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11Ecuaciones lineales
en lgebra lineal
EJEMPLO INTRODUCTORIO
Modelos lineales en economa e ingeniera
A < nales del verano de 1949 Wassily Leontief, profesor
de Harvard, introdujo cuidadosamente la ltima de sus
tarjetas perforadas en la computadora de la universidad,
la Mark II. Las tarjetas contenan informacin acerca de la
economa de Estados Unidos, y representaban un resumen
de ms de 250,000 piezas de informacin producidas
por la o< cina encargada de las estadsticas laborales en
Estados Unidos despus de dos aos de trabajo intenso.
Leontief haba dividido la economa de Estados Unidos
en 500 sectores, tales como la industria del carbn, la
industria automotriz, las comunicaciones, etc. Para cada
sector, escribi una ecuacin lineal que describa la forma
en que dicho sector distribua sus salidas hacia otros
sectores de la economa. Debido a que la Mark II, una
de las computadoras ms grandes de la poca, no poda
manejar el sistema resultante de 500 ecuaciones y 500
incgnitas, Leontief haba condensado el problema en un
sistema de 42 ecuaciones y 42 incgnitas.
La programacin de la computadora Mark II para
las 42 ecuaciones de Leontief requiri varios meses de
esfuerzo, y l estaba ansioso por ver cunto tiempo le
tomara a la mquina resolver el problema. La Mark II
zumb y destell durante 56 horas hasta que < nalmente
produjo una solucin. La naturaleza de esta solucin se
analizar en las secciones 1.6 y 2.6.
Leontief, quien recibi el Premio Nobel de Economa
en 1973, abri la puerta a una nueva era en el modelado
matemtico de la economa. Sus esfuerzos desplegados
en Harvard en 1949 marcaron uno de los primeros usos
signi< cativos de las computadoras para analizar lo que
entonces era un modelo matemtico a gran escala.
Desde entonces, los investigadores de muchos otros
campos han empleado computadoras para analizar
modelos matemticos. Debido a las masivas cantidades
de datos involucrados, por lo general, los modelos son
lineales; esto es, se describen mediante sistemas de
ecuaciones lineales.
La importancia del lgebra lineal para las
aplicaciones se ha elevado en proporcin directa al
aumento del poder de las computadoras, cada nueva
generacin de equipo y programas de cmputo dispara
una demanda de capacidades an mayores.
WEB
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Los sistemas de ecuaciones lineales se encuentran en el corazn
del lgebra lineal,
y este captulo los utiliza para introducir algunos de los
conceptos centrales del
lgebra lineal de una manera simple y concreta. En las secciones
1.1 y 1.2 se
presenta un mtodo sistemtico para resolver sistemas de
ecuaciones lineales. Este algo-
ritmo se utilizar para realizar clculos a lo largo del texto. En
las secciones 1.3 y 1.4 se
muestra cmo un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a
una ecuacin vectorial
y a una ecuacin matricial. Esta equivalencia reducir problemas
que involucran combi-
naciones lineales de vectores a preguntas sobre los sistemas de
ecuaciones lineales. Los
conceptos fundamentales de generacin, independencia lineal y
transformaciones linea-
les, que se estudian en la segunda mitad del captulo, desempearn
un papel esencial a
lo largo del texto mientras se explora la belleza y el poder del
lgebra lineal.
1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESUna ecuacin lineal en las
variables x1, . . . , xn es una ecuacin que puede escribirse
de la forma
a1x1 + a2x2 + + anxn = b (1)donde b y los coe" cientes a1, . . .
, an son nmeros reales o complejos, por lo general co-
nocidos. El subndice n puede ser cualquier entero positivo. En
los ejemplos y ejercicios
del libro, n est normalmente entre 2 y 5. En los problemas de la
vida real, n puede ser
igual a 50, 5000, o incluso a valores ms grandes.
Por lo tanto, la ciencia de las computadoras est
slidamente ligada al lgebra lineal mediante el
crecimiento explosivo de los procesamientos paralelos de
datos y los clculos a gran escala.
Los cient< cos e ingenieros trabajan ahora en
problemas mucho ms complejos de lo que crean
posible hace unas cuantas dcadas. En la actualidad, el
lgebra lineal tiene para los estudiantes universitarios un
mayor valor potencial en muchos campos cient< cos y
de negocios que cualquier otra materia de matemticas.
El material incluido en este texto proporciona la base
para un trabajo posterior en muchas reas interesantes.
A continuacin se presentan unas cuantas posibilidades;
posteriormente se describirn otras.
Exploracin petrolera. Cuando un barco busca depsitos submarinos
de petrleo, diariamente
sus computadoras resuelven miles de sistemas de
ecuaciones lineales por separado. La informacin
ssmica para elaborar las ecuaciones se obtiene
a partir de ondas de choque submarinas creadas
mediante explosiones con pistolas de aire. Las
ondas rebotan en las rocas que hay bajo la super< cie
marina y se miden empleando gefonos conectados a
extensos cables instalados debajo del barco.
Programacin lineal. En la actualidad, muchas decisiones
administrativas importantes se toman con
base en modelos de programacin lineal que utilizan
cientos de variables. Por ejemplo, la industria de
las aerolneas emplea programas lineales para
crear los itinerarios de las tripulaciones de vuelo,
monitorear las ubicaciones de los aviones, o planear
los diversos programas de servicios de apoyo como
mantenimiento y operaciones en terminal.
Redes elctricas. Los ingenieros utilizan programas de cmputo de
simulacin para disear circuitos
elctricos y microchips que incluyen millones de
transistores. Estos programas utilizan tcnicas
de lgebra lineal y sistemas de ecuaciones lineales.
2 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal
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1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 3
Las ecuaciones
4x1 5x2 + 2 = x1 y x2 = 2
6 x1 + x3 son ambas lineales porque pueden reordenarse
algebraicamente como en la ecuacin
(1):
3x1 5x2 =2 y 2x1 + x2 x3 = 2
6 Las ecuaciones
4x1 5x2 = x1x2 y x2 = 2x1 6
no son lineales debido a la presencia de x1x2 en la primera
ecuacin y x1 en la se-
gunda.
Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una
coleccin de una o
ms ecuaciones lineales que involucran las mismas variables
digamos, x1, . . . , xn. Un
ejemplo es
2x1 x2 + 1.5x3 = 8x1 4x3 = 7
(2)
Una solucin del sistema es una lista (s1, s2, . . . , sn) de
nmeros que hacen de cada ecua-
cin un enunciado verdadero cuando los valores s1, . . . , sn
sustituyen, respectivamente, a
x1, . . . , xn. Por ejemplo, (5, 6.5, 3) es una solucin del
sistema (2) porque, cuando estos
valores sustituyen en (2) a x1, x2 y x3, respectivamente, las
ecuaciones se simpli< can a
8 = 8 y 7 = 7.El conjunto de todas las soluciones posibles se
llama conjunto solucin del sistema
lineal. Se dice que dos sistemas lineales son equivalentes si
tienen el mismo conjunto
solucin. Esto es, cada solucin del primer sistema es una solucin
del segundo sistema,
y cada solucin del segundo sistema es una solucin del
primero.
Determinar el conjunto solucin de un sistema de dos ecuaciones
lineales resulta
sencillo porque consiste en localizar la interseccin de dos
rectas. Un problema tpico es
x1 2x2 = 1x1 + 3x2 = 3
Las gr< cas de estas ecuaciones son rectas, las cuales se
denotan mediante 1 y 2. Un
par de nmeros (x1, x2) satisface las dos ecuaciones de este
sistema si, y slo si, el pun-
to (x1, x2) pertenece tanto a 1 como a 2. En el sistema
anterior, la solucin es el punto
nico (3, 2), lo cual puede veri< carse con facilidad. Vea la
< gura 1.
FIGURA 1 Exactamente una solucin.
2
3
x2
x1
l1l2
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4 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal
x1 2x2 + x3 = 02x2 8x3 = 8
4x1 + 5x2 + 9x3 = 9
1 2 10 2 8
4 5 9
Por supuesto, la interseccin de dos rectas no debe darse
necesariamente en un solo
punto las rectas pueden ser paralelas o coincidir y, por lo
tanto, intersecar en todos
los puntos sobre la recta. En la < gura 2 se muestran las
gr< cas que corresponden a los
siguientes sistemas:
Las < guras 1 y 2 ilustran los siguientes hechos generales
acerca de los sistemas
lineales, los cuales sern veri< cados en la seccin 1.2.
Un sistema de ecuaciones lineales puede
1. no tener solucin, o
2. tener exactamente una solucin, o
3. tener una cantidad in< nita de soluciones.
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es consistente si
tiene una solucin
o una in< nidad de soluciones; un sistema es inconsistente
cuando no tiene ninguna
solucin.
Notacin matricial
La informacin esencial de un sistema lineal puede registrarse de
manera compacta en
un arreglo rectangular llamado matriz. Dado el sistema
(3)
con los coe< cientes de cada variable alineados en columnas,
la matriz
FIGURA 2 (a) Sin solucin. (b) Con in< nidad de
soluciones.
2
3
x2
x1
l1l2
(a)
2
3
x2
x1
l1
(b)
x1 2x2 = 1 x1 2x2 = 1x1 + 2x2 = 3 x1 + 2x2 = 1
(a) (b)
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1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 5
se denomina matriz coe" ciente (o matriz de coe" cientes) del
sistema (3), y
(4)
se denomina matriz aumentada del sistema. (Aqu, la segunda <
la contiene un cero
porque la segunda ecuacin podra escribirse como 0x1 + 2x2 8x3 =
8.) La matriz aumentada de un sistema consta de su matriz de
coe< cientes con una columna adicional
que contiene las constantes de los lados derechos de las
ecuaciones.
El tamao de una matriz indica el nmero de < las y columnas
que la integran. La
matriz aumentada (4) que se present lneas arriba tiene 3 <
las y 4 columnas y se conoce
como una matriz de 3 4 (se lee 3 por 4). Si m y n son enteros
positivos, una matriz m n es un arreglo rectangular de nmeros con m
< las y n columnas. (El nmero de
< las siempre va primero.) La notacin matricial simpli<
car los clculos de los ejemplos
que se presentan enseguida.
Resolucin de un sistema lineal
En esta seccin y en la siguiente se describe un algoritmo, o
procedimiento sistemtico,
para resolver sistemas lineales. La estrategia bsica es
reemplazar un sistema con un
sistema equivalente (es decir, uno con el mismo conjunto
solucin) que sea ms fcil de
resolver.
Dicho de manera sencilla, utilice el trmino x1 que est presente
en la primera ecua-
cin de un sistema para eliminar los trminos x1 que haya en las
otras ecuaciones. Des-
pus use el trmino x2 presente en la segunda ecuacin para
eliminar los trminos x2 en
las otras ecuaciones, y as sucesivamente, hasta que obtenga un
sistema de ecuaciones
equivalente muy simple.
Para simpli< car un sistema lineal se utilizan tres
operaciones bsicas: reemplazar
una ecuacin mediante la suma de la propia ecuacin y un mltiplo
de otra ecuacin,
intercambiar dos ecuaciones, y multiplicar todos los trminos de
una ecuacin por una
constante distinta de cero. Despus del primer ejemplo, se ver
por qu estas tres opera-
ciones no cambian el conjunto solucin del sistema.
EJEMPLO 1 Resuelva el sistema (3).
Solucin El procedimiento de eliminacin se muestra enseguida con
y sin notacin
matricial, y los resultados se colocan uno junto al otro para
compararlos:
Mantenga x1 en la primera ecuacin y elimnela de las otras
ecuaciones. Para hacer
esto, sume 4 veces la ecuacin 1 a la ecuacin 3. Por lo general,
luego de alguna prctica
este tipo de clculos se realizan mentalmente:
x1 2x2 + x3 = 02x2 8x3 = 8
4x1 + 5x2 + 9x3 = 9
1 2 1 00 2 8 8
4 5 9 9
4[ecuacin 1]:+ [ecuacin 3]:
[nueva ecuacin 3]:
4x1 8x2 + 4x3 = 04x1 + 5x2 + 9x3 = 9
3x2 + 13x3 = 9
1 2 1 00 2 8 8
4 5 9 9
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6 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal
El resultado de este clculo se escribe en lugar de la tercera
ecuacin original:
Ahora, multiplique la ecuacin 2 por 1/2 para obtener 1 como el
coe< ciente para x2.
(Este clculo simpli< car la aritmtica del siguiente
paso.)
Utilice x2 en la ecuacin 2 para eliminar 3x2 en la ecuacin 3. El
clculo mental es
El nuevo sistema tiene una forma triangular:1
Al < nal, se desear eliminar el trmino 2x2 de la ecuacin 1,
pero resulta ms e< ciente utilizar primero x3 en la ecuacin 3,
para eliminar los trminos 4x3 y +x3 en las ecua-ciones 2 y 1. Los
dos clculos mentales son
Es conveniente combinar los resultados de estas dos
operaciones:
Ahora, despus de haber limpiado la columna que est sobre la x3
en la ecuacin 3, re-
grese a la x2 en la ecuacin 2 y sela para eliminar el 2x2
ubicado sobre ella. Debido al trabajo previo realizado con x3,
ahora no existe ninguna operacin que involucre a
trminos de x3.
1En la prxima seccin, el trmino intuitivo triangular se
reemplazar por uno ms preciso.
x1 2x2 + x3 = 0x2 4x3 = 4
3x2 + 13x3 = 9
1 2 1 00 1 4 40 3 13 9
3[ecuacin 2]: 3x2 12x3 = 12+ [ecuacin 3]: 3x2 + 13x3 = 9
[nueva ecuacin 3]: x3 = 3
x1 2x2 + x3 = 0x2 4x3 = 4
x3 = 3
1 2 1 00 1 4 40 0 1 3
4[ec. 3]:+ [ec. 2]:
[nueva ec. 2]:
4x3 = 12x2 4x3 = 4x2 = 16
1[ec. 3]:+ [ec. 1]:
[nueva ec. 1]:
x3 = 3x1 2x2 + x3 = 0x1 2x2 = 3
x1 2x2 = 3x2 = 16
x3 = 3
1 2 0 30 1 0 160 0 1 3
x1 2x2 + x3 = 02x2 8x3 = 8
3x2 + 13x3 = 9
1 2 1 00 2 8 80 3 13 9
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1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 7
Sume dos veces la ecuacin 2 a la ecuacin 1 para obtener el
sistema
En esencia, el trabajo ya est hecho. Se observa que la solucin
nica del sistema ori-
ginal es (29, 16, 3). Sin embargo, como hay muchos clculos
involucrados, resulta una
buena prctica veri< car las operaciones. Para comprobar que
(29, 16, 3) es una solucin,
sustituya estos valores en el lado izquierdo del sistema
original, y calcule:
Los resultados coinciden con el lado derecho del sistema
original, as que (29, 16, 3) es
una solucin del sistema. yyyyxyyyyz
En el ejemplo 1 se ilustra cmo, en un sistema lineal, las
operaciones sobre ecua-
ciones corresponden a las operaciones sobre las < las
apropiadas de la matriz aumentada.
Las tres operaciones bsicas mencionadas con anterioridad
corresponden a las siguien-
tes operaciones sobre la matriz aumentada.
OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA
1. (Reemplazo) Reemplazar una < la por la suma de s misma y
un mltiplo de
otra < la.2
2. (Intercambio) Intercambiar dos < las.
3. (Escalamiento) Multiplicar todas las entradas de una < la
por una constante
distinta de cero.
Las operaciones de < la pueden aplicarse a cualquier matriz,
no nicamente a una
que surja como la matriz aumentada de un sistema lineal. Se dice
que dos matrices son
equivalentes por las si existe una sucesin de operaciones
elementales de < la que
convierta una matriz en la otra.
Es importante advertir que las operaciones de < la son
reversibles. Si dos < las se
intercambian, pueden regresarse a sus posiciones originales
mediante otro intercambio.
Si una < la se escala mediante una constante c distinta de
cero, al multiplicar despus
la nueva < la por 1/c se obtiene la < la original. Por
ltimo, considere una operacin de
reemplazo que involucra dos < las por ejemplo, las < las 1
y 2 y suponga que a la < la 2
se le suma la < la 1 multiplicada por c para producir un
nueva < la 2. Si desea revertir
esta operacin, sume a la nueva < la 2 la < la 1
multiplicada por c y obtenga la < la 2 original. Vea los
ejercicios 29 a 32 al < nal de esta seccin.
Por el momento, nuestro inters reside en las operaciones de <
la sobre la matriz
aumentada de un sistema de ecuaciones lineales. Suponga un
sistema que se transforma
en otro nuevo mediante operaciones de < la.
(29, 16, 3)Cada una de las ecuaciones
originales determina un plano en
el espacio tridimensional. El punto
(29, 16, 3) pertenece a los tres
planos.
2Una parfrasis comn del reemplazo de una < la es sumar a una
< la un mltiplo de otra < la.
x1 = 29x2 = 16
x3 = 3
1 0 0 290 1 0 160 0 1 3
(29) 2(16) + (3) = 29 32 + 3 = 02(16) 8(3) = 32 24 = 8
4(29) + 5(16) + 9(3) = 116 + 80 + 27 =9
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8 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal
Al considerar cada uno de los tipos de operaciones de < la,
puede advertirse que cual-
quier solucin del sistema original contina siendo una solucin
del sistema nuevo. Asi-
mismo, como el sistema original puede producirse mediante
operaciones de < la sobre el
sistema nuevo, cada una de las soluciones del sistema nuevo
tambin es una solucin
del sistema original. Esta explicacin justi< ca el hecho
siguiente.
Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son
equivalentes por < las,
entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solucin.
Aunque el ejemplo 1 es extenso, puede a< rmarse que, despus
de algn tiempo de
prctica, los clculos se ejecutan con rapidez. Por lo general, en
el texto y en los ejercicios
las operaciones de < la sern muy fciles de realizar, lo cual
permitir que el estudiante
se enfoque en los conceptos importantes. No obstante, se
recomienda aprender a realizar
operaciones de < la de manera precisa porque se utilizarn a
lo largo de todo el libro.
En el resto de esta seccin se muestra cmo utilizar las
operaciones de < la para deter-
minar el tamao de un conjunto solucin, sin resolver por completo
el sistema lineal.
Preguntas de existencia y unicidad
En la seccin 1.2 se estudiar porqu un conjunto solucin para un
sistema lineal puede
no contener ninguna solucin, contener solamente una solucin, o
contener una in< -
nidad de soluciones. Para determinar cul posibilidad es
verdadera para un sistema en
particular, se formulan dos preguntas.
DOS PREGUNTAS FUNDAMENTALES ACERCA DE UN SISTEMA LINEAL
1. El sistema es consistente? Es decir, existe al menos una
solucin?
2. Si existe solucin, slo hay una? Esto es, la solucin es
nica?
Estas dos preguntas aparecern a lo largo del texto en muchas
formas diferentes. En esta seccin y en la prxima, se mostrar cmo
contestarlas mediante operaciones de < la sobre la matriz
aumentada.
EJEMPLO 2 Determine si el siguiente sistema es consistente:
Solucin ste es el sistema del ejemplo 1. Suponga que se realizan
las operaciones necesarias para obtener la forma triangular
En este punto ya se conoce x3; si su valor se sustituyera en la
ecuacin 2, sera posible calcular x2 y, por ende, se podra
determinar x1 a partir de la ecuacin 1. Por lo tanto,
x1 2x2 + x3 = 0x2 4x3 = 4
x3 = 3
1 2 1 00 1 4 40 0 1 3
x1 2x2 + x3 = 02x2 8x3 = 8
4x1 + 5x2 + 9x3 = 9
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1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 9
existe una solucin; y el sistema es consistente. (De hecho, x2
se determina nicamente
con la ecuacin 2 puesto que x3 tiene un solo valor posible, y
por lo tanto x1 se resuelve
solamente a partir de la ecuacin 1. De manera que la solucin es
nica.) yyyyxyyyyz
EJEMPLO 3 Determine si el siguiente sistema es consistente:
(5)
Solucin La matriz aumentada es
Para obtener una x1 en la primera ecuacin, se intercambian las
< las 1 y 2:
Para eliminar el trmino 5x1 en la tercera ecuacin, se agrega a
la < la 3 la < la 1 multi-
plicada por 5/2:
(6)
Enseguida, utilice el trmino x2 en la segunda ecuacin para
eliminar el trmino (1/2)x2 de la tercera ecuacin. Sume a la < la
3 la < la 2 multiplicada por 1/2:
(7)
Ahora, la matriz aumentada est en forma triangular. Para
interpretarla de manera co-
rrecta, regrese a la notacin con ecuaciones:
(8)
La ecuacin 0 = 5/2 es una forma corta de 0x1 + 0x2 + 0x3 = 5/2.
Desde luego, este sistema en forma triangular tiene una
contradiccin. No existen valores de x1, x2, x3 que
satisfagan (8) porque la ecuacin 0 = 5/2 nunca es verdadera.
Como (8) y (5) tienen el mismo conjunto solucin, el sistema
original es inconsistente (es decir, no tiene solu-
cin). yyyyxyyyyz
Preste atencin especial a la matriz aumentada en (7). Su ltima
< la es tpica de un
sistema inconsistente en forma triangular.
2 3 2 10 1 4 80 1/2 2 3/2
x2 4x3 = 82x1 3x2 + 2x3 = 15x1 8x2 + 7x3 = 1
0 1 4 82 3 2 15 8 7 1
2 3 2 10 1 4 85 8 7 1
2 3 2 10 1 4 80 0 0 5/2
2x1 3x2 + 2x3 = 1x2 4x3 = 8
0 = 5/2
Este sistema es inconsistente
porque no existe un punto que
pertenezca de manera simultnea
a los tres planos.
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10 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal
P R O B L E M A S D E P R C T I C A
A lo largo del texto, debe intentar resolver los problemas de
prctica antes de trabajar
con los ejercicios. Despus de cada serie de ejercicios se
presentan las soluciones.
1. Exprese con sus propias palabras la siguiente operacin
elemental de < la que debe
realizarse para resolver los sistemas presentados a continuacin.
[Para (a), existe ms
de una respuesta posible.]
2. La matriz aumentada de un sistema lineal ha sido transformada
mediante operaciones
de < la a la forma que se presenta a continuacin. Determine
si el sistema es consis-
tente.
3. Es (3, 4, 2) una solucin del siguiente sistema?
4. Para cules valores de h y k es consistente el siguiente
sistema?
NOTA NUMRICA
En problemas reales, los sistemas de ecuaciones lineales se
resuelven empleando una
computadora. Para una matriz de coe< cientes cuadrada, los
programas de cmpu-
to casi siempre usan el algoritmo de eliminacin que se presenta
aqu en la seccin
1.2, con pequeas modi< caciones para mejorar su precisin.
La gran mayora de los problemas de lgebra lineal que se
presentan en los ne-
gocios y la industria se resuelven con programas que utilizan la
aritmtica de punto
$ otante. Los nmeros se representan como decimales .d1 dp 10r,
donde r es un entero y el nmero p de dgitos a la derecha del punto
decimal usualmente se encuen-
tra entre 8 y 16. Normalmente, las operaciones aritmticas con
estos nmeros resultan
inexactas, porque el resultado debe redondearse (o truncarse) al
nmero de dgitos
almacenados. El error de redondeo tambin se presenta cuando un
nmero como
1/3 es introducido a la computadora, puesto que su representacin
debe aproximarse
mediante un nmero < nito de dgitos. Por fortuna, las
inexactitudes de la aritmtica
de punto ? otante muy pocas veces causan problemas. Las notas
numricas incluidas
en este libro lo prevendrn, ocasionalmente, sobre aspectos que
podr necesitar tener en
consideracin ms adelante en su carrera.
a. x1 + 4x2 2x3 + 8x4 = 12x2 7x3 + 2x4 = 4
5x3 x4 = 7x3 + 3x4 = 5
b. x1 3x2 + 5x3 2x4 = 0x2 + 8x3 = 4
2x3 = 3x4 = 1
5x1 x2 + 2x3 = 72x1 + 6x2 + 9x3 = 07x1 + 5x2 3x3 = 7
1 5 2 60 4 7 20 0 5 0
2x1 x2 = h6x1 + 3x2 = k
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1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 11
Resuelva los sistemas de los ejercicios 1 a 4 usando las
opera-
ciones elementales de < la sobre las ecuaciones o sobre la
matriz
aumentada. Utilice el procedimiento de eliminacin sistemtica
descrito en esta seccin.
3. Encuentre el punto (x1, x2) que pertenece tanto a la lnea x1
+ 5x2 = 7 como a la lnea x1 2x2 = 2. Vea la < gura.
4. Encuentre el punto de interseccin de las rectas x1 5x2 = 1 y
3x1 7x2 = 5.
Considere cada matriz de los ejercicios 5 y 6 como la matriz
au-
mentada de un sistema lineal. Exprese con sus propias
palabras
las siguientes dos operaciones elementales de < la que deben
rea-
lizarse en el proceso para resolver el sistema.
En los ejercicios 7 a 10, la matriz aumentada de un sistema
lineal
ha sido reducida mediante operaciones de < la a la forma que
se
muestra. En cada caso, ejecute las operaciones de < la
apropiadas
y describa el conjunto solucin del sistema original.
1.1 EJERCICIOS
Resuelva los sistemas de los ejercicios 11 a 14.
x1 + 3x3 = 2x2 3x4 = 3
2x2 + 3x3 + 2x4 = 13x1 + 7x4 = 5
x1 2x4 = 32x2 + 2x3 = 0
x3 + 3x4 = 12x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 5
15.
16.
1 7 3 40 1 1 30 0 0 10 0 1 2
1 4 9 00 1 7 00 0 2 0
7. 8.
1 1 0 0 40 1 3 0 70 0 1 3 10 0 0 2 4
1 2 0 3 20 1 0 4 70 0 1 0 60 0 0 1 3
9.
10.
x1 + 5x2 = 72x1 7x2 = 5
2x1 + 4x2 = 45x1 + 7x2 = 11
1. 2.
1 4 5 0 70 1 3 0 60 0 1 0 20 0 0 1 5
1 6 4 0 10 2 7 0 40 0 1 2 30 0 3 1 6
5.
6.
x2
x1
x1 + 5x2 = 7x1 2x2 = 2
x2 + 4x3 = 5x1 + 3x2 + 5x3 = 2
3x1 + 7x2 + 7x3 = 6x1 3x2 + 4x3 = 4
3x1 7x2 + 7x3 = 84x1 + 6x2 x3 = 7x1 3x3 = 8
2x1 + 2x2 + 9x3 = 7x2 + 5x3 = 2
x1 3x2 = 5x1 + x2 + 5x3 = 2
x2 + x3 = 0
11.
12.
13. 14.
Determine si los sistemas de los ejercicios 15 y 16 son
consisten-
tes. No resuelva los sistemas por completo.
17. Las tres rectas x1 4x2 = 1, 2x1 x2 = 3, y x1 3x2 = 4 tienen
un punto de interseccin comn? Explique su res-puesta.
18. Los tres planos x1 + 2x2 + x3 = 4, x2 x3 = 1, y x1 + 3x2 = 0
tienen al menos un punto de interseccin comn? Explique
su respuesta.
En los ejercicios 19 a 22, determine el valor o los valores de
h
tales que la matriz dada es la matriz aumentada de un
sistema
lineal consistente.
-
12 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal
En los ejercicios 23 y 24, varios enunciados clave de esta
seccin
se citan directamente, se han modi< cado un poco (pero
siguen
siendo verdaderos), o se han alterado de alguna forma que
los
vuelve falsos en algunos casos. Marque cada enunciado como
ver-
dadero o falso y justi! que su respuesta. (Si el enunciado es
verda-
dero, d la ubicacin aproximada en el texto donde aparece uno
similar o haga referencia a una de< nicin o teorema. Si es
falso,
d la ubicacin del enunciado que se cita o utiliza de manera
inco-
rrecta, o proporcione un ejemplo que muestre que no es
verdadero
en todos los casos.) En muchas secciones de este texto
aparecern
preguntas similares del tipo verdadero/falso.
23. a. Todas las operaciones elementales de < la son
reversibles.
b. Una matriz de 5 6 tiene seis < las. c. El conjunto solucin
de un sistema lineal que incluya las
variables x1, . . . , xn es una lista de nmeros (s1, . . . , sn)
que
hace de cada ecuacin del sistema un enunciado verdadero
cuando los valores s1, . . . , sn sustituyen,
respectivamente,
a x1, . . . , xn.
d. Las dos preguntas fundamentales acerca de un sistema li-
neal involucran la existencia y la unicidad.
24. a. En una matriz aumentada, las operaciones elementales
de
< la no cambian nunca el conjunto solucin del sistema li-
neal asociado.
b. Dos matrices son equivalentes por < las cuando poseen
el
mismo nmero de < las.
c. Un sistema inconsistente tiene ms de una solucin.
d. Dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo
conjunto solucin.
25. Encuentre una ecuacin que involucre a g, h y k, la cual
per-
mita que esta matriz aumentada corresponda a un sistema
consistente:
1 4 7 g0 3 5 h
2 5 9 k
26. Construya tres matrices aumentadas diferentes de tres
sistemas
lineales cuyo conjunto solucin sea x1 = 2, x2 = 1, x3 = 0.27.
Suponga que el sistema presentado a continuacin es con-
sistente para todos los valores posibles de f y g. Qu puede
a< rmarse acerca de los coe< cientes c y d? Justi< que
su res-
puesta.
x1 + 3x2 = fcx1 + dx2 = g
28. Suponga que a, b, c y d son constantes de tal forma que
a
es diferente de cero y el sistema presentado a continuacin
es consistente para todos los valores posibles de f y g. Qu
puede a< rmarse acerca de los nmeros a, b, c y d? Justi<
que
su respuesta.
ax1 + bx2 = fcx1 + dx2 = g
En los ejercicios 29 a 32, encuentre la operacin elemental
de
< la que transforma la primera matriz en la segunda,
determine
entonces la operacin de < la inversa que transforma la
segunda
matriz en la primera.
Un aspecto importante en el estudio de la transferencia de
calor
es determinar la distribucin de la temperatura en estado
estable
sobre una placa delgada cuando se conoce la temperatura
presen-
te alrededor de los bordes. Suponga que la placa mostrada en
la
< gura representa la seccin transversal de una viga de metal,
con
un ? ujo de calor insigni< cante en la direccin perpendicular
a la
placa. Sean T1, . . . , T4 las temperaturas en los cuatro nodos
in-
teriores de la malla que se muestra en la < gura. En un nodo,
la
temperatura es aproximadamente igual al promedio de los
cuatro
nodos ms cercanos a la izquierda, arriba, a la derecha y
abajo.3
Por ejemplo,
3Vea Frank M. White, Heat and Mass Transfer (Reading, MA:
Addison-Wesley Publishing, 1991), pp. 145 149.
T1 = (10 + 20 + T2 + T4)/4, o 4T1 T2 T4 = 30
1 h 43 6 8
1 h 32 4 6
1 3 24 h 8
2 3 h6 9 5
19. 20.
21. 22.
0 2 51 4 73 1 6
,
1 4 70 2 53 1 6
1 3 40 2 60 5 9
,
1 3 40 1 30 5 9
1 2 1 00 5 2 84 1 3 6
,
1 2 1 00 5 2 80 7 1 6
1 2 5 00 1 3 20 3 9 5
,
1 2 5 00 1 3 20 0 0 1
29.
30.
31.
32.
10
10
40
40
20 20
30 30
1 2
4 3
-
1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 13
33. Escriba un sistema de cuatro ecuaciones cuya solucin
pro-
porcione un estimado para las temperaturas T1, . . . , T4.
34. Resuelva el sistema de ecuaciones del ejercicio 33.
[Suge-
rencia: Para acelerar los clculos, intercambie las < las 1 y
4
antes de comenzar las operaciones de reemplazo.]
S O L U C I O N E S A L O S P R O B L E M A S D E P R C T I C
A
1. a. Para realizar clculos a mano, lo mejor es intercambiar las
ecuaciones 3 y 4.
Otra posibilidad es multiplicar la ecuacin 3 por 1/5; o
reemplazar la ecuacin 4
por su suma con la < la 3 multiplicada por 1/5. (En cualquier
caso, no utilice x2 en la ecuacin 2 para eliminar 4x2 en la ecuacin
1. Espere hasta alcanzar la
forma triangular y hasta que los trminos con x3 y x4 hayan sido
eliminados de las
primeras dos ecuaciones.)
b. El sistema est en forma triangular. La simpli< cacin
posterior comienza con x4
en la cuarta ecuacin. Utilice esta x4 para eliminar todos los
trminos con x4 locali-
zados arriba de ella. Ahora, el paso adecuado es sumar la
ecuacin 4, multiplicada
por 2, con la ecuacin 1. (Despus de esto, vaya a la ecuacin 3,
multiplquela por
1/2, y utilice la ecuacin resultante para eliminar los trminos
con x3 ubicados
arriba de ella.)
2. El sistema correspondiente a la matriz aumentada es
La tercera ecuacin vuelve x3 = 0, que ciertamente es un valor
permisible para x3. Despus, al eliminar los trminos con x3 en las
ecuaciones 1 y 2, es posible encontrar
valores nicos para x2 y x1. Por lo tanto, existe una solucin y
es nica. Compare esta
situacin con la del ejemplo 3.
3. Resulta sencillo veri< car si una lista espec< ca de
nmeros es una solucin. Sean
x1 = 3, x2 = 4, y x3 = 2, y encuentre que
Aunque se satisfacen las primeras dos ecuaciones, la tercera no,
entonces (3, 4, 2) no es una solucin al sistema. Observe el uso de
parntesis cuando se hacen susti-
tuciones, los cuales son muy recomendables como proteccin contra
errores arit-
mticos.
4. Cuando la segunda ecuacin se reemplaza por su suma con la
primera ecuacin mul-
tiplicada por 3, el sistema se convierte en
Si k + 3h es diferente de cero, el sistema no tiene solucin. El
sistema es consistente para cualesquiera valores de h y k que
produzcan k + 3h = 0.
x1 + 5x2 + 2x3 = 64x2 7x3 = 2
5x3 = 0
5(3) (4) + 2(2) = 15 4 4 = 72(3) + 6(4) + 9(2) = 6 + 24 18 =
07(3) + 5(4) 3(2) = 21 + 20 + 6 = 5
2x1 x2 = h0 = k + 3h
Como (3, 4, 2) satisface las dos primeras ecuaciones, se
encuentra
sobre la lnea de interseccin de
los dos primeros planos. Como
(3, 4, 2) no satisface las tres ecuaciones, no pertenece a
los
tres planos.
(3, 4, 2)
-
14 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal
1.2 REDUCCIN POR FILAS Y FORMAS ESCALONADASEn esta seccin se
perfecciona el mtodo de la seccin 1.1 en un algoritmo de
reduccin
por < las que permitir analizar cualquier sistema de
ecuaciones lineales.1 Las preguntas
fundamentales de existencia y unicidad, expuestas en la seccin
1.1, podrn contestarse
utilizando la primera parte del algoritmo.
El algoritmo se aplica a cualquier matriz, ya sea vista como una
matriz aumentada
para un sistema lineal o no. Entonces, la primera parte de esta
seccin trata acerca de
una matriz rectangular arbitraria. Se comienza por introducir
dos clases importantes
de matrices que incluyen las matrices triangulares de la seccin
1.1. En las de< nicio-
nes presentadas a continuacin, una < la o una columna
distinta de cero en una matriz
sern una < la o una columna que contengan al menos una
entrada diferente de cero; una
entrada principal de una < la se re< ere a la entrada
diferente de cero que se encuentra
ms a la izquierda (en una < la distinta de cero).
Una matriz escalonada (respectivamente, matriz escalonada
reducida) es una
matriz que est en forma escalonada (respectivamente, forma
escalonada reducida). La
propiedad 2 enuncia que las entradas principales forman un patrn
escalonado (como
escalera) que avanza hacia abajo y a la derecha de la matriz. La
propiedad 3 es una
simple consecuencia de la propiedad 2, pero se incluy aqu para
enfatizarla.
Las matrices triangulares de la seccin 1.1, tales como
D E F I N I C I N Una matriz rectangular est en forma escalonada
(o en forma escalonada por
" las) si tiene las tres propiedades siguientes:
1. Todas las < las distintas de cero estn arriba de cualquier
< la integrada slo por
ceros.
2. Cada entrada principal de una < la est en una columna
situada a la derecha de
la entrada principal de la < la que se encuentra arriba de
dicha entrada.
3. Todas las entradas que se localicen en una columna situada
debajo de una en-
trada principal son ceros.
Si una matriz en forma escalonada satisface las siguientes
condiciones adiciona-
les, entonces se encuentra en forma escalonada reducida (o forma
escalonada
reducida por " las):
4. La entrada principal de cada < la distinta de cero es
1.
5. Cada 1 principal es la nica entrada distinta de cero en su
columna.
1Este algoritmo es una variacin de lo que se conoce comnmente
como eliminacin gaussiana. Los matem-
ticos chinos utilizaron un mtodo de eliminacin similar alrededor
del ao 250 a.C. El proceso no se conoci
en la cultura occidental sino hasta el siglo xix, cuando un
famoso matemtico alemn, Carl Friedrich Gauss,
lo descubri. Un ingeniero alemn, Wilhelm Jordan, populariz el
algoritmo al emplearlo en un texto sobre
geodesia en 1888.
2 3 2 10 1 4 80 0 0 5/2
y
1 0 0 290 1 0 160 0 1 3
-
estn en forma escalonada. De hecho, la segunda matriz est en
forma escalonada redu-
cida. A continuacin se presentan ejemplos adicionales.
EJEMPLO 1 Las siguientes matrices estn en forma escalonada. Las
entradas prin-
cipales ( ) pueden tener cualquier valor distinto de cero; las
entradas con asterisco (*)
pueden tener cualquier valor (incluso cero).
Las siguientes matrices estn en forma escalonada reducida porque
las entradas princi-
pales son nmeros 1, y abajo y arriba de cada 1 principal slo
existen ceros.
yyyyxyyyyz
Cualquier matriz distinta de cero se puede reducir por las (esto
es, transformarse
mediante operaciones elementales de < la) para producir ms de
una matriz en forma
escalonada, para ello se usan diferentes sucesiones de
operaciones de < la. Sin embargo,
la forma escalonada reducida que se obtiene a partir de una
matriz es nica. El teorema
siguiente se comprueba en el apndice A incluido al < nal del
texto.
Si una matriz A es equivalente por < las a una matriz
escalonada U, se dice que U es
una forma escalonada (o una forma escalonada por < las) de A;
si U est en su forma
escalonada reducida, se a< rma que es la forma escalonada
reducida de A. [La mayora
de los programas de matrices y de las calculadoras con capacidad
para resolver matrices
utilizan la abreviatura RREF para encontrar la forma escalonada
reducida (por < las).
Algunos usan REF para la forma escalonada (por < las) (del
ingls row reduced echelon
form y row echelon form).]
Posiciones pivote
Cuando las operaciones de < la sobre una matriz producen una
forma escalonada, las
operaciones de < la posteriores para obtener la forma
escalonada reducida no cambian
las posiciones de las entradas principales. Como la forma
escalonada reducida es nica,
las entradas principales siempre estn en las mismas posiciones
en cualquier forma es-
calonada obtenida a partir de una matriz dada. Estas entradas
principales corresponden
a los nmeros 1 principales que hay en la forma escalonada
reducida.
T E O R E M A 1 Unicidad de la forma escalonada reducida
Cada matriz es equivalente por < las a una y slo una matriz
escalonada reducida.
0 0 0 0 00 0 0 0
,
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0
,
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1
1.2 Reduccin por fi las y formas escalonadas 15
-
16 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal
En el ejemplo 1, los cuadros ( ) identi< can las posiciones
pivote. Muchos conceptos
fundamentales incluidos en los primeros cuatro captulos de este
libro estarn conecta-
dos de una forma u otra con las posiciones pivote que aparecen
en una matriz.
EJEMPLO 2 Reduzca por < las la matriz A que se muestra a
continuacin hasta la
forma escalonada, y localice las columnas pivote de A.
Solucin Use la misma estrategia bsica aplicada en la seccin 1.1.
El elemento supe-
rior de la columna distinta de cero que se encuentra ms a la
izquierda de la matriz es la
primera posicin pivote. En esta posicin, debe colocarse una
entrada distinta de cero, o
pivote. Una buena alternativa es intercambiar las < las 1 y 4
(porque las comparaciones
mentales en el siguiente paso no involucrarn fracciones).
Cree ceros debajo del pivote 1, para ello sume mltiplos de la
primera < la a las < las
de abajo, y obtenga la matriz (1) que se presenta enseguida. La
posicin pivote de la
segunda < la debe estar lo ms a la izquierda que sea posible
a saber, en la segunda
columna. Se elegir al 2 en esta posicin como el siguiente
pivote.
Sume la < la 2 multiplicado por 5/2 a la < la 3, y la <
la 2 multiplicado por 3/2 a la < la 4.
D E F I N I C I N En una matriz A, una posicin pivote es una
ubicacin en A que corresponde a
un 1 principal en la forma escalonada reducida de A. Una columna
pivote es una
columna de A que contiene una posicin pivote.
1 4 5 9 70 2
Pivote
4 6 60 5 10 15 15
Prxima columna pivote0 3 6 4 9
A=
0 3 6 4 91 2 1 3 12 3 0 3 11 4 5 9 7
1 4 5 9 70 2 4 6 60 0 0 0 00 0 0 5 0
1Pivote4 5 9 7
1 2 1 3 12 3 0 3 1
Columna pivote0 3 6 4 9
(1)
(2)
-
La matriz en (2) es diferente a cualquiera de las matrices
encontradas en la seccin
1.1. No hay forma de crear una entrada principal en la columna
3! (No pueden usarse
las < las 1 o 2 porque al hacerlo se destruira el arreglo
escalonado de las entradas prin-
cipales ya producidas.) Sin embargo, es posible producir una
entrada principal en la
columna 4 intercambiando las < las 3 y 4.
La matriz est en forma escalonada y, por lo tanto, las columnas
1, 2 y 4 de A son co-
lumnas pivote.
Un pivote, como el ilustrado en el ejemplo 2, es un nmero
distinto de cero situado
en una posicin pivote que se utiliza cuando es necesario para
crear ceros por medio de
operaciones de < la. Los pivotes empleados en el ejemplo 2
fueron 1, 2 y 5. Debe ad-vertirse que estos nmeros no son los
mismos que los elementos reales de A ubicados en
las posiciones pivote iluminadas que se muestran en (3). De
hecho, una sucesin diferen-
te de operaciones de < la podra involucrar un conjunto de
pivotes distinto. Adems, un
pivote no ser visible en la forma escalonada si la < la se
escala para convertir el pivote en
un 1 principal (lo cual muchas veces es conveniente para
realizar clculos a mano).
Con el ejemplo 2 como gua, ahora es posible describir un
procedimiento e< ciente
para transformar una matriz en una matriz escalonada o
escalonada reducida. El estudio
cuidadoso y el dominio de este procedimiento producirn grandes
dividendos durante
todo el curso.
Algoritmo de reduccin por " las
El algoritmo que se describe enseguida consta de cuatro pasos, y
produce una matriz en
forma escalonada. Un quinto paso produce una matriz en forma
escalonada reducida. El
algoritmo se ilustra mediante un ejemplo.
EJEMPLO 3 Aplique operaciones elementales de < la para
transformar la siguiente
matriz a la forma escalonada y despus a la forma escalonada
reducida:
A=
0Posiciones pivote
3 6 4 91 2 1 3 12 3 0 3 1
Columnas pivote1 4 5 9 7
0 3 6 6 4 53 7 8 5 8 93 9 12 9 6 15
1 4 5 9 70 2 4 6 60 0 0 5
Pivote
0
Columnas pivote0 0 0 0 0
Forma general:
0 0 0 0 0 0 0 0 0
(3)
yyyyxyyyyz
1.2 Reduccin por fi las y formas escalonadas 17
-
18 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal
Solucin
PASO 1
Empiece con la columna distinta de cero que se encuentra ms a la
izquierda. En
este caso es una columna pivote. La posicin pivote est en la
parte superior.
PASO 2
Seleccione como pivote una entrada distinta de cero en la
columna pivote. Si es
necesario, intercambie < las para mover esta entrada a la
posicin pivote.
Intercambie las < las 1 y 3. (Tambin podran haberse
intercambiado las < las 1 y 2.)
PASO 3
Use operaciones de reemplazo de < la para crear ceros en
todas las posiciones
ubicadas debajo del pivote.
Como paso preliminar, se podra dividir la < la superior entre
el pivote, 3. Pero con dos
nmeros 3 en la columna 1, esto es tan fcil como sumar la < la
1 multiplicada por 1 a la < la 2.
PASO 4
Cubra (o no tome en cuenta) la < la que contiene la posicin
pivote y cubra todas
las < las, si existe alguna, por encima de sta. Aplique los
pasos 1, 2 y 3 a la sub-
matriz restante. Repita el proceso hasta que no haya ms < las
distintas de cero por
modi< car.
Con la < la 1 cubierta, el paso 1 muestra que la columna 2 es
la siguiente columna pivote;
para el paso 2, en dicha columna se seleccionar como pivote la
entrada superior.
0 3 6 6 4 53 7 8 5 8 93
Columna pivote9 12 9 6 15
3Pivote9 12 9 6 15
3 7 8 5 8 90 3 6 6 4 5
3Pivote9 12 9 6 15
0 2 4 4 2 60 3 6 6 4 5
-
Para el paso 3, se podra insertar el paso opcional de dividir la
< la superior de la
submatriz entre el pivote 2. En vez de eso, se suma 3/2 veces la
< la superior a la < la de abajo. Esto produce
Cuando se cubre la < la que contiene la segunda posicin
pivote para el paso 4, queda una
nueva submatriz que tiene solamente una < la:
Se ha alcanzado una forma escalonada para la matriz completa sin
tener que aplicar los
pasos 1, 2 y 3 en esta submatriz. Si se quisiera obtener la
forma escalonada reducida,
tendra que efectuarse un paso ms.
PASO 5
Empiece con el pivote situado ms a la derecha trabajando hacia
arriba y a la iz-
quierda, cree ceros arriba de cada pivote. Si un pivote no es 1,
hgalo 1 mediante
una operacin de escalamiento.
El pivote situado ms a la derecha est en la < la 3. Se crean
ceros encima de l, sumando
mltiplos adecuados de la < la 3 a las < las 2 y 1.
El siguiente pivote est en la < la 2. Escale esta < la
dividindola entre el pivote.
Se crea un cero en la columna 2 sumando 9 veces la < la 2 a
la < la 1.
3 9 12 9 6 150 2
Pivote
4 4 2 60 3
Nueva columna pivote6 6 4 5
3 9 12 9 6 150 2 4 4 2 6
0 0 0 0 1 4
3 9 12 9 0 90 1 2 2 0 70 0 0 0 1 4
Fila escalada por 12
3 9 12 9 6 150 2 4 4 2 6
0 0 0 0 1Pivote4
3 9 12 9 0 90 2 4 4 0 140 0 0 0 1 4
Fila 1 + (6)Fila 3Fila 2 + (2)Fila 3
3 0 6 9 0 720 1 2 2 0 70 0 0 0 1 4
Fila 1 + (9)Fila 2
1.2 Reduccin por fi las y formas escalonadas 19
-
20 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal
Por ltimo, se escala la < la 1 al dividirla entre el pivote
3.
sta es la forma escalonada reducida de la matriz original.
yyyyxyyyyz
La combinacin de los pasos 1 a 4 se llama fase progresiva del
algoritmo de reduc-cin por < las. El paso 5, que produce la
forma escalonada reducida nica, se llama fase regresiva.
1 0 2 3 0 240 1 2 2 0 70 0 0 0 1 4
Fila escalada por 13
1 0 5 10 1 1 40 0 0 0
x1 5x3 = 1x2 + x3 = 4
0 = 0
Soluciones de sistemas lineales
El algoritmo de reduccin por < las conduce directamente a una
descripcin explcita del conjunto solucin de un sistema lineal
cuando se aplica, el algoritmo, a la matriz aumentada del
sistema.
Por ejemplo, suponga que la matriz aumentada de un sistema
lineal ha sido transfor-mada en la forma escalonada reducida
equivalente
Existen tres variables porque la matriz aumentada tiene cuatro
columnas. El sistema de ecuaciones asociado es
(4)
Las variables x1 y x2 correspondientes a columnas pivote de la
matriz se denominan variables bsicas.2 La otra variable, x3, se
llama variable libre.
Cuando un sistema es consistente, como en (4), el conjunto
solucin puede descri-birse de manera explcita al resolver el
sistema de ecuaciones reducido para las variables bsicas en trminos
de las variables libres. Esta operacin es posible debido a que
la
NOTA NUMRICA
En el paso 2 que se mostr con anterioridad, un programa de
computadora general-mente selecciona como pivote en una columna la
entrada que tenga el mayor valor absoluto. Esta estrategia, llamada
pivoteo parcial, se usa porque reduce los errores de redondeo en
los clculos.
2Algunos textos utilizan el trmino variables principales porque
corresponden a las columnas que contienen las entradas
principales.
-
forma escalonada reducida coloca cada variable bsica en una, y
slo una, ecuacin. En
(4), se puede despejar x1 de la primera ecuacin y x2 de la
segunda. (La tercera ecuacin
no se toma en cuenta porque no ofrece restricciones a las
variables.)
(5)
Al a< rmar que x3 es libre, se implica la posibilidad de
asignarle cualquier valor. Una
vez que se efecta esta asignacin, las frmulas de (5) determinan
los valores para x1 y
x2. Por ejemplo, cuando x3 = 0, la solucin es (1, 4, 0); cuando
x3 = 1, la solucin es (6, 3, 1). Cada asignacin diferente de x3
determina una solucin (diferente) del sistema, y
cada solucin del sistema est determinada por una asignacin de
x3.
La solucin de (5) se denomina solucin general del sistema porque
proporciona
una descripcin explcita de todas las soluciones.
EJEMPLO 4 Encuentre la solucin general del sistema lineal cuya
matriz aumentada
se ha reducido a
Solucin La matriz est en forma escalonada, pero se requiere la
forma escalonada re-
ducida antes de despejar las variables bsicas. A continuacin se
completa la reduccin
por < las. El smbolo ~ colocado antes de una matriz indica
que sta es equivalente por
< las a la matriz precedente.
Existen cinco variables puesto que la matriz aumentada tiene
seis columnas. Ahora el
sistema asociado es
(6)
Las columnas pivote de la matriz son 1, 3 y 5; as que las
variables bsicas son x1, x3 y
x5. Las variables restantes, x2 y x4, deben ser libres. Al
despejar las variables bsicas, se
1 6 2 5 2 40 0 2 8 1 30 0 0 0 1 7
1 6 2 5 2 40 0 2 8 1 30 0 0 0 1 7
1 6 2 5 0 100 0 2 8 0 100 0 0 0 1 7
1 6 2 5 0 100 0 1 4 0 50 0 0 0 1 7
1 6 0 3 0 00 0 1 4 0 50 0 0 0 1 7
x1 = 1 + 5x3x2 = 4 x3x3 es libre
x1 + 6x2 + 3x4 = 0x3 4x4 = 5
x5 = 7
1.2 Reduccin por fi las y formas escalonadas 21
-
22 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal
obtiene la solucin general:
(7)
Observe que el valor de x5 ya qued < jado por la tercera
ecuacin del sistema (6).
yyyyxyyyyz
Descripciones paramtricas de conjuntos solucin
Las descripciones en (5) y (7) son descripciones paramtricas de
conjuntos solucin
en los cuales las variables libres actan como parmetros. La
resolucin de un sistema
signi< ca encontrar una descripcin paramtrica del conjunto
solucin, o determinar que
el conjunto solucin est vaco.
Cuando un sistema es consistente y tiene variables libres, el
conjunto solucin per-
mite obtener muchas descripciones paramtricas. Por ejemplo, en
el sistema (4) se po-
dra sumar cinco veces la ecuacin 2 a la ecuacin 1 y obtener el
sistema equivalente
Podra tratarse a x2 como parmetro y despejar x1 y x3 en trminos
de x2, y se tendra
una descripcin precisa del conjunto solucin. Sin embargo, para
ser consistente, se es-
tablece la convencin (arbitraria) de usar siempre las variables
libres como parmetros
para describir un conjunto solucin. (La seccin de respuestas
incluida al < nal del texto
re? eja tambin esta convencin.)
Cuando un sistema es inconsistente, el conjunto solucin est
vaco, incluso si el
sistema tiene variables libres. En este caso, el conjunto
solucin no tiene representacin
paramtrica.
Sustitucin regresiva
Considere el sistema siguiente cuya matriz aumentada est en
forma escalonada pero no
en forma escalonada reducida:
Un programa de computadora resolvera este sistema por sustitucin
regresiva, en lugar
de calcular la forma escalonada reducida. Esto es, el programa
resolvera la ecuacin 3
para x4 en trminos de x5 y sustituira la expresin para x4 en la
ecuacin 2; resolvera
la ecuacin 2 para x2 y luego sustituira las expresiones para x2
y x4 en la ecuacin 1 y
despejara x1.
El formato matricial que se utiliza en este texto para aplicar
la fase regresiva de
reduccin por < las, la cual produce la forma escalonada
reducida, requiere el mismo
nmero de operaciones aritmticas que la sustitucin regresiva.
Pero la disciplina del
formato matricial reduce sustancialmente la posibilidad de
cometer errores durante los
x1 =6x2 3x4x2 es librex3 = 5 + 4x4x4 es librex5 = 7
x1 + 5x2 = 21x2 + x3 = 4
x1 7x2 + 2x3 5x4 + 8x5 = 10x2 3x3 + 3x4 + x5 = 5
x4 x5 = 4
-
3x2 6x3 + 6x4 + 4x5 = 53x1 7x2 + 8x3 5x4 + 8x5 = 93x1 9x2 + 12x3
9x4 + 6x5 = 15
clculos efectuados a mano. Se recomienda de manera enftica usar
solamente la forma
escalonada reducida para resolver un sistema. La Gua de estudio
(Study Guide) que
acompaa a este texto ofrece algunas sugerencias tiles para
realizar operaciones de < la
con exactitud y rapidez.
Preguntas de existencia y unicidad
Aunque una forma escalonada no reducida es una herramienta poco
e< ciente para re-
solver un sistema, est considerada como el mecanismo correcto
para resolver las dos
preguntas fundamentales enunciadas en la seccin 1.1.
EJEMPLO 5 Determine la existencia y unicidad de las soluciones
del sistema
Solucin La matriz aumentada de este sistema se redujo por <
las en el ejemplo 3 a
(8)
Las variables bsicas son x1, x2 y x5; las variables libres son
x3 y x4. No hay ninguna
ecuacin del tipo 0 = 1 que origine un sistema inconsistente, as
que podra usarse sus-
titucin regresiva para encontrar una solucin. Pero en (8) ya es
evidente la existencia
de una solucin. Adems, la solucin no es nica porque existen
variables libres. Cada
asignacin diferente de x3 y x4 determina una solucin distinta.
Por lo tanto, el siste-
ma tiene un nmero in< nito de soluciones. yyyyxyyyyz
NOTA NUMRICA
En general, la fase progresiva de la reduccin por < las es
mucho ms larga que la fase
regresiva. Para resolver un sistema, un algoritmo se mide
generalmente en $ ops (u
operaciones en punto ? otante). Un op es una operacin aritmtica
( , !, *, /) con
dos nmeros reales en punto ? otante.3 Para una matriz de n (n
1), la reduccin
a la forma escalonada puede requerir 2n3/3 n2/2 ! 7n/6 ? ops (lo
cual es aproxi-
madamente 2n3/3 ? ops cuando n es moderadamente grande por
ejemplo, n 30).
Por otro lado, la reduccin posterior a la forma escalonada
reducida necesita cuando
mucho n2 ? ops.
3Tradicionalmente, un $ op era slo una multiplicacin o una
divisin porque la suma y la resta requeran
mucho menos tiempo y podan no tomarse en cuenta. La de< nicin
de $ op que se da aqu es la preferida en
la actualidad, como consecuencia de los avances en la
arquitectura de computadoras. Vea Golub y Van Loan,
Matrix Computations, 2a. edicin (Baltimore: The Johns Hopkins
Press, 1989), pp. 19!20.
3 9 12 9 6 150 2 4 4 2 60 0 0 0 1 4
1.2 Reduccin por fi las y formas escalonadas 23
-
24 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal
Cuando un sistema est en forma escalonada y no contiene ninguna
ecuacin del tipo
0 = b, con b diferente de 0, toda ecuacin distinta de cero
contiene una variable bsica
con un coe< ciente diferente de cero. Las variables bsicas
estn completamente determi-
nadas (sin variables libres), o por lo menos una de las
variables bsicas puede expresarse
en trminos de una o ms variables libres. En el primer caso
existe una solucin nica; en
el ltimo, hay un nmero in< nito de soluciones (una para cada
asignacin de valores a
las variables libres).
Estas observaciones justi< can el teorema siguiente.
El procedimiento siguiente de< ne cmo encontrar y describir
todas las soluciones
de un sistema lineal.
P R O B L E M A S D E P R C T I C A
1. Encuentre la solucin general del sistema lineal cuya matriz
aumentada es
1 3 5 00 1 1 3
T E O R E M A 2 Teorema de existencia y unicidad
Un sistema lineal es consistente si, y slo si, la columna del
extremo derecho de
la matriz aumentada no es una columna pivote esto es, si, y slo
si, una forma
escalonada de la matriz aumentada no tiene ninguna < la de la
forma
[0 0 b] con b diferente de cero.
Si un sistema lineal es consistente, entonces el conjunto
solucin contiene (i) una
solucin nica, cuando no existen variables libres, o bien (ii) un
nmero in< nito
de soluciones, cuando existe por lo menos una variable
libre.
USO DE LA REDUCCIN POR FILAS PARA RESOLVER UN SISTEMA LINEAL
1. Escriba la matriz aumentada del sistema.
2. Utilice el algoritmo de reduccin por < las para obtener
una matriz aumentada
equivalente de forma escalonada. Decida si el sistema es o no
consistente. Si
no hay solucin, detngase; en caso contrario, contine con el
siguiente paso.
3. Contine la reduccin por < las hasta obtener la forma
escalonada reducida.
4. Escriba el sistema de ecuaciones que corresponda a la matriz
obtenida en el
paso 3.
5. Reescriba cada ecuacin diferente de cero del paso 4 de manera
que su nica
variable bsica est expresada en trminos de cualesquiera
variables libres que
aparezcan en la ecuacin.
-
2. Encuentre la solucin general del sistema
x1 2x2 x3 + 3x4 = 02x1 + 4x2 + 5x3 5x4 = 3
3x1 6x2 6x3 + 8x4 = 2
En los ejercicios 1 y 2, determine cules matrices estn en
forma
escalonada reducida y cules slo en forma escalonada.
6. Repita el ejercicio 5 para una matriz de 3 2 diferente de
cero.
Encuentre las soluciones generales de los sistemas cuyas
matrices
aumentadas se dan en los ejercicios 7 a 14.
1.2 EJERCICIOS
1. a.
1 0 0 00 1 0 00 0 1 1
b.
1 0 1 00 1 1 00 0 0 1
c.
1 0 0 00 1 1 00 0 0 00 0 0 1
d.
1 1 0 1 10 2 0 2 20 0 0 3 30 0 0 0 4
2. a.
1 1 0 10 0 1 10 0 0 0
b.
1 1 0 00 1 1 00 0 1 1
c.
1 0 0 01 1 0 00 1 1 00 0 1 1
d.
0 1 1 1 10 0 2 2 20 0 0 0 30 0 0 0 0
3.
1 2 3 44 5 6 76 7 8 9
4.
1 3 5 73 5 7 95 7 9 1
Reduzca por < las las matrices de los ejercicios 3 y 4 a la
forma
escalonada reducida. Encierre las posiciones pivote incluidas
en
la matriz < nal y en la matriz original, y enumere las
columnas
pivote.
15. a.
0 0 0 0
b.
0 0 0 0 0 0 0
5. Describa las formas escalonadas posibles de una matriz de
2 2 distinta de cero. Utilice los smbolos ( ), * y 0, como en la
primera parte del ejemplo 1.
En los ejercicios 15 y 16 se utiliza la notacin del ejemplo 1
para
matrices en forma escalonada. Suponga que cada matriz repre-
senta la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones
lineales.
En cada caso, determine si el sistema es consistente. De ser
as,
establezca si la solucin es nica.
7. 1 3 4 73 9 7 6 8.1 4 0 72 7 0 10
9. 0 1 6 51 2 7 6 10.1 2 1 33 6 2 2
11.
3 4 2 09 12 6 06 8 4 0
12.
1 7 0 6 50 0 1 2 3
1 7 4 2 7
13.
1 3 0 1 0 20 1 0 0 4 10 0 0 1 9 40 0 0 0 0 0
14.
1 2 5 6 0 50 1 6 3 0 20 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0
1.2 Reduccin por fi las y formas escalonadas 25
-
26 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal
En los ejercicios 17 y 18, determine el valor o los valores de
h
tales que la matriz sea la matriz aumentada de un sistema
lineal
consistente.
En los ejercicios 19 y 20, elija h y k de tal forma que el
sistema
a) no tenga solucin, b) tenga una solucin nica, y c) tenga
mu-
chas soluciones. D respuestas por separado para cada inciso.
En los ejercicios 21 y 22, seale cada enunciado como
verdadero
o falso. Justi< que cada respuesta.4
21. a. En algunos casos, una matriz se puede reducir por <
las a
ms de una matriz en forma escalonada reducida, usando
diferentes secuencias de operaciones de < la.
b. El algoritmo de reduccin por < las se aplica solamente
a
matrices aumentadas para un sistema lineal.
c. Una variable bsica de un sistema lineal es una variable
que corresponde a una columna pivote en la matriz de co-
e< cientes.
d. Encontrar una descripcin paramtrica del conjunto so-
lucin de un sistema lineal es lo mismo que resolver el
sistema.
e. Si una < la en la forma escalonada de una matriz
aumenta-
da es [0 0 0 5 0], entonces el sistema lineal asociado es
inconsistente.
22. a. La forma escalonada de una matriz es nica.
b. En una matriz, las posiciones pivote dependen de si se
usan o no intercambios de < la en el proceso de reduccin
por < las.
c. La reduccin de una matriz a forma escalonada se llama
fase progresiva del proceso de reduccin por < las.
d. Si un sistema tiene variables libres, el conjunto solucin
contiene muchas soluciones.
e. Una solucin general de un sistema es una descripcin ex-
plcita de todas las soluciones del sistema.
23. Suponga que una matriz de coe! cientes de 3 5 para un
sis-
tema tiene tres columnas pivote. Es consistente el sistema?
Por qu s o por qu no?
24. Suponga que un sistema de ecuaciones lineales tiene una
ma-
triz aumentada de 3 5 cuya quinta columna es una columna
pivote. Es consistente el sistema? Por qu s o por qu no?
25. Suponga que la matriz de coe< cientes de un sistema de
ecua-
ciones lineales tiene una posicin pivote en cada < la.
Expli-
que por qu este sistema es consistente.
26. Suponga que la matriz de coe< cientes de un sistema
lineal
de tres ecuaciones en tres variables tiene un pivote en cada
columna. Explique por qu tiene este sistema una solucin
nica.
27. Reestructure la ltima oracin del teorema 2 utilizando el
concepto de columnas pivote: Si un sistema lineal es consis-
tente, entonces la solucin es nica si, y slo si, __________
_____________.
28. Qu debera saberse acerca de las columnas pivote de una
matriz aumentada para advertir que el sistema lineal es con-
sistente y tiene una solucin nica?
29. Un sistema de ecuaciones lineales con menos ecuaciones
que
incgnitas ocasionalmente se denomina sistema subdeter-
minado. Suponga que un sistema as resulta ser consistente.
Explique por qu debera existir un nmero in< nito de solu-
ciones.
30. Proporcione el ejemplo de un sistema subdeterminado
incon-
sistente de dos ecuaciones en tres incgnitas.
31. Un sistema de ecuaciones lineales con ms ecuaciones que
incgnitas ocasionalmente se denomina sistema sobredeter-
minado. Puede ser consistente un sistema as? Ilustre su res-
puesta con un sistema espec< co de tres ecuaciones en dos
incgnitas.
32. Suponga que una matriz de n (n + 1) se reduce por < las a
la
forma escalonada reducida. Aproximadamente, qu fraccin
del nmero total de operaciones (? ops) est involucrada en
la fase regresiva de la reduccin cuando n = 30? Cundo
n = 300?
Suponga que un conjunto de puntos en el plano representa
datos
experimentales. Un polinomio de interpolacin para los datos
es
un polinomio cuya gr< ca pasa por todos los puntos. En el
trabajo
cient< co, se puede usar un polinomio as, por ejemplo, para
esti-
mar valores entre los puntos de datos conocidos. Otro uso es
crear
curvas para imgenes gr< cas en una pantalla de
computadora.
Un mtodo apropiado para encontrar un polinomio de interpola-
cin es resolver un sistema de ecuaciones lineales.4Preguntas del
tipo verdadero/falso como stas aparecern en muchas sec-
ciones. Los mtodos para justi< car sus respuestas se
describieron antes de
los ejercicios 23 y 24 de la seccin 1.1.
16. a.
0 0 0 0
b.
0 0 0 0 0
17. 2 3 h4 6 7 18.1 3 25 h 7
19. x1 + hx2 = 24x1 + 8x2 = k
20. x1 + 3x2 = 23x1 + hx2 = k
WEB
-
33. Encuentre el polinomio de interpolacin p(t) = a0 + a1t +
a2t2 para los datos (1, 12), (2, 15), (3, 16). Esto es,
encuentre
a0, a1 y a2 tales que
a0 + a1(1) + a2(1)2 = 12a0 + a1(2) + a2(2)2 = 15a0 + a1(3) +
a2(3)2 = 16
34. [M] En un experimento de tnel de viento, la fuerza sobre
un
proyectil debida a la resistencia del aire se midi a
diferentes
velocidades:
Velocidad (100 pies/seg) 0 2 4 6 8 10
Fuerza (100 lb) 0 2.90 14.8 39.6 74.3 119
Encuentre un polinomio de interpolacin para estos datos y
estime la fuerza sobre el proyectil cuando ste viaja a 750
pies/seg. Utilice p(t) = a0 + a1t + a2t2 + a3t
3 + a4t4 + a5t
5.
Qu pasara si se tratara de usar un polinomio con grado me-
nor que 5? (Por ejemplo, pruebe con un polinomio cbico.)5
5Los ejercicios marcados con el smbolo [M] estn diseados para
resol-
verse con ayuda de un Programa Matricial (un programa de
compu-
tadora, como MATLAB, Maple, Mathematica, MathCad o Derive, o
una
calculadora programable con capacidad para resolver matrices,
como las calcu-
ladoras que fabrican Texas Instruments y Hewlett-Packard).
S O L U C I O N E S A L O S P R O B L E M A S D E P R C T I C
A
1. La forma escalonada reducida de la matriz aumentada y el
sistema correspondiente
son
Las variables bsicas son x1 y x2, y la solucin general es
Nota: Resulta esencial que la solucin general describa cada
variable, con cualquier
parmetro claramente identi< cado. El siguiente enunciado no
describe la solucin:
Esta descripcin implica que tanto x2 como x3 son libres, lo cual
desde luego no es el
caso.
2. Al reducir por < las la matriz aumentada del sistema se
obtiene:
1 0 2 90 1 1 3 y
x1 2x3 = 9x2 + x3 = 3
La solucin general al sistema de
ecuaciones es la lnea de intersec-
cin de los dos planos.
x1 = 9 + 2x3x2 = 3 x3x3 es libre
x1 = 9 + 2x3x2 = 3 x3x3 = 3 x2 Solucin incorrecta
1 2 1 3 02 4 5 5 33 6 6 8 2
1 2 1 3 00 0 3 1 30 0 3 1 2
1 2 1 3 00 0 3 1 30 0 0 0 5
1.2 Reduccin por fi las y formas escalonadas 27