Kuliah 6 penerapan fungsi majemuk dalam ekonomi

S E M E S T E R I I

1

Rabu, 11 Desember 2013FAKULTAS EKONOMIPROGRAM STUDI MANAJEMENUNIVERSITAS ISLAM LABUHANBATU

PERKULIAHAN-6

Matematika ekonomiPenerapan Ekonomi Diferensial Fungsi Majemuk

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat :

1. Permintaan marginal dan elastisitas permintaan parsial

2. Perusahaan dengan dua macam produk dan biaya produksi gabungan

3. Utilitas marginal parsial dan keseimbangan konsumsi

4. Produk marginal parsial dan keseimbangan produksi

2

Deskripsi Singkat

• Dalam perkuliahan ini, anda akan mempelajari tentang permintaan marginal dan elastisitas permintaan parsial

• Bagian selanjutan akan membahas perusahaan dengan dua macam produk dan biaya produksi gabungan, serta utilitas marginal parsial dan keseimbangan konsumsi

• Bagian akhir perkuliahan akan membahas produk marginal parsial dan keseimbangan produksi

3

Bahan Bacaan

Buku Wajib• Dumariy, 2003, Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi,

Penerbit BPFE, Yogyakarta.• Habieb dan aziz, 2008, Matematika Ekonomi dan Bisnis, Penerbit

Ghalia Indonesia, Jakarta.

Buku Pelengkap• D. Sriyono, 2008, Matematika Ekonomi dan Keuangan, Penerbit

Andi, Yogyakarta.• Suprian Atmaja Saputra, 2002, Matematika Ekonomi 1, PT. Ghalia

Indonesia, Jakarta.

4

Pertanyaan kunci

• Sejumlah pertanyaan yang disusun pada setiap pertemuan dan kemungkinan akan digunakan dalam penyusunan soal-soal pada quiz, ujian tengah semester dan ujian akhir semester.

5

Permintaan marginal dan elastisitas permintaan parsial

• Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka permintaan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua macam barang tersebut. Dengan kata lain, jika barang A dan barang B mempunyai hubungan penggunaan, maka;

Qda = f(Pa,Pb) dan Qdb = f(Pa,Pb)

derivatif permintaan dari Qda dan Qdb adalah fungsi-fungsi permintaan marginal :

6

∂ QdaAdalah permintaan marginal akan A berkenaan dengan Pa

∂ Pa

∂ QdaAdalah permintaan marginal akan A berkenaan dengan Pb

∂ Pb

∂ QdbAdalah permintaan marginal akan B berkenaan dengan Pa

∂ Pa

∂ QdbAdalah permintaan marginal akan B berkenaan dengan Pb

∂ Pb

• Turunan fungsi permintaan marginal dapat dihitung elastisitas parsialnya. Ada 2 (dua) macam elastisitas permintaan;

1. Elastisitas harga permintaan, yaitu elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang itu sendiri.

2. Elastisitas silang permintaan, yaitu elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang lain.

7

Ƞda =% ∆ Qda

=

E Qda

=

∂ Qda

.

Pa

% ∆ Pa E Pa ∂ Pa Qda

Ƞdb =% ∆ Qdb

=

E Qdb

=

∂ Qda

.

Pa

% ∆ Pb

E Pb ∂ Pb Qdb

Ƞab =% ∆ Qda

=

E Qda

=

∂ Qda

.

Pa

% ∆ Pb

E Pb ∂ Pb Qda

Ƞba =% ∆ Qdb

=

E Qdb

=

∂ Qda

.

Pa

% ∆ Pa

E Pa ∂ Pa Qdb

• Ƞda dan Ƞdb keduanya merupakan elastisitas harga permintaan, sedangkan Ƞab dan Ƞba keduanya adalah elastisitas silang permintaan.

Jika baik Ƞab dan Ƞba keduanya negatif (Ƞab < 0 dan Ƞba < 0) untuk Pa dan Pb tertentu, berarti hubungan antara barang A dan B adalah komplementer, sebab penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan keduanya.

jika Ƞab maupun Ƞba keduanya posifitf (Ƞab > 0 dan Ƞba > 0) untuk Pa dan Pb tertentu, berarti hubungan antara barang A dan B adalah substitusi, sebab penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh penurunan permintaan atas barang lainnya.

8

Contoh :• Fungsi permintaan akan barang A dan B masing-masing ditunjukan oleh

Qda. P2a.P3

b – 1 = 0 dan Qdb. P3a.Pb – 1 = 0

berapa elastisitas permintaan masing-masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang tersebut ?

9

Qda. P2a.P3

b – 1 = 0 Qdb. P3a.Pb – 1 = 0

Q da =1

Qdb =1

P2a . P3

b P3a. Pb

Qda = P-3a . P-2

b Qdb = P-3a . P-1

b

∂ Qda = -2 P-2

a. P-3b

∂ Qdb = -3 P-4a. P-

1b∂ Pa ∂ Pb

∂ Qda = -3 P-2

a. P-4b

∂ Qdb = -3 P-4a. P-

1b∂ Pb ∂ Pb

• Barang A adalah barang elastis karena Ƞda > 1, sedangkan B adalah barang unitary-elastis karena Ƞdb = 1. ada hubungan antara A dan B adalah bersifat komplementer karena Ƞab <0 dan Ƞba <0

10

Ƞda =∂ Qda

.

Pa

= -2P-3a.P-3

b .

Pa

= -2∂ Pa Qda P-2a. P-3

b

Ƞdb =∂ Qdb

.Pa

= -P-3a.P-2

b .Pb

= -1∂ Pb Qdb P-2

a. P-1b

Ƞab =∂ Qda

.Pa

= -3P-2a.P-4

b .Pb

= -3∂ Pb Qda P-2

a. P-3b

Ƞba =∂ Qdb

.Pa

= -3P-4a.P-1

b .Pa

= -3∂ Pa Qdb P-3

a. P-1b

Perusahaan dengan dua macam produk dan biaya produksi gabungan

• Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan biaya yang dikeluarkannya untuk memproduksi kedua macam produk itu merupakan biaya produksi gabungan (joint production cost), maka penghitungan keuntungan maksimum yang diperoleh dapat diselesaikan dengan pendekatan diferensial parsial.

• Perusahaan memproduksi barang A dan B, dimana fungsi permintaan masing-masing barang dicerminkan oleh Qa dan Qb, serta biaya produksi C = f(Qa, Qb) , maka :

penerimaan produksi A : Ra = Qa . Pa = f(Qa)

penerimaan produksi B : Rb = Qb. Pb = f(Qb)

penerimaan total : R = Ra + Rb = F(Qa) + (Qb)

dengan biaya total C = f(Qa, Qb), fungsi keuntungannya :

π = R – C = f(Qa) + f(Qb) – f(Qa, Qb) = g(Qa, Qb)

π = maksimum bila π’ = 0

dari 1 dan 2 nilai Qa dan Qb dapat diperoleh,

selanjutnya nilai π maksimum bisa dihitung.11

1) πQa =∂ π

= 0∂ Qa

2) πQb =∂ π

= 0∂ Qb

Contoh :• Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua

macam barang A dan B, ditunjukan oleh C = Q2a + 3Q2

b + Qa.Qb. Harga jual masing-masing barang per unit adalah Pa = 7 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing-masing barang harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besarnya keuntungan maksimum tersebut.

12

Ra = Qa.Pa = 7 Qa R = Ra + Rb = 7Qa + 20Qb

Rb = Qb.Pb = 20 Qb

π = R – C = 7Qa + 20Qb – Q2a - 3Q2

b – Qa. Qb

(1)∂ π

= 0 -> 7 – 2Qa – Qb = 0 ∂ Qa

(2)∂ π

= 0 -> 20 – 6Qb – Qa = 0 ∂ Qb

Dari 1 dan 2 diperoleh Qa = 2 dan Qb = 3π maksimum = 7 Qa + 20 Qb – Q2

a – 3Q2b – Qa.Qb

= 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2).(3) = 37

• Jadi agar keuntungan maksimum, perusahaan harus memproduksi 2 unit A dan 3 unit B dengan keuntungan sebesar 37. kasus dimana perusahaan memproduksi lebih dari satu macam barang dengan biaya produksi gabungan, dapat diselesaikan melalui nilai-nilai marginal : MR = MC.

berkenaan dengan soal tadi, π maksimum bila :

MRa = MCa dan MRb = MCb

13

R = 7Qa + 20Qb C = Q2a + 3Q2

b + Qa.Qb

MRa = Ra = 7 MCa = Ca = 2 Qa + Qb

MRb = Rb = 20 MCb = Cb = 2 Qb + Qa

MRa = MCa -> 7 = 2 Qa + Qb -> 7 – 2Qa – Qb = 0 …(1)

MRb = MCb -> 20 = 6 Qa + Qb -> 20 – 6Qa – Qb = 0 …(1)

Dari 1 dan 2, Qa = 2 dan Qb = 3 selanjutnya π = 37

Utilitas marginal parsial dan keseimbangan konsumsi

• Jika kepuasan konsumsi -> U, barang-barang yang dikonsumsi qi (i = 1, 2...n) dan fungsi utilitas U = f(q1, q2, q3,...qn).

• Seandainya untuk seorang konsumen hanya mengkonsumsi dua macam barang, yaitu x dan y maka fungsi utilitas : U = f(x, y).

derivatif pertama dari U merupakan utilitas marginal parsialnya.

untuk U = konstanta tertentu, fungsi utilitas f(x, y) merupakan suatu persamaan kurva indiferensi, yaitu kurva yang menunjukan berbagai kombinasi konsumsi barang x dan y yang memberikan tingkat kepuasan yang sama.

14

∂ U Adalah utilitas marginal berkenaan dengan barang x

∂ x

∂ U Adalah utilitas marginal berkenaan dengan barang x

∂ y

• Keseimbangan konsumsi, yaitu suatu keadaan/tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan kepuasan optimum. Secara geometri, keseimbangan konsumsi terjadi pada persinggungan kurva indiferensi dengan garis anggaran konsumen. Garis anggaran konsumen adalah garis yang mencerminkan kemampuan membeli berbagai barang berkenaan dengan harganya masing-masing dan pendapatan konsumen. Jika pendapatan konsumen M, harga barang x dan y -> (Px dan Py) per unit, persamaan budget line dapat dinotasikan M = x.Px + y. Py

• Metode Lagrange :

F(x, y) = f(x, y) + λ(x. Px + y. Py – M)

agar F maksimum :

Fx (x, y) = 0 -> fx (x, y) + λPx = 0 …(1)

Fy (x, y) = 0 -> fy (x, y) + λPy = 0 …(2)

selanjutnya :

utilitias total : U = f(x, y)

utilitas marginal : MU = U’ = f’(x, y)

15

(i) Utilitas marginal barang X : MUx = fx (x, y) =∂ U

∂ x

(i) Utilitas marginal barang Y : Muy = fy (x, y) =∂ U

∂ y

16

Menurut 1 : fx (x, y) + λPx = 0 -> - λ =fx(x, y)

Py

Menurut 2 : fy (x, y) + λPy = 0 -> - λ =fy(x, y)

Px Dari 1 dan 2,

• Jadi dalam rumusan lain dapat pula dinyatakan, bahwa keseimbangan konsumsi akan tercapai apabila hasil bagi utilitas marginal masing-masing barang terhadap harganya bernilai sama.

fx(x, y)=

fy (x, y)

Px Py

MUx=

MUy

Px Py

Contoh :• Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsi barang x dan y

ditunjukan oleh fungsi utilitas U = x2 y3. jumlah pendapatan konsumen Rp. 1000, harga x dan y per unit masing-masing Rp. 25 dan Rp. 50. tentukanlah :

a. Bentuklah fungsi utilitas marginal untuk masing-masing barang ?

b. Berapa utilitas marginal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit x dan 13 unit y ?

c. Jelaskan apakah dengan mengkonsumsi 14 unit x dan 13 unit y kepuasan konsumen optimum atau tidak ?

Jawab :

d. U = x2 y3 b. Jika x = 14 dan y = 13

Berarti konsumsi 14 unit x dan 13 unit y tidak memberikan kepuasan optimum, sehingga tidak terjadi keseimbangan konsumsi.

17

MUx = Ux =∂ U

= 2xy3

∂ x

MUy = Uy =∂ U

= 3x2y3

∂ y

MUx = 2(14)(13)3 = 61.516

MUy = 3(14)2(13)3 = 99.372

MUx =

61.516= 2.460,64

Px 25

MUy =

99.372= 1.987,44

Py 50

Produk marginal parsial dan keseimbangan produksi

• Faktor produksi : tanah, modal, tenaga kerja, bahan baku, mesin dan sebagainya. Jika jumlah output = P dan input = xj (i = 1, 2…n), maka fungsi produksinya dinotasikan P = f(x1, x2, x3…xn).

• Input dibagi 2, yakni input tetap dan input variabel (K dan L), maka fungsi produksi dinotasikan P = f(k, l).

derivatif pertama dari P merupakan produk marginal parsial.

Keseimbangan produksi, yaitu suatu keadaan/tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum,

Isoquant, yaitu kurva yang menunjukan berbagai kombinasi penggunaan input K dan L yang menghasilkan output dalam jumlah sama.

Least cost combination, yaitu suatu keadaan/tingkat pencapaian produksi dengan kombinasi biaya terendah.

18

∂ P Adalah produk marginal berkenaan dengan input k

∂ k

∂ P Adalah produk marginal berkenaan dengan input l

∂ l

19

Isocost, yaitu kurva yang mencerminkan kemampuan produsen membeli berbagai macam input berkenaan dengan harga masing-masing input dan jumlah dana yang dimiliki.

Metode lagrange :

fungsi produksi yang hendak dioptimumkan : P = f(k, l)

fungsi kendala yang dihadapi (isocost) : M = k. Pk + l. Pl

fungsi lagrange : F(k, l) = f(k, l) + λ(k. Pk + l. Pl - M)

syarat agar F(k, l) maksimum :

Fk(k, l) = 0 -> fk(k, l) + λ Pk = 0 …(1)

Fl(k, l) = 0 -> fl(k, l) + λ Pl = 0 …(2)

dari 1 dan 2 nilai k dan l dapat diperoleh nilai p maksimum bisa dihitung.

selanjutnya :

produksi total : P = f(k, l)

(i) produk marginal input K : MPk = fk (k, l) =∂ P

∂ k

(ii) produk marginal input L : MPy = fl (k, l) =∂ P

∂ l

• Pengembangan persamaan 1 dan 2 menghasilkan :

syarat keseimbangan produksi dirumuskan :

Jadi dalam rumusan lain dapat dinyatakan, bahwa produksi optimum dengan kombinasi biaya terendah akan tercapai apabila hasilbagi produk marginal masing-masing input terhadap harganya bernilai sama.

20

(1) fk (k, l) + λ Pk = 0 -> fk (k, l) = -λ Pk, -λ = fk (k, l)

Pk

(2) fl (k, l) + λ Pl = 0 -> fl (k, l) = -λ Pl, -λ = fl (k, l)

Pl

fk(k, l)=

fl (k, l)

Pk Pl

MPk=

MPl

Pk Pl

Contoh :• Fungsi produksi suatu barang P = 6 K2/3 l1/3. bentuklah fungsi produksi

marginal untuk masing-masing faktor produksi, berapa produk marginal jika digunakan 8 unit K dan 27 unit L ?

Jawab :

P = 6 K2/3 l1/3

21

MPk = Pk =∂ P

= 4 k-1/3 l1/3 =4 l1/3

∂ k K1/3

Jika k = 8 dan l = 27

MPk =4(27)1/3

=4 3√27

=4(3)

= 681/3 3√8 2

MPl =2(8)2/3

=2 2√82

=2 3√64

=2 (4)

=8

272/3 3√272 3√729 9 9

22

Terima kasih, Semoga Bermanfaat