La Medida Parte4

� Unidad didáctica: Perímetro, áreay volumen en el 3.er ciclo 10-12

Las actividades que conforman esta unidad didáctica fueron elaboradas en

colaboración con Ángeles Camacho Machín, Antonio Ramón Martín Adrián,

Dulce María Chico García, María del Carmen González Martín, Teresa Padi-

lla Alonso y Matías Camacho Machín. A todos ellos queremos agradecer sus

aportaciones, de manera especial a Teresa Padilla cuya ausencia lamentamos

enormemente puesto que no ha podido ver en letra impresa el fruto de muchas

reuniones de trabajo durante los años ochenta.

La unidad parte de la introducción del concepto de perímetro de figuras planas, del que los alum-nos tienen una idea previa. A continuación, haciendo uso de una serie de materiales didácticos estructu-rados, se introduce el concepto de área de figuras planas como concepto general, primeramente utili-zando unidades de superficie arbitrarias para después hacerlo con unidades convencionales. Es importantedestacar la conveniencia de introducir lo que se entiende por figuras equivalentes y figuras isoperimétri-cas, dado que distintas investigaciones han mostrado la confusión de ambos conceptos por parte de losestudiantes. Una posible alternativa que trata de evitar la confusión de tales conceptos consiste en tra-tarlos conjuntamente y no por separado. A lo largo de la unidad, a medida que se estudie el área de unafigura geométrica, se analizará la variación del perímetro de figuras equivalentes y la variación de áreade figuras isoperimétricas.

Otra idea que preside el diseño de la unidad es considerar tanto el aspecto estático como dinámicodel concepto de área, esto es: Considerar las figuras geométricas como “rellenadas” por cuadrados uni-dad (sentido estático) y las superficies como engendradas por el movimiento de líneas, en el sentido pro-puesto por Isaac Newton en su libro Introductio. Tractatus de quadratura curvarum:

“Voy a considerar en esta obra las magnitudes matemáticas no como integra-

das por partes constantes, incluso infinitamente pequeñas, sino como engen-

dradas por un movimiento continuo. Las líneas serán descritas y en conse-

cuencia engendradas, no por adición de partes, sino por un movimiento

continuo de puntos; las superficies, por movimientos de líneas; los sólidos por

movimiento de superficies... Estas generaciones se realizan verdaderamente en

la naturaleza y pueden observarse todos los días en el movimiento de los cuer-

pos. Así, nuestros antepasados indicaron la generación del rectángulo como

descrito por un segmento móvil perpendicular a uno fijo"

Algunas de las actividades que se plantean pueden ser consideradas actividades de extensión. Se hanincluido para conseguir un tratamiento más completo de la unidad didáctica que se presenta. El maes-tro debe elegir las actividades que considere más oportunas de acuerdo con el nivel de sus alumnos.

La Medida en la Educación Primaria

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Objetivos:

� Comprender los conceptos de área y perímetro de figuras planas tanto desde una perspectiva está-

tica como dinámica.

� Comprender el concepto de volumen de figuras espaciales tanto desde una perspectiva estática

como dinámica.

� Saber deducir informalmente y a través de la manipulación las fórmulas básicas que permiten cal-

cular el área de los polígonos.

� Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el área de distintas

figuras cuando su perímetro permanece constante.

� Saber deducir informalmente y a través de la manipulación las fórmulas básicas que permiten cal-

cular el volumen y el área lateral de prismas, pirámides, conos y cilindros.

� Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el perímetro de dis-

tintas figuras cuando su área permanece constante.

� Observar, analizar relacionar y diferenciar las variaciones que experimenta el área de un sólido

cuando su volumen permanece constante.

Conocimientos previos:

� Idea del cálculo del perímetro como procedimiento de medir longitudes.

� Conocimientos del sistema métrico decimal.

� Hábito de resolver problemas.

� Conocimiento intuitivo de la proporcionalidad.

Contenidos conceptuales

� Sentido dinámico del área y perímetro de figuras planas.

� Área de una figura plana.

� Figuras equivalentes.

� Figuras isoperimétricas.

� Fórmulas para la obtención del área de:

• RECTÁNGULO

• TRIÁNGULO

• ROMBOIDE

• TRAPECIO

• ROMBO

• POLÍGONO CUALQUIERA

� Sentido dinámico del volumen de superficies.

� Volumen de un sólido en el espacio.

� Áreas lateral y total.

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Unidades didácticas

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� Fórmulas para la obtención del área y el volumen de: • PRISMA• PIRÁMIDE• CILINDRO • CONO

Contenidos de procedimiento� Justificación informal del cálculo de la fórmula del área de los cuadriláteros triángulos, así como

la de un polígono regular cualquiera.� Análisis de la variación experimentada por el área de estos polígonos si los perímetros permane-

cen constantes.� Obtención del polígono de mayor área entre un conjunto de figuras isoperimétricas.� Análisis de la variación experimentada por el perímetro de estos polígonos si sus áreas permane-

cen constantes.� Obtención del polígono de menor perímetro entre un conjunto de figuras equivalentes.� Obtención del polígono de mayor área entre un conjunto de figuras isoperimétricas.� Justificación informal del cálculo de la fórmula del volumen del prisma y la pirámide.� Análisis de la variación del volumen de un prisma cuya área lateral es constante.� Justificación informal del cálculo de la fórmula del volumen del cilindro y el cono.� Análisis de la variación del volumen de un cilindro cuya área lateral es constante.

Contenidos de actitud� Valoración de la importancia de la justificación (informal) de fórmulas y propiedades geométri-

cas.� Interés y gusto por la descripción de formas y características geométricas.� Reconocimiento de la importancia de la manipulación de materiales concretos para el descubri-

miento de regularidades y propiedades.� Sensibilidad y gusto por la presentación ordenada de trabajos y actividades geométricas.


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Secuenciación de las actividades

■ El concepto de Perímetro

Actividad 1: Recuerda que se llama perímetro de una figura a la medida del contorno de la misma.Colorea de rojo el contorno de estas figuras.

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139Lo que has pintado de rojo es el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de las figuras. Has dejado rayas por

colorear, ¿por qué? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 2: Colorea el contorno de las siguientes figuras. ¿Cuántas unidades tiene el perímetro de

las mismas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

unidad

Actividad 3: Recuerda que el perímetro es la medida del contorno de una figura. Por ejemplo:


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El perímetro de esta casita es:3 cm + 3 cm + 2 cm + 2 cm + 3 cm = 13 cm

Calcula el perímetro de las siguientes figuras:

El perímetro es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El perímetro es ...............................................................................................

El perímetro es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El perímetro es ...............................................................................................

■ Introducción al concepto de área, figuras equivalentes y figuras isoperimétricas:unidades arbitrarias y unidades convencionales

Área de figuras con unidades arbitrariasActividades con el tangramActividad 1. Separa las piezas que sean iguales y cuéntalas. Completa:

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Número de piezas

Triángulos grandes (Tg)

Triángulos medianos (Tm)

Triángulos pequeños (Tp)

Cuadrados (C)

Romboides (R)

Vamos a comparar las piezas:

� ¿Cuántas veces podrías colocar el Tp dentro del Tm sin que sobre espacio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compruébalo.

� ¿Cuántos Tp caben en el cuadrado (C)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� ¿Cuántos Tp caben en el R? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� ¿Cuántos Tp caben en el Tg? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La unidad de medida usada ha sido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 2. ¿Cuántos R caben en el tangram (T)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La medida del tangram es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R.

Completa esta tabla:


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Área del tangram 8 R

Área del tangram Tg

Área del tangram Tm

Área del tangram Tp

Área del tangram C

Con todas las piezas del tangram, construye un triángulo y haz un cuadrado igual que el anterior.¿Qué observas?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

También se puede construir un rectángulo y un hexágono con todas las piezas. Hazlo.

Utiliza todas las piezas para hacer algunas figuras que se te ocurran.

Actividad 3. Vamos a utilizar como unidad de medida el cuadrado.

� ¿Cuántos C caben en el Tg? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Sobra espacio? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Si tu respuesta esafirmativa, utiliza los resultados de la ficha anterior para dar la respuesta exacta.

� ¿Cuántos C caben en el Tm? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imagínate que el C representa la superficie de unparque y el Tm la superficie de una plaza. ¿Dónde crees que tendrías más espacio para jugar? ¿Porqué?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� ¿Cuántos C caben es R? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Qué relación observas entre estas tres piezas?

C . . . . . . . . . . . . . . . . . R . . . . . . . . . . . . . . . Tm

Actividad 4. En una ficha anterior has construido con todas las piezas del tangram cuatro figurasde diferente forma (cuadrado, triángulo, rectángulo y hexágono). Todas tienen la misma área. Decimosentonces que son figuras equivalentes.

Construye con tu tangram las siguientes figuras:

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143Utilizando el Tp como unidad de medida calcula el área de cada una de ellas.

Haz lo misma utilizando el C como unidad.

¿Podríamos decir que las figuras son equivalentes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Por qué?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividades de plegado de papelActividad 1.

1. Construye un cuadrado de papel y dóblalo por la mitad haciendo coincidir un lado con otro (mirala figura) y vuelve a doblarlo por la mitad, de la misma forma que antes.


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144Desdóblalo y córtalo por los dobleces; obtenemos cuatro tiritas iguales.

2. Si colocamos los rectángulos en dos filas, obtenemos un rectángulo. ¿Tiene el mismo perímetro

que el cuadrado inicial? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Y la misma área? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Si los ponemos en una sola fila, el nuevo rectángulo ¿tiene el mismo perímetro que el cuadrado?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Y la misma área? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hazlo primero sin medir, y comprueba después las respuestas anteriores.

Actividades con los pentaminosActividad 1. Sobre la cuadrícula para pentaminos mide cuántos cuadrados tiene cada uno, es decir,

su área, y mide el perímetro. Rellena el siguiente cuadro:

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Pentamino número Área Perímetro

1 unidades cuadradas unidades

2 u2 u

3 u2 u

4 u2 u

5 u2 u

6 u2 u

7 u2 u

8 u2 u

9 u2 u

10 u2 u

11 u2 u

12 u2 u

Se dice que DOS FIGURAS SON EQUIVALENTES SI TIENEN LA MISMA ÁREA.

DOS FIGURAS SON ISOPERIMÉTRICAS SI TIENEN EL MISMO PERÍMETRO.

¿Son todos los pentaminos figuras equivalentes?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Son todos los pentaminos figuras isoperimétricas?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 2. Utiliza solamente dos pentaminos para construir las siguientes figuras.


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A B C

Rellena el siguiente cuadro:

Área Perímetro

Figura A u2 u

Figura B u2 u

Figura C u2 u

Construye figuras equivalentes a estas. ¿Son isoperimétricas?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 3. Utiliza solamente cuatro pentaminos para construir todos los posibles rectángulos.Represéntalos sobre la cuadrícula.

¿Cuántos hay? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Tendrían el mismo perímetro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcúlalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Tendrían la misma área? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿Por qué? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Haz lo mismo con dos, tres y cinco pentaminos.

Actividades con el geoplanoActividad 1. Construye en tu geoplano las siguientes figuras y calcula su área y su perímetro.

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Fig. 1

Fig. 4

Fig. 2 Fig. 3

Área Perímetro

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Completa la siguiente tabla:

¿Cuáles son equivalentes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cuáles son isoperimétricas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 2. Observa que si quieres hallar áreas de triángulos en el geoplano, puedes hacerlo teniendoen cuenta las figuras:

Área de A = — unidades cuadradas1

2

Área de B = — = 2 unidades cuadradas4

2

Actividad 3. Calcula el área de las siguientes figuras. Indica cuáles tienen la misma área y cuáles elmismo perímetro.


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Fig. 1 Fig. 3

Fig. 2 Fig. 4

Actividad 4. Construye en tu geoplano cinco figuras que tengan la misma área pero formas distin-tas, y dibújalas en el papel punteado.

Área con unidades convencionales

Juegos de cuadrados

Construyen en un papel un decímetro cuadrado (dm2).

¿Cuántos dm2 crees que medirá tu mesa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Con el dm2 que has construido, calcula el área de la mesa.

Haz lo mismo con el cuaderno y con el libro. Primero estima la medida y después calcúlala.

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1 dm2

¿Obtienes un número exacto de dm2? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cómo crees que podemos medir lo que falta?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Para poder cubrir toda la superficie de la mesa, el cuaderno, el libro…, necesitamos dividir el dm2.Para ello, fracciona cada lado del dm2 en diez partes iguales, cuadricula el dm2 y recórtalo.

¿Cuántos cuadraditos has obtenido? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cada uno de estos cuadraditos se llama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Con estos cuadraditos, termina de cubrir la superficie de los objetos que faltaba, y completa lasiguiente tabla:

Mesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dm2 y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2

Cuaderno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dm2 y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2

Libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dm2 y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2

Actividades con papel centrimetrado transparente

Calcula el área de las siguientes figuras utilizando el papel centrimetrado transparente.


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Área = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2. Área = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2.

Área = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2. Área = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2.

■ Rectángulos

Área del rectángulo. Obtención de la fórmulaActividad 1

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Área (u2) Largo (u) Ancho (u)

Figura A

Figura B

Figura C

Figura D

Figura F

¿Cómo podrías calcular el área de todos los rectángulos sin tener que contar los cuadrados que locomponen?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fig. A

Fig. B Fig. C

Fig. D

Fig. E

Actividad 2. Calcula el área de las siguientes figuras.


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

152

A2 cm

3 cm

5 cm

8 cm

8 cm

6 cm

3 cm

7 cm

B

D

FE

C

2 cm

Área A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2 Área D = ............................................................. cm2

Área B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2 Área E = .............................................................. cm2

Área C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2 Área F = ............................................................... cm2

Escribe una fórmula general que te permita calcular siempre el área de cualquier rectángulo:

Área del rectángulo = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Variación del área de rectángulos que tienen igual perímetroActividad 1. Une con un nudo los extremos de una cuerda. Aguántala ahora entre el pulgar y el

índice de las dos manos, manteniéndola bien tirante, formando así un rectángulo (mira la figura).

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


153

Si separas o unes los dedos a la vez, se formarán diferentes rectángulos. ¿Tendrán todos el mismoperímetro? ¿Por qué?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Tendrán todos la misma área? ¿Por qué?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Construye ahora en cartulina posibles rectángulos de perímetro 36 cm, y recórtalos disponiéndo-los como las hojas de una libreta sobre un folio.

Une los vértices libres de los rectángulos. ¿Qué línea obtienes?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 2. Escribe en la tablas siguiente el largo y el ancho de cada uno de los rectángulos recor-tados según las indicaciones de la actividad anterior.

¿Qué relación observas entre X, Y, S? Escríbela.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Supongamos ahora que el perímetro (largo de la soga) es de 32 cm. Haz una tabla como la anteriory escribe la relación entre X, Y, S.

Representa ahora sobre unos ejes esta relación. ¿Qué observas?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

largo (X) ancho (Y) semiperímetro (S)

Variación del perímetro de rectángulos que tienen igual áreaActividad 1. Construye con cartulina diferentes rectángulos que tengan de área 36 cm2 (largo x

ancho = 36 cm2).

¿Son isoperimétricos? ¿Y equivalentes?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cuál es el que tiene menos perímetro? ¿Por qué? (Puedes ayudarte de los minos, aunque el área seade 36 minos).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Disponiendo los rectángulos sobre un folio, como las hojas de una libreta, y uniendo los vérticeslibres con un lápiz, se obtiene una línea. Su nombre es Hipérbola.

Actividad 2. ¿Son equivalentes el cuadrado y el rectángulo de la siguiente figura? ¿Por qué?

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¿Son isoperimétricos? ¿Por qué?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


CU

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S

DE

AU

LA

154

Haz en tu geoplano varios rectángulos isoperimétricos y estudia sus áreas (utiliza elásticos de dis-tintos colores).

Haz en tu geoplano varios rectángulos equivalentes y estudia su perímetro. Representa lo que hicisteen las figuras siguientes.

Actividad 3. Con doce cuadrados unidad (cm2), ¿cuántos rectángulos podemos construir colocandolos cuadrados de diferente manera?

¿Qué longitudes tienen el largo y el ancho de estos rectángulos?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Tienen todos el mismo perímetro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Habrá alguno que tenga 5 cuadrados unidad (cm2) en la base? ¿Por qué?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Para los siguientes problemas puedes valerte de los materiales que quieras:1. Un rectángulo tiene 24 cm de perímetro y una de las dimensiones es 9 cm. Determina la longitud

de la otra dimensión.

2. Un rectángulo tiene un área de 18 cm2 y una de las dimensiones es 3 cm. Determina el perímetro.

3. ¿Si elegimos dos rectángulos de 28 cm de perímetro, ¿resultan siempre iguales sus áreas?

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


155

Actividad 4. Juego de áreas y perímetros

Este es un juego para dos personas. Uno de los jugadores, jugador A, dibuja sobre la cuadrícula unafigura de 12 cm2 de área, pintándola de rojo y anotando en la tabla el perímetro obtenido.

El otro jugador, jugador B, dibuja otra figura de 12 cm2 de área con la condición de que toque a ladibujada por el A, pintándola de azul y anotando en la tabla su perímetro.

Se continúa así hasta completar la cuadrícula.

Ganará el jugador que haya obtenido el perímetro total más pequeño.


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

156

Jugador A

Jugador B

CUADRÍCULA

■ El cuadrado como rectángulo particular

Actividad 1. Calcular el área de las siguientes figuras:

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


157

4 cm

4 cm6 cm

6 cm

4 cm 4 cm

3 cm

Actividad 2. Uniendo los extremos de una cuerda y aguantándola entre los dedos pulgar e índice,

ya habías visto que se formaban diferentes rectángulos. ¿Podrías obtener un cuadrado? ¿En qué caso?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Sabiendo ya la fórmula para calcular el área del rectángulo, ¿sabrías hallar el área de cualquier cua-

drado?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Escribe esa fórmula:

ÁREA DEL CUADRADO = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . unidades2.

Actividad 3. Con los cuadrados unidad (cm2) que ya tienes construidos en cartulina, si quiero dupli-car el lado, ¿cuántos cuadrados unidad necesitaré? ¿Cuál es el área del nuevo cuadrado?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Si triplicamos el lado?

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¿Si lo cuadriplicamos?

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¿Si lo quintuplicamos?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Podrías relacionar esto con la fórmula del área del cuadrado?

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Haz lo mismo con el geoplano.

Problemas1. Un cuadrado tiene de área 16 cm2. Determina el perímetro. Si el área fuera 25 cm2, ¿cuál sería su

perímetro? ¿Y si fuera 36 cm2?

2. Un señor tiene un terreno cuadrado de 600 m de perímetro, mientras que otro señor tiene unorectangular del mismo perímetro, siendo la base de éste el triple del ancho. El dueño del terrenorectangular propone al otro cambiarlo, ¿le interesa el cambio? ¿Ocurre siempre lo mismo concualquier rectángulo y cualquier cuadrado con el mismo perímetro?

Haz un modelo de este problema con cartulina, de tal manera que cada cm de cartulina sea 10metros de la realidad, comprobando las respuestas que has dado.


CU

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ER

NO

S

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LA

158

Actividad 4. Dado un cuadrado cualquiera, obtén a partir de él otro que tenga de área la mitad.

Platón cuenta que este problema le fue planteado a un esclavo y que, con las indicaciones que le ibadando, fue capaz de resolverlo. El esclavo, en esa época, no sabía de matemáticas.

■ Triángulos

Área del triángulo. Obtención de la fórmula a partir del rectánguloActividad 1. Construye en tu geoplano el rectángulo A.

CU

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NO

S

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159

¿Cuál es su área?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Construye ahora los triángulos que ves abajo, con elásticos de distintos colores.

¿Cuál es el área del triángulo B? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cuál es el área del triángulo C? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cuál es el área del triángulo D? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Observa que el área del triángulo B es:

¿Ocurre lo mismo para los demás triángulos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A

B C altura

Área B =Área rectángulo

2

alturaD

Actividad 2. En la actividad anterior has calculado el área de diferentes triángulos. En esos casospodemos decir que:


CU

AD

ER

NO

S

DE

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LA

160

Área del triángulo =......................... x . . . . . . . . . . . . .

2

Construye ahora en tu geoplano los siguientes triángulos:

Calcula el área de esos triángulos y comprueba que la expresión (fórmula) que permite calcular elárea del triángulo es válida.

Actividad 3. Calcula el área de las siguientes figuras:

2.5 cm

5 cm

4 cm

9 cm

9 cm

1.5cm

1.

4. 6.

5.

2. 3.

5 cm

3 cm

2.5 cm

3 cm

4 cm

2 cm3 cm

2 cm

2 cm3.2 cm 3.5 cm

Variación del perímetro de triángulos de igual área. El triángulo isóscelesActividad 1. Dibuja varios de los triángulos que va obteniendo el profesor al mover la anilla del dis-

positivo que te presenta.

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


161

¿Qué tienen en común todos los triángulos?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Todos los triángulos que se forman son equivalentes? ¿Por qué?

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¿Son todos isoperimétricos? ¿Por qué?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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¿Cuál es el que tiene menor perímetro?

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Actividad 2. Construye el avión de la figura.


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162

3 cm 2 cm

5 cm

3 cm

10 cm

Pieza 1

1

2

3

Timón

Alerones

Pieza 3

Pieza 2

2 cm

2 cm

4 cm

3 cm

Calcula el área de cada una de las piezas construidas.

Variación del área de triángulos de igual perímetroActividad. Dibuja sobre una cartulina una recta justo por la mitad, pegándola a continuación sobre

un trozo de madera.

Clava sobre dicha línea dos clavos tal y como se ve en la figura:

CU

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163

Ata los dos extremos de un hilo mayor que la distancia entre las chinchetas y, manteniéndolo siem-pre tenso, con un bolígrafo dibuja la figura ovalada que ves abajo.

La figura que obtienes se llama elipse.

Si ralentizamos la construcción de la figura, van apareciendo muchos triángulos.

¿Qué le ocurre a sus áreas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Qué triángulo es el de área máxima? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cuál es el de área mínima? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Qué le ocurre a sus perímetros? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

■ Romboides o paralelogramos

Área del romboide. Obtención de la fórmula a partir del rectánguloActividad 1. Construye con las tiras del mecano un rectángulo que tenga de dimensiones 5 cm y 15 cm.

¿Cuál es su perímetro? ¿Cuál es su área?

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Si ahora vas estirando una de las puntas, obtendrás diferentes romboides (observa la figura).


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164 ¿Cambiará el perímetro de cada una de los romboides? ¿Por qué?

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¿Y el área? ¿Por qué?

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Actividad 2. Dibuja sobre una cartulina los romboides siguientes y calcula su área contando cua-drados.

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NO

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165

A

B

C

D E

Área de A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2

Área de B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2

Área de C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2

Área de D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2

Área de E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cm2

Actividad 3. Vamos a buscar otra forma para calcular el área de cualquier romboide.

Recorta el romboide A dibujado en la cartulina usada en la actividad anterior.

Traza la línea de puntos que ves en la figura de abajo, corta y coloca el triángulo obtenido al otrolado:


CU

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166

Base

Altura

¿Qué figura tienes ahora?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calcula el área.

Haz lo mismo con todos los romboides dibujados en la cartulina.

Comprueba que el área del romboide se calcula multiplicando la base por la altura.

Área del romboide = Base x Altura

Actividad 4. Calcula el área y el perímetro de los romboides siguientes.Indicación: Para calcular la altura puedes utilizar la escuadra o el cartabón:

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167¿Hay algunos isoperimétricos? ¿Y equivalentes?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Área A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perímetro A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Área B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perímetro B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Área C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perímetro C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Área D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perímetro D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Variación del perímetro de romboides que tienen igual el área. El rectángulo como romboide demenor perímetro

Actividad. Dibuja alguno de los romboides que va obteniendo el profesor al realizar los movimientosque hace en el dispositivo móvil.


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168

¿Qué tienen en común todos los romboides?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Son todos los romboides que se forman equivalentes? ¿Por qué?

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¿Cuál es el que tiene menor perímetro?

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■ Trapecios

El área del trapecio. Obtención de la fórmula a partir del rectánguloActividad 1. Utilizando cuatro barras de mecano, construye diferentes tipos de trapecios y dibúja-

los (recuerda que todos los trapecios deben tener un par de lados paralelos).

Observa la viñeta siguiente. ¿Qué conclusión puedes sacar?

CU

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NO

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169

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Actividad 2. Dibuja sobre la cartulina los siguientes trapecios y calcula su área contando los cua-drados.

A

Área de A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Área de C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Área de D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Área de B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B

C

D

Actividad 3. Vamos a buscar otra forma para calcular el área de cualquier trapecio.

Recorta el trapecio A dibujado en la cartulina para hacer la actividad anterior.

Traza una línea paralela a la base, exactamente a la mitad (puedes encontrarla doblando la cartu-lina).


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

170

Base menor

Base menor

Base mayor

Base mayor

Altura

Cortar por la línea punteada y colocar los dos trapecios obtenidos, uno a continuación del otro.

Altura2

¿Qué figura tienes ahora? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calcula el área.

Haz lo mismo ahora con todos los trapecios de la actividad anterior.

Comprueba que el área del trapecio se calcula multiplicando la semisuma de las bases por la altura.

Área del trapecio = AlturaBase mayor + Base menor

2

Actividad 4. Calcula el área de los siguientes trapecios.

CU

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NO

S

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171

5 cm

18 cm 9 cm

5 cm7 cm

12 cm

14 cm

8 cm

6 cm

7 cm 8 cm

10 cm

A

C D

B

Área de A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Área de B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Área de C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Área de D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Variación del perímetro de trapecios que tienen igual áreaActividad. Dibuja alguno de los trapecios que va obteniendo el profesor al realizar los movimien-

tos que hace con el dispositivo móvil.


CU

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NO

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172

¿Qué tienen en común todos los trapecios?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Son todos los trapecios que se forman equivalentes? ¿Por qué?

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¿Cuál es el que tiene el menor perímetro?

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■ Rombos

Área del rombo. Obtención de la fórmula a partir del rectánguloActividad 1. Construye con las barras de mecano un cuadrado que tenga de lado 7 cm.

¿Cuál es su perímetro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cuál es su área? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si ahora estiras por una de las puntas, obtendrás diferentes rombos (observa la figura).

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


173

¿Cambiará el perímetro de cada uno de los rombos? ¿Por qué?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Y el área? ¿Por qué?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 2. Dibuja sobre la cartulina los siguientes rombos y calcula su área contando cuadrados.

Área de A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Área de B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Área de C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Área de D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Área de E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Área de F = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A

B

D

E

C

F

Actividad 3. Vamos a buscar otra forma para calcular el área de cualquier rombo.

Recortar el rectángulo que contiene al rombo E dibujado en la cartulina para hacer la actividadanterior.

Recorta ahora el rombo por la línea de puntos. Obtienes cuatro triángulos, que puedes reunir for-mando un rombo igual al E. Hazlo.


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

174

¿Cuál es el área del rectángulo?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cuál es el área de los dos rombos?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Y el de uno sólo?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Haz lo mismo con todos los rombos dibujados en la cartulina.

Comprueba que el área del rombo se calcula multiplicando la diagonal mayor por la diagonal menory dividiendo por dos.

Actividad 4. Calcula el área de las siguientes figuras:

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


175


Área de D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Área de E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 5. Construye el dispositivo que ves en la figura:

Moviendo las diagonales, van apareciendo diferentes romboides.

¿Tienen todos el mismo perímetro? ¿Y la misma área?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Podrías formar un rombo? ¿Y un cuadrado?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Qué le ocurre a las diagonales?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 cm6 cm

15 cm

24 cm

A B

D E

C

2 cm

■ Polígonos

Actividad. Calcula el área de los siguientes polígonos contando los cuadrados. Escribe el nombrede cada una de las figuras.


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

176


Área de D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Área de E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Área de F = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Qué ocurre con la figura C?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A

D E F

B C

Área de un polígono regularActividad 1. Vamos a buscar una forma para poder calcular el área de la figura C de la actividad

anterior y que nos sirva para cualquier polígono regular.

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


177

Para ello lo primero que vas a hacer es triangular el hexágono de la siguiente manera:

¿Cuántos triángulos se obtienen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Recórtalos y pégalos uno a continuación del otro.

C

Apotema

Altura del triángulo =apotema del polígono

Base = lado del hexágono

Base

¿Podrás calcular el área del hexágono ahora? ¿Cómo?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Área del hexágono = 6 veces el área del triángulo.

Área del hexágono = 6 xbase x altura

2

Área del hexágono =perímetro x apotema

2

Como la base del triángulo es el lado del hexágono, 6 veces la base es el perímetro de la figura(recuerda que la altura del triángulo corresponde a la apotema del polígono).

El área de un polígono regular se obtiene multiplicando el perímetro por la apotema y dividiendopor dos.

Actividad 2. Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras regulares utilizando esta expre-sión:


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

178

7.6 cm

A = . . . . . . . . . . . . . . . . .

P = . . . . . . . . . . . . . . . . .

A = . . . . . . . . . . . . . . . . .

P = . . . . . . . . . . . . . . . . .

A = . . . . . . . . . . . . . . . . .

P = . . . . . . . . . . . . . . . . .

A = . . . . . . . . . . . . . . . . .

P = . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 cm

r = 2.2 cm

a = 1.7 cm

a = 2.2 cmr = 2 cmr = 2.4 cm

Área =p x a

2

¿Hay algunos que sean isoperimétricos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Y equivalentes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Área de un polígono cualquieraActividad 1. No todos los polígonos son regulares. Observa la figura A:

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


179

4 cm

6 cm

A

4 cm

2 cm

¿Por qué no es un polígono regular?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

En la actividad anterior, para calcular el área de un polígono regular triangulábamos la figura desdeel centro. ¿Podrías hacerlo ahora?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La forma más sencilla de calcular el área de un polígono es descomponerlo en el menor número depolígonos de los que sepamos calcular su área, por ejemplo, como lo hacemos en la siguiente figura:

AA1

Área A = Área A1 + Área A2

A2

Haz ahora otra descomposición distinta y comprueba que coinciden los resultados si hallamos elárea de las dos formas.

Actividad 2. Calcula el área de los siguientes polígonos irregulares de la forma que aprendiste en laactividad anterior.


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

180

A B

C D

AA = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AB = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

AC = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AD = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 3. En la figura 1 se representan dos pentágonos que pueden ser obtenidos mediante undispositivo móvil parecido al de actividades anteriores. En la figura 2 son cuadriláteros. Dibuja otros.

E

Fig. 1

Fig. 2

F

DA

B C

¿Tendrían todos los pentágonos igual área? ¿Y los cuadriláteros?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Tendrían igual perímetro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cuáles serían los de perímetro mínimo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 4. Observa los hexágonos de la figura siguiente. Si consideras que está construido con unhilo, ¿podríamos decir que son equivalentes? ¿Y que son isoperimétricos?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


181

A F

H

E

DC

B

¿Qué podrías decir de la curva que une los puntos F y H?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Podrías decir cuál es el polígono de área máxima?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

■ Medida de sólidos: área lateral, área total y volumen

Actividad 1. Un prisma es un sólido en el espacio que al seccionarlo (o cortarlo en rodajas), pre-senta iguales sus secciones (o rodajas). Los siguientes cuerpos son prismas:


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

182

Este cuerpo no es un prisma. Es una pirámide:

¿Cuál de éstos son prismas? Indica cuáles son sus secciones.

SÍ NO

❑ ❑❑ ❑❑ ❑❑ ❑❑ ❑❑ ❑❑ ❑❑ ❑❑ ❑❑ ❑

Actividad 2. Indica (sí o no) cuáles de los siguientes sólidos son prismas:

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


183

a

a

b

b

c

c

f

f

d

d

e

e

h

h

g

g

i

i

j

j

Actividad 3. Los prismas que se pueden encontrar son, en general, distintos de los de la actividadanterior. Por ejemplo, el sólido de la figura:


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

184

Fig. 1

Es un prisma triangular. ¿Por qué se llamará así?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si los triángulos de las bases son equiláteros, se dirá que es un prisma triangular regular.

Obsérvalo ahora en esta otra posición. Generalmente se llaman bases a las secciones que permitenformarlo y altura al número de veces que se repite la sección.

Fig. 2

Indica cuáles son sus bases y sus alturas.Podríamos decir también que la altura del prisma es el segmento trazado perpendicularmente desde

cualquier punto de la base superior hasta el plano de la base inferior.

Señala las bases y las alturas en los prismas de las figuras 1 y 2.

Actividad 4. ¿Qué tipos de prismas son los que aparecen en la figura siguiente?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Área lateral y área totalActividad 1. ¿Qué cantidad de cartón necesitarás para construir una caja igual que esta?

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


185

2 cm

2 cm4 cm

Ahora, si abres la caja, queda:

¿Cómo te resulta más sencillo averiguarlo?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La cantidad necesaria de cartón para construir la caja recibe el nombre de área total del ortoedro.

Actividad 2. También se podría calcular el área total del ortoedro sin tener que desarrollarlo. Observala figura y calcula el área total.

3.4 cm

8.2 cm

5.3 cm

Si en la caja de la actividad anterior quitamos la tapa y el fondo, se necesitará, evidentemente, menoscartón. Calculando ahora la cantidad de cartón necesaria para construir la caja sin tapa y sin fondo, loque se obtiene es la superficie (o área) lateral del ortoedro.

Calcula ahora el área lateral del ortoedro de la actividad anterior y el de esta actividad.

Actividad 3. Calcular el área lateral de la siguiente figura (puedes dividirla en dos partes).


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

186

1 cm 2 cm

3 cm2.5 cm

4 cm

6 cm

Volumen. Introducción al concepto de volumen: concepto dinámicoActividad 1. El hombre de la figura 1 está amontonando cajas. Cada capa del montón lleva nueve

cajas.

Fig. 1

Con dos capas, ¿cuántas cajas tenemos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Y con tres? ¿Y con cuatro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compruébalo con tu juego de cubos anterior.

Actividad 2. Estima cuántas cajas hay en el montón de la figura:

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


187

¿Cuántas cajas hay en cada capa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cuántas cajas hay en el montón? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Coincide con el resultado que diste? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 3. Fíjate en las figuras siguientes:


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

188

ab

c

fd

e

a

b

c

f

d

e

Completa el siguiente cuadro:

FiguraCajas por

capaNúmero de

capasNúmero total

de capas

Actividad 4. En la siguiente caja de plástico caben tres capas de cubos. ¿Cuántos necesitarías parallenarla?

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


189

¿Cuántos cubos necesitarás para llenar estas otras cajas?

3

5

4

Actividad 5. Calcular el volumen de un ortoedro es obtener el número de cubos unidad (un centí-metro de arista) que contiene. Calcula el volumen de los siguientes ortoedros:


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

190

Observa que lo puedes hacer de manera parecida que en las actividades anteriores. ¿Se te ocurrealguna forma de calcular el volumen del siguiente ortoedro?

3 cm

4 cm

5 cm

Actividad 6. Recuerda que: el área de un rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura.Observa en la siguiente figura que, para obtener el área, “la medida de la base recorre la medida de laaltura”.

¿Qué podrías decir del volumen de un ortoedro? Observa la figura.

■ Variación del área de figuras equivalentes

Actividad 1. Observa las siguientes figuras:

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


191

Figura 1

Figura 2Figura 3

Figura 4

Puesto que están formadas por el mismo número de cubos (unidades), tienen el mismo volumen. Sedice que son cuerpos equivalentes.


Estimación Área

Figura 1 u2 u2

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Primero hazlo valiéndote de los dibujos, y luego construye las figuras con tu juego de cubos.

Actividad 2. Con cinco cubos construye cuatro sólidos de distinta área y que sean equivalentes.Represéntalos:

¿Qué conclusiones puedes sacar?

Actividad 3. Con cinco cubos, ¿puedes construir figuras con igual superficie y que no sean equiva-lentes? Represéntalas.


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

192

Compara esta actividad y la anterior, y saca conclusiones.

Actividad 4. Calcula el volumen y el área de todas las piezas del cubo SOMA. Recuerda que sus pie-zas son:

1

5 6 7

2 3 4

Completa el siguiente cuadro:

Área (u2) Volumen (u3)

1 u2 u3

2

3

4

5

6

7

Teniendo en cuenta el cuadro anterior, contesta las siguientes cuestiones:

¿Cuáles tienen igual área?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cuáles tienen el mismo volumen?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Qué has observado?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 5. Utiliza tres piezas del SOMA (distintas de la pieza 1) y construye tres cuerpos diferen-

tes. Represéntalos en el papel punteado.

¿Qué podrías decir de los volúmenes de los tres cuerpos?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Qué podrías decir de sus áreas?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .C

UA

DE

RN

OS

D

EA

UL

A


193

■ Variación del volumen de sólidos de igual área

Actividad 1. Coge un folio y construye dos ortoedros, dividiéndolo en cuatro partes horizontal-mente y verticalmente.

¿Tendrían la misma superficie lateral? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Y el mismo volumen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

194

Actividad 2. Construye los dos ortoedros de la actividad anterior en cartulina. Ponles una base.Comprueba si sus volúmenes son iguales o no. Para esto puedes utilizar tierra, arena...

Actividad 3. Construye con tres folios (o trozos de cartulina) del mismo tamaño un prisma trian-gular, un ortoedro y un prisma pentagonal, dividiéndolo en 3, 4 y 5 partes iguales.

¿Tendrían la misma superficie lateral? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Y el mismo volumen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Observa la figura:

Actividad 4. Constrúyelos ahora poniéndoles una base. Comprueba tu respuesta utilizando tierra,arena...

¿Cuándo podrías obtener un volumen máximo? Razónalo.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Volumen y área del cubo. Variación del volumen a medida que varía el ladoActividad 5. Observa las siguientes figuras:

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


195Figura 1 Figura 2 Figura 3

¿Cuál es la medida de la superficie total de cada uno de esto cubos?

Rellena el cuadro siguiente:

Figura 1 Figura 2 Figura 3

Superficie total

Desarróllalos ahora sobre papel centimetrado y comprueba tu respuesta.

Actividad 6. Busquemos ahora una forma sencilla para calcular el área de la superficie de los cubosanteriores. Para ello, rellena el siguiente cuadro:


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

196

Medida de Área de Área totalla arista cada cara del cubo

Figura 1

Figura 2

Figura 3

¿Puedes escribir alguna fórmula que te permita calcular siempre el área total de cualquier cubo?

ATcubo = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si consideramos ahora que al cubo le quitamos las tapas, ¿cuál sería el área lateral de los cubos dela actividad anterior?

Busca una fórmula para cualquier cubo.

Actividad 7. Calcula el área total y lateral de cada uno de los siguientes cubos:

2 cm

4 cm

Actividad 8. Se quiere construir en cartulina un cubo de 8 cm de arista. ¿Qué cantidad de cartulinanecesitas?

Ayúdate de un dibujo.

Actividad 9. Observa los siguientes cubos:

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


197

1 cm 2 cm 3 cm

Copia y completa la siguiente tabla:

Arista del cubo

Número de cm3

Si se duplica la arista de un cubo, ¿se duplica el volumen? Razónalo.

¿Y si se triplica la arista?

¿Podrías obtener una fórmula simple para calcular el volumen de cualquier cubo?

Vcubo = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 10. ¿Podrías encontrar alguna relación entre el volumen de un cubo y el de un ortoedro?

ortoedro

cubo Vcubo = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vortoedro = a x b x c

a

a

b

c

Actividad 11. Calcula el volumen de los siguientes sólidos:


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

198

2 cm

4 cm

Actividad 12. Rellena el cuadro siguiente observando la figura:

1 cm

2 cm

3 cm

Represéntalo en papel milimetrado con bolígrafo azul.

Lado Área

1 cm cm2

2 cm

3 cm

4 cm

...................

a cm

Actividad 13. Rellena el cuadro siguiente observando la figura:

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


199

3 cm2 cm1 cm

Lado Área

1 cm cm2

2 cm

3 cm

4 cm

...................

a cm

Represéntalo en el mismo papel milimetrado que usaste en la actividad anterior, pero con bolígraforojo.

¿Qué puedes observar?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 2. Observa ahora cómo se puede calcular el volumen del prisma.

■ Cálculo de volúmenes y áreas: prismas y pirámides

Área y volumen del prismaActividad 1. Para calcular el volumen de los siguientes prismas (comprueba que son prismas), ¿pode-

mos hacer algo parecido?


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

200

ab c

a

b

c

FiguraCajas por

capaNúmero de

capasNúmero total

de capas


El área de la secciónes 7 cm2

Cada banda vertical contiene7 cm3 (cubos de 1 cm)

4 cm 4 cm

1 cm

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


201

El prisma tiene4 cm de largo

4 cm 4 cm7 cm2

Por tanto, el volumen del prismaserá 7 x 4 = 28 cm3

Actividad 3. Calcula el volumen de los siguientes prismas:

a b c

f

d e

g

Actividad 4. Las siguientes figuras son también prismas (regulares). Calcula su volumen:


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

202

4 cm2

15 cm8 cm 9 cm

7 cm2 6 cm2

Prisma Volumen

Hexagonal

Pentagonal

Triangular

Actividad 5. Observa los siguientes prismas regulares desarrollados:

7 cm

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

Ortoedro

3 cm

4 cm

6 cm

7 cm

3.5 cm

4 cm

Completa la siguiente tabla:

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


203

Área lateral Área total

Prisma hexagonal

Prisma pentagonal

Ortoedro

Actividad 6. Vamos ahora a obtener una fórmula para calcular el área total y lateral de un prismaregular recto. Para ello completa la siguiente tabla.

Lado dela base

Prismahexagonal

Prismapentagonal

Ortoedro

ApotemaÁrea dela base

AlturaÁrea

lateralÁrea total

Intenta escribir una fórmula para el área lateral:

Alateral = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Atotal = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Área y volumen de la pirámideActividad 1. Se trata de construir una pirámide con todas las aristas iguales. Sigue los pasos que

aparecen dibujados:


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

204

Pliégala y pégala por las solapas.

1 2

3 4

5

Actividad 2. Un desarrollo distinto de la misma pirámide sería éste:

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


205

7 cm7 cm

7 cm

Sigue los pasos 1, 2 y 3 para construirla:

1

2

3

Constrúyela.

Si unes las dos bases de las dos pirámides, ¿qué sólido obtienes?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Escribe lo que sepas de él.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 3. Indica cuáles de estas figuras corresponden a desarrollos de pirámides. ¿Qué conclu-siones puedes sacar?


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

206

Compruébalo ahora recortando y pegando.

b

c

f

d

e

a

Actividad 4. Dibuja en cartulina las siguientes figuras, recórtalas y constrúyelas:

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


207

Rellena con arroz la pirámide de base hexagonal, y vierte su contenido, tantas veces como sea nece-

sario, en el prisma de igual base.

Haz lo mismo con el prisma y la pirámide cuadrangular.

¿Qué observas?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Escribe una fórmula que relacione el volumen de estos sólidos:

Vpiramide = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 cm

10 cm

12 cm

12 cm

5 cm

5 cm

10 c

m

12 c

m

Actividad 5. Con tres compañeros construye un juego de seis pirámides en cartulina, utilizando elsiguiente modelo:


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

208

Dibuja en un folio el desarrollo de un cubo de 6 cm de arista:

6 cm 6 cm

6 cm

6 cm

6 cm

6 cm

6 cm 6 cm

Sobre cada cuadrado pega las bases de las seis pirámides construidas en la actividad anterior, y plié-

galas formando un cubo (los vértices de las pirámides hacia el interior). ¿Qué relación hay entre el volu-

men de la pirámide y el volumen del cubo?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si al lado del cubo lo llamas a, ¿podrías obtener el volumen de la pirámide dependiendo de a? Escribe

tus observaciones.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Actividad 6. Considera la pirámide desarrollada de la siguiente figura:

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA


209

10 cm

12 cm 12 cm

Calcula el área lateral y el área total:

Alateral = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Atotal = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 7. Observa la siguiente figura:

13 cm

5 cm

Calcula el área lateral y el área total:

Alateral = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Atotal = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Busca una fórmula general para calcular el área lateral y total de la pirámide.

Alateral = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Atotal = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

■ Cálculo de volúmenes y áreas de cuerpos de revolución: cilindro y cono

Actividad 1. Recorta un rectángulo de cartulina y pégalo al lápiz como en el dibujo:


CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

LA

210

Hazlo girar sosteniéndolo por la punta.

Imagina la figura que se forma. Dibújala.

Imagina que figura forma y dibújala.

Nombra objetos reales que se parezcan a la figura que dibujaste.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Los objetos anteriores que tienen forma cilíndrica son CILINDROS.

¿Qué forma tiene las bases de los cilindros? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cuántas bases tiene un cilindro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 2. Toma tu escuadra y sostenla de tal forma que sólo tenga un cateto en contacto con lamesa. Hazla girar lentamente sosteniéndola por el vértice superior.

Nombra objetos reales que se parezcan a la figura que dibujaste.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Los objetos que tienen forma cónica son CONOS.

Tomando como eje la hipotenusa, haz girar la escuadra, ¿qué observas?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dibuja la figura que se engendra.

Actividad 3. Pega el semicírculo a un lápiz como indica el dibujo:

CU

AD

ER

NO

S

DE

AU

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211

Colócalo sobre una mesa y hazlo girar. ¿Qué figura se forma? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

El lápiz atraviesa a la esfera por su centro, y representa el eje de ésta.

Nombra objetos de forma esférica.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 4. Construye dos círculos iguales y recórtalos. Corta elásticos de la misma medida. Per-fora los bordes de los círculos, y usando los elásticos construye este cuerpo:

¿Qué cuerpo se ha formado? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Su altura es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Su generatriz es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Qué relación existe entre la altura y la generatriz de un cilindro?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Ocurre lo mismo con el cono? ¿Por qué?

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Actividad 5. Con la figura que construiste en la actividad anterior, rota ahora el círculo de arribamanteniendo fija la base. ¿Qué figura obtienes?


CU

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NO

S

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LA

212

Las rectas que representan los elásticos (en la actividad 2, la hipotenusa de la escuadra) se llamangeneratrices.

En la figura, ¿cuál es la altura del cono inferior y la del cono superior? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Serán iguales? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 6. En alguna romería habrás visto una danza donde los danzarines colocados en círculosostienen cintas de colores que están atadas a un eje central.

1. En el momento de comenzar, ¿qué objeto geométrico representan los danzarines y sus cintas?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. El palo central será la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . del cono.

3. Cada cinta sería la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . del cono.

4. Los pies de los danzarines representan puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la basedel cono.

5. ¿Qué le sucede al cono a medida que las cintas de los danzarines se lían al palo?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. ¿Podrías utilizar el material de las actividades anteriores paravisualizar esto?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Área y volumen del cilindroActividad 1. Observa en la figura siguiente, como un cilindro es como un prisma regular de base un

polígono de infinitos lados.

¿Cómo se te ocurriría calcular su volumen?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Repasa las actividades donde se calculaba el volumen de prismas. ¿Hay alguna forma más sencilla?

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213

Actividad 2. Recorta distintos rectángulos de cartulina y construye diversos cilindros.

¿Cómo se te ocurriría obtener la superficie lateral del cilindro?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Y la superficie total? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si llamas r al radio del círculo de la base y h a la altura, escribe las fórmulas para calcular el árealateral y total del cilindro:

Alateral = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Atotal = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 3. Recorta dos rectángulos iguales de cartulina y construye dos cilindros como se indicaen la siguiente figura:


CU

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214

ab

a

b

Área y volumen del conoActividad 1. Observa la siguiente figura:

¿Qué analogía encuentras entre las pirámides y los conos?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Y entre los cilindros y los conos?

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Teniendo en cuenta esto, escribe una fórmula para calcular el volumen del cono, conociendo el radio

de la base y la altura.

Vcono = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 2. Dibuja en cartulina las figuras del esquema y construye el cilindro y el cono que apa-recen:

CU

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215

12 cm

12 cm

138.4º

5 cm

5 cm

31.4 cm

Rellena el cono con arroz tantas veces como necesites para completar el cilindro. ¿Qué relaciónencuentras entre sus volúmenes?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vcilindro = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vcono = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 3. Si desmontamos el cono utilizado en la ficha anterior, ¿qué figura plana se obtiene?

¿Cómo podrías calcular la superficie lateral del cono?

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¿Y la total? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 4. Observa ahora que un sector puede descomponerse en muchos sectores más peque-ños, todos iguales, de forma que el área de uno de estos sectores será como el área del triángulo que tengapor base la longitud del sector y por altura el radio.


CU

AD

ER

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AU

LA

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Considera el cono construido: ¿cuál es la longitud de la base del sector?

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¿Cuál es la longitud del radio?

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Escribe una fórmula para calcular el área del cono:

Alateral = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Atotal = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividad 5. Recorta la cuarta parte de un círculo de 8 cm de radio y forma un cono (sin base). Cal-cula el radio y la altura.

La Medida Parte4

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