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Lothar Papula
Mathematik fr Ingenieure und NaturwissenschaftlerKlausur- und
bungsaufgabenber 600 Aufgaben mit ausfhrlichen Lsungen zum
Selbststudium und zur Prfungsvorbereitung
3., durchgesehene und erweiterte Auflage
Mit 293 Abbildungen
STUDIUM
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Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten
sind im Internet ber abrufbar.
1. Auflage 20042., durchgesehene und erweiterte Auflage 20073.,
durchgesehene und erweiterte Auflage 2008
Alle Rechte vorbehalten Vieweg+Teubner |GWV Fachverlage GmbH,
Wiesbaden 2008
Lektorat: Thomas Zipsner | Gabriele McLemore
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Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen,
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besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im
Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu
betrachten wren und dahervon jedermann benutzt werden drften.
Technische Redaktion: Hartmut Khn von Burgsdorff,
WiesbadenUmschlaggestaltung: KnkelLopka Medienentwicklung,
HeidelbergBilder: Graphik & Text Studio Dr. Wolfgang
Zettlmeier, BarbingSatz: Druckhaus Thomas Mntzer GmbH, Bad
LangensalzaDruck und buchbinderische Verarbeitung: Tesnsk Tiskrna,
a. s., TschechienGedruckt auf surefreiem und chlorfrei gebleichtem
Papier.Printed in Czech Republic
ISBN 978-3-8348-0609-3
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Vorwort
Entwicklung und Erwerb der Fahigkeit, die im Grundstudium
vermittelten mathematischen Kennt-nisse auf Problemstellungen aus
Naturwissenschaft und Technik erfolgreich anwenden zu konnen,sind
ein wesentliches Ziel der Grundausbildung und somit zugleich auch
Voraussetzung fur ein er-folgreiches Studium. Dieses Ziel ist aber
nur erreichbar durch standiges und intensives Training(ben), zumal
die Defizite der Studienanfanger in den Grundlagenfachern wie
Mathematik nach wievor enorm sind.
Die vorliegende Sammlung enthalt uber 600 ausfuhrlich und
vollstandig geloste bungs- und Klau-suraufgaben und bietet dem
Studienanfanger Hilfestellung und Unterstutzung auf dem Wege
zumgenannten Ziel. Dieses Buch ermoglicht
als standiger Begleiter zur Vorlesung das intensive Einuben und
Vertiefen des Vorlesungs-stoffes,
eine gezielte und optimale Vorbereitung auf die Prufungen und
Klausuren des Grundstudiums und eignet sich in besonderem Mae zum
Selbststudium.Die Losung der Aufgaben wird dabei Schritt fur
Schritt vorgefuhrt, der Losungsweg ist damit leichtnachvollziehbar.
Alle verwendeten Regeln werden genannt und erklart, wobei besondere
Sorgfalt aufdie elementaren Rechenschritte gelegt wird. Denn die
tagliche Arbeit mit den Anfangssemesternbringt es immer wieder zu
Tage: Die groten Probleme treten meist im Bereich der
Elementarma-thematik auf (Wer kann heutzutage noch fehlerfrei mit
Logarithmen, Wurzeln und Potenzen umge-hen? Wie werden eigentlich
Bruche addiert?). Daher werden in diesem Buch auch die beim
Loseneiner Aufgabe auftretenden elementarmathematischen Probleme
behandelt und alle notigen Rechen-schritte besprochen.
Welche Stoffgebiete wurden berucksichtigt?
Die Auswahl der Stoffgebiete ist auf die Mathematikvorlesungen
im Grundstudium abgestimmt.Zahlreiche der uber 600 Aufgaben sind
dabei anwendungsorientiert formuliert und beschreiben ein-fache
Problemstellungen aus Naturwissenschaft und Technik. Berucksichtigt
wurden folgende Gebiete:
Funktionen und Kurven Gewohnliche Differentialgleichungen
Differentialrechnung Laplace-Transformationen (im Zusammenhang
mit
linearen Differentialgleichungen) Integralrechnung
Vektorrechnung Taylor- und Fourier-Reihen Lineare Algebra Partielle
Differentiation
Mehrfachintegrale
Veranderungen gegenuber der 2. Auflage
Es wurden weitere Aufgaben aufgenommen.
V
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Ein Wort des Dankes . . .
. . . an Frau Ivonne Voirin und Herrn Stefan Koob (beide
studierten an der Fachhochschule Wiesba-den Maschinenbau) fur
zahlreiche wertvolle Hinweise,
. . . an Herrn Ewald Schmitt vom Vieweg-Verlag fur die
hervorragende Unterstutzung bei der Erstel-lung dieses Werkes,
. . . an Herrn Holzer und Herrn Wunderlich vom Druck- und
Satzhaus Thomas Muntzer fur diesenausgezeichneten mathematischen
Satz.
Wiesbaden, im Sommer 2008 Lothar Papula
Hinweise fur den Benutzer
Die bungs- und Klausuraufgaben sind kapitelweise
durchnummeriert. Zu Beginn eines jeden Kapitels bzw. Abschnitts
finden Sie Hinweise auf das Lehrbuch
Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler (Band 13)
sowie auf die Mathemati-sche Formelsammlung des Autors. Hier konnen
Sie die zum Losen der Aufgaben benotigtenmathematischen Hilfsmittel
nachlesen und gegebenenfalls nacharbeiten. Beachten Sie auch
dieweiteren nutzlichen Informationen.
Die vollstandige Losung der jeweiligen Aufgabe finden Sie direkt
im Anschluss an die Auf-gabenstellung. So wird lastiges Blattern
vermieden.
Folgen Sie meiner Empfehlung:Versuchen Sie zunachst, die
Aufgaben selbst zu losen (Losungsteil vorher abdecken).
Skizzenerleichtern dabei in vielen Fallen den Losungsweg.
Vergleichen Sie dann Ihre Losung mit derangegebenen Losung. Sollten
Sie bei einem Zwischenschritt hangen bleiben, so greifen Sie aufdie
vorgegebene Losung zuruck und versuchen einen neuen Start. Denn
auch aus Fehlern lerntman.
Verwendete AbkurzungenBd. 1 ! Band 1 des Lehr- und Lernsystems
Mathematik fur Ingenieure und Naturwissen-
schaftlerFS ! Mathematische FormelsammlungDgl !
DifferentialgleichungLGS ! Lineares Gleichungssystem
VI Hinweise fur den Benutzer
-
A Funktionen und Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 9
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5 Hyperbel- und Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
6 Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7 Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
B Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 61
1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.1 Produktregel . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
1.2 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 64
1.3 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.4 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
1.5 Logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 77
1.6 Implizite Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 80
1.7 Differenzieren in der Parameterform . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 83
1.8 Differenzieren in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 86
2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.1 Einfache Anwendungen in
Physik und Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 89
2.2 Tangente und Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 95
2.3 Linearisierung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 106
2.4 Krummung einer ebenen Kurve . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 108
2.5 Relative Extremwerte, Wende- und Sattelpunkte . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.6 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 120
2.7 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 131
2.8 Tangentenverfahren von Newton . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 142
2.9 Grenzberechnung nach Bernoulli und de LHospital . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
C Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 151
1 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 151
2 Partielle Integration (Produktintegration) . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 161
VII
Inhaltsverzeichnis
-
3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktiondurch
Partialbruchzerlegung des Integranden . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 175
5 Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 180
5.1 Flacheninhalt, Flachenschwerpunkt, Flachentragheitsmomente .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.2 Rotationskorper
(Volumen, Mantelflache, Massentragheitsmoment, Schwerpunkt) . .
. . . . . . . . . . . . . . . 186
5.3 Bogenlange, lineare und quadratische Mittelwerte . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.4 Arbeitsgroen, Bewegungen (Weg, Geschwindigkeit,
Beschleunigung) . . . . . . . . . . 203
D Taylor- und Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
1 Potenzreihenentwickungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 208
1.1 Mac Laurinsche und Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
1.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 220
2 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
E Partielle Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 247
2 Differentiation nach einem Parameter (Kettenregel) . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
3 Implizite Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 268
4 Totales oder vollstandiges Differential einer Funktion
(mit einfachen Anwendungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 272
5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.1 Linearisierung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 281
5.2 Lineare Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 285
5.3 Relative Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 290
5.4 Extremwertaufgaben mit und ohne Nebenbedingungen . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
F Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 301
1 Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
1.1 Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301
1.2 Doppelintegrale in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 318
2 Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
2.1 Dreifachintegrale in kartesischen Koordinaten . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334
2.2 Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
VIII Inhaltsverzeichnis
-
G Gewohnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 357
1 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 357
1.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
1.2 Integration einer Differentialgleichung durch Substitution .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
1.3 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 375
1.4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
1.5 Exakte Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 393
2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten . . . . . . . . . 401
2.1 Homogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
401
2.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
405
3 Integration von Differentialgleichungen 2. Ordnung durch
Substitution . . . . . . . . . . . 425
4 Lineare Differentialgleichungen hoherer Ordnung mit konstanten
Koeffizienten 429
4.1 Homogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
429
4.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433
5 Losung linearer Anfangswertprobleme mit Hilfe der
Laplace-Transformation 440
5.1 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten . . . . . . . 440
5.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten . . . . . . . 447
H Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 452
1 Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 452
2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
I Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 489
1 Matrizen und Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 489
1.1 Rechenoperationen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 489
1.2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 497
1.3 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 511
2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 531
3 Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 553
Inhaltsverzeichnis IX
-
A Funktionen und Kurven
Hinweise fur das gesamte Kapitel
Kurzen eines gemeinsamen Faktors wird durch Grauunterlegung
gekennzeichnet.
1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
Hinweise
Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.5
Formelsammlung: Kapitel III.4
A1
Zerlegen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen
(Polynomfunktionen) in Linearfaktoren :
a) y 2 x 3 20 x 2 24 x 144b) y 2 x 4 12 x 3 44 x 30c) y 3 x 5 3
x 4 36 x 3 36 x 2 81 x 81d) y x 5 4 x 4 4 x 3 6 x 2 37 x 30
Losungsweg: Durch Probieren eine Nullstelle bestimmen, dann das
Polynom mit Hilfe des Horner-Schemas reduzie-ren. Das Verfahren so
lange wiederholen, bis man auf eine quadratische Gleichung stot,
aus der man die restlichenNullstellen erhalt. Fehlen Potenzen (ist
also das Polynom unvollstandig), so sind im Horner-Schema die
entsprechendenKoeffizienten gleich Null zu setzen.
a) Eine Nullstelle liegt bei x 1 2; das Polynom ist
vollstandig:
2 20 24 144x 1 2 4 48 144
2 24 72 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 x 2 24 x 72
Restliche Nullstellen: 2 x 2 24 x 72 0 j : 2 ) x 2 12 x 36 0
)
x 2=3 6 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi36
36p
6 ffiffiffi0p 6 0 6
Nullstellen: x 1 2 ; x 2 6 ; x 3 6
Produktform (Zerlegung in Linearfaktoren):
y 2 x 2 x 6 x 6 2 x 2 x 6 2
1
-
b) Eine Nullstelle liegt bei x 1 1; das Polynom ist
unvollstandig (es fehlt das quadratische Glied):
2 12 0 44 30x 1 1 2 14 14 30
2 14 14 30 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 x 3 14 x 2 14 x 30
Eine weitere Nullstelle liegt bei x 2 1; das 1. reduzierte
Polynom ist vollstandig :
2 14 14 30x 2 1 2 16 30
2 16 30 0 ) 2. reduziertes Polynom: 2 x 2 16 x 30
Restliche Nullstellen: 2 x 2 16 x 30 0 j : 2 ) x 2 8 x 15 0
)
x 3=4 4 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi16
15p
4 ffiffiffi1p 4 1 ) x 3 3 ; x 4 5
Nullstellen: x 1 1 ; x 2 1 ; x 3 3 ; x 4 5
Produktform (Zerlegung in Linearfaktoren):
y 2 x 1 x 1 x 3 x 5 2 x 1 2 x 3 x 5
c) Eine Nullstelle liegt bei x 1 1; das Polynom ist
vollstandig:
3 3 36 36 81 81x 1 1 3 0 36 0 81
3 0 36 0 81 0 ) 1. reduziertes Polynom: 3 x 4 36 x 2 81
Die restlichen Nullstellen erhalten wir aus der bi-quadratischen
Gleichung 3 x 4 36 x 2 81 0; die wir durchdie Substitution u x 2
wie folgt losen:
3 x 4 36 x 2 81 0 j : 3 ) x 4 12 x 2 27 0 ) u 2 12 u 27 0 )u 1=2
6
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi36 27p
6 ffiffiffi9p 6 3 ) u 1 9 ; u 2 3
Rucksubstitution: x 2 u 1 9 ) x 2=3 3 ; x 2 u 2 3 ) x 4=5
ffiffiffi3p
Nullstellen: x 1 1 ; x 2 3 ; x 3 3 ; x 4 ffiffiffi3p
; x 5 ffiffiffi3p
Produktform (Zerlegung in Linearfaktoren):
y 3 x 1 x 3 x 3 x ffiffiffi3p x
ffiffiffi3p
d) Eine Nullstelle liegt bei x 1 1 ; das Polynom ist vollstandig
:
1 4 4 6 37 30x 1 1 1 3 1 7 30
1 3 1 7 30 0 ) 1. reduziertes Polynom:x 4 3 x 3 x 2 7 x 30
2 A Funktionen und Kurven
-
Eine weitere Nullstelle liegt bei x 2 2 ; das 1. reduzierte
Polynom ist vollstandig:
1 3 1 7 30x 2 2 2 10 22 30
1 5 11 15 0 ) 2. reduziertes Polynom: x 3 5 x 2 11 x 15
Eine weitere Nullstelle liegt bei x 3 3 ; das 2. reduzierte
Polynom ist vollstandig :
1 5 11 15
x 3 3 3 6 151 2 5 0 ) 3. reduziertes Polynom: x 2 2 x 5
Es gibt keine weiteren Nullstellen, da die Gleichung x 2 2 x 5 0
keine reellen Losungen hat. Der quadrati-sche Faktor x 2 2 x 5
lasst sich daher nicht weiter zerlegen.
Produktform (Zerlegung in Linearfaktoren):
y x 1 x 2 x 3 x 2 2 x 5
A2Wie lautet die Gleichung der in Bild A-1
skizzierten Polynomfunktion 3. Grades?
Bei x 1 3 liegt eine doppelte Nullstelle (relatives Minimum,
Beruhrungspunkt), eine weitere einfache Nullstellegibt es bei x 2
(noch unbekannt, 0 < x 2 < 3). Wir verwenden den
Produktansatz (Zerlegung in Linearfaktoren)
y a x 3 2 x x 2 mit a 6 0und bestimmen die noch unbekannten
Konstanten a und x 2 aus der Schnittstelle der Kurve mit der
y-Achse unddem Kurvenpunkt A wie folgt:
y x 0 36 ) a 3 2 x 2 9 a x 2 36 j : 9 ) I a x 2 4A 3 ; 72 ) a 3
3 2 3 x 2 36 a 3 x 2 72 j : 36 ) II a 3 x 2 2
Gleichung (I) in Gleichung (II) einsetzen:
II ) a 3 x 2 3 a a x 2|{z} 3 a 4 2 ) 3 a 6 ) a 2 4
I ) a x 2 4 ) 2 x 2 4 ) x 2 2
Ergebnis: y 2 x 3 2 x 2 2 x 2 6 x 9 x 2 2 x 3 6 x 2 9 x 2 x 2 12
x 18 2 x 3 4 x 2 3 x 18
1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 3
y
x
3
3
72 A
36
Bild A-1
-
A3
y 2 x 3 12 x 2 19 x 9
a) Zeigen Sie mit Hilfe einer Koordinatentransformation , dass
diese ganzrationale Funktion bezuglich des
Kurvenpunktes A 2 ; 3 punktsymmetrisch verlauft.b) Wo liegen die
Nullstellen?
c) Wie lautet die Produktdarstellung?
a) Wir fuhren eine Parallelverschiebung des x;
y-Koordinatensystems durch und wahlen dabei den Punkt A als
Null-punkt des neuen u; v-Koordinatensystems. Die
Transformationsgleichungen konnen wir an Hand einer Skizze
direktablesen (Bild A-2):
u x 2 ; v y 3bzw.
x u 2 ; y v 3
Gleichung der Polynomfunktion im neuen u; v-System x durch u 2 ;
y durch v 3 ersetzen :y 2 x 3 12 x 2 19 x 9 )
v 3 2 u 2 3 12 u 2 2 19 u 2 9 2 u 3 6 u 2 12 u 8 12 u 2 4 u 4 19
u 38 9 2 u 3 12 u 2 24 u 16 12 u 2 48 u 48 19 u 29 2 u 3 5 u 3
Ergebnis: v f u 2 u 3 5 uDiese Funktion enthalt nur ungerade
Potenzen (ungerade Funktion) und verlauft somit punktsymmetrisch
:
f u 2 u 3 5 u 2 u 3 5 u 2 u 3 5
u|fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} f uf
u
b) Durch Probieren finden wir eine Nullstelle bei x 1 1 : Mit
dem Horner-Schema erhalten wir das 1. reduziertePolynom und daraus
die restlichen Nullstellen:
2 12 19 9
x 1 1 2 10 92 10 9 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 x 2 10 x 9
Restliche Nullstellen: 2 x 2 10 x 9 0 j : 2 ) x 2 5 x 4;5 0
)
x 2=3 2;5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi6;25
4;5
p 2;5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi1;75
p 2;5 1;3229 ) x 2 1;1771 ; x 3 3;8229
Nullstellen: x 1 1 ; x 2 1;1771 ; x 3 3;8229
c) Produktdarstellung: y 2 x 1 x 1;1771 x 3;8229
4 A Funktionen und Kurven
A
0
P
v
v
xx
y
yu
u
2
3
2
3
Bild A-2
-
A4Die Flugbahn eines Geschosses laute wie folgt:
y 158x 2 100 x 416 x; y in m
(Abschussort: x 0 . Bestimmen Sie Flugweite W und Steighohe
(maximale Hohe) H .
Die Flugbahn ist eine nach unten geoffnete Parabel (Bild A-3).
Wir berechnen zunachst die Nullstellen und den Schei-telpunkt S x
0; y 0 der Parabel und daraus dann die gesuchten Groen.
Nullstellen: y 0 )x 2 100 x 416 0 )
x 1=2 50
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2500
416
p 50
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2916
p 50 54
x 1 4 ; x 2 104
Flugweite: W x 2 104 in m
Die Steighohe H ist die Ordinate y 0 des Scheitelpunktes S ,der
genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt:
x 0 x 1 x 22
4 1042
50 in m
H y 0 y x 0 50 15850 2 100 50 416 50;28 in m
A5 Welche zur y-Achse spiegelsymmetrische Polynomfunktion 6.
Grades besitzt bei x 1 2 ; x 2 3 undx 3 5 jeweils (einfache)
Nullstellen und schneidet die y-Achse an der Stelle y 0 450?
Wegen der Spiegelsymmetrie konnen nur gerade Potenzen auftreten,
die gesuchte Funktion hat also die Form
y a x 6 b x 4 c x 2 dZu jedem Kurvenpunkt gibt es ein
Spiegelbild . Dies gilt auch fur die Nullstellen , d. h. es gibt
weitere Nullstellen beix 4 2, x 5 3 und x 6 5. Damit kennen wir
samtliche Nullstellen der noch unbekannten Polynomfunktion6.
Grades. Sie lauten also (in neuer paarweiser Nummerierung):
x 1=2 2 ; x 3=4 3 ; x 5=6 5
Als Losungsansatz fur die Funktionsgleichung verwenden wir jetzt
zweckmaigerweise den Produktansatz (mit a 6 0 :y a x 2 x
2|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
x 3 x
3|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
x 5 x
5|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
a x 2 4 x 2 9 x 2 25
x 2 4 x 2 9 x 2 25
Die Berechnung von a erfolgt aus der Schnittstelle mit der
y-Achse:
y 0 450 ) a 4 9 25 900 a 450 ) a 0;5
Ergebnis: y 0;5 x 2 4 x 2 9 x 2 25 0;5 x 4 4 x 2 9 x 2 36 x 2 25
0;5 x 4 13 x 2 36 x 2 25 0;5 x 6 13 x 4 36 x 2 25 x 4 325 x 2 900
0;5 x 6 38 x 4 361 x 2 900 0;5 x 6 19 x 4 180;5 x 2 450
1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 5
Flugbahn
Abschussort
x1 x2x0 x
Sy
y0H
W
Bild A-3
-
A6
Kennlinie einer Gluhlampe
Eine Gluhlampe stellt einen nichtlinearen elektrischen
Widerstand dar. Aus einer Messung sind die folgen-
den Strom-Spannungs-Wertepaare bekannt ( I : Stromstarke in
Ampere; U : Spannung in Volt):
I /A 0 0,1 0,2 0,5
U /V 0 21,0 48,0 225,0
a) Bestimmen Sie aus diesen Messwerten ein Naherungspolynom 3.
Grades fur die unbekannte Kennlinie
U f I der Gluhlampe.b) Welcher Spannungsabfall ist bei einer
Stromstarke von I 0;3 A zu erwarten?Anleitung: Verwenden Sie die
Interpolationsformel von Newton (! Band 1, Kap. III.5.6 und FS,
Kap. III.4.7.3)
a) Interpolationsformel von Newton :
U f I a 0 a 1 I I 0 a 2 I I 0 I I 1 a 3 I I 0 I I 1 I I 2 a 0 a
1 I 0 a 2 I 0 I 0;1 a 3 I 0 I 0;1 I 0;2 a 0 a 1 I a 2 I I 0;1 a 3 I
I 0;1 I 0;2
Berechnung der Koeffizienten a 0; a 1; a 2 und a 3 aus dem
Steigungs- oder Differenzenschema :
k I k U k
0
1
2
3
0
0,1
0,2
0,5
a 0
0
21
48
225
a 1
210
270
590
a 2
300
800
a 3
1000
Somit:
a 0 0 ; a 1 210 ;a 2 300 ; a 3 1000
Naherungspolynom 3. Grades fur die unbekannte Kennlinie U f I :U
f I 0 210 I 300 I I 0;1 1000 I I 0;1 I 0;2 210 I 300 I 2 30 I 1000
I I 2 0;1 I 0;2 I 0;02 180 I 300 I 2 1000 I I 2 0;3 I 0;02 180 I
300 I 2 1000 I 3 300 I 2 20 I 200 I 1000 I 3
Unter Berucksichtigung der Einheiten:
U f I 200 VA I 1000 V
A3 I 3
(siehe Bild A-4)
Anmerkung: Es ist kein Zufall, dass der Zusammenhang
zwischenSpannung und Stromstarke punktsymmetrisch ist (nur
ungeradePotenzen). Denn: Bei einer nderung der Stromrichtung
andertsich lediglich die Richtung der abfallenden Spannung!
b) U f I 0;3 A 200 VA 0;3 A 1000 V
A 3 0;3 A 3
60 V 27 V 87 V
6 A Funktionen und Kurven
250
200
150
100
50
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 I/A
U/V
Bild A-4
-
A7
Biegelinie eines Tragers
Ein im Punkt A eingespannter Trager mit einem
zusatzlichen Gelenklager (Punkt B) wird durch eine
konstante Streckenlast q belastet (Bild A-5). Die
Biegelinie lasst sich dabei durch die folgende Polynom-
funktion 4. Grades beschreiben (y ist die Durchbiegung
an der Stelle x):
y x q l3
48E I x 1 3 x
l
2 2 x
l
3" #
(0 x l; l : Lange des Tragers; E I : Biegesteifigkeit).
An welchen Stellen des Tragers findet keine Durchbiegung statt,
wo ist die grote Durchbiegung?
Skizzieren Sie den Verlauf der Biegelinie (Wertetabelle
erstellen).
Hinweis: Die Stelle der groten Durchbiegung lasst sich exakt nur
mit Hilfe der Differentialrechnung
bestimmen.
Zur Vereinfachung fuhren wir eine neue Variable u x = l mit 0 u
1 ein. Die Gleichung der Biegelinie lautetdann (wir erweitern
zunachst mit l ):
y x q l3
48E I x 1 3 x
l
2 2 x
l
3" # q l
4
48E I x
l
1 3 x
l
2 2 x
l
3" #)
y u K u 1 3 u 2 2 u 3 K u 2 u 3 3 u 2 1 mit K q l4
48E I> 0 und 0 u 1
Berechnung der Nullstellen im Intervall 00 u 1Aus physikalischen
Grunden ist einleuchtend, dass in den Randpunkten A und B keine
Durchbiegung stattfindenkann. Somit sind u 1 0 und u 2 1
Nullstellen der Biegelinie. Samtliche Nullstellen erhalt man aus
der Glei-chung y u 0 , d. h.
K u 2 u 3 3 u 2 1 0u 0 ) u1 02 u 3 3 u 2 1 0
u 1 0 ist dabei die (bereits bekannte) Losung der linearen
Gleichung u 0 , u 2 1 eine Losung der kubischenGleichung 2 u 3 3 u
2 1 0 (ebenfalls schon bekannt). Die restlichen Losungen der
kubischen Gleichung erhal-ten wir mit Hilfe des Horner-Schemas
durch Reduzierung des Polynoms 2 u 3 3 u 2 1 (Abspaltung des
Linearfak-tors u 1; das Polynom ist unvollstandig):
2 3 0 1u 2 1 2 1 1
2 1 1 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 u 2 u 1
Restliche Nullstellen: 2 u 2 u 1 0 j : 2 ) u 2 0;5 u 0;5 0 )
u 3=4 0;25
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;0625
0;5
p 0;25
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;5625
p 0;25 0;75 ) u 3 1 ; u 4 0;5
Am Ort der Einspannung (Punkt A) liegt somit eine doppelte
Nullstelle u 2=3 1 , der Wert u 4 0;5 dagegenhat keine
physikalische Bedeutung (er liegt auerhalb des Tragers).
Folgerung: Zwischen den Randpunkten A und B des Tragers gibt es
keine weiteren Stellen ohne Durchbiegung.
1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 7
q = const.
Trger
Biegelinie
AB
y l
x
Bild A-5
-
Ort der maximalen Durchbiegung
Eine exakte Berechnung dieser Stelle ist nur mit Hilfe der
Differentialrechnung uber die 1. und 2. Ableitung der Biege-linie
moglich:
y K 2 u 4 3 u 3 u ) y 0 K 8 u 3 9 u 2 1 ; y 00 K 24 u 2 18 uAus
der notwendigen Bedingung y 0 0 erhalten wir eine kubische
Gleichung, von der wir bereits eine Losungkennen (namlich u 1 1 ;
an dieser Stelle besitzt die Biegelinie bekanntlich eine doppelte
Nullstelle!) :
y 0 0 ) K 8 u 3 9 u 2 1 0 j : K ) 8 u 3 9 u 2 1 0Die restlichen
Losungen dieser Gleichung bestimmen wir mit Hilfe des
Horner-Schemas (Abspalten des Linearfaktorsu 1; das Polynom ist
unvollstandig):
8 9 0 1u 1 1 8 1 1
8 1 1 0 ) 1. reduziertes Polynom: 8 u 2 u 1
Restliche Nullstellen: 8 u 2 u 1 0 j : 8 ) u 2 18u 1
8 0 )
u 2=3 116
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1
16 2 1
8
r 1
16
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 3216 2
r 1
16
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi33
16 2
r 1
ffiffiffiffiffi33p
16 1 5;7446
16)
u 2 0;4215 ; u 3 0;2965 < 0 ohne physikalische Bedeutung
Umformungen: Bruche des Radikanden gleichnamig machen
(Hauptnenner: 16 2), den 2. Bruch also mit 2 16 32erweitern, dann
Teilwurzeln ziehen.
Wegen y 00 u 2 0;4215 K 3;3231 3;3231K < 0 liegt ein Maximum
vor. Die grote Durch-biegung findet daher an der Stelle u 2 0;4215
und somit x 2 0;4215 l statt. Sie hat den Werty u 2 0;4215 0;2600K.
An der Stelle u 1 1 (Punkt A) liegt ein Minimum (keine
Durchbiegung).Der Kurvenverlauf (ermittelt mit Hilfe der folgenden
Wertetabelle) bestatigt diese Ergebnisse (Bild A-6).
Wertetabelle (ohne den Faktor K > 0
u 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
y 0 0,097 0,179 0,235 0,259 0,25 0,211 0,151 0,083 0,025 0
8 A Funktionen und Kurven
0,5 1 u
0,4215
y
Biegelinie
Bild A-6
-
2 Gebrochenrationale Funktionen
Hinweise
Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.6
Formelsammlung: Kapitel III.5
A8y x 1 x 5x 1 2 x 3
Bestimmen Sie folgende Eigenschaften: Definitionslucken,
Nullstellen, Pole, Asymptoten, Schnittpunkt
mit der y-Achse. Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.
Definitionslucken: Nenner 0 ) x 1 2 x 3 0 ) x 1 ; x 3
Nullstellen: Zahler 0 , Nenner 6 0 ) x 1 x 5 0 ) x 1 1 ; x 2
5
Pole: Nenner 0 , Zahler 6 0 ) x 1 2 x 3 0 ) x 3=4 1 ; x 5 3Bei 1
liegt ein Pol ohne Vorzeichenwechsel, bei 3 ein solcher mit
Vorzeichenwechsel.
Polgeraden (senkrechte Asymptoten): x 1 ; x 3
Verhalten der Funktion im Unendlichen
Die Funktion ist echt gebrochen (Zahler: quadratisch, Nenner:
kubisch), sie nahert sich daher fur x ! 1 asympto-tisch der x-Achse
y 0 .
Asymptote im Unendlichen: y 0
Schnittpunkt mit der y-Achse: y 0 1 51 2 3 5
3
Kurvenverlauf: siehe Bild A-7
Die Kurve nahert sich fur x ! 1 von unten der x-Achse, links von
der Nullstelle x 2 5 besitzt sie dahernoch ein relatives Minimum
(die genaue Lage lasst sich nur mit Hilfe der Differentialrechnung
bestimmen).
2 Gebrochenrationale Funktionen 9
2
1
1
2
8 6 4 2 1 2 4 6 x
x = 1 x = 3
5/3
y
Bild A-7
-
A9
Diskutieren Sie den Verlauf der gebrochenrationalen Funktion
y 2 x4 2 x 3 20 x 2 8 x 48
x 3 x 2 4 x 4
(Definitionslucken, Nullstellen, Pole, Asymptoten, Schnittpunkt
mit der y-Achse). Gibt es hebbare Defini-
tionslucken? Wie lautet gegebenenfalls die erweiterte Funktion?
Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.
Sinnvoller Weise zerlegen wir zunachst Zahler und Nenner in
Linearfaktoren.
Zahler: Z x 2 x 4 2 x 3 20 x 2 8 x 48 0Durch Probieren findet
man die Losung x 1 2, mit dem Horner-Schema wird dann reduziert
:
2 2 20 8 48x 1 2 4 4 32 48
2 2 16 24 0 ) 1. reduziertes Polynom: 2 x 3 2 x 2 16 x 24
Eine weitere Nullstelle liegt bei x 2 3:
2 2 16 24x 2 3 6 24 24
2 8 8 0 ) 2. reduziertes Polynom: 2 x 2 8 x 8
Restliche Zahlernullstellen: 2 x 2 8 x 8 0 j : 2 ) x 2 4 x 4 x 2
2 0 ) x 3=4 2Zahler: Z x 2 x 4 2 x 3 20 x 2 8 x 48 2 x 2 x 3 x 2
2
Nenner: N x x 3 x 2 4 x 4 0Durch Probieren erhalt man die Losung
x 1 1, mit dem Horner-Schema wird reduziert :
1 1 4 4x 1 1 1 0 4
1 0 4 0 ) 1. reduziertes Polynom: x 2 4
Restliche Nennernullstellen: x 2 4 0 ) x 2 4 ) x 2=3 2Nenner: N
x x 3 x 2 4 x 4 x 1 x 2 x 2Die (unecht) gebrochenrationale Funktion
lasst sich damit auch wie folgt darstellen:
y 2 x4 2 x 3 20 x 2 8 x 48
x 3 x 2 4 x 4 2 x 2 x 3 x 2 2x 1 x 2 x 2 x 6 1; 2; 2
Es gibt drei Definitionslucken bei 1, 2 und 2 (dort wird der
Nenner jeweils gleich Null). Zahler und Nennerhaben bei x 2 und x 2
gemeinsame Nullstellen, diese Definitionslucken sind jedoch beide
behebbar, da diejeweiligen Grenzwerte vorhanden sind:
limx! 2
2 x 2 x 3 x 2 2x 1 x 2 x 2 limx! 2
2 x 3 x 2 2x 1 x 2
2 1 4 23 4
8
3
limx!2
2 x 2 x 3 x 2 2x 1 x 2 x 2 limx! 2
2 x 2 x 3 x 2 x 2x 1 x 2 x 2
limx!2
2 x 2 x 3 x 2x 1 x 2
2 4 5 0 1 4 0
10 A Funktionen und Kurven
-
Erweiterte Funktion und ihre Eigenschaften
Die erweiterte Funktion y * erhalten wir durch kurzen der
gemeinsamen Faktoren:
y 2 x 2 x 3 x 2 x 2x 1 x 2 x 2 ! y* 2 x 3 x 2
x 1 x 6 1
Wir bestimmen zunachst die Eigenschaften dieser Funktion.
Definitionsbereich: x 6 1
Nullstellen: x 3 x 2 0 ) x 1 3 ; x 2 2
Pole: x 1 0 ) x 3 1 (Pol mit Vorzeichenwechsel)
Polgerade (senkrechte Asymptote): x 1
Verhalten im Unendlichen
Die Funktion ist unecht gebrochenrational (Grad des Zahlers >
Grad des Nenners). Wir zerlegen sie durch Polynom-division wie
folgt:
y * 2 x 3 x 2x 1
2 x 2 3 x 2 x 6x 1
2 x 2 x 6x 1
2 x 2 2 x 12x 1
y * 2 x 2 2 x 12 : x 1 2 x 4 8x 1|fflffl{zfflffl}2 x 2 2 x
4 x 12 echt gebrochen 4 x 4
8Fur groe x-Werte (d. h. fur x ! 1) wird der echt
gebrochenrationale Anteil vernachlassigbar klein (er strebtgegen
Null). Unsere Kurve nahert sich daher im Unendlichen asymptotisch
der Geraden y 2 x 4.
Asymptote im Unendlichen: y 2 x 4
Schnittpunkt mit der y-Achse: y x 0 12
Kurvenverlauf: siehe Bild A-8
Gezeichnet ist die erweiterte Funktion; nimmt man die beiden
dick gekennzeichneten Punkte heraus, erhalt man denVerlauf der
Ausgangsfunktion (Definitionslucken bei 1, 2 und 2).
2 Gebrochenrationale Funktionen 11
x = 1
20
10
1012
20
5 2
1 2
3 5
y x= 2 4
y
xBild A-8
-
A10
Bestimmen Sie den Verlauf der gebrochenrationalen Funktion
y 2 x2 6 x 9x 3 2 x 6 3
aus den Null- und Polstellen, den Asymptoten und dem
Schnittpunkt mit der y-Achse.
Wir zerlegen zunachst den Zahler Z x in Linearfaktoren: Z x 2 x
2 6 x 9 2 x 3 2 . Somit gilt :
y 2 x2 6 x 9x 3 2
2 x 3 2x 3 2 x 6 3
Wir stellen fest: Zahler und Nenner haben keine gemeinsamen
Nullstellen. Damit ergeben sich folgende
Funktions-eigenschaften:
Nullstellen: Z x 2 x 3 2 0 ) x 1=2 3(doppelte Nullstelle, d. h.
Beruhrungspunkt und relativer Extremwert)
Pole: N x x 3 2 0 ) x 3=4 3 (Pol ohne Vorzeichenwechsel)
Polgerade (senkrechte Asymptote): x 3
Verhalten im Unendlichen
Die Funktion ist unecht gebrochenrational Z x und N x sind
jeweils Polynome 2. Grades), wir mussen sie daherzunachst durch
Polynomdivision zerlegen:
y 2 x 32
x 3 2 2 x 2 6 x 9x 3 2
2 x 2 12 x 18x 2 6 x 9
y 2 x 2 12 x 18 : x 2 6 x 9 2 24 xx 2 6 x
9|fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}2
x 2 12 x 18
24 x echt gebrochen
Im Unendlichen, d. h. fur x ! 1 verschwindet der echt
gebrochenrationale Anteil und die Kurve nahert sichasymptotisch der
Geraden y 2 (Parallele zur x-Achse).Asymptote im Unendlichen: y
2Schnittpunkt mit der y-Achse: y x 0 2
Kurvenverlauf: siehe Bild A-9
12 A Funktionen und Kurven
x = 3
y = 2
y
x15 10 3 3 10 15
2
20
10
Bild A-9
-
A11
Diskutieren Sie den Verlauf der gebrochenrationalen Funktion
y x 12 x 2 x 2
x 3 5 x 2 6 x(Definitionslucken, Null- und Polstellen,
Asymptoten, Schnittpunkt mit der y-Achse). Prufen Sie, ob es
hebbare Definitionslucken gibt und skizzieren Sie die Funktion
bzw. die erweiterte Funktion.
Wir zerlegen zunachst Zahler Z x und Nenner N x in
Linearfaktoren :
Zahler: Z x x 1 2 x 2 x 2 0Faktor x 2 x 2 in Linearfaktoren
zerlegen:
x 2 x 2 0 ) x 1=2 0;5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;25 2
p 0;5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi2;25
p 0;5 1;5 )
x 1 1 ; x 2 2Z x x 1 2 x 2 x 2 x 1 2 x 1 x 2
N x x 3 5 x 2 6 x 0 ) x x 2 5 x 6 0x 0 ) x 1 0x 2 5 x 6 0
Nenner:
x 2 5 x 6 0 ) x 2=3 2;5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi6;25 6
p 2;5
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;25
p 2;5 0;5 )
x 2 2 ; x 3 3N x x 3 5 x 2 6 x x 0 x 2 x 3 x x 2 x 3
Somit gilt:
y x 12 x 2 x 2
x 3 5 x 2 6 x x 1 2 x 1 x 2
x x 2 x 3Definitionslucken liegen bei 0, 2 und 3. Da Zahler und
Nenner an der Stelle x 2 eine gemeinsame ein-fache Nullstelle
haben, ist der Grenzwert an dieser Stelle jedoch vorhanden:
limx!2
x 1 2 x 1 x 2x x 2 x 3 limx!2
x 1 2 x 1x x 3
1 2 3 2 1
3
2
Die Definitionslucke bei x 2 lasst sich daher beheben , in dem
wir nachtraglich diesen Grenzwert zum Funktions-wert an der Stelle
x 2 erklaren. Wir erhalten dann die erweiterte Funktion
y * x 12 x 1
x x 3 x 6 0 ; 3
(sie entsteht aus der Ausgangsfunktion durch Kurzen des
gemeinsamen Faktors x 2). Diese Funktion besitzt nurnoch zwei
Definitionslucken bei 0 und 3. Wir ermitteln nun die Eigenschaften
der erweiterten Funktion y *.
Definitionslucken: x 0 ; x 3
Nullstellen: Z x x 1 2 x 1 0 ) x 1=2 1 ; x 3 1Die doppelte
Nullstelle x 1=2 1 ist zugleich ein Beruhrungspunkt mit der x-Achse
und somit ein relativer Extrem-wert .
Pole: N x x x 3 0 ) x 4 0 ; x 5 3 (bei Pole mit
Vorzeichenwechsel)
Polgeraden (senkrechte Asymptoten): x 0 y-Achse ; x 3
2 Gebrochenrationale Funktionen 13
-
Verhalten im Unendlichen
Die Funktion ist unecht gebrochenrational (Grad des Zahlers >
Grad des Nenners), wir zerlegen sie daher zunachst mitHilfe der
Polynomdivision in einen ganzrationalen und einen echt
gebrochenrationalen Anteil :
y * x 12 x 1
x x 3 x 2 2 x 1 x 1
x 2 3 x x 3 2 x 2 x x 2 2 x 1
x 2 3 x x 3 x 2 x 1
x 2 3 x
y * x 3 x 2 x 1 : x 2 3 x x 2 5 x 1x 2 3
x|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}x 3 3 x 2
2 x 2 x 1 echt gebrochen 2 x 2 6 x
5 x 1
Fur x ! 1 verschwindet der echt gebrochenrationale Anteil, die
Kurve nahert sich dann asymptotisch der Geradeny x 2.
Asymptote im Unendlichen: y x 2
Schnittpunkt mit der y-Achse: nicht vorhanden (Polstelle bei x
0
Funktionsverlauf: siehe Bild A-10
Gezeichnet wurde die erweiterte Funktion y *.Die
Ausgangsfunktion y hat an der fett gezeich-neten Stelle x 2 eine
weitere Definitions-lucke, ansonsten aber den gleichen Verlauf wie
dieerweiterte Funktion.
A12
Eine gebrochenrationale Funktion besitzt an den Stellen x 1 2
und x 2 5 einfache Nullstellenund bei x 3 0 und x 4 6 Pole 1.
Ordnung. Fur groe x-Werte, d. h. fur x ! 1 nahert siesich
asymptotisch der Geraden y 2. Durch welche Gleichung lasst sich
diese Funktion beschrei-ben? Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.
Die Nullstellen der gesuchten Funktion sind die Nullstellen des
Zahlerpolynoms Z x, die Pole die Nullstellen desNennerpolynoms N x
(gemeinsame Nullstellen gibt es nicht). Wir wahlen daher fur Zahler
und Nenner den Produkt-ansatz :
y Z xN x
a x 2 x 5x 0 x 6
a x 2 x 5x x 6 x 6 0 ; 6
Die Asymptote im Unendlichen, deren Gleichung bekannt ist y 2 ,
erhalt man durch Polynomdivision. Sieentspricht dabei dem
ganzrationalen Anteil, der bei dieser Division entsteht:
y a x 2 x 5x x 6
a x 2 2 x 5 x 10x 2 6 x a
x 2 3 x 10x 2 6 x
14 A Funktionen und Kurven
10
5
5
10x = 3
y x= 2
8 6 4 2 1 2 4 x
y
Bild A-10
-
Polynomdivision (der Faktor a 6 0 wird zunachst
weggelassen):
x 2 3 x 10 : x 2 6 x 1 3 x 10x 2 6 xx 2 6 x
3 x 10Damit erhalten wir die folgende Zerlegung:
y a x2 3 x 10x 2 6 x a 1
3 x 10x 2 6 x
|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}
echt gebrochen
Im Unendlichen verschwindet der echt gebrochenrationale Anteil
und die Funktion nahert sich asymptotisch derGeraden y a (Parallele
zur x-Achse). Sie ist identisch mit der Geraden y 2, woraus folgt:
a 2. Diegesuchte Funktionsgleichung lautet somit:
y 2 x 2 x 5x x 6
2 x 2 3 x 10x 2 6 x x 6 0 ; 6
Kurvenverlauf: siehe Bild A-11
A13
Eine gebrochenrationale Funktion besitze folgende
Eigenschaften:
Doppelte Nullstelle bei x 1=2 2 ;Einfache Polstellen bei x 3 4;
x 4 0 und x 5 10 ;Punkt P 1; 0;2 liegt auf der Kurve.
a) Wie lautet die Funktionsgleichung?
b) Skizzieren Sie den Kurvenverlauf.
a) Die Nullstellen der gesuchten Funktion sind die Nullstellen
des Zahlerpolynoms, die Polstellen dagegen die Null-stellen des
Nennerpolynoms. Die Linearfaktorenzerlegung von Zahler und Nenner
ist somit (bis auf einen nochunbekannten Faktor a 6 0) bekannt. Wir
wahlen daher den folgenden Ansatz (Zahler und Nenner jeweils in
derProduktform):
y a x 2 x 2x 4 x 0 x 10 a x 2 2
x x 4 x 10 x 6 4 ; 0 ; 10
Die Konstante a bestimmen wir aus dem Kurvenpunkt P 1 ; 0;2
:
y x 1 0;2 ) a 12
1 5 9 0;2 ) 1
45a 0;2 ) a 9
y 9 x 22
x x 4 x 10Funktionsgleichung:
2 Gebrochenrationale Funktionen 15
y
x
x = 6
2 4 5 6 8 10
10/3
6
4
2
2
4
6
6 4
2
y = 2
x = 0
Bild A-11
-
b) Nullstellen: x 1=2 2 (Beruhrungspunkt und relativer
Extremwert)Pole: x 3 4 ; x 4 0 ; x 5 10 (alle mit
Vorzeichenwechsel)Asymptote im Unendlichen: y 0 (die Funktion ist
echt gebrochenrational)Schnittpunkt mit der y-Achse: nicht
vorhanden (Polstelle bei x 0Kurvenverlauf: siehe Bild A-12
Es ist hier sinnvoll, einige Kurvenpunkte zu berechnen
(insbesondere im Intervall 4 < x < 0 wissen wir weniguber den
Verlauf der Kurve).
Wertetabelle:
x y
10 1;08 8 1;56 5 5;88 3 5;77 2 3 1 2;45
1 0;2
5 0;36
8 1;69
9 3;77
11 4;4215 1;0720 0;61
A14
Eine gebrochenrationale Funktion y Z x =N x schneide die y-Achse
bei 3. Samtliche Nullstellendes Zahlerpolynoms Z x und des
Nennerpolynoms N x sind bekannt:
Z x : x 1 2 ; x 2 1 ; N x : x 3=4 1 ; x 5 4a) Bestimmen Sie die
Gleichung dieser Funktion und skizzieren Sie den Kurvenverlauf.
b) Wie lautet die Partialbruchzerlegung der Funktion?
a) Zahler und Nenner konnen in der Produktform angesetzt werden,
da alle Nullstellen des Zahler- und Nennerpoly-noms bekannt
sind:
y a x 2 x 1x 1 x 1 x 4 a x 2 x 1x 1 2 x 4 x 6 1 ; 4
Die Berechnung der Konstanten a 6 0 erfolgt aus dem (bekannten)
Schnittpunkt mit der y-Achse:
y x 0 3 ) a 2 1 1 2 4 2 a 4
a
2 3 ) a 6
Funktionsgleichung : y 6 x 2 x 1x 1 2 x 4 x 6 1 ; 4
Eigenschaften der Funktion
Nullstellen: x 1 2 ; x 2 1Pole: x 3=4 1 (Pol ohne
Vorzeichenwechsel); x 5 4 (Pol mit Vorzeichenwechsel)Polgeraden
(senkrechte Asymptoten): x 1 ; x 4
16 A Funktionen und Kurven
6
4
2
2
4
6
2 4 8 12
16
8 4
x = 10
x
y
x = 4
Bild A-12
-
Asymptote im Unendlichen: y 0 (die Funktion ist echt
gebrochenrational)Schnittpunkt mit der y-Achse: y x 0
3Kurvenverlauf: siehe Bild A-13
Wertetabelle:
x y
10 0;38 8 0;43 6 0;49 4 0;54 2 0;44
3 65 6;75
10 1;09
b) 1. Schritt: Berechnung der Nennernullstellen
N x x 1 2 x 4 0 ) x 1=2 1 ; x 3 42. Schritt: Zuordnung der
Partialbruche
x 1=2 1 doppelte Nullstelle ! Ax 1 B
x 1 2
x 3 4 einfache Nullstelle ! Cx 4
3. Schritt: Partialbruchzerlegung (Ansatz)
6 x 2 x 1x 1 2 x 4
A
x 1 B
x 1 2 C
x 44. Schritt: Alle Bruche werden gleichnamig gemacht, d. h. auf
den Hauptnenner x 1 2 x 4 gebracht.Dazu mussen die Teilbruche der
rechten Seite der Reihe nach mit x 1 x 4, x 4 bzw. x 1 2erweitert
werden:
6 x 2 x 1x 1 2 x 4
A x 1 x 4 B x 4 C x 1 2x 1 2 x 4
Da die Nenner beider Seiten ubereinstimmen, gilt dies auch fur
die Zahler:
6 x 2 x 1 A x 1 x 4 B x 4 C x 1 2
Um die drei Konstanten A; B und C zu bestimmen, benotigen wir
drei Gleichungen. Diese erhalten wir durchEinsetzen der Werte x 1;
x 4 (es sind die Nullstellen des Nenners) und x 0:
x 1 6 1 2 3B ) 3B 12 ) B 4
x 4 6 2 5 9C ) 9C 60 ) C 609 20
3
x 0 6 2 1 A 1 4 4B C ) 4A 4B C 4A 4 4 203 12 )
4A 12 16 203 4 20
3 12 20
3 8
3) A 2
3
Ergebnis: y 6 x 2 x 1x 1 2 x 4 2
3 1x 1
4
x 1 2 20
3 1x 4
2 Gebrochenrationale Funktionen 17
10
5
3
5
10
6 4 2 1 2 4 6 8 x
y
x = 4
x = 1
Bild A-13
-
Magnetfeld in der Umgebung einer stromdurchflossenen
elektrischen Doppelleitung
Die in Bild A-14 skizzierte elektrische Doppelleitung besteht
aus zwei langen parallelen Leitern, deren
Durchmesser gegenuber dem Leiterabstand d 2 a vernachlassigbar
klein ist. Die Strome in denbeiden Leitern L 1 und L 2 haben die
gleiche Starke I, flieen jedoch in entgegengesetzte Richtun-
gen. Der Verlauf der magnetischen Feldstarke H langs der
Verbindungslinie der beiden Leiterquer-
schnitte (x-Achse) wird durch die Gleichung
H x I ap 1a 2 x 2 ; j x j 6 a
beschrieben. Bestimmen Sie die wesentlichen Eigenschaften dieser
gebrochenrationalen Funktion und
skizzieren Sie den Feldstarkeverlauf.
A15
Definitionsbereich: j x j 6 a (am Ort der beiden Leiter
verschwindet der Nenner)Symmetrie: Nur gerade Potenzen )
Spiegelsymmetrie zu H-AchseNullstellen: keine
Pole: a 2 x 2 0 ) x 1=2 a (Pole mit
Vorzeichenwechsel)Physikalische Deutung: Die magnetische Feldstarke
wird unendlich gro am Ort der Leiter und andert ihr
Vorzeichen(Richtungsanderung), wenn man auf die andere Seite des
Leiters geht!
Polgeraden (senkrechte Asymptoten): x a
H x 0 I ap 1a 2 I
p aSchnittpunkt mit H-Achse:
Verhalten im Unendlichen
Die Funktion ist echt gebrochenrational (Zahler: konstante
Funktion; Nenner: quadratische Funktion), fur groe Wertevon x, d. h
in groer Entfernung von der Doppelleitung nimmt die magnetische
Feldstarke H rasch gegen Null ab.
Asymptote im Unendlichen: H 0 (x-Achse)
Verlauf der magnetischen Feldstarke: siehe Bild A-15
Deutung aus physikalischer Sicht
Kleinster Wert (Minimum) zwischen den beiden Leitern
genau in der Mitte x 0 : H x 0 Ip a
H nimmt in Richtung der Leiter zunachst zu, wird am Ortder
Leiter unendlich gro Polstellen x 1=2 a undfallt dann nach auen hin
gegen Null ab, wobei sich gleich-zeitig die Richtung des
Feldstarkevektors umkehrt :
H x > 0 fur j x j < aH x < 0 fur j x j > a
18 A Funktionen und Kurven
y
x x a=
L1 L2
x a=
2a
H x( )
xBild A-14
x
x a=
L1 L2
a
x a=
H
I a/
a
Bild A-15
-
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen
Hinweise
Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.9 und 10
Formelsammlung: Kapitel III.7 und 8
A16 Zeige: sin arccos x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 x 2
p; 1 x 1
Wir setzen y arccos x mit 0 y p: Durch Umkehrung folgt x cos y .
Dann gilt :
sin arccos x sin y
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1
cos 2 y
q
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1 x 2
p(unter Berucksichtigung der trigonometrischen Bezeichnung sin 2
y cos 2 y 1 und sin y 0 im Intervall0 y p . Damit ist die Formel
bewiesen.
Welche Losungen besitzen die folgenden trigonometrischen
Gleichungen?
a) 2 sin x cos 3 x sin x sin 2 xb) cos 2 x 2 sin 2 x
A17
a) Unter Verwendung der trigonometrischen Formeln sin 2 x cos 2
x 1 und sin 2 x 2 sin x cos x (! FS)werden beide Seiten zunachst
wie folgt umgeformt:
Linke Seite: 2 sin x cos 3 x 2 sin x 2 cos 3 x 2 sin x 2 cos x
cos 2 x |fflffl{zfflffl}1 sin 2 x
2 sin x 2 cos x 1 sin 2 x 2 sin x 2 cos x 2 cos x sin 2 xRechte
Seite: sin x sin 2 x sin x 2 sin x cos x 2 cos x sin 2
x|fflfflffl{zfflfflffl}
2 sin x cos xDie trigonometrische Gleichung 2 sin x cos 3 x sin
x sin 2 x geht damit uber in:
2 sin x 2 cos x 2 cos x sin 2 x 2 cos x sin 2 x ) 2 sin x 2 cos
x 0 j : 2 )
sin x cos x 0 ) sin x cos x j : cos x ) sin xcos x
tan x 1
unter Berucksichtigung der trigonometrischen Beziehung tan x sin
x = cos xDie Losungen dieser Gleichung lassen sich anhand einer
Skizze leicht bestimmen (Bild A-16). Sie entsprechen
denSchnittstellen der Tangenskurve mit der Geraden y 1 (Parallele
zur x-Achse).
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 19
-
Der Schnittpunkt A liegt dabei an der Stelle x arctan 1 p = 4,
die weiteren Schnittpunkte im Abstandvon ganzzahligen Vielfachen
der Periode p p links und rechts von A . Wir erhalten somit
folgende Losungen:
x k arctan 1 k p p = 4 k p mit k 2 Zb) Unter Verwendung der
trigonometrischen Beziehungen cos 2 x cos 2 x sin 2 x und sin 2 x
cos 2 x 1! FS lasst sich die linke Seite der Gleichung wie folgt
umformen:
cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1 sin 2 x sin 2 x 1 2 sin 2
x|fflffl{zfflffl}1 sin 2 x
Somit folgt aus cos 2 x 2 sin 2 x :
1 2 sin 2 x 2 sin 2 x ) 4 sin 2 x 1 ) sin 2 x 0;25 ) sin x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi0;25
p 0;5
Wir untersuchen zunachst die Losungen dieser beiden einfachen
trigonometrischen Gleichungen im Perioden-intervall 0 x < 2p .
Sie entsprechen den Schnittstellen der Sinuskurve mit den beiden
zur x-Achse parallelenGeraden y 0;5 bzw. y 0;5 (siehe Bild
A-17).
sin x 0;5 Die Umkehrung dieser Gleichung im Intervall 0 x p
liefert die Losung x arcsin 0;5 p = 6(Punkt A), eine weitere Losung
liegt spiegelsymmetrisch zur eingezeichneten Symmetrieachse an der
Stellex p arcsin 0;5 (Punkt B). Somit ergeben sich fur die
Gleichung sin x 0;5 insgesamt folgende Losungen (mitk 2 Z):
x 1 k arcsin 0;5 k 2p p = 6 k 2p
x 2 k p arcsin 0;5 p p6
k 2p 5
6p k 2p
Denn wegen der Periodizitat der Sinusfunktion wiederholen sich
die Schnittstellen im Abstand von ganzzahligenVielfachen der
Periode p 2p .
20 A Funktionen und Kurven
2
A
y = 1
y x= tanarctan (1)
x
y
Bild A-16
Symmetrieachse
+ arcsin 0,5y = sin x
2
A*B*
1
1y = 0,5
arcsin 0,5
y = 0,5A B
y
x
2 arcsin 0,5
arcsin 0,5
Bild A-17
-
sin x 0;5 Die Losungen dieser Gleichung erhalten wir aus den
Losungen der ersten Gleichung sin x 0;5durch eine einfache
Symmetriebetrachtung. Die im Periodenintervall 0 x < 2p
gelegenen Schnittstellen A * undB * liegen bezuglich der Nullstelle
x p der Sinusfunktion punktsymmetrisch zu den Punkten A und B
(sieheBild A-17). Der Schnittpunkt B * liegt daher an der Stelle x
p arcsin 0;5; der Schnittpunkt A * beix 2p arcsin 0;5.
Weitere Schnittstellen ergeben sich, wenn wir wiederum
ganzzahlige Vielfache der Periode p 2p addieren odersubtrahieren
(mit k 2 Z):
x 3 k p arcsin 0;5 k 2p p p6
k 2p 7
6p k 2p
x 4 k 2p arcsin 0;5 k 2p 2p p6
k 2p 11
6p k 2p
Losungsmenge der Ausgangsgleichung (mit k 2 Z):
x 1 k p6 k 2p ; x 2 k 5
6p k 2p ; x 3 k 7
6p k 2p ; x 4 k 11
6p k 2p
Bestimmen Sie samtliche Nullstellen der periodischen
Funktion
y 5 sin 12
x
3 cos 1
2x p
3
a) unter Verwendung des Additionstheorems der
Kosinusfunktion,
b) mit Hilfe des Zeigerdiagramms.
Hinweis zu b): Fassen Sie die beiden Summanden als
gleichfrequente (mechanische) Schwingungen
auf x : Zeit; y : Auslenkung; Kreisfrequenz: w 1 = 2 und
ersetzen Sie die beidenEinzelschwingungen durch eine resultierende
Sinusschwingung gleicher Frequenz,
deren Nullstellen dann leicht bestimmt werden konnen.
A18
y 0 ) 5 sin 12
x
3 cos 1
2x p
3
0 )a) Nullstellen:
5 sin 12
x
|fflffl{zfflffl} 3 cos
1
2x p
6
|{z} ) 5 sin u 3 cos u
p
6
Substitution : u 1
2x
u u
Mit dem Additionstheorem der Kosinusfunktion ! FS erhalten wir:5
sin u 3 cos u p = 6 3 cos u cos p = 6 sin u sin p = 6
3 cos p = 6 cos u 3 sin p = 6 sin u 2;5981 cos u 1;5 sin u )
3;5 sin u 2;5981 cos u j : 3;5 cos u ) sin ucos u
2;59813;5
) tan u 0;7423
(unter Verwendung der trigonometrischen Beziehung tan u sin u =
cos u)Die Losungen der Gleichung tan u 0;7423 entsprechen den
Schnittstellen der Tangenskurve mit der zuru-Achse parallelen
Geraden y 0;7423 und lassen sich aus Bild A-18 leicht
ermitteln:
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 21
-
Losung im Periodenintervall p = 2 < u < p = 2 (Punkt A in
Bild A-18): u arctan 0;7423 0;6386Weitere Losungen liegen im
Abstand von ganzzahligen Vielfachen der Periode p p :
u k arctan 0;7423 k p 0;6386 k p k 2 ZDurch Rucksubstitution
erhalten wir die gesuchten Nullstellen x 2 u :
x k 2 u k 2 0;6386 k p 1;2772 k 2p k 2 Z
b) Die gleichfrequenten Einzelschwingungen
y 1 5 sin 12
x
und y 2 3 cos 1
2x p
3
3 cos 1
2x p
6
ergeben bei ungestorter berlagerung eine gleichfrequente
resultierende Schwingung in der Sinusform
y y 1 y 2 A sin 12
x j
mit A > 0
Zunachst aber mussen wir die Kosinusschwingung y 2 in eine
Sinus-schwingung mit positiver Amplitude verwandeln. Dies geschieht
be-sonders anschaulich mit Hilfe des Zeigerdiagramms (Bild
A-19):
Drehwinkel: 240 b 43p
y 2 3 cos 12
x p6
3 sin 1
2x 4
3p
Auf die Berechnung der Amplitude A konnen wir verzichten,
dadiese keinen Einfluss auf die Lage der Nullstellen hat.
Berechnung des Nullphasenwinkels j
Mit A 1 5; A 2 3; j 1 0 und j 2 240 folgt dann:
tan j A 1 sin j 1 A 2 sin j 2A 1 cos j 1 A 2 cos j 2
5 sin 0 3 sin 240
5 cos 0 3 cos 240 0 2;59815 1;5 0;7423
Aus dem Zeigerdiagramm entnehmen wir, dass der resultierende
Zeiger im 4. Quadranten liegt (siehe Bild A-20).Somit gilt:
tan j 0;7423 )j arctan 0;7423 0;6386
22 A Funktionen und Kurven
y
u
y u= tan
y = 0,7423
2
arctan0,7423
A
Bild A-18
+ cos
+ sin
3 cos
3 sin
303
y2
240
Bild A-19
5 y1
y2y
3 30
f
A
Bild A-20
-
Resultierende Schwingung: y y 1 y 2 A sin 12
x 0;6386
mit A > 0
Die Nullstellen der Funktion sin u liegen bekanntlich an den
Stellen u k k p mit k 2 Z . Somit besitzt dieresultierende
Schwingung genau dort Nullstellen, wo ihr Argument u x = 2 0;6386
einen der Werte k pannimmt:
1
2x k 0;6386 k p ) 1
2x k 0;6386 k p ) x k 1;2772 k 2p mit k 2 Z
Das Weg-Zeit-Gesetz einer periodischen Bewegung laute wie
folgt:
s t 2 sin 2 t cos t ; t 0(s : Auslenkung; t : Zeit). Zu welchen
Zeiten hat die Auslenkung den Wert s 2?
A19
Uns interessieren also die positiven Losungen der
trigonometrischen Gleichung
2 sin 2 t cos t 2 :Umformung mit Hilfe des trigonometrischen
Pythagoras sin 2 t cos 2 t 1 fuhrt zu:
2 sin 2 t cos t 2 ) 2 1 cos 2 t cos t 2 ) 2 2 cos 2 t cos t 2
)
2 cos 2 t cos t 0 ) cos t 2 cos t 1 0cos t 0 2 cos t 1 0
cos t 0 ) Losungen sind die positiven Nullstellen des Kosinus :
t 1 k p2 k p k 2 N
2 cos t 1 0 oder cos t 0;5
Die Losungen dieser Gleichung entsprechen den Schnittpunkten der
Kosinuskurve mit der zur Zeitachse parallelenGeraden y 0;5 (Bild
A-21):
Im Periodenintervall 0 t < 2p gibt es genau zwei Losungen
(Punkte A und B). Die erste Losung (Punkt A) er-halten wir aus der
Gleichung cos t 0;5 durch Umkehrung : t arccos ( 0;5). Die zweite
Losung (Punkt B) liegtbezuglich der eingezeichneten Symmetrieachse
spiegelsymmetrisch zur ersten Losung bei t 2p arccos ( 0;5).Wegen
der Periodizitat der Kosinusfunktion liegen weitere Losungen rechts
der Punkte A bzw. B im Abstand jeweilsganzzahliger Vielfacher der
Periode p 2p. Damit ergeben sich insgesamt folgende Losungen (zu
diesen Zeitpunktenhat die Auslenkung jeweils den Wert s 2 ; k 2
N):
t 1 k arccos 0;5 k 2p 23p k 2p
t 2 k 2p arccos 0;5 k 2p 2p 23p
k 2p 4
3p k 2p
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 23
2 arccos (0,5)arccos (0,5)
2 3
A B
y = cos t
y = 0,5
t
y
Symmetrieachse
p = 2
1
1
Bild A-21
-
Bestimmen Sie auf elementarem Wege die Nullstellen und relativen
Extremwerte der Funktion
y sin x ffiffiffi3p cos x .
Hinweis: Bringen Sie die Funktion zunachst auf die Sinusform y A
sin x j mit A > 0und 0 j < 2p .
A20
Wir fassen die Funktionsgleichung als eine harmonische
Schwingung auf, die durch ungestorte berlagerung
zweiergleichfrequenter Schwingungen entstanden ist (Periode: p 2p ;
Winkelgeschwindigkeit: w 1). Aus demZeigerdiagramm konnen wir die
Amplitude A und den Nullphasenwinkel j leicht berechnen (siehe Bild
A-22):
y 1 1 sin x
y 2 ffiffiffi3p cos x
y y 1 y 2 A sin x j
Satz des Pythagoras (im grau unterlegten Dreieck):
A 2 1 2 ffiffiffi3p 2 1 3 4 ) A
ffiffiffi4p 2
tan j ffiffiffi3p
1
ffiffiffi3p
) j arctanffiffiffi3p 60 b p = 3
y y 1 y 2 sin x ffiffiffi3p cos x 2 sin x p = 3
Die Resultierende ist also eine um p = 3 nach links verschobene
Sinuskurve mit der Amplitude A 2 und derPeriode p 2p (siehe Bild
A-23)
Die Lage der Nullstellen und relativen Extremwerte lasst sich
unmittelbar ablesen k 2 Z :Nullstellen: x 1 k p = 3 k pRelative
Maxima: x 2 k p = 6 k 2p ; y 2 k 2
Relative Minima: x 3 k 76p k 2p ; y 3 k 2
24 A Funktionen und Kurven
+cos
+sin1
A
y
y1
y2
f
33
Bild A-22
Max Max
MinMin
7
2
p = 2
2
2
x
y
56
6
3
3
3
Bild A-23
-
berlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen
Wie gro ist der Scheitelwert u 0 und der Nullphasenwinkel j
einer Wechselspannung, die durch
ungestorte berlagerung der gleichfrequenten
Wechselspannungen
u 1 t 100 V sin w t p = 6 und u 2 t 200 V cos w t p = 4mit w 100
s 1 entsteht?a) Zeichnerische Losung im Zeigerdiagramm.
b) Rechnerische Losung.
Hinweis: Verwenden Sie den Losungsansatz
u t u 1 t u 2 t u 0 sin w t j mit u 0 > 0 und 0 j < 2p
.
A21
a) Zeigerdiagramm: Bild A-24
abgelesene Werte:
u 0 246 Vj 22
b) Die kosinusformige Wechselspannung u 2 t bringen wir zunachst
mit Hilfe des Zeigerdiagramms (Bild A-24) aufdie Sinusform (Drehung
des entsprechenden Sinuszeigers aus der unverschobenen Position um
45 b p = 4):
u 2 t 200 V cos w t p = 4 200 V sin w t p = 4
Berechnung von Scheitelwert u 0 und Nullphasenwinkel j
Somit gilt: u 01 100 V ; u 02 200 V ; j 1 p = 6 b 30 ; j 2 p = 4
b 45 u 20 u 201 u 202 2 u 01 u 02 cos j 2 j 1 100 V 2 200 V 2 2 100
V 200 V cos 45 30
|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}
75
10 000 40 000 10 352;76 V 2 60 352;76 V 2 ) u 0 245;67 V
tan j u 01 sin j 1 u 02 sin j 2u 01 cos j 1 u 02 cos j 2
100 V sin 30 200 V sin 45
100 V cos 30 200 V cos 45
50 141;4214 V86;6025 141;4214 V 91;4214
228;0239 0;4009
Da der gesuchte Nullphasenwinkel j im 1. Quadranten liegt (siehe
Zeigerdiagramm, Bild A-24), gilt :
j arctan 0;4009 21;85 b 0;3813Ergebnis: u t u 1 t u 2 t 245;67 V
sin w t 0;3813 mit w 100 s 1
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 25
+cos
+sin
200 V
u 2
u
u045
30100 V
u1
f
Bild A-24
-
Superposition gedampfter Schwingungen
Die gedampfte mechanische Schwingung mit der
Funktionsgleichung
y t 5 cm e 0;1 t = s 2 sin 2 s 1 t 3 cos 2 s 1 t ; t 0
kann als berlagerung zweier gleichfrequenter gedampfter
Schwingungen aufgefasst werden. Bringen
Sie diese Schwingung mit Hilfe des Zeigerdiagramms auf die
Sinusform
y t A e 0;1 t = s sin 2 s 1 t j ; t 0mit A > 0 und 0 j <
2p .
A22
Aus der Gleichung
5 cm e 0;1 t = s 2 sin 2 s 1 t 3 cos 2 s 1 t A e 0;1 t = s sin 2
s 1 t jfolgt unmittelbar durch Kurzen der e-Funktion:
5 cm 2 sin 2 s 1 t 3 cos 2 s 1 t 10 cm sin 2 s 1 t 15 cm cos 2 s
1 t A sin 2 s 1 t j
Die beiden gleichfrequenten ungedampften Einzelschwingungen
x 1 t 10 cm sin 2 s 1 t und x 2 t 15 cm cos 2 s 1 tkonnen durch
die resultierende Sinusschwingung
x t x 1 t x 2 t A sin 2 s 1 t jersetzt werden, deren Amplitude A
und Nullphasenwinkel j sich wie folgt aus dem Zeigerdiagramm
berechnenlassen (Bild A-25):
Satz des Pythagoras (im grau unterlegten Dreieck):
A 2 10 cm 2 15 cm 2 100 225 cm 2 325 cm 2
A ffiffiffiffiffiffiffiffi325p
cm 18;03 cm
tan j 15 cm10 cm
1;5 ) j arctan 1;5 56;31 b 0;983Somit gilt:
x t x 1 t x 2 t 18;03 cm sin 2 s 1 t 0;983 ; t 0
Darstellung der gedampften Schwingung in der Sinusform :
y t e 0;1 t = s x t e 0;1 t = s 18;03 cm sin 2 s 1 t 0;983 18;03
cm e 0;1 t = s sin 2 s 1 t 0;983
26 A Funktionen und Kurven
10 cm
10 cm
15 cm 15 cm
+cos
+sinx1
xx2
A
f
Bild A-25
-
Zund- und Loschspannung einer Glimmlampe
Eine Glimmlampe liegt an der Wechselspannung
u t 360 V sin 100p s 1 t ; t 0 s
Sie beginnt zu leuchten, wenn die Zundspannung u Z 180 V
erreicht wird und sie erlischt beiUnterschreitung der Loschspannung
u L 90 V. Wie lange leuchtet sie (bezogen auf eine Periode
derangelegten Wechselspannung)?
A23
Wir fuhren folgende Bezeichnungen ein (siehe hierzu Bild
A-26):
t 1 : Die Lampe beginnt zu dieser Zeit erstmals zu leuchten, d.
h. u t 1 180 Vt 2 : Die Lampe erlischt erstmals, d. h. u t 2 90 Vt
3 : Die Lampe beginnt wieder zu leuchten, d. h. u t 3 180 Vt 4 :
Die Lampe erlischt wieder, d. h. u t 4 90 Vt *: Die Spannung an der
Lampe erreicht erstmals den Wert 90 V, d. h. u t * 90 V.
Sie leuchtet also in den beiden (wegen der Symmetrie der
Sinuskurve) gleichlangen Zeitintervallen t 1 t t 2 undt 3 t t 4 ,
insgesamt also wahrend der Zeit D t 2 t 2 t 1 (innerhalb einer
Periode der angelegten Wechsel-spannung).
Berechnung der Zeitpunkte t1 und t2
Kreisfrequenz der Wechselspannung: w 100p s 1
Periode (Schwingungsdauer) der Wechselspannung: T 2pw 2 p
100 p s 1 0;02 s
Zeitpunkt t 1 : u t 1 180 V )360 V sin 100p s 1 t 1 180 V j :
360 V ) sin x
0;5|fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
x
Durch Umkehrung und anschlieende Rucksubstitution folgt:
x arcsin 0;5 p6) 100 p s 1 t 1 p
6) t 1 1
600s 0;001 667 s
Zeitpunkt t 2 : u t 2 90 V )360 V sin 100p s 1 t 2 90 V j : 360
V ) sin y
0;25|fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
y
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 27
t /st1t* t2
t3 t4
0,01
0,02
U /V
360
180
90
90
180
360
Bild A-26
-
Beim Auflosen dieser Gleichung mussen wir beachten, dass die
Loschspannung von 90 V erstmals bereits zumfruheren Zeitpunkt t *
< t 1 erreicht wird (siehe Bild A-26). Diesen Zeitpunkt t *
erhalten wir wie folgt durchUmkehrung der Gleichung sin y * 0;25
und anschlieender Rucksubstitution :
sin y * 0;25 ) y * arcsin 0;25 0;252 68 ) 100p s 1 t * 0;252 68
) t * 0;000 804 sAus Bild A-26 entnehmen wir dann fur den gesuchten
Zeitpunkt t 2 :
t 2 0;01 s t * 0;01 0;000 804 s 0;009 196 s
Leuchtintervall D t == 2 (t 2 t 1)
D t 2 t 2 t 1 2 0;009 196 0;001 667 s 0;015 058 sIm Verhaltnis
zur Periode T der angelegten Wechselspannung:
D t
T 0;015 058 s
0;02 s 0;752 9 75;3%
Die Glimmlampe leuchtet also wahrend einer Periode zu rund 3 = 4
dieser Zeit.
a) Wie lauten die Gleichungen der in Bild A-27 durch Zeiger
dargestellten gleichfrequenten Schwingungen (Kreisfrequenz:
w; t 0 s)?
b) Bestimmen Sie zeichnerisch die durch ungestorte Super-
position erzeugte resultierende Schwingung.
c) Wie lautet die Gleichung der resultierenden Schwingung
(elementare Berechnung ohne fertige Formeln).
Hinweis: Alle Schwingungen sind in der Sinusform mit positiver
Amplitude anzugeben.
A24
a) Zeiger y 1 : A 1 5 cm ; j 1 45 b p = 4 ) y 1 5 cm sin w t p =
4 ; t 0 sZeiger y 2 : A 2 5 cm ; j 2 15 b p = 12 ) y 2 5 cm sin w t
p = 12 ; t 0 s
b) Zeigerdiagramm: siehe Bild A-28
abgelesene Werte:
A 8;7 cmj 15
c) Darstellung der resultierenden Schwingung in der Sinusform
:
y y 1 y 2 A sin w t j mit A > 0 und t 0
28 A Funktionen und Kurven
+cos
+sin
y2
y1
5 cm
5cm
4515
Bild A-27
y1
y
y2
45
15+sin
+cos
A
f
5cm
5 cm
Bild A-28
-
Das Parallelogramm ist eine Raute (Rhombus) mit der Seitenlange
5 cm und Innenwinkeln von 60 und 120 (siehe Bild A-29). Da die
Diagonalen einer Raute bekanntlich die Innenwinkel halbieren, muss
der gesuchtePhasenwinkel j 15 b p = 12 betragen. Die Berechnung der
Amplitude A erfolgt aus dem in Bild A-29 grauunterlegten
gleichschenkligen Dreieck mit Hilfe des Kosinussatzes (! FS):
A 2 5 cm 2 5 cm 2 2 5 cm 5 cm cos 120
25 25 25 cm 2 75 cm 2 ) A ffiffiffiffiffi75p
cm 8;66 cm
Ergebnis: y y 1 y 2 8;66 cm sin w t p = 12 ; t 0 s
Gegeben sind die gleichfrequenten Sinusschwingungen mit den
Gleichungen
y 1 5 cm sin 2 s 1 t p = 3 und y 2 A 2 cos 2 s 1 t 4p = 3
t 0 s. Bestimmen Sie (zeichnerisch und rechnerisch) die
Amplitude A 2 > 0 so, dass die durchSuperposition entstandene
resultierende Schwingung zu einem unverschobenen Sinuszeiger mit
positi-
ver Amplitude A fuhrt. Wie gro ist A?
A25
Fur die resultierende Schwingung gilt also j 0 :y y 1 y 2 5 cm
sin 2 s 1 t p = 3 A 2 cos 2 s 1 t 4p = 3 A sin 2 s 1 t
Zeigerdiagramm: siehe Bild A-30
abgelesene Werte:
A 10 cmA 2 8;7 cm
Berechnung der Amplituden A2 und A
Aus dem Zeigerdiagramm entnehmen wir: die Zeiger y 1 und y 2
stehen senkrecht aufeinander, das Parallelogrammist somit ein
Rechteck und wir konnen daher auf fertige Berechnungsformeln
verzichten. Aus dem grau unterlegtenrechtwinkligen Dreieck folgt
dann:
tan 60 A 25 cm
) A 2 5 cm tan 60 8;66 cm
cos 60 5 cmA
) A 5 cmcos 60
10 cm
Resultierende Schwingung: y y 1 y 2 10 cm sin 2 s 1 t ; t 0
s
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 29
120
120
60
60
5 cm
5 cm
5cm
5cm
A
Bild A-29
+ cos
+ sin
5cm
5cm
A
240
y2
A 2
A 2
y1
y
60
Bild A-30
-
berlagerung sinusformiger Wechselstrome
Wie lauten die Funktionsgleichungen der in Bild A-31
dargestellten Wechselstrome? Durch welche
Gleichung lasst sich der Gesamtstrom beschreiben, der durch
ungestorte berlagerung der beiden
Einzelstrome entsteht?
Hinweis: Samtliche Strome sind in der Sinusform i t i 0 sin w t
j anzugeben mit i 0 > 0und 0 j < 2p .
A26
Wechselstrom i 1 (t) == i 01 sin (w 1 t + j 1)Scheitelwert: i 01
6 A ; Nullphasenwinkel: j 1 0 ; Schwingungsdauer: T 1 p s
Kreisfrequenz: w 1 2pT 1 2 p
p s 2 s 1
Somit gilt:
i 1 t i 01 sin w 1 t j 1 6 A sin 2 s 1 t ; t 0 s
Wechselstrom i 2 (t) == i 02 sin (w 2 t + j 2)
Scheitelwert: i 02 4 A ; Schwingungsdauer: T 2 p s ;
Kreisfrequenz: w 2 2pT 2 2 p
p s 2 s 1
Die Sinuskurve
i 2 t i 02 sin w 2 t j 2 4 A sin 2 s 1 t j 2ist auf der
Zeitachse um t 0 p = 4 s nach rechts verschoben. Daraus lasst sich
der Nullphasenwinkel j 2 wie folgtbestimmen:
i 2 t 0 p = 4 s 0 ) 4 A sin 2 s 1 p4
s j 2
4 A sin p2 j 2
0 j : 4 A )
sinp
2 j 2
0 ) p
2 j 2 0 ) j 2 p
2|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}0
Somit gilt:
i 2 t 4 A sin 2 s 1 t p = 2 ; t 0 s
30 A Funktionen und Kurven
t /s
6
4
4
6
i1
i2
i /A
4
2
54
34
Bild A-31
-
berlagerung der Teilstrome i 1 (t) und i 2 (t)
Da die Teilstrome gleiche Schwingungsdauer und damit gleiche
Kreisfrequenz haben w 1 w 2 2 s 1 , entstehtbei der berlagerung
ebenfalls ein Wechselstrom der Kreisfrequenz w 2 s 1 :
i t i 1 t i 2 t 6 A sin 2 s 1 t 4 A sin 2 s 1 t p = 2 i 0 sin 2
s 1 t jDie Berechnung des Scheitelwertes i 0 und des
Nullphasenwinkels j erfolgt anhand des Zeigerdiagramms (Bild
A-32).Die Zeiger der beiden Teilstrome stehen aufeinander
senkrecht, das Parallelogramm ist somit ein Rechteck. i 0 und
jlassen sich daher elementar wie folgt berechnen:
Satz des Pythagoras (im grau unterlegten Dreieck):
i 20 4 A 2 6 A 2 16 36 A 2 52 A 2
i 0 ffiffiffiffiffi52p
A 7;211 A
Phasenwinkel: j 2p a
tan a 4 A6 A
23) a arctan 2
3
0;588 ) j 2p a 2p 0;588 5;695
Ergebnis: i t i 1 t i 2 t 7;211 A sin 2 s 1 t 0;5695 ; t 0 s
Zentrifugalkraftregler
Bild A-33 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines
Zentrifugalkraftreglers. An den (als masselos angenom-
menen) Armen der Lange 2a hangt jeweils eine punktformige Masse
m, die mit der Winkelgeschwin-
digkeit w um die eingezeichnete Drehachse rotiert. Zwischen dem
Winkel j, unter dem sich infolge
der Zentrifugalkrafte die Arme gegenuber der Achse einstellen,
und der Winkelgeschwindigkeit w be-
steht dabei der folgende Zusammenhang:
cos j g2 aw 2
g : Erdbeschleunigung
a) Zeigen Sie, dass zum Abheben der Arme eine
Mindestwinkelgeschwindigkeit w 0 notig ist.
b) Skizzieren Sie die Abhangigkeit des Winkels j von der
Winkelgeschwindigkeit w. Welcher maxi-
male Winkel j max ist moglich?
~GG : Gewichtskraft
~FFZ : Zentrifugalkraft
~FFr : Resultierende Kraft
A27
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen 31
+cos
+sin
i0
i
4A 4A
6A
6A
ai1
i2
Bild A-32
Drehachse
v
a
a
a a
a
a
f f
f
mm
r rFr
FZ
G
Bild A-33
-
a) Der kleinstmogliche Winkel ist j 0 . Zu ihm gehort der
Mindestwert w 0 der Winkelgeschwindigkeit:
cos 0 g2 aw 20
1 ) w 20 g
2 a) w 0
ffiffiffiffiffiffiffig
2 a
r|fflffl{zfflffl}
1
b) Wir losen die Gleichung cos j g2 aw 2
nach j auf und erhalten die gesuchte Beziehung zwischen j und
w
in Form einer Arkusfunktion :
j arccos g2 aw 2
arccos g = 2 a
w 2
arccos w
20
w 2
arccos w 0
w
2; w w 0
Kurvenverlauf: siehe Bild A-34
Wertetabelle: Wir setzen x w =w 0 und berechnen einige Werte der
Funktion
j arccos w 0w
2 arccos 1w =w 0 2
arccos 1 = x 2 ; x 1
x j
1 0
1;2 46
1;4 59;3
1;6 67;0
1;8 72;0
2 75;5
2;5 80;8
3 83;6
4 86;4
5 87;7
10 89;4
Der grotmogliche Winkel ist j max 90 (waagerechte Arme!), er
wird bei unendlich hoher Winkelgeschwin-digkeit erreicht (w ! 1 und
somit auch x ! 1):
j max limw!1
arccosw 0
w
2 lim
x!1arccos 1 = x 2 arccos 0 90
32 A Funktionen und Kurven
f
90
60
30
1 2 3 4 5 6 7 v v/ 0
Bild A-34
-
4 Exponential- und Logarithmusfunktionen
Hinweise
Lehrbuch: Band 1, Kapitel III.11 und 12
Formelsammlung: Kapitel III.9 und 10
A28Zeigen Sie: Die Funktion y 3 2 3 x 1 5 3 x 1 ; 1 < x <
1 ist umkehrbar. Wie lautet dieUmkehrfunktion?
Zunachst bringen wir die Funktion auf eine gunstigere Form:
y 3 2 3 x 1 5 3 x 1 3 2 3 x 2 1 5 3 x 5 1 3 2 5 1 2 3 x 5 3 x 65
2 5 3 x 1;2 10 3 x|fflffl{zfflffl} |fflffl{zfflffl}
|fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl}
2 3 x 2 1 5 3 x 5 1 2 5 3 x
Rechenregeln: a m n a m a n ; a n b n a b nEs handelt sich also
um eine streng monoton wachsende Exponentialfunktion, die
bekanntlich umkehrbar ist. Wir losendie Funktionsgleichung nun nach
x auf, in dem wir beide Seiten logarithmieren (Zehnerlogarithmus
verwenden):
y 1;2 10 3 x j lg )lg y lg 1;2 10 3 x lg 1;2 lg 10 3 x lg 1;2 3
x lg 10 lg 1;2 3 x )
3 x lg y lg 1;2 j : 3 ) x 13 lg y 1
3 lg 1;2 1
3 lg y 0;0264
Rechenregeln: lg a b lg a lg b ; lg a n n lg a ; lg 10 1Durch
Vertauschen der beiden Variablen erhalten wir schlielich die
gesuchte Umkehrfunktion :
y 13 lg x 0;0264 ; x > 0
Aufladen eines Kondensators
Beim Aufladen eines Kondensators steigt die Kondensatorspannung
u im Laufe der Zeit t nach dem
Exponentialgesetz
u t 100 V 1 e t = t ; t 0 st > 0: Zeitkonstante, noch
unbekannt.
a) Bestimmen Sie die Zeitkonstante t aus dem Messwert u t 2 s 80
V:
b) Welchen Endwert u E erreicht die am Kondensator liegende
Spannung? Nach welcher Zeit wird der
halbe Endwert erreicht? Skizzieren Sie den Spannungsverlauf am
Kondensator.
c) Berechnen Sie die Kondensatorspannung zum Zeitpunkt t 5
s:
A29
4 Exponential- und Logarithmusfunktionen 33
-
a) u t 2 s 80 V )100 V 1 e 2 s = t 80 V j : 100 V ) 1 e 2 s = t
0;8 ) 0;2 e 2 s = t j ln )
ln 0;2 ln e 2 s = t 2 st
) t 2 sln 0;2
1;242 67 s
Rechenregel: ln e n n
b) Der Endwert u E wird erst nach unendlich langer Zeit, d. h.
fur t ! 1 erreicht. Er betragt:
u E limt!1
u t limt!1
100 V 1 e t = 1;242 67 s 100 V
(die streng monoton fallende e-Funktion verschwindet fur t ! 1).
Der halbe Endwert, also u 50 V, wird zumZeitpunkt t T erreicht:
u t T 50 V )100 V 1 e T = 1;242 67 s 50 V j : 100 V ) 1 e T =
1;242 67 s 0;5 )
0;5 e T = 1;242 67 s j ln ) ln 0;5 ln e T = 1;242 67 s T1;242 67
s
)
T 1;242 67 s ln 0;5 0;8614 sRechenregel: ln e n
nSpannungsverlauf: siehe Bild A-35
u t 100 V 1 e t = 1;242 67 s
100 V 1 e 0;804 72 s 1 t fur t 0 s
c) u t 5 s 100 V 1 e 0;804 72 s 1 5 s 100 V 1 e 4;023 60 98;21
V
Zeigen Sie, dass fur jedes x 1 gilt :
ln x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1
p ln x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1
p 0 :A30
Wir formen zunachst die Gleichung wie folgt um:
ln x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1
p ln x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1
p 1 ln x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1
p ln x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1
p 1
Rechenregel: n ln a ln a n . Durch Entlogarithmieren folgt
weiter:
e ln xffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1p
e ln xffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1p
1 ) x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1
p x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1
p 1 )
x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1
p 1
x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1
p x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1
p ) x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1
p x
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix 2 1
p 1
)|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
3. Binom: a b a b a 2 b 2
x 2 x 2 1 1 ) x 2 x 2 1 1 ) 1 1Rechenregel: ln a ln b ) e ln a e
ln b ) a b (Entlogarithmierung)Damit ist die vorgegebene Beziehung
fur jedes x 1 bewiesen.
34 A Funktionen und Kurven
u /V
100
80
60
40
20
1 2 3 4 5 6 7 t /s
Bild A-35
-
Abkuhlungsgesetz von Newton
Ein Korper besitzt zurzeit t 0 die Temperatur T 0 30 C und wird
dann durch einen Luftstromder konstanten Temperatur T L 20 C
gekuhlt , wobei
T t T 0 T L e k t T L ; t 0gilt T t: Korpertemperatur zum
Zeitpunkt t; k > 0: Konstante).
a) Nach 5 min betragt die Korpertemperatur 28 C. Bestimmen Sie
aus diesem Messwert die
Konstante k.
b) Welche Temperatur besitzt der Korper nach 60 min?
c) Wann ist der Abkuhlungsprozess beendet, welche Temperatur T E
besitzt dann der Korper?
Skizzieren Sie den Temperaturverlauf.
A31
Das Abkuhlungsgesetz lautet fur die vorgegebenen Werte wie
folgt:
T t 30 C 20 C e k t 20 C 10 C e k t 20 C ; t 0 min
a) T t 5 min 28 C )10 C e 5 min k 20 C 28 C ) 10 C e 5 min k 8 C
j : 10 C ) e 5 min k 0;8 j ln )
ln e 5 min k 5 min k ln 0;8 ) k ln 0;8 5 min 0;044 63 min 1
Rechenregel: ln e n n
b) T t 10 C e 0;044 63 min 1 t 20 C ; t 0 minT t 60 min 10 C e
0;044 63 min 1 60 min 20 C
10 C e 2;677 8 20 C 0;687 C 20 C 20;687 C
c) Der Abkuhlungsprozess ist (theoretisch) erst nach unendlich
langer Zeit beendet t ! 1 . Der Korper hat danndie Temperatur der
Luft angenommen:
T E limt!1
T t limt!1
10 C e 0;044 63 min 1 t 20 C 20 C T L
(die streng monoton fallende e-Funktion verschwindet fur t !
1)Aus physikalischer Sicht: Der Abkuhlungsprozess ist beendet, wenn
(auf Grund gleicher Temperaturen) keinWarmeaustausch mehr
stattfindet (Korpertemperatur Lufttemperatur).Temperaturverlauf:
siehe Bild A-36
T t 10 C e 0;044 63 min 1 t 20 C(fur t 0 min)
4 Exponential- und Logarithmusfunktionen 35
30
25
20
15
10
5
T /C
10 20 30 40 50 60 t /min
Bild A-36
-
Fallschirmspringer
Beim Fallschirmspringen gilt unter der Annahme, dass der
Luftwiderstand R der Fallgeschwindigkeit
v proportional ist R v , d. h. R c v , das folgende
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz :
v t mgc1 e c =m t ; t 0
(m : Masse des Fallschirmspringers incl. Fallschirm; g:
Erdbeschleunigung; c > 0: Reibungsfaktor,
abhangig von den aueren Umweltbedingungen).
a) Welche Endgeschwindigkeit v E erreicht der
Fallschirmspringer?
Annahme: Der Sprung erfolgt aus groer Hohe, der
Fallschirmspringer ist also lange unterwegs.
b) Skizzieren Sie das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz.
c) Nach welcher Zeit t wird die halbe Endgeschwindigkeit
erreicht?
A32
Wir setzen im Exponenten c =m a und beachten dabei, dass a >
0 ist:
v t mgc1 e c =m t mg
c1 e a t ; t 0
a) Die streng monoton fallende e-Funktion besitzt fur groe
Fallzeiten vernachlassigbar kleine Werte. Bei
(theoretisch)unendlich langer Fallzeit t ! 1 erreicht der
Fallschirmspringer folgende Endgeschwindigkeit:
v E limt!1
v t limt!1
mg
c1 e a t mg
c
Dieses Ergebnis ist physikalisch gesehen einleuchtend: Die
Endgeschwindigkeit v E wird erreicht, wenn der Fall-schirmspringer
kraftefrei fallt. Dies aber ist genau dann der Fall, wenn Gewicht G
mg und der entgegen wir-kende Luftwiderstand R c v sich gerade
kompensieren :
G R ) mg c v E ) v E mg = c
b) Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz in neuer Schreibweise(siehe Bild
A-37):
v t v E 1 e a t ; t 0mit v E mg = c und a c =m
c) v t t 12v E )
v E 1 e a t 12
v E ) 1 e a t 12) e a t 1
2j ln )
ln e a t a t ln 12 ln 1 ln 2 ln 2 ) t ln 2
a ln 2 m
c
Rechenregeln: ln e n n ; ln ab
ln a ln b ; ln 1 0
36 A Funktionen und Kurven
vE
vE
v
12
ttBild A-37
-
Gausche Glockenkurve: y a e b x c 2 ; 1 < x < 1
Bestimmen Sie die Kurvenparameter a; b > 0 und c so, da das
Maximum an der Stelle x 10angenommen wird und die Punkte A 5 ; 8
und B 12 ; 10 auf der Kurve liegen. SkizzierenSie den
Kurvenverlauf.
A33
Das Maximum wird an der Stelle x c angenommen x c ist
Symmetrieachse , die Kurve fallt auf beiden Seitengleichmaig streng
monoton gegen Null ab. Somit ist c 10.
Berechnung der Kurvenparameter a und b
A 5 ; 8 ) y x 5 8 ) I a e b 5 10 2 a e 25 b 8
B 12 ; 10 ) y x 12 10 ) II a e b 12 10 2 a 4 b 10Wir dividieren
Gleichung (I) durch Gleichung (II) (linke Seite durch linke Seite,
rechte Seite durch rechte Seite), dabeikurzt sich der Faktor a
heraus:
a e 25 ba e 4 b
8
10) e 21 b 0;8 j ln ) ln e 21 b ln 0;8 )
21 b ln 0;8 ) b ln 0;8 21 0;010 626
Rechenregeln:a m
a n a m n ; ln e n n
Diesen Wert setzen wir fur b in Gleichung (II) ein:
II ) a e 4 0;010 626 a e 0;042 504 a 0;958 387 10 ) a
10;4342Gausche Glockenkurve:
y 10;4342 e 0;010 626 x 10 2
(fur 1 < x < 1Kurvenverlauf: siehe Bild A-38
Barometrische Hohenformel
Zwischen dem Luftdruck p und der Hohe h (gemessen gegenuber dem
Meeresniveau) gilt unter der
Annahme konstanter Lufttemperatur der folgende Zusammenhang:
p h p 0 e h =a ; h 0 in mp 0 1;013 bar : Luftdruck an der
Erdoberflache; a 7991 m .
a) Geben Sie die Hohe als Funktion des Luftdruckes an und
skizzieren Sie den Funktionsverlauf.
b) In welcher Hohe hat sich der Luftdruc