Lingkaran

Bab 7 Lingkaran

Bab 7Lingkaran

7.1. Bagian-Bagian Lingkaran

7.1.1. Mengenal Lingkaran

Penjelasan Guru :

Pengertian : Lingkaran adalah garis lengkung bertemu kedua ujungnya dan semua titik yang terletak pada garis lengkung itu.

-Makalah Matematika Semester 2 - 27 -

O

Titik O = titik pusat

O

Daerah diarsir = luas lingkaran

O

Garis lengkung lingkaran yang berwarna hijau = keliling lingkaran

Bab 7 Lingkaran


Bab 7 Lingkaran

7.1.2. Unsur-Unsur Lingkaran

Penjelasan Guru :

• AB jika dihubungkan akan menjadi diameterDiamater adalah garisDiamater = 2 x jari-jari

• OC, OB, OA adalah jari-jari jadi panjangnya pasti sama .Panjang jari-jari = ½ diameter

• Garis lengkung BC disebut BusurBusur adalah garis lengkung pada segitiga Busur paling besar lingkaran

• AC disebut tali busurTali busur adalah garis yang menghubungkan antara titik satu dengan titik yang lain tanpa melalui titik pusat.Tali busur paling besar = diameter

“ Diameter pasti tali busur, sedangkan tali busur belum tentu diameter”

• OBC disebut juringJuring adalah suatu area / luasan yang dibatasi oleh 2 jari-jari dan busur, penulisannya selalu diawali dari titik pusat terlebih dahulu.

• BCB disebut temberengTembereng adalah area yang dibatasi oleh busur dan tali busur.Tembereng paling besar = ½ luas lingkaran.

• OM disebut apotemaApotema adalah jarak tali busur terhadap pusat lingkaran.

“Semakin panjang apotema, tali busur semakin pendek, semakin pendek apotema, tali busur semakin panjang”

Luas Tembereng = Luas Juring - Luas SegitigaLuas Segitiga = Luas Juring - Luas TemberengLuas Juring = Luas Segitiga + Luas Tembereng

OC2 = apotema2 + MC2


O

A

B

C

Mapotema

Bab 7 Lingkaran

7.1.3. Menentukan Nilai (pi)

Penjelasan Guru :

Nilai π dapat ditentukan dari :

diameter

lingkaran keliling

π adalah sebuah huruf yunani

Bilangan π tidak dapat dinyatakan secara tepat dalam bentuk pecahan decimal maupun pecahan biasa. Bilangan π merupakan bilangan irasional yang berada antara 3,141 dan 3,142.

Nilai pendekatan π :

1. dengan pecahan biasa, maka π = 7

22

2. dengan pecahan decimal, maka nilai π = 3,14 (pembulatan sampai dua tempat desimal)

(kadang-kadang ditulis pi) adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Nilai

dalam 20 tempat desimal adalah 3,14159265358979323846. Banyak rumus dalam matematika, sains, dan teknik yang menggunakan π, yang menjadikannya salah satu dari konstanta matematika yang penting.

adalah bilangan irasional, yang berarti nilai π tidak dapat dinyatakan dalam pembagian bilangan bulat.

Nilai π yang lazim digunakan adalah 3,14 atau 22/7 namun untuk lebih tepatnya, sudah dicari sampai > 1,241,100,000,000 tempat desimal. Nilai π sampai 10 tempa t de simal adalah 3,14159265358.


http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_bulat

http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_irasional

http://id.wikipedia.org/wiki/Teknik

http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika

http://id.wikipedia.org/wiki/Diameter

http://id.wikipedia.org/wiki/Lingkaran

http://id.wikipedia.org/wiki/Matematika

http://id.wikipedia.org/wiki/Konstanta

Bab 7 Lingkaran

7.1.4. Melukis Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar Segitiga

a. Lingkaran Dalam Segitiga

Penjelasan Guru :

• Pengertian Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang berada di dalam segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga. Gambar berikut menunjukkan lingkaran dalam ΔABC dengan pusat O. Diketahui OP = OQ = OR adalah jari-jari lingkaran. Adapun AD, BE, dan EF adalah garis bagi sudut segitiga.

• Melukis Lingkaran Dalam Segitiga

Jika titik pusat lingkaran dalam segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi sudut segitiga tersebut maka hal pertama yang harus kamu lakukan adalah menentukan titik pusatnya. Kamu tentu masih ingat bagaimana cara melukis garis bagi sudut segitiga, bukan? Materi tersebut telah kalian pelajari di Kelas VII.

Gambar di atas salah satu contoh lingkaran dalam pada segitiga.


Bab 7 Lingkaran

Agar lebih jelas, perhatikan langkah-langkah melukis lingkaran dalam :

1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalkan ΔPQR. P.ÐKemudian, lukislah garis bagi Q sehinggaÐ.

2) Lukislah garis bagi P di titik O.Ðmemotong garis bagi .

3) Jari-jari diperoleh dengan cara menarik garis tegak lurus dari titik O ke salah satu sisi segitiga. Misalnya OA, tegak lurus PQ.

4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari OA dan berpusat di titik O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam ΔPQR.


Bab 7 Lingkaran

b. Lingkaran Luar Segitiga

Penjelasan Guru :

Pengertian Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.Gambar di samping menunjukkan lingkaran luar ΔABC dengan pusat O. OA = O B = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garis sumbu sisi-sisi segitiga

Gambar di atas merupakan contoh lingkaran luar pada segitiga


Bab 7 Lingkaran

Perhatikan langkah-langkah berikut :

1) Lukislah sebuah segitiga sebarang, misalnya ΔPQR. Kemudian, lukis lah garis sumbu PQ.

2) Lukislah garis sumbu QR sehingga memotong garis sumbu PQ di titik O.

3) Hubungkan O dan Q.

4) Lukislah lingkaran dengan jari-jari PQ dan berpusat di O. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar ΔPQR.


http://1.bp.blogspot.com/-txaRDby1WPo/TcQFqOl-qtI/AAAAAAAAAIY/rGQQXBrrbjU/s1600/Singgung_24.jpg

Kalau Keliling itu tepi – tepinya saja ,

jangan sampai dalamnya….. Tetapi

kalau Luas dalamnya juga harus

ikuttt…… : P.Hendar berkata

Bab 7 Lingkaran

7.2. Menghitung Besaran-Besaran Lingkaran

7.2.1. Keliling Lingkaran

Penjelasan Guru :

πd

k = d = k = d


Ok gambar = 1 kel.O

k gambar = ½ kel.O

k gambar = ¼ kel.O

k = 2πr d = 2r

1 2

3 4 5 6

7 8 9 10

11 12

Bab 7 Lingkaran

7.2.2. Luas Lingkaran

Penjelasan Guru :

Pengertian Luas Luas adalah luas daerah yang dibatasi oleh busur lingkaran atau keliling lingkaran.

Perhatikan gambar diatas !Daerah yang diarsir merupakan luas daerah lingkaran atau Luas Lingkaran.

a. Menghitung Pendekatan Luas Lingkaran Menghitung Persegi Satuan

Perhatikan gambar disamping !Hitunglah luas lingkaran tersebut ! (r = 2 cm)Caranya :

i. ½ petak (persegi) atau lebih dihitung satu persegi

(ii) kurang dari ½ petak dihitung nol (0) atau dihilangkan

Ternyata terdapat 4 persegi utuh dan 8 persegi yang luasnya ½ luas petak atau lebih.Jadi luas lingkaran tersebut mendekati 12 cm2.


O

Bab 7 Lingkaran

b. Menentukan Rumus Luas Lingkaran

Untuk menentukan luas lingkaran, lakukan kegiatan berikut !1. Buatlah lingkaran dengan r = 2 cm2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 2 bagian sama besar dan berilah warna

yang berbeda3. Bagilah lingkaran itu menjadi juring yang besar sudutnya 30º4. Bagilah salah satu juring menjadi 2 bagian sama besar5. Untuk selanjutnya lihatlah gambar di bawah ini

6. Kemudian juring-juring di atas susunlah seperti gambar di bawah ini

Ternyata hasil dari susunan juring yang diletakkan secara berdampingan membentuk bangun yang menyerupai persegi panjang.


1122

3

4

5

678

11

10

9 ba

1 122 3 4

5678

11

10 ba

Bab 7 Lingkaran

c. Menghitung Besarnya Perubahan Luas jika Ukuran Jari-Jari Berubah


r1 = 14 r

2 = 14

14 : 42 = 1 : 3

kel.O1 = 88 kel.O

1 = 88

88 : 64 = 1 : 3

Luas O1 = 616 Luas O

1 = 5544

616 : 5544 = 1 : 9

616 : 5544 = 12 : 32

k1 : k

2 = 2πr

1 : 2πr

2

k1 : k

2 = r

1 : r

2

L1 : L

2 = πr

1

2 : πr2

2

L1 : L

2 = r

1

2 : r2

2

kesimpulan

kesimpulan

kesimpulan

Bab 7 Lingkaran

7.2.3. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring

Penjelasan Guru :

360

POQ∠ =

kell.O

PQ∩ =

O Luas

QL.juringOP

°°

360

180

2

1 =

kell.O

PQ∩

Dari gambar di atas dapat diperoleh :

1. kell.O 121 BC =∩ 1. L O = 3 . L.juring OCD

2. BC . 4 DC ∩=∩ 2. L OCD = 4 . L.juring OBC3. DC AD ∩=∩ 3. L.juring OAD = L.juring ODC4. kell.O = 12 . BC∩ 4. L O = L.juring OBC . 125. kell.O = 3 . BC∩ 5. L.juring OBC = ½ L O


O

1800

QP

PQ2 kell.O

kell.O21 PQ

∩=

=∩

O300

D

1200

C

B

A

Bab 7 Lingkaran

Soal-Ku !

1. Sebutkan 10 hal yang kamu dapat dari gambar disamping!

2. Hitunglah luas gambar disamping jika diketahui luas juring OAB = 15 cm2!


OA

B

C

D 30º45º

OA

B

50º

Bab 7 Lingkaran

3. Hitunglah luas dan keliling gambar di samping jika diketahui luas juring OPQ = 123 cm2!

4. Diketahui jari-jari lingkaran yaitu 9 dengan luas 254,36 cm2, berapakah luas lingkaran yang jari-jarinya 4 cm?

5. Hitunglah daerah arsiran :a. Luasb. Keliling


O Q

P

72º

100º100º10 cm

Bab 7 Lingkaran

7.2.4. Menyelesaikan Soal - Soal Cerita yang Berhubungan dengan Keliling dan Luas Lingkaran

Penjelasan Guru :

Panjang jari-jari sebuah roda 28 cm. Berapakah panjang lintasannya jika roda itu berputar atau menggelinding sebanyak 250 kali ?

Penyelesaian :r = 28 cmk = 2πrk = 2 .

. 28

k = 176 cmpanjang lintasan roda berputar 250 kali = 250 x 176 cm

= 44000 m

Soal-ku !

1. Sebuah lapangan yang berbentuk persegi panjang akan dicat sebagian yaitu seluas 1 lingkaran dengan jari-jari 10, panjang persegi panjang = 15 cm dan lebarnya = 5 cm. Hitunglah daerah lapangan yang tidak ikut dicat !

2. Sebuah roda memiliki panjang lintasan 75.360 m, dan diketahui r = 50. Hitunglah :a. Keliling rodab. Berapa kali roda itu berputar


Bab 7 Lingkaran

7.2.5. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Penjelasan Guru :

∠ AOB adalah sudut pusat∠ PQR adalah sudut keliling

• Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya terdapat di dalam lingkaran• Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya terdapat pada keliling

lingkaran

Jika sudut pusat dan sudut keliling sama-sama berhadapan dengan 1 busur maka berlaku rumus :Sudut Pusat = 2 x sudut kelilingSudut Keliling = ½ sudut pusat

Besar CBD = ao + Bo

COD = 2ao + 2bo

= 2 (ao + bo)

COD = 2 CBDCBD = ½ COD

Sifat-Sifat Sudut Keliling

Penjelasan Guru :

1. Sudut Keliling Menghadap Diameter Lingkaran“Besar tiap sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran adalah 90o”


OA

B

P

R

Q

A

bººº

bºººaº

aº

2bº

2aº

180º - 2aº 180º - 2bº

C

D

B

O

1800

BA

C

D

Bab 7 Lingkaran

2. Sudut-sudut keliling yang menghadap Busur yang sama“Besar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar”

Soalku !

1. Hitunglah besar :a. BACb. Sudut refleks OBC

2. Hitunglah besar :

a. LKMb. LMK

3. Isilah sudut yang belum ada !


O

B

D

C

A

60º

O 70ºº

A

B

C

OMK

L

2x x

O

55º

20º

60º

DC

BA

Bab 7 Lingkaran

4. Isilah sudut yang belum terisi !

5. Isilah sudut yang belum tertulis !


O30º

D C

BA

O

30ºQ

SR

P

T

80º

80º

Bab 7 Lingkaran

Mungkin ini adalah bilangan ghoib pertama dalam matematika yang diajarkan saat qt SD. Tahukah kmu klo sebenarnya Pi ini adalah panjang keliling lingkaran yang berdiameter 1 satuan. Silahkan lihat gambar dulu gan di sini

Jadi… misalkan qt punya roda yang diameternya 1 meter trus qt ukur kelilingnya dengan cara melekatkan seutas tali pada sekeliling roda tersebut, maka panjang tali yang dibutuhkan adalah sekitar 3.14159 meter. Nilai perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran ini selalu konstan untuk setiap lingkaran yaitu 3.14159. Pi juga biasanya diartikan sebagai 1 putaran penuh lingkaran atau 2 pi = 360derajat.

Note:- Pi bukan phi , klo phi tu gelombang ratio- 360 derajat = 2 pi Radian, jadi 180 derajat tu 1 pi radian gan..

22/7 itu angka yang mendekati pi, tapi bukan pi, pi sebenarnya 3,1415926535897932384626433832 7…

Fakta-Fakta Menarik Mengenai Phi

Pada tahun 1706, seorang ahli Matematika bahasa Inggris memperkenalkan abjad Yunani phi untuk mewakili nilai yang dikatakan. Namun, pada tahun 1737, Euler resmi mengadopsi simbol ini untuk mewakili bilangan.

Pada tahun 1897, legislatif dari Indiana mencoba menentukan nilai yang paling akurat untuk phi. Namun ternyata kebijakan ini tidak berhasil.

Sebagian besar orang pada waktu itu tidak mengetahui fakta bahwa lingkaran memiliki jumlah sudut yang tak terbatas. Nilai dari phi adalah banyaknya diameter lingkaran yang akan dipaskan dengan keliling lingkaran.

Nilai dari phi adalah 22 / 7 dan ditulis sebagai = 22 / 7 atau = 3,14.

Nilai phi dengan 100 tempat desimal pertama adalah: 3,1415926535897932384626433832 79502884197169399375 105820974944592307816406286208998628034825 3421170679…

Fakta menarik lainnya adalah Anda tidak akan menemukan nol dalam 31 digit pertama dalam dari phi.

Di samping perhitungan geometri sehari-hari, nilai phi juga digunakan dalam berbagai persamaan ilmiah termasuk rekayasa genetika, mengukur reaksi, distribusi normal, dan sebagainya.

Tahukah Anda bahwa phi tidak hanya sebuah nomor irasional tetapi juga bilangan yang sulit dipahami?Fakta menarik lainnya tentang phi diambil dari huruf Yunani “Piwas”. Itu juga merupakan Abjad Yunani yang ke-16.

Seorang pengusaha di Cleveland, AS, menerbitkan buku pada pada tahun 1931 untuk mengumumkan bahwa nilai pi adalah 256/81.Jika Anda mencetak miliaran dari desimal phi, maka angka itu akan merentang dari New York City ke Kansas.


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Pi-unrolled-720.gif

Bab 7 Lingkaran

Fakta-Fakta Menarik Lainnya Lagi Mengenai Phi

Tahukah Anda Yasumasa Kanada, seorang profesor di Universitas Tokyo?? Ia membutukan waktu sekitar 116 jam untuk menemukan sebanyak 6442450000 tempat desimal Phi dengan komputer.

Pada tahun 1706, John Machin memperkenalkan suatu rumus untuk menghitung nilai phi, yaitu :/ 4 = 4 * arc tan (1 / 5) - arc tan (1 / 239).

Pada tahun 1949, ia juga menghabiskan waktu sekitar 70 jam untuk menghitung 2.037 tempat desimal phi menggunakan ENIAC (Electronic Numeric Integrator and Computer).

Seorang Ahli Matematika Jerman, Ludolph van Ceulen, mendedikasikan seluruh hidupnya untuk menghitung 35 tempat desimal pertama phi.

Pada tahun 1768, Johann Lambert membuktikan nilai Phi adalah sebuah bilangan irasional, dan pada tahun 1882, Ferdinand Lindemann yang juga Ahli matematika terkenal membuktikan Phi adalah bilangan yang sulit dipahami.

Ada orang yang hafal semua angka desimal phi. Orang tersebut membuat lagu dan musik berdasarkan digit dari phi. Dalam kehidupan ini, memang terdapat banyak fakta yang menarik dan menyenangkan mengenai phi.


Lingkaran

Documents