حظه: مادسه من كتاب من الطبعه الس كره مأخوذهذذه ات هيع نتوPrecalculus Mathematics for Calculus James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson ادسب السلبا اثلثيهدوال ا الئمه الزاويهلقات اثلثاستخدام ا الدائريهدوال لدراسه ال توجد طريقه أخرىستخدامنامسب البا ا درسناها سبق أن الدائريه الدوالد تعريف الاب سنعي هذا الب. ا هنانسميهثلثات و س اثلثيهدوال ا ال. . بدراسه الزوا سنبدأ أو6.1 س الزاو قياتكون ت الزاويه ك بينهما فمث و رأس مش من ضلعهشكل أد ال زاويهAOB من ضلعتكون ت1 R و2 R ك و رأس مشO . الزاويهنظر إل عاده مانلضلع دوران لا على أ1 R تاه2 R اله نسميذه ام ه . 1 R بتدائي وضلع ال2 R لنهائيضلع التاه معاكسن الدوران كالزاويه. إذا ل تاه عقاربن الدوران كالبه إذاويه سا الزاعتلعكس ت جبه و موعتعه فإن الزاويه تلسا الساعه.رب اتاه عقاس الزاويه قيا هو الرأس ران حول مقدار الدوضلع يتحرك ال عندما1 R ضلعه التا2 R س الزاويه. تسمى وحده قيا إنفراج الزاويه هو مقدارهيا . بديلدرجها و يرمزلرمز° بتدائيضلع ا ن بدوران ال كو واحده تا درجه قياسه . الزاويه ال1 360 توجدضياتخرى من الرض الفروع اتفاضل و بع دراسه ال .كامله جزء من الدوره ال يس الزوا قيا مقياس أكثر فاعليه سمىن الرادلرمز رمز له ي( rad ) نصف قطرها على دائرهاقابل القوس ا قاس بطول إنفراج الزاويه م هو مقدار و1 كزها و مر رأس الزاويه لدينانلراديق ل و لتعريف دقويه سالبه زا يه موجبه زاوبتدائيضلع ا اللنهائيضلع ا اللنهائيضلع ا البتدائيضلع ا ال
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
مجيع حمتوايت هذه املذكره مأخوذه من الطبعه السادسه من كتاب مالحظه:
Precalculus Mathematics for Calculus
James Stewart, Lothar Redlin, and Saleem Watson
الباب السادس
الدوال املثلثيه .يف هذا الباب سنعيد تعريف الدوال الدائريه اليت سبق أن درسناها يف الباب اخلامس إبستخدام توجد طريقه أخرى لدراسه الدوال الدائريه إبستخدام املثلثات القائمه الزاويه
سنبدأ أوال بدراسه الزوااي. . الدوال املثلثيه املثلثات و سنسميها هنا
قياس الزاواي 6.1عاده ماننظر إىل الزاويه . Oو رأس مشرتك 2Rو 1Rتتكون من ضلعني AOBزاويه يف الشكل أدانه من ضلعني و رأس مشرتك بينهما فمثال الزاويه تتكون
جتاه عقارب للزاويه. إذا كان الدوران إبجتاه معاكس إل ابلضلع النهائي 2Rابلضلع اإلبتدائي و 1R. يف هذه احلاله نسمي 2Rإبجتاه 1Rعلى أهنا دوران للضلع إبجتاه عقارب الساعه.الساعه فإن الزاويه تعترب موجبه و ابلعكس تعترب الزاويه سالبه إذا كان الدوران
و يرمز هلا ابلدرجه. بديهيا هو مقدار إنفراج الزاويه. تسمى وحده قياس الزاويه 2Rإبجتاه الضلع 1Rعندما يتحرك الضلع مقدار الدوران حول الرأس هو قياس الزاويه
1. الزاويه اليت قياسها درجه واحده تكون بدوران الضلع اإلبتدائي °ابلرمز
360جزء من الدوره الكامله. يف دراسه التفاضل و بعض الفروع اآلخرى من الرايضيات توجد
و مركزها 1وهو مقدار إنفراج الزاويه مقاس بطول القوس املقابل هلا على دائره نصف قطرها ( rad) يرمز له ابلرمز الراداين سمى مقياس أكثر فاعليه يف قياس الزوااي ي و لتعريف دقيق للراداين لدينا رأس الزاويه
زاويه موجبه زاويه سالبه
الضلع اإلبتدائي
الضلع النهائي الضلع النهائي
الضلع اإلبتدائي
املقابل للزاويه.و مركزها رأس الزاويه فإن قياس االزاويه ابلراداين هو طول القوس 1إذا رمست دائره نصف قطرها : تعريف
راداين بينما و سيكون قياس زاويه مستقيمه هو راداين 2فإن دوران كامل حول الدائره سيكون قياسه 2هو 1الدائره اليت نصف قطرها حميط حيث أن
سيكون قياس الزاويه القائمه هو 2
راداين. 2على دائره الوحده قياسها 2راداين. الزاويه املقابله لقوس طوله
فإننا حنصل على العالقه البسيطه التاليه 2و مقاسه ابلراداين هي °360حيث أن دوره كامله على الدائره مقاسه ابلدرجات هي
°
180180° 1 1°
180rad rad rad
درجات إىل راداين نضرب بـلتحويل قياس الزاويه من180
.
180لتحويل قياس الزاويه من راداين إىل درجات نضرب بـ
.
لتصور ما هو طول الراداين الحظ أن
1 57.296° 1° 0.01754rad rad
: 1مثال
(a ابلراداين °60عرب عن(b عرب عن6
rad ابلدرجات
احلل:
) 60° 60180 3
180) 30°
6 6
a rad rad
b rad
الوضع القياسي للزاويه
على اجلزء املوجب حملور السينات. حبيث يكون رأسها منطبق على نقطه األصل و ضلعها اإلبتدائي xyاإلحداثي يف املستوى إذا رمست وضع قياسييقال ان الزوايه يف فيما يلي أمثله لزوااي يف وضع قياسي
أذا تطابقا كال ضلعيهما. يف الشكل أعاله جند أن الزاويتني متتامختان نقول عن زاويتني يف الوضع القياسي أهنما a و c ممتامختان.
: 2مثال
(a 30املتامخه للزاويه أوجد الزوااي° القياسي.يف الوضع
(b املتامخه للزاويه أوجد الزوااي3
.يف الوضع القياسي
احلل:
(a أن أي °360سنضيف إليها مضاعفات °30إلجياد الزوااي املتامخه للزوايه
30° 360°n n
. °30متثل الزوااي املتامخه لـ
فمثال
30° 360° 390°, 30° 720° 750°
°30هي زوااي موجبه متامخه لـ
و
30° 360° 330°, 30° 720° 690°
. °30متامخه لـ هي زوااي سالبه
(b إلجياد الزوااي املتامخه للزوايه3
2سنضيف إليها مضاعفات أن أي
2 n3
n
متثل الزوااي املتامخه لـ 3
.
فمثال
7 132 4
3 3 3 3
هي زوااي موجبه متامخه لـ3
و
5 112 4
3 3 3 3
متامخه لـ هي زوااي سالبه3
.
. °1290و متامخه لزاويه يف الوضع القياسي و قياسها °360و °0أوجد زاويه قياسها بني : 3مثال
°1290. فمثال كل من الزاويه °1290و سنحصل على زاويه متامخه لـ °1290من الزاويه °360نستطيع طرح أيه مضاعف لـ احلل: 360° 930° والزاويه 1290° 2 360° 570° و 360على 1290الزاويه فإننا نقسم وإلجياد تلك °360و °0. ولكننا نريد زاويه بني °1290هي زوااي متامخه لـ
سيكون ابقي القسمه مساو لقياس الزاويه اليت نريد
1290 3 360 210
°210أي أن قياس الزاويه املطلوبه هو
طول القوس الدائري:
أهنا مركزيه يف الدائره ) إبختصار مركزيه( إذا كان رأسها يقع يف مركز الدائره. نقول عن الزاويه
رداين هو للقوس املقابل لزاويه مركزيه قياسها sالطول rيف دائره نصف قطرها تعريف:
s r
sابلراداين هو و سيكون قياس rالصيغه أعاله ستعطينا طريقه لتعريف مقياس الراداين إبستخدام دائره هلا إيه قطر
r طول القوس الدائري املقابل لـ هو sحيث
. rيف دائره نصف قطرها
: 4مثال
(a 30مركزيه قياسها منر و املقابل لزاويه 10أوجد طول القوس الدائري لدائره نصف قطرها° .
(b زاويه مركزيه مرت فما هو قياس تلك الزاويه ابلرداين. 6مرت و تقابل قوس طوله 4يف دائره نصف قطرها
احلل :
(a 30فإن 1و كما رأينا يف املثال جيب أوال حتويل قياس الزاويه إىل راداين° / 6 rad أي أن طول القوس هو
5
106 3
s r m
(b حسب الصيغه /s r جند أن
6 3
4 2rad
حساب املثلثات القائمه الزاويه 6.2 وهلا العديد من التطبيقات. بعض النسب بني اضالع املثلث القائم الزاويه تسم هذه النسب ابلنسب املثلثيهيف هذا اجلزء سندرس
النسب املثلثيه:
فإن النسب النثلثيه معرفه كاأليت الزاويه أحد زواايه ليكن لدينا مثلث قائم
sin cos tan
csc sec cot
. حيث أن مثلثني cosecantو secantو cotangentو tangentو cosineو sineالرموز املستخدمه يف تعريف هذه النسب املثلثيه هي إختصارات لـ فقط. فإن هذه النسب لن تعتمد على حجم املثلث و إمنا على الزاويه سيكونلن متشاهبان قائمي الزاويه وهلما ننفس الزاويه
الوتر
الوتر
الوتر
الوتر الوتر
املقابل
املقابل
املقابل
املقابل
املقابل
اجملاور
اجملاور
اجملاور
اجملاور
اجملاور
يف الشكل التايل : أوجد مجيع النسب املثلثيه للزاويه 1مثال
احلل:
3زاويه حاده حبيث : لتكن 2مثال cos
4 . أرسم مثلث قائم الزاويه إحدى زواايه .مث أوجد قيم النسب املثلثيه الباقيه
إذا كان طول املقابل 3 هو وطول جماور 4إىل الوتر فإننا سنرسم مثلث قائم الزاويه طول وتره هو يعرف على انه نسبه اجملاور للزاويه cosاحلل: حيث أن
2ت فإن فإنه من نظريه فيثاغورث للمثلثا xهو 24 3 16 9 7x .
و سيكون
مثلثات خاصة:
. نظرا ألمهيتها نشري إليها هناس .بعض املثلثات القائمه الزاويه يسهل حساب نسبها املثلثيه إبستخدام نظريه فيثاغورث
1أول تلك املثلثات حنصل عليه برسم القطر يف مربع طول ضلعه .
/) أو °90,°45,°45. املثلث الناتج له الزوااي 2أن طول هذا القطر هو إبستخدام نظريه فيثاغورث جند 4, / 4, / 2 ).
للحصول على املثلث الثاين سنبدأ مبثلث ABC و سنرسم املستقيم 2الضلعني و طول كل منهما متطابقDB العامودي على القاعدهAC و . Bلزاويه الرأس هلا و فاملنص
) أو °90,°60,°30املثلث فإننا حنصل على ABCينصف املثلث DBو حيث أن 3هو DBطول املستقيم جند أن إبستخدام نظريه فيثاغورث / 6, / 3, / 2 )
/) أو °60و °30,°45فإننا نتستطيع حساب النسب املثلثليه للزوااي إبستخدام املثلثات اليت أوجدانها أعاله 4, / 6 و/ 3 كما يف اجلدول التايل )
الدوال املثلثيه للزوااي 6.3سنبدأ بتعريفها و يف هذا اجلزء سنعمم تعريف النسب املثلثليه ليشمل مجيع أنواع الزوااي و ذلك بتعريف الدوال املثلثيه على الزوااي.لقد عرفنا سابقا النسب املثلثيه للزوااي احلاده
على الزوااي احلاده أوال مث نعمم ذلك التعريف.
يف الوضع القياسي كما يف الشكل أدانه . ضع مثلث قائم الزاويه و له الزاويه احلاده POQليكن
ستقع النقطه ,P x y P الضلع النهائي للزاويه على يف املثلث .POQ جند أن الضلع املقابل لللزاويه سيكون له الطولy بينما ستمثلx طول
2ن الضلع اجملاور للزاويه. إبستخدام نظريه فيثاغورث جند أن طول الوتر سيكو 2r x y . أي أن
sin cos tany x y
r r x
) ليس ابلضروره حاده( و النسب املثلثيه اآلخرى ميكن إجيادها بنفس الطريقه. مما سبق جند أننا نستطيع متديد تعريف النسب املثلثيه ليشمل أي زاويه بصوره عامهبقيه لثيه على كدوال يف الزوااي كما يلي سنعرف الدوال املث
زاويه يف الوضع القياسي و لتكن : لتكن تعريف ,P x y 2نقطه على ضلعها النهائي. إذا كان 2r x y من نقطه األصل إىل النقطه هي املسافه
,P x y فإن
sin cos tan 0
csc 0 sec 0 cot 0
y x yx
r r x
r r xy x y
y x y
اجملاور
املقابل الوتر
tan90°حيث أن القسمه على الصفر غري معلرفه فإن بعض الدوال املثلثيه لن تون معرفه عند بعض الزوااي فمثال y
x 0غري معرف إلنx . الحظ أن الزوااي
الربعيه. ابلزوااي اليت رمبا تكون الدوال املثلثليه عندها غري معرفه هي تلك الزوااي اليت يكون ضلعها النهائي مطابق ألحد احملاور و تسمى هذه الزوااي
على إختياران للنقطه من املهم إدراك أن قيم الزوااي املثلثيه ال تعتمد , yP x هذا إلنه إذا كانت ، ,P x y أيه نقطه أخرى على الضلع النهائي
Pو POQفإن املثلثان OQ .سيكوانن متشاهبان
مقارنه الدوال املثلثيه ابلدوال الدائريه.
لكي نفهم يه معرفه على الزوااي إبستخدام املثلتات القائمه الزاويه.الدوال املثلثاحلقيقيه إبستخدام دائره الوحده جند أن الدوال الدائريه معرفه على األعدادبيمنا يف املستوى األحداثي ابلضبط ماهي العالقه بينهما لنبدأ برسم دائره الوحده
لتكن ,P x y بقوس طوله هي النقطه الطرفيه اليت احملددهt على دائره الوحده. أي أنt ستقابل زاويه يف مركز الدائره ) إنظر الشكل أدانه( . إذا
. yو xو طول ضلعيه مها OPQ حنصل على مثلث قائم الزاويه فإننا xعلى حمور Qإىل النقطه Pأسقطنا خط عامودي من
حسب تعريف الدوال الدائريه فإن
sin cost y t x و حسب تعريف الدوال املثلثيه فإن
sin cos1 1
y xy x
مقاسه ابلرداين فإن و إذا كانت 1
tt
ل الذي يطرح نفسه اآلن ملاذ ندرس نفس الدوال بطريقتيم السوا. أو للزاويه طي نفس القيم للعدد احلقيقيأي أن كال الدوال تعمبقارنه طريقيت التعريف جند أهنما متطابقتان خمتلفتني . اإلجابه هي أن هناك العديد من التطبيقات تتطلب طريقه دون األخرى.
. حساب الدوال املثلثليه إلي زاويه
rموجب القيمه كما أن yو xهذا إلن كال من الربع األول يقع يف من تعريف الدوال املثلثليه جند أن قيم تلك الدوال ستكون موجبه إذا كان الضلع النهائي لـ دائما مقدار موجب) فهو املسافه بني نقطة األصل و النقطه ,P x y إذا كان الضلع النهائي لـ .) يقع يف الربع الثاين فإن قيمx ستكون سالبه بينما ستكون قيم
y يف الربع الثاين ستكون موجبه أي أنsin وcsc موجبتني و بقيه الدوال املثلثيه اآلخرى ستكون قيمها سالبه. و ابملثل نستطيع معرفه إشارات مجيع الدوال املثلثليه يف بقيه األرابع. و سيكون لدينا مايلي
(a 16الزاويه / 3 4متامخه للزاويه / 3 و حيث أن الضلع النهائي لتلك الزوااي يقع يف الربع الثالث
فستكون الزاويه املرجعيه هلما هي 4 / 3 / 3 و ستكون قيمه داله الـsin هلما سالبه أي أن
16 4 3sin sin sin
3 3 3 2
(b الزاويه تقع/ 4 يف الربع الرابع و ستكون الزاويه املرجعيه هلا هي/ 4
موجبه يف الربع الرابع فإن secو حيث أن داله الـ
sec sec 24 4
املتطابقات املثلثيه األساسيه
. بشرط أن تكون الداله املثلثيه معرفه عند تتحقق هذه املتطابقات إلي ربط الدوال املثلثيه بعضها ببعض و توجد العديد من املتطابقات اليت ت
: 5مثال
(a عرب عنsin بداللهcos
(b عرب عنtan بداللهsin إذا كانت .يف الربع الثاين
من متطابق فيثاغورث جند أن احلل:
2sin 1 cos
تقع يف الربع األول او الثاين فسيكون لدينا . إذا كانت تقع فيه و ستعتمد اإلشاره على الربع الذي
2sin 1 cos
تقع يف الربع الثالث أو الرابع فإن أما إذا كانت
2sin 1 cos
(b حيث أنsintan
cos
إذن حنتاج فقط أن نكتبcos بداللهsinلفقره . بطريقه مماثله حلل ا(a مع مالحظه أن تقع يف الربع الثاين و أن
جند أن إشارهتا سالبه يف الربع الثاين cosالـ داله
2
sin sintan
cos 1 sin
2إذا كان : 6مثالtan
3 و تقع يف الربع الثالث فأوجدcos .
حل 1 سنحتاج أن نكتبcos بداللهtan 2. يف أحد متطابقات فيثاغورث لدينا 2tan 1 sec و سنحصل منها على أن2sec tan 1 حيث أن . يف الربع الثالث فإن إشارهsec سالبه.أي أن
املتطابقات التبادليه
متطابقات فيثاغورث
2sec tan 1
أي
2 2
1 1 1cos
sec tan 1 21
3
1 3.
13 13
9
حل 2 تذكر أن فيما عدا إمكانيه إختالف يف األشاره . 6.2يف اجلزء 2ممكن حلها بطريقه أكثر سهوله إبستخدام نفس الطريقه املتبعه يف حل مثال أله: هذه املس
2. لذا إذا ماتركنا موضوع اإلشاره جانبا اآلن فإننا نبحث عن زاويه حاده حتقق أن فإن قيمه الداله املثلثيه لزاويه ما مساويه لقيمه الزاويه املرجعيه هلا tan
3 لنرسم
13من نظريه فيثاغورث جند أن الوتر يف املثلث يساوي مثلث قائم الزاويه وله الزاويه احلاده
cosمن أبعاد املثلث جند مباشره أن 3 / 13 و حيث أن يف الربع الثالث فإنcos سيكون سالب أي أن
3cos
13
sec: إذا كانت 7مثال 2 و فأوجد قيم الدوال املثلثيه اآلخرى لـيف الربع الرابع .
احلل: سنرسم املثلث كما يلي
تقع يف الربع الرابع سيكون لدينا آخذين يف اإلعتبار أن الزاويه
متارين الباب السادس
قياس الزوااي 6.13 14 أوجد قياس الراداين للزوايه . معطى لدينا زاويه مقاسه ابلدرجات