MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2019/2020 27 Agustus 2019
Bab 0. Pendahuluan
0.1 Bilangan Real
0.2 Pertaksamaan dan Nilai Mutlak
0.3 Sistem Koordinat
0.4 Grafik Persamaan
0.5 Fungsi dan Grafiknya
0.6 Operasi pada Fungsi
0.7 Beberapa Fungsi Khusus
8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 2
KULIAH SEBELUMNYA
Latihan
1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥2. (PR #2 utk Rabu 28/8)
2. Gambar grafik fungsi berikut dan tuliskanbeberapa karakteristiknya.
a. y = x3.
b. y = x4.
c. y = 1 – x4.
d. y = 𝑥 − 𝑥2.
8/28/2019 3(c) Hendra Gunawan
Bab 0. Pendahuluan
0.1 Bilangan Real
0.2 Pertaksamaan dan Nilai Mutlak
0.3 Sistem Koordinat
0.4 Grafik Persamaan
0.5 Fungsi dan Grafiknya
0.6 Operasi pada Fungsi
0.7 Beberapa Fungsi Khusus
8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 4
Sasaran Kuliah Hari Ini
0.6 Operasi pada Fungsi
Melakukan operasi pada fungsi danmenentukan daerah asal fungsi yang dihasilkan
0.7 Beberapa Fungsi Khusus
Mengenal beberapa fungsi khusus, a.l. fungsitrigonometri, baik persamaan maupun sifat-sifatnya
8/28/2019 5(c) Hendra Gunawan
0.6 OPERASI PADA FUNGSIMelakukan operasi pada fungsi danmenentukan daerah asal fungsi yang dihasilkan
MA1101 MATEMATIKA 1A
8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 6
Operasi Aljabar pada Fungsi
Seperti pada bilangan, kita dapat melakukanpenjumlahan, pengurangan, perkalian, danpembagian pada fungsi secara titik demi titik. Jika f terdefinisi pada Df dan g terdefinisi padaDg, maka
(f + g)(x) := f(x) + g(x), x є Df Dg
(f – g)(x) := f(x) – g(x), x є Df Dg
(fg)(x) := f(x)g(x), x є Df Dg
(f/g)(x) := f(x)/g(x), x є Df Dg , g(x) ≠ 0. 8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 7
Contoh
Diketahui f(x) := x2, x є R, dan g(x) := √x, x ≥ 0.
Maka
a. (f + g)(x) = x2 + √x, x ≥ 0.
b. (f – g)(x) = x2 – √x, x ≥ 0.
c. (fg)(x) = x2√x, x ≥ 0.
d. (f/g)(x) = x2/√x = x√x, x > 0.
Catatan. Perhatikan bahwa daerah asal f/g tidakmencakup x = 0, sekalipun x√x terdefinisi di x=0.
8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 8
Pangkat dan Akar
Kita juga dapat melakukan operasi pangkat danakar pada fungsi, selama memungkinkan.
Untuk n = 1, 2, 3, …,
(fn)(x) := [f(x)]n, x є Df .
(f–n)(x) := 1/[fn(x)], x є Df , f(x) ≠ 0.
(f1/n)(x) := [f(x)]1/n, x є Df , f(x) ≥ 0 utk n genap.
Catatan 1. f-1(x) = 1/f(x), namun lambang f-1 kelakakan dipakai untuk keperluan lain. Karena itu, untukf pangkat -1 kita akan menuliskannya sbg 1/f saja.
Catatan 2. f1/2(x) = √f(x) terdefinisi jika f(x) ≥ 0.8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 9
Menggambar Grafik Fungsi f + g
Diketahui grafik fungsi f dan g, bagaimana kitadapat memperoleh grafik f + g? [titik demi titik]
8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 10
x
y
+
+
+
Menggambar Grafik Fungsi f + g
Diketahui grafik fungsi f dan g, bagaimana kitadapat memperoleh grafik f + g? [titik demi titik]
8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 11
-2
0
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
Fungsi Komposisi
Bila x dipetakan ke y = f(x) oleh f, dan kemudiany dipetakan ke z = g(y) oleh g, maka kita peroleh
z = g(f(x)). Dalam hal ini:
x y = f(x) z = g(f(x)).
Komposisi f dan g, yang dilambangkan dengang ◦ f, merupakan fungsi yang memetakan x ke z = g(f(x)), yakni
(g ◦ f)(x) := g(f(x)).
8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 12
Daerah Asal Fungsi Komposisi
Daerah asal g ◦ f adalah himpunan semua x є Dfsedemikian sehingga f(x) є Dg , yakni
Dg ◦ f = { x є Df | f(x) є Dg }.
Contoh: Diketahui f(x) = √x dan g(x) = x2. Maka
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = (√x)2 = x.
Daerah asalnya adalah
Dg ◦ f = { x є [0,∞) | √x є R } = [0,∞).
Perhatikan bahwa sekalipun g ◦ f memetakan x ke x, daerah asalnya hanya [0,∞).8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 13
Catatan
Komposisi dua fungsi tidak bersifat komutatif.
Untuk f dan g pada contoh sebelumnya, kitamempunyai
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = √(x2) = |x|.
Daerah asalnya adalah
Df ◦ g = { x є R | x2 є [0,∞) } = R.
Jadi, tampak bahwa f ◦ g ≠ g ◦ f.
8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 14
Latihan
1. Diketahui f(x) := x2 + 3 dan g(x) := 1/x. Tentukan f + g, f – g, fg, f/g, f2, dan √g beserta daerah asalnya.
2. Diketahui f(x) := √x dan g(x) := 1/x. Tentukan g ◦ f dan f ◦ g, beserta daerahasalnya.
8/28/2019 15(c) Hendra Gunawan
0.7 BEBERAPA FUNGSI KHUSUSMengenal beberapa fungsi khusus, a.l. fungsitrigonometri, baik persamaan maupun sifat-sifatnya
MA1101 MATEMATIKA 1A
8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 16
Fungsi Polinom
Fungi Konstan: f(x) = k (konstanta).
Fungsi Identitas f(x) = x.
Fungsi Linear: f(x) = mx + n.
Fungsi Kuadrat: f(x) = ax2 + bx + c.
Keempat fungsi di atas termasuk keluarga besar
Fungsi Polinom: f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0,
dengan a0, a1, … , an konstanta, dan an ≠ 0.
Di sini, n є N merupakan derajat polinom tersebut.
Catatan: Daerah asal fungsi polinom adalah R.8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 17
Fungsi Rasional & Fungsi Aljabar
Fungsi f yang merupakan hasil bagi dua fungsipolinom, yakni
f(x) = p(x)/q(x), dengan p dan q polinom,
disebut fungsi rasional. Sebagai contoh,
𝑓(𝑥) =𝑥
𝑥2 + 1merupakan fungsi rasional.
Fungsi seperti g(x) = √x dan h(x) = x1/3 + x – 10 merupakan fungsi aljabar.
8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 18
Catatan
Fungsi Nilai Mutlak f(x) = |x| termasuk fungsi
aljabar, mengingat |x| = √𝑥2. Dalam hal ini, jikay = |x|, maka y memenuhi persamaan y2 = x2 (y≥0).
Secara umum, y = f(x) merupakan fungsi aljabarjika y memenuhi suatu persamaan aljabar sepertiy2 = x2 atau y3 = 3x2 + 5x dan sejenisnya.
Sebagai contoh, y = x1/3 + 10 adalah fungsi aljabar; ia memenuhi persamaan (y – 10)3 = x.
8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 19
Fungsi Trigonometri
Tidak semua fungsi merupakan fungsi aljabar.
Salah satu kelompok fungsi yang tidak termasukfungsi aljabar adalah fungsi trigonometri.
8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 20
Bayangkan titik P berputarpada lingkaran berjari-jari 1 ygberpusat di O(0,0), lalu catatabsis (a) dan ordinat (b) sbgfungsi dari sudut (t) antara OPdan sumbu-x positif.
tx
y
O a
bP
t dalam radian
Grafik Fungsi Cosinus dan Sinus
8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 21
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
cos t
sin t
t dalam radian; 2π radian = 360o.
Ingat nilaicos dan sin
di sudut-sudut
istimewa.
Fungsi Tan, Cot, Sec, dan Csc
Dari cos t dan sin t, kita definisikan
tan t = sin t/cos t
cot t = cos t/sin t
sec t = 1/cos t
csc t = 1/sin t
8/28/2019 (c) Hendra Gunawan 22
Beberapa Sifat Fungsi Trigonometri
cos(-x) = cos x [yakni, y = cos x fungsi genap]
sin(-x) = -sin x [yakni, y = sin x fungsi ganjil]
cos2 x + sin2 x = 1
1 + tan2 x = sec2 x, 1 + cot2 x = csc2 x
cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2cos2 x – 1 = 1 – 2sin2 x
sin 2x = 2cos x sin x
8/28/2019 23(c) Hendra Gunawan
… dan masihbanyak
kesamaantrigonometri
lainnya!