1 PENGETAHUAN DASAR MATEMATIKA 1.1 PENDAHULUAN Banyak model dan permasalahan ilmu ekonomi yang dinyatakan dengan bahasa matematika dan dianalisis dengan tekni matematika. Perhitungan aljabar akan menjadi bagian dari keseluruhan alat analisis kuantitatif dengan matematika. Mengingat matematika merupakan ilmu yang lebih mudah dipelajari dengan menggunakan contoh, maka dalam buku ini terdapat contoh-contoh yang harus dikerjakan untuk memastikan bahwa ketrampilan penggunaan alat aalisis dengan matematika sudah terkuasai. 1.2 BILANGAN RIIL Terdapat 4 garis A dengan skala sebagai berikut : a. Nilai a merupakan bilangan riil yang ditentukan dengan skala yang dibuat b. Karena a berada di sebelah kiri b, maka dapat dinyatakan sebagai a < b. Jika nilai yang sebenarnya tidak hanya satu titik, maka bisa dinyatakan sebagai a < b jika a < b atau a = b Bab 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
PENGETAHUAN DASAR MATEMATIKA
1.1 PENDAHULUAN
Banyak model dan permasalahan ilmu ekonomi yang dinyatakan dengan
bahasa matematika dan dianalisis dengan tekni matematika. Perhitungan
aljabar akan menjadi bagian dari keseluruhan alat analisis kuantitatif dengan
matematika. Mengingat matematika merupakan ilmu yang lebih mudah
dipelajari dengan menggunakan contoh, maka dalam buku ini terdapat
contoh-contoh yang harus dikerjakan untuk memastikan bahwa ketrampilan
penggunaan alat aalisis dengan matematika sudah terkuasai.
1.2 BILANGAN RIIL
Terdapat 4 garis A dengan skala sebagai berikut :
a.
Nilai a merupakan bilangan riil yang ditentukan dengan skala yang dibuat
b.
Karena a berada di sebelah kiri b, maka dapat dinyatakan sebagai a < b. Jika nilai yang sebenarnya tidak hanya satu titik, maka bisa dinyatakan sebagai a < b jika a < b atau a = b
c.
0,1, 2, a, b, ... disebut sebagai bilangan natural
d.
Bila a dinyatakan negatif, maka a < 0 (bukan a > 0 atau a > 0). Jadi nilai - s/d disebut sebagai poros bilangan riil. (Nilai -2, -1, 0, ... disebut nilai bilangan integer (bilangan bulat)
Bab 1
2
Untuk lebih jelasnya, dibawah ini adalah diagram bilangan riil :
1.2.1Operasi Bilangan Penjumlahan dan Pengurangan
Untuk memudahkan pemahaman, dirumuskan aturan sebagai berikut :
1. a + ( -b ) = a – b
2. a + ( +b ) = a + b
3. a - ( +b ) = a – b
4. a - ( -b ) = a + b
Dengan demikian bilangan bisa berubah tanda karena ada tanda di
depannya seperti tanda positif atau negatif di depan bilangan x sebagai
berikut :
1. + (+x) = x
2. + (-x) = -x
3. - (+x) = -x
4. - (-x) = x
1.2.2Operasi Bilangan Perkalian dan Pembagian
Abstraksi perkalian :
1. a x ( -b ) = - ( a x b ) = - ab
2. ( -a ) x b = - ( a x b ) = - ab
BILANGAN RIIL
RASIONAL IRASIONAL
ALJABAR TRANSENDENTAL
Gambar 1. Diagram Bilangan Riil
3
3. ( -a ) x ( -b ) = a x b = ab
Abstraksi pembagian :
1.2.3Hasil Akhir Urut-urutan Perhitungan
Urutan prioritas perhitungan :
1. Perhitungan dalam kurung ( ... ), kemudian { ... }, kemudian [ ... ]
2. Pangkat atau akar
3. Perkalian dan pembagian (terdepan didahulukan)
4. Penjumlahan dan pengurangan (terdepan didahulukan)
1.3 BILANGAN PECAHAN
Bilangan pecahan adalah suatu jumlah nilai utuh yang dibagi menjadi
beberapa bagian. Bila a adalah bilangan utuh dan b adalah pembagi maka
dapat dirumuskan menjadi a b
. Nilai b tidak boleh nol ( b 0 ). a disebut
sebagai pembilang (numerator) dan b disebut penyebut (denumerator).
Contoh : 2736= 3 x 9
3x 12= 9
12=3 x3
3 x4=3
4
Operasi perkalian :
Untuk pembagian, berlaku :
1.4 BILANGAN DESIMAL
Karena bilangan pecahan tidak semua bisa ditampilkan dengan baik
dalam bentuk desimal, maka perlu ada kesepakatan penulisan dengan
format desimal digit berapa.
ab=a x1
b
abx
cd=a x c
b x d=ac
bd
ab
:cd=a
bx
dc=a xd
b x c=ac
bd
4
Misal satu digit seperti 0,2, 0,5, 0,4, dan seterusnya . Dua digit seperti
0,45, 0,32, 0,86, dan seterusnya.
Hasil dari pembatasan penulisa tersebut kadang kala membuat nilai
bilangan pecahan berbeda dengan yang semestinya. Misal 13 , kemudian
format dua digit menjadi 0,33, padahal bisa menjadi 0,3333 ... dan
seterusnya.
1.5 PANGKAT DAN EKSPONEN
Bila diketahui x sebagai variabel angka dan n sebagai bilangan integer
positif, maka hasil kali x sebanyak n kali disebut sebagai operasi pangkat
atau eksponen (Power and Indices). Contoh : a5 = a x a x a x a x a
Aturan untuk pangkat dan eksponen :
1. an x am = an + m
2. an : am = an – m
3. an am=anm
4.1
an=a−n
5. (an )m=an .m
6. anm=
m√an
7. (anbn )m
=anm b−nm
1.6 PENYEDERHANAAN PENULISAN BILANGAN SECARA ALJABAR
Suatu penulisan bilangan dibuat terminologi sebagai 7x3, dimana x
disebut sebagai variabel dan 7 sebagai koefisien dari x3.
1.6.1Perkalian dan Pembagian Variabel dalam Kurung
Bentuk umum perkalian :
1. a ( b + c ) = ab + ac
5
2. ( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
1.6.2Faktorisasi
Tujuan dari faktorisasi adalah untuk membuat persamaan yang sudah
ada dikembalikan menjadi persamaan perkalian dalam kurung yang
berdekatan dengan variabel tertentu.
Ada dua teknik penyelesaian, yaitu :
1. Teknik penyelesaian sederhana
Contoh : ax + ac = a ( x + c )
2. Teknik penyelesaian dua variabel bilangan dalam kurung
Contoh : a2 – b2 = ( a + b ) ( a – b )
1.7 PERSAMAAN ALJABAR
Persamaan aljabar adalah suatu persamaan yang berisi satu atau lebih
nilai bilangan yang tak dikenal. Secara umum nilai bilangan yang tidak
dikenal diwakili oleh huruf-huruf x, y dan z.
Contoh : x + 2 = 5
Terdapat beberapa macam persamaan aljabar :
1. Persamaan Pembagian
Contoh : x4=12 => x = 12 . 4
x = 48
2. Persamaan Akar
Contoh : √ x=5 => x = 52
x = 25
3. Persamaan Logaritma / Pangkat
a. Pengubahan logaritma menjadi persamaan pangkat
Contoh : 2log (x) = 2 => x = 22
6
x = 4
b. Pengubahan pangkat menjadi persamaan logaritma
Contoh : 2x=8 => x = 2log8 => x = 3
PERSAMAAN LINIER
2.1 PENDAHULUAN
Bentuk umum persamaan linier :
1. Hubungan antara dua variabel
y = ax + b
atau ditulis sebagai :
f(x) = ax + b
dimana :
y = variabel dependen
x = variabel independen
a = koefisien x
b = konstanta
2. Hubungan antara tiga variabel
z = ax + by + c atau z(x, y) = ax + by + c
dimana :
z = variabel dependen
x = variabel independen
a = koefisien x
b = koefisien y
c = konstanta
Macam persamaan ditinjau dari perbedaan hubungan yang dilihat dari
tanda :
Bab 2
7
1. Hubungan dengan tanda di depan koefisien x positif
Persentase Pajak Marginal Tax Rate T = 0,1 Y T = 10%
ImportMarginal Propensity To Import
M = 10 + 0,2Y m = 0,2
5.4 DERIVASI ORDE LANJUTAN
Turunan dari y = f(x) yaitu y’ =
dydx adalah turunan pertama dari y
terhadap x. Turunan pertama dari y mungkin juga dapat diturunkan (disebut
turunan kedua terhadap x) dan turunannya adalah :
36
y `````=`````` { { ital dy '} over { ital dx} } `````=`````` { {d} over { ital dx } } ` left ( { { ital dy} over { ital dx } } right )`````=```` { {d rSup { size 8{2} } y} over { ital dx rSup { size 8{2} } } } } {¿Hingga, jika y mempunyai turunan-turunan yang dapat diturunkan, maka
disebut turunun ke-n dari y terhadap x, untuk n bilangan bulat positif :
5.5 MARGINAL REVENUE DAN MARGINAL COST
Penggabungan dua fungsi pada bagian sebelumnya dilakukan dengan
membuat persamaan R = C ( revenue = biaya ) sehingga diperoleh hasil BEP.
Bagian ini juga akan menggabungkan dua fungsi marginal, yaitu MR = MC
dan akan diperoleh hasil nilai posisi keuntungan maksimum atau kerugisn
minimum sama dengan verteks.
Kasus :
R = 24Q – 2Q2
C = 18 + 4Q
Hitung : a. MR
b. MC
c. Nilai Q pada saat BEP
d. Keuntungan
e. Grafik
5.6 MARGINAL PRODUCT
Marginal Product adalah hubungan variabel tingkat perubahan input
( contohnya tenaga kerja ( L ) ) dengan tingkat perubahan variabel output
( contohnya barang atau jasa ( Q ) ). Perhitungan marginal product berasal
dari fungsi produksi ( TP ).
y(n ) = ddx
( y(n−1) ) = ddx ( dn−1 y
dxn−1 ) = dn ydxn
37
Kasus :
1. Diketahui Q = f(L) = 8√L. Hitung MPL dan gambar grafiknya
2. Diketahui fungsi produksi sebagai Q = 120√L - 5L. Hitung MPL bila
diketahui L sebagai berikut : L = 1, L = 16, L = 100 dan L = 900
3. Diketahui fungsi produksi sebagai Q = 15L2 – 0,2L3. Kapa penggunaan L
menunjukkan hukum berlakunya MPL menurun?
5.7 MARGINAL PROPENSITY TO CONSUME
Marginal Propensity to Consume (MPC) adalah rate of change konsumsi
karena perubahan pendapatan. Besar kecilnya MPC pertama kali ditentukan
oleh fungsi konsumsi.
Rumus MPC :
MPC=dCdY
38
6.1 PENDAHULUAN
Istilah maksimum atau minimum yang sesuai dengan bidang ekonomi
yang dibahas pada bagian ini adalah besarnya variabel dependen pada saat
nilai variabel independen tertentu.
6.2 KARAKTERISTIK FUNGSI
Penerapan fungsi dalam bidang ekonomi terus berkembang, walau tidak
akan mendahului ilmu matematika seperti :
1. Fungsi Aljabar
a. Polinomial : y=an . xn+an−1 x
n−1+ ...+a0
b. Rasional : y=an . x
n+an−1 . xn−1+…+a0
am. xm−1+am−1 . x
m−1+…+a0
c. Irasional : y=√x2. Transendental
a. Eksponensial : y = ax ; y = ex
b. Logaritmik : y = ln x ; y = log x
c. Trigonometri dan kebalikannya
d. Hiperbolik dan kebalikannya
3. Composite (Gabungan)
6.2.1 Increasing dan Decreasing Function
Dengan menggunakan perhitungan nilai dari derivasi pertama maka
bisa diperoleh tanda increasing (naik) dan decreasing (turun) sebagai berikut
:
Bila nilai domain naik dan nilai domain positif berarti fungsi increasing
Bila nilai domain naik dan nilai domain negatif berarti fungsi decreasing
Bab 6 MAKSIMUM DAN MINIMUM
39
6.2.2 Fungsi Cembung dan Cekung
Fungsi y = f(x) disebut cembung bila kenaikan domain membentuk range
mula-mula naik kemudian turun
Fungsi y = f(x) disebut cekung bila kenaikan domain membentuk range
mula-mula turun kemudian naik
6.3 LETAK EKSTRIM
Nilai ekstrim adalah terjadinya peristiwa perubahan x sebagai domain
yang mengakibatkan terjadinya perubahan f(x) sebagai range berhenti
sejenak (stationary) kemudian berubah arah secara berlawanan. Jadi suatu
nilai x yang ada di sekitar kiri kanan tanda slope f(x) berubah dari positif ( + )
menjadi negatif ( - ) atau sebaliknya.
Letak nilai ekstrim tersebut dapat diketahui dengan menggunakan
perhitungan tes letak sebagai berikut :
1. Dibuat persamaan derivasi pertama menjadi nol
2. Hitung nilai x sebagai titik berhenti (stationary point) sehingga diperoleh x
= a
3. Hitung besarnya derivasi kedua f(x)
4. Gunakan x = a pada langkah ke 2 untuk menghitung f(a)
5. Bila :
f”(a) > 0 maka f(x) minimum pada x = a
f”(a) < 0 maka f(x) maksimum pada x = a
f”(a) = 0 maka tes letak ekstrim gagal
Kasus :
1. Diketahui f(x) = 13x3−5 x2+25x. Lakukan tes letak ekstrim fungsi tersebut
dan hitung berapa besarnya
40
2. Diketahui f(x) = 611x
116 −16
3x
32− 9
4x
43+24 x. Lakukan tes letak ekstrim fungsi
tersebut dan hitung berapa besarnya
6.4 EKSTRIM GLOBAL
Bila dijumlah ada nilai minimum atau maksimum lebih dari satu, maka
harus dipilih nilai yang paling maksimum atau disebut nilai ekstrim
absolut.
Kasus :
Selidiki nilai ekstrim global dari f(x) = 15x5−5
3x
3
+4 x
6.5 TITIK BELOK
Ciri terdapatnya titik belok (inflection) dalam suatu fungsi apabila terdapat
nilai derivasi pertama paling tidak berbentuk U atau ∩.
Kasus :
Selidiki titik belok pada =3x3 + 159x2 – 2430x + 10800
6.6 OPTIMALISASI DALAM FUNGSI PRODUKSI
Nilai optimal dalam fungs produksi bisa dilihat dari produk maksimum, APL
maksimum dan MPL maksimum.
Rumus APL maksimum :Q(L)dL
Rumus MPL maksimum :ddL
Q(L)
Kasus :
Diketahui f(x) = 30L2 – 2L3
Hitung :
41
1. Jumlah tenaga yang digunakan saat Q maksimum
2. APL maksimum
3. Buktikan bahwa APL maksimum = MPL
6.7 OPTIMALISASI DALAM FUNGSI PROFIT
Fungsi profit adalah fungsi yang secara umum diperoleh dari selisih antara
revenue dengan biaya ( R – C ). Bentuk persamaannya adalah :
π=R−C
dimana :
= keuntungan C = Biaya
R = Revenue
Syarat pertama yang harus dipenuhi adalah R dan C adalah fungsi variabel
yang sama. Jadi bila R = f(Q) maka C = f(Q)
Kasus :
Diketahui sebuah perusahaan manufaktur menjual produk per unit dengan
harga P = 200 – 0,01Q. Manajer perusahaan menentukan biaya
produksi sebagai fungsi C = 50Q + 20000.
Ditanyakan Besar Q yang harus diproduksi supaya perusahaan mencapai
profit maksimum
42
7.1PERHITUNGAN BUNGA SEDERHANA
Variabel yang diperlukan :
1. Tingkat bunga (interest)
adalah balas jasa penyimpanan sejumlah nilai uang tertentu, biasanya di
bank atau pinjaman
Satuan : %waktu
2. Pokok pinjaman atau uang yang dibungakan (principal)
Disimpan dengan satuan moneter (satuan mata uang)
3. Periode atau jangka waktu (t)
adalah satuan waktu perhitungan bunga yang diberlakukan
Perhitungan Nilai Bunga
Adalah hasil kali bunga dengan pokok pinjaman dan periode
Rumus :
I = P i t
Dimana :
I = Nilai bunga sederhana
P = pokok pinjaman
i = tingkat bunga per satuan waktu t
t = periode
Kasus :
Bab 7 MATEMATIKA KEUANGAN
43
Sebuah KSP meminjamkan uang sebesar Rp 5.000.000,00 dengan bunga 2%
per bulan. Berapa bunga yang harus dibayarkan pada bulan berikutnya?
7.2 PERHITUNGAN NILAI AKHIR DENGAN BUNGA SEDERHANA
Rumus :
NA = P + P i t
Dimana :
NA = nilai akhir dengan bunga sederhana
P = pokok pinjaman
i = tingkat bunga per satuan waktu t
t = periode
Kasus :
Pada kasus 7.3, hitung nilai akhir per hari, bulan dan tahun
7.3BUNGA MAJEMUK DAN NILAI AKHIR (FV)
Bunga majemuk tidak dibayar per satu periode, tetapi bunga majemuk
menghitung bunga selama satu bulan dengan rumus bunga per hari (bunga
harian). Perbedaannya terletak pada bunga yang belum dibayarkan yang
kemudian secara otomatis akan menjadi pokok pinjaman.
Rumus :
FV = P (1 + i)t
Dimana :
FV = future value = nilai akhir dengan bunga majemuk
P = pokok pinjaman
i = tingkat bunga per satuan waktu t
t = periode
Kasus :
44
Pokok pinjaman sebesar Rp 5.000.000,00, bunga 9% per tahun. Perhitungan
bunga yang diberlakukan adalah per hari. Tentukan FV pada hari ke 258
7.4NILAI SEKARANG (PRESENT VALUE)
Nilai sekarang merupaka modifikasi rumus perhitungan FV :
Rumus :
FV = P (1 + i)t
Rumus PV menjadi :
PV= FV
(1+i )t
Dimana :
PV = nilai sekarang
FV = future value = nilai akhir pada periode t
i = tingkat bunga per satuan waktu t
Kasus :
Simpaan yang diharapkan bernilai Rp 20.000.000,00 pada periode 20 tahun
mendatang. Bila tabungan yang akan disimpan menjanjikan bunga 12% per
tahun dan dihitung setiap bulan, hitunglah PV.
7.5TINGKAT BUNGA EFEKTIF
Besar kecilnya tingkat bunga diukur dalam jangka waktu atau periode
tahunan. Dalam ilmu ekonomi, tingkat bunga tahunan menjadi variabel
tingkat bunga nominal (nominal interest rate). Kenyataannya, perhitungan
nilai bunga tidak selalu dihitung dalam periode tahunan. Bisa menjadi harian,
bulanan atau kuartal yang menghasilkan FV atau PV yang berbeda.
Perhitungan FV per hari lebih besar dibanding FV per bulan. Demikian juga
sebaliknya, perhitungan PV per hari lebih kecil dibanding perhitungan PV per
bulan.
45
Rumus untuk mencari tingkat bunga efektif per tahun :
r=(1+ im )
m
−1
Dimana :
r = tingkat bunga efektif per tahua (EAR = Effective Annual Rate)
i = tingkat bunga nominal per tahun
m = berapa kali perhitungan bunga per tahun
Kasus :
1. P = Rp 5.000.000,00
i = 9% per tahun
Hitung :
a. FV periode 10 tahun dihitung nilai bunga per hari
b. FV periode 10 tahun dihitung nilai bunga per bulan
c. FV periode 10 tahun dihitung nilai bunga per tahun
2. Tingkat bunga nominal 9% per tahun. Hitung :
a. Tingkat bunga efektif per tahun ( m = 360)
b. Tingkat bunga efektif per bulan ( m = 12)
7.6NILAI SEKARANG DAN AKHIR DARI ANGSURAN
Perhitungan ini sering digunakan dalam pembayaran cicilan (misal
pembelian barang secara kredit, premi asuransi, dana pensiun, dan lainnya).
Rumus :
Sn=R { (1+ i)n−1i }
A=R {(1+i )n−1
i (1+ i )n }R=A { i (1+ i )n(1+i )n−1 }
Dimana :
46
Sn = nilai akhir dari angsuran sebesar R
A = nilai akhir sekarang
R = angsuran tetap per periode
i = tingkat bunga per periode
n = lama periode angsuran
Kasus :
Pembelian barang seharga Rp 500.000,00 dengan tingkat suku bunga 9% per
tahun
a. Berapa harga barang tersebut setelah 5 bulan
b. Berapa angsuran barang tersebut per bulan selama 5 bulan
c. Berapa nilai barang sekaran yang diangsur selama 5 bulan
7.7 PERHITUNGAN BUNGA, POKOK DAN SISA PINJAMAN
Dalam kehidupan sehar-hari tanpa disadari kemampuan masyarakat
untuk membeli barang dengan harga relatif mahal tidak akan terlaksana bila
tanpa adanya pinjaman atau kredit dari bank atau lainnya, atau bisa juga
dengan menyimpan sebagian uangnya untuk membeli barang di masa yang
akan datang. Variabel yang berkaitan dengan simpan pinjam tersebut antara
lain besarnya nominal pinjaman, tingkat bunga nominal, periode
pembayaran, besarnya angsuran, dan seterusnya.
Kasus :
Seseorang ingin membeli sebuah rumah senilai Rp 200.000.000,00 dengan
uang muka Rp 50.000.000,00. Kekurangan pembayaran dibayar dengan
pinjam dari bank dengan tingkat bunga sebesar 10% per tahun. Bunga
pinjaman dihitung setiap bulan. Berapa angsuran yang harus dibayar bila
waktu pinjam 5 tahun, 10 tahun dan 15 tahun?
47
8.1 PENDAHULUAN
Dalam kenyataannya, fungsi ekonomi tidak hanya dipengaruhi oleh satu
variabel, melainkan lebih dari satu variabel. Misalnya, keuntungan ( ) tidak
hanya dipengaruhi oleh jumlah produksi ( Q ) satu macam, tetapi menjadi
dua macam ( Q1, Q2 ), sehingga model hubungannya menjadi = f ( Q1, Q2 ).
Dengan adanya penambahan variabel independen tersebut, maka analisis
yang digunakan tidak lagi diferensial saja, melainkan diferensiasi parsial. Alat
analisisnya dinamaka derivasi parsial.
8.2 FUNGSI LEBIH DARI DUA VARIABEL
Notasi fungsi lebih dari dua variabel tidak hanya berupa x saja atau y saja.
Karena lebih dari satu variabel, maka fungsinya menjadi z = f (x , y ) , Q =
f(Pq, Ps, Pk, M, S) , = f ( Q1, Q2 ) dan lainnya.
Kasus :
Diketahui f(x, y) = 3x2 + 2xy + y + 1 sebagai fungsi dua variabel x dan y. Bila
x = 1 dan y = 1, berapa hasil dari f(1, 1)?
8.3 DERIVASI PARSIAL
Pada fungsi z = (x, y) jika y dipandang sebagai suatu konstanta, maka z
adalah fungsi dari x dan turunannya terhadap x adalah :
Bab 8 DERIVASI PARSIAL
48
9
∂ z∂ x
= limΔ x → 0
f ( Δ x0 + Δ x , y0 ) − f ( x0 , y0)Δx
yang disebut DERIVASI PARSIAL dari z = f(x, y) terhadap x.
Jika fungsi z = (x, y) jika x dipandang sebagai suatu konstanta, maka z
adalah fungsi dari y dan turunannya terhadap x adalah :
∂ z∂ y
= limΔ y → 0
f ( x0 , y0 + Δy ) − f (x0 , y0 )Δ y
yang disebut DERIVASI PARSIAL dari z = f(x, y) terhadap y.
Kasus :
Diketahui f(x, y) = 3x2y + 2xy + y3 + 10, bagaimana bentuk derivasi parsial
untuk x dan derivasi parsial untuk y. Gambarkan
8.4 DERIVASI PARSIAL ORDE LANJUTAN
Turunan parsial dapat diturunkan lagi untuk memperoleh turunan parsial
kedua, yaitu:
f XX =∂∂ x ( ∂ f∂ x ) = ∂2 f
∂ x2f yy =
∂∂ y ( ∂ f∂ y ) = ∂2 f
∂ y2
f xy =∂∂ y ( ∂ f∂ x ) = ∂2 f
∂ y ∂ xf yx =
∂∂ x ( ∂ f∂ y ) = ∂2 f
∂ x ∂ y
Hal ini bisa diderivasi lebih lanjut menjadi orde ketiga, keempat dan
seterusnya
Kasus :
Hitung derivasi parsial orde pertama dan kedua dari f(x, y) = 8x2y3
49
8.5 TINGKAT PERUBAHAN SECARA PARSIAL
Pengaruh perubahan variabel independen terhadap variabel dependen
untuk kasus dua variabel independen dapat disebut sebagai Small Increment
Formula (SIF) dan notasinya :
∆ z ≈∆ x∂z∂ x
+∆ y ∂ z∂ y
≈∆ x . z x+∆ y . z y
Kasus :
Diketahui fungsi z(x, y) = x2 + 3y. Mula-mula x = 5 dan y = 8. Gunakan
rumus SIF untuk menghitung perubahan nilai z karena x berubah menjadi x =
5,021 dan y berubah menjadi y = 7,98
8.6 CHAIN RULE DAN TOTAL DERIVASI
Andaikan x = x(t) dan y = y(t) dapat dideferensialkan di t dan andaikan
z = f(x, y) dapat dideferensialkan di (x(t), y(t)). Maka z = f(x(t)) dapat
dideferensialkan di t dan :
dzdt
= ∂ z∂ x
∂ x∂ t
+ ∂ z∂ y
∂ y∂ t
Kasus :
1. Diketahui y = u3 dan u = x2. Hitung dydx
2. Diketahui R = P.Q dan P = 120 – 6Q. Hitung nilai MR menggunakan Chain
Rule
8.7 APLIKASI DERIVASI PARSAL
8.7.1Derivasi Fungsi Implisit
Jika F(x, y, z) adalah fungsi kesatuan dari x, y dan z maka dapat
dirumuskan menjadi persamaan berikut :
F(x, y, z) = 0
50
Asumsi hubungan variabel tersebut (x, y) sebagai domain untuk F(x, y, z)
dan (x, y) juga sebagai domain untuk f(x, y). Kemudian menjadi :
Fx.dx + Fy.dy + Fz.dz = 0
Karena z = f(x, y) dan juga dz = fx.dx + fy.dy, maka diperoleh :
dz=−Fx
F z
dx−F y
F z
dy
Dengan syarat F 0, untuk bisa diperoleh :
f x=∂ z∂ x
=−Fx
F z
, f y=∂ z∂ y
=−F y
F z
dy
Kasus :
Diketahui x2y = 3, tentukan nilai dydx
8.7.2Elastisitas Permintaan
Analisis elastisitas ada tiga macam :
1. Elastisitas Harga
2. Elastisitas Silang
3. Elastisitas Pendapatan
Bila hubungan tersebut dirumuskan dalam bentuk fungsi lebih dari satu
variabel maka menjadi :
Q = f(PQ, PA, Y)
dimana :
Q = jumlah permintaan
PQ = harga Q per unit
PA = harga barang alternatif
Y = pendapatan konsumen
Perhitungan elastisitas dirumuskan sebagai :
1. Elastisitas Harga (εPQ )
51
εPQ=% perubahan jumlah permintaan (Q)
% perubahan jumlah harga (PQ )= dQd PQ
.PQ
Q
2. Elastisitas Silang (εP A )
εP A=% perubahan jumlah permintaan (Q)
% perubahan harga barang alternatif (PA )= dQd PA
.PA
Q
3. Elastisitas Pendapatan ( εγ )
ε Y=% perubahan jumlah permintaan (Q)% perubahan pendapatan (Y)
= dQd PQ
.YQ
Kasus :
Diketahui fungsi permintaan Q = 100 – 4Pq2 + 3Pa + 0,04 Y½ . Ditanyakan :
1. Besarnya elastisitas harga, elastisitas silang dan elastisitas pendapata
2. Hitung nilai elastisitas εPQ, εP A
, dan ε γ bila PQ = 5, PA = 6 dan Y = 1900
3. Apa yang terjadi bila :
a. Pq turun 25%
b. Pa naik 2%
c. Y naik 10%
3.7.1Utilitas
Analisis utilitas adalah analisis yang menggambarkan tujuan konsumen
yang selalu ingin mencapai kepuasan maksimum. Bila diketahui kombinasi
dua barang x dan y yang akan dikonsumsi maka U = f(x, y).
Bila U(x, y) = 100, maka kurva indiference hanya satu, seperti tampak
pada gambar di bawah ini :
y
52
Dengan menggunakan gambar diatas, dijelaskan utilitas sebesar 100 bisa
dicapai dengan berbagai kemungkinan kombinasi barang x dan y, bisa dari 5
dan 30 sampai dengan 180 dan 35. Pergantian dari 5 dan 380 menjadi 30
dan 115 dinamakan Marginal Rate Commodity Substitution (MRCS) yang
dirumuskan :
MRCS = −dydx
=U x
U y
Dimana :
Ux = Marginal Utility of x
Uy = Marginal Utility of y
Kasus :
Diketahui U=3x12 y
13 . Hitung Ux, Uy dan MRCS bila x = 60 dan y = 80
3.7.2Produksi
Analisis produksi adalah model matematika yang digunakan hampir
sama dengan model utilitas yang perbedaan pokoknya terletak pada
hubungan antar variabel yang digunakan. Bila utilitas menggambarkan
keputusan konsumen maka produksi menggambarkan keputusan produsen.
Tujuan produsen adalah menggunakan kombinasi berbagai kemungkinan
input, sehingga bentuk fungsinya menjadi :
Q = f(K, L)
dimana :
x
U(x, y) = 3 x12 y
13 = 100
53
Q = output
K = modal
L = tenaga kerja.
Dalam produksi, juga dikenal istilah Marginal Rate of Technical
Substitution (MRTS) yang dirumuskan :
MRTS = −dKdL
=QL
QK
Dimana :
Qk = Marginal Product of K = ∂Q∂ K
QL = Marginal Product of L = ∂Q∂ L
Kasus :
1. Fungsi produksi Q (K, L) = K2 + 2K + 3L3
Hitung :
a. MPk dan MPL
b. MRTS bila K = 3 dan L = 2
c. Besar pengurangan K bila L dinaikkan 5% tanpa mengubah Q
d. Gambar kurva produksi Q
2. Fungsi produksi Q = 4 K12 L
13. Hitung MPk dan MPL , dan MRTS
54
9.1 PENDAHULUAN
Optimasi adalah konsep penting dalam analisa ekonomi :
Perusahaan untuk memaksimalkan laba dan meminimalisasi biaya.
Pemerintah berupaya untuk memperkecil pengangguran, inflasi dan
memaksimalkan hasil pajak
Konsumen ingin memperoleh kepuasan maksimum dari produk yang
mereka beli
9.2 OPTIMASI TANPA ADA BATASAN
Optimasi tanpa batasan memiliki variabel lebih dari satu ( x , y ) dimana
titik stationer pada x = x0 dan y = y0. Jika derivasi pertama secara parsial
untuk f kedua variabelnya sama dengan nol, maka dapat dirumuskan :
fx(x0, y0) = fy (x0, y0) = 0
Kasus :
Hitung posisi stationer dari fungsi f(x, y) = 3x2 + y2 + 4x – 4y + 7
Bab 9 OPTIMASI
55
Selain titik maksimum dan minimum, juga bisa dihitung titik sadel
(saddle point). Untuk mengetahui titik ini, menggunakan fungsi diskriminan
( D ) yang dirumuskan :
D= fxx . fyy – ( fxy )2
Dengan ketentuan :
1. D < 0, nilai stationer berada pada titik sadel
2. D = 0, nilai stationer berada pada nilai yang tidak jelas
3. D < 0, nilai stationer adalah nilai ekstrim dari fungsi f(x, y)
Nilai ekstrim ada dua kemungkinan, maksimum atau minimum :
1. Maksimum, jika fxx < 0 dan fyy < 0
2. Minimum , jika fxx > 0 dan fyy > 0
Kasus :
1. Fungsi f(x, y) = x3 + 5xy + y3 + 4, hitung nilai diskriminannya
2. Tentukan dan klasifikasikan titik stationer dari f(x, y) = x2 + 3y2– 2xy + 1
3. Fungsi biaya produksi ditentukan oleh dua barang, X dan Y :
C (X, Y) = 2 + 3X2 + 2Y2– 0,5 (XY)
Fungsi revenue : R (X, Y) = 10X + 15Y
Berapa besar produksi X dan Y yang mengakibatkan profit maksimum
9.3 OPTIMASI DENGAN BATASAN
Batasan atau kendala (constrain) sering ditemui dalam masalah ekonomi,
misalnya konsumen ingin mencapai kepuasan maksimum, ada batasan
pendapatan.
Ada dua metode yang akan digunakan dalam bagian ini yaitu metode
substitusi dan metode lagrange multiplier
9.3.1 Metode Substitusi
56
Bila yang ditemui fungsi batasan hanya satu variabel, maka persamaan
tersebut disubstitusikan pada fungsi objeknya. Dengan demikian pencarian
titik stationer sama dengan metode optimasi tanpa batasan.
Langkah penghitungannya adalah :
1. Mencari derivasi pertama dan kedua dari fungsi
2. Mencari nilai maksimum atau minimum
Kasus :
1. Seorang produsen mempunyai fungsi produks Q = 8K14 L
12 dimana K adalah
input modal dan L adalah input tenaga. Biaya per unit penggunaan K dan
L adalah 2 dan 1. Berapa biaya terendah akan dicapai bila produsen
memproduksi Q sebanyak 240 unit?
2. Seorang produsen menghadapi biaya produksi sebanyak K dan L per unit
sebanyak 2 dan 4. Fungsi produksi dirumuskan sebagai Q = 6KL + 2L3.
a. Berapa output maksimum yang bisa dicapai bila TIC = 200?
b. Berapa biaya minimum input yang harus dikeluarkan untuk mencapai
Q sebanyak 1200 unit?
9.3.2 Metode Lagrange Multiplier (LM)
Pada metode ini jumlah variabel bisa lebih dari dua variabel
independen dimana dengan metode lagrange multiplier akan menghasilkan
variabel baru sebagai pembantu pemecahan masalah optimasi dengan
memisalkan nilai . Variabel digunakan untuk membentuk fungsi baru
lagrangian sebagai berikut :
F(x, y, ) = f(x, y) + { k - g(x, y) }
Hasil optimum akan diperoleh dengan mencari x = x0, y = y0 dan =
0. Langkah penyelesaiannya adalah :
1. Bentuk persamaan lagrangian : F = f(x, y) + { k - g(x, y) }
2. Mencari derivasi pertama untuk setiap variabel F
57
3. Hitung x, y dan dengan persamaan ∂F∂ x
=0, ∂F∂ y
=0, ∂F∂=0
4. Gunakan x dan y pada perhitungan 3 untuk mencari nilai f(x, y)
5. Untuk mengatakan optimum sebagai maksimum atau minimum,
digunakan perhitungan nilai determinan matriks hessian atau jacobian
Kasus :
1. Sebuah perusahaan memproduksi barang x dan y masing-masing
membentuk fungsi harga sebagai p1(x, y) dan p2(x, y) yang dirumuskan
sebagai p1(x, y) = 20 – x + 2y dan p2(x, y) = 10 + x – y. Fungsi biaya yang
dihadapi sebagai c(x, y) = 12x + xy + 6y. Dalam
kegiatan usahanya produsen dibatasi oleh jumlah produksi x + y = 20.
Berapa unit produksi x dan y untuk mencapai keuntunga maksimum?
2. Suatu perusahaan akan mengalokasikan dana Rp 600.000,00 untuk iklan
dan penelitian. Kegiatan usaha perusahaan dirumuskan sebagai fungsi
penjualan f(x, y) = 30 x y13 unit produk. Berapa besar penjualan
maksimum dicapai karena akibat dari penggunaan barang untuk iklan dan
penelitian?
58
10.1 PENDAHULUAN
Perhitungan integral berkaitan dengan beberapa teori ekonomi, seperti
perhitungan marginal revenue, marginal cost, marginal product, dan lainnya.
Dengan menghitung integral, fungsi aslinya akan dapat ditemukan lagi.
Selain itu, penafsiran secara geometris fungsi juga digunakan untuk
mencari besarnya surplus konsumen dan produsen. Integral juga digunakan
untuk penghitungan beban pajak yang ditanggung konsumen dan produsen
serta hilangnya kesejahteraan sebagai deadweight loss.
10.2 KAIDAH INTEGRAL
Secara simbol integral ditulis :
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C
dimana :
∫ dibaca integral
f (x) adalah integran, yaitu yang dikenai operasi integral
Bab 10
INTEGRAL
59
dx adalah diferensial integrator yaitu kepada variabel apa kita akan
mengintegralkan
F(x) + C adalah hasil dari proses pengintegralan dengan C adalah
konstanta integrasi
Beberapa kaidah integral :
1. ∫ a dx = ax + C , a = konstanta
2. ∫ xn dx = 1
n + 1xn + 1 + C
3. ∫ ex dx = ex + C
4. ∫ axdx = ax
ln a+ C
, a konstanta, a > 0
5. ∫ 1xdx = ln |x| + C
Jika a konstanta sembarang dan f(x), g(x) adalah sebarang fungsi dalam x
maka:
1. ∫ a f ( x ) dx = a∫ f ( x ) dx
2. ∫ {f ( x ) ± g (x )} dx =∫ f ( x ) dx ± ∫ g( x ) dx
Kasus :
Fungsi MPC = 0,15 + 0,2
√Y dimana Y adalah pendapatan. Hitung besarnya
fungsi konsumsi C = f(y) dan tabungan S = f(Y) bila C = 135 pada saat Y =
100
10.3 INTEGRAL TERBATAS
Sifat integral terbatas :
60
1.∫a
b
f ( x ) dx = − ∫b
a
f ( x ) dx
2.∫a
b
f ( x ) dx = ∫a
c
f ( x ) dx +∫c
b
f ( x ) dx
3.∫0
a
f ( x ) dx = ∫0
a
f (a− x ) dx
4.∫0
2a
f ( x ) dx = ∫0
a
f ( x ) dx + ∫0
a
f (2a − x ) dx
5. Jika f ( 2a – x ) = f (x), maka ∫0
2a
f ( x ) dx = 2 ∫0
a
f (x ) dx
Jika f ( 2a – x ) = - f (x), maka ∫0
2a
f ( x ) dx = 0
6. Jika f(x) fungsi periodik dengan periode p, f(x) = f(x + p), maka :
∫0
np
f ( x ) dx = n∫0
p
f ( x ) dx
7. Jika f(x) fungsi genap, maka ∫−a
a
f ( x ) dx = 2∫0
a
f ( x ) dx
Jika f(x) fungsi ganjil, maka ∫−a
a
f ( x ) dx = 0
10.4 INTEGRAL TERBATAS : LUAS AREA DAN PENJUMLAHAN
Luas daerah di atas sumbu X ( A(R) ) ditentukan oleh : A (R ) = ∫
a
b
f (x ) dx
61
Luas daerah di bawah sumbu X ( A(R) ) ditentukan oleh : A (R ) = −∫
a
b
f ( x ) dx
Luas daerah diantara dua kurva ( A(R) ) ditentukan oleh :
A (R ) = ∫a
b
[ f ( x ) − g ( x ) ] dx
Kasus :
62
1. Tentukan luas daerah R di bawah kurva y = x4 − 2x3 + 2 antara x = -1 dan
x = 2
2. Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y = x2
3− 4
, sumbu x, x = -2
dan x = 3
3. Tentukan luas daerah antara kurva y = x4 dan y = 2 x − x2
10.5 SURPLUS PRODUSEN
Surplus produsen berkaitan dengan fungsi penawaran produsen terhadap
barang yang diproduksi. Dirumuskan :
Surplus Produsen = PbQb−∫0
b
f (Q )dQ√b2−4 ac
Dimana :
Pb = harga barang per unit yang terjadi di pasar dan P b > 0
Qb = unit barang yang dijual pada P b sesuai b P b = f(Q)
f(Q) = kebalikan dari fungsi penawaran Q = f(P)
Kasus :
Produsen menghadapi harga penawaran sebagai kebalikan fungsi penawaran
P(Q) = 2Q73 + 250. Berapa besar surplus produsen bila harga barang per unit
506
10.6 SURPLUS KONSUMEN
Surplus konsumen berkaitan dengan fungsi permintaan konsumen terhadap
barang yang dikonsumsi. Dirumuskan :
Surplus Konsumen = ∫0
b
f (Q )dQ−PbQb
dimana :
Pb = harga barang per unit yang terjadi di pasar dan P b > 0
Qb = unit barang yang dijual pada P b sesuai b P b = f(Q)
63
f(Q) = kebalikan dari fungsi penawaran Q = f(P)
Kasus :
Seorang konsumen menghadapi kurva harga P(Q) = −Q45 + 250. Hitung
surplus konsumen jika harga barang di pasar 129.
10.7 BESARNYA DEADWEIGHT LOSS (DWL) KARENA PAJAK
Sering dijumpai beban pajak penjuala akan berakibat hilangnya surplus
konsumen dan produsen. Tujuan pajak adalah mengambil alih sebagian
kesejahteraan masyarakat baik konsumen maupun produsen untuk menjadi
pendapatan pemerintah.
Kasus :
Fungsi harga produsen Ps (Q) = 2Q + 250
Fungsi harga konsumen Pd (Q) = -Q + 2500
Fungsi harga produsen setelah ada pajak Pt (Q) = 2Q + 1000
Hitung :
1. Keseimbangan sebelum ada pajak
2. Keseimbangan setelah ada pajak
3. Surplus Konsumen sebelum ada pajak
4. Surplus Konsumen sesudah ada pajak
5. Surplus Produsen sebelum ada pajak
6. Surplus Produsen sesudah ada pajak
7. Besarnya DWL
8. Beban pajak yang ditanggung konsumen
9. Beban pajak yang ditanggung produsen
10.8 INVESTASI DAN AKUMULASI KAPITAL
64
Akumulasi kapital merupakan penjumlahan akibat tambahan stok kapital
yang berdasarkan pada proses waktu. Dirumuskan :
K(t) = ∫ I (t )dt=∫ dKdt
dt=∫ dK
dimana :
K(t) = model stok kapital
I(t) = investasi
Kasus :
1. Tentukan K(t) dari I(t) = 3t½
2. Diketahui investasi sebagai persamaan konstanta I = 1000. Berapa
besarnya investasi dari t = 0 sampai dengan t = 1
3. Bila 3t½ (dalam juta rupiah per tahun) yang merupakan aliran kapital tidak
konstan , maka hitung akumulasi kapital dari t = 1 sampai t = 4
11.1 PENDAHULUAN
Perekonomian selalu bergerak dinamis. Untuk itu dibutuhkan alat
perhitungan matematika yang bersifat dinamis. Dinamis karena sudah
memasukkan variabel waktu (t). Contohnya dalam analisa keseimbangan
pasar, permintaan tidak hanya bergantung pada harga sekarang, tetapi juga
harga masa lalu.
Bab 11
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
65
Sebelum sampai pada pembahasan persamaan diferensial, akan dibahas
dulu pengertian yang membantu, seperti model dinamis, ketentuan model
dinamis, sifat-sifat dinamis serta percobaan sistem dinamis.
11.2 MODEL DINAMIS
Bila variabel yang dinamis adalah x, maka besarnya x bisa dibuat