Kompleksni brojevi, istorijska perspektiva€¦ · Kompleksni brojevi, istorijska perspektiva Nenad Teofanov 24. II 2017. Dobro do sli na prvo predavanje! Nenad Teofanov (Novi Sad)

Kompleksni brojevi, istorijska perspektiva

Nenad Teofanov

24. II 2017.

Dobro dosli na prvo predavanje!

Nenad Teofanov (Novi Sad) Kompleksni brojevi Elementarna mat. 2 1 / 27

Kratak sadrzaj kursa

U ovom semestru ce se obraditi sledece teme:

• kompleksni brojevi;

• osnovne kombinatorne strukture;

• upotreba kvantifikatora: indeksirane familije skupova;

• definicija realnih brojeva kao Dedekindovih preseka;

• svojstvo kompaktnosti u skupu realnih brojeva.

Osnovna ideja prvog predavanja je upotreba istorijskog pristupa priuvodenju pojma kompleksnog broja.
























































Istorijski kontekst kraj XV i pocetak XVI veka

1455. Gutenberg stampa Bibliju(https://www.youtube.com/watch?v=Aq8zHeiSiEk), otprilike 190primeraka je izaslo iz prese. Danas je poznato da postoji 49primeraka tih knjiga, od kojih su 23 potpune. Procenjuje se da jevrednost takve knjige oko 28 000 000 Evra.

1492. Kolumbo se iskrcava na Bahamska ostrva, nakon cega je otkrivenamericki kontinent;

1498. Leonardo da Vinci crta Tajnu veceru, a 1503-1506. Mona Lizu;

1505. Mikelandelo pocinje da oslikava Sistinsku kapelu;

1517. Martin Luter objavljuje 95 “teza“.

1543. Kopernik objavljuje knjigu “O kretanju nebeskih tela“.


















































Luka Pacoli Fra Luca Bartolomeo de Pacioli (1447(?)-1517)


Luka Pacoli traktat o sahu, rukopis otkriven 2006. godine


kubna jednacina linearna smena

Posmatra se jednacina

x3 + ax2 + bx+ c = 0. (1)

Ako je X = x− d, onda iz (1) sledi

(X + d)3 + a(X + d)2 + b(X + d) + c = 0

X3 + (3d+ a)X2 + (3d+ 2ad+ b)X + (d3 + ad2 + bd+ c) = 0.

Za d = −a/3 dobija se jednacina

X3 = pX + q, (2)

p = −3d2 − 2ad− b = b+a2

3,

q = −(d3 + ad2 + bd+ c).

U to vreme posmatrali su se samo pozitivni koeficijenti.Nenad Teofanov (Novi Sad) Kompleksni brojevi Elementarna mat. 2 6 / 27



x3 + ax2 + bx+ c = 0. (1)


(X + d)3 + a(X + d)2 + b(X + d) + c = 0



X3 = pX + q, (2)

p = −3d2 − 2ad− b = b+a2

3,

q = −(d3 + ad2 + bd+ c).




x3 + ax2 + bx+ c = 0. (1)


(X + d)3 + a(X + d)2 + b(X + d) + c = 0



X3 = pX + q, (2)

p = −3d2 − 2ad− b = b+a2

3,

q = −(d3 + ad2 + bd+ c).




x3 + ax2 + bx+ c = 0. (1)


(X + d)3 + a(X + d)2 + b(X + d) + c = 0



X3 = pX + q, (2)

p = −3d2 − 2ad− b = b+a2

3,

q = −(d3 + ad2 + bd+ c).




x3 + ax2 + bx+ c = 0. (1)


(X + d)3 + a(X + d)2 + b(X + d) + c = 0



X3 = pX + q, (2)

p = −3d2 − 2ad− b = b+a2

3,

q = −(d3 + ad2 + bd+ c).




x3 + ax2 + bx+ c = 0. (1)


(X + d)3 + a(X + d)2 + b(X + d) + c = 0



X3 = pX + q, (2)

p = −3d2 − 2ad− b = b+a2

3,

q = −(d3 + ad2 + bd+ c).


kubna jednacina u potrazi za formulom

• Oko 1515. godine del Fero (Scipione del Ferro) resava jednacinux3 +mx = n;

• Njegov ucenik Fiore je upoznat sa tim resenjem, a del Ferov zetNave (della Nave) dobija rukopis sa formulom.

• 1530. Tartalja (Niccolo Fontana Tartaglia) resava jednacinux3 + 3x = 5;

• Fiore izaziva Tartalju na matematicki dvoboj koji je odrzan uBolonji;

• 13. februara 1535. godine Tartalja resava jednacinu x3 = mx+ n;

• 25. marta 1539. godine Kardano (Gerolamo Cardano) u Milanunagovara Tartalju da mu otkrije formule za resavanje kubnihjednacina;











































• 1543. godine Kardano i Ferari (Ferrari) putuju u Bolonju gde imNave pokazuje del Ferovu svesku;

• 1545. godine Kardano objavljuje knjigu Ars Magna sa formulamaza resavanje jednacina treceg i cetvrtog stepena;

• Nakon toga pocinje svada kroz pisma, knjige i “dvoboj“ Ferarija iTartalje 10. avgusta 1548. godine;

• 1572. godine Bombeli (Rafael Bombelli) objavljuje knjiguL’Algebra u kojoj primenjuje aritmeticke operacije na fiktivnevelicine.

“Kardano je bio jedna od prvih znacajnih licnosti u matematici koja jenapisala autobiografiju.“1

1Kit Devlin, Nedovrsena igra, Centar za promociju nauke, MI SANU, 2015.Nenad Teofanov (Novi Sad) Kompleksni brojevi Elementarna mat. 2 8 / 27





























Kardano Ars Magna


Bombeli Algebra


kubna jednacina formula za resenje

U modernoj notaciji, za x3 = mx+ n resenje koje je Kardano objavioglasi

x =3

√n

2+

√(n2

)2−(m

3

)3+

3

√n

2−√(n

2

)2−(m

3

)3.

Kardano smatra da formula nije primenljiva kada je(n2

)2−(m

3

)3< 0.

Kardanov primer zadatka sa beskorisnim resenjem:Odrediti brojeve ciji je zbir jednak 10, a proizvod 40.U modernoj notaciji resenja su

5 +√−15 i 5−

√−15.

Ovo se smatra prvim eksplicitnim navodenjem korena iz negativnogbroja u matematici.




x =3

√n

2+

√(n2

)2−(m

3

)3+

3

√n

2−√(n

2

)2−(m

3

)3.


)2−(m

3

)3< 0.


5 +√−15 i 5−

√−15.





x =3

√n

2+

√(n2

)2−(m

3

)3+

3

√n

2−√(n

2

)2−(m

3

)3.


)2−(m

3

)3< 0.


5 +√−15 i 5−

√−15.





x =3

√n

2+

√(n2

)2−(m

3

)3+

3

√n

2−√(n

2

)2−(m

3

)3.


)2−(m

3

)3< 0.


5 +√−15 i 5−

√−15.





x =3

√n

2+

√(n2

)2−(m

3

)3+

3

√n

2−√(n

2

)2−(m

3

)3.


)2−(m

3

)3< 0.


5 +√−15 i 5−

√−15.



kubna jednacina primer

U Algebri, Bombeli uvodi posebnu notaciju:√4 +√

6 ! Rb4pR6c, 3

√2 +√

0− 121 ! R3b2pRb0m121cc.

On takode sprovodi racun kojim opravdava primenu Kardanoveformule.Formula za resenje jednacine x3 = 15x+ 4 je

x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121.

Jedno od resenja, x = 4 Bombeli izvodi vestom manipulacijom(preostala resenja su −2±

√3).

Bombeli je pretpostavio da je 3√

2±√−121 velicina istog oblika, to jest

da je

3

√2±√−121 = a± b

√−1 ⇐⇒ 2±

√−121 = (a± b

√−1)3




6 ! Rb4pR6c, 3

√2 +√

0− 121 ! R3b2pRb0m121cc.


x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121.


√3).



da je

3

√2±√−121 = a± b

√−1 ⇐⇒ 2±

√−121 = (a± b

√−1)3




6 ! Rb4pR6c, 3

√2 +√

0− 121 ! R3b2pRb0m121cc.


x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121.


√3).



da je

3

√2±√−121 = a± b

√−1 ⇐⇒ 2±

√−121 = (a± b

√−1)3




6 ! Rb4pR6c, 3

√2 +√

0− 121 ! R3b2pRb0m121cc.


x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121.


√3).



da je

3

√2±√−121 = a± b

√−1 ⇐⇒ 2±

√−121 = (a± b

√−1)3




6 ! Rb4pR6c, 3

√2 +√

0− 121 ! R3b2pRb0m121cc.


x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121.


√3).



da je

3

√2±√−121 = a± b

√−1 ⇐⇒ 2±

√−121 = (a± b

√−1)3


kubna jednacina Bombelijev racun

(a± b√−1)3 = 2±

√−121

(a+ b√−1)3(a− b

√−1)3 = (2 +

√−121)(2−

√−121)

(a2 + b)3 = 125

a2 + b = 5.

Iz jednacine x3 = 15x+ 4 i Kardanove formule:

x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121 = (a+ b

√−1) + (a− b

√−1) = 2a

sledi 8a3 = 30a+ 4, pa Bombeli dobija a = 2 i b = 1.Prema tome, x = 4.Kardanova formula, u ovom slucaju, ukljucuje kompleksne brojeve, aipak daje tri realna resenja.



(a± b√−1)3 = 2±

√−121

(a+ b√−1)3(a− b

√−1)3 = (2 +

√−121)(2−

√−121)

(a2 + b)3 = 125

a2 + b = 5.


x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121 = (a+ b

√−1) + (a− b

√−1) = 2a




(a± b√−1)3 = 2±

√−121

(a+ b√−1)3(a− b

√−1)3 = (2 +

√−121)(2−

√−121)

(a2 + b)3 = 125

a2 + b = 5.


x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121 = (a+ b

√−1) + (a− b

√−1) = 2a




(a± b√−1)3 = 2±

√−121

(a+ b√−1)3(a− b

√−1)3 = (2 +

√−121)(2−

√−121)

(a2 + b)3 = 125

a2 + b = 5.


x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121 = (a+ b

√−1) + (a− b

√−1) = 2a




(a± b√−1)3 = 2±

√−121

(a+ b√−1)3(a− b

√−1)3 = (2 +

√−121)(2−

√−121)

(a2 + b)3 = 125

a2 + b = 5.


x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121 = (a+ b

√−1) + (a− b

√−1) = 2a




(a± b√−1)3 = 2±

√−121

(a+ b√−1)3(a− b

√−1)3 = (2 +

√−121)(2−

√−121)

(a2 + b)3 = 125

a2 + b = 5.


x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121 = (a+ b

√−1) + (a− b

√−1) = 2a




(a± b√−1)3 = 2±

√−121

(a+ b√−1)3(a− b

√−1)3 = (2 +

√−121)(2−

√−121)

(a2 + b)3 = 125

a2 + b = 5.


x =3

√2 +√−121 +

3

√2−√−121 = (a+ b

√−1) + (a− b

√−1) = 2a



kubna jednacina koren iz negativnog broja

Kardanove formule u opstem slucaju daju veoma komplikovan izraz.Sa prakticnog stanovista, odgovarajuci iterativni postupci nalazenjapriblizne vrednosti korena su cesto efikasniji od upotrebe Kardanovihformula.Na primer, x = 1 je ocigledno resenje jednacine x3 = 5x− 4, aKardanova formula daje

x =3

√−2 +

√−17/27 +

3

√−2−

√−17/27.

1673. Hajgens (Christiaan Huygens) pise Lajbnicu (Gottfried Wilhelm(von) Leibniz): “Ko bi ikad poverovao da je√

1 +√−3 +

√1−√−3 =

√6,

ima u tome neceg skrivenog sto izmice mojoj spoznaji.“




x =3

√−2 +

√−17/27 +

3

√−2−

√−17/27.


1 +√−3 +

√1−√−3 =

√6,





x =3

√−2 +

√−17/27 +

3

√−2−

√−17/27.


1 +√−3 +

√1−√−3 =

√6,





x =3

√−2 +

√−17/27 +

3

√−2−

√−17/27.


1 +√−3 +

√1−√−3 =

√6,



kompleksni brojevi aritmetika

• 1748. Ojler (Leonhard Euler) uvodi oznaku i =√−1. On je

dokazao i jednu od najslavnijih matematickih formula:

eix = cosx+ i sinx, x ∈ R.

(De Moavr (Abraham de Moivre) je 1707. dokazao svoju formulu,koju je Ojler uopstio.)

• Tokom XVIII veka koristili su se kompleksni brojevi, ali je teknjihova geometrijska interpretacija omogucila bolji uvid u njihova“misteriozna“ svojstva.

• 1797. Vesel (Caspar Wessel),

• 1806. Agran (Jean Robert Agrand),

• 1828. Veren (John Warren),interpretiraju kompleksne brojeve kao tacke u kompleksnoj ravni.Njihova zapazanja u to vreme nisu izazvala dovoljno paznje, zarazliku od Gausovog rada na tu temu.





















































• 1831. Gaus (Carl Friedrich Gauss) objavljuje rad “Theoriaresidorum biquadraticorum”, u kojem se navodi geometrijskareprezentacija kompleksnih brojeva.

• 1833. Hamilton (Sir William Rowan Hamilton) razvija aritmetikupredstavljanjem kompleksnih brojeva kao uredenih parova realnihbrojeva.

Gaus je dao ime kompleksnim brojevima i uveo notaciju po kojoj sekompleksan broj moze predstaviti u obliku z = x+ iy, pri cemu sux, y ∈ R realni i imaginarni deo broja z ∈ C, tim redom.Ova interpretacija omogucava jednostavnu primenu operacija nadkompleksnim brojevima.Ako je z = a+ ib i w = c+ id, onda je

z · w = (a+ ib)(c+ id)

= ac+ adi+ bci+ bdi2

= ac− bd+ (ad+ bc)i.






z · w = (a+ ib)(c+ id)








z · w = (a+ ib)(c+ id)








z · w = (a+ ib)(c+ id)








z · w = (a+ ib)(c+ id)








z · w = (a+ ib)(c+ id)




kompleksni brojevi primer

Sledeci primeri ilustruju imaginarnu prirodu kompleksnih brojeva.Dokazati da je proizvod zbira kvadrata celih brojeva jednak zbirukvadrata celih brojeva.

(a2 + b2)(c2 + d2) = (a+ bi)(a− bi)(c+ di)(c− di)= (a+ bi)(c+ di)(a− bi)(c− di)= ((ac− bd) + (ad+ bc)i)((ac− bd)− (ad+ bc)i)

= u2 + v2,

gde je u = ac− bd, v = ad+ bc.





= u2 + v2,






= u2 + v2,






= u2 + v2,






= u2 + v2,






= u2 + v2,




Proizvoljan kompleksni broj z = x+ iy, sa celobrojnim realnim iimaginarnim delom generise Pitagorine trojke na sledeci nacin.Vazi z2 = x2 − y2 + 2xyi.Ako je a = |x2 − y2| i b = 2|xy|, onda je

a2 + b2 = (x2 − y2)2 + 4x2y2

= x4 + 2x2y2 + y4

= (x2 + y2)2

= c2,

pa su a, b i c = x2 + y2 brojevi koji cine Pitagorinu trojku.Na primer, za z = 4 + 7i, a = 33, b = 56, a c = 65.Vazi:

332 + 562 = 1089 + 3136 = 4225 = 652.




a2 + b2 = (x2 − y2)2 + 4x2y2

= x4 + 2x2y2 + y4

= (x2 + y2)2

= c2,


332 + 562 = 1089 + 3136 = 4225 = 652.




a2 + b2 = (x2 − y2)2 + 4x2y2

= x4 + 2x2y2 + y4

= (x2 + y2)2

= c2,


332 + 562 = 1089 + 3136 = 4225 = 652.




a2 + b2 = (x2 − y2)2 + 4x2y2

= x4 + 2x2y2 + y4

= (x2 + y2)2

= c2,


332 + 562 = 1089 + 3136 = 4225 = 652.




a2 + b2 = (x2 − y2)2 + 4x2y2

= x4 + 2x2y2 + y4

= (x2 + y2)2

= c2,


332 + 562 = 1089 + 3136 = 4225 = 652.


Gaus, 1825. godine: Istinska metafizika√−1 je nepojmljiva

• Skup realnih brojeva nije dovoljan da obuhvati velicinu ciji jekvadrat jednak nekom negativnom broju.

• Struktura (polje) realnih brojeva se prosiruje do nove strukture(polja) kompleksnih brojeva unutar koje postoji resenjeposmatranog problema.

• U iskusenju smo da pomislimo kako ce se ista prica ponoviti,odnosno da postoji neki posebno odabran kompleksni broj cijikoren nije kompleksan broj.

• Medjutim, to nije moguce. Za svaki kompleksni broj z postojikompleksni broj ω tako da je ω2 = z.U stvari, ako je z = a+ ib, onda je ω2 = z za

ω = ±

(√1

2

(a+

√a2 + b2

)+ i

√1

2

(−a+

√a2 + b2

)).

Na primer, za z = i formula daje ω = ±√22 (1 + i).







ω = ±

(√1

2

(a+

√a2 + b2

)+ i

√1

2

(−a+

√a2 + b2

)).








ω = ±

(√1

2

(a+

√a2 + b2

)+ i

√1

2

(−a+

√a2 + b2

)).








ω = ±

(√1

2

(a+

√a2 + b2

)+ i

√1

2

(−a+

√a2 + b2

)).








ω = ±

(√1

2

(a+

√a2 + b2

)+ i

√1

2

(−a+

√a2 + b2

)).








ω = ±

(√1

2

(a+

√a2 + b2

)+ i

√1

2

(−a+

√a2 + b2

)).



prvo cudo: korenovanja

• Dakle, u skupu kompleksnih brojeva svaki broj ima kvadratnikoren (ima ih, u stvari, dva).Ovo je samo pocetak magije.

• Umesto kvadratnog korena moze se posmatrati ma koji realankoren kompleksnog broja (izuzev nule, kada se posmatra negativankoren). (Realan koren se definise kao “granicna vrednost“ nizaracionalnih korena.)

• Stavise, nakon preciznog uvodjenja stepenovanja kompleksnogbroja kompleksnim brojem, ispostavlja se da je rezultatkompleksnog korenovanja kompleksnog broja takodje kompleksanbroj!

Prvo cudo je zatvorenost strukture u odnosu na korenovanje - svojstvokoje nemaju ni racionalni ni realni brojevi.Deo tog cuda je viseznacnost operacije korenovanja (i stepenovanja)koja uzrokuje “paradokse“, kao sto je sledeci rezultat:

−1 = i · i =√−1√−1 =

√(−1)(−1) =

√1 = 1.







−1 = i · i =√−1√−1 =

√(−1)(−1) =

√1 = 1.







−1 = i · i =√−1√−1 =

√(−1)(−1) =

√1 = 1.







−1 = i · i =√−1√−1 =

√(−1)(−1) =

√1 = 1.







−1 = i · i =√−1√−1 =

√(−1)(−1) =

√1 = 1.







−1 = i · i =√−1√−1 =

√(−1)(−1) =

√1 = 1.


drugo cudo: osnovni stav algebre

Teorema

Svaki kompleksni polinom pozitivnog stepena ima onoliko nula koliki jenjegov stepen.

Ekvivalentno tvrdjenje glasi: Svaki nekonstantni polinom sakompleksnim koeficijentima ima barem jednu nulu u polju kompleksnihbrojeva.Smatra se da je ovo tvrdenje prvi dokazao Gaus.U knjizi “Proofs from THE BOOK“2 je naveden dokaz u koji koristi:

• egzistenciju minimalne vrednosti polinoma nad kompaktnimskupom,

• cinjenicu da za svaki kompleksan broj z ∈ C postoji w ∈ C takavda je wn = z, n ∈ N,

• lemu koja tvrdi da, ako je P (z) polinom i P (z0) 6= 0, onda usvakoj okolini tacke z0 postoji w tako da vazi: |P (w)| < |P (z0)|.

2autori: M. Aigner, G. M. Ziegler, 5. izdanje, 2014.Nenad Teofanov (Novi Sad) Kompleksni brojevi Elementarna mat. 2 21 / 27


Teorema








Teorema








Teorema








Teorema








Teorema








Teorema








Posledica fundamentalnog stava algebre je faktorizacija polinoma:

• Svaki polinom Pn(z) stepena n ∈ N se moze predstaviti kaoproizvod tacno n faktora

Pn(z) = (z − z1)(z − z2) . . . (z − zn),

pri cemu su kompleksni brojevi zk, k = 1, 2, . . . , n resenjajednacine Pn(z) = 0. Neki od brojeva zk mogu da budu jednaki.

• U polju realnih brojeva polinom drugog stepena ne mora da imanule u skupu R, to jest faktorizaciju na linearne cinioce.

• Nasuprot tome, u polju kompleksnih brojeva svaki polinomstepena n sa kompleksnim koeficijentima ima n korena (jednakihili razlicitih) u polju kompleksnih brojeva.





Pn(z) = (z − z1)(z − z2) . . . (z − zn),








Pn(z) = (z − z1)(z − z2) . . . (z − zn),








Pn(z) = (z − z1)(z − z2) . . . (z − zn),






• Iz Ojlerove formule eix = cosx+ i sinx, x ∈ R, sledi periodicnosteksponencijalne funkcija, kao i

(cosx+ i sinx)n = einx = cosnx+ i sinnx, n ∈ N.

• Dakle, jednacina zn = 1 ima n razlicitih resenja u kompleksnojravni:

zk = cos2πk

n+ i sin

2πk

n, k = 0, 1, . . . , n− 1.

• Stepenovanje kompleksnog broja kompleksnim brojem je takodeviseznacna funkcija.

• Svojstva koja su posledica jedinstvenosti operacije stepenovanja uskupu realnih brojeva ne vaze za kompleksne brojeve. Na primer,formule (ab)x = axbx, (ax)y = axy, vaze kada a, b, x, y ∈ R, ali nevaze za sve a, b, x, y ∈ C.






zk = cos2πk

n+ i sin

2πk

n, k = 0, 1, . . . , n− 1.








zk = cos2πk

n+ i sin

2πk

n, k = 0, 1, . . . , n− 1.








zk = cos2πk

n+ i sin

2πk

n, k = 0, 1, . . . , n− 1.




jednacine: povratak korenima

• Ars magna sadrzi formule za korene polinoma drugog, treceg icetvrtog stepena.Za polinom petog stepena ne samo da ne postoji odgovarajucaformula u toj knjizi, nego je tek fundamentalnom teoremomalgebre dokazana egzistencija korena u polju C, dakle otprilike 3veka nakon objavljivanja Ars Magne.

• Rezultati teorije grupa impliciraju da se koreni opste algebarskajednacina stepena n ≥ 5 ne mogu dobiti formulom pomocukoeficijenata, algebarskih operacija i korenovanja.

• Ovaj rezultat je poznat u algebri kao Abel-Rufini teorema koju jeAbel dokazao 1823. godine. Nezavisno od Abela, istu teoremu jedokazao Galoa, a objavljena je posthumno 1846. godine, 14 godinanakon njegove smrti.

















dodatak nizovi kompleksnih brojeva

Na kraju navodimo konstrukciju skupa tacaka u ravni definisanihposebnim iterativnim postupkom.Posmatra se uzastopna primena preslikavanja z 7→ z2 + c, za neki zadatbroj c ∈ C i za pocetnu vrednost z = 0:

0, c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, ((c2 + c)2 + c)2 + c, . . .

Tako se dobija niz tacaka (cn)n∈N u ravni (c1 = 0, c2 = c, ...).

• Moze se desiti da je ovako definisan niz tacaka ogranicen, to jestda postoji R > 0 tako da je |cn| ≤ R za sve clanove niza. U tomslucaju tacka c se oznacava crnom bojom.

• Moze se desiti da je ovako definisan niz tacaka neogranicen, to jestda za svaki broj R > 0 postoji clan niza cn takav da je |cn| > R. Utom slucaju tacka c se ne oznacava crnom bojom.




0, c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, ((c2 + c)2 + c)2 + c, . . .







0, c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, ((c2 + c)2 + c)2 + c, . . .







0, c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, ((c2 + c)2 + c)2 + c, . . .







0, c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, ((c2 + c)2 + c)2 + c, . . .





poslednje cudo za danas: Mandelbrotov skup

Definicija

Mandelbrotov skup je skup tacaka c ∈ C za koje je niz kompleksnihbrojeva

0, c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, ((c2 + c)2 + c)2 + c, . . .

ogranicen.

Dakle, Mandelbrotov skup je odnosno skup tacaka oznacenih crnombojom.Ako pocetna tacka c pripada nekim posebnim mestima kompleksneravni, svojstvo kojim je Mandelbrotov skup definisan pokazujezapanjujucu osetljivost u odnosu na “male“ promene polozaja tacke c.



Definicija


0, c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, ((c2 + c)2 + c)2 + c, . . .

ogranicen.




Definicija


0, c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, ((c2 + c)2 + c)2 + c, . . .

ogranicen.





Kompleksni brojevi, istorijska perspektiva€¦ · Kompleksni brojevi, istorijska perspektiva Nenad Teofanov 24. II 2017. Dobro do sli na prvo predavanje! Nenad Teofanov (Novi Sad)

Documents