1 MATEMATIKA LANJUT D E R E T AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA 4.2. DERET PANGKAT Deret pangkat dari (x-m) merupakan deret tak hingga yang bentuk umumnya adalah : ( 4-1 ) C 1 , C 2 ,... = konstanta disebut koefisien deret m = konstanta disebut titik pusat (center) deret z = Variabel i = Bilangan integer positip Bila m = 0, terbentuk deret pangkat khusus (particular) dari z ( 4-2 ) i 2 i 0 1 2 i 0 C (z m) C C (z m) C (z m) ..... ∞ = − = + − + − + ∑ i 2 2 i 0 1 2 3 i 0 Cz C Cz Cz Cz ....... ∞ = = + + + + ∑
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
4.2. DERET PANGKATDeret pangkat dari (x-m) merupakan deret tak hingga yang bentuk umumnya adalah :
( 4-1 )
C1, C2,... = konstanta disebut koefisien deretm = konstanta disebut titik pusat
(center) deretz = Variabeli = Bilangan integer positip
Bila m = 0, terbentuk deret pangkat khusus (particular) dari z
( 4-2 )
i 2i 0 1 2
i 0C (z m) C C (z m) C (z m) .....
∞
=
− = + − + − +∑
i 2 2i 0 1 2 3
i 0C z C C z C z C z .......
∞
=
= + + + +∑
2
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
4.2.1. Konvergensi DeretTeorema 1Jika deret pangkat ( pers 4-1) konvergen pada titik z = a, maka deret itu akan konvergen untuk setiap z bila :
Ini menunujukkan bahwa setiap z berada di dalam lingkaran yang melewati zo di sekitar a.
Misal deret pangkat ( pers 4-1) konvergen untuk zo, berlaku :
Bila diimplemantasikan untuk z =zo, maka deret jadi dibatasi, misal :
Sehingga dapat dibentukn n
n nn n 0
0 0
z-a z-aC (z-a) = C (z -a) < Mz -a z -a
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Cn(zo – a)n → 0 untuk n → ∞
|Cn(zo – a)n |< M untuk setiap n = 0,1, 2.....
|z-a| < |zo–a|
3
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Karena itu :
( 4-3 )
Jika diasumsikan |z-a| < |zo – a|, maka dapat dibentuk pertidaksamaan (inequality) :
Dengan pertidaksamaan di atas terbukti bahwa deret (pers. 4-1 ) akan konvergen jika :
Ruas kanan pers (4-3) adalah deret geometris yang konvergen.Ruas kiri pers. (4-3) juga merupakan deret yang konvergen.
n nn
nn = 0 n = 0 n = 00 0
z - a z - aC ( z - a ) = M = Mz - a z - a
∞ ∞ ∞
∑ ∑ ∑
0
z - a < 1z - a
|z-a| < |zo–a|
4
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Dari teorema 1: Untuk seluruh z di dalam lingkaran, dengan radius R dan pusat a, berlaku :
Deret akan konvergen bila( 4-4 )
Deret akan divergen bila
Disebut Lingkaran Konvergensi bila
R disebut Radius Konvergensi
A. B.Gbr. 4.1. Lingkaran dan interval konvergensi
| z-a | < R
aR
x
y
| z-a | > R
| z-a | = R
a-R a+R x
5
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Teorema 2 (Radius Konvergensi)Bila terdapat urutan (squence)
, n= 1, 2, .......
Akan kovergence dengan limit L dan radius R pun akan konvergen pula, jika :
( 4-5a )
Termasuk di dalamnya L = 0 ketika R = ∞
Bila sequencenya tidak konvergen tapi nilainya terbatas, berlaku rumus Cauchy - Hadamard
( 4-5b )
adalah titik limit terbesar dari sequence.
Bila sequence tak terbatas, maka R = 0 dan deret hanya akan konvergen pada z = a.
nnc
1RL
=
1R =
6
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Teorema 3 (Produk Cauchy dari Deret Pangkat)Produk Cauchy (Cauchy Product) dari 2 buah deret pangkat merupakan konvergensi mutlak setiap z di dalam lingkaran konvergen dari masing-masing deret konvergen. Bila jumlah masing-masing deret tersebut g(z) dan h(z), maka Produk Cauchy berjumlah :
( 4-6 )
Contoh Soal :1. Konvergensi pada sebuah pringan. Deret
geometri
Konvergen mutlak ketika |z| < 1 dan divergen ketika |z| > 1.
2. Konvergensi pada seluruh bidang terbatas.Deret Pangkat
m 2 3
mz 1 z z z ...........
∞
= + + +∑
s(z) = g(z)h(z)
n 2 3
n
z z z1 z ...........n! 2! 3!
∞
= + + +∑
7
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Persamaan tersebut akan konvergen mutlak untuk setiap bidang (terbatas) z ,
3. Konvergen hanya pada titik pusat
konvergen hanya pada titik z = 0, tetapi divergen untuk setiap z ≠ 0, karena :
z ≠ 0 (fixed)
4. Produk CauchyDeret geometris 1 + z + z2 + z3 + ..... berjumlah 1/(1-z) ketika |z| < 1
= 1 + 2z + 3z2 + ...=
( )n 1
nn
zzn 1 !
= 0 ; nn+1z
n !
+
∞ +→ → ∞∑
( )( )2
k m 2 2
k 0 m 0
1 z z 1 z z .... 1 z z ....1 z
∞ ∞
= =
⎛ ⎞ = = + + + +⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ ∑
n 1
nm
(n 1)! . z (n 1) z ; nn ! . z
+∞ += + → ∞ → ∞∑
n 2 3
n
n !.z 1 z 2z 6z ...........∞
= + + + +∑
( ) n
n 0
n 1 .z ; ( z 1)∞
=
+ <∑
8
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
4.2.2 REPRESENTASI FUNGSI DENGAN DERET PANGKAT
Misalkan adalah deret pangkat tak tentu dengan radius R ≠ 0, konvergen.Jumlah fungsi ini merupakan fungsi z ; f(z)
( 4-7 )
Teorema 1 (Kontinyuitas)Fungsi f(z) dengan R > 0 akan kontinyu pada z = 0
( 4-8 )
Teorema 2 (Teorema identitas deret pangkat)Misalkan terdapat 2 buah deret :
dan
nn
n 0
c z∞
=∑
nn
n 0a . z
∞
→∑
n 2 3n 0 1 2 3
n 0f(z) c .z c c c z c z ...... ( z R)
∞
=
= = + + + + <∑
0z 0lim f(z) = f(0) = c
→
nn
n 0
b . z∞
→∑
9
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Disebut sebagai deret pengembangan dari deret pangkat tersedia.
Teorema 3 (Differensiasi)Deret pengembangan dari deret pangkat memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret asli (original) nya.
n 1 2n 1 2 3
nn.c . z c + 2 c z + 3 c z +......
∞− =∑
10
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Teorema 4 (Integrasi)Misalkan sebuah deret pangkat
Deret pangkat tersebut dibentuk oleh penginte-grasian deret c + c1z + c2z2 + .... tahap demi tahap, memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret originaknya.
Teorema 5 (Fungsi Analitis. Penurunan)Deret pangkat dengan radius konvergensi R ≠ 0 merepresentasikan fungsi analitis pada setiap titik di dalamnya hingga membentuk lingkaran konvergensi. Penurunan fungsi ini akan diben-tuk oleh diferensiasi deret original tahap demi tahap ; Seluruh deret yang dibentuk memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret originalnya.
( 4-12a )n n
n 1n
b a na (b a)Ab a
−−− = −
−
n 1 2 3n 1 20
n 0
c c c.z c z z z
n 1 2 3
∞+
=
= + + ++∑
11
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
dan
( 4-12b )
( 4-13 )
n-1 = koefisien terbesar 1, 2, 3 ..., n-1.n = jumlah tahapan (term).Deret dalam pers. (4-13) berhubungan erat dengan penurunan kedua deret yang memper-hitungkan titik pada R0.
Penurunan ke m fungsi f(m)(z) direpresentasi-kan oleh :
( 4-14 )
n - 2 n - 3 n - 4 n - 2n 2A = b + 2 ab + 3 a b +.....+ (n-1) a
(m) n mn
n mf (z) n( n-1 ) .....( n - m + 1 ) c z
∞−
=
= ∑
( ) n - 2n 0
n 2
z c n n-1 R∞
=
∆ ∑
12
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
4.2.3. SOLUSI PD DENGAN DERET PANGKATMenyelesaikan PD dengan mencari harga-harga koefisien yang tak diketahui setelah fungsi PD berubah bentuk menjadi deret pangkat.
Langkah-langkah peneyelesaian PD :
1. Representasikan fungsi persamaan dalam bentuk deret pangkat x atau (x-m).
2. Diferensialkan (tingkat pertama) fungsi y di atas, sehingga berbentuk :
3. Diferensilkan kembali (tingkat kedua dst) fungsi y tersebut.
4. Samakan dengan nol (Nolkan) semua koefi-sien yang tak diketahui setelah dalam bentuk deret pangkat. Selesaikan PD.
2 3 m0 1 2 3 m
m 0y c c x c x c x ...... c x
∞
=
= + + + + = ∑
2 m 11 2 3 m
m 0y' c 2c x 3c x ...... mc x
∞−
=
= + + + = ∑
m 22 3 m
m 0y'' 2c 6c x ...... m(m 1)c x
∞−
=
= + + = −∑
13
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Contoh Soal dan Penyelesaian1. Carilah solusi dari PD berikut ini :
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
c1 - 2c0=0 ; 2c2 – c1 – c0=0 ………dst
mcm+ + (m+1)cm+1 – cm-1xm - 2cm = 0 ( 4-15 )
c1 = 2c0 ; ( 4-16a )
( 4-16b )
m = konstanta integer = 1,2……………
[ ]m 1 0 m 1 m1c c x c (2 m)c
m 1+ += + + −+
17
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Rumus (4-16b) disebut Rumus Rekursi.Dengan rumus ini dapat dihitung c2, c3, …dst., dapat pula menggunakan tabel di bawah ini :
m Cm-1 (2-m)CmJumlah S+1
Cm+1 sebagai fungsi C0
1 C0 C1C0+C1 2
C1= 2 C0
2 C1 0 C1 3
3 C2 -C3C2-C3 4
… …. ………… ………… …… ………… …………
S 1JumlahC
S 1+ =+
0 1C C2 2
+2 0
3C C2
=
1C3 3 0
2C C3
=
4 05C C
24=32 CC
4 4−
18
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Solusi umum, lihat persamaan umum soal no. 1dan tabel rekursi
atauy= c0 ( 1 + x ) ex
SOAL-SOAL LATIHAN (DERET PANGKAT)Carilah solusi PD di bawah ini dengan pendekatan deret pangkat 1. y’ = 3y 6. ( 1-x2 ) y’= y2. y’ + 2y = 0 7. y”- y = 03. y’ – 2xy = 0 8. y”- y’ = 04. y’ – xy = 0 9. y”+ 9y = 05. (1-x)y’=y 10. y”+ 2y’= 0
2 3 40
3 2 5y c (1 2x x x x ....)2 3 2
= + + + + +
19
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
4.3. DERET TAYLOR4.3.1 Konsep Dasar
Bila f(z) berada di dalam domain D dan z = a pada setiap titik di dalam lingkatran C, dan sebuah lingkaran denan pusat a, maka menurut Cauchy:
(4.3-1)
Z = sembarang titik di dalam lingkaran CZ* = variabel kompleksintegrasi
c
1 f (z*)f (z) d(z)2 i z* z
=π −∫
zz*
a C
x
y
•
20
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Jika pada pers.(4.3-1) dikembangkan 1/(z*-z) sebagai fungsi z-a, maka didapatkan :
(4.3-2)
Selanjutnya diasumasikan z* pada lignkaran dan z di dalam lingkaran C.
Sehingga (4.3-3)
Dari persamaan deret geometris
; q ≠ 1
Sehingga dapat dibuat hubungan n 1
n1 q1 q ...... q1 q 1 q
+
= + + + +− −
n 12 n 1 q1 q q ..... q
1 q
+−+ + + + =
−
( )
1 1 1z az* z z* a (z a) z* a 1z* a
= =−− − − − ⎛ ⎞− −⎜ ⎟−⎝ ⎠
z a 1z * a
−<
−
21
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Jika didefinisikan q =(z-a)/(z*-a), maka :
Substitusikan ke dalam pers.(4.3-1) dan keluarkan (z-a) dari tanda integral, sehingga :
(4.3-4)Bagian akhir dari funsi di atas adalah :
(4.3-5)
( )( )
( )
2C C
n
nn 1C
1 f (z*) z a f (z*)f (z) dz * dz * ....2 i z * a 2 i z * a
z a f (z*) dz * R (z)2 i z * a +
−= + +
π − π −
−+ +
π −
∫ ∫
∫
( ) ( )
n 1
n n 1C
(z a) f (z*)R (z) dz*2 i z a z* z
+
+−
=π − −
∫
[ ]
[ ]( )
2 n
n 1
11 (z a) /(z * a)
z a z a z a1 ..... z * a z * a z * a
(z a) /(z * a)
z * z /(z * a)
+
=− − −
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− −− −
22
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Dengan penurunan dan analitis, maka fungsi di atas berkembang menjadi :
( 4.3-6)
Persamaan (4.3-6) adalah rumus Taylor atau Deret Taylor dengan pusat a.
Bentuk umum Deret Taylor adalah sebagai berikut :
( 4.3-7)
Bila a = 0, maka deret (pers. 4.3-7) disebut dengan Deret Maclaurin.
( )(m)
m
m 0
f (a)f(z) z am!
∞
=
= −∑
( )
( )
2
n(n)
z az af (z) f (a) f '(a) f ''(a) ........1! 2!
z a f (a)
n!
−−= + + +
−+
23
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Dari persamaan-persamaan di atas diketahui bahwa pada Deret Taylor fungsi f(z) dapat di-turunkan berdasarkan variabel bebasnya sampai pada tingkat tak hingga.
Teorema Taylor1. Bila f(z) terletak di dalam domain D dan
z=a adalah sembarang titik di dalam domain D tersebut, maka f(z) sebenarnya merupaka bentuk deret pangkat.
2. Setiap deret pangkat dengan radius konvergen tidak nol (Rc = 0), maka
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
b. Fungsi Eksponensial
(4.3-9)
c. Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik
(4.3-10)
(4.3-11)
2n 2 4
n = 0
z z zcosh z = 1 + + + ......(2n)! 2! 4!
∞
= ∑
2n+1 3 5n
n = 0
z z zsin z (-1) = z - + - + ......(2n+1)! 3! 5!
∞
= ∑
n 2z
n=0
z ze 1 z .......n! 2!
∞
= = + + +∑
2n 2 4n
n 0
z z zcos z (1) 1 .......(2n)! 2! 4!
∞
=
= = − + − +∑
2n + 1 3 5
n=0
z z zsinh z = z + + + ......( 2n + 1 ) ! 3! 5!
∞
= ∑
25
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
d. Fungsi Logaritmik
(4.3-12)
(4.3-13)
(4.3-14)
Untuk seluruh persamaan di atas |z|< 1
2 3 nz z zln(1 z) z .... + 2 3 n
+ = − + − +
2 3 n1 z z zln(1 z) ln = z ......1 z 2 3 n
− − = + + + +−
3 5 n(1 z) z z zln 2 z ..... (1 z) 3 5 n
⎛ ⎞+= + + + +⎜ ⎟
− ⎝ ⎠
26
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
Contoh Soal dan Penyelesaian
1. f(x) = ex , uraikan menurut deret Maclaurin pada titik x=0Jawab :
f(x) = ex f(0) = 1f’(x) = ex f’(0) = 1f’’(x) = ex f’’(0) = 1
2. f(x) = sin x, uraikan dengan deret Taylor pada x = (π/4) !Jawab :f(x) = sin x f(π/4) = ½ √2f’(x) = cos x f’(π/4) = ½ √2f’’(x) = -sin x f’’(π/4) = -½ √2f’’’(x) = sin x f’’’(π/4) = -½ √2
x f '(0) f ''(0)e = f(0) + x + .....1! 2!
+
2 3x x xe = 1 + x + + + .............
2! 3!
27
MATEMATIKA LANJUT D E R E T
AGUS.R.UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO - UNIVERSITAS INDONESIA - JAKARTA
sin x = f(x - π/4)
SOAL-SOAL LATIHAN ( DERET TAYLOR )Uraikan dengan deret Taylor atu Maclaurin1. cos 2x , a = 1 7. ex , a=12. sin x2 , a = 0 8. ex , a=03. cos x , a = - π/4 9. 1/(a-x) , a=14. sin x , a = π/2 10. 1/(a-x) , a = ½5. cos2 x , a = 0 11. 1/z , a = - 16. sin2 x , a = 0 12. ex , a= π