediante T (x) =Mx obtenemos los
vectores
T (x) =Mx = M
[21
]+ Me1 + Me2 con 0 2, 0 1.
Es decir, es la traslacion, segun el vector M
[21
]del paralelogramo (con uno de sus
vertices en el origen de coordenadas) determinado por el ectores
2Me1 (primer vectorcolumna de M multiplicado por 2) y Me2 (segundo
vector columna de M).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A: (a) Vectores columna de A.
(b) Rectangulo [3, 0] [0,2].
(c) Rectangulo [6, 12] [4,2].
B: (a) Vectores columna de B.
(b) Paralelogramo ... (uno de los vertices es el origen).
(c) Paralelogramo ... (uno de los vertices es (6,2)).
AB: (a) Vectores columna de AB.
(b) Paralelogramo ... (uno de los vertices es el origen).
(c) Paralelogramo ... (uno de los vertices es ...).
BA: (a) Vectores columna de BA.
(b) Paralelogramo ... (uno de los vertices es el origen).
(c) Paralelogramo ... (uno de los vertices es ...).
Matematicas I. Ingeniera Civil