LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌmeteo.edu.vn/~tanpv/Lectures/Chg 5 - Xac suat.pdf · LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Phan Văn Tân Bộmô

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Phan Văn TânBộ mô Khí tượng

CHƯƠNG 5. KHÔNG GIAN MẪU VÀ THỐNG KÊ TRÊN KHÔNG GIAN MẪU

5.1 Không gian mẫu• Mẫu là gì?

– Là tập hợp hữu hạn các phần tử lấy từ tập tất cả các phần tử cóthể có nào đó

• Tại sao phải lấy mẫu?– Để nghiên cứu một hiện tượng, một sự kiện nào đó ta không

thể xem xét tất cả các thành phần cấu thành nó, vì số thành phần là vô hạn hoặc quá nhiều

– Ví dụ: • Nghiên cứu tâm lý lứa tuổi• Điều tra xã hội học về một chính sách nào đó• Đánh giá chất lượng sản phNm của nhà máy• …

CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ TRÊN KHÔN G GIAN MẪU

5.1 Không gian mẫu• Tập tổng thể: Tập hợp tất cả các thành phần có thể có

– Tập toàn bộ, tập chính qui• Tập mẫu: Tập hợp các thành phần được lấy ra để thí nghiệm, kiểm

tra– Số thành phần được chọn: Dung lượng mẫu– Tập hợp tất cả các mẫu có thể lấy được gọi là không gian mẫu– Mỗi mẫu lấy ra là một điểm trong không gian mẫu

• Không gian mẫu ứng với không gian các sự kiện sơ cấp• Mỗi mẫu ứng với một sự kiện sơ cấp trong lý thuyết xác suất• Có hai loại mẫu:

– Mẫu có lặp – Mẫu không lặp


5.1 Không gian mẫu• Giả sử tập tổng thể gồm N phần tử, tập mẫu gồm n phần tử (n<N )

– Mẫu được lấy bằng cách rút ngẫu nhiên n lần, mỗi lần một phần tử từ tập tổng thể rồi trả lại tập tổng thể sau khi đã ghi nhận kết quảĐó là cách lấy mẫu có lặp: Một phần tử có thể được lấy nhiều lần

– Mẫu được lấy bằng cách rút ngẫu nhiên n phần tử từ tập tổng thể, sau mỗi lần lấy ghi nhận kết quả nhưng không trả lại tập tổng thểĐó là cách lấy mẫu không lặp: Mỗi phần tử chỉ có thể được chọn một lần duy nhất


5.1 Không gian mẫu• Đối với cách lấy mẫu lặp:

– Mỗi phần tử trong số n phần tử của mẫu có N cách chọn, vìmỗi phần tử sau khi chọn được trả lại tập ban đầu

– Có tất cả N n cách lấy mẫu khác nhau• Đối với các lấy mẫu không lặp:

– Có N cách chọn phần tử thứ nhất của tập mẫu– Có (N –1) cách chọn phần tử thứ hai, vì phần tử thứ nhất không được trả lại tập ban đầu

– …– Có (N –n+1) cách chọn phần tử thứ n của tập mẫu– Có tất cả N (N –1)…(N –n+1)=AN

n cách lấy mẫu


5.1 Không gian mẫu• N hận thấy: Khi n << N thì hai cách lấy mẫu tương đương nhau

• Để có kết luận tương đối chính xác về tập tổng thể thì tập mẫu nphải tiêu biểu

• Mẫu được coi là tiêu biểu nếu nó được lấy một cách ngẫu nhiên, tức mọi phần tử của tập tổng thể phải có xác suất được chọn như nhau

• N ếu mẫu được lấy để nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên X thì tập mẫu (X1, X2,…, Xn) được coi là mẫu của X

• Mỗi Xi, i=1,2,..,n, đều được chọn từ tập giá trị của X nên các Xi lànhững đại lượng ngẫu nhiên có cùng phân bố với X

1~n

nN

NA


5.1 Không gian mẫu• Ví dụ: Giả sử X={1,2,3,4,5,6,7,8,9} N =9• N ếu n=3, với cách lấy mẫu có lặp ta có thể có các mẫu:

– (X1, X2, X3) = (1,4,6)– (X1, X2, X3) = (2,3,8)– (X1, X2, X3) = (9,1,7)– (X1, X2, X3) = (4,2,1)– …

• Xi={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

X1

X2

X3


5.2 Phân bố mẫu và phân bố chính xác• Giả sử có mẫu (X1, X2,…, Xn) của đại lượng ngẫu nhiên X có phân

bố F(x) (F(x) được gọi là phân bố chính xác của X)• Vì F(x) chưa biết nên cần tìm F(x) trên cơ sở tập mẫu lấy được• Từ tập mẫu (X1, X2,…, Xn) ta lập hàm Fn(x):

⎪⎩

⎪⎨⎧

<=

=

xnnnxF

x

xn

in21 X m·n tháa XX(X cña tö phÇn Sè ),...,,

)(

• Fn(x) được gọi là phân bố mẫu của X• Ứng với mỗi đối số x giá trị hàm Fn(x) là tần suất của sự kiện X<x• N ói cách khác, Fn(x) là ước lượng của xác suất P(X<x)• Từ luật số lớn, với ∀ε>0 ta có 1)|)()((| =<−

∞→εxFxFP n

nlim


5.2 Phân bố mẫu và phân bố chính xác• Từ hệ thức

nnxF x

n =)(

• N hư vậy, có thể xem mẫu (X1, X2,…, Xn) như là tập các giá trị cóthể của biến ngẫu nhiên rời rạc X’, trong đó xác suất để X’ nhận các giá trị có thể của nó là như nhau và bằng 1/n

• Để nghiên cứu X ta dựa vào tập mẫu (X1, X2,…, Xn), điều đó tương đương với việc nghiên cứu biến ngẫu nhiên rời rạc X’

• Sự khác biệt cơ bản là:– Phân bố của X là phân bố chính xác, các đặc trưng của X là các đặc trưng chính xác

– Phân bố của X’ là phân bố mẫu, các đặc trưng của X’ là các đặc trưng mẫu

suy ra nin

XXP i ,...,2,1,1)( ===


5.3 Các đặc trưng mẫu của đại lượng ngẫu nhiên• Xét biến ngẫu nhiên X với mẫu lấy được X’={X1, X2,…, Xn}• Ký hiệu các đặc trưng chính xác của X là:

– Hàm phân bố F(x)=P(X<x)– Kỳ vọng: μ=M[X], phương sai: σ2=D[X]=M[(X–μ)2]– Mômen gốc bậc k: mk=M[Xk]– Mômen trung tâm bậc k: μk=M[(X–μ)k]

• Cần xác định các đặc trưng mẫu của X• Từ mục trước:

nnxF x

n =)(

nin

XXP i ,...,2,1,1)( ===


5.3 Các đặc trưng mẫu của đại lượng ngẫu nhiên• Kỳ vọng mẫu: ∑∑

==

==′=′=n

ii

n

iii X

nXXPXXMX

11

1)(][

• Phương sai mẫu:222

1

2

1

22 1)(1][~ XXXXn

XXn

XDsDn

ii

n

iixx −−≡−=−=′== ∑∑

==

• Mômen gốc mẫu bậc k:∑

=

=′=n

i

ki

kk X

nXMm

1

1][~

• Mômen trung tâm mẫu bậc k:

∑=

−=−′=n

i

ki

kk XX

nXXM

1

)(1])[(~μ


5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê• Xét biến ngẫu nhiên X có mật độ xác suất f(x) và mẫu (X1, X2,…,

Xn) là mẫu có lặp của X• Vì các Xi là độc lập và có cùng phân bố với X nên f(xi)≡f(x)• Có thể xét (X1, X2,…, Xn) như là

hệ n đại lượng ngẫu nhiên hay vector ngẫu nhiên n chiều nhận các giá trị có thể (x1, x2,…, xn)

• Các (x1, x2,…, xn) là các hằng sốứng với một mẫu đã được chọn

• (X1, X2,…, Xn) có mật độf(x1)×f(x2)×…×f(xn)

X1

X2

X3

(x1, x2, x3)


5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê• Định nghĩa: Một hàm số g(X1, X2,…, Xn) bất kỳ với các biến là

(X1, X2,…, Xn) được gọi là một đại lượng thống kê hay một đặc trưng thống kê trên không gian mẫu

• Vì (X1, X2,…, Xn) là một hệ các đại lượng ngẫu nhiên nên g(X1, X2,…, Xn) cũng là một đại lượng ngẫu nhiên

∑=

=n

iiX

nX

1

1• Ví dụ: Kỳ vọng mẫu:

∑=

−==n

iixx XX

nsD

1

22 )(1~• Phương sai mẫu:

• Các mômen gốc, mômen trung tâm mẫu đều là những đại lượng thống kê trên không gian mẫu


5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê• Cho Y=g(X1, X2,…, Xn) là một đại lượng thống kê và

f(x1)×f(x2)×…×f(xn) là mật độ xác suất của (X1, X2,…, Xn) • Cần xác định phân bố Fy(y) của Y

• Về nguyên tắc ta có:

}),...,(:),...,{(

,...)()...()(

11

11

yxxgxxG

dxdxxfxfyF

nn

Gnny

<=

= ∫

• Sau đây sẽ xét phân bố của một số đặc trưng thống kê thông dụng


5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê• Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp• Định lý 1: N ếu mẫu (X1, X2,…, Xn) được lấy từ đại lượng ngẫu

nhiên X có phân bố chuNn N (μ,σ) thì∑

=

=n

iiX

nX

1

1

có phân bố chuNn ),(2

nN σμ

• Định nghĩa: N ếu (X1, X2,…, Xn) là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố chuNn N (0,1) thì đại lượng ngẫu nhiên

∑=

=n

iiXU

1

2

có phân bố χ2 (khi bình phương) với n bậc tự do, ký hiệu U∈χ2(n)


5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê• Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp• Định lý 2: N ếu X có phân bố chuNn N (μ,σ) và (X1, X2,…, Xn) là

mẫu của X thì 2*21

xsnUσ−

=

có phân bố χ2 với (n–1) bậc tự do, U∈χ2(n–1), với

∑∑==

=−−

=n

ii

n

iix X

nXXX

ns

11

22* 1,)(1

1

• Định nghĩa: N ếu Z có phân bố chuNn N (0,1), U có phân bố χ2 với n bậc tự do, χ2(n), thì

nUZ

nUZt ==

/

có phân bố Student với n bậc tự do, ký hiệu t∈St(n)


5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê• Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp• Định lý 3: N ếu X có phân bố chuNn N (μ,σ) và (X1, X2,…, Xn) là

mẫu của X thìns

Xtx /*

μ−=

có phân bố Student với (n–1) bậc tự do, t∈St(n–1), với

∑∑==

=−−

=n

ii

n

iix X

nXXX

ns

11

22* 1,)(1

1

• Định nghĩa: N ếu U1 và U2 độc lập có phân bố χ2 với n1 và n2 bậc tự do, U1∈χ2(n1), U2∈χ2(n2)thì

22

11

//nUnUF =

có phân bố Fisher (phân bố F) với n1 và n2 bậc tự do, ký hiệu F∈F(n1,n2) hoặc F∈Fn1,n2


5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê• Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp• Định lý 4: N ếu X và Y đều có phân bố chuNn và có cùng phương

sai, D[X]=D[Y]=σ2, (X1, X2,…, Xn1) là mẫu của X, (Y1, Y2,…, Yn2) là mẫu của Y, thì

2*

2*

y

x

ssf =

có phân bố F với (n1–1) và (n2–1) bậc tự do, f∈F(n1–1,n2–1), với

∑∑==

=−−

=11

111

2

1

2* 1,)(1

1 n

ii

n

iix X

nXXX

ns

∑∑==

=−−

=22

121

2

2

2* 1,)(1

1 n

ii

n

iiy Y

nYYY

ns


Những điều cần chú ý• Khi xét đại lượng ngẫu nhiên X với mẫu (X1, X2,…, Xn):

– Các Xi nhận các giá trị trong tập các giá trị có thể của X nên các Xi có cùng phân bố với X, f(xi)=f(x)

– Các Xi là độc lập với nhau– Có thể xét (X1, X2,…, Xn) như là một hệ n đại lượng ngẫu

nhiên, phân bố của hệ: f(x1,…,xn)=f(x1)×…×f(xn)– Bộ giá trị (x1,…,xn) là những hằng số cụ thể, và là kết quả của

một lần chọn nào đó Khái niệm mẫu (X1, X2,…, Xn) là một khái niệm trừu tượng

∑∑==

=≠=≠n

ii

n

ii x

nxX

nXXM

11

11][• Phân biệt:

• Tương tự, với các đặc trưng khác: Phương sai, mômen,…


5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) với mẫu lấy được (X1,Y1),

(X2,Y2),…, (Xn,Yn)• Khi đó, ngoài các đặc trưng riêng như kỳ vọng, phương sai,

mômen gốc, mômen trung tâm của từng đại lượng ngẫu nhiên, các đặc trưng quan trọng cần được xem xét là mômen tương quan vàhệ số tương quan

∑=

−−=n

iiixy YYXX

n 1

))((1~μ

• Mômen tương quan mẫu giữa hai đại lượng ngẫu nhiên được xác định bởi

• Trong đó ∑∑==

==n

ii

n

ii Y

nYX

nX

11

1,1 tương ứng là kỳ vọng mẫu của X và Y

Do tính ứng dụng phổ biến của mômen tương quan mẫu nên đểthuận tiện ta sẽ sử dụng ký hiệu Rxy thay cho xyμ~


5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên

∑∑

∑

==

=

−−

−−===

n

ii

n

ii

n

iii

yx

xy

yx

xyxy

YYn

XXn

YYXXn

ssDDr

1

2

1

2

1

)(1)(1

))((1~

~~~ μμ

• Hệ số tương quan mẫu giữa X và Y được xác định bởi

• Trong đó ∑∑==

−==−==n

iiyy

n

iixx YY

nsDXX

nsD

1

22

1

22 )(1~,)(1~

tương ứng là phương sai mẫu của X và Y


5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên• Đối với hệ m đại lượng ngẫu nhiên (X1,X2,…,Xm) với mẫu lấy được (X11,X21,…,Xn1),…, (X1m,X22,…,Xnm)

• Có thể sắp xếp mẫu thành ma trận n hàng (dung lượng mẫu) và mcột (tương ứng với m đại lượng ngẫu nhiên)

• Các đặc trưng mẫu được xác định như sau

mjXn

Xn

iijj ,...,2,1,1

1

== ∑=

• Các kỳ vọng mẫu:

• Các phương sai mẫu:

• Trong nhiều trường hợp để đơn giản ta sử dụng ký hiệuthay cho ký hiệu

2,~jj sD

mjXXn

sDn

ijijxx jj

,...,2,1,)(1~1

22 =−== ∑=

2,~jj xx sD



mkjXXXXn

n

ikikjijxx kj

,...,2,1,,))((1~1

=−−= ∑=

μ

• Các mômen tương quan mẫu:

• Tập hợp các mômen tương quan mẫu lập thành ma trận tương quan mẫu:

• Sử dụng ký hiệuthay cho ký hiệu

jkR

kj xxμ~

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mmmm

m

m

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxR

μμμ

μμμμμμ

~...~~............

~...~~~...~~

21

22212

12111

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mmmm

m

m

xx

RRR

RRRRRR

R

...............

...

...

21

22221

11211



),...,2,1,(

,~))((1))((1~11

mkj

XXXXn

XXXXn jkkj xx

n

ijijkik

n

ikikjijxx

=

=−−=−−= ∑∑==

μμ

• N hận thấy:

• Ma trận tương quan mẫu là ma trận đối xứng

• Khi j≡k:

),...,2,1(

,~)(1))((1~1

2

1

mj

DXXn

XXXXn jjj x

n

ijij

n

ijijjijxx

=

=−=−−= ∑∑==

μ

• Các phần tử trên đường chéo chính là phương sai của các đại lượng ngẫu nhiên thành phần



mkjss

RssDD

rkj

jk

xx

xx

xx

xxxx

kj

kj

kj

kj

kj,...,2,1,,

~~~

~=≡==

μμ• Các hệ số tương quan mẫu:

• Tập hợp các hệ số tương quan mẫu lập thành ma trận tương quan mẫu chuNn hóa: • Sử dụng ký hiệu

thay cho ký hiệu jkr

kj xxr

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mmmm

m

m

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xx

rrr

rrrrrr

P

...............

...

...

21

22212

12111

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mmmm

m

m

xx

rrr

rrrrrr

P

...............

...

...

21

22221

11211


5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên• N hận thấy:

• Ma trận tương quan mẫu chuNn hóa cũng là ma trận đối xứng

• Khi j≡k:

• Các phần tử trên đường chéo chính bằng 1

mkjrDDDD

rjk

jk

jk

kj

kj

kj xx

xx

xx

xx

xxxx ,...,2,1,,~~

~~~

~====

μμ

mjDD

DDr

j

j

jj

jj

jjx

x

xx

xxxx ,...,2,1,1~

~

~~~

====μ


5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên• Có thể viết lại:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mmm

m

m

xx

DRR

RDRRRD

R

...............

...

...

21

2221

1121

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1...............

...1

...1

21

221

112

mm

m

m

xx

rr

rrrr

P



22

222

1

2

11

2

1

22

1

2

2121

)2(1)(1~

XX

XXXXn

XXn

Xn

XXXXn

XXn

D

n

i

n

ii

n

ii

n

iii

n

iix

−=

+−=+−=

=+−=−=

∑∑∑

∑∑

===

==

• Chú ý: Sử dụng một số phép biến đổi đơn giản ta có thể nhận được các hệ thức tương đương sau

• Phương sai mẫu:

YXXYYXYXn

YYXXn

n

iii

n

iiixy −=−=−−= ∑∑

== 11

1))((1~μ• Tương tự cho mômen tương quan:

• Tổng quát hơn:

kjkj

n

ikikjijjkxx XXXXXXXX

nR

kj−=−−=≡ ∑

=1

))((1~μ


HẾT CHƯƠN G 5

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌmeteo.edu.vn/~tanpv/Lectures/Chg 5 - Xac suat.pdf · LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Phan Văn Tân Bộmô

Documents