-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
1
BAB I
PENDAHULUAN
I.1 Latar Belakang
Pada bab ini, materi itu akan dikembangkan sampai ke rumus
trigonometri
untuk jumlah dan selisih dua sudut. Lebih lanjut, pada bab ini
akan dibahasmengenai
rumus trigonometri untuk sudut rangkap.Konsep-konsep
trigonometri yang akan
dibahas di babini sangat penting peranannya dalam ilmu
pengetahuandan teknologi,
misalnya dalam menjawab permasalahan berikut.Sebuah roket yang
ditembakkan ke
atas membentuksudut terhadap arah horizontal. Berapakah besar
sudut agar roket
mencapai jarak maksimum?Agar Anda dapat menjawab permasalahan
tersebut,
pelajari bab ini dengan baik.
I.2 Rumusan Masalah
A. Bagaimanakah menentukan Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan
Selisih Dua Sudut?
B. Bagaimanakah jika rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda? C.
Bagiamanakah cara mengoprasikan Perkalian, Penjumlahan, serta
Pengurangan
Sinus dan Kosinus?
I.3 Tujuan
A. menentukan Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua
Sudut
B. menjabarkan Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda C.
menjabarkan Perkalian, Penjumlahan, serta Pengurangan Sinus dan
Kosinus
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
2
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih
Dua Sudut, dan Sudut Ganda
2.1.1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Telah dipelajari sebelumnya bahwa dalam segitiga siku-siku ABC
berlaku:
Kemudian dari lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan
berjari-jari 1 satuan misalnya,
Dengan mengingat kembali tentang koordinat Cartesius, maka:
a. koordinat titik A (1, 0)
b. koordinat titik B (cos A, sin A)
c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}
d. koordinat titik D {cos (-B), sin (-B)}atau (cos B, -sin
B)
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
3
Jadi rumus cosinus jumlah dua sudut:
cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B
Dengan cara yang sama, maka:
cos (A - B) = cos (A + (-B))
cos (A - B) = cos A cos (-B) - sin A sin (-B)
cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B
Rumus cosinus selisih dua sudut:
cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B
Contoh :
1. Hitunglah nilai dari 75
Jawab :
cos 75 = cos(30 +45 ) = cos 30 cos 45 sin 30 sin 45
=
=
-
=
( - )
2. Nilai Cos 255 =
Jawab ;
Cos 255 = Cos (180 + 75) = - Cos 75 =
= - Cos (45 + 30)
= Cos 45 Cos 30 Sin 45 Sin 30
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
4
)62(4
1
)24
16
4
1(
)2
1.2
2
13
2
1.2
2
1(
2.1.2 Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Perhatikan rumus berikut ini!
Maka rumus sinus jumlah dua sudut:
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
Dengan cara yang sama, maka:
sin (A - B) = sin (A + (-B))
sin (A - B) = sin A cos (-B) + cos A sin (-B)
sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B
Rumus sinus selisih dua sudut:
sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B
Contoh soal
1. A dan B adalah dua buah sudut yang terletak di kuadran II.
Jika Sin A = 5
3 dan
Cos B = 13
12 . Maka nilai Sin (A B)
Jawab :
Sin A = 5
3 Cos A=
5
4
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
5
Cos B =13
12 Sin B =
13
5
Sin (A B) = Sin A Cos B Cos A Sin B
Sin (A B) = )15
5)(
5
4()
13
12.(
5
3
Sin (A B) =65
20
65
36
Sin (A B) =65
16
2.
Jawab :
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
6
2.1.3 Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus tangen jumlah dua sudut:
Contoh soal
1. tan 15=
jawab :
tan 150
= tan ( 60 45)0
= 00
00
45tan.60tan1
45tan60tan
=
31
13
=
13
)13(
13
13
13
13 2
2
324
2
1323
=2+ 3
2.
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
7
Jawab:
2.2. Penggunaan Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Sudut Ganda
2.2.1 Menggunakan Rumus Sinus Sudut Ganda
Dengan menggunakan rumus sin (A + B), untuk A = B maka
diperoleh:
sin 2A = sin (A + B)
sin 2A = sin A cos A + cos A sin A
sin 2A = 2 sin A cos A
Rumus sinus sudut ganda:
sin 2A = 2 sin A cos A
Conto soal :
1. Jika sin A = p dengan {p / -1 < p < 1} , maka sin 2A
=
Jawab :
Sin A = p
Cos p = 21 p
Sin 2A = 2 Sin A Cos A
= 2 p 21 p
2.
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
8
jawab :
2.2.2 Rumus Cosinus Sudut Ganda
Dengan menggunakan rumus cos (A + B), untuk A = B maka
diperoleh:
Dari persamaan (1), (2), dan (3) didapat rumus sebagai
berikut.
Contoh soal :
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
9
Jawab :
2.2.3 Rumus Tangen Sudut Ganda
Dengan menggunakan rumus tan (A + B), untuk A = B diperoleh:
Rumus tangen sudut ganda:
Contoh soal :
Jawab :
2.2.4 Rumus Sudut Ganda untuk Sin 1/2 A, Cos 1/2 A, dan Tan 1/2
A
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
10
Dengan cara yang sama didapat:
Rumus:
contoh soal :
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
11
Jawab :
2.3 Penurunan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus 2.3.1
Perkalian, Penjumlahan, serta Pengurangan Sinus dan Kosinus
A. Perkalian Cosinus dan Cosinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus
sebagai
berikut
cos (A + B) = cos A cos B sin A sin B cos (A B) = cos A cos B +
sin A sin B
jumlahkan akan didapat;
cos (A + B) + cos (A B) = 2 cos A cos B
Rumus: 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A B)
Pelajarilah contoh soal berikut untuk lebih memahami rumus
perkalian cosinus dan
cosinus.
Contoh soal
Nyatakan 2 cos 75 cos 15 ke dalam bentuk jumlah atau selisih,
kemudian tentukan
hasilnya.
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
12
Penyelesaian :
2 cos 75 cos 15 = cos (75 + 15) + cos (75 15) = cos 90 + cos
60
= 0 +
=
B. Perkalian Sinus dan Sinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus
sebagai
berikut:
cos (A + B) = cos A cos B sin A sin B cos (A B) = cos A cos B +
sin A sin B bila dikurangkan menjadi;
cos (A + B) cos (A B) = 2 sin A sin B atau 2 sin A sin B = cos
(A B) cos (A + B)
Rumus: 2 sin A sin B = cos (A B) cos (A + B)
Contoh soal
Nyatakan 2 sin 67
sin 22
ke dalam bentuk jumlah atau selisih, kemudian
tentukan hasilnya.
Penyelesaian:
2 sin 67
sin 22
= cos (67
22
) - cos (67
+ 22
)
= cos 45 cos 90
=
+ 0
=
C.Perkalian Sinus dan Cosinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus
sebagai
berikut.
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A B) = sin A cos B cos A sin B + sin (A + B) + sin (A B) =
2 sin A cos B atau 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A B)
Dengan cara yang sama didapat rumus:
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A B) 2 cos A sin B = sin (A +
B) sin (A B)
Untuk lebih memahami rumus perkalian sinus dan cosinus,
palajarilah contoh
soal
berikut.
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
13
Contoh soal
Nyatakan soal ini ke dalam bentuk jumlah atau selisih sinus,
kemudian
tentukan hasilnya, sin 105 cos 15
Penyelesaian
sin 105 cos 15 =
{sin (105 + 15) + sin (105 15) }
=
(sin 120 + sin 90)
=
(
+ 1)
=
D.Penjumlahan dan Pengurangan Sinus
Rumus perkalian sinus dan kosinus dalam trigonometri dapat
ditulis dalam rumus
berikut.
Contoh soal
1. Sederhanakan: cos 100 + cos 20.
Penyelesaian :
cos 100 + cos 20 = 2 cos
(100 + 20) cos
(100 20)
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
14
= 2 cos 60 cos 40
= 2 .
cos 40
2. Sederhanakan cos 35 cos 25.
Penyelesaian :
cos 35 cos 25 = 2 sin.
(35 + 25) sin .
(35 25)
= 2 sin 30 sin 5
= 2 .
sin 5
= sin 5 3. Sederhanakan sin 315 sin 15.
Penyelesaian :
sin 315 sin 15 = 2 . cos
(315 + 15) . sin
(315 15)
= 2 . cos 165 . sin 150
= 2 . cos 165 .
= cos 165
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
15
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
telah dipelajari dikelas X bahwa untuk menentukan sudut dengan
menggunakan
rumus segitiga. Sedangkan dalam makalah ini telah dijelaskan
lebih rinci tentang penggunaan
rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut,dan
sudut ganda,penggunaan
rumus sinus, cosinus, dan tangen sudut ganda, penurunan rumus
jumlah dan selisih sinus dan
cosinus.diharapkan siswa mampu memahami semua apa yang telah
dipaparkan dalam
makalah ini.
3.2 Saran
Apabila dalam pembuatan makalah ini ada kekurangan dalam hal
apapun kami sangat
mengharap kritik dan saran, sehingga nantinya bisa dibuat acuan
untuk mendekati
kesempurnaan.
-
Kelompok 3 Trigonometri Universitas Muhammadiyah Jember Page
16
DAFTAR PUSTAKA
Djumanta, Wahyudin. 2008. Belajar Matematika Aktif dan
Menyenangkan. Bandung : Pusat
Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Soedyarto, Nugroho.2008. Matematika untuk SMA dan MA Kelas XI
Program IPA. Jakarta :
Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Djumanta, Wahyudin.2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan
Matematika untuk Sekolah
Menengah Atas/Madrasah Aliyah Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan
Alam. Jakarta: PT
Setia Purna Inves.