Kalkulacja składki zaufania na podstawie łącznej wartości i liczby szkód

Kalkulacja składki zaufania na podstawie

łącznej wartości i liczby szkód

Joanna SawickaWydział Nauk Ekonomicznych,

Uniwersytet Warszawski

2

Plan prezentacji Podstawowe założenia i oznaczenia

Postać optymalnych predyktorów

Porównanie MSE predyktorów

Przypadki szczególne predyktorów

Przykład numeryczny

3

Podstawowe założenia i oznaczenia Mamy zbiór danych zawierający informacje o

liczbie i wartości szkód wygenerowanych przez M ubezpieczonych (kontraktów) obserwowanych przez T okresów.

Przyjmujemy, że: - liczba szkód j-tego ubezpieczonego w t-

tym okresie

- wartość k-tej szkody j-tego ubezpieczonego w t-tym okresie

- łączna wartość szkód j-tego ubezpieczonego w t-tym okresie

,j tN

, ,j t kY

,

, , ,1

j tN

j t j t kkX Y

4

Podstawowe założenia i oznaczenia Rozkład łącznej wartości szkód j-tego

ubezpieczonego zależy od dwóch niezależnych parametrów ryzyka: - parametr ryzyka rozkładu liczby szkód - parametr ryzyka rozkładu wartości

pojedynczej szkody

Parametry ryzyka oraz dla M ubezpieczonych są niezależne i mają takie same rozkłady

jj

1 2, ,..., M 1 2, ,..., M

5

Podstawowe założenia i oznaczenia Przy znanej liczby szkód dla j-tego

ubezpieczonego w kolejnych okresach są warunkowo niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu.

Przy znanej wartości kolejnych szkód j-tego ubezpieczonego w kolejnych okresach są warunkowo niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu.

j

j

6

Podstawowe założenia i oznaczenia Przy ustalonej wartości i łączne wartości

szkód j-tego ubezpieczonego w kolejnych okresach są warunkowo niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu.

Przy ustalonej wartości i warunkowo niezależne są także liczba szkód i łączna wartość szkód dla j-tego ubezpieczonego dla różnych okresów oraz wartość pojedynczej szkody i łączna wartość szkód dla j-tego ubezpieczonego dla różnych okresów.

Łączna wartość szkód, liczba szkód i wartości pojedynczych szkód są niezależne dla różnych ubezpieczonych we wszystkich okresach.

j

j

j

j

7

Podstawowe założenia i oznaczenia Oznaczenia momentów:

- oraz

- oraz

- oraz

- oraz

, |j t j jE N , , |j t k j jE Y

2, |j t j NE Var N s 2

, , |j t k j YE Var Y s

,j tE N , ,j t kE Y

2jVar a 2

jVar a

8

Postać optymalnych predyktorówProblemy predykcji łącznej wartości szkód wokresie T+1 dla j-tego ubezpieczonego:1. gdzie

2. gdzie

3. ,

,0 ,

, 1 1 ,0 ,,..,| , | arg min ,..,

j j Tj T j j j j j Tb b

BLP E X S b b X

2

1 ,0 , , 1 ,0 , ,1

,.., | ,T

j j T j T j j j j t j tt

S b b E E X b b X

,0 ,

, 1 2 ,0 ,,...,| , | arg min ,...,

j j Tj T j j j j j Tc c

BLP E X S c c N

2

2 ,0 , , 1 ,0 , ,1

,..., | ,T

j j T j T j j j j t j tt

S c c E E X c c N

,0 ,

, 1 3 ,0 , ,1 ,,...,

| , | , arg min ,..., , ,...,j j T

j T j j j j j j T j j Td e

BLP E X S d d e e X N

2

3 ,0 , ,1 , , 1 ,0 , , , ,1 1

,..., , ,..., | ,T T

j j T j j T j T j j j j t j t j t j tt t

S d d e e E E X d d X e N

9

Postać optymalnych predyktorówOtrzymane optymalne predyktory:

1. 2. 3.

, 1 | , | 1j T j j j X X jBLP E X z z X X

, 1 | , | 1j T j j j N N jBLP E X z z N N

, , , ,, 1 | , | , 1 X N X N X N X Nj T j j j j X N X j N jBLP E X z z z X z N X N

,, 1 | , | X Nj T j j j X j jBLP E X z X N N

10

Postać optymalnych predyktorówgdzie: oraz

1.

2.

3. oraz

,1

1 T

j j tt

X XT

,1

1 T

j j tt

N NT

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2X

Y N

Ta a Ta Taz

Ta a Ta Ta s s a

2

2 2NN

Taz

Ta s

2 2 2 2,

2 2 2 2 2 2 2X NX

Y N

Ta a Taz

Ta a Ta s s a

2 2 2 2 2

, ,

2 2 2 2 2 2 2 2 2

X N X NY NN N X

N Y N

Ta s Ta sz z z

Ta s Ta a Ta s s a

11

Porównanie MSE predyktorów Wielkości MSE predyktorów:1.

2.

3.

2 2 2 2 2 2, 1 | , | 1j T j j j XMSE BLP E X z a a a a X

,1 | ,X j t j jz Var E X

2 2 2 2 2 2, 1 | , | 1j T j j j NMSE BLP E X a a z a a N

2

, , , ,| , |j t j j N j t j j t kVar E X z Var E N E Y

, 1 | , | ,j T j j j jMSE BLP E X X N

, 2 2 2 2 2 2 , 2 21 X N X NX Nz a a a a z a

2, ,

, , , ,1 | , |X N X NX j t j j N j t j j t kz Var E X z Var E N E Y

12

Porównanie MSE predyktorów Ponieważ:

więc zachodzi:

2 2 2 2 2 2 2 2Na a a a z a

2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2X NX Na a a a z a a a z a

, 1 | , |j T j j jMSE BLP E X N

, 1 | , | ,j T j j j jMSE BLP E X X N

13

Porównanie MSE predyktorów Nierówność:

daje się zapisać jako:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2Xa a a a z a a a a

2 2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 , 2 2X N X NX Na a a a z a a a a z a

, 0X NN N Xz z z

14

Porównanie MSE predyktorów Można pokazać, że wtedy gdy czyli jest zawsze spełnione.

Wobec tego:

Uwaga: warunek dodatniości ma postać (ozn. *):

lub

, 0X NNz N Xz z

, 0X NN N Xz z z

, 1 | , |j T j j jMSE BLP E X X

, 1 | , | ,j T j j j jMSE BLP E X X N

2 2

2 2N

Y

a s

a s

,X NNz

, , ,

, , ,

| |

| |

j t j j t k j

j t j j t k j

Var E N Var E Y

E Var N E Var Y

15

Porównanie MSE predyktorów Kiedy zachodzi:

?

Musi zachodzić nierówność (ozn. (**)):

, 1 | , |j T j j jMSE BLP E X N

, 1 | , |j T j j jMSE BLP E X X

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2Na a a a a a a Ta s

2 2 2 2 2 2Y Na a s a s

16

Porównanie MSE predyktorów Zatem dla odpowiednio długiej historii

ubezpieczonego lepiej posługiwać się predyktorem opartym na łącznej wartości szkód.

Nierówność (**) jest ponadto na pewno spełniona, gdy zachodzi:

czyli gdy lub .

2 2

2 2N

Y

s a

s a

, 0X NNz N Xz z

17

Porównanie MSE predyktorów Można także zauważyć, że , gdy:

Wobec tego zachodzenie oznacza, że MSE predyktora opartego na liczbie szkód jest większe niż MSE predyktora opartego na łącznej wartości szkód. W drugą stronę zależność nie zachodzi.

, ,X N X NX Nz z

, ,X N X NX Nz z

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2N Y Na a a Ta s a s a s

18

Porównanie MSE predyktorów Można także pokazać, że nierówność (**)

zachodzi, gdy:

, 1

, 1

| , ,

| ,

j T j j j

j T j j j

Cov E X X

Var E X Var X

, 1

, 1

| , ,

| ,

j T j j j

j T j j j

Cov E X N

Var E X Var N

19

Przypadki szczególne predyktorów1. Rozkład pojedynczej wartości szkody jest

taki sam dla wszystkich ubezpieczonych, czyli:

- ,

- ,

- oraz

, , , ,|j t k j j t kE Y E Y

2, , , ,|j t k j j t k YVar Y Var Y s

, ,j t k jE Y E 0jVar

20

Przypadki szczególne predyktorów Wtedy:

ponieważ:- ,

-

, 0X NXz

2,

2 2X NN N

N

Taz z

Ta s

, 1 | , | ,j T j j j jBLP E X X N

, , , ,1 X N X N X N X NX N X j N jz z z X z N

, ,1 X N X NN N jz z N

, 1 | , |j T j j jBLP E X N

21

Przypadki szczególne predyktorów Predyktor oparty na łącznej wartości szkód

nadal ma postać:

ze zmodyfikowaną wartością wagi:

, 1 | , | 1j T j j j X X jBLP E X z z X X

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2/XY N N Y

Ta Taz

Ta s s Ta s s

22

Przypadki szczególne predyktorów Przy założeniach 1. predyktor oparty na

liczbie szkód jest lepszy pod względem MSE niż predyktor oparty na łącznej wartości szkód.

Warunek zachodzenia nierówności (**) przy obecnych założeniach ma teraz postać:

2 2 0Ya s

23

Przypadki szczególne predyktorów2. Rozkład liczby szkód jest taki sam dla

wszystkich ubezpieczonych, czyli:

- ,

- ,

- oraz

, ,|j t j j tE N E N

2, ,|j t j j t NVar N Var N s

,j t jE N E 0jVar

24

Przypadki szczególne predyktorów Predyktor oparty na liczbie szkód może

być zapisany w postaci:

z wagą , czyli upraszcza się do:

i ma największe MSE.

, 1 | , | 1j T j j j N N jBLP E X z z N N

0Nz

, 1 | , |j T j j jBLP E X N

25

Przypadki szczególne predyktorów Predyktor dwuczynnikowy będzie równy:

z wagami:

co oznacza, że można go także zapisać

, 1 | , | ,j T j j j jBLP E X X N

, , , ,1 X N X N X N X NX N X j N jz z z X z N

2 2, ,

2 2 2 2 2X N X NX N

Y N

Taz z

Ta s s a

26

Przypadki szczególne predyktorów

w postaci:

Predyktor ten ma nadal najmniejsze MSE.

, 1 | , | ,j T j j j jBLP E X X N

,X NX j jz X N

,, 1 | , | X Nj T j j j X j jBLP E X z X N N

27

Przypadki szczególne predyktorów Predyktor oparty na łącznej wartości szkód

nadal ma postać:

ze zmodyfikowaną wartością wagi:

, 1 | , | 1j T j j j X X jBLP E X z z X X

2 2

2 2 2 2 2 2X

Y N

Taz

Ta s s a

28

Przykład numeryczny Przyjmijmy, że:

- ,

- ,

- ,

- .

Obliczmy wagi oraz MSE predyktorów dla rosnącej liczby okresów – T=1,…,50.

2 2 0,6Ns a

1724,14

2 106166,13a

2 3078817,7Ys

29

Przykład numeryczny

Rys. 1. Wartości wag stosowanych w predyktorze dwuczynnikowym, predyktorze opartym na liczbie szkód oraz predyktorze opartym na

wartości szkód dla rosnącej liczby okresów

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Liczba okresów

Wag

i

BLP(X|X,N) - X BLP(X|X,N) - N BLP(X|X) BLP(X|N)

30

Przykład numeryczny Przy tak dobranych parametrach

rozkładów zachodzi warunek (*), czyli oraz .

Dla t=17 waga zaczyna być większaod . Oznacza to, że od tego okresu MSE predyktora opartego na łącznej wartości szkód będzie na pewno mniejsze niż predyktora opartego na liczbie szkód.

, 0X NNz N Xz z

,X NXz

,X NNz

31

Przykład numeryczny

Rys. 2. Wartości MSE dla predyktora dwuczynnikowego, predyktora opartego na liczbie szkód oraz predyktora opartego na wartości szkód dla rosnącej

liczby okresów

50000

250000

450000

650000

850000

1050000

1250000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Liczba okresów

MSE

BLP(X|X,N) BLP(X|X) BLP(X|N)

32

Przykład numeryczny Dla przyjętych parametrów rozkładów MSE

predyktora opartego na liczbie szkód jest początkowo mniejsze niż MSE predyktora opartego na łącznej wartości szkód.

Dla t=16 predyktor oparty na łącznej wartości szkód zaczyna być lepszy od predyktora opartego na liczbie szkód.

33

Przykład numeryczny

Przez cały okres predyktor oparty na zarówno na liczbie jak i na łącznej wartości szkód jest lepszy od predyktorów jednoczynnikowych.

34

Dziękuję za uwagę