BAGIAN 1 KONSEP DASAR TEORI BARIS DAN DERET SERTA PENGGUNAANNYA DALAM BISNIS DAN EKONOMIDiskripsi Mata Kuliah Memberikan gambaran dan dasar-dasar pengertian serta pola pikir yang logis sehubungan dengan barisan dan deret bilangan yang tersusun secara teratur dengan perubahan-perubahannya yang tertentu. Selanjutnya memberikan tuntunan dalam menggunakan rumus-rumus yang telah diperoleh untuk menghitung nilai-nilai yang ingin diketahui dari baris dan deret yang ada, seperti menghitung kesamaan suatu nilai dari dua beris atau deret yang diketahui, mencari perubahan dari suatu baris atau suatu deret. Tutjuan Khusus Menerapkan pengetahuan tentang baris dan deret tersebut dalam menghitung perasalahan-perasalahan bisnis dan ekonomi di antaranya masalah perkembangan usaha sejauh mana pertumbuhannya yang konstan dari waktu ke waktu, masalah nilai uang dalam hal pinjam-meminjam, investasi jangkan panjang yang dihubungkan dengan tingkat suku bunga yang diasumsikan tetap dari waktu ke waktu, dan menghitung pertumbuhan penduduk di suatu daerah serta jumlah penduduknya pada suatu waktu tertentu.
A. TEORI BARIS DAN DERET 1. Pengertian Baris Baris yang dimaksud adalah bilangan yang tersusun secara teratur dengan suatu pola perubahan tertentu dari satu suku ke suku berikutnya. Penggolongan baris dapat didasarkan pada : Jumlah suku yang membentuknya, dibedakan menjadi : 1. Baris berhingga 2. Baris tak berhingga Pola perubahannya, sehingga dibedakan menjadi 1. Baris Hitung 2. Baris Ukur 3. Baris Harmoni 2. Baris Hitung Baris hitung yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari selisih antara sutu suku ke suku sebelumnya. Contoh : 2, 4, 6, 8, 10, 12 ......................Sn S1 (suku pertama) = 2 S1 = a = 2 S2 (suku kedua) = 4 S2 = a + b = 2 + 2 = 4 S3 (suku ketiga) = 6 S3 = a + 2b = 2 + (2)2 = 6 S4 (suku keempat) = 8 S4 = a + 3b = 2 + (3)2 = 8 Sn (suku ke n) Maka untuk suku ke n di peroleh rumus : Sn = a + ( n 1 ) b. Dimana a = suku pertama, b = pembeda dan n = suku ke n
Contoh soal : Diberikan suku ke tiga dan suku ke tujuh masing-masing sebesar 150 dan 170. Carilah suku ke sepuluhnya dari baris hitung tersebut. 1
S3 = a + ( n 1 ) b = 150 = a + 2b S7 = a + (n 1 ) b = 170 = a + 6b - 20 = - 4b b = -20 / -4 = 5 150 = a + 2b 150 = a + 2.5 150 = a + 10 a = 150 10 a = 140 S10 = a + (n 1) b = 140 + (10 -1) 5 140 + 45 = 185 3. Deret Hitung Deret hitung yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan dimana suku pertamannya sama dengan suku pertama baris hitungnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris hitungnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris hitungnya, dan seterusnya. Contoh : (dari contoh baris hitung di atas) Baris hitung : 2, 4, 6, 8, 10, 12 ..... Maka Deret hitung : 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... D1 = 2, D2 = 2 + 4 = 6, D3 = 2 + 4 + 6 = 12 D4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 Dst dimana Dn = n/2 ( a + Sn ) atau Dn = n/2 { 2a + ( n 1 ) b} Contoh Soal : Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama yang bernilai 140. Beda antar suku 5. Hitunglah suku ke-10nya ? Berapakah Jumlah lima suku pertamanya ?. a = 140, b = 5 S10 = 140 + ( 10 1 ) 5 = 140 + 45 = 185 D5 = 5/2 ( 2.140 + ( 5 1 ) 5 ) = 5/2 ( 280 + 20 ) = 5/2 ( 300 ) = 750 4. Baris Ukur Baris ukur yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari perbandingan antara satu suku sengan suku sebelumnya Contoh : 2, 6, 18, 54, 162, ...... Sn S1 (suku pertama) = 2 S2 (suku kedua) = 6 S3 (suku ketiga) = 18 S4 (suku keempat) = 54 S5 (suku kelima) = 162 Sn (suku ke n) = dst. Pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya dilambangkan dengan r (rasio) dan perbesarannya adalah perbandingan atara dua suku yang berurutan dengan suku berikutnya, sehingga r = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54. maka r = 3. S1 (suku pertama) = a = 2 S2 (suku kedua) = ar = 2.3 = 6 S3 (suku ketiga) = ar2 = 2.32 = 2.9 = 18 S4 (suku keempat) = ar3 = 2.33 = 2.27 = 54 S5 (suku kelima) = ar4 = 2.34 = 2.8 = 162 Sn (suku ke n) Untuk menentukan suku ke n diperoleh rumus Sn = ar n-1
2
5. Deret Ukur Deret Ukur yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan di mana suku pertamanya sama dengan suku pertama baris ukurnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris ukurnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris ukurnya, dan seterusnya. Contoh : (dari contoh baris ukur di atas) Baris Ukur : 2, 6, 18, 54, 162, ....... maka Deret Ukur : 2, 8, 26, 80, 242, ..... D1 = 2 D2 = 2 + 6 = 8 D3 = 2 + 6 + 18 = 26 Dst. Dn dapat dirumuskan :
Dn
a 1 rn ,r 1 1 r
atau
Dn
a rn 1 ,r 1 1 r
Contoh Soal : Sebuah baris ukur mempunyai suku pertama yang bernilai 20. Ratio antar sukunya 2. Hitunglah suku ke-6nya ! Berapa jumlah lima suku pertamanya. a = 20, r = 2 S6 = arn-1 = 20. 26-1 = 20. 25 = 20. 32 = 640 20 2 6 1 20.63 = = 1260 D6 2 1 1 B. PENERAPAN TEORI BARIS DAN DERET DALAM EKONOMI 1. Perkembangan Usaha Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertubuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung. Contoh Soal 1. Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ? Jawab : Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12. S12 = a + (n 1) b = 5.000 + (12 1) 300 = 5.000 + (11) 300 = 5.000 + 3.300 = 8.300 Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik. Jumlah keraik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama. D12 = n/2 (a + s12) = 12/2 (5.000 + 8.300) = 6 (13.300) = 79.800 2. Teori Nilai Uang (bunga Majemuk) Perluasan deret ukur digunakan dalam masalah bunga berbunga, masalah pinjam meminjam serta masalah investasi yang dihubungkan dengan tingkat suku bunga dalam jangka waktu tertentu yang besarnya diasumsikan tetap dari waktu ke waktu. Misalkan suatu modal sebesar P 0 akan dibungakan per-satu tahun selama jangka waktu n tahun. Tingkat suku bunga yang berlaku yang berlaku adalah r % per-tahun, diasumsikan tetap dari tahun ke tahun selama n tahun. Sehingga menghitung modal awal tahun ke-n yang diperoleh melalui pembungaan setiap satu tahun dapat dirumuskan Pn = po ( 1 + r )n , atau Pn = po ( 1 + r /m)n.m Pn = Modal pada tahun ke-n (di masa yang akan datang) Po = Modal saat sekarang, saat t = 0 r = Tingkat suku bungan per-tahun 3
n = tahun ke m = periode per-tahun Contoh Soal : Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10 juta dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya setahun sekali dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan sebesar 11% per-tahun. Bantulah nasabah itu untuk menghitung berapa jumlah uang yang akan diterima pada akhir tahun ke-5 ? Pn = P0 ( 1 + r )n = 10.000.000 ( 1 + 0,11 )5 = 10.000.000 ( 1,11 ) 5 = 10.000.000 (1,685058155) = 16.850.581,55 3. Pertumbuhan Penduduk Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal perhitungan pertumbuhan penduduk, sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Yang drumuskan : Pn = P0.( 1 + i )n Di mana Pn = populasi penduduk pada tahun basis (tahun ke-1) P0 = populasi penduduk pada tahun ke- n i = persentase pertumbuhan penduduk per tahun & n = jumlah tahun Contoh soal : Penduduk suatu kota berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 1995, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2005. Periode waktu : 2005 -1995 = 10 tahun Pn = P0.( 1 + i )n = 100.000 ( 1 + 0,04 )10 = 100.000 ( 1,04 )10 = 100.000 ( 1,48024) = 148.024 Latihan Soal 1. Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama bernilai 210. Beda antar suku 15. Hitunglah suku ke 10 nya ! Berapakah jumlah lima suku pertammanya ? 2. Jika diketahui suku kedua besarnya 275 dan suku keenam besarnya 375. Berapa suku pertama baris hitung tersebut ? Berapakah nilai suku kesepuluhnya ? Berapa jumlah sepuluh suku pertamanya. 3. Pabrik rokok Kurang Garam menghasilkan sejuta bungkus rokok pada tahun pertama berdirinya, dan 1,6 juta bungkus pada tahun ketujuh. a) Andaikata perkembangan produksinya konstan, berapa tambahan produksinya per tahun ? b) Berapa produksinya pada tahun kesebelas ? c) Pada tahun ke berapa produksinya 2,5 juta bungkus rokok ? d) Berapa bungkus rokok yang telah ia hasilkan sampai dengan tahun ke 16 ?. 4. Pabrik kecap Nambewan memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya. Karena persaingan keras dari kecap-kecap merek lain, produksinya terus menurus secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol. a) Berapa botol penurunan produksinya per tahun ? b) Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup) c) Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya ?. 5. Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10 juta dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan sebesar 11% per-tahun Berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir tahun kelima jika didepositokan dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali ? dan Berapa jumlah uang yang diterimanya jika didepositokan dengan pembungaan tiap tiga bulan. 6. Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 2008, diperkirakan menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya ? Berapa Jumlah penduduknya pada tahun 2015 ? Jawaban latihan soal. 5. Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali Pn = P0 (1 + r/m)n.m = 10.000.000 (1 + 0,11/2)5.2 = 10.000.000 (1 + 0,055)10 = 10.000.000 (1,708144) 4
= 17.081.444,58 Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali menjadi Rp. 17.081.444,58. Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali Pn = P0 (1 + r/m)n.m = 10.000.000 (1 + 0,11/4)5.4 = 10.000.000 (1 + 0,0275)20 = 10.000.000 (1,720428431) = 17.204.284,31 Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali menjadi Rp. 17.204.284,3. 6. Jawab persentase pertumbuhan penduduk : Pn = P0 (1 + i)n 4,5 = 3,25 (1 + i)2013-2008 4,5 = 3,25 (1 + i)5 4,5/3,25 = (1 + i)5 1,3846 = (1 + i)5 1,38461/5 = 1 + i i = 1,38461/5 - 1 i = 0,0673 i = 6,73 % Jadi persentase pertumbuhan penduduknya 6,73 % Jumlah penduduk pada tahun 2015. P2015 = P2008 (1 + i)2015-2008 = 3,25 (1 + 6,73%)7 = 3,25 (1,577632) = 5,13 Jadi jumlah penduduk kota metropolitan pada tahun 205 sebanyak 5,13 juta. Daftar Pustaka :
5
BAGIAN 2 KONSEP DASAR TEORI FUNGSI, TEORI FUNGSI LINIER DAN PENERAPANNYA DALAM BISNIS DAN EKONOMI
2.1 PENDAHUKUAN : 2.1.1. Diskripsi Mata Kuliah Memperkenalkan unsur-unsur fungsi ialah variabel bebas dan variabel terikat, koefisien, dan konstanta, yang saling berkaitan satu sama lain dala hubungan yang dapat dijelaskan secara ateatis yaitu hubungan yang linier. Fungsi-fungsi yang bersifat linier tersebut dapat saling berhimpit, sejajar atau bahkan berpotongan. Untuk mencari perpotongan dua fungsi yang linier digunakan metode eliminasi, substitusi atau dengan cara determinan. 2.1.2.Tujuan Khusus 1. Menggabarkan bagaimana fungsi linier dapat dipergunakan untuk mencerminkan perilaku baik perilaku konsumen maupun perilaku produsen. Perilaku konsumen dicerminkan melalui fungsi permintaan, sedangkan perilaku produsen dicerminkan dengan fungsi penawaran. Pertemuan antara keduanya merupakan titik keseimbangan pasar. Keseimbangan pasar ini dapat bergeser sejajar akibat adanya capur tangan pemerintah dalam bentuk pajak maupun subsidi 2. Menggambarkan bagaimana fungsi linier dapat dipergunakan untuk mmenghitung berapa produk yang sebaiknya diproduksi dan dijual oleh perusahaan agar perusahaan dapat menutup biaya-biaya tetapnya, menutup totol biaya, bahkan agar perusahaan dapat memperoleh keuntungan. Disebut Analisis Break-Even Analusis. 3. Menggambarkan bagaimana fungsi linier dapat membantu menghitung berapa pendapatan nasional yang harus diperoleh suatu negara agar tidak mengalami defisit akibat konsumsi yang lebih besar dari pada pendapatan. Lebih jauh lagi berapa pendapatan minimum agar dapat menabung. 4. Menggambarkan pendapatan nasional dapat menghitung melalui pendekatan pengeluaran yang linier. 2.2. PENYAJIAN 2 .2.1. Uraian Materi A. TEORI FUNGSI DAN TEORI FUNGSI LINIER 1. Pengertian Fungsi Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel, Koevisien dan konstanta. Yang dimaksud dengan variabel ialah unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Dalam suatu fungsi, Penggolongan variabel dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat dimana variabel bebas yaitu variabel yang menerangkan variabel lain, sedangkan variabel terikat yaitu variabel yang diterangkan oleh variabel lain. Yang dimaksud dengan koefisien ialah bilangan atau angka yang diletakkan tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan. Konstanta sifatnya tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel apa pun. secara umum jika dikatakan bahwa y adalah fungsi dari x maka ditulis y = f(x), dimana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat. Contoh : 1. 3y = 4x 8, y adalah variabel terikat x adalah variabel bebas 3 adalah koefisien ( terletak didepan variabel y) 4 adalah koefisien ( terletak didepan variabel x) -8 adalah konstanta 2. y = x y adalah variabel terikat x adalah variabel bebas 6
Jika x adalah fungsi dari y maka ditulis x = f(y), dimana y adalah variabel bebas dan x adalah variabel terikat. Contoh : 1. x = y-2 y adalah variabel bebas x adalah variabel terikat -2 adalah konstanta 2. x = -2 x adalah variabel terikat -2 adalah konstanta 2. Jenis-jenis Fungsi Fungsi Irrasional : Fungsi yang memiliki Bentuk umum Y = n a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + ......+ anxn, n bilangan bulat positif contoh :Y = (1+2x1 - 3x2 + 4x3 +...........+ 12x11)1/11 Fungsi Polinom : Fungsi yang memiliki banyak suku Bentuk umum : Y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + ........+ anxn;bilangan bulat positif Contoh: Y = 1 + 2x1 - 3x2 + 4x3 +..........-12x11; n = 11 Fungsi Linier : Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah satu. Bentuk umum Y = a0 + a1x1 Contoh: Y = 1 + 2x1 Fungsi Kuadrat :Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah dua. Bentuk umum :Y = a0 + a1x1 + a2x2 Contoh : Y = 1 - 2x1 - 3x2 Fungsi Kubik :Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah tiga. Bentuk umum :Y = a0 + a1x1 +a2x2 + a3x3 Contoh : Y = 1 + 2x1 3x2 + 4x3 Fungsi Bikuadrat:Fungsi polinom yang fariabel bebasnya memiliki pangkat paling tinngi adalah empat. Bentuk umum :Y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a3x4 Contoh :Y = 1 + 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 Fungsi Pangkat :Fungsi yang variabel bebasnya berpangkat suatu bilangan riil positif Bentuk umum : Y = xn , n bilangan riil positif Contoh :Y = x2 Fungsi Eksponen : Fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat suatu konstanta. Bentuk umum :Y = nx Contoh :Y = 2x Fungsi logaritma : Fungsi yang merupakan invers fungsi eksponen Bentuk umum Y = n log x Contoh :Y = 4 log x Fungsi Hiperbola :Fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan riil negatif Bentuk umum :Y = xn , n bilangan riil negatif Contoh :Y = x-2 , n bilangan riil negatif 3. Pengertian Fungsi Linier Fungsi linier adalah fungsih polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah satu : Y = a0 + a1x1 ,Y variabel terikat, x variabel bebas a0 konstanta, nilainya positif, negatif, atau nol a1 Koefisien, nilainya positif, negatif atau nol Untuk nilainya a0 dan a1 yang memungkinkan positif, negatif, atau nol, maka alternatif yang mungkin untuk fungsi linier : Y= a0 + a1x1 yaitu : misal a0 = 4 dan a1 = 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. a0 = + ; a1= + a0 = + ; a1= - a0 = + ; a1= 0 a0 = - ; a1 = + a0 = - ; a1 = - a0 = - ; a1 = 0 a0 = 0 ; a1 = + a0 = 0 ; a1 = - Y = a0 + a1x Y = a0 a1x Y = a0 + 0.x Y = -a0 +a1x Y = -a0 a1x Y = -a0 + 0.x Y = 0 +a1x Y = 0 a1x Y = 4 + 2x Y = 4 2x Y = 4 + 0.x = 4 Y = - 4 + 2x Y=-42x Y = - 4 + 0.x = - 4 Y = 0 + 2x Y=02x 7
9. a0 = 0 ; a1 = 0
Y = 0 + 0.x
Y = 0 + 0.x = 0
4. Penggambaran Fungsi Linier Penggambaran fungsi linier dari berbagai alternatif untuk a 0 = 4 dan a1 = 2 Y = 4 + 2x (0,4) 1. Y = 4 + 2x dua buah titik yang dibutuhkan untuk mengambarkannya (0,4) dan (-2,0)
(-2,0)
0
2. Y = 4 2x dua buah titik yang dibutuhkan untuk mengambarkannya (0,4) dan (2,0)
(0,4) 0 (2,0) Y = 4 2x
3. Y = 4 titik yang dibutuhkan untuk mengambarkannya (0,4) 0
(0,4)
(Y = 4)
4. Y = - 4 + 2 x dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya (0,- 4) dan (2,0)
0 (0,-4)
(2,0)
5. Y = - 4 2 x dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya (0,- 4) dan ( - 2,0)
(-2,0)
0
(0,-4) Y = -4 2x 6. Y = - 4 titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya (0.- 4)
0
(0,-4)
Y = -4
8
7. Y = 0 + 2 x dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya (0,0) dan (2,4)
Y = 0 + 2x (2,4)
(0,0) 8. Y = 0 2x dua buah titik yang dibutuhk untuk menggambarkannya (0,0) dan (2,- 4)
2
(0,0)
2 (2,-4) Y = 0 2x
-4
9. Y = 0 dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya (0,0) dan (2,0)
(0,0)
(2,0)
5. Hubungan Dua Fungsi Linier Ada dua fungsi linier dimana fungsi linier pertama yaitu : Y = a 0 + a1 x dan fungsi linier yang kedua yaitu : Y = a0 + a1 x. Kedua Fungsi Linier tersebut berada dalam berbagai keadaan: 1. Berhimpit Y = a0 + a1x Y = a0 +a1x karena berhimpit, maka a0 = a0 dan a1 = a1 contoh : Fungsi linier Pertama : Y = 4 + 2x , intersep 4, gradien 2 Fungsi linier kedua : 2Y = 8 + 4x , intersep 8/2 = 4 , gradien 4/2 = 2 2. Sejajar Y = a0 + a1x Y = a0 +a1x
Karena sejajar, maka a0 = a0 dan a1 = a1 Contoh : Fungsi linier pertama : Y = 4 + 4x , intersep 4, gradien 4 Fungsi linier kedua : Y = 2 +4x , intersep 2, gradien 4
3. Berpotongan Y = a0 + a1x Y = a0 +a1x 0 Karena Berpotongan, maka dan a1 = a1 untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0 9
Contoh : Fungsi linier pertama Y = 4 + 4x , intersep 4, gradien 4 Fungsi linier kedua : Y = 2 4x , intersep 2, gradien 4
4.
Berpotongan
Y = a 0 + a 1x
Y = a0 +a1x 0 Karena berpotongan, maka dan a1 = a1 Untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0 dan perpotongan pada titik (0, a0) Contoh : fungsi linier pertama : Y = 2 + 4x , intersep 2 , gradien 4 Fungsi linier kedua : Y = 2 4x , intersep 2 , gradien 4 dan perpotongan pada titik (0,2) 5. Berpotongan tegak lurus Y = a0 + a1x Y = a0 +a1x 0 Karena berpotongan tegak lurus, maka a1 = a1 dan a1.a1. = - 1. Untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0. Contoh : fungsi linier pertama : Y = 4 + 4x, intersep 4, gradien 4 fungsi linier kedua : Y = 2 1/ 4x, intersep 2, gradien 1/4 6. Berpotongan tegak lurus Y = a0 + a1x
Y = a0 +a1x 0 Karena berpotongan tegak lurus, maka a1 = a1 dan a1. a1 = -1 Untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0 dan berpotongan pada titik (0, a0) Contoh : fungsi linier pertama : Y = 2 + 4x, intersep 2, gradien 4 fungsi linier kedua : Y = 2 1/ 4x, intersep 2, gradien dan perpotongan pada titik (0,2) 6. Titik Potong Linier Untuk fungsi linier yang saling berpotongan, maka untuk mencari titik potongnya dapat dilakukan dengan cara : 1. Substitusi 2. Eliminasi 3. Determinan Contoh : Carilah titik potong dari garis yang berpotongan yaitu 2 x + 3 y = 4 dan x + 2 y = 1 Jawab : 1. Cara Substitus 2x+3y=4 ........* x + 2 y = 1 - x = 1 2 y .........** memasukkan ** pada* 2x+3y=4 2 (1 2 y) + 3 y = 4 maka x=12y 2 (1) 2 (2 y) + 3 y = 4 x = 1 2 (-2) 24y+3y=4 x = 1 ( - 4) 10
2y=4 -y = 4 2 -y = 2 y=-2 2. Cara Eliminasi 2 x + 3 y = 4 (x 1) --- x + 2 y = 1 (x 2) --- maka x + 2 y
x=1+4 x=5
2x+3y=4 2x+4y=2 _ -y=2 =1 =1 =1 =1+4 =5
y=-2
=1 x + 2 (- 2) x + (- 4) x4 x x
3. Cara Determinan 2x +3y=4 x+2y=1 | 4 3 | | 1 2 | (4)(2) (1)(3) 83 5 x = ------------ = ----------------- = ------- = ---- = 5 | 2 3 | (2)(2) (1)(3) 43 1 | 1 2 | | 2 4 | | 1 1 | (2)(1) (1)(4) 24 -2 y = ------------ = ----------------- = ------- = ---- = -2 | 2 3 | (2)(2) (1)(3) 43 1 | 1 2 | Baik dengan cara eliminasi, substitusi, ataupun determinasi, pasti akan diperoleh nilai yang sama. 7. Penamaan Fungsi Linier 1. Jika diketahui dua buah titik yaitu A (x1, y1) dan B (x2, y2). Gambar : B(X2,Y2)
A(X1,Y1)
Untuk mengetahui garis yang tepat melalui kedua titik tesebut dapat diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini : Y Y1 = X X1 Y2 Y1 = X2 X1 Contoh : Carilah garis yang melalui titik (3,3) dan (5,7). Jawab : misalkan (x1,y1) = (3,3) dan (x2,y2) = (5,7) maka : Y3 = x3 73 = 53 Y3 = x3 4 2 Y 3 = 4 / 2 ( x 3) Y3 = 2x6 Y = 2x6+3 Y = 2x3 Jadi garis yang melalui titik (3,3) dan (5,7) adalah Y = 2 x 3
11
2. Jika diketahui sebuah titik A (x1, y1) dan gradiennya / kemiringannya m Gambar : A(x1,y1) n 0
Untuk mengetahui garis yang tepat melalui titik tersebut dengan kecondongantertentu dapat diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini : Y Y1 = m (x x1), m = Y/x Contoh : Carilah garis yang melalui titik (3,3) dengan kecondongan sebesar 5 Jawab : Misalkan (x1,y1) = (3,3) dan m = 5 Maka : Y Y1 = m(x x1) Y 3 = 5 (x 3) Y 3 = 5x 15 Y = 5x 15 + 3 Y = 5x 12 Jadi garis yang melalui titik (3,3) dengan kemiringannya 5 adalah Y = 5x - 12
B. PENERAPAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI 1. Pendahuluan Penerapan fungsi linier dalam bisnis dan teori ekonomi mikro, yaitu : Fungsi permintaan, Fungsi penawaran, Keseimbangan pasar, Pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar, Fungsi penerimaan, Fungsi biaya, dan break-even analsis . Penerapan fungsi linier dalam ekonomi mikro, yaitu : fungsi pendapatan yang terdistribusi menjadi fungsi konsumsi dan fungsi tabungan fungsi pendapatan nasional yang dihitung melalui pendekatan pengeluaran. PENERAPAN DALAM BISNIS DAN TEORI EKONOMI MIKRO 2. Fungsi Permintaan Fungsi permintaan merupakan fungsi yang mencermintan hubungan antara variabel harga (P ; price) suatu barang dengan variabel jumlah barang yang diminta (Qd ; quantity demand). Ditulis: P= f(Qd). Fungsi ini mencerminkan perilaku konsumen di pasar di mana sifat yang berlaku yaitu bahwa jika harga barang mengalami peningkatan, maka jumlah barang yang diminta akan mengalami penurunan. Demikian sebaliknya, jika harga mengalami penurunan maka jumlah barang yang diminta akan mengalami peningkatan. Sifat demikian jika digambarkan pada Grafik Kartesius dengan sumbu datarnya jumlah barang yang diminta (Qd) dan sumbu tegaknya harga barang yang bersangkutan (P), dimana perubahan harga sebanding dengan perubahan jumlah barang yang diminta (fungsi linier), maka fungsi permintaan suatu barang dicerminkan sebagai berikut : Sifat monoton turun : P > P maka Qd < Qd P < P maka Qd > Qd Contoh : 1. P = 30 - 2 Qd 2. Qd = 15 P Contoh Soal : 1. Suatu barang, jika dijual seharga Rp 5.000 per-buah akan- laku sebanyak 3.000 buah. Akan tetapi, jika dijual dengan harga lebih murah yaitu Rp 4.000 per-buah, maka jumlah permintaan terhadap barang tersebut meningkat menjadi 6.000 buah. Bagaimana fungsi permintaanya ? Gambarkan fungsi permintaan tersebut pada Grafik Kartesius. Jawab : Diketahui (Qd1,P1,)= (3.000,5.000) dan (Qd2,P2,) = (6.000, 4.000) Fungsi permintaannya dicari dengan rumus : P - P1 = Qd Qd1 P2 P1 Qd2 Qd1 12
P - 5.000 = 4.000 5.000 P - 5.000 - 1.000 P 5.000 P 5.000 P 5.000 P P = = = = = =
Qd - 3.000 6.000 - 3.000 Qd - 3.000 3.000 - 1.000 ( Qd 3.000 ) 3.000 -1/3 (Qd 3.000) -1/3 Qd 1/3 (- 3.000) -1/3 Qd + 1.000 + 5.000 -1/3 Qd + 6.000
Gambar Grafik Kartesiusnya ( P vs Qd ) : P 6000 P = - 1/3 Qd + 6.000 0 Qd= 18.000 Contoh Soal : 2. Permintaan suatu barang sebanyak 500 Buah pada saat harganya 40.000. apabila setiap kenaikan harga sebanyak 1.250 akan menyebabkan jumlah permintaan mengalami penurunan sebanyak 250, sebagaimana fungsi permintaannya dan gambarkan fungsi permintaanya dan gambarkan fungsi permintaan tersebut pada grafik kartesius Jawab : Diketahui ( P1 ,Qd1 ) = ( 40.000, 500 ) dan p = 1.250 , Qd = - 250 Fungsi penawarannya diperoleh dengan rumus : ( P P1 ) = m (Qd Qd1 ) dengan m = P / Qd = 1.250 / (- 250 ) = -5 Maka ( P 40.000 ) = -5 ( Qd 500 ) P 40.000 = -5 Qd ( 5 )( - 500 ) P 40.000 = -5 Qd + 2.500 P = -5 Qd + 2.500 + 40.000 P = -5 Qd + 42.500 Jadi fungsi prmintaanya : P = - 5 Qd + 42.500 Gambar Fungsi Penawaran tersebut pada grafik Kartesius : 42.500 P = - 5 Qd + 42.500
0 Catatan : Gradien fungsi permintaan yang dinyatakan dengan rumus m= P / Qd nilainya Senantiasa negatif, sebab : 1. Jika dinyatakan adanya penurunan harga akan menyebabkan peningkatan jumlah barang yang diminta : Menjadikan : M = P = negatif = negatif atau Qd positif 2. Jika dinyatakan adanya peningkatan harga akan menyebabkan peningkatan jumlah barang yang diminta Menjadikan : 13
M= P = Qd
positif negatif
= negatif
3. Fungsi Penawaran Fungsi penawaran merupakan fungsi yang mencerminkan hubungan antara variabel harga ( P : price ) suatu barang dengan variabel jumlah barang yang ditawarkan ( Qd : Quantity Supply ). Ditulis : P = f ( Qs ). Fungsi ini mencerminkan perilaku produsen dipasar dimana sifat yang berlaku yaitu bahwa jika harga barang mengalami peningkatan, maka jumlah barang yang ditawarkan akan mengalami peningkatan. Demikian sebaliknya, jika harga barang mengalami penurunan maka jumlah barang yang ditawarkan akan mengalami penurunan. Sifat demikian jika digambarkan pada Grafik Kartesius dengan sumbu datarnya jumlah barang yang ditawarkan (Qs) dan sumbu tegaknya harga barang bersangkutan (P), dimana perubahan harga sebanding dengan perubahan jumlah barang yang ditawarkan (fungsi linier), maka fungsi penawaran suatu barang dicerminkan sebagai berikut : Contoh : 1. P = 120 + 4Qs 2. Qs = -40 + P 3. P = 8Qs + 125 Contoh Soal : 1. Suatu barang, harga dipasarnya Rp 5.000 per buah maka produsen akan menawarkan sebanyak 3.000 buah. Akan tetapi, jika harga lebih tinggi yaitu menjadi Rp 6.000 per-buah, maka jumlah barang yang ditawarkan oleh produsen akan bertambah menjadi 6.000 buah. Bagaimanakah fungsi penawarannya ? Gambarkan fungsi penawarannya tersebut pada Grafik Kartesius. Jawab : Diketahui (P1,Qs1) = (5.000, 3.000) dan (P2,Qs2) = (6.000, 6.000) Fungsi penawarannya dicari dengan rumus : P P1 = Qs Qs1 P2 P1 Qs2 Qs1 P 5.000 = Qs 3.000 6.000 5.000 6.000 3.000 P 5.000 = Qs 3.000 1.000 3.000 P 5.000 = 1.000 (Qs 3.000) 3.000 P 5.000 = 1/3 (Qs 3.000) P 5.000 = 1/3 Qs + (1/3) (-3.000) P = 1/3 Qs 1.000 + 5.000 P = 1/3 Qs + 4.000 Jadi fungsi penawarannya adalah : P = 1/3 Qs + 4.000 Gambar Grafik Kartesiusnya (P vs Qs) : Contoh Soal : 2. Penawaran suatu barang sebanyak 500 buah pada saat harganya 40.000. Apabila setiap kenaikan harga sebanyak 1.250 akan menyebabkan jumlah penawaran mengalami peningkatan sebanyak 250, bagaimana fungsi penawarannya dan gambarkan fungsi penawaran tersebut pada Grafik Kartesius. Jawab : Diketahui (P,Qs) = (40.000, 500) dan P = 1.250, Qs = 250 Fungsi penawarannya diperoleh dengan rumus : ( P P ) = m (Qs Qs) dengan m = P / Qs = 1250 / 250 =5 maka (P 40.000) = 5(Qs 500) P 40.000 = 5Qs + (5)(-500) P 40.000 = 5Qs 2.500 P = 5Qs 2.500 + 40.000 P = 5Qs + 37.500 14
Jadi fungsi penawarannya : P = 5Qs + 37.500 Gambar fungsi penawaran tersebut pada Grafik Kartesius : P P = 5Qs + 37.500 37.500
0 Qs Catatan : Gradien fungsi penawaran yang dinyatakan dengan rumus: m = P nilainya senatiasa positif, sebab : Qs 1. Jika dinyatakan adanya penurunan harga akan menyebabkan penurunan jumlah barang yang ditawarkan; menjadikan : m = P = negatif = positif atau Qs positif 1. Jika dinyatakan adanya peningkatan harga akan menyebabkan peningkatan jumlah barang yang ditawarkan; menjadikan : m = P = positif = positif] Qd positif 4. Keseimbangan Pasar Keseimbangan pasar atau Eqiullibrium adalah suatu kondisi dimana keseimbangan harga (Pe) tercapai Jumlah barang yang diminta = Jummlah barang yang ditawarkan Qe Qd = Qs Keseimbangan harga (Pe) tercapai : Jumlah barang yang diminta = Jumlah barang yang ditawarkan Qe Qd = Qs Atau Keseimbangan kuantitas (Qe) tercapai : Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan Pe P = P Fungsi permintaan dan fungsi penawaran pada sebuah grafik Kartesius dengan keseimbangan harga (Pe) dan keseimbangan Kuantitasnya (Qe), digambarkan sebagai berikut : P P = f (Qs) Pe P = f(Qd) 0 Qe Qd Contoh Soal : 1. Untuk suatu barang, pada harga Rp 6.000 pengusaha menawarkan barang tersebut sebanyak 30 buah, dan setiap kenaikan harga sebanyak Rp 2.000 maka jumlah barang yang ditawarkan juga meningkat sebanyak 20. Pada harga Rp 5.000 jumlah pemintaan barang tersebut sebanyak 20 buah dan untuk kenaikan harga menjadi Rp 10.000 jumlah permintaannya berkurang menjadi 10 buah. Bagaimanakah fungsi permintaan dan fungsi penawaran barang tersebut ? Gambarkan kedua fungsi tersebut pada sebuah Grafik Kartesius. Jawab : Mencari fungsi penawaran : Diketahui (P1,Qs1) = (6.000,30) dan P = 2000, Qs = 20 Fungsi penawarannya diperoleh dengan rumus : (P P1) = m (Qs Qs1) 15
dengan m = P / Qs = 2000 / 20 = 100 maka (P 6.000) = 100 (Qs 30) P 6.000 = 100Qs + (100)(-30) P 6.000 = 100Qs 3.000 P = 100Qs 3.000 + 6.000 P = 100Qs + 3.000 Jadi fungsi penawarannya : P = 100Qs + 3.000 Mencari fungsi permintaan : Diketahui (P1,Qd1) = (5.000,20) dan (P2,Qd2) = (10.000,10) Fungsi permintaannya dicari dengan rumus : P P1 = Qd Qd1 P2 P1 Qd2 Qd1 P 5.000 = Qd 20 10.000 5.000 10 20 P 5.000 = Qd 20 5000 -10 P 5.000 = 5.000 (Qd 20) -10 P 5.000 = -500(Qd 20) P 5.000 = -500Qd + (-500) (-20) P 5.000 = -500Qd + 10.000 P = -500Qd + 10.000 + 5.000 P = -500Qd + 15.000 Jadi fungsi permintaannya adalah : P = -500 Qd + 15.000 Keseimbangan Kuantitas (Q) tercapai : Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan -500Q + 15.000 = 100Q + 3.000 15.000 3.000 = 100Q + 500Q 12.000 = 600Q Qe = 12.000 600 Qe = 20 Jadi keseimbangan kuantitas tercapai pada 20 unit barang. Untuk Keseimbangan Harga (Pe) diperoleh dengan cara : Pe = -500 Qe + 15.000 atau Pe = 100Qe + 3.000 Pe = -500 (20) + 15.000 Pe =100(20) + 3.000 Pe = -10.000 + 15.000 Pe = 2.000 + 3.000 Pe = 5.000 Pe = 5.000 Jadi keseimbangan harga tercapai pada harga Rp 5.000 Grafiknya digambarkan sebagai berikut : P P = 100 Qs + 3.000 Pe = 5.000 3000 0 P = -500 Qd + 15.000 Qe = 20 Qd, Qs
2. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran suatu barang diberikan sebagai berikut : Qd = 11P dan Qs = -4 +2P Dimanakah keseimbangan harga (Pe) dan keseimbangan kuantitas (Qe) tercapai ? Gambarkan kedua fungsi tersebut pada sebuah grafik kartesius. 16
Jawab : Keseimbangan harga (Pe) tercapai : Jumlah barang yang diminta = Jumlah barang yang ditawarkan Qe Qd = Qs 11 P = -4 + 2P 11 + 4 = 3P + P 15 = 3P Pe = 5 Jadi keseimbangan harga di pasar tercapai pada harga 5. Sehingga keseimbangan kuantitasnya (Qe) dapat dicari : Qe = 11 P atau Qe = - 4 + 2P Qe = 11 5 Qe = -4 + 2(5) Qe = 6 Qe = -4 + 10 Qe = 6 Jadi keseimbangan kuantitas di pasar tercapai pada jumlah 6 Grafik digambarkan sebagai berikut : Qd, Qs Qs = -4 + 2P 11
Qe = 6 0 2 -4 Pe = 5 Qd = 11 - P P
5. Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar Pemerintah mengenakan pajak penjualan kepada para produsen. Pajak penjualan tersebut dinyatakan dengan : tarif pajak (t) = satuan unit uang / satuan unit barang.
Pengaruh pajak terhadap keseimbangan harga dan kuantitas di pasar Sebelum ada pajak Fungsi Penerimaan Fungsi Penawaran P = f(Qd) P = f(Qs) Sesudah ada pajak (Tarif Pajak (t) P = f(Qd) P = f(Qs) + t
Contoh Soal : Dari contoh soal yang sebelumnya, yaitu diberikan fungsi permintaan dan fungsi penawaran sebagai berikut : Qd = 11 P dan Qs = -4 + 2P. Kepada produsen tersebut, pemerintah mengenakan pajak dengan terif pajak sebesar t = 3 / unit barang. (i). Carilah keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah ada pajak. (ii). Gambarkan perubahan akibat pajak tersebut. (iii). Berapa tarif pajak yang ditanggung konsumen. (iv). Berapa tarif pajak yang ditanggung produsen. (v). Berapa total pajak yang diterima pemerintah. (vi). Berapa total pajak yang ditanggung konsumen. (vii). Berapa total pajak yang ditanggung produsen. (viii). Arsirlah total pajak masing-masing pada gambar di atas. 17
Keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sebelum dikenakan pajak. Dari perhitungan sebelumnya telah diketahui bahwa keseimbangan harga tercapai pada Pe = 5 dan keseimbangan kuantitasnya pada Qe = 6. Grafiknya digambarkan sebagai berikut : Jika hendak digambarkan dengan fungsi P sebagai fungsi tegak dan fungsi Qd,Qs pada sumbu datar maka kita harus melakukan perubahan sebagai berikut : Fungsi permintaan : Qd = 11 P atau P = 11 Qd Fungsi penawaran : Qs = -4 + 2P atau Qs + 4 = 2P Maka P = Qs + 4/2 P = Qs + 2 Gambarnya menjadi : P P = Qs +2 Pe = 5 2P = 11 - Qd 0 Qe = 6 Qd,Qs
Akibat dikenakan pajak, maka Sebelum ada pajak Fungsi Penerimaan Fungsi Penawaran P = 11 - Qd P = Qs + 2 Sesudah ada pajak (Tarif Pajak (t)) P = 11 - Qd P = Qs + 2 + t P = Qs + 2 + 3 P = Qs + 5
Dari tabel di atas terlihat bahwa fungsi permintaan tidak mengalami perubahan. Akan tetapi, tidak demikian dengan fungsi penawaran. Akibat adanya pajak maka fungsi penawaran mengalami perubahan. Fungsi penawaran sebelum kena pajak adalah : P = Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah kena pajak menjadi : P = Qs + 5. Perubahan tersebut mengakibatkan terjadinya pergeseran keseimbangan harga maupun keseimbangan kuantitas di pasar. Keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah dikenakan pajak Keseimbangan kuantitas (Qe) tercapai : Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan 11 Qe = Qe + 5 11 5 = Qe + Qe 6 = 3/2 Qe 12 = 3 Qe Qe = 4 Jadi keseimbangan kuantitas setelah kena pajak tercapai pada 4 unit barang. Untuk keseimbangan Harga (Pe) diperoleh dengan cara : Pe = 11 Qe atau Pe = 1/2Qe + 5 Pe = 11 4 Pe = 1/2(4) + 5 Pe = 7 Pe = 2 + 5 Pe = 7 Jadi keseimbangan harga setelah kena pajak tercapai pada harga 7 Perubahan fungsi penawaran (akibat adanya pajak) yang mengakibatkan perubahan keseimbangan di pasar pada grafiknya dicerminkan juga oleh pergeseran fungsi penawaran. Fungsi penawaran sebelum kena pajak adalah : P = Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah kena pajak menjadi : P = Qs + 5. Terlihat bahwa fungsi penawaran baik yang sebelum dikenakan pajak maupun yang sesudah kena pajak ternyata memiliki gradien (kemiringan) yang sama sebesar yaitu + . Sedangkan intersepnya berbeda satu sama lainya. Menurut teori fungsi linier dikatakan bahwa dua buah garis yang memiliki 18
gradien yang sama tetapi intersepnya masing-masing berbeda satu sama lainnya, maka jika digambarkan akan terlihat bahwa kedua garis tersebut dalam keadaan sejajar. Agar perubahannya terlihat jelas, maka fungsi permintaan, fungsi penawaran sebelum kena pajak dan fungsi penawaran setelah kena pajak digambarkan bersama-sama dalam sebuah Grafik Kartesius. Fungsi permintaan, fungsi penawaran sebelum ada pajak, dan fungsi penawaran setelah ada pajak, serta keseimbangan harga dan kuantitas sebelum ada pajak digambarkan di bawah ini : P Pe = 7 Pe = 5 E E P = Qs + 5 P = Qs + 2
0
Qe = 4 Qe = 6
Qd,Qs
Keterangan gambar : E : keseimbangan sebelum ada pajak Qe : keseimbangan kuantitas sebelum ada pajak Pe : keseimbangan harga sebelum ada pajak E : keseimbangan setelah ada pajak Qe : keseimbangan kuantitas setelah ada pajak Pe : keseimbangan harga setelah ada pajak Adanya pengenaan pajak dari pemerintah kepada produsen ternyata mengakibatkan : 1. Keseimbangan harga setelah ada pajak lebih tinggi dari pada keseimbangan harga sebelum ada pajak : Pe = 7 sedangkan Pe = 5; Maka : Pe > Pe 2. Keseimbangan kuantitas setelah ada pajak lebih rendah dari pada keseimbangan kuantitas sebelum ada pajak : Qe = 4 sedangkan Qe = 6 Maka : Qe < Qe Tarif pajak yang dikenakan oleh pemerintah kepda produsen t = 3/unit. Akan tetapi, produsen tidak mau menaggungnya sendiri. Sebagian dari pajak tersebut dibebankannya kepada konsumen. Beban tarif pajak yang dibebankan oleh produsen kepada konsumen terasakan oleh adanya kenaikan keseimbangan harga dari Pe = 5 menjadi Pe = 7, sedangkan yang ditanggung produsen berarti tinggal sisanya. Tarif pajak dan Total Pajak : 6. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar Pemerintah memberikan subsidi kepada para produsen. Subsidi tersebut dinyatakan dengan : tarif subsidi (s) = satuan unit uang / satuan unit barang. Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan harga dan kuantitas di pasar Contoh soal : Dari contoh soal yang sebelumnya, yaitu diberikan fungsi permintaan dan fungsi penawaran sebagai berikut :Qd = 11 P dan Qs = - 4 + 2 P kepada produsen tersebut, pemerintah memberikan subsidi dengan tarif subsidi dengan tarif subsidi sebesar s = 1 / unit barang. i) Carilah keseimbangan harga dan kuantitas dipasar sesudah ada subsidi. ii) Gambarkan perubahan akibat subsidi tersebut. iii) Berapa tarif subsidi yang diterima konsumen. iv) Berapa tarif subsidi yang di terima produsen. v) Berapa total subsidi yang diberikan pemerintah. vi) Berapa total subsidi yang dinikmati konsumen. vii) Berapa total subsidi yang dinikmati produsen. viii) Arsirlah total subsidi masing-masing pada gambar di atas.
19
Keseimbangan harga dan kuantitas dipasar sebelum dikenakan subsidi. Akibat dikenakan subsidi, maka dari perhitungan sebelumnya telah diketahui bahwa keseimbangan harga tercapai pada Pe = 5 dan keseimbangan kuantitasnya pada Qe = 6. Dari tabel di atas terlihat bahwa fungsi permintaan tidak mengalami perubahan. Akan tetapi, tidak demikian dengan fungsi penawaran. Akibat adanya subsidi maka fungsi penawaran mengalami perubahan. Fungsi penawaran sebelum ada subsidi adalah : P = Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah ada subsidi menjadi : P = Qs + 1. perubaha tersebut mengakibatkan terjadinya pengeseran keseimbangan harga maupun keseimbangan kuantitas di pasar. Keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah ada subsidi Keseimbangan kuantitas (Qe) tercapai : Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan 11 Qe = Qe + 1 11 1 = Qe + Qe 10 = 3/2 Qe 20 = 3 Qe Qe = 6, 67 Jadi keseimbangan kuantitas setelah ada subsidi tercapai pada 6, 67 unit barang Untuk keseimbangan harga (Pe) diperoleh dengan cara : Pe = 11 Qe atau Pe = 1 / 2 Qe + 1 Pe = 11 6, 67 Pe = 1 / 2 (6, 67) + 1 Pe = 4, 33 Pe = 3,33 + 1 Pe = 4,33 Jadi keseimbangan harga setelah ada subsidi tercapai pada harga 4,33 Perubahan fungsi penawaran (akibat adanya subsidi), yang mengakibatkan perubahan keseimbangan di pasar pada grafiknya dicerminkan juga oleh pergeseran fungsi penawaran. Fungsi penawaran sebelum ada subsidi adalah : P = Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah ada subsidi menjadi : P = Qs + 1. Terlihat bahwa fungsi penawaran baik yang sebelum ada subsidi maupun yang sudah ada subsidi ternyata memiliki gradien (kemiringan) yang sama sebesar yaitu + . Sedangkan intersepnya berbeda satu sama lainnya. Menurut teori fungsi linier dikatakan bahwa dua buah garis yang memiliki gradien yang sama tetapi intersepnya masing- masing berbeda satu sama lainya, maka jika di gambarkan akan terlihat bahwa kedua garis tersebut dalam keadaan sejajar.
Agar perubahannya terlihat dengan jelas, maka fungsi permintaan, fungsi penawaran sebelum kena subsidi dan fungsi penawaran setelah kena subsidi digambarkan bersama sama dalam sebuah Grafik Kartesius. P Pe = 5 Pe = 4,33 E E P = Qs + 2 P = Qs + 1
0 Qe = 6 Qe = 6,67 Keterangan gambar E : Keseimbangan sebelum ada subsidi Qe : Keseimbangan kuantitas sebelum ada subsidi Pe : Keseimbangan harga sebelum ada subsidi E : Keseimbangan setelah ada subsidi Qe: Keseimbangan kuantitas setelah ada subsidi Pe : Keseimbangan harga setelah ada subsidi
Qd,Qs
20
Adanya pemberian subsidi dari pemerintah kepada produsen ternyata mengakibatkan : 1. Keseimbangan harga setelah ada subsidi lebih rendah dari pada keseimbangan harga selum ada subsidi : Pe = 4,33 sedangkan Pe = 5 ; Maka : Pe < Pe 2. Keseimbangan kuantitas setelah ada subsidi lebih tinggi dari pada keseimbangan kuantitas sebelum ada subsidi : Qe = 6,67 sedangkan Qe = 6 Maka : Qe > Qe Tarif subsidi yang dikenakan oleh pemerintah kepada produsen s = 1 / unit. Akan tetapi, produsen tidak menikmatinya sendiri. Sebagian dari subsidi tersebut diberikannya kepada konsumen. Tarif subsidi yang diberikan oleh produsen kepada konsumen tersakan oleh adanya penurunan keseimbangan harga dari Pe = 5 menjadi Pe = 4,33, sedangkan yang diterima produsen berarti tinggal sisanya. P Pe = 5 Pe = 4,33 E E P = Qs + 2 P = Qs + 1
0
Qe = 6 Qe = 6,67
Qd,Qs
Gambar yang menunjukan total subsidi. Keterangan gambar : Sp : Luas area yang menggambarkan ukuran total subsisi yang dinikmati produsen. Sk : Luas area yang menggambarkan ukuran total subsidi yang dinikmatikonsumen. S : Luas area yang menggambarkan ukuran total subsidi yang diberikan pemerintah. : merupakan penjumlahan antara luas area yang menggambarkan ukuran total subsidi yang dinikmati produsen dengan luas aera yang menggambarkan ukuran total subsidi yang dinikmati konsumen S = Sk + Sp 7. Fungsi Penerimaan Fungsi penerimaan disebut juga fungsi pendapatan atau fungsi hasil penjualan. Dilambangkan dengan R (Revenue) atau TR (total revenue). Fungsi penerimaan merupakan fungsi dari Output : R = f (Q) dengan Q : jumlah produk yang laku terjual. Fungsi penerimaan merupakan hasil kali antara harga jual per unit dengan jumlah barang yang diproduksi dan laku terjual. Jika P adalah harga jaul per unit, maka : R = P x Q dengan Contoh : Misalkan suatu produk dijual dengan harga Rp 5.000 per unit barang. Bagaimanakah fungsi permintaannya? Gambarkan fungsi permintaan tersebut dengan Grafik. Jawab : R=PxQ R = 5.000 Q 21 P : Harga jual per unit dan Q : jumlah produk yang dijual
Gambar : Karena intersepnya tidak ada (nol) maka fungsi penerimaan dengan gradiennya positif : R = 5.000 Q digambarkan melalui titik (0,0)
0 8. Fungsi Biaya Dilambangkan dengan C (Cost) atau TC (Total Cost). Terdiri atas dua jenis fungsi biaya: 1. Fixed Cost atau fungsi biaya tetap (FC) merupakan fungsi yang tidak tergantung pada jumlah produk yang diproduksi. Jadi fungsi biaya biaya tetap adalah fungsi konstanta : FC = k dengan k adalah konstanta positif Contoh : Suatu perusahaan mengeluarkan biaya tetap sebesar Rp 100.000.000. Bagaimanakah fungsi biaya tetapnya dan gambarkan fungsi tersebut pada Grafik Kartesius? Jawab : FC = 100.000.000, Gambar Fungsi Biaya Tetap :
FC = 100.000.000
0
2. Variabel Cost atau Fungsi Biaya yang berubah-ubah (VC). Merupakan fungsi biaya yang besarnya tergantung dari jumlah produk yang diproduksi. Jadi : VC = f(Q). Merupakan hasil kali antara harga jual per unit dengan jumlah barang yang diproduksi. Jika P adalah biaya produksi per unit, dimana biaya produksi per unit senantiasa lebih kecil dibandingkan harga jual per unit barang, maka VC = P x Q dengan P : biaya produksi per unit dan Q: Produk yang diproduksi Contoh: Suatu produk diproduksikan dengan biaya produksi Rp 3.000 per unit. Bagaimanakah fungsi biaya variabelnya dan gambarkan fungsi tersebut dengan grafik. Jawab : VC = P x Q VC = 3.000 Q Karena intersepnya tidak ada (nol) maka fungsi biaya variabel digambarkan melalui titik (0,0) dengan grdiennya positif. 22
Gambar Fungsi Biaya Variabel : VC = 3.000 Q
0 3. Fungsi Total Cost (TC) merupakan penjumlahan antara biaya tetap dengan biaya variabel. TC = FC + VC Contoh : Untuk contoh diatas, dimana biaya tetap yang dikeluarkan sebuah perusahaan sebesar Rp 100.000.000 dan biaya variabelnya : 3.000Q, maka TC = 100.000.000 + 3.000 Q. Ternyata intersep dari fungsi total biaya adalah sama dengan biaya tetapnya dan gradienya sama dengan gradien fungsi biaya tetap. Hal ini mencerminkan bahwa penggambaran fungsi total biaya haruslah melalui titik (0,FC) dan sejajar dengan grafik VC. Gambar Fungsi Biaya Tetap, Biaya Variabel, total Biaya : TC=100.000.000 + 3000 Q
VC= 3000 Q FC =100.000.000
9. Analisis Break-Even Yang dimaksud dengan Break-Even yaitu suatu kondisi dimana perusahaan tidak untung maupun tidak rugi. Hal ini disebabkan karena seluruh penerimaan perusahaan dibayarkan untuk menutup biaya tetap maupun biaya variabelnya. Keadaan tersebut digambarkan sebagai berikut: Break-Even TR = TC Jika penerimaan sudah dapat melebihi biaya-biaya yang dikeluarkan, baik biaya tetap maupun biaya variabelnya, maka barulah perusahaan tersebut dapat menikmati keuntungan: Untung : TR > TC Jika penerimaan masih belum dapat menutup biaya-biaya yang dikeluarkan baik biaya tetap maupun biaya variabelnya, maka perusahaan dinyatakan dalam keadaan merugi. Rugi Contoh Soal: Dari contoh sebelumnya diperoleh bahwa Fungsi Fixed Cost : Fungsi Variabel Cost: Fungsi Total Cost : Fungsi Revenue : R FC = 100.000.000 VC = 3.000 Q TC = 100.000.000 + 3.000 Q = 5.000 Q : TR < TC Untuk lebih menjelaskan hal tersebut dibawah ini diberikan contoh.
Berapa produk yang harus diproduksi dan dijual agar perusahaan tersebut dapat menutup Biaya tetapnya? Berapakah penerimaan yang diperoleh? 23
Berapakah produk yang harus diproduksi dan dijual agar perusahaan tersebut dapat menutup seluruh biaya yang dikeluarkannya? Berapakah penerimaan yang diperoleh?Berapa produk yang harus diproduksi dan dijual agar perusahaan tersebut mendapatkan keuntungan? Berapakah kontribusi marginnya? Jawab: Output yang diproduksi agar penerimaan dapat menutup biaya tetap : TR = FC 5.000 Q = 100.000.000 Q = 20.000 Jadi agar perusahaan dapat menutup biaya tetap yang dikeluarkannya, maka perusahaan tersebut harus dapat memproduksi sebanyak 20.000 unit barang. Tingkat penerimaannya : R = FC = 100.000.000 Output yang diproduksi agar penerimaan dapat menutup seluruh biaya yang dikeluarkan : TR 5.000Q 2000Q = TC = 100.000.000 + 3.000Q = 100.000.000
5.000Q-3.000Q = 100.000.000 Q* = 50.000 Jadi agar perusahaan dapat menutup biaya produksinya, maka perusahaan tersebut harus dapat memproduksi sebanyak 50.000 unit barang. Tingkat penerimaanya sama dengan total biaya, yaitu R = TC = 5.000 x 50.000 = 250.000.000 Agar perusahaan dapat menikmati keuntungan, maka total penerimaan harus melebihi total biaya. Untuk itu perusahaan harus memproduksi produk sebanyak lebih dari 50.000 unit dengan penerimaannya akan lebih dari Rp 250.000.000 Kontribusi margin yaitu keuntungan per unit, maka Kontribusi margin= Harga jual per unit Biaya produksi per unit Kontribusi margin= Rp 5.000 Rp 3.000 = Rp 2.000 Keadaan Break-Even Analysis tersebut digambarkan dalam grafik sebagai berikut : TR FC,VC,TC,R TR TC VC TC 250.000.000 TR FC 100.000.000 0 Keterangan gambar : Q* Q : Pada titik ini, Q = 50.000, seluruh penerimaan sebesar Rp 250.000.000 dipergunakan untuk menutup total biaya yang juga sebesarRp 250.000.000 : Pada titik ini, Q = 20.000 seluruh penerimaan sebesar Rp 100.000.000 dipergunakan untuk menutup biaya tetapnya sebesar Rp 100.000.000 dipergunakan untuk menutup 24 Q Q* Q Q TC
biaya tetapnya sebesar Rp100.000.000. Sekaligus dapat terlihat pada gambar bahwa pada titik Q terjadi TR < TC; perusahaan Rugi Q : Untuk Q terlihat bahwa TR > TC; perusahaan untung! Jika perusahaan berproduksi pada tingkat yang masih lebih rendah dari Q*, maka perusahaan akan mengalami kerugian karena masih terjadi TR < TC. Jika perusahaan berproduksi tepat pada Q*, maka perusahaan tidak memperoleh keuntungan maupun tidak mengalami kerugian karena terjadi TR = TC Jika perusahaan sudah mampu berproduksi pada tingkat yang melebihi Q*, maka perusahaan akan memperoleh keuntungan karena sudah terccapai TR > TC. PENERAPAN DALAM TEORI EKONOMI MAKRO 10. Fungsi Pendapat Nasional yang terdistribusi Menjadi fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan. Pendapatan suatu negara terdistribusi karena digunakan untuk kebutuhan konsumsi dan sisanya, jika ada, ditabung; dinyatakan dengan fungsi : Y = C + S Y = Pendapatan Nasional (National Income) C = Konsumsi (Comsumption) S = Tabungan (Saving) Fungsi konsumsi dinyatakan dengan fungsi : C = Co + bY Co = Autonomous Consumption, Co > 0 B = Marginal Propensity to Consume, 0 < b < 1 Keterangan : Co = Konsumsi yang tidak bergantung pada besarnya pendapatan. b = Konsumsi yang bergantung pada pendapatan. Fungsi tabungannya diperoleh dari : Y=C+S Y = (Co + By) + S Y (Co + By) = S Y Co b S = S Y Co by = S Y(1 b) Co = S - Co + (1 b)Y = S atau S = - Co + (1-b)Y Co : Autonomous Saving, Co > 0 (1 b ) : Marginal Propensity to Save, 0 < (1 b) < 1 - Co (1 b) = Tabungan yang tidak tergantung pada besarnya pendapatan. = Konsumsi yang bergantung pada pendapatan. b : 1b Kesimpulan yang diperoleh:
Marginal propensity to consume : Marginal propensity to save Karena Maka : B + (1 b) = 1 MPC + MPS = 1
25
Contoh Soal : Suatu negara diketahui memiliki konsumsi otonominya sebesar Rp 300.000.000. Marginal propensity to save-nya sebesar 0,45. Bangunlah fungsi konsumsinya ! Bangunlah fungsi tabungannya ! Berapa yang dikonsumsi jika pendapatan nasional 1 miliar? Berapakah yang ditabung jika pendapatan nasional 1 miliar? Pada pendapatan nasional berapakah dimana tidak ada yang ditabung? Gambarkan fungsi konsumsi, fungsi tabungan, dan fungsi pendapatan nasional pada sebuah grafik! Jawab : Fungsi konsumsinya: C = Co + bY C = 300.000.000 + (1 0,45)1.000.000.000 C = 300.000.000 + 0,55 Y Fungsi tabungannya : S = - 300.000.000 + 0,45 Y Jika pendapatan nasionalnya 1 miliar: Fungsi konsumsi: C = 300.000.000 + 0,55 x 1.000.000.000 C = 300.000.000 + 550.000.000 C = 850.000.000 Fungsi tabungan: S = - 300.000.000 + 0,45 x 1.000.000.000 S = - 300.000.000 + 450.000.000 S = 150.000.000 Jadi pada tingkat pendapatan nasional sebesar 1 miliar, maka Rp 850.000.000 dipergunakan untuk kebutuhan konsumsi dan Rp 150.000.000 ditabung. Tidak ada pendapatan yang dapat ditabung, artinya S = 0 Y=C+S Y=C+0 Y=C Tidak ada pendapatan yang ditabung maka berarti seluruh pendapatan habis dikonsumsi. Tingkat pendapatan yang akan seluruhnya habis dikonsumsi yaitu : Y Y bY = Co + bY = Co
Y ( 1 b ) = Co
YY
1 (1 b)
x Co
1 x Co (1 0,55)
26
Y
1 x 300.000.000 (0,45)
Y = 2,22 x 300.000.000 Y = 666.000.000 Jadi pada tingkat pendapatan sebesar Rp 666.000.000 seluruh pendapatan dikonsumsi. Gambar Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan, dan Fungsi Pendapatan Nasional diberikan bawah ini : C,S,Y Y=C Y=C+5 C = 300.000.000 + 0,55Y 300.000.000 S = - 300.000.000 + 0,45Y 0 S=0 Disaving - 300.000.000 11. Fungsi Pendapatan Nasional yang Dihitung Melalui Pendekatan Pengeluaran Untuk menghitung besarnya pendapatan nasional suatu negara, salah satu pendekatannya adalah dengan menghitung pengeluaran dari masing-masing sektor. Sektor-sektor yang mungkin terlibat dalam perhitungan tersebut ialah : 1. Sektor rumah tangga, di mana pengeluarannya dikenal sebagai konsumsi (C) 2. Sektor pengusaha, di mana pengeluarannya dikenal dengan investasi (I) 3. Sektor pemerintah, di mana pengeluarannya yaitu pengeluaran pemerintah (G) 4. Sektor perdagangan luar negeri, terdiri atas ekspor dan impor (X M) Jika yang terlibat sektor rumah tangga dan pengusaha, maka model pendapatan nasionalnya ditulis : Y=C+I Jika yang terlibat sektor rumah tangga, pengusaha dan pemerintah, maka model pendapatan nasionalnya ditulis : Y=C+I+G Jika yang terlibat sektor rumah tangga, pengusaha, pemerintah, dan perdagangan luar negeri maka model pendapatan nasionalnya ditulis : Y=C+I+G+(XM) Pendapatan Disposibel ( Yd ) Yang dimaksud dengan pendapatan disposibel yaitu pendapatan yang dapat langsung dikonsumsi. Jika ada transfer payment ( R ), maka pendapatan diposibel merupakan penjumlahan antara pendapatan dengan trasfer payment : Yd = Y + R Jadi trasfer payment menambah pendapatan disposibel. Jika ada pajak (T), maka pendapatan baru menjadi pendapatan disposibel setelah dikurangi dengan pajak : Yd = Y + T Jadi pajak mengurangi pendapatan disposibel. Jika ada pajak dan transfer payment, maka haru dipertimbangkan keduanya : Yd = Y + R T Saving Y
27
Jika tidak ada pajak maupun trasfer payment maka pendapatan disposibel adalah merupakan pendapatan : Yd = Y Trasfer Payment ( R ) Yang dimaksud dengan trasfer payment yaitu pembayaran yang dialihkan, misalnya tunjangan kesehatan, tunjangan hari raya, dan lain-lain. Pajak (T) Pajak terdiri atas dua jenis : 1. Pajak yang tidak bergantung pada besarnya pendapatan : To ( Autonomous Tax ), To > 0 2. Pajak yang bergantung pada besarnya pendapatan : tY ; t ( income tax rate ), 0 < T < 1 maka alternatif fungsi pajaknya : Jika tidak ada pendapatan : T = To Jika ada pendapatan Fungsi Konsumsi ( C ) Konsumsi terdiri atas dua jenis : 1. Konsumsi yang tidak bergantung pada besarnya pendapatan : Co (Autonomous Consumtion), Co >0 2. Konsumsi yang bergantung pada besarnya pendapatan : bY ; b (marginnal propensity to consume), 0 < b < 1 maka alternatif fungsi konsumsinya : Jika tidak ada pendapatan : C = Co Jika ada pendapatan dan ada pajak : C = b Y d atau maka: C = b (Y T) atau C = Co + bYd, di mana Yd = Y T C = Co + b (Y T) : T = tY atau T = To + tY
Jika ada pendapatan dan trasfer payment : C = b Yd atau C = Co + bYd, di mana Yd = Y + R Maka : C = b (Y R) atau C = Co + b (Y + R) Jika ada pendapatan, pajak dan trasfer payment : C = b Yd atau C = Co + bYd, dimana Yd = Y + R T Maka : C = b (Y + R T) atau C = Co + bYd atau Maka : C = Co + b Y atau Fungsi Investasi 1. Fungsi investasi merupakan variabel eksogen yang tidak dipengaruhi oleh tingkat suku bunga, maka ditulis : I = Io 2. Jika dipengaruhi oleh tingkat suku bunga ditulis : I = Io i r, r : tingkat suku bunga I : proporsi I terhadap i Fungsi Pengeluaran Pemerintah Pengeluaran pemerintah terdiri atas : 1. Pengeluaran pemerintah yang tidak bergantung pada pendapatan : G (Government Expenditure), Go > 0 C = Co + b (Y + R T) C = b Y, C=bY dimana Yd = Y Jika ada pendapatan tetapi tidak ada pajak dan trasfer payment :
28
2. Pengeluaran pemerintah yang bergantung pada pendapatan : gY ; g (proporsi pengeluaran pemerintah terhadap pendapatan, 0 < g < 1 maka alternatif fungsi pengeluaran pemerintah : Jika tidak ada pendapatan : G = Go Jika ada pendapatan : G = gY atau G = Go + gY Fungsi Ekspor Fungsi Investasi merupakan variabel eksogen, maka ditulis : X = Xo Fungsi Impor Impor terdiri atas : 1. Impor yang tidak bergantung pada pendapatan : M (Autonomous Import), Xo > 0 2. Impor yang bergantung pada pendapatan : mY;m (marginal propensity to import), 0 < m < 1 maka alternatif impor : Jika tidak ada pendapatan : M = Mo Jika ada pendapatan : M = mY atau Variabel Eksogen Variabel eksogen adalah variabel yang nilainya tidak diperoleh dari perhitungan model. Biasanya dilambangkan dengan simbol yang diberi tambahan 0, seperti : Co, To, Io, Go, Xo, Mo Variabel Endogen Variabel endogen adalah variabel yang nilainya diperoleh dari perhitungan model. Parameter Diberi lambang dengan huruf kecil. Contoh Soal : 1. Hitunglah pendapatan nasional suatu negara jika diketahui autonomous consumption : masyarakatnya sebesar 135. Marginal Propensity to Consume (MPC) = 0,8 Investasinya = 75 Pengeluaran pemerintah = 30. Ada berapa variabel eksogen, variabel endogen dan parameternya ? Bagaimanakah model pendapatan nasionalnya serta angka penggandaannya ? Carilah semua nilai dari variabel endogenya ? Jawab : Diketahui Co = 135, b = 0,3 , Io = 75, Go = 30 Yang terlibat tiga sektor, yaitu : sektor rumah tangga, sektor pengusaha dan Pemerintah : Model Pendapatan Nasionalnya : Y=C+I+G di mana C = Co + b Y I = Io G = Go maka Y Y = (Co + b Y) + Io + Go = Co + b Y + Io + Go M = Mo + mY
Y b Y = Co + Io + Go Y(1 b) = Co + Io + Go
Y
1 (1 b)
x (Co Io Go) 1 (1 b) 1 (1 0,8) 1 0,2 529
Angka penggandaan untuk
Model di atas Ini berarti bahwa jika terjadi peningkatan faktor faktor autonomous consumption (Co), investment (lo), ataupun government expenditure (Go) sebanyak satu, maka akan menyebabkanpeningkatan pendapatan nasional (Y) sebanyak lima kali. Variabel eksogennya ada tiga, yaitu : 1. 2. 3. Autonomous Consumption (Co) Investment (lo) Government Expenditure (Go)
Parameternnya ada satu, yaitu : Marginal Propensity to Consume (b) Variabel endogennya ada dua, yaitu: 1. 2. Pendapatan nasional (Y) Consumtion (C)
Menghitung variabel endogen pendapatan nasional (y):
Y Y Y
1 (1 b)
x (Co Io Go)
1 x (135 75 30) (1 0,8) 1 x (240) (0,2)
Y = 5 (240) = 1200 Menghitung variabel endogen konsumsi(C): C = Co + bY C = 135 + 0,8 Y C = 135 + 0,8 (1200) C = 135 + 960 C = 1095 2. Autonomous consumption suatu negara = 100, dengan MPS-nya = 0,4 dari pendapatan disposibel. Investasi nasionalnya = 40 dan autonomous tax = 50. Carilah model pendapatan nasional ? Hitunglah angka penggandaannya ? Carilah semua nilai variabel endogennya ? Jawab : Diketahui : Co = 100 , MPC = 1 MPS , lo = 40 , To = 50 = 1 0,4 = 0,6 Ada dua sektor yang terlibat yaitu : sektor rumah tangga dan sektor pengusaha. Model pendapatan nasionalnya : Y =C+I dimana C = Co + b Yd Yd = Y To I = lo Sehingga Y = Co + b (Y To) + lo Y = Co + bY b To + lo Y - bY = Co bTo + lo Y (1 b) = Co b To + lo 30
Y Angka penggandaan : 1
= =
1 1
(Co b To + lo) = 1 0,4 = 2,5
(1 b) (1 b) (1 0,6)
Menghitung variabel endogen pendapatan nasional (Y) :
Y Y Y
1 (1 b)
x (Co bTo Io)
1 x (100 (0,6)50 40) (1 0,6) 1 x (100 30 40) (0,4)
Y = 2,5 (110) Y = 275 Jadi pendapatan nasionalnya sebesar 275 Menghitung variabel endogen konsumsi ( C ) : C = Co + b Yd C = Co + b (Y To) C = 100 + 0,6 (Y 50) C = 100 + 0,6 (275 50) C = 100 + (0,6) (225) C = 100 + 135 C = 235 3. Pengeluaran di sektor pengusaha = 90, sedang pengeluaran di sektor pemerintah = 65. Transaksi ekspor terhitung = 80. Transaksi impor terhitung = 40 dengan marginal propensity to import = 0,19. Konsumsi masyarakatnya terlihat dari fungsi sebagai berikut : C = Co + b Y di mana autonomous consumption = 70 dan MPC = 0,9 Dinyatakan : Carilah model pendapatan nasional ? Hitung angka penggandaannya ? Carilah nilai variabel endogennya ? Jawab : Diketahui lo = 90, Go = 65, Xo = 80, Mo = 40, m = 0,19, Co = 70, b = 0,9 Semua sektor terlibat sehingga model pendapatan nasionalnya ; Y = C + I + G + (X M) di mana C= Co + b Y C = 70 + 0,9 Y I = lo = 90 G = Go = 65 X = Xo = 80 M = Mo + mY = 40 + 0,19 Y sehingga Y = C + l + G + (X M) Y = (Co + bY) + lo + Go + (Xo Mo + mY) Y = Co + bY + lo + Go + Xo + Mo + mY 31
Y bY + mY = Co + lo + Go + Xo Mo Y (1 b + m) = Co + lo + Go + Xo Mo
Y
1 (Co Io Go (1 b m)
Xo Mo)
Angka Penggandaannya
1 (1 b m)
1 (1 0,9 0,91)
1 0,29
3,448
Menghitung variabel endogen pendapatan nasional (Y) :
Y Y Y
1 (Co Io Go (1 b m)
Xo Mo)
1 (70 90 65 80 40) (1 0,9 0,19) 1 (265) (0,29)
Y = 3,448 ( 265 ) Y = 913,72 Jadi pendapatan nasionalnya = 913,72 Menghitung variabel endogen konsumsi ( C ) : C = Co + bY C = 70 + 0,9 (913,72) C = 892,348 Jadi konsumsinya = 892,348 Menghitung variabel endogen impor ( M ) : M = Mo + mY M = 40 + 0,19 (913,72) M = 213,6068 Jadi impornya = 213,6068
32
BAGIAN 3 KONSEP DASAR TEORI DIFERENSIAL DAN PENERAPANNYA DALAM BISNIS DAN EKONOMITujuan Umum Mempelajari perubahan variabel terikat perubahan variabel bebasnya, di mana perubahan variabel bebasnya erupakan perubahan yang sangat kecil sekali. Juga dipelajari perbandingan antara perubahan variabel terikat tersebut dengan perubahan variabel bebasnya yang disebut kuosien Difference. Juga dipelajari kaidah-kaidah Diferensial serta jenis-jenis diferensial yang terdiri atas Diferensial Biasa, Diferensial Parsial, dan Diferensial berantai. Tutjuan Khusus 1. Mempelajari penerapan Diferensial Biasa seperti mencari laju pertumbuhan, fungsi arjinal, menghitung elastisitas dan enghitung optiasi, seperti maksimasi pendapatan atau miniasi biaya. 2. Mepelajari Penerapan Diferensial Parsial, seperti enghitung Price Elasticity of Deand, Cross Elasticity of Demand, dan Income Elasticity of Demand. Menghitung Optimasi untuk dua variabel serta mmencari Marginal Rate of Technical Substitusi. 3. Mempelajari Penerapan Diferensial Berantai seperti dalam fungsi produksi menghitung Marginal Physical Product of Capital, Marginal Physical Product of Labor, arginal Revenue Product of Capital dan Marginal Revenue Product of Labor. PENERAPAN TEORI DIFERENSIAL DALAM BISNIS DAN EKONOMI B. PERAPAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI Penerapan Teori Diferensial Biasa Teori Diferensial biasa diterapkan dalam berbagai masalah diantaranya untuk mencari : I. Laju Pertumbuhan II. Optimasi (Nilai Maksimum dan Minimum) III. Elastis titik: Analisis Fungsi dan Grafis. 1. Laju Pertumbuhan (Fungsi Marginal) Fungsi Marginal merupakan turunan pertama dari fungsi-fungsi total yang merupakan fungsi ekonomi. Fungsi Marginal menggambarkan laju pertumbuhan suatu variabel terikat akibat perubahan variabel bebasnya. Secara umum jika diberikan fungsi total sebagai berikut: y = f (x), maka diperolehlah fungsi Marginalnya dy/dx : laju perubahan y akibat perubahan x sebanyak 1 unit. Lebih jauh lagi : Jika fungsi marginal itu hasilnya positif, dikatakan perubahan searah; artinya jika x bertambah 1 unit maka y akan bertambah pula atau sebaliknya jika x berkurang 1 unit maka y akan berkurang pula. Jika fungsi marginal hasilnya negatif, maka dikatakan perubahannya tidak searah, yang artinya jika x bertambah 1 unit, maka y berkurang atau sebaliknya jika x berkurang 1 unit maka y akan bertambah. Contoh soal : Marginal Pendapatan (Marginal Revenue) 1. Fungsi permintan diberikan P = 3Q+27, di mana P: Price (harga) dan Q: Output.Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya (Marginal Revenue) dan berapa nilai marginal pendapatannya jika perusahaan memproduksi 10 output, serta terangkan artinya. Jawab : fungsi total pendapatan (Total Revenue) R = P.Q R = (3Q+27).Q R = 3Q2+27Q Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue) MR = dR/dQ = 6Q + 27 33
Jika perusahan berproduksi pada tingkat output Q = 10 , maka MR = dR/dQ = 6Q + 27 = 6(10) + 27 = 60 +27 = 87 Artinya : untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 87, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan banyak menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 87 2. Fungsi Permintaan diberikan Q = 6 - 5P, dimana P: Price (harga) dan Q: Penjualan. Bagaimanakah Fungsi marginal pendapatanya (Marginal Revenue) dan berapakah nilai marginal pendapatanya jika perusahaan memproduksi baru 1 penjualan ,serta terangkan artinya. Jawab: Karena fungsi permintaanya Q = 6 - 5P, dimana harus diubah dahulu menjadi P = 6/5 1/5Q Barulah mencari fungsi total pendapatan (Total Revenue): R = P.Q R = (6/5 1/5Q) Q R = 6/5Q-1/5Q2 Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue): MR = dR/dQ = 6/5 - 2/5Q Jika perusahaan berproduksi pada tingkat output Q = 1, maka MR= dR/dQ = 6/5 - 2/5.(1) = 6/5 - 2/5 = 4/5 artinya :untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 4/5,sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 4/5, sebaliknya untuk setiap penurunan 3. Fungsi Pendapatan Rata-rata (Average Revenue) diberikan AR = 80 4 Q Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya (Marginal Revenue) dan berapakah nilai marginal pendapatannya jika perusahaan memproduksi 7 output, serta terangkan artinya. Jawab: Fungsi total pendapatan ( Total Revenue) : R = AR . Q R = (80 4 Q) Q R = 80 Q 4 Q2 Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue) : MR = dR/dQ = 80 - 8 Q Jika perusahaan memproduksi pada tingkat output Q = 7, maka MR = dR/dQ = 80 - 8(7) = 80 56 = 24 Artinya: untuk setiap peningkatan output Q yang di jual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 24, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang di jual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 24. 4.Fungsi pendapatan rata-rata (Average Revenue) di berikan AR = 30. e Q/2 Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya (Marginal Revenue) dan berapakah nilai marginal pendapatannya jika perusahaan memproduksi 2 penjualan, serta terangkan artinya. Jawab : Funsi total pendapatan (Total Revenue) : R=AR.Q R=(30.e Q/2)Q R=30Q.e Q/2 Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue) : Dengan mengambil U = 30 Q. Sehingga U=30 Dan V = e Q/2 Sehingga V=1/2.e Q/2 Maka MR= dR/dQ = U V+U V = 30.e Q/2+30 Q.1/2.e Q/2 = 30.e Q/2+15 Q. e Q/2 = e Q/2(30+15 Q) Jika perusahaan berproduksi pada tingkat output Q = 2 Maka MR = dR/dQ = e Q/2 ( 30+15 Q) = e 2/2 ( 30+15.2) = 60 e 34
Artinya : untuk setiap peningkatan penjualan Q yang di jual 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 60 e, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang di jual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 60 e. Contoh soal: Marginal Biaya (Marginal Cost) 5. Fungsi Total Biaya suatu perusahaan dinyatakan sebagai berikut: C = Q3 - 4Q2 + 10Q + 75 Bagaimanakah fungsi marginal biayanya (Marginal cost) dan berapakah nilai marginal biaya tersebut jika perusahaan memproduksi 2 penjualan, serta terangkan arti. Jawab: Fungsi total biaya (total biaya): C = Q3 - 4Q2 + 10Q + 75 Fungsi Marginal Biaya (marginal cost): C = 3Q2 - 8Q + 10 Jika perusahaan berproduksi pada tingkat penjualan Q = 2, maka MC = C= 3Q2 - 8Q + 10 = 3(2)2 - 8(2) + 10 = 12 16 + 10 = 6 Artinya: Untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan biaya sebesar 6, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya pengurangan biaya sebesar 6. Optimasi Satu Variabel (Nilai Ekstrim Maksimum atau Minimum) Dalam masalah optimasi, ada dua pertanyaan yang senantiasa diajukan. Misalkan untuk fungsi dengan satu variabel y= f (x), permasalahannya: i. Berapakah x yang akan memberikan y optimum? Jika itu telah terjawab, maka pertanyaan selanjutnya baru bisa dijawab yaitu: ii. Berapakah y yang optimum tersebut? Untuk menjawab pertanyaan pertama, langkah-langkahnya dijelaskan dibawah ini: Untuk fungsi yang mengandung satu variabel y= f(x) Maksimum Langkah I Langkah II Y = 0 Y < 0 Minimum Y = 0 Y > 0 Diperoleh titik X Menjamin Nilainya Optimum (Maksimum atau Minimum)
Contoh: memaksimasi total pendapatan (total revenue) 1. Harga jual barang P = - 2Q + 16, tentukan berapa output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum. Jawab: Fungsi total pendapatan: P = - 2Q + 16 R = P.Q = (- 2Q + 16) Q R = - 2Q2 + 16Q Langkah pertama mencari turunan pertama fungsi total pendapatan kemudian dibuat = 0 R = - 4Q + 16 = 0 4Q = 16 Q=4 Agar dijamin bahwa jika menjual sebanyak Q = 4 maka akan diperoleh total pendapatan maksimum, maka lakukanlah langkah kedua yaitu mencari turunan kedua fungsi total pendapatan: R = - 4 Ternyata R = - 4 < 0 sehingga diperoleh nilai maksimum Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh total pendapatan maksimum yaitu sebanyak 4. Total pendapatan maksimumnya: R = - 2Q2 + 16Q R = - 2(4)2 + 16(4) R = 32 35
Jadi ketika menjual produk sebanyak 4, maka akan diperoleh total pendapatan maksimum sebesar 32. Contoh soal: Memaksimasi Marginal Pendapatan (marginal revenue) Harga jual barang P = 16 - 2Q, tentukan berapa output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh marginal pendapatan maksimum. Berapakah marginal pendapatan maksimum tersebut? Jawab: Fungsi permintaan: P = 16 - 2Q Fungsi total pendapatan: R = P.Q = (16 - 2Q) Q = 16Q 2Q2 Fungsi marginal pendapatan: MR = 16Q - 2Q2 Turunan pertama: MR = 16 - 4Q = 0 16 = 4Q Q=4 Turunan kedua: MR = - 4 < 0 Jadi output yang harus diproduksi dan dijual agar diperoleh marginal pendapatan maksimum sebanyak 4. Marginal pendapatan maksimumnya: MR = 16Q - 2Q2 = 16(4) - 2(4)2 = 48 contoh soal: Meminimumkan Total Biaya (Total Cost) 3. Biaya total dinyatakan dengan C(Cost) = 5Q2 - 1000Q + 85000 Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan total biaya minimum? Berapakah total biaya minimum tersebut? Jawab: C = 5Q2 - 1000Q + 85000 C= 10Q 1000 = 0 10Q = 1000 Q = 100 C = 10 > 0 Jadi total biaya minimum akan tercapai jika berproduksi sebanyak 100 unit. Total biaya minimumnya sebesar: C = 5Q2 - 1000Q + 85000 C = 5(100)2 - 1000(100) + 85000 C = 35000 Jadi total biaya minimumnya sebesar: 35000 Contoh soal: Meminimasi Marginal Biaya (Marginal Cost) 4. Biaya total dinyatakan dengan C (Cost) = Q3 -90Q2 + 2800Q + 56500 Pada tingkat produksi berapakah akan menyebabkan marginal biaya minimum? Berapakah marginal biaya minimum tersebut? Jawab: Fungsi total biaya: C = Q3 - 90Q2 + 2800Q + 56500 Fungsi marginal biaya: MC = 3Q2 - 180Q + 2800 Turunan pertama: MC= 6Q 180 = 0 6Q = 180 Q = 30 Turunan kedua: MR = 6 > 0 Jadi output yang harus diproduksi agar diperoleh marginal biaya minimum sebanyak 30. Marginal biaya minimum: MC = 3Q2 - 180Q + 2800 = 3(30)2 - 180(30) + 2800 = 100 Jadi marginal biaya minimum akan tercapai jika berproduksi sebanyak 30 unit:100
2.
36
5.
Contoh soal : Memaksimasi laba / keuntungan / provit Di berikan fungsi permintaan dan fungsi biaya masing-masing sebagai berikut: P = 1000 - 2Q Dan C = Q3 - 59Q2 + 1315Q + 2000 Berapakah produk yang harus di produksi dan di jual sehingga dapat di peroleh laba yang maksimum ? Berapakah laba maksimum tersebut ? Jawab: Fungsi pendapatan: R = P.Q R = (1000 - 2Q).Q R = 1000 Q - 2 Q2 Fungsi biaya: C = Q3 - 59Q2 +1315Q + 2000 Fungsi laba: Laba = Pendapatan biaya Laba = (1000Q - 2Q2) - (Q3 - 59Q2 + 1315Q + 2000) Laba = - Q3 + 57Q2 - 315Q - 2000 Turunan pertama: Laba = -3Q2 + 114Q - 315 = Q2 - 38Q + 105 = (Q - 3) (Q - 35) = 0 Q1 = 3 Dan Q2 = 35 Turunan kedua: Laba = - 6Q + 114 Untuk Q1 = 3, maka turunan ke dua = - 6(3) + 114 = 96 > 0 Berarti jika di produksi output sebanyak 3, maka labanya akan minimum. Untuk Q2 = 35, maka turunan ke dua = - 6(35) + 114 = - 96 < 0 Berarti jika di produksi output sebanyak 35, maka labanya akan maksimum. Laba maksimum nya sebesar : Laba = - Q3 + 57Q2 - 315Q - 2000 = - (35)3 + 57(35)2 - 315(35) - 2000 = 13925 Jadi dengan memproduksi dan menjual output sebanyak 35 akan di peroleh laba maksimum sebanyak : 13925 Contoh soal: Memaksimasi Penerimaan Pajak Salah satu sumber penerimaan pemerintah adalah dengan penarikan pajak, misalnya pajak penjualan yang di kenakan pemerintah terhadap setiap unit yang di produksi dan di jual oleh pengusaha. Pemerintah berupaya untuk memaksimumkan penerimaan pajak tersebut. Untuk itu pemerintah harus menentukan berapa tarif pajak yang akan di berlakukannya sehingga akan di peroleh pajak maksimum. Total pajak yang akan di terima perintah : T = t. Q* di mana t: tarif pajak yang di kenakan pemerintah dan Q*= Jumlah output yang di produksi dan di jual pengusaha sehingga di peroleh laba maksimum, yang telah mempertimbangkan biaya pajak. Dari sudut pandang pengusaha setelah ada pengenaan pajak dari pemerintah: Laba = pendapatan (biaya + pajak) = R (C+T), R: Pendapatan =RCT C: Biaya =RCtQ T: Pajak Q :Tingkat output yang di produksi dan di jual oleh pengusaha, yang memberikan laba maksimum setelah mempertimbangkan adanya pajak penjualan dan pemerintah.
6.
Total pendapatan dan total biaya di berikan sebagai berikut : R = 15Q - 2Q2 Dan C = 3Q Berapakah tarif pajak yang sebaiknya di kenakan pemerintah kepada pengusaha agar pemerintah memperoleh total pajak maksimum ? Berapakah total pajak maksimum yang di peroleh ? Jawab: Dari sudut pandang pengusaha: Laba = R C t Q = 15 Q 2 Q2 3Q t Q = -2 Q2 + 12Q t Q Turunan pertama: Laba = - 4Q + 12 t = 0 12 t = 2Q 37
2Q Q*
= 12 - t = 12 - t 4 Q* = b t Turunan ke dua: Laba = - 4 < 0 Jadi dengan memproduksi sebanyak Q* = 3 t, pengusaha akan memperoleh laba maksimum. Dari sudut pandang pemerintah: Pajak: T =t (3 t) =3t 1/4 t2 Turunan pertama: T1 = 3 t = 0 T=6 Turunan ke dua : T = - Jadi tarif pajak yang memberikan total pajak maksimum sebesar: 6 Karena Q* = 3 t = 3 6/4 (6) = 3 1,5 = 1,5 Maka total pajak maksimum: T = t . Q* = 1,5 = 9 Jadi total pajak yang yang di terima pemerintah sebesar: 9 Contoh soal: Fungsi penerimaan dan fungsi biaya suatu produk di nyatakan sebagai berikut: R = 360 Q 10,5 Q2 Dan C = 100 Q 4 Q2 Berapakah produk harus di buat dan di jual perusahaan agar di peroleh laba maksimum? Berapakah laba maksimum tersebut? Jika pemerintah ingin memperoleh pajak penjualan yang maksimum, berapakah tarif pajak yang harus di kenakan pemerintah kepada perusahaan tersebut? Berapakah total pajak maksimum yang di dapat pemerintah? Berapakah laba maksimum yang di terima perusahaan setelah di kenakan pajak ? Jawab: Dari sudut pandang pengusaha: Laba = R C t Q = 360 Q 10,5 Q2 (100 Q 4 Q2) t Q = 360 Q 10,5 Q2 100 Q + 4 Q2 t Q = 260 Q 6,5 Q2 t Q Turunan pertama: Laba = 260 13 Q t = 0 260 t = 13 Q Q = 260 t 13 Q*= 20 1 t 13 Turunan ke dua : Laba = - 13 < 0 Jadi dengan memproduksi sebanyak Q* = 20 1/ 13 t, pengusaha akan memperoleh laba maksimum. Dari sudut pandang pemerintah: Pajak: T = t Q* = t (20 1/13 t) = 20 t 1/3 t 2 Turunan pertama : T = 20 2/13 t = 0 20 = 2/13 t t = 130 Turunan ke dua : T = - 2/13 Jadi taruf pajak yang memberikan total pajak maksimum sebesar : 130 Karena Q2 = 20 1 t 13 = 20 1 (130) 13 = 20 10 = 10
7.
38
Maka Total pajak maksimum: T = t . Q* = 130 . 10 = 1300 Jadi total pajak yang di terima pemerintah sebesar 1300. Laba maksimum yang di terima oleh pemerintah besarnya: Laba = 260 Q 6,5Q2 t Q = 260 (10) 6,5(10)2 (130)(10) = 2600 65 1300 = 1235 Jadi pemerintah menerima laba maksimum sebesar 1235 Contoh soal : Meminimasi Total Biaya Persediaan Dalam hal persediaan, manajemen perusahaan senantiasa di perhadapkan kepada permasalahan yaitu jika jumlah persediaan bahan mentah maupun persediaan barang jadi di perhitungkan banyak, hal itu berarti menimbulkan biaya penyimpanan. Akan tetapi, sebaliknya jika persediaan bahan mentah di perhitungkan sedikit saja, maka akan ada resiko yaitu menimbulkan hambatan dalam proses produksi. Demikian pula jika persediaan barang jadi di perhitungkan sedikit maka akanmenimbulkan keluhan pada konsumen akibat kelangkaan barang (permasalahan dalam pemasaran). Jika kelangkaan barang tersebut terjadi berlarut-larut, maka pada akhirnya para konsumen akan mencoba untuk menutup kebutuhannya dengan cara melirik produk dari pesaing. Hal tersebut kemudian berdampak dapat mengakibatkan perusahaan yang bersangkutan kehilangan pelanggan, kehilangan pangsa pasarnya. Perusahaan tersebut, untuk kemudian akan sangat sulit jika berusaha untuk mencoba mengembalikan pangsa pasarnya kembali karena berhubungan dengan kepercayaan pelanggan serta di butuhkan investasi yang sangat besar misalkan untuk biaya pemasarannya (periklanannya) Biaya- biaya yang ada hubungan dengan masalah persediaan, di antaranya: 1. biaya pemesanan, 2. biaya penyimpanan, 3. biaya yang di timbulkan akibat kekurangan persediaan sehingga menghambat proses produksi atau pemasaran. Model yang akan di bahas dalam buku ini yaitu: model pengendalian persediaan dengan kedatangan berkala (batch arrival model). Model pengendalian persediaan dengan kedatangan berkala dalam model ini di asumsikan bahwa : 1. Jumlah kebutuhan barang, yang berarti jumlah pemesanan barang, dalam suatu periode waktu tertentu di ketahui jumlahnya tetap dari tiap-tiap periode waktu. 2. biaya pemesanan tidak bergantung pada jumlah barang. 3. tidak terjadi kekurangan persediaan sehingga tidak ada biaya yang di timbulkan akibat kekurangan persediaan. 4. sub-periode kedatangan panjangnya tetap. Pola kedatangan barang persediaan digambarkan seperti gambar berikut ini: Persediaan ( Q )
Q/2
Jumlah Rata-rata Persediaan
Waktu D: kebutuhan jumlah barang per periode waktu yang kemudian dibagi sama besar menjadi beberapa kali pemesanan Q: jumlah pemesanan per sub-periode waktu C: biaya total persediaan C: biaya pemesanan setiap kali memesan 39
C2: biaya penyimpanan per-periode waktu Masalahnya adalah berapa unit barang yang harus dipesan setiap kali pemesanan (Q) agar biaya total persediaan (C) minimum. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, maka akan dihitung total biaya pemesanan dan total biaya penyimpanan sebagai berikut: Total biaya pemesanan: Misalakan dibutuhkan 100 kg yang akan dipesan sebanyak 25 kg, maka D = 100 dan Q = 25 sehingga setiap periode waktu akan ada kedatangan akibat pemesanan sebanyak D/Q dengan biaya total pemesanan: (D/Q) C1. Total biaya penyimpanan: Rata-rata sepanjang periode waktu terdapat Q/2 persediaan sehingga biaya total penyimpanan per periode waktu: (Q/2) C2 Jadi total biaya persediaan = total biaya pemesanan + total biaya penyimpanan C = Q C1 + Q C2 D 2 Yang menjadi permasalahan adalah berapakah jumlah unit atau barang yang harus dipesan agar dapat diperoleh total biaya persediaan yang minimum? Untuk menjawab permasalahan tersebut, perlu dicari: jumlah produk yang harus dipesan setiap kali pemesanan sehingga diperoleh total biaya persediaan yang minimum: Q Q Total biaya persediaan: C = C1 + C2 D 2 Q = D.Q1 . C1. C2 2 Turunan pertama: C = D.C1.(-1) .Q-2 + C2 =0 D.C1 + C2 =0 Q2 C2 Q2 Q= =
D.C1 Q2 D.C1 C2
=
2 D.C 1 C2
Turunan kedua: C = 2D.C1 > 0 menjamin biaya persediaan minimum. Q3 Contoh soal: seorang penjaja kue kering memerlukan tepung terigu sebanyak 100 kg setiap bulan. Biaya pemesanan setiap kali memesan sebesar Rp. 2500 per-pemesanan, sedangkan biaya penyimpanannya Rp. 50 per-minggu. Berapakah kg yang harus dipesan setiap kali memesan? Berapa kali pemesanan harus dilakukan dalam satu bulan? Berapakah total biaya persediaan minimumnya? Jawab: Jika diketahui bahwa: D : Jumlah total pemesanan per-bulan:100 kg C1: Biaya pemesanan: Rp. 2500 C2: Biaya penyimpanan: Rp. 50 per-minggu = Rp 200 per-bulan. Jumlah yang harus dipesan: Q Q = Q = 50 40=
8.
2 D.C 1 C2 2.100.2500 200
Jadi setiap kali memesan akan dipesan sebanyak 50 kg. Dalam waktu satu bulan dilakukan pemesanan sebanyak: D/Q = 100/50 =2 kali pemesanan. Total biaya persediaan: C = Q C1 + Q C2 D 2 50 100 C= 2500 + 200 2 50 C = 10.000 Jadi total biaya persediaan minimum : Rp 10.000
Elastisitas Titik: Analisis Fungsi dan Grafis. Elastisitas mengukur derajat kepekaan variabel terikat akibat adanya perubahan variabel bebasnya. Misal: y = f(x), maka seberapa jauh perubahan y akibat perubahab x di sebut elastisitas y terhadap x. Di tulis Eyx. Analisis fungsi Untuk menghitung besarnya elastisitas terhadap x, jika diketahui fungsinya, digunakan Rumus: Eyx = y/y atau Eyx = y/ x x/x y/x untuk perubahan yang kecil rumusnya menjadi : Eyx=dy/dx y/x contoh soal: Elastisitas Permintaan 1. Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut: Qd = 8 - 0,5 P Hitunglah besar dan jenis elastisitas pada titik P1 = 4, P2 = 8, dan P3 = 12 Jawab: Untuk titik P1 = 4 maka Qd = 8 - 0,5(4) = 8 2 = 6 Jadi EQDP1 = 4 = dQd/dP1= -0,5 = -0,5 . 4 = -1 Qd / P1 6/4 6 3 Besar elastisitas permintaan dititik P1 = 4 adalah -1/3 1 / 3 =1/3 1 (ELASTIS) Jenis elastisitas permintaan dititik P3 = 12 adalah E Analisa Grafis: Elastisitas permintaan Contoh soal: 4. Untuk contoh soal di atas di mana fungsi permintaan: Qd = 8 0,5 P, Grafik fungsinya: 1 4 0 4 Qd EQDP1=4 = = = 3 16 4 12 8 8 0 EQDP2=8 = = =1 8 16 8 12 EQDP3=12 = 12 0 = =3 4 16 12 P 41
Contoh soal: Elastisitas penawaran 5. Di berikan fungsi penawaran sebagai berikut: Qs = 6 + 2P Hitunglah besar dan jenis elastisitas pada titik P1 = 4, P2 = 8, Dan P3 = 12 Jawab: Untuk titik P1 = 4 Maka Qs = 6 + 2(4) = 6 + 8 = 14 Jadi E QdP1 = 4 = dQs/Dp1= + 2 = + 2 . 4 = 8 = 4 Qs/P1 14/4 14 14 7 Besar elastisitas permintaan di titik P1 = 4 adalah 7 Jenis elastisitas permintaan di titik P1 = 4 adalah E = +4/14 = 7 < 1 (INELASTIS) Untuk titik P2 = 8 maka Qs = + 2 (8) = 6 + 16 = 22 Jadi E QdP2 = 8 = dQs/Dp2 = + 2 = + 2 . 8 = 16 = 8 Qs/P2 22/8 22 22 11 Besar elastisitas permintaan di titik P2 = 8 adalah 8/11 Jenis elastisitas permintaan di titik P2 = 8 adalah E = 8/11 < 1 (INELASTIS) Untuk titik P3 = 12 maka Qs = 6 + 2 (12) = 6 + 24 = 30 Jadi E QdP3 = 12 = dQs/dP3 = + 2 = + 2 . 12 = 24 = 4 Qs/P3 30/12 30 30 5 Besar elastisitas permintaan di titik P3 = 12 adalah = 4/5 Jenis elastisitas permintaan di titik P3 = 12 adalah E = + 4/5 = 4/5 < 1 (INELASTIS) Analisis Grafis: Elastisitas Penawaran Contoh soal : 6. Untuk contoh soal di atas di mana fungsi permintaan: Qd = 6 + 2P, grafik fungsinya: QS Qd= 6 + 2P 14 6 8 4 EQDP1=4 = = = 30 14 0 14 7 22 16 22 6 8 EQDP2=8 = = = 22 22 0 11 14 24 4 6 EQDP3=12 = 30 6 = = 30 5 30 0 4 8 12 P Penerapan Teori Diferensial Berantai Teori diferensial berantai di terapkan dalam masalah produksi di antaranya untuk mencari: I. Marginal Revenue Product Of Labour (MRP L)* II. Marginal Revenue Product Of Capital (MRP C)* Contoh Soal: Marginal Revanue Product Of Labour (MRPL) 1. Fungsi pendapatan dari suatu pabrik di berikan sebagai berikut: R = - Q2 = 140 Q + 5 DI Mana Q adalah produksi, sedangkan fungsi produksinya Q = 4 L. Jika jumlah tenaga kerja yang ada 10 orang: Berapakah Marginal Physical Product Of Labour (MRP L) Dan jelaskan artinya! Berapakah Marginal Revenue Product Of Labour (MRP L) Dan jelaskan artinya! Jawab: Fungsi Produksi: Q = 4 L Sehingga dQ Marginal Physical product of labour (MRP L): =4 dL Artinya: Pada tingkat tenaga kerja berjumlah 10 orang, # untuk setiap penambahan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan penambahan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 4 unit; sebaliknya # untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan pengurangan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 4 unit
42
Fungsi pendapatan: Marginal Revenue:
R = - Q2 + 140Q + 5 dR = - 2Q + 140 dQ
Mencari Marginal Revenue Product of Labour (MRP L): dR dR dQ = . dL dQ dL dR = (-2Q + 140) (4) dL dR = -8Q + 560 dL Jadi Marginal Revenue Product of Labour (MRP L) = - 8Q + 560 =- 8 (4L) + 560 = - 32 L + 560 Untuk tenaga kerja sebanyak 10 orang, maka MRPL = -32(10) + 560 = -320 + 560 = 240 Artinya: Pada tingkat tenaga kerja berjumlah 10 orang, # untuk setiap penambahan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 240; sebaliknya # untuk setiap pengurangan tenaga kerja sebanyak 1 orang akan menyebabkan pengurangan pendapatan sebanyak 240 contoh soal: marginal revenue product of capital (MRPC) 2. Fungsi pendapatan dari suatu pabrik diberikan sebagai berikut: R = - 3000Q2 + 410000Q + 7 di mana Q adalah produksi, sedangkan fungsi produksinya Q = 3C. Jika kapital yang dimiliki 1000: Berapakah Marginal Physical Product of Capital (MPPC) dan jelaskan artinya! Berapakah Marginal Revenue Product of Capital (MRPC) dan jelaskan artinya! Jawab: Fungsi produksi: Q = 3C sehingga Marginal Physical Product of capital (MRPC): Dq = 3dC Artinya: Pada tingkat kapital sebanyak 1000, # untuk setiap penambahan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan penambahan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 3 unit; sebaliknya # untuk setiap pengurangan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan pengurangan jumlah barang yang diproduksi sebanyak 3 unit. Fungsi pendapatan: R = -3000Q2 + 410000Q + 7 maka dR Marginal revenue: = -6000Q + 410000 dQ Mencari Marginal Revenue Product of Capital (MRPC): dR dR dQ = . dC dQ dC dR = (-6000Q + 410000) (3) dC dR = -18000Q + 1230000000 dC Jadi marginal revenue product of capital (MRP L) = -18000Q+1230000000 = -18000(3C)+1230000000 = -54000C+1230000000 Untuk kapital sebanyak 1000 maka MRPL = -54000C+1230000000 = -54000(1000)+1230000000 43
= -54000000+1230000000 = 1176000000 Artinya: Pada tingkat kapital sebanyak 1000, maka # untuk setiap penambahan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 1176000000 sebaliknya # untuk setiap pengurangan kapital sebanyak 1 akan menyebabkan pengurangan pendapatan sebanyak 1176000000 Penerapan Teori Diferensial Parsial Teori Diferensial Parsial diterapkan dalam berbagai masalah di antaranya untuk mencari: I. Elastisitas Parsial II. Optimasi 2 variabel: Maksimasi pendapatan Minimasi biaya Maksimasi laba/keuntungan III. Mencari marginal rate technical substitution(MRTS) Elastisitas Persial Fungsi permintaan suatu barang tentu di tentukan oleh harga barang itu sendiri. Akan tetapi, juga ternyata di tentukan oleh harga barang lain tersebut merupakan barang substitusinya atau barang komplementernya. Di samping itu juga di tentuka oleh pendapatan. Misalnya ada dua barang yaitu barang 1 dan barang 2. fungsi permintaannya masing-masing dapat di tuliskan sebagai berikut: Qd1 = f (P1,P2,Y) Dan Qd2 = f (P1,P2,Y) Fungsi permintaan barang 1 di pengaruhi oleh harga barangnya sendiri (P 1), harga barang lain (P2), dan pendapatan (Y). Demikian pula dengan fungsi permintaan barang 2 di pengaruhi oleh harga barangnya sendiri (P2), harga barang lain (P1), dan besarnya pendapatan (Y). Price elastisity of demand Mencari kepekaan fungsi permintaan terhadap perubahan harga barangnya sendiri, yaitu: kepekaan fungsi permintaan barang 1 (Qd1), akibat perubahan harga barangnya (P1) maupun kepekaan fungsi permintaan barang 2 (Qd2) akibat perubahan harga barangnya (P2): Jadi E QdP1 =
dQd 1 / dP1 dQd 2 / dp 2 dan E QdP2 = Qd 1 / p1 Qd 2 / p 2
Cross Elasticity of demand Mencari kepekaan fungsi permintaan terhadap perubahan harga barang lain, yaitu: kepekaan fungsi permintaan barang 1 (Qd1) akibat perubahan harga barang lain (P2) maupun kepekaan fungsi permintaan barang 2 (Qd2) akibat perubahan harga barang lain (P1): dQd 1 / dP 2 dQd 2 / dP1 Jadi E QdP1 = dan EQdp2 = Qd 1 / P 2 Qd 2 / P1 Income Elasticity of Demand Mencari kepekaan fungsi permintaan terhadap perubahan pendapatan: Yaitu: kepekaan fungsi permintaan barang 1 (Qd1) akibat perubahan pendapatan (Y) maupun kepekaan fungsi permintaan barang 2 (Qd2) akibat perubahan pendapatan (Y); dQd 1 / dY dQd 2 / dY Jadi E QdP1 = dan E QdP2 = Qd 1 / Y Qd 2 / Y
Hubungan antar-komoditi: # jika hasil dari perhitungan cross elasticity of demand positif, maka hubungan antar komoditi adalah substitusi; sedangkan # jika hasil dari perhitungan cross elasticity of demand negatif, maka hubungan antar komoditi adalah komplementer.
44
Contoh soal: 1. Qdr = 2Pj - 30 Pr + 0,05 Y Untuk Pj = 3000, Pr = 100, dan Y = 30000 Carilah: - Price Elasticity of Demand - Cross Elasticity of Demand - Income Elasticity of Demand Bagaimanakah hubungan antara komoditi j dan r? Jawab: Price Elasticity of Demand: dQdr / d Pr 30 2 30 E QdPr = = = = Qdr / pr 4500 / 100 3 45 Cross Elasticity of Demand: dQdr / dPj 2 60 4 E QdPr = Qdr / pj 4500 / 3000 45 3 Income Elasticity of Demand: dQdr / dY 0,05 15 1 E QdPr = Qdr / Y 4500 / 30000 45 3 Hubungan antara komoditi r dan j: Karena Cross Elasticity of Demand hasilnya positif, maka hubungan antara komoditi r dan komoditi j adalah Subtitusi. Optimasi Dua Variabel. Fungsi yang mengandung 2 variabel misalnya dituliskan sebagai berikut: Y=f(x1,x2) Dalam setiap permasalahan optimasi, selalu memunculkan dua pertanyaan: 1. Berapakah x1 dan x2 yang akan memberikan Y optimum (maksimum atau minimum) 2. Berapakah Y optimumnya (maksimum atau minimum) Untuk dapat menjawab pertanyaan pertama tersebut, maka diberikan langkah-langkahnya sebagai berikut: Optialisasi dua variabel Y = f ( x1 ,x2 ) Maksium Langkah I Turunan pertama Y1 = 0 , Y2 = 0 Minimum Turunan pertama Y1 = 0 , Y2 = 0 Diperoleh X1 dan X2
Langkah II
Turunan kedua dan Matriks Hessian: H = Y11 Y12 Y21 Y22 D1 = Y11 < 0Difinit negatif, Menjamin Y maksium
Langkah III
D1 = Y11 > 0Difinit positif, Menjamin Y minimum
Diperoleh Titik ekstrim maksium atau titik ekstrim minimum
Langkah-langkah dalam tabel tersebut membantu untuk memperoleh X1 dan X2 yang pasti akan menjamin bahwa Y optimal, jadi ke tiga langkah tersebut di atas hanyalah untuk menjawab pertanyaan pertama saja. Belum di peroleh berapa besar Y yang optimal tersebut. Untuk mendapatkan nilai Y yang optimal maka nilai X1 dan X2 harus di masukan dalam persamaan Y tersebut.untuk memberikan penjelasan yang lebih jelas, maka di bawah ini di berikan tiga contoh yang merupakan permasalahan optimal dua variabel, yaitu: maksimasi pendapatan, minimasi biaya, maksimasi laba.
45
Contoh soal: Maksimasi pendapatan 1. Di berikan fungsi pendapatan : R = 160 Q1 3 Q12 2 Q1 Q2 2Q22 + 120 Q2 180 Berapakah jumlah produk 1 dan produk 2 yang harus di produksi dan di jual sehingga dapat di peroleh pendapatan maksimum? Berapakah pendapatan maksimumnya? Jawab: jumlah produk 1 dan 2 yang harus di jual : Langkah pertama ialah mencari turunan pertama fungsi pendapatan: R1 = 160 6 Q1 2 Q2 = 0 R2 = 120 2 Q1 4 Q2 = 0 Untuk mencari Q1 dan Q2 menggunakan aturan determinan: Fungsinya menjadi: 6 Q1 2 Q2 = - 160 2 Q1 4 Q2 = - 120 Maka 160 2 120 4 (-160)(-4) - (-2)(-120) 640 - 240 400 Q1 = = = = = 20 6 2 (-6) (-4) - (2) (-2) 20 24 4 2 4
6 160 2 120 (-6)(-120) - (-2)(-160) 720 - 320 400 Q2 = = = = = 20 6 2 (-6) (-4) - (2) (-2) 20 24 4 2 4 Langkah ke dua adalah mencari turunan keduannya: R11 = -6, R12 = -2, R21 = -2, R22 = -4 R 11 R12 - 6 - 2 Matriks hessiannya: H = R21 R22 -2 -4Matriks pertamanya
