CATATAN MATEMATIKA EKONOMI

Matematika Ekonomi Semester Satu

KONTRAK PERKULIAHANFAKULTAS EKONOMI

UNIVERSITAS TUJUH BELAS AGUSTUS 1945 BANYUWANGI(2009-2011)

MATA KULIAH : MATEMATIKA EKONOMIKODE MATA KULIAH : EKO 109SEMESTER : 1 (SATU)PROGRAM STUDI : MANAJEMENDOSEN PENGAMPU : NANANG CHOIRUL, SE.

Manfaat MatakuliahDengan mengambil mata kuliah ini mahasiswanantinya akan mengetahui bagaimana manfaat yangdidapat yaitu dapat memahami berbagai rumus,metode, cara matematika yang akan diterapkan dandiimplemenatasikan dalam persoalan persoalanyang berhubungan dengan ekonomi untuk alatpenyelesaiannya.

Diskripsi PerkuliahanRuang lingkup perkuliahan matematika ekonomiadalah matematika yang diambil dari teori dasarmatematika yang berhubungan dengan persoalan-persoalan ekonomi terdiri dari deret, fungsi,differensial, diferensial fungsi majemuk dan

1


matrik. Dengan teori dasar itu digunakan untukmemecahkan masalah-masalah ekonomi.

Tujuan Instruksional UmumSetelah menyelesaikan mata kuliah ini (padaakhir semester), saudara akan dapat menganalisisdan memecahkan kasus-kasus pada masalah-masalahekonomi pada umumnya dan masalah-masalahperusahaan dan proyek pada khususnya, denganberbagai macam teori dan rumus matematika yangdiketahui sehingga mahasiswa diharapkan mampumemecahkan masalah berdasarkan analisis danperhitungan perhitungan secara matematis.

Strategi PerkuliahanMetode belajar mengajar yang dilakukan adalahceramah, diskusi dan menyelesaikan kasus-kasusyang dihadapi. Dilanjutkan dengan penerapanpenyelesaian kasus-kasus yang diselesaikan olehmahasiswa. Disamping itu juga akan diberikantugas yang berkaitan dengan materi yangbersangkutan baik secara kelompok maupunindividu. Sehingga diharapkan dengan metode yangdiberikan akan dicapai pemahaman optimal danakhirnya pencapaian hasil belajar menjadimaksimal.

Bacaan Perkuliahan2


Dumairy, 1999, Matematika Terapan Untuk Bisnis danEkonomi, Edisi Kedua, Cetaka Kesepuluh, BPFE,Yogyakarta.

PenugasanTugas-tugas yang diberikan berupa tugas kelompokdan tugas individu yang diberikan setiap selesaimateri.

Kriteria PenilaianUntuk menentukan nilai akhir bagi mahasiswa akandiberlakukan criteria dan pembobotannya sebagaiberikut:Ujian Tengah Semester = 25%Ujian Akhir Semester = 25%Tugas Indifidual = 10%Tugas Kelompok = 10%Diskusi Kelas = 10%Kehadiran = 20%Syarat minimal mengikuti ujian kehadiran minimal75 %, kehadiran kurang dari 75 % diberikan tugastambahan (catatan minimal 4 kali kehadiran). Peraturan Kelas : Mahasiswa tidak diperkenankan mengikuti

aktifitas perkuliahan jika: Terlambat hadir lebih dari 30 menit Tidak memakai sepatu

3


Tidak berpakaian sebagaimana ketentuanperkuliahan yang berlaku di UNTAGBanyuwangi.

Mahasiswa tidak diperkenankan mengikuti UASjika kehadirannya kurang dari 75% pertemuanmata kuliah.

Kecurangan dalam bentuk apapun ketika tes danujian menyebabkan mahasiswa secara langsungmemperoleh nilai E.

Alokasi pokok bahasan per tatap mukaTATAPMUKA

POKOK BAHASANPERKULIAHAN SUMBER BACAAN

IDeret- Deret Hitung- Deret Ukur

II

Penggunaan deret dalamekonomi- Model perkembangan

usaha- Model bunga majemuk- Model pertumbuhan

pendudukIII Fungsi

- Fungsi Linier- Hubungan dua garis

4


lurus- GradienPengukuran fungsilinier dalam ekonomi- Fungsi permintaan- Fungsi penawaran

IV Keseimbangan pasar,pajak, dan subsidi

V Lanjutan

VIFungsi konsumsi,tabungan, dan pendapatannasional

VIIFungsi kuadrat,penggunaan fungsikuadrat dalam ekonomi

VIII Ujian Tengah Semester(UTS)

IX Diferensial, kaidah-kaidah diferensial

X

Derivative dariderivative, penggunaandiferensial dalamekonomi

XI Diferensial fungsimajemuk, diferensial

5


parsial, derivative dariderivative parsial

XII Optimasi bersyarat

XIIIUtilitas marginalparsial dan keseimbangankonsumsi

XIV MatrikXV Lanjutan

XVI Ujian Akhir Semester(UAS)

6


BAB IDERET

DERET adalah rangkaian bilangan yang tersusunsecara teratur dan memenuhi kaidah-kaidahtertentu. Bilangan-bilangan yang merupakan unsurdan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Deret Hitung

Adalah deret yang perubahan suku-sukunyaberdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangantertentu. Bilangan yang membedakan suku-sukudari deret hitung dinamakan pembeda, yaituselisih antara nilai-nilai dua suku yangberurutan.Ada dua rumus yang digunakan dalam derethitung : Untuk mencari nilai suku ke n dari deret

hitungSn = a + (n – 1) ba = suku pertamab = pembedan = indeks sukuContoh:Nilai suku ke 101 dari deret hitung 3, 5, 7,9, 11, … adalah….Diket : a = 3 | b = 2 | n = 101

7


Dita : Sn?Jwb : S101 = a + (n – 1) b

S101 = 3 + (101 – 1) 2S101 = 3 + 100 x 2S101 = 3 + 200S101 = 203

8


Untuk mencari jumlah nilai dari semua sukupada deret hitung

Dn = 12n (2a + (n – 1) b)

a = suku pertamab = pembedan = indeks sukuContoh:Berapa jumlah semua suku s/d suku yang ke 25dari deret 3, 5, 7, 9, 11, …Diket : a = 3 | b = 2 | n = 25Dita : D25?

Jwb : Dn = 12n (2a + (n – 1) b)

D25 = 12 25 (2.3 + (25 – 1) 2)

D25 = 12,5 (6 + (24) 2)D25 = 12,5 (6 + 48)D25 = 12,5 x 54D25 = 675

Deret UkurAdalah deret yang perubahan suku-sukunyaberdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangantertentu. Bilangan yang membedakan suku-sukuderet ukur dinamakan pengganda, yaitu merupakan

9


hasil bagi nilai suku terhadap nilai sukudidepannya.Ada dua rumus yang digunakan dalam deret ukur: Mencari nilai suku ke n dari deret ukur

Sn = a. pn–1

a = suku pertamap = penggandan = indeks sukuContoh:Berapa nilai suku yang ke 6 dari deret 2, 4,8, 16, 32, …Diket : a = 2 | p = 2 | n = 6Dita : S6?Jwb : S6 = a. pn–1

S6 = 2. 26–1

S6 = 2. 25

S6 = 2. 32S6 = 64

Mencari jumlah sampai dengan n suku

Dn = a(1–pn)1–p

a = suku pertamap = pembedan = indeks sukuContoh:

10


Berapa jumlah semua suku yang ke 5 dari 2, 4,8, 16, 32, …Diket : a = 2 | p = 2 | n =5Dita : D5?

Jwb : D5 = a(1–pn)1–p

D5 = 2(1–25)1–2

D5 = 2(1–32)

−1

D5 = 2(−31)

−1

D5 = −62−1

D5 = 62 Penggunaan Deret dalam Ekonomi

Dalam bidang bisnis dan ekonomi, teori atauprinsip-prinsip deret sering diterapkan dalamkasus-kasus yang menyangkut perkembangan danpertumbuhan. Apabila perkembangan ataupertumbuhan suatu gejala tertentu berpolaseperti perubahan nilai-nilai suku sebuah derethitung atau deret ukur, maka teori deret yangbersangkutan relevan ditetapkan untukmenganalisisnya.

11


Model perkembangan usahaJika perkembangan variabel-variabel tertentudalam kegiatan usaha, actor, produksi, biaya,pendapatan, penggunaan tenaga atau penanamanmodal, berpola seperti deret hitung makaprinsip-prinsip deret hitung digunakan untukmenganalisis perkembangan variabel tersebut.Berpola deret hitung maksudnya adalahvariabel bersangkutan bertambah secarakonstan dari satu actoreke periodeberikutnya.Contoh soal:Besarnya penerimaan PT. YSSY dari hasilpenjualan barangnya Rp 720 juta pada tahunke lima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh.Apabila perkembangan penerimaan penjualantersebut berpola seperti deret hitung,berapa perkembangan penrimaannya per tahun?Berapa besar penerimaan pada tahun pertamadan pada tahun keberapa penerimaannya sebesarRp 460 juta?Diket : S5 = 720.000.000 | S7 = 980.000.000Dita : b, a, n dari Sn = 460.000.000?Jwb : Sn = a + (n – 1) b

720 = a + (5-1) b12


980 = a + (7-1) b

720 = a + 4b980 = a + (6b) –-260 = -2b130 = b720 = a + (5 – 1) b720 = a + 4 x 130720 = a + 520a = 720 – 520a = 200460 = 200 + (n – 1) 130460 = 200 + 130n – 130460 = 70 + 130nn = (460-70): 130n = 390:130n = 3

Model bunga majemukAdalah penerapan deret ukur dalam kasussimpan pinjam dan investasi. Dengan modal inidapat dihitung misalnya, besarnyapengembalian tingkat bunganya. Atausebaliknya, untuk mengukur nilai sekarangdari suatu jumlah hasil investasi yang akanditerima dimana saja.

13


Jika misalnya modal pokok sebesar Pdibungakan secara majemuk dengan suku bungapertahun setingkat I maka jumlah akimulatifmodal tersebut dimasa datang setelah n tahun(Fn) dapat dihitung sebagai berikut:Fn = P (1 + i) n

P = jumlah sekarangI = tingkat bungapertahun

n = jumlah tahun

Rumus diatas mengandung anggapan tersiratbahwa bunga diperhitungkan/ dibayarkan satukali dalam satu tahun. Apabila bungadiperhitungkan atau dibayarkan lebih darisatu kali (missal m kali, masing-masing i/mpertermin) dalam satu tahun maka jumlahdimasa depan menjadi:

Fn = P (1 + im) m.n

m = frekuensi pembayaran bunga dalam satutahun

Suku (1 + i) dan (1 + im) dalam dunia bisnis

dinamakan “actor bunga majemuk” (compoundinginterest factor) yaitu suatu bilangan yanglebih besar dari satu bilangan yang dapat

14


dipakai untuk menghitung jumlah dimasa yangakan datang dari suatu jumlah sekarang.Dari rumus diatas dengan manipulasi matematisdapat dihitung nilai sekarang apabila yangdiketahui jumlahnya dimasa datang. Nilaisekarang (Present Value) dari suatu jumlahuang tertentu dimasa datang adalah:

P = 1(1+i)n

atau P = 1

(1+im )

m.n

suku 1(1+i)n

atau 1

(1+im )

m.n dinamakan “actor

diskon to” (discount factor) yaitu suatubilangan yang lebih kecil dari satu yangdapat dipakai untuk menghitung nilai sekarangdari suatu jumlah dimasa datang.

15


Contoh Soal 1:Seorang pengusaha meminjam uang di banksebanyak Rp 250 juta, untuk jangka waktu 4tahun, tingkat bunga yang berlaku adalah 12%pertahun. Dari data tersebut berapa seluruhuang yang harus dikembalikan pengusahatersebut pada saat pelunasan? Apabilaperhitungan pembayaran bunga dibayar 4bulanan, berapa jumlah uang yang harusdikembalikan?Diket : P=250.000.000 | n=4 | i=12%=0,12 |m=3Dita : a. F4 jika dikembalikan pada saatpelunasan

b. F4 jika dibayar 4 bulananJwb : a. F4=P(1+i)n

F4=250.000.000(1+0,12)4

F4=250.000.000(1,12)4

F4=250.000.000(1,57)F4=393379840

b. F4= P(1+ im)

m.n

F4=250.000.000(1+0,123 )3.4

F4=250.000.000(1+0,04)12

16


F4=250.000.000(1,04)12

F4=250.000.000(1,601)F4=400.258.054,64

Contoh 2:Tabungan seorang nasabah akan menjadiRp56.700.000 tiga tahun yang akan datang.Jika tingkat bunga bank yang berlaku 6%pertahun berapa tabungan nasabah tersebutpada saat sekarang? Apabila pembayaran bungatidak pertahun tetapi persemester berapatabungan nasabah tersebut pada saat sekarang?Diket : F=56.700.000 | i=6%=0.06 | n=3 | m=2Dita : a.P Jika tingkat bunga bank yang

berlaku 6% pertahun b. P pembayaran bunga tidak

pertahun tetapi persemester

Jwb: a. P= 1(1+i)n

F

P= 1(1+0,06)3

56.700.000

P=56.700.000

(1,06 )3

P=56.700.0001,19P=47.647.058,82

17


b. P=1

(1+im )

n.m

P=1

(1+0,062

)3.2F

P=56.700.000(1,03)6

P=56.700.0001,19P=47.647.058,82

18


BAB IIFUNGSI

Fungsi adalah Suatu bentuk matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional)antara satu variabel dengan variabel lainnya.Contoh: Y = 0,8X + 5Keterangan:X = Variabel bebas (Independent variabel) adalah

variabel yang nilainya tidak tergantung padavariabel lain.

Y = Variabel terikat (Dependent variabel) adalahvariabel yang nilainya tergantung padavariabel lain.

0,8 = adalah koefisien variabel X5 = adalah konstanta Fungsi Linier

Definisi: Dikatakan fungsi linier apabilavariabel X dan Y dalam persamaan tersebutmempunya pangkat satu.Contoh:

y=2x+5y=-3x+2

Didalam menyelesaikan persoalan fungsi linierada dua cara yang perlu diketahui, yaitu:

19


Dengan suatu persamaan linier dapat diperolehsuatu grafikMisal:

y= - 12x+4

Untuk menggambar grafiknya dicari dengancara: mencari titik potong terhadap sumbu Xdan sumbu Y. Titik potong terhadap sumbu X, terjadi

apabila Y = 0

0= - 12x+4 12x=4 | x=412 | x=8

Titik potong terhadap sumbu Y, terjadiapabila X = 0

y=- 12.0+4 y=4

Setelah ditemukan koordinat pada masing-masing titik potong , kemudian digambargrafik garis lurusnya.

20


Fungsi linier gambar kurvanya adalah garislurusJika ada gambar kurva jika ingin diketahuifungsingya harus ada 2 titik yang dilewatioleh garisRumusnyay−y1y2−y1

= x−x1x2−x1

Dengan suatu grafik linier (garis lurus)didapat persamaan fungsinya.

Maka persamaan fungsi liniernya dapat dicari sebagai berikut:y−y1y2−y1

= x−x1x2−x1

y−35−3

=x−26−2

y−32

=x−24

(y−3 )4=2 (x−2)4y−12=2x−4

4y=2x+8

y=12x+2

:4

Hubungan dua garis lurus21


Dua garis lurus yang sejajar

Dua garis lurus yang berhimpit

Dua garis lurus yang berpotongan

GradienAdalah koefisien yang menentukan arah garisfungsi linier, biasanya koefisien ini melekatpada variabel XsisivertikalsisihorizontalTanda positive dan negativenya jika gambarkurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah

22


maka nilai gradiennya negative dan jugasebaliknyaContoh:y=−x+3Jika x=0 y=3, koordinat (0,3)Jika y=0 x=3, koordinat (3,0)

23


BAB IIIPENGGUNAAN FUNGSI LINIER DALAM EKONOMI

Fungsi Permintaan (Demand Function)Definisi: Fungsi yang menunjukkan hubunganantara harga dengan jumlah barang yang dimintaoleh konsumen dengan anggapan bahwa faktor-faktor lain tetap (ceteris paribus), yaituselera tetap, pendapatan tetap dan harga barang-barang lain tetap, maka ini menandakan bahwaapabila harga turun jumlah barang yang dimintaoleh konsumen naik, demikian pula sebaliknya.

1. Pada saat harga turun P1 ke P2, makapermintaan naik dari Q1 ke Q2

2. Pada saat harga naik P1 ke P3, maka permintaan turun dari Q1 ke Q3

Hal –hal yang perlu diperhatikan1. P = harga per unit

Q = Quantitas barang

24


2. Kurva permintaan bergerak dari kiri atas kekanan bawah

3. P dan Q positif4. Pada suatu tingkatan harga (P) hanya

terkandung nilai kuantitas (Q) dan sebaliknya5. Skala P dan Q tidak perlu sama, karena harga

tidak sama dengan kuantitas. Fungsi Penawaran (Supply Function)

Definisi: Fungsi yang menunjukkan hubunganantara harga dengan jumlah barang yangditawarkan kepada konsumen, dengan anggapanfaktor-faktor lain tetap (ceteris paribus).Maka apabila tingkat harga meningkat, jumlahbarang yang ditawarkan bertambah, demikian pulasebaliknya.

1. P1 P2 : Jumlah barang yang ditawarkan naikQ1 Q2

2. P1 P3 : Jumlah barang yang ditawarkanturun Q1 Q3

25


Market Equilibrium (Keseimbangan Pasar)Definisi: Pasar suatu macam barang dikatakanberada dalam keseimbangan apabila jumlah barangyang diminta dipasar tersebut sama dengan jumlahbarang yang ditawarkan. Secara matematik dangrafik hal ini ditunjukkan oleh persamaan :

FS=FD( Fungsi Penawaran = Fungsi Permintaan)Yaitu pada perpotongan kurva permintaan dengankurva penawaran. Pada posisi keseimbangan pasarini tercipta harga keseimbangan (equilibriumprice) dan Jumlah keseimbangan (equilibriumquantity).

Pajak dan Subsidi Pajak

Definisi: Jenis pungutan yang dilakukanpemerintah terhadap produsen/penjual sehinggabeban pajak akan menambah besarnya biaya yangharus dipikul oleh produsen/penjual.

26


Akibatnya harga yang ditawarkan akan naik,kenaikannya sebesar pajak yang dibebankanPajak ada 2 macam Pajak Per unit

Definisi: Pajak yang dikenakan terhadapsuatu barang yang besarnya tetap untuksetiap unit barangSebelum pajak :FS P=aQ+bSetelah pajak: FSt

P=(aQ+b)+t

Khusus Pajak Per unitPajak yang ditanggung konsumen:(Pt–P)QtPajak yang ditanggung produsen:

(Qt.t)−(Pt–P)QtPajak yang diterima pemerintah: Qt.t

Pajak PersentaseDefinisi: Pajak yang dipungut pemerintahdengan persentase yang tetap terhadappenjualan. Pajak persentase (r)

27


Sebelum pajak : FS P=aQ+bSetelah Pajak : FSr P=(aQ+b)(1+r)

SubsidiDefinisi: Subsidi merupakan kebalikan daripajak, pengaruhnya terhadap keseimbanganpasar berbalikan dengan pengaruh pajak.Subsidi yang diberikan atasproduksi/penjualan suatu barang menyebabkanharga jual barang tersebut menjadi rendah.Dengan adanya subsidi, produsen merasaongkos produksinya menjadi lebih kecilsehingga bersedia menjual lebih murah.Sebelum subsidi : FS P=aQ+bSetelah Subsidi : FSs P=aQ+b–S

28


Contoh Soal:Permintaan terhadap suatu barang yang terjadi dipasar adalah bila diminta 20 unit barang, hargaper unit barang Rp 80 dan bila diminta 60unit barang, harga menjadi Rp 40, sedangkanpenawaran yang terjadi adalah jika yang ditawarkan90 unit barang harga per unit Rp 40, tetapi jikaditawarkan 120 unit barang harga akan naikmenjadi Rp 60 per unit. Dari data tersebutdiminta:a. Carilah fungsi penawaran dan fungsi permintaan?b. Harga dan kuantitas barang pada market

equilibrium?c. Apabila atas barang tersebut dikenakan pajak

sebesar Rp 5 per unitnya, tentukan harga dankuantitas barang yang baru.

d. Gambar kurvanya.Jawaban:

29


a.P−P1P−P1

=Q−Q1Q−Q1

Fungsi Permintaan FD Q1=20 P1=80Q2=60 P2=40

P−8040−80

= Q−2060−20

P−80−40

=Q−2040

(P−40 )40=−40 (Q−20)40P−3200=−40Q+80040P=−40Q+800+360040P=−40Q+4000

P=−Q+100:40

Fungsi Penawaran FS Q1=90 P1=40Q2=120 P2=60

P−4060−40

= Q−90120−90

P−4020

=Q−9030

(P−40 )30=20(Q−20)

30P−1200=20Q−4030P=20Q−40+120

30


30P=20Q+1160

P=23Q+20

:30

b. FS=FD23Q−20=−Q+100

23Q+Q=100+20

23Q+

33Q=120

53Q=120

Q=12053

Q=3605

Q=72P=−Q+100P=−72+100P=28

c. FD P=−Q+100

FS P=23Q+20

E(72,28)

FStP=23Q+20+5

P=23Q−15

EFSt=FD23Q−15=−Q+100 5

3Q=115

31


Q=3454

Q=69

P=−Q+100P=−69+100P=31

Et(69,31)FD P=−Q+100

Q=0→P=1OOP=0→Q=100

FS P=23Q−20

Q=0→P=−20

P=0→Q=30

FSt P=23Q−15

Q=0→P=−15P=0→Q=22,5

d. FD P=−Q+100→Q=0P=0

P=100Q=100

FS P=23Q−20→Q=0

P=0P=−20Q=30

32


33


BAB IVANALISIS BREAK EVEN POINT (BEP)

Fungsi BiayaFungsi biaya menunjukkan hubungan antara biaya total dengan tingkat outputnya (produksi yang dihasilkan).Fungsi biaya terdiri dari : Total Cost (TC)

adalah biaya yang dikeluarkan produsen secarakeseluruhan dalam memproduksi suatu barang.

Variabel Cost (VC)adalah biaya yang dikeluarkan produsen secaraberubah-ubah sesuai dengan besar kecilnya produksi yang dihasilkan.

Fixed Cost (FC)adalah biaya yang dikeluarkan perusahaan secara tetap (tanah, gedung, mesin).

Secara Grafis hubungan ketiga fungsi biaya tersebut adalah sebagai berikut:

34


Keterangan: TC,VC,FC adalah pengganti sumbu Y. Q adalah pengganti sumbu X. FC garis sejajar dengan Q, karena FC tidak

dipengaruhi oleh besar kecilnya produksi. VC adalah garis yang berpusat pada titik 0,

karena jumlah pengeluarannya tergantung dari kuantitas yang dihasilkan, jadi apabila tidakberproduksi, maka VC = 0

Bentuk umum fungsi biaya linier:TC=aQ+b

Dimana: TC =Total CostQ = Kuantitas yang dihasilkana, b =Konstanta

Fungsi Penerimaan (Revenue)Adalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara penerimaan total dengan hasil penjualan produksinya. Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut:

35

TR

labaTC

BEPrugi


Keterangan:Grafik TR dimulai dari titik 0, karena pada saatprodusen tidak menjual barang hasil produksinya adalah 0, maka TR nya juga 0.

Analisis Break Even Point (BEP).BEP terjadi apabila garis Total Cost (TC) bertemu dengan garis Total Revenue (TR) dalam satu titik, yaitu titik yang menunjukkan keadaantingkat penerimaan sama dengan biaya yang dikeluarkan. Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut:

BAB VFUNGSI KONSUMSI, FUNGSI TABUNGAN DAN PENDAPATAN

NASIONALSeorang ahli dalam bidang ekonomi bernama Keyness,mempunyai pendapat bahwa pengeluaran seseoranguntuk konsumsi dipengaruhi oleh pendapatannya.Semakin tinggi tingkat pendapatan maka tingkatkonsumsinya juga semakin tinggi. Sejalan dengan

36


pemikiran tersebut dapat dimengerti bahwa seorangyang tingkat pendapatannya semakin tinggi, semakinbesar pula tabungannya karena tabungan merupakanbagian dari pendapatan yang tidak dikonsumsikan. Fungsi Konsumsi

Secara matematis, hubungan fungsional antara konsumsi dan pendapatan dapat ditulis sebagai berikut:C=a+bY (a>0,b>0)

Keterangan : Y = PendapatanC = Pengeluaran untuk konsumsiA = Besarnya konsumsi pada saat pendapatan samadengan nol. B = MPC (Marginal Propensity to Consume) Besarnya tambahan konsumsi karena adanya tambahan pendapatan.

37

C/S

a

0

E

Y = C

YEY


Fungsi Tabungan (Saving)Adalah fungsi yang menunjukkan hubungan antara pendapatan dengan tabungan (saving), secara matematis fungsi tabungan dapat ditulis sebagai berikut:

Keterangan:Y = PendapatanC = KonsumsiS = Tabungan( 1 – b ) = MPS (Marginal Propensity to Save)Besarnya tambahan tabungan

akibat bertambahnya pendapatanSecara Grafis hubungan pendapatan, konsumsi dan tabungan digambarkan sebagai berikut:

Keterangan : C dan S adalah konsumsi dan tabungan sebagai

pengganti sumbu Y

38

Y=C+SS=Y–CS=Y–(a+bY)

S=Y–a–bYS=−a+Y–bYS=−a+(1–b)Y


Y adalah pendapatan sebagai pengganti sumbu X a adalah besarnya konsumsi pada saat

pendapatan sama dengan 0 Y sama dengan C adalah garis impas karena

semua titik pada garis tersebut menunjukkan bahwa semua pendapatan habis dikonsumsikan.

E adalah titik impas yaitu titik perpotongan antara garis konsumsi dengan garis impas. Pada titik tersebut semua pendapatan habis dikonsumsikan atau tabungan sama dengan nol.

C = a + bY adalah garis konsumsi S = -a + ( 1 - b ) Y adalah garis fungsi

tabungan YE = adalah besarnya pendapatan yang hanya

cukup untuk konsumsi Skala konsumsi (C), Skala Saving (S) = Skala

Pendapatan (Y) Pendapatan Nasional

Pendapatan Nasional pada dasarnya merupakan penjumlahan total dari pendapatan semua sektor di dalam satu negara, meliputi sektor rumah tangga(orang-perseorangan), sektor badan usaha dan sektor pemerintah Pendapatan Disposabel (Yd)

39


Adalah pendapatan nasional yang secara nyatadapat dibelanjakan oleh masyarakat, tidak termasuk didalamnya pendapatan yang mempengaruhi besarnya Yd yaitu pajak dan transfer payment. Ada 4 keadaan yang mempengaruhi pendapatan : Pengeluaran perdangan dengan luar negeri

tercermin dari selisih antara ekspor danimpor negara yang bersangkutan dilambangkan oleh (X – M).

40


Dengan demikian persamaan pendapatan nasionalmenurut pendekatan pengeluaran adalah sebagaiberikut: Untuk perekonomian 2 sektor (model

perekonomian sederhana), Y=C+I Untuk perekonomian 3 sektor (model

perekonomian tertutup), Y=C+I+G Untuk perekonomian 4 sektor (model

perekonomian terbuka)Y=C+I+G+(X–M)

Persamaan Pendapatan NasionalAdalah persamaan yang menggambarkan jumlah seluruhkeluaran (barang dan jasa)yang dihasilkan oleh suatu negara dalam jangka waktu tertentu. Pengeluaran tersebut terdiri dari: Pengeluaran sektor rumah tangga dicerminkan

oleh konsumsi masyarakat dilambangkan oleh C.

Pengeluaran sektor badan usaha dicerminkan oleh investasi yang dilakukan oleh perusahaan dilambangkan oleh I.

Pengeluaran dari sektor pemerintah dicerminkan oleh pengeluaran pemerintah dilambangkan oleh G.

41


Tidak ada pajak maupun transfer paymentYd=YHanya ada pajakYd=Y–THanya ada transfer paymentYd=Y+RAda pajak dan Transfer paymentYd=Y–T+R

42


43


BAB VIFUNGSI KUADRAT (PARABOLA)

Definisi: Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titikfokus dan sebuah garis lurus yang disebutdirektriks. Setiap parabola mempunyai sebuah sumbusimetri dan sebuah titik ekstrim. Sumbu simetriparabola dapat berupa garis yang sejajar dengansumbu vertikal Y atau berupa garis yang sejajardengan sumbu horizontal X. Titik Ekstrim parabolaadalah titik potong antara sumbu simetri dan parabola yang bersangkutan.

Y=aX2+bX+C Sumbu simetris // sumbu Y(vertical)

44


X=aY2+bY+C Sumbu simetris // sumbu X(horizontal)

45


Titik Ekstrim Parabola

−b2a ,

b2−4ac−4ac

Penggunaan Fungsi Kuadrat dalam EkonomiSelain berbentuk fungsi linier, fungsipermintaan dan fungsi penawaran dapat pulaberbentuk fungsi non linier. Fungsi permintaandan fungsi penawaran yang kuadratik caramenganalisis keseimbangan pasarnya sama halnyadalam kasus linier yaitu FD = FS. Demikian jugaanalisis pengaruh pajak dan subsidi terhadapkeseimbangan pasar sama halnya pada kondisilinier.

DifferensialKaidah (Rumus) Differensial Differensial Konstanta

Jika Y = K dimana K adalah konstanta, makadYdX

=0

Contoh :Y=5dYdX

=0

Differensial Fungsi Pangkat46


Jika Y=Xn, dimana n adalah konstanta maka :dYdX

=nXn−1

Contoh :Y=X5=5X5−1=5X4

Y=X−3→=−3X−3−1=−3X−4

Differensial perkalian konstanta denganfungsiJika Y=K.V, dimana V=h(X)

Maka, dYdX=K. dY

dXContoh :

Y=5X3, dYdX

=5 (3X2 )=15X2

Differensial pembagian konstanta denganfungsi

Jika Y=KV, dimana V=h(X), maka dYdX=

KdV /dXV2

Contoh :

Y=5X3 ,

dYdX=

5(3X2)¿¿

47


48


BANK SOAL Soal-Soal Deret

1. PT. Jaya Abadi perkembangan produksinyamengikuti pola deret hitung, pada tahunkesepuluh total produksinya mencapai 27.000unit, kemudian akibat kesalahan manajemenpada tahun ke sembilan belas tidakberproduksi lagi. Dari data tersebutdiminta :a. Berapa perkembangan produksinya?b. Berapa produksi tahun pertama?c. Berapa total produksi sampai tahun ke lima

belas?d. Berapa produksi tahun ke lima belas?e. Pada tahun keberapa produksi mencapai 1200

unit?1.2. Besarnya penerimaan PT. YSSY dari hasil

penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun kelima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh.Apabila perkembangan penerimaan penjualantersebut berpola seperti deret hitung,berapa perkembangan penrimaannya per tahun?Berapa besar penerimaan pada tahun pertama

49


dan pada tahun keberapa penerimaannyasebesarRp 460 juta

3. Perolehan keuntungan kapital (capital gain)seorang pialang berpola deret hitung, padabulan ke 5 aktivitasnya di bursa saham , diamemperoleh keuntungan Rp 700.000, selamatujuh bulan pertama, dia meraih keuntungantotal sebesar Rp 4.620.000,Diminta:a. Berapa besar keuntungan pada bulan pertama

aktivitasnya?b. Berapa keuntungan yang dia peroleh pada

bulan ke 10?c. Hitung keuntungan kapital total pialang

tadi selama setahun aktivitasnya di bursasaham?

4. Data penjualan perusahaan keramik PT PastiKuat untuk bulan ke lima Rp 900 juta dan padabulan ke sembilan Rp 1.300 juta. Diminta:a. Berapa besar hasil penjualan pada bulan

pertama?b. Berapa perkembangan penjualan tiap

bulannya?c. Berapa besar penerimaan pada bulan ke

sepuluh?50


d. Berapa total penerimaan selama 1 tahun?5. Dari hasil penjualan barangnya pada tahun

kesepuluh, PT Langsung Jaya memperolehpenerimaan Rp 200 juta sedangkan tahun kelima belas memperoleh penerimaan sebesar Rp250 juta. Jika pola perkembangan penerimaanperusahaan tersebut mengikuti deret hitung.Diminta:a. Berapa perkembangan penerimaan

pertahunnya?b. Berapa besar penerimaan pada tahun

pertama?c. Pada tahun keberapa besarnya penerimaan

mencapai Rp 310 juta6. Seorang pengusaha meminjam uang di bank

sebanyak Rp 250 juta, untuk jangka waktu 4tahun, tingkat bunga yang berlaku adalah 12%pertahun. Dari data tersebut berapa seluruhuang yang harus dikembalikan pengusahatersebut pada saat pelunasan? Apabilaperhitungan pembayaran bunga dibayar 4bulanan, berapa jumlah uang yang harusdikembalikan?

7. Tabungan seorang nasabah akan menjadiRp56.700.000 tiga tahun yang akan datang.

51


Jika tingkat bunga bank yang berlaku 6%pertahun berapa tabungan nasabah tersebutpada saat sekarang? Apabila pembayaran bungatidak pertahun tetapi persemester berapatabungan nasabah tersebut pada saat sekarang?

8. Seorang nasabah meminjam uang di banksebanyak Rp 300 juta, untuk jangka waktu 3tahun, tingkat bunga yang berlaku adalah 15%pertahun. Dari data tersebut berapa seluruhuang yang harus dikembalikan pengusahatersebut pada saat pelunasan? Apabilaperhitungan pembayaran bunga dibayar 3bulanan, berapa jumlah uang yang harusdikembalikan?

9. Tabungan seorang mahasiswa akan menjadiRp10.600.000 empat tahun yang akan datang.Jika tingkat bunga bank yang berlaku 4%pertahun , Hitung Present value? Apabilapembayaran bunga tidak pertahun tetapi empatbulanan berapa tabungan nasabah tersebut padasaat sekarang?

Soal-Soal Fungsi Permintaan,Fungsi Penawaran,Market Equlibrium, Pajak Dan Subsidi1. Permintaan terhadap suatu barang yang terjadi

di pasar adalah bila diminta 20 unit barang,52


harga per unit barang Rp 80 dan bila diminta60 unit barang, harga menjadi Rp 40,sedangkan penawaran yang terjadi adalah jikayang ditawarkan 90 unit barang harga per unitRp 40, tetapi jika ditawarkan 120 unit barangharga akan naik menjadi Rp 60 per unit. Daridata tersebut diminta:a. Carilah fungsi penawaran dan fungsi

permintaan?b. Harga dan kuantitas barang pada market

equilibrium?c. Ababila atas barang tersebut dikenakan

pajak sebesar Rp 5 per unitnya, tentukanharga dan kuantitas barang yang baru.

d. Gambar kurvanya.2. Kejadian yang berhasil diamati dipasar

terhadap suatu barang adalah sebagai berikut:Bila barang tersebut tidak ada di pasar (Q =0) maka harga per unit yang diminta dapatmencapai Rp 120, tetapi bila barang adasebanyak 20 unit harga yang ditawarkansebesar Rp 60 per unit. Market Equilibriumterjadi pada harga Rp 80 dan kuantitas 40unit.Diminta:

53


a. Carilah fungsi permintaan dan fungsipenawarannya.

b. Gambar kurvanya.3. Diketahui:

Fungsi Penawaran : P = ¼ Q + 10Fungsi Permintaan: P = -1/4 Q + 25Pajak Rp 2 per unitDiminta:a. Keseimbangan pasar sebelum pajakb. Keseimbangan pasar setelah pajakc. Gambar kurvanya

4. Garis fungsi penawaran melewati titik (0,3)sedang garis fungsi permintaan melewati titik(0,10), apabila titik equilibriumnya E (6,6).

5. Tentukan: Persamaan fungsi permintaan danpenawarannyaDiketahui : Fungsi Penawaran Q = 2P - 20Fungsi Permintaan P = -1/2 Q + 40Pajak Rp 5, pe unitDiminta:a. Harga & kuantitas pada market equibrium

sebelum pajakb. Harga & kuantitas pada market equibrium

setelah pajakc. Gambar kurvanya.

54


6. Diketahui: Fungsi Permintaan P= -1/2 Q + 30Fungsi Penawaran P = ¼ Q + 10Pajak 20%Diminta :a. Harga dan kuantitas keseimbangan pasar

sebelum pajakb. Harga dan kuantitas keseimbangan pasar

setelah pajakc. Gambar kurvanya.

7. Diketahui: FD : P = - 0,5Q + 10FS : P = Q + 4Pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp 2,untuk setiap unit barang yang dijual, berapaP dan Q sebelum subsidi dan P dan Q setelahsubsidi? Dan Gambarkan kurvanya?

8. Sebuah perusahaan menjual hasil produksinyadengan harga Rp 2000, per unit, biayavariabelnya 40% dari pendapatannya sedangbiaya tetapnya Rp 6000.000Tentukan:a. BEP (pada saat Q berapa)b. Bila perusahaan menjual hasil produksinya

6000 unit , apa yang terjadi (laba/rugi)c. Gambar kurvanya

55


9. Bila diketahui fungsi konsumsi ditunjukkanoleh persamaan C = 10 + 0,75YCarilah: a. Fungsi tabungannya, berapakah besarnya

konsumsi pada saat tabungan sama dengan nol(S = 0)

b. Gambar kurva fungsi konsumsi dantabungannya.

10. Pak Santoso mengatakan bahwa pada saatmenganggur dia harus mengeluarkan Rp 30.000,untuk kebutuhannya sebulan, setelah bekerjadengan penghasilan Rp 100.000, Pak Santosobisa menabung Rp 10.000 / bulan. Berapakahtabungan Pak Santoso bila penghasilannyamencapai Rp 120.000 / bulan

Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan dan PendapatanNasional1. Bila diketahui fungsi konsumsi ditunjukkan

oleh persamaan C = 10 + 0,75YCarilah persamaan fungsi tabungannyaa. Berapakah besar konsumsi pada saat tabungan

sama dengan 0 ( S = 0 )b. Gambar kurva fungsi konsumsi dan

tabungannya.

56


2. Konsumsi masyarakat suatu negara ditunjukkanoleh persamaan C = 1500 + 0,75Yd Investasidan pengeluaran pemerintah masing-masingsebesar 2000 dan 1000. Pajak yang diterimadan transfer payment yang dilakukanpemerintah masing-masing dicerminkan oleh T= 500 + 0,25Y dan R = 100 + 0,05Y. Jika nilaiekspornya 1250 dan impornya dicerminkan olehM = 700 + 0,1Y. Hitung Pendapatan NasionalNegara tersebut

57

CATATAN MATEMATIKA EKONOMI

Documents