Bài giảng xác suất thống kê

NCT-FIT-HNUE 1

BÀI GIẢNG GIÁO DỤC THỐNG KÊ

Nguyễn Chí TrungKhoa CNTT - ĐHSPHN

NCT-FIT-HNUE 2

§1. XÁC SUẤT1. Hiện tượng ngẫu nhiên và phép thử

Hiện tượng ngẫu nhiên: gieo một con xúc xắc

Phép thử (ngẫu nhiên): thực hiện thí nghiệm một hiện tượng nào đó

ngẫu nhiên

Biến cố ngẫu nhiên: là sự kiện nào đó (xảy ra hay không xảy ra)

trong một phép thử.

Biến cố ∅ (không bao giờ xảy ra) và biến cố Ω (chắc chắn)

Ví dụ: Phép thử gieo một con xúc xắc, có thể có các biến cố:

• Xk : “xuất hiện mặt k chấm” (k = 1, 2, ..., 6)

• Xc : “xuất hiện mặt có số chấm chẵn”

• Xl : “xuất hiện mặt có số chấm lẻ”

• Kc:“xuất hiện mặt có số chấm không chẵn”

• Kl : “xuất hiện mặt có số chấm không lẻ”

NCT-FIT-HNUE 3

§1. XÁC SUẤT

2. Quan hệ giữa các biến cốCho A và B là 2 biến cố của cùng một phép thửA thuận lợi (kéo theo) đối với B, kí hiệu A ⊂ B nếu A xuất hiện thì B cũng xuất hiện trong cùng một phép thử.A đồng nhất B, kí hiệu A = B, nếu A và B là thuận lợi đối với nhautrong cùng một phép thử.A đối lập B, kí hiệu A =!B, nếu A xuất hiện khi và chỉ khi B không xuấthiện. (!B nghĩa là không (xảy ra) B).A đồng khả năng với B, nếu trong cùng một phép thử không có biến cốnào được ưu tiên hơn biến cố B.Ví dụ

• X1, X3, X5 ⊂ Xl

• X2, X4, X6 ⊂ Xc

• Xi = !Xj với i ≠ j (i, j = 1, 2, ..., 6)• Kc = Xl, Kl = Xc, Xc = !Xl, Xl = !Xc

• Xi và Xj là các biến cố đồng khả năng, (i, j = 1, 2, ..., 6)

NCT-FIT-HNUE 4

§1. XÁC SUẤT

2. Quan hệ giữa các biến cố (tiếp)Ví dụ

Trong phép thử tung đồng tiềnS = “xuất hiện mặt sấp”N = “xuất hiện mặt ngửa”Ta cóS = !NN = !S∅ thuận lợi đối với mọi biến cốMọi biến cố đều thuận lợi đối với biến cố chắc chắn

NCT-FIT-HNUE 5

§1. XÁC SUẤT

3. Các phép toán trên các biến cố

Cho A và B là 2 biến cố của cùng một phép thử

Hợp C = A ∪ B ít nhất một trong hai A hoặc B xuát hiện

Nếu A = !B thì ta viết C = A ∪ B thành C = A + B (gọi là Tổng 2 biến cố)

Giao (hay tích) C = A ∩ B đồng thời hai biến cố A và B cùngxảy ra A

Ví dụ: Trong phép thử gieo xúc xắc

Xc = X2 + X4 + X6

Trong mọi phép thử bất kì ta luôn có

A ∩ !A = ∅; A + !A = Ω; Ví dụ A1 + !A1 = Ω

A và B xung khắc A ∩ B = ∅

NCT-FIT-HNUE 6

§1. XÁC SUẤT

3. Các phép toán trên các biến cố (tiếp)

Định nghĩa: A là biến cố sơ cấp (hay cơ bản) nếu A = B ∪ C thìhoặc A = B hoặc A = C

Định nghĩa: Cho A1, A2, ..., An là các biến cố của một phép thử. Ta nói rằng chúng lập thành một hệ đầy đủ , kí hiệu là H, nếu:

• (i) Chúng đôi một xung khắc Ai ∩ Aj = ∅

• (ii) Tổng của chúng là cả không gian: A1 + A2 + ... + An = Ω

Nếu các biến cố Ak (k=1, 2, ..., n) là các biến cố sơ cấp thì họ n biến cố đó gọi là không gian các biến cố sơ cấp.

Ví dụ: Trong phép thử gieo xúc xắc

Họ X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 tạo thành không gian các biến cố sơcấp

H = Xc, Xl) tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố

NCT-FIT-HNUE 7

§1. XÁC SUẤT

4. Định nghĩa xác xuất cổ điển

Xác xuất của một biến cố chỉ khả năng xuất hiện một biến cố nàođó

Định nghĩa: B1, B2, ..., Bn là một hệ đầy đủ các biến cố đồng khảnăng trong một phép thử và A là một biến cố trong phép thử đó. Giảsử trong hệ đó có k biến thuận lợi đối với A, tức là:

A = Bn1 + Bn2 + ...+ Bnk, với ni ∈[1..n]

Ta gọi tỉ số P(A) = k/n là xác xuất của biến cố A

Hệ quả: P( ∅) = 0; P(Ω)=1, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Ví dụ 1: Trong phép thử tung đồng tiền

Hệ đầy đủ là H = S, N

P(S) = 1/2 = 0.5 và P(N) = 1/2 = 0.5

NCT-FIT-HNUE 8

§1. XÁC SUẤT

4. Định nghĩa xác xuất cổ điển (tiếp 1)

P(A) = số khả năng thuận lợi cho A / tổng số khả năng

Ví dụ 2: Trong phép thử tung 2 đồng tiền, tìm xác suất để

a) Cả 2 đồng tiền đều xuất hiện mặt sấp

b) Có ít nhất một đồng xuất hiện mặt sấp

Giải

Hệ đầy đủ là (S, N), (S, S), (N, S), (N, N)

Gọi X = “cả đồng đều sấp” X = (S, S)

Gọi Y = “có ít nhất một đồng sấp” Y = (S, N), (N, S), (S, S)

Vậy P(X) = 1/4 = 0.25; P(Y) = 3/4 = 0.75

NCT-FIT-HNUE 9

§1. XÁC SUẤT



Ví dụ 3: Trong phép thử gieo xúc xắc, tìm xác suất để xuất hiện mặtsáu chấm; xác xuất xuất hiện mặt có số chấm lẻ

Giải

H = X1, X2, X3, X4, X5, X6

Gọi A = “xuất hiện mặt 6 chấm” A = X6

Gọi B = “xuất hiện mặt có số chấm lẻ” B = X1, X3, X5

P(A) = 1/6 ≈ 0.17; P(B) = 3/6 = 0.5

Tương tự ta cũng có P(Xk) ≈ 0.17

NCT-FIT-HNUE 10

§1. XÁC SUẤT



Ví dụ 4:

Đậu hoa vàng có cặp gien trội AA; Đậu hoa trắng có cặp gien lặn aa.

Khi đem lai hai cây đậu hoa vàng và hoa trắng để sinh ra thế hệ F1, rồilai hai cây đậu ở thế hệ F1 với nhau để sinh ra thế hệ F2. Tính xác xuấtđể cây đậu ở thế hệ F2 có hoa vàng?

Giải

- Lai cây đậu hoa vàng với cây đậu hoa trắng ta được các cây đậu ở thếhệ F1 mang cặp gien kiểu hoa vàng Aa.

- Đem lai hai cây đậu ở thể hệ F1 thì ở thế hệ F2 ta được các cây đậu có4 kiểu gien: AA, Aa, aA, aa (gien đầu của bố, gien sau của mẹ)

- Gọi X = “kiểu hình hoa vàng ở thế hệ F2” ta có

- X = AA, Aa, aA, do đó P(X) = 3/4.

NCT-FIT-HNUE 11

§1. XÁC SUẤT

Tính chất của xác xuất

0 ≤P(A) ≤ 1;

P( ∅)=0

P(Ω) = 1

P(A+B) = P(A) + P(B) ; Nếu A ⊂ B thì P(A) ≤ P(B)

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(!A) = 1 – P(A)

Ví dụ 4:

Trong kì thi qui định “điểm giỏi” là điểm trên 8 (không cho điểm thậpphân). Một học sinh vào thi, A là sự kiện “đạt điểm 10”, B là sự kiện “đạtđiểm 9”. Giả sử với em đó, xác xuất p(A) = 0.3, p(B) = 0.4.

Gọi C là sự kiện “đạt điểm giỏi”, ta có

p(C) = P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.3 + 0.4 – 0 = 0.7

NCT-FIT-HNUE 12

§1. XÁC SUẤT

5. Định nghĩa xác xuất theo phương pháp thống kê

Định nghĩa:

• Nếu lặp lại n lần một phép thử ta thấy biến cố A xuất hiện k lần. Ta gọi tỉ số k/n là xác xuất của biến cố A.

• Bằng thực nghiệm ta thấy rằng nếu n thay đổi thì tần xuấtk/n cũng thay đổi nhưng luôn dao động quanh một số cốđịnh nào đó. Ta gọi số cố định này là xác xuất của biến cốA theo nghĩa thống kê, kí hiệu là P(A).

Ví dụ:

Trong nhiều phép thử tung đồng tiền ta thấy P(S) = 0.5

Trong các phép thử gieo xúc xắc ta thấy P(X6) ≈ 0.17

NCT-FIT-HNUE 13

§2. THỐNG KÊ

1. Mục đích, nhiệm vụ và đối tượng của thống kê

Nhiệm vụ thống kê: Phản ánh về lượng của các hiện tượng kinh tế,

chính trị, xã hội; Cung cấp dữ liệu có tính hệ thống để XD các chiến lược,

kế sách, chương trình phát triển kinh tế - xã hội

Đối tượng: Thống kê là khoa học nghiên cứu các phương pháp thu thập,

xử lí và phân tích dữ liệu (mặt lượng) của những hiện tượng nhằm tìm

hiểu bản chất và tính qui luật nội tại của chúng (mặt chất) trong các điều

kiện về không gian và thời gian xác định

Các hiện tượng nghiên cứu thống kê về kinh tế xã hội

• Về quá trình sản xuất, phân phối, sử dụng

• Về dân số, tăng trưởng, phân bố

• Về đời sống: mức sống, trình độ văn hóa, bảo hiểm xã hội

NCT-FIT-HNUE 14

§2. THỐNG KÊ

2. Các khái niệm

Tổng thể thống kê là một tập tất cả các đối tượng hay cá thể của hiện

tượng trong phạm vi nghiên cứu, được quan sát và phân tích. Ví dụ:

Toàn bộ SV ở các trường ĐH giai đoạn 2008 - 2010

Đơn vị tổng thể là cá thể của tổng thể thống kê. Do đó đơn vị tổng thể

có thể là người, vật, yếu tố, hiện tượng

Tiêu thức thống kê: Là các thuộc tính (đặc điểm) của các đơn vị tổng

thể mà ta cần quan tâm nghiên cứu

Tiêu thức thuộc tính : Là dạng dữ liệu định tính của tiêu thức thống kê.

Ví dụ Giới tính (nam, nữ); Hình thức sở hữu (nhà nước, tập thể, tư nhân)

Tiêu thức số lượng: Là dạng dữ liệu số của tiêu thức thống kê. Ví dụ

Chiều cao, trọng lượng, mức lương

NCT-FIT-HNUE 15

§2. THỐNG KÊ


Chỉ tiêu thống kê là biểu thị về mặt lượng trong mối quan hệ về mặt

chất của hiện tượng nghiên cứu trong điều kiện không gian, thời gian xác

định. Chỉ tiêu thống kê gồm:

• Khái niệm gồm định nghĩa, giới hạn thực thể, không gian, thời

gian của hiện tượng nghiên cứu. Nó biểu thị nội dung của chỉ tiêu

thống kê

• Con số biểu thị mức độ của chỉ tiêu thống kê.

Ví dụ: Lượng khách bình quân một tháng tại khách sạn Hồng hà năm 2010

là 1500 người.

• Khái niệm = Lượng khách bình quân một tháng tại khách sạn

Hồng hà năm 2010

• Con số = 1500

NCT-FIT-HNUE 16

§2. THỐNG KÊ


Chỉ tiêu số lượng: Biểu thị qui mô của hiện tượng nghiên cứu. Ví

dụ số sinh viên ĐH và CĐ; tổng nhân khẩu; tổng thu nhập quốc

dân

Chỉ tiêu chất lượng: Biểu thị trình độ phổ biến. Ví dụ mức lương

một nhân viên, năng suất lao động; giá thành đơn vị sản phẩm

NCT-FIT-HNUE 17

§3. BẢNG PHÂN PHỐI TẦN SỐ

1. Bảng phân phối thực nghiệm

Dãy số thống kê rất lớn, không đủ điều kiện xử lí, nên chỉ chọn

một phần của quần thể vô hạn gọi là mẫu đại diện (dãy thống kê

hữu hạn).

Các mẫu được chọn gọi là biến x. Biến x được biến đổi trong

khoảng quan sát

Ví dụ: Xét chiều cao của HS 11 (quần thể). Một ví dụ về mẫu hay

biến x là chiều cao của HS mà ta đo được là 1.61, 1.64, 1.65,

1.66, 1.71, 1.73, …

NCT-FIT-HNUE 18


1. Bảng phân phối thực nghiệm (tiếp)

Từ mẫu ta có bảng sau đây, gọi là bảng phân phối thực nghiệm:

NCT-FIT-HNUE 19


2. Tần suất tuyệt đối

Ví dụ ta thấy có một số HS 11 có chiều cao

như nhau, chẳng hạn trong mẫu có 7 HS

chiều cao 1.50. Khi đó ta nói 7 là tần suất

tuyệt đối, kí hiệu là F

Tổng quát, khi quan sát một đại lượng x nào

đó, ta nhận được k giá trị phân biệt x1, x2, …,

xk (gọi là giá trị quan sát) với tần suất tuyệt

đối tương ứng là F1, F2, …, Fk. Khi đó bảng

phân phối thực nghiệm như sau:

xi Fi

x1 F1

x2 F2

… …

xi Fi

… …

xk Fk

Bảng phân phốithực nghiệm

NCT-FIT-HNUE 20


3. Tần suất quan hệ (tần suất)

Tần suất quan hệ, kí hiệu là f, là tỉ

số giữa tần suất thuyệt đối F và tổng

số lần quan sát được n

f = F/n

Hệ quả: 0 ≤ f ≤ 1

Thường biểu thị f dưới dạng %

xi fi

x1 f1

x2 f2

… …

xi fi

… …

xk fk

Bảng phân phốithực nghiệm

%100n

Ff =

NCT-FIT-HNUE 21


3. Tần suất quan hệ

Kết quả điều tra số trẻ em từ 7 đến 14 tuổi

Bảng phân phối thực nghiệmdạng tần suất tuyệt đối

Bảng phân phối thực nghiệm dạng tầnsuất quan hệ

xi Fi

7 08 79 8

10 911 1012 813 414 4

xi fi

7 0%8 14%9 16%

10 1811 20%12 16%13 8%14 8%

%50

100 ii

Ff =

xi fi

7 08 0.149 0.16

10 0.1811 0.2012 0.1613 0.0814 0.08

50i

iFf =

NCT-FIT-HNUE 22


4. Tần suất tuyệt đối hội tụ

Xét mẫu điều tra số trẻ em từ 7 đến 14 tuổi

xi 7 8 9 10 11 12 13 14

Fi 0 7 8 9 10 8 4 4

Tần suất hội tụ lùi: Ví dụ tần suất tuyệt đối của những cháu ≤ 9 tuổi:

FL(x ≤ 9) = Fa(x=7) + Fa(x=8) + Fa(x=9) = 0 + 7 + 8 = 15

Tần suất hội tụ tiến: Ví dụ tần suất tuyệt đối của những cháu ≥12 tuổi:

FT(x ≥ 12) = Fa(x=12) + Fa(x=13) + Fa(x=14) = 8 + 4 + 4 = 16

NCT-FIT-HNUE 23

§3. BẢNG PHÂN PHỐI TẦN SỐ4. Tần suất tuyệt đối hội tụ

Tần suất hội tụ lùi FL(x≤ xi)A B C

1 xi Fi FL(x≤xi)

2

3

4

5

6

7

8

9

7 0 0

8 7 0+7 = 7

9 8 7 + 8 = 15

10 9 15 + 9 = 24

11 10 24 +10 = 34

12 8 34 + 8 = 42

13 4 42 + 4 = 46

14 4 46 + 4 = 50

=B2

=C2 + B3

=C3 + B4

NCT-FIT-HNUE 24

§3. BẢNG PHÂN PHỐI TẦN SỐBảng tần suất tuyệt đối hội tụ lùi và tiến; tần suất quan hệ lùi và tiến

A B C D E F

FL(x≤xi) FT(x≥ xi)

50+0=50

43+7=50

35+9=43

26+9=35

16+10=26

8+8=16

4+4=8

0+4=4

0

fL(x≤xi)

0

0.14+0=0.14

0.14+0.16=0.30

0.30+0.18=0.48

0.48+0.20=0.68

0.68+0.16=0.84

0.84+0.08=0.92

0+7 = 7

7 + 8 = 15

15 + 9 = 24

24 +10 = 34

34 + 8 = 42

42 + 4 = 46

46 + 4 = 50 0.92+0.08=1

fi

0

0.14

0.16

0.18

0.20

0.16

0.08

0.08

G

1 xi Fi fL(x≥xi)

2

3

4

5

6

7

8

9

7 0 1+0=1

8 7 0.86+0.14=1

9 8 0.70+0.16=0.86

10 9 0.52+0.18=0.70

11 10 0.32+0.20=0.52

12 8 0.16+0.16=0.32

13 4 0.08+0.08=0.16

14 4 =0.08

NCT-FIT-HNUE 25

§3. BẢNG PHÂN PHỐI TẦN SỐ5. Bảng phân phối tần suất ghép

lớp

Ví dụ: Có 200 người đăng kí đichuyến máy bay 14h ngày1/5/2009 Hà nội – Paris, ngườita ghi được thông tin như 3 bảng bên về tuổi hành khách

Ta có bảng dưới đâyPhân lớp theo độ tuổi

NCT-FIT-HNUE 26

§3. BẢNG PHÂN PHỐI TẦN SỐ5. Bảng phân phối tần suất ghép lớp

Phân lớp theo độ tuổi Phân lớp theo khoảng

• 29 tuổi 11 tháng ∈lớp (khoảng) [20, 30); chưa là 30 tuổi

• 10.3 ∈ [0, 10) ;

• 10.5 ∈ [10, 20)

NCT-FIT-HNUE 27


6. Khoảng và biên độ

a) Khoảng và giới hạn của khoảng: Khoảng là đoạn hay nửa đoạn hay khoảng

của một lớp.

Ví dụ: [10, 20) là nửa đoạn theo lớp “tuổi”.

x ∈ [10, 20) 10 là giới hạn dưới của lớp; 20 là giới hạn trên của lớp

b) Biên độ: Là khoảng cách giữa hai giới hạn

Ví dụ: (10, 20) có khoảng cách 20-10 = 10

c) Điểm giữa của lớp: là giá trị trung bình cộng của hai giới hạn của khoảng

Ví dụ xét lớp 10 ≤ x ≤ 30 Điểm giữa xi = (10+30)/2 = 25

NCT-FIT-HNUE 28

§3. BẢNG PHÂN PHỐI TẦN SỐ7. Đồ thị biểu diễn đường phân phối tần suất (Biểu đồ tổ chức)

Chia các khoảng = các biên độ trên trục hoành

Dựng các đoạn song song với trục tung tại các điểm giữa trên trục hoành vàcao bằng tần suấtĐường gẫy khúc thu được là đường phân phối của tần suất (tuyệt đối hay quanhệ tương ứng)

a) Biểu đồ tổ chức phân phối tần suất tuyệt đối

Khoảng (biên độ) bằng nhau

NCT-FIT-HNUE 29


7. Đồ thị biểu diễn đường phân phối tần suất (Biểu đồ tổ chức)

a) Biểu đồ tổ chức phân phối tần suất tuyệt đối

Khoảng (biên độ) khác nhau cần sửađể bằng nhau

Ví dụ Điểm môn toán (thangđiểm 20) của 80 HS

Có 3 nhóm lớp ứng với 3 biên độ 2, 3 và 4

Cần sửa lại tần suất để cáclớp có cùng biên độ: Lấy tầnsuất chia cho số lần gấpso với biên độ nhỏ nhất đểđược tần suất mới

Cách vẽ đồ thị như cũ, tức làcác cột xuất phát từ cácđiểm giữa các khoảng, nhưng độ cao của các cộttuân theo tuần suất mới

NCT-FIT-HNUE 30

§3. BẢNG PHÂN PHỐI TẦN SỐ7. Đồ thị biểu diễn đường phân phối tần suất (Biểu đồ tổ chức)

b) Biểu đồ tổ chức phân phối tần suất quan hệ

Ví dụ: Cho bảng phân tầnsuất nhận lương của mộtxí nghiệp 600 nhân viên. Hãy xác định biểu đồ tổchức của tần suất

NCT-FIT-HNUE 31

§3. BẢNG PHÂN PHỐI TẦN SỐ7. Đồ thị biểu diễn đường phân phối tần suất (Biểu đồ tổ chức của tần suất)

c) Biểu đồ tổ chức phân phối tần suất hội tụ

Cho bảng phân phối tần suấttuyệt đối

Ta cần lập bảng phân phối tần suất tuyệt đối và tầnsuất quan hệ lùi và tiến để vẽ các biểu đồ

Biểu đồ tổ chức của tần suấttuyệt đối hội tụ lùi

Biểu đồ tổ chức của tần suấttuyệt đối hội tụ tiến

NCT-FIT-HNUE 32

§3. BẢNG PHÂN PHỐI TẦN SỐ8. Biểu diễn đồ thị theo các dạng khác

Đồ thị hình tròn

Chuyển thành tỉ lệ trong các góc. Góc 3600

được chia thành 100 phần, mỗi phần 3.60Thu thập ý kiến của 140260 cặpvợ chồng

73400 -- 140260

x -- 100

x = 73400*100/140260

= 52.33 (%)

NCT-FIT-HNUE 33

§3. BẢNG PHÂN PHỐI TẦN SỐ9. Qui định sự tăng trưởng dân sốGiả sử dân số tại thời điểm (năm) t0 là P1

Và giả sử dân số tăng mỗi năm so với năm trước là i lần (ta nói rằng dân sốtăng theo qui luật số mũ)

Khi đó, dân số các năm tiếp theo là: P2 = P1 + i*P1 = P1 (1 + i); P3 = P2 + i*P2 = P2 (1 + i) = P1(1+i)2 ; …Pn+1 = Pn + i*Pn= P1(1+i)n

Ví dụ: Một xí nghiệp có 240 người. Số người sẽ tăng 40% trong 10 năm. Hãy xác định dân số sau 10 năm

Giải: Tăng 40% trong 10 năm nên mỗi năm tăng 0.04%. Giả sử đang lànăm thứ nhất: P1 = 240, theo yêu cầu bài toán ta cần xác định P11.

Theo qui luật số mũ thì P11 = P1(1+i)10 = 240(1+0.04)10 = 240 * 1.0410 = 240 * 1.48024 = 115 (người).

NCT-FIT-HNUE 34

§4. CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ1. Các tham số đo giá trị trung tâm1.1. Trung bình cộng

Khi có tần sốKhi không có tần số

nFxFxFx

n

Fxx nn

n

iii +++==

∑= ...22111

,...211

nxxx

n

xx n

n

ii +++==

∑=,

1∑=

=k

iiFn

xi Fi xiFi

4 5 20

5 8 40

6 5 30

7 6 42

8 10 80

9 6 54

Ví dụ thống kê điểm của40 nghiên cứu sinh thuđược:

Điểm 4 có 5 người






∑ =40iF ∑ =266iiFx

65.640266

6

1 ===∑=

n

Fxx i

ii

NCT-FIT-HNUE 35

§4. CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ1. Các tham số đo giá trị trung tâm1.1. Trung bình cộngVí dụ 2: Chọn 300 cháu mẫu giáo, mỗicháu nhanh tay nhặt ra các viên bi màutừ hộp của mình.

Sau 2 phút, kết quả phân lớp theo số bi nhặt được như bảng bên:

Ta có bảng xác định các trung điểm xi và các tíchxiFi để tính trung bình cộng như sau:

74300

222801 ===∑=

n

Fxx

k

iii

Vậy trung bình sau 2 phút các cháu nhặt được74 viên bi

NCT-FIT-HNUE 36

§4. CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ

1. Các tham số đo giá trị trung tâm

1.2. Trung vị và các tứ phân vị mẫu

Trung vị là số đứng ở vị trí giữa, có khoảng 50% số có giá trị bé hơn

nó và có khoảng 50% số có giá trị lớn hơn nó. Trung vị kí hiệu là Me

Tứ phân vị dưới là số mà có khoảng 25% số có giá trị bé hơn

Tứ phân vị trên là số mà có khoảng 25% số có giá trị lớn hơn

Khi n nhỏ thì khó tính chính xác so với n lớn.

Nếu chia khoảng thì có thể nội suy trung vị và các tứ phân vị

NCT-FIT-HNUE 37

§4. CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ1. Các tham số đo giá trị trung tâm1.2. Trung vị và các tứ phân vị mẫu

Cách tính trung vị đối với mẫu không phân lớp

Me là số sao cho số các giá trị mẫu ≥ nó bằng số các giá trị mẫu ≤ nó. Vậy nếu sắp xếp các giá trị của mẫu (X1, X2, …, Xn) tăng dần X1 ≤ X2 ≤ …≤ Xn thì:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=+

+

)(,2

)(,

122

21

nevenifXX

noddifX

Me nn

n

Ví dụ: Xét 2 mẫu (dãy điểm thi) sau

(1)3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 10

n = 11, X(n+1)/2 = 7 Me = 7

(1)3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 10

n = 10, Xn/2 = 6, X1+n/2 = 7 Me = (6+7)/2 = 6.5

NCT-FIT-HNUE 38


Cách tính trung vị đối với mẫu có phân lớp

Phân lớp (khoảng) sao cho sắp xếp theo tần số hội tụ lùi; sau đó tínhtrung vị theo công thức dưới đây:

ii

i

i aF

NN

IMe *2 1

1

−

−

−+=Lớp

(khoảng)Tầnsố Fi

Tần số hộitụ lùi FLi

I0 – I1 F1 N1

I1 – I2 F2 N2

… … …

Ii-1 – Ii Fi Ni

… … …

In-1 – In Fn Nn = N

Trong đó

i là khoảng Ii-1 - Ii ứng với giá trị N/2. Gọi nó là khoảng trung vị

Ii-1 là giới hạn dưới;

Fi là tần số của khoảng trung vị

Ni-1 là tần số hội tụ ngay trước khoảngtrung vị

ai là biên độ của khoảng trung vị

NCT-FIT-HNUE 39


Ví dụ Cách tính trung vị đối với mẫu có phân lớp

Số HS đượcvào ĐH

Số xãcó sốHS nhưthế

1- 5 52

5 – 10 38

10 – 20 32

20 – 50 21

50 - 100 7

Lập bảng phân phối có cả tần số hội tụ lùi

ii

i

i aF

NN

IMe *2 1

1

−

−

−+=

Ii-1 = 5

Fi 38

Ni-1 52

ai = 5

Số HS Số xãFi

Tần số hộitụ Ni

1-5 52 52

5 – 10 38 90

10 – 20 32 122

20 – 50 21 143

50 - 100 7 150 = N

752/1502

==N

Khoảng ứng với tầnsố hội tụ đầu tiên màlớn hơn 75 là khoảng(5-10) với biên độ 5. Do đó:

03.85*38

52755 =−

+=

NCT-FIT-HNUE 40

§4. CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ2. Các tham số đo độ phân tán2.1. Độ lệch trung bình tuyệt đối

∑∑ −

=i

ii

F

FXxd

Ví dụ Xét dãy thống kê 1, 5, 7, 9, 11, 15. Hãy xác định d.

Giải:

8756

7151198751

==++++++

=X

18.37

1.|8151.|811|1.|89|1.|88|1.|87|1.|85|1.|81|

=

−+−+−+−+−+−+−=

∑∑ −

=i

ii

F

FXxd

NCT-FIT-HNUE 41

§4. CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ2. Các tham số đo độ phân tán2.1. Độ lệch trung bình tuyệt đốiVí dụ 2: Cho bảng thống kê sốlượng ăn theo. Hãy xác định độlệch trung bình tuyệt đối

Lập bảng phân phối

78.564370

64509045357575

==+++++

=−

=∑

∑i

ii

F

FXxd

Lứatuổi

Sốngười

1-5 6

5-10 10

10-15 14

15-20 18

20 – 25 12

25-30 4

Lớp xi Fi xiFi

3 6

10

14

18

12

4

8

12.518

80

182

324

13

276

7.5

2.5

2.5

7.5

18

23

112 12.528

1-5 75

5-10 75

10-15 35

15-20 45

20 –25

90

25-30 50

|| Xxi − ii FXx || −

NCT-FIT-HNUE 42

§4. CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ2. Các tham số đo độ phân tán

2.1. Phương sai, độ lệch chuẩn

Trung bình cộng bằng tổng các giá trị quan sát xi chia cho số quan sát n (n gọi là kích thước mẫu). Trung vị là vị trí chính giữa mẫu quan sát.

Hai mẫu có thể có cùng giá trị trung bình và trung vị nhưng độ biến động(độ lệch) giữa các giá trị của mẫu này so với trung bình của nó có thếrất khác so với độ biến động tương ứng trong mẫu kia

Phương sai và độ lệch chuẩn dùng để đánh giá độ biến động hay độphân tán của các giá trị trong mẫu so với giá trị trung bình của mẫu

Độ lệch chuẩn Hệ số biến độngPhương sai

n

Fxx i

k

ii

2

12)(∑

=

−=σ %100.

xCV σ

=2σσ =

NCT-FIT-HNUE 43

§4. CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ2. Các tham số đo độ phân tán.


Bài toán phân tích dữ liệu chiều cao bé mẫu giáo

Trong cuộc điều tra về lớp mẫu giáo bé người ta có bảng dưới đây. Bằng kiến thức thống kê toán học, hãy phân tích số liệu của bảng phânphối này. Khi phân tích chia thành 7 khoảng 5, 90, 94, 97, 100, 104, 109, 116. Cho biết chuẩn chiều cao của mẫu giáo bé là 94-104cm.

NCT-FIT-HNUE 44

§4. CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ2.1. Phương sai, độ lệch chuẩn: Bài toán “chiều cao MG”

n

Fxx i

k

ii

2

12)(∑

=

−=σ

2σσ =

7 khoảng 5, 90, 94, 97, 100, 104, 109, 116. Chuẩn chiều cao 94-104cm.

Lập biểu đồ tổ chức tần suất và tính các đại lượng cần cho công thức tính phươngsai

%100.x

CV σ=

NCT-FIT-HNUE 45

§4. CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ2.1. Phương sai, độ

lệch chuẩn:

Bài toán “chiềucao MG” n

Fxx i

k

ii

2

12)(∑

=

−=σ

n

Fxx i

k

ii

2

12)(∑

=

−=σ

2σσ =

%100.x

CV σ=

NCT-FIT-HNUE 46


lệch chuẩn:

Bài toán “chiềucao MG”

n

Fxx i

k

ii

2

12)(∑

=

−=σ

2σσ =

%100.x

CV σ=

NCT-FIT-HNUE 47


lệch chuẩn:

Bài toán “chiềucao MG”

NCT-FIT-HNUE 48

§4. CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ2. Các tham số đo độ phân tán.


Bài toán phân tích dữ liệu cân nặng bé mẫu giáo

Trong cuộc điều tra về lớp mẫu giáo bé người ta có bảng dưới đây. Bằng kiến thức thống kê toán học, hãy phân tích số liệu của bảng phânphối này. Khi phân tích chia thành 7 khoảng 12,13,15,18,20,22,27,30. Cho biết chuẩn cân nặng của mẫu giáo bé là 15-21kg.

NCT-FIT-HNUE 49

§4. CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ2.1. Phương sai, độ lệch chuẩn: Bài toán cân nặng bé MG

NCT-FIT-HNUE 50

§4. CÁC THAM SỐ THỐNG KÊ2.1. Phương sai, độ lệch chuẩn: Bài toán cân nặng bé MG

NCT-FIT-HNUE 51

THE END

Bài giảng xác suất thống kê

Documents