Kode Modul MAT. TKF 201- 03 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program dan Penganggaran (SP 4) Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif 2005 Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dX a
47
Embed
Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotifstaffnew.uny.ac.id/.../Modul+INTEGRAL+FUNGSI.pdf · Fungsi Majemuk Linier : adalah fungsi dari suatu fungsi lainnya yang linier
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Kode Modul
MAT. TKF 201- 03
Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif
INTEGRASI FUNGSI
Penyusun :
Martubi, M.Pd., M.T.
Sistem Perencanaan Penyusunan Program dan Penganggaran (SP 4)
Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif 2005
Y
Y = f (X)
0 a b X
A
b
A = f (X) dX
a
ii
KATA PENGANTAR
Modul dengan judul Integrasi Fungsi ini digunakan sebagai
panduan dalam kegiatan kuliah untuk membentuk salah satu sub-
kompetensi, yaitu: “Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar
dalam pemecahan masalah integrasi fungsi“. Modul ini dapat digunakan
untuk semua peserta kuliah Matematika di Semester I pada Program
Studi Pendidikan Teknik Otomotif Fakultas Teknik Universitas Negeri
Yogyakarta.
Pada modul ini disajikan konsep dasar Integrasi Fungsi dan
permasalahannya yang banyak dijumpai dalam penerapannya di bidang
teknik, baik secara teoritis maupun praktis. Modul ini terdiri atas empat
kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 membahas tentang: Integrasi Fungsi
Baku dan Fungsi Majemuk Linier. Kegiatan belajar 2 membahas tentang:
Integrasi Perkalian/Pembagian Khusus. Kegiatan belajar 3 membahas
tentang: Integral Parsial. Kegiatan belajar 4 membahas tentang: Integral
Tertentu dan Aplikasinya.
Untuk dapat mempelajari modul ini dengan mudah mahasiswa
diharapkan telah mempunyai pengetahuan dan pemahaman tentang
konsep-konsep dasar yang menunjangnya, dalam hal ini terutama konsep
tentang Diferensiasi Fungsi.
Yogyakarta, Oktober 2005
Penyusun
Martubi, M.Pd., M.T.
iii
DAFTAR ISI MODUL
Halaman
HALAMAN SAMPUL ............................................................................ i
KATA PENGANTAR ............................................................................. ii
DAFTAR ISI .......................................................................................... iii
PERISTILAHAN / GLOSSARY .............................................................. v
I . PENDAHULUAN................................................................................. 1
A. Deskripsi ......................................................................................... 1
B. Prasyarat ......................................................................................... 1
C. Petunjuk Penggunaan Modul .......................................................... 2
1. Petunjuk bagi mahasiswa .......................................................... 2
2. Petunjuk bagi dosen ............ ...................................................... 2
D. Tujuan Akhir .................................................................................. 3
E. Kompetensi .................................................................................... 3
F. Cek Kemampuan ............................................................................ 4
II. PEMBELAJARAN .............................................................................. 5
A. Rencana Belajar Mahasiswa ......................................................... 5
B. Kegiatan Belajar ............................................................................. 5
1. Kegiatan Belajar 1 ..................................................................... 5
a. Tujuan kegiatan belajar 1 ...................................................... 5
b. Uraian materi .......................................................................... 6
c. Rangkuman 1 .......................................................................... 11
d. Tugas 1 ................................................................................... 13
e. Tes formatif 1 .......................................................................... 13
f. Kunci jawab tes formatif 1 ... .................................................... 14
iv
Halaman
2. Kegiatan Belajar 2 ...................................................................... 14
a. Tujuan kegiatan belajar 2 ....................................................... 14
b. Uraian materi 2 ....................................................................... 14
c. Rangkuman 2 ..........................................................................16
d. Tugas 2 ................................................................................... 17
e. Tes formatif 2 .......................................................................... 17
f. Kunci jawab tes formatif 2 ............... ........................................ 18
3. Kegiatan Belajar 3 .................................................................... 18
a. Tujuan kegiatan belajar 3 ....................................................... 18
b. Uraian materi 3 ....................................................................... 18
c. Rangkuman 3 ......................................................................... 25
d. Tugas 3 .................................................................................. 26
e. Tes formatif 3 ......................................................................... 27
f. Kunci jawab tes formatif 3 ............... ...................................... 27
4. Kegiatan Belajar 4 .................................................................... 27
a. Tujuan kegiatan belajar 4 ....................................................... 27
b. Uraian materi 4 ....................................................................... 28
c. Rangkuman 4 ......................................................................... 35
d. Tugas 4 .................................................................................. 36
e. Tes formatif 4 ......................................................................... 37
f. Kunci jawab tes formatif 4 ............... ...................................... 38
III. EVALUASI ...................................................................................... 39
A. Pertanyaan .................................................................................. 39
B. Kunci Jawaban ............................................................................ 39
C. Kriteria Kelulusan ........................................................................ 40
IV. PENUTUP ........................................................................................ 41
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 42
v
PERISTILAHAN / GLOSSARY
Fungsi Baku : adalah fungsi yang sudah ada rumus integralnya.
Fungsi Majemuk Linier : adalah fungsi dari suatu fungsi lainnya yang
linier ( pangkat satu ).
Integrasi Fungsi : adalah operasi balikan ( invers) dari diferensiasi yang
berarti mencari fungsi induk dari suatu turunan tertentu.
Integral Parsial : adalah suatu proses integral dari bentuk perkalian dan
pembagian yang unsur-unsurnya saling asing ( unsur yang satu
bukan turunan dari unsur lainnya).
Integral Perkalian/Pembagian khusus: adalah suatu proses integral dari
bentuk perkalian dan pembagian dengan unsur yang satu
merupakan turunan dari unsur lainnya.
Integral Tertentu: adalah suatu proses perhitungan integral dengan
batas-batas tertentu yang telah ditentukan.
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Modul dengan judul Integrasi Fungsi ini membahas tentang
konsep dasar Integrasi Fungsi serta permasalahannya yang banyak
dijumpai dalam penerapannya di bidang teknik, baik secara teoritis
maupun praktis. Materi yang dipelajari mencakup: Integrasi Fungsi Baku
dan Fungsi Majemuk Linier, Integrasi Perkalian/Pembagian Khusus,
Integral Parsial dan Integral tertentu beserta Aplikasinya.
Modul ini terdiri atas empat kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1
membahas tentang: Integrasi Fungsi Baku dan Fungsi Majemuk Linier.
Kegiatan belajar 2 membahas tentang: Integrasi Perkalian/Pembagian
Khusus. Kegiatan belajar 3 membahas tentang: Integral Parsial.
Kegiatan belajar 4 membahas tentang: Integral tertentu dan Aplikasinya.
Pada setiap kegiatan belajar selalu dilengkapi dengan contoh soal
dan pembahasannya beserta latihan-latihan seperlunya untuk
membantu mahasiswa dalam mencapai kompetensi yang diharapkan.
Setelah selesai mempelajari modul ini mahasiswa diharapkan
mempunyai sub kompetensi “Menggunakan konsep, sifat, dan
manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi“
B. Prasyarat
Modul ini berisi materi-materi yang memerlukan dukungan materi
lain yang semestinya telah dipelajari sebelumnya. Adapun materi-
materi dasar yang seharusnya telah difahami oleh peserta kuliah di
Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif terutama adalah konsep dasar
tentang : Diferensiasi Fungsi ( Modul MAT. TKF 201- 02 ).
2
C. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Petunjuk bagi Mahasiswa
Agar diperoleh hasil belajar yang maksimal, maka dalam
menggunakan modul ini ada beberapa prosedur yang perlu
diperhatikan, dan dilaksanakan antara lain :
a. Bacalah dan fahami dengan seksama uraian konsep-konsep
teoritis yang disajikan pada modul ini, kemudian fahami pula
penerapan konsep-konsep tersebut dalam contoh-contoh soal
beserta cara penyelesaiannya. Bila terpaksa masih ada materi
yang kurang jelas dan belum bisa difahami dengan baik para
mahasiswa dapat menanyakan kepada dosen yang mengampu
kegiatan perkuliahan.
b. Coba kerjakan setiap tugas formatif (soal latihan) secara mandiri,
hal ini dimaksudkan untuk mengetahui seberapa besar
pemahaman yang telah dimiliki setiap mahasiswa terhadap
materi-materi yang dibahas pada setiap kegiatan belajar.
c. Apabila dalam kenyataannya mahasiswa belum menguasai materi
pada level yang diharapkan, coba ulangi lagi membaca dan
mengerjakan lagi latihan-latihannya dan kalau perlu bertanyalah
kepada dosen yang mengampu kegiatan perkuliahan yang
bersangkutan. Kalau materi yang bersangkutan memerlukan
pemahaman awal (prasyarat) maka yakinkan bahwa prasyarat
yang dimaksud benar-benar sudah dipenuhi.
2. Petunjuk Bagi Dosen
Dalam setiap kegiatan perkuliahan, dosen mempunyai tugas dan
peran untuk :
a. Membantu mahasiswa dalam merencanakan proses belajar.
b. Membimbing mahasiswa melalui tugas-tugas atau latihan-latihan
yang dijelaskan dalam tahab belajar.
c. Membantu mahasiswa dalam memahami konsep baru dan
menjawab pertanyaan mahasiswa apabila diperlukan.
3
d. Membantu mahasiswa untuk mengakses sumber belajar lain yang
diperlukan.
e. Mengorganisir kegiatan belajar kelompok jika diperlukan.
f. Merencanakan seorang ahli/dosen pendamping jika diperlukan.
g. Mengadakan evaluasi terhadap pencapaian kompetensi
mahasiswa yang telah ditentukan. Evaluasi tersebut pelaksanaan-
nya pada setiap akhir kegiatan belajar.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari seluruh materi kegiatan belajar dalam modul
ini mahasiswa diharapkan dapat : “Menggunakan konsep, sifat, dan
manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi“.
E. Kompetensi
Modul MAT. TKF 201-03 dengan judul Integrasi Fungsi ini
disusun dalam rangka membentuk sub-kompetensi “Menggunakan
konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah
integrasi fungsi“.
Untuk mencapai sub-kompetensi tersebut, terlebih dahulu harus
dapat dicapai sub-sub kompetensi beserta kriteria unjuk kerjanya
melalui lingkup belajar dengan materi pokok pembelajaran sebagai
berikut :
Sub Kompetensi
Kriteria Unjuk Kerja
Lingkup Belajar
Materi Pokok Pembelajaran
Sikap Pengetahuan Ketrampilan
Mengguna-kan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi.
1.Menjelaskan
pengertian/kon-sep, notasi dan sifat-sifat inte-grasi fungsi .
2. Menyelesaikan masalah integra- si fungsi baku
1.Pengertian, notasi dan
sifat-sifat integrasi fungsi .
22. Integrasi fungsi baku.
.
Teliti dan
cermat dalam menulis simbol dan me-lakukan perhi-tungan
1.Pengertian, notasi dan
sifat-sifat integrasi fungsi .
2. Integrasi fungsi baku.
Menghitung dengan prosedur dan hasil yang benar
4
F. Cek Kemampuan
Sebelum mempelajari Modul MAT. TKF 201 – 03 ini, isilah dengan
tanda cek ( ) pertanyaan yang menunjukkan kompetensi yang telah
dimiliki mahasiswa dengan jujur dan dapat dipertanggungjawabkan :
Sub
Kompetensi Pertanyaan
Jawaban Bila Jawaban “Ya“
Kerjakan Ya Tidak
Mengguna-kan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi.
1. Saya mampu menjelaskan pengertian, notasi dan sifat-sifat integrasi fungsi.
Tes Formatif 1 Nomor : 1
2. Saya dapat menyelesaikan permasa- lahan integrasi fungsi baku.
Tes Formatif 1 Nomor : 2 a, b, f, g
3. Saya dapat menyelesaikan permasa- lahan integrasi fungsi majemuk linier.
Tes Formatif 1 No: 2 c, d, e, h, i, j
4. Saya dapat menyelesaikan permasa- lahan integrasi fungsi perkalian / pembagian khusus
Tes Formatif 2 Nomor : 1 sd. 10
5. Saya dapat menyelesaikan permasa- lahan integrasil parsial
Tes Formatif 3 Nomor : 1 sd. 5
6. Saya dapat menyelesaikan permasa- lahan integral tertentu dan aplikainya.
Tes Formatif 4 Nomor : 1 sd. 3
Apabila mahasiswa menjawab Tidak maka pelajari modul ini
sesuai materi yang dijawab Tidak tersebut.
Sub Kompetensi
Kriteria Unjuk Kerja
Lingkup Belajar
Materi Pokok Pembelajaran
Sikap Pengetahuan Ketrampilan
Mengguna-kan konsep, aturan dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah integrasi fungsi.
3. Menyelesaikan
masalah integra-si fungsi maje-muk linier.
4. Menyelesaikan masalah integra-si fungsi perka-lian / pembagian khusus.
5. Menyelesaikan masalah integral parsial
6. Menyelesaikan masalah integral tertentu dan apli-kasinya.
.3 3. Integrasi
fungsi majemuk
linier 4. Integrasi
fungsi per-kalian/pem- bagian khusus.
5. Integral parsial
6. Integral
tertentu dan aplikasinya.
Teliti dan cermat dalam menulis simbol dan me-lakukan perhi-tungan
. 3. Integrasi
fungsi majemuk
linier 4. Integrasi
fungsi per-kalian/pem- bagian khusus.
5. Integral parsial
6. Integral
tertentu dan aplikasinya
Menghitung dengan prosedur dan hasil yang benar
5
BAB II
PEMBELAJARAN
A. Rencana Belajar Mahasiswa
Buatlah rencana kegiatan belajar dengan mengisi tabel di bawah
ini dan mintalah bukti belajar kepada dosen setelah selesai.
Jenis Kegiatan Tanggal Waktu Tempat Belajar
Alasan Perubahan
Paraf Dosen
1. Pengertian, dan notasi integrasi fungsi.
2. Integrasi fungsi baku.
3. Integrasi fungsi majemuk
linier
4. Integrasi fungsi perkalian /
pembagian khusus.
5. Integral parsial.
6. Integral tertentu dan aplikasinya
B. Kegiatan Belajar.
1. Kegiatan Belajar 1 : Integrasi Fungsi Baku dan Majemuk Linier
a. Tujuan Kegiatan Belajar 1 :
1). Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian, notasi dan sifat-
sifat integrasi fungsi.
2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi fungsi
baku.
3). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi fungsi
majemuk linier.
6
b. Uraian Materi 1 :
1). Pengertian, dan Notasi Integrasi Fungsi :
Integrasi Sebagai Anti Diferensiasi
Di dalam matematika banyak dijumpai pasangan operasi
yang saling merupakan balikan ( anti ), misalnya : penjumlahan
dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan
dan penarikan akar serta logaritma dan perhitungan logaritma.
Operasi balikan lainnya yang akan dibahas pada bagian ini
adalah integrasi ( hitung integral ) sebagai operasi anti dari
diferensiasi ( hitung diferensial )
Pada operasi deferensial permasalahnnya yaitu
menentukan fungsi turunan dari dari sebuah fungsi yang telah
diketahui, maka pada integrasi permasalahannya yaitu
menentukan fungsi asal ( induk ) dari suatu fungsi turunan yang
telah diketahui. Misalnya turunan dari f (X) adalah f´ (X) maka:
Diferensiasi : mencari f ’ (X) jika f (X) diketahui .
Integrasi : mencari f (X) jika f ‘(X) diketahui .
Selanjutnya untuk untuk memudahkan cara penulisannya,
digunakan notasi Leibniz yaitu dengan lambang f (X) dX
untuk menyatakan integral dari fungsi f (X) atau integral
f (X) terhadap X . Misal diketahui f (X) = sin X maka
integrasinya terhadap X ditulis sin X dX .
Integrasi fungsi memiliki sifat-sifat seperti pada operasi
diferensiasi, yang dapat di tulis sebagai berikut:
{ f (X) + g (x) } dX = f (X) dX + g (X) dX
{ f (X) – g (x) } dX = f (X) dX – g (X) dX
k. f (X) dX = k. f (X) dX
dalam hal ini f (X) dan g(X) = fungsi X ; k = bilangan konstan
7
Integrasi Fungsi Baku :
Berdasarkan rumus – rumus dasar diferensiasi fungs, maka
dengan jalan membalik operasinya akan diperoleh rumus –
rumus dasar integrasi fungsi baku sebagai berikut :
( Jika C = bilangan konstan , dan n = bilangan riil )
k
1. kXn dX = X n + 1 + C ( asal n ≠ -1 ) n + 1
k
2. dX = k. ln X + C X
3. eX dX = eX + C
1
4. ekX dX = e kX + C k
aX
5. aX dX = + C ln a
6. cos X dX = sin X + C
7. sin X dX = – cos X + C
8. sec2 X dX = tg X + C
9. cosh X dX = sinh X + C
10. sinh X dX = cosh X + C
1
11. dX = arc. sin X + C
1 – X2
–1
12. dX = arc . cos X + C
1 – X2
1
13. dX = arc. tg X + C 1 + X2
8
1
14. dX = arc. sinh X + C
X2 +1
1
15. dX = arc. cosh X + C
X2 –1 1
16. dX = arc. tgh X + C 1 – X2
Rumus-rumus di atas dinamakan integral tak tentu,
karena masih terdapat suatu konstanta yang belum di ketahui
harganya yaitu C.
Untuk lebih jelasnya dalam memahami rumus-rumus
dasar beserta sifat-sifat integrasi tersebut berikut diberikan
beberapa contoh penerapannya:
1
a). X7 dX = X8 + C 8 5
b). dX = 5 ln X + C X
c). 3 eX dX = 3 eX + C 5
d). 5 e6X dX = e6X + C 6 5X
e). 5X dX = + C ln 5
f). 23 cos X dX = 23 sin X + C
g). 7 sin X dX = 7(– cos X) + C = – 7 cos X + C
h). ( 4 sec2 X – 5 cos X ) dX = 4 tg X – 5 sin X + C
i). ( 9 cos X + 7 sin X ) dX = 9 sin X – 7 cos X + C
9
5
j). dX = 5 arc . cos X + C
1 – X2
7
k). dX = – 7 arc . cosh X + C
X2 – 1
12
l). dX = 12 arc . sinh X + C
1 + X2
– 3
m). dX = 3 arc . cos X + C
1 – X2
Integral Fungsi Majemuk dari Suatu Fungsi Linier
Kadang-kadang kita harus mengintegralkan suatu fungsi
majemuk, yaitu fungsi yang bentuknya mirip dengan bentuk
pada rumus dasar, tetapi dengan X diganti oleh fungsi linier
dalam X, misalnya (3X + 4)7 dX, (5X– 6)½ dX, sin 6X dX,
sinh ( 4X + 3) dX, cos (7– 3X ) dX dan sebagainya.
Pada soal (3X + 4)7 dX dimisalkan (3X + 4) = Z, maka
bentuk tersebut menjadi Z7 dX. Karena variabelnya belum
sesuai maka untuk dapat diselesaikan perlu disesuaikan dahulu,
yaitu dengan kaidah sebagai berikut :
dX
Z 7 dX = Z 7 dZ dZ dZ dX 1
Karena Z = 3X + 4 maka = 3 = dX dZ 3 dX 1 1 1
Z 7 dZ = Z 7. dZ = Z 7 dZ = Z 8 + C dZ 3 3 3.8
1
Jadi : (3X + 4)7 dX = ( 3X + 4 )8 + C 24
10
Jika diperhatikan ternyata kaidah dasar pengintegralan
tetap berlaku, tetapi masih harus dibagi dengan koefisien X.
Hal ini berlaku umum untuk semua fungsi baku yang terdapat
pada rumus dasar di depan.
Secara umum dapat dirumuskan bahwa : Jika Z = (aX + b)
maka:
k
k (aX + b) n dX = (aX + b ) n+1 + C a ( n+1)
Kaidah ini berlaku untuk semua rumus fungsi baku di atas jika
X diganti ( aX + b ) sesuai bentuk integral bakunya.
Contoh :
a). sin (5X – 7) dX = –1/5 cos (5X – 7 ) + C
1
b). e3X – 2 dX = e3X – 2 + C 3
35X
c). 3 5X dx = + C 5 ln 3
1 ln (4X + 3)
d). dX = + C 4X + 3 4
e). sec 2 (10X + 8) dX = 1/10 . tg (10X + 8) + C
1 arc .sin 3X
f). dX = + C
1 – 9X 2 3
5
g) dX = 5 arc.tgh 2X + C 1 – 4X2
11
c. Rangkuman 1 :
1). Pengertian, Notasi dan Sifat Integrasi Fungsi.
Integrasi Fungsi : adalah sebuah operasi dari diferensiasi
fungsi, yaitu sebuah proses mencari induk
dari suatu fungsi turunan tertentu.
Integral dinotasikan dengan lambang :
Integrasi fungsi memiliki sifat-sifat seperti pada operasi
diferensiasi, yang dapat di tulis sebagai berikut:
{ f (X) + g (x) } dX = f (X) dX + g (X) dX
{ f (X) – g (x) } dX = f (X) dX – g (X) dX
k. f (X) dX = k. f (X) dX
dalam hal ini f (X) dan g(X) = fungsi X ; k = bilangan konstan
2). Integrasi Fungsi Baku
Untuk mencari integral fungsi baku digunakan rumus :
1
a. Xn dX = X n + 1 + C ( asal n ≠ 1 ) n + 1
1
b. dX = ln X + C X
c. eX dX = eX + C
1
d. ekX dX = e kX + C k
aX
e. aX dX = + C ln a
12
f. cos X dX = sin X + C
g. sin X dX = – cos X + C
h. sec2 X dX = tg X + C
i. cosh X dX = sinh X + C
j. sinh X dX = cosh X + C
1
k. dX = arc. sin X + C
1 – X2
–1
l. dX = arc . cos X + C
1 – X2
1
m. dX = arc.tg X + C 1 + X2
1
n. dX = arc.sinh X + C
X2 +1
1
o. dX = arc.cosh X + C
X2 –1 1
p. dX = arc.tgh X + C 1 – X2
3). Integrasi Fungsi Majemuk Linier
Secara umum jika Z = (aX + b) maka: k Z n dX dapat
dihitung dengan rumus :
k
k Z n dX = (aX + b ) n+1 + C a (n + 1)
Kaidah ini berlaku untuk semua rumus fungsi baku di atas jika
X diganti ( aX + b ) sesuai bentuk integral bakunya.
13
d. Tugas 1:
Tentukanlah integral – integral berikut ini :
1). (X3 –3X2 + 4X – 5) dX 9). 7(X2 – 1) – ½ dX
2). ( 3 sin X – 2 cos X) dX 10). 2 sec2 X dX
7
3). ( eX – e2X) dX 11). ( – X) dX X
4). 6 ( 1 – X2 ) –½ dX 12). (9X + 10X) dX
5). (2X – 7) 4 dX 13). cosh (1 + 4X) dX
6). e 5X – 4 dX 7
14). dX
7). sinh 7X dX 2X - 3
8). 5 3X+2 dX 15). 5 (1 + 4X2) – ½ dX
e. Tes formatif 1 :
1). Jelaskan pengertian, notasi dan sifat-sifat dari integrasi fungsi !
2). Tentukanlah integral – integral berikut ini :
4
a). (X– 3 + X – ) dX f). ( 4 – 3 sinh X ) dX X2
– 4 1
b). dX g). ( X – ) 2 dX 1 + X2 X
c). cos (7X – 2) dX h). sec 2 (3X + 5) dX
d). (5X – 8)7 dX i). cosh (3 + 7X) dX
e). 74X + 5 dX j). 3 (1 + 16X2) – ½ dX
14
f. Kunci Jawab Tes Formatif 1 :
1). Lihat rangkuman 1, nomor 1) halaman 11 modul ini .
4 2). a). –½ X– 2 + ½ X 2 + + C f). 4 X – 3 cosh X + C X 1 b). – 4 arc.tg X + C g). ⅓⅓ X3 – 2X – + C X
c). sin (7X – 2) + C h). ⅓⅓tg (3X + 5) + C
d). (5X – 8)8 + C i). sinh (3 + 7X) + C
74X + 5 j). ¾ arc. sinh 4X + C e). + C 4 ln 7
2. Kegiatan Belajar 2 : Integrasi Fungsi Perkalian / Pembagian
Khusus
a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 :
1). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi
perkalian khusus.
2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah integrasi
pembagian khusus.
b. Uraian Materi 2 :
Integrasi Fungsi Perkalian / Pembagian Khusus
Yang dimaksud perkalian dan pembagian khusus pada
bagian ini yaitu perkalian / pembagian antara sebuah fungsi
dengan turunan (diferensiasinya).
Jika diketahui suatu fungsi f (X) dan turunanya f ‘ (X) maka
bentuk integral perkalian khusus tersebut dapat ditulis :
f (X). f ‘ (X) dX, atau jika dimisalkan Z = f (X) dan turunan
Z terhadap X adalah dZ = f ‘ (X) dX maka bentuk tersebut
menjadi Z dZ, sehingga integralnya dapat dicari dengan
rumus :
Z dZ = ½ Z 2 + C
15
Contoh :
1). Tentukan integral dari tg X . sec2 X dX Jawab : Misal Z = tg X maka dZ = sec2 X dX
tgX sec2 X dX = ½ tg2 X + C
ln X 1
2). dX = ln X . dX = ln X d (ln X )
X X
= ½ ( ln X )2 + C
3). sinh X. cosh X dX = sinh X d (sinh X ) = ½ sinh2 X + C
4). (3X2 – 2X + 4) . (6X – 2) dX = ½ ( 3X2 – 2X + 4 )2 + C sin –1 X
5). dX = sin –1 X . d (sin –1 X)
1 – X2
= ½ ( sin –1 X ) 2 + C
1
Selanjutnya untuk pembagian khusus, yaitu dZ maka Z penyelesainnya sama dengan rumus dasar nomor b, yaitu :
1
dX = ln X + C X
Jadi untuk bentuk pembagian khusus ini berlaku rumus