Matematika pertaksamaan

PERTIDAKSAMAAN/ KETAKSAMAAN

MATEMATIKA

MURSYE N.REGAR, SPt, MSi

Bentuk PERSAMAAN :

Misal : 3x – 17 = 6

x2 – x – 6 = 0

• Penyelesaiannya adalah terdiri dari satu bilangan atau mungkin sejumlah bilangan berhingga.

Bentuk KETAKSAMAAN (PERTIDAKSAMAAN)

Misal : 3x-17<6

x2 – x – 6 ≥ 0

• Penyelesaiannya adalah terdiri dari suatu keseluruhan selang bilangan atau gabungan dari selang yang berlaku / memenuhi.

03/09/2013 2mUrE 2013

3. tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

a.c > b.c

a/c > b/c

4. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a2 < b2

SIFAT-SIFAT PERTAKSAMAAN

03/09/2013 3mUrE 2013

1. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama

Jika a < b maka:

a + c < b + c

a – c < b – c

2. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:

a.c < b.c

a/b < b/c

SIFAT-SIFAT PERTAKSAMAAN

03/09/2013 4mUrE 2013

03/09/2013 mUrE 2013 5

03/09/2013 mUrE 2013 6

03/09/2013 mUrE 2013 7

A. PERTIDAKSAMAAN LINIER (PANGKAT SATU)

Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x.

• Penyelesaian:Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta atau Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kananContoh :

2x - 3 > 5

2x > 5 + 32x > 8

x > 4

Jenis-jenis Pertaksamaan

03/09/2013 8mUrE 2013

Pertidaksamaan Kuadrat → Variabelnya berpangkat 2Penyelesaian:

1. Ruas kanan dibuat menjadi nol2. Faktorkan3. Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama

dengan nol4. Gambar garis bilangannya5. - Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik

hitam •- Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °

6. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.

7. Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda

8. Tentukan himpunan penyelesaian→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan

yang diarsir adalah yang bertanda (+)→ jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan

yang diarsir adalah yang bertanda (–)

03/09/2013 9mUrE 2013

Contoh :

03/09/2013 10mUrE 2013

• Contoh:

(2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 74x2 – 4x + 1 ≥ 5x2 – 5x – 3x + 3 – 74x2 – 4x + 1 – 5x2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0

–x2 + 4x + 5 ≥ 0–(x2 – 4x – 5) ≥ 0–(x – 5).(x + 1) ≥ 0

Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0x = 5 atau x = –1Garis bilangan:

• menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥

• jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif

• karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif

• karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}03/09/2013 11mUrE 2013

Pertidaksamaan Tingkat Tinggi → Variabel berpangkat lebih dari 2

Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadratContoh:

(2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0(2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0

Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3Garis bilangan:

• menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <• jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif• karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif• karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga

nol, jadi –1/2 merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif

• selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling

• karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}

03/09/2013 12mUrE 2013

Pertidaksamaan Pecahan → ada pembilang dan penyebut

Penyelesaian:• Ruas kanan dijadikan nol• Samakan penyebut di ruas kiri• Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)• Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan

penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)

• Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4

• Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)

• Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval03/09/2013 13mUrE 2013

Harga nol pembilang:–5x + 20 = 0–5x = –20 → x = 4

Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3

Garis bilangan:→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut

Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}

Contoh 1

03/09/2013 14mUrE 2013

• Harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0x = 2 atau x = –1Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya:D = b2 – 4.a.c = 12 – 4.1.1 = 1 – 4 = –3Nilai D-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol-nya)

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}

Contoh 2

03/09/2013 15mUrE 2013

Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar → variabelnya berada dalam tanda akar

Penyelesaian:

• Kuadratkan kedua ruas

• Jadikan ruas kanan sama dengan nol

• Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat

• Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0

03/09/2013 16mUrE 2013

• Kuadratkan kedua ruas: x2 – 5x – 6 < x2 – 3x + 2x2 – 5x – 6 – x2 + 3x – 2 < 0–2x – 8 < 0Semua dikali –1: 2x + 8 > 0 2x > –8 x > –4 Syarat 1: x2 – 5x – 6 ≥ 0 (x – 6).(x + 1) ≥ 0

Harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0x = 6 atau x = –1

Syarat 2: x2 – 3x + 2 ≥ 0 (x – 2).(x – 1) ≥ 0Harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0x = 2 atau x = 1

• Jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6}

Contoh 1

03/09/2013 17mUrE 2013

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

→ variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. |(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3)

Pengertian nilai mutlak:

Penyelesaian:Jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0

03/09/2013 18mUrE 2013

03/09/2013 19mUrE 2013

Contoh 1:

|2x – 3| ≤ 5berarti:

–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3–2 ≤ 2x ≤ 8

Semua dibagi 2:–1 ≤ x ≤ 4

03/09/2013 20mUrE 2013

Contoh 2:|2x – 5| < |x + 4|

Kedua ruas dikuadratkan:(2x – 5)2 < (x + 4)2

(2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0(2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0

(Ingat! a2 – b2 = (a + b).(a – b))(3x – 1).(x – 9) < 0Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0x = 1/3 atau x = 9Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4}

03/09/2013 21mUrE 2013

03/09/2013 mUrE 2013 22

03/09/2013 mUrE 2013 23

03/09/2013 mUrE 2013 24