UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIAFACULTAD DE MECNICA
EXPERIMENTO 1PNDULO FSICO Y TEOREMA DE STEINER
Integrantes:Vivas Santa Cruz, Ricardo Manuel 20142504CCrdenas
Gonzales, Wilber 20141038ICurso: Fsica 2 MB224Profesor: PACHAS
JosSeccin: EPeriodo acadmico: 2015-1
14 de abril de 2015
PRLOGOEl presente informe est destinado a dar a conocer una de
las muchas aplicaciones del pndulo fsico, es fascinante darse
cuenta que con la ayuda de esta mecanismo tan simple es posible
encontrar una de la caractersticas relativamente difcil de calcular
directamente, el momento de inercia.Con la ayuda del periodo, que
es algo caracterstico en el movimiento del pndulo fsico que muestra
en cuerpo, y con la ayuda del teorema de Steiner seremos capaces de
calcular el momento de inercia para ejes paralelos para cualquier
cuerpo que pueda oscilar respecto a un punto.La forma en que se
obtiene el periodo ser de forma experimental y mediante
aproximaciones ser posible calcular los momentos de inercia de
forma indirecta para el cuerpo en cuestin.El presente informe
contendr el marco terico para poder evaluar los periodos
experimentales, adems de los diferentes datos obtenidos en el
laboratorio, as como imgenes y la redaccin del procedimiento
seguido.Esperamos que el lector pueda apreciar la utilidad de esta
experiencia y alimente el inters en la ciencia fsica tanto como
nosotros disfrutamos en esta experiencia.
LOS AUTORES
NDICE
I. Cartula......1II.
Prlogo........................................................................................2III.
ndice..............3IV. Objetivos4V. Representacin esquemtica..5VI.
Fundamento terico..7VII. Clculos y Resultados..121 Tabla de datos
1.132. a. Grfica T vs l..152. b. Clculo del valor l para que el
periodo sea mnimo..162. c. Comparacin de l obtenido162. d. Periodo
para l terico..162. e. Puntos de oscilacin con los mismos
periodos..163. Tabla de datos 2174. grfico i1 vs l2.195. IG y M206.
Comparacin IG terico y experimental.217. Longitud pndulo simple
equivalente.218. Demostraciones.21IIX. Conclusiones y
recomendaciones24IX. Bibliografa25
OBJETIVOS
Determinar experimentalmente los periodos de oscilacin de un
pndulo fsico.
Calcular los momentos de inercia de cuerpos de forma indirecta,
utilizando sus periodos de oscilacin.
Demostrar la aplicacin experimental de la teora trabajada en
clase.
REPRESENTACIN ESQUEMTICA
FUNDAMENTACIN TERICA
PENDULO FSICOUn pndulo fsico es cualquier pndulo real que usa un
cuerpo de tamao finito, en contraste con el modelo idealizado de
pndulo simple en el que toda la masa se concentra en un punto. Si
las oscilaciones son pequeas, el anlisis del movimiento de un
pndulo real es tan sencillo como el de uno simple. La figura
muestra un cuerpo de forma irregular que puede girar sin friccin
alrededor de un eje que pasa por el punto O. En la posicin de
equilibrio, el centro de gravedad est directamente abajo del
pivote; en la posicin mostrada en la figura, el cuerpo est
desplazado del equilibrio un ngulo que usamos como coordenada para
el sistema. La distancia de O al centro de gravedad es d, el
momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotacin es I y
la masa total es m. Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra,
el peso mg causa un torque de restitucin:rz = -mg (dsen)El signo
negativo indica que el torque de restitucin es en sentido horario,
si el desplazamiento es en sentido antihoriario, y viceversa. Si se
suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posicin de equilibrio. El
movimiento no es armnico simple porque el torque rz es proporcional
a sen , no a . No obstante, si es pequeo, podemos aproximar sen con
en radianes, tal como lo hicimos al analizar el pndulo simple. De
esta manera, el movimiento es aproximadamente armnico simple. Con
esta aproximacin:rz = -(mgd) La ecuacin de movimiento es: rz =
Iz-(mgd) = Iz = I(d2 /dt2)(d2 /dt2) = -(mgd/I).
MOMENTO DE INERCIAElmomento de inercia(smboloI) es una medida de
lainerciarotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a
uno de losejes principalesde inercia, la inercia rotacional puede
ser representada como unamagnitud escalarllamada momento de
inercia. Sin embargo, en el caso ms general posible la inercia
rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos
de inercia y componentes que forman el llamadotensor de inercia. La
descripcin tensorial es necesaria para el anlisis de sistemas
complejos, como por ejemplo en movimientos giroscpicos.El momento
de inercia refleja la distribucin de masa de un cuerpo o de un
sistema de partculas en rotacin, respecto a un eje de giro. El
momento de inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la
posicin del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que
intervienen en el movimiento.Dado un sistema de partculas y un eje
arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma
de los productos de las masas de las partculas por el cuadrado de
la distanciarde cada partcula a dicho eje.
Matemticamente se expresa como:
Para un cuerpo de masa continua (medio continuo), se generaliza
como:
El subndice V de la integral indica que se integra sobre todo el
volumen del cuerpo. Se resuelve a travs de unaintegral triple.Este
concepto desempea en el movimiento de rotacin un papel anlogo al de
masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. La
masa inercial es la resistencia que presenta un cuerpo a ser
acelerado en traslacin y el Momento de Inercia es la resistencia
que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin. As, por ejemplo,
lasegunda ley de Newton:Tiene como equivalente para la rotacin:
Donde: es elmomentoaplicado al cuerpo. es el momento de inercia
del cuerpo con respecto al eje de rotacin y es laaceleracin
angular.Siempre y cuando la distancia con respecto al sistema de
referencia permanezca constante.
TEOREMA DE STEINEREl teorema de Steiner (denominado en honor
aJakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a
cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es
igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el
centro de masa ms el producto de la masa por el cuadrado de la
distancia entre los dos ejes:
Dnde:Ieje: es el momento de inercia respecto al eje que no pasa
por el centro de masa.I (CM) eje: es el momento de inercia para un
eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa.M: Masa
Total H: Distancia entre los dos ejes paralelos considerados
La demostracin de este teorema resulta inmediata si se considera
la descomposicin de coordenadas relativa al centro de masas
inmediata:
Donde el segundo trmino es nulo puesto que la distancia
vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por
la propia definicin de centro de masa.El centro de gravedad y el
centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de
masa slo depende de la geometra del cuerpo, en cambio, el centro de
gravedad depende del campo gravitacional en el que est inmerso
dicho cuerpo.
RELACIN PERIODO MOMENTO DE INERCIATodo cuerpo slido que puede
oscilar alrededor de un eje cualquiera, paralelo al eje que pasa
por el centro de masa del slido, tiene un periodo de oscilacin dado
por la expresin:
Cuando las oscilaciones del cuerpo son de pequea amplitud
angular.En la ecuacin I1 es el momento de inercia del cuerpo
respecto al eje que pasas por O, M es la masa del slido y es la
distancia del centro de gravedad del cuerpo (CG) al eje que pasa
por O.En el experimento, el cuerpo slido es una barra homognea con
huecos y los momentos de inercia de sta con respecto a ejes
perpendiculares a las barras que pasan por cada uno de los huecos
se pueden determinar a partir de la expresin dada, sin embargo, el
momento de inercia alrededor6de un eje que pasa por CG es imposible
determinar por el mtodo de oscilaciones, y para calcular nos
valemos de un mtodo indirecto, el Teorema de Steiner que se expresa
de la siguiente igualdad:
Donde IG es el momento de inercia respecto al centro de masa, M
la masa de la barra.
CALCULOS Y RESULTADOS1.
2.a) GRFICO T VS. L, (T EN EL EJE VERTICAL Y L EN EL EJE
HORIZONTAL)
2.b) CLCULO DEL VALOR L PARA QUE EL PERIODO SEA MNIMOEcuacin (0)
M: masa total de la barra, L: longitud total de la barra, b: base
de la barra, l: longitud al centro de masaComo Entonces Ecuacin (1)
Ecuacin (2) Reemplazando (1) en (2)
Derivando e igualando a 0 obtenemos el
Reemplazando en ecuacin (2)
2.c) COMPARACIN DE l OBTENIDOTerico=
32.05cmExperimental=40.8cm
2.d) PERIODO PARA l TERICOEl periodo para la distancia que
origina un periodo mnimo es
2.e) PUNTOS DE OSCILACIN CON LOS MISMOS PERIODOSDe la grfica se
aprecia que los puntos con mismo periodo son los simtricos respecto
al centro de masa.
3.
4. GRFICO I1 kg.m2 VS l2
5.
6. COMPARACIN IG TERICO Y EXPERIMENTALAl comparar los Ig
experimentales con el Ig terico existe un error experimental en un
intervalo.
Al comparar la masa se observ que la masa de la barra calculada
por balanza es menor que la encontrada por el mtodo de mnimos
cuadrados.
7. LONGITUD PNDULO SIMPLE EQUIVALENTEPara el hueco nmero 1 el
periodo es 1.695sUsando el mismo periodo para un pndulo simple en
la ecuacin:
Donde l es la longitud del pndulo simple equivalente
8. DEMOSTRACIONES
DEMOSTRACIN RELACIN PERIODO, MOMENTO DE INERCIALlamaremos h a la
distancia del centro de gravedad (G) del pndulo al eje de rotacin
ZZ. Cuando el pndulo est desviado de su posicin de equilibrio
(estable) un ngulo , actan sobre l dos fuerzas (y) cuyo momento
resultante con respecto al punto O es un vector dirigido a lo largo
del eje de rotacin ZZ, en el sentido negativo del mismo; i.e.,(1)Si
esel momento de inercia del pndulo respecto al eje de suspensin ZZ
y llamamosa la aceleracin angular del mismo, el teorema del momento
angular nos permite escribir la ecuacin diferencial del movimiento
de rotacin del pndulo:(2)
Que podemos escribir en la forma(3)Que es una ecuacin
diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos
para elpndulo simple.En el caso de que la amplitud angular de las
oscilaciones sea pequea, podemos ponersin()y la ecuacin [3] adopta
la forma(4)Que corresponde a un movimiento armnico simple.El
periodo de las oscilaciones es(5)
DEMOSTRACIN TEOREMA DE STEINERSe asumir, sin prdida de
generalidad, que en unsistema de coordenadas cartesianola distancia
perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del ejexy que
el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia
relativo al ejez, que pasa a travs del centro de masas, es:
El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia
perpendicularra lo largo del ejexdel centro de masas, es:
Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:
El primer trmino esIcm, el segundo trmino queda comomr2, y el
ltimo trmino se anula, puesto que el origen est en el centro de
masas. As, esta expresin queda como:
CONCLUSIONES
Al tomar la barra sin huecos existe un error en el clculo del
momento de inercia, esto se evidencia en la masa terica ya que es
mayor que la medida en balanza.
Queda demostrado que el periodo en un MAS ya est definido por el
sistema y no depende del ngulo ni la longitud recorrida.
Segn teora el periodo no depende del ngulo en un MAS, como en
los 3 ltimos puntos el ngulo fue mayor a 15, ya no es una MAS,
entonces el periodo obtenido experimentalmente no cumple la
tendencia de los otros puntos.
Para fines prcticos la barra puede considerarse sin espesor.
Esto facilita los clculos.
La longitud que origina un periodo mnimo hallado tericamente y
experimentalmente no difieren mucho, por lo tanto los periodos
correspondientes son similares.
Se puede calcular los periodos de una barra por simetra.
RECOMENDACIONES
En todo momento hay que cerciorarse que el ngulo sea menor que
15 para asegurar un movimiento armnico simple.
Asegurarse de soltar la barra, de tal forma que describa un
movimiento unidimensional.
Un solo observador debe tomar todas las medidas de tiempo para
que el error humano sea nico y debe ser muy cuidadoso.
Evitar que choque de la barra con la mordaza simple.
Asegurar correctamente el soporte a la mesa.
BIBLIOGRAFAhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Steinerhttp://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_f%C3%ADsicoManual
de laboratorio de fsica general pagRaymond A. Serway, Jhon W.
Jewett: Fsica para ciencias e ingeniera. Vol 1. Pag 434,435.Sears
F. W.,ZemanskyM., Young H., FreedmanR.: Fsica Universitaria,Vol. II
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