İstatistik1-Tanımsal İstatistik

1 Equation Section (Next) 1.GR Gnmznbilimseldnyasnda,gelimeiingereksinimduyulanveevredenelde edinilebilecekbilgininmiktarsrekliartmaktadr.letmelereitlifaaliyetlerinyapld, dolaysyladinamikbiryapgsterensistemlerdir.letmelerdekibuolaylarfaaliyetler zincirininsalklolarakyrtlebilmesiiin,yneticilereldeettiklerivekullandklar bilgileringerekmiktar,gerekkaliteasndanihtiyalarnkarlayabileceindenemin olmaldrlar.Gnmznmoderniletmelerindeyneticilerinanahedefiiletmenin faaliyetlerindeetkiliolacakkararlarverebilmekiingereklibilgilerinsalklolarakelde edilmesi ve kullanlmas olmaldr. Bu ekildeynetici, kendi iletmesinin amalarna uygun bir teknikler ve kavramlar sistemi bularak, iletme ynetimi denen sistemi oluturur. Diertaraftan,bilimselaratrmaclardaevrelerindenedindikleribilgilerikullanmak durumundadrlar.Ancakiletmeyneticilerindenfarklolarak,bilimselaratrmaclar edindikleribilgilerikullanaraksrasylakavramlarformleederek,evrenselhipotezlerve teorilerolutururlar;bubilimselyntemolarakadlandrlr.Bilimselyntem,objektif, tmevarmsal ve bilgilerin sistematik lm ve yorumlanmas ile karakterize edilir. statistik,bilimselmetodunteknikuygulamasolaraktariflenebilir.Gerekiletmelerdeki olaylarfaaliyetler zinciri, gerek bilimsel amal aratrmalar belirlilik asndan balca iki tip elemandan meydana gelmektedir. 1)BelirlilikHali:Olaylarbirtakmfaktrlerebalolarakgeliirler,yanifaktrlerle olaylararasndancedenbilinenbantlarvardr.rneinbiriletmeninrettii mal cinsini azaltt zaman pazar paynn azalmas veya retilen mal cinsi ok fazla ise maliyet art, stoklama zorluklar ve maliyetinin artmas vb. etkiler. 2)BelirsizlikHali:Olaylarnneyndegelieceiveyafaktrlerinnasldeiecei kesinliklebilinemez,ancaktahminedilebilirler.Belirsizlikhallerindebutahmin gcnistatistikmetodlarsalar.rneinbiriletmedekiimalattezgahlarnnne zamanarzalanacabilinemez;oysaki,belirlisrelerdeki(aylk,yllkvb.)retim miktarlarbilinmelidir.Budurumdaretimmiktarlaristatistikyntemlerletahmin etmeyolunagidilir.Busayedeiletmelerdekibamsz(keyfi)olarakdeien faktrlerkontrolaltndatutulurveyaplacakplanlamalardaveiletmeileilgili olarak alnacak kararlarda isabet olasl artar. 2 Aratrma Projesi : Biriletmebnyesindekararlargenelliklegnlkallagelenverilerindeerlendirilmesi sonucundaekillenir.Ancak,bazdurumlardabuverilernemlikararlarnalnmas aamasndayeterliolmayabilir.Byledurumlardailetmeallagelenlerindndagerekli dierverileritoplamakvebunlardeerlendirmekzorundadr.Buetkinlikaratrmaprojesi olarak isimlendirilir.Aratrma projesinin yrtlmesinde konu sadece istatistik metodlarn uygulanmas deil, kullanlacakverilerinamacauygunvekaliteliolarakeldeedilmesinideteminetmektir.Her aratrma projesinin amac, gerekli verilerin ve veri kalitesinin belirlenmesi ve bunlarn uygun yntemlerleetkinbirekildeanalizedilmesiolarakzetlenebilir.Bununlabirlikte,bir aratrmaprojesiherzamankolaylklahazrlanamaz;bununsebebiise,projelerinilkanda grndklerindendahakarmakolabilmesidir.Karlalabileceksorunlarnstesinden gelinebilmesiiinbiraratrmaprojesibirbirleriileilintiliadmlareklindeplanlanarakele alnr.Buadmlardanbirindekarlalansorunlardieradmlardabazdeiiklikler yaplmasn gerektirebilir; balangta ok iyi planlanm bir projede bile uygulama srecinde sorunlarortayakabilir,hattabazdurumlardakarlalanbusorunlarortadan kaldrlamadndanprojenintamamenterkedilmesibileolasdr.Dolaysylaalternatifbir aratrma projesi ngrldnde ncelikle u iki soru sorulmaldr : -Bu proje gerekten faydal olacak mdr ? -Projenin uygulanma imkan var mdr ? Herikisoruyadaevetdiyebildiimizdurumlardavebylebiralternatifprojenin iletmeningerekhedeflerinedehizmetedeceikanaatiolutuundaprojeyebalanmaldr. Ayrca, 1)Projenin uygulanmasnn mantksal olarak mmkn olup olmad, 2)Gereksinme duyulacak verilerin mevcut veya elde edilebilir olup olmadklar, 3)Gerekli personel, ekipman ve finansman gibi kaynaklarn mevcut olup olmad, 4)Projeniniletmeyesalayacafaydannbukaynaklarnkullanlmasnadeecekmi olduu, konular da aratrlp deerlendirilmelidir. Bir aratrma projesi projesinde izlenecek yol ana hatlar ile yedi admda oluturulur. 1)Aratrma konusunun belirlenmesi ve tanmlanmas, 2)Aratrmann amac, hipotez ve varsaymlarn belirlenmesi, 3)Konuyla ilgili kaynaklarn taranmas, 4)Aratrma yntem ve verilerinin belirlenmesi 5)Aratrma verilerinin toplanmas, 6)Toplanan verilerin analizi, 7)Aratrmann sonulandrlmas ve aratrma raporunun yazlmas. Birnerininaratrmaprojesihalinedntrlmesinde,planlamaveuygulama aamalarnda takip edilecek admlar aadaki emada zetlenmitir. 3 ekil 1-1. Bir aratrma projesinde planlama ve uygulama aamalarndan takip edilecek admlar (Kaynak : Wayne W. Daniel James C. Terrell) ncelikle nerinin ak ve ksa tanm yaplarak aratrma konusu tespit edilmelidir. Konu erevesibelirlendiktensonrakiaama,aratrmakonusuylailgiliolarakortayakonan problemi, dier bir deyile, aratrma amacn ortaya koymaktr. Problem, kuramlardan, daha nceki aratrmalarn bulgularndan ve/veya kiisel gzlemlerden yola karak oluturulabilir. Aratrmakonusuamacahizmetedecekakvesnrlarbelirginvellebilirbirkonu olmaldr. Problem ortaya konduktan sonra, bu problemin nemi tartlr. Problem, kuramsal adan veyauygulamaasndannemliolmaldr.Biraratrmaproblemibelirlerken,hereyden nce,probleminaratrlabilirzellikteolmasnadikkatedilmelidir.Aratrlabilirlik, probleminveritoplamaveanalizetmeyoluylaincelenebilecekzellikteolmasdr.Ayrca 1. nerinin ak ve ksa tanm 10. Aratrma projesinin amacna ulap ulamadnn deerlendirilmesi Admn TanmPlanlama AamasUygulama Aamas Projenin genel amac 2. Anlaml, llebilir ve zgn hedeflerin belirlenmesi 9. Planlanan analizler ile amalanan zgn hedeflerinelde edilmesi zgn hedefler Uygulanacak analizler 3. Amalanan zgn hedeflerin elde edilmesi iin gerekli analiz yntemlerinin tespiti 8. Verilerin planlanan ekilde analizi 4. Yaplacak analizlerde kullanlacak verilerin belirlenmesi 7. Verilerin dzenlenmesi 5. Veri toplama plannn ayrntl olarak tespiti 6. Verilerin toplanmas Veri gereksinimi Veri toplamas 4 problemin aratrmacnn becerileri, kaynaklar, zaman vb. zelliklere uygun olmasna da zen gsterilmelidir. rnein, a)Birfabrikadakiiilerinalglamalarkonusundabiraratrmaprojesitasarlansn. Burada alglamadan ne kastedildii belirtilmediinden konu ak deildir. Oysa ki, fabrikada iilerin yeni bir mamuln imalata alnmasnda retime uyum srelerinin incelenmesi uygun bir aratrma konusu olabilirdi. b)Uygulanangdarejimininatletlerinperformanslarnaetkisininincelenmesibir aratrmaprojesiolamaz,nkhangiatletlerinkastedildiiyaniaratrma yaplacakkitlebellideildirveperformanstannekastedildiiakolarak belirtilmemitir.rneinproteinarlklbesinlerinhaltercilerinarlkkaldrma performaslarnnasletkilediininaratrlmasbiraratrmaprojesikonusu olabilirdi. c)BiriletmeninsatlarnnverilenTVreklamlarnnsresiileilintiliolup olmadnn aratrlmas konusu bir aratrma projesi konusu olarak ele alnabilir. Burada ama ve gereksinim duyulan veriler kesin olarak belirlidir. d)4 6 ya arasndaki ocuklarn besinleri tanma ve besinler karsndaki tutumlar dabiraratrmaprojesikonusuolabilir.Buradaaratrmannyaplacakitle bellidir(46yaarasndakiocuklar)vearatrlacakkonuaktr.yleki, besinleriinbirgruplamayaplr(etveetmamulleri,sebzeler,bakliyat,tatllar vs.) ve ocuklarn bunlara olan ilgisi aratrlarak bir sonuca varlabilir. rnein 4 6ya arasndaki ocuklarnen ok tatl besinleri tandklar ve sevdikleri, en az da sebze yedikleri gibi bir sonu karlabilir. Aratrmakonusutespitedildiktensonra,zamanvekaynakisrafnengellemekiin, ncelikle gerekli aratrmalaryaplarak belirlenen konu zerindedaha nce aratrmayaplp yaplmadveuygulamayakonacakaratrmaprojesininistenenzgnamacaulap ulaamayaca karar verilir. Olumlu cevap elde edilmesi durumunda aratrmada kullanlacak yntem ve model hakknda karar vermek gerekecektir. Bu aamada, aratrmann trne gre verilerinnasleldeedileceivebusreteuygulanmasgerekenesaslarbilimselmetotlara oturtulur. Bu alma sonunda veri elde etmede kullanlacakyntem aka belirtilir. Ayrca, verilerin hangi ana ktle ierisinden, hangi yntemle, ne kadar olaca gibi veri elde edilecek rneklemgrubununbelirlenmesrecidebualmakapsamndadr.Busretearatrmann tr temel kriterdir. Daha nce de vurguland gibi bu, bir kuram reten temel aratrma veya birkuramnbelirlibiralanauygulanaraksonuveyakararalnduygulamalbiraratrma olabilir. Daha sonra gereksinim duyulan verilerin anlaml ve llebilir olup olmadklar aratrlr. rnein bir kiinin ne sklkla kitap okuduunu tespit etmek iin ok az, az, orta vs. yerine bir yldakakitapokuduubilgisininsorulmasdahauygundur.Bununyansra,bazsorular cevaplanmayabilirveyabazaratrmagruplarndancevapalnamayabilir.Bukonularnda planlamaaamasndagznnealnmasgerekir.Eerngrlenverilereldeedilemeyecek ise,aratrmaprojesirevizeedilirveyagerekliverilerintoplanmasimkanszgrlyorsa tamamen terkedilir. Birsonrakiaamadaverilerinanalizedilmesindekullanlacakyntemveteknikler belirlenir. Veri analizinde kullanlan istatistik yntemler zetle aadaki ekilde gruplanr : 1)Dalmyapsalkontrolu:Birfaktrdekideimelervebunlarnkontroludur. rnein,birdelmetezgahndankanparalarndelikaplar,kesilenparalarn boylar, paketlenen rn miktarlar, bir gazete veya dergiyi satnalan kiilerin says, 5 yalar vs. deerler belirli snrlar arasnda deiir. Bu dalmlar bulmak iin mod, medyan,ortalama,standartsapmahesabgibitanmsalistatistikmetotlardan faydalanlr. 2)Hipotez testleri : statistiksel anlamda hipotez bir veya daha fazla ana ktle hakknda ileri srlen, doruya dayanl olmas mmkn olan iddia, nerme veya ifadedir. Hipoteztestiortayakonanbirhipotezin%100kesinlikledeil,bellibirlde hatayierecekekildeistatistikselyollarlasnanmasdr.rneinbiriletmedeki iileredenencretlerinbelirlideerlerarasndaolduu,birhavaalannkullanan uaklaryarattseskirliliininbelirlibirdecibeldeerinzerinekmadgibi hipotezlerncedenbelirlenenbirhatapayilehipoteztestlerikullanlarak snanabilir. 3)Bantkontrolu:Faktrlerinbirbirinebalolaraknasldeitiinin incelenmesidir.rnein,tavlamascaklnabalolarakparannsertlik, mukavemet gibi fiziksel zelliklerinin nasl deitii, grlt kirliliine bal olarak almaveriminindeiimi,reklamharcamalarvemaazasaysilesatlar arasndakiilikivs.Bunungibibirzelliin,birveyabirdenfazlafaktrebal olarak deiimi ve bunlarn arasndaki bantlarn ekilleri regresyon ve korelasyon analizleri ile elde edilir.4)Zamanagrekontrol:Bazfaktrlerisezamanabalolarakdeiir.rnein dondurmaveyamerubatsatlarnnmevsimleregredeiimi,ehirhatlar gemilerinikullananyolcusaysnngniindekideiimivb.deimelerbutip deimelerdir. 5)rneklemeilekontrol:statistiinanaproblemlerindenbiridemevcutbirkitle (yn) hakknda, rnek gruplar ele alarak bilgi edinmektir. Ana kitlenin sonsuz veya belirsizolduudurumlarszkonusuolabilir.rneinbirblgedekiarlarzerinde biraratrmayaplmakistendiindeanakitlebelirsizolduundanrneklemeye bavurulur.ouzamanda,biranakitlenintmelemanlarnntektekkontrol edilmesi ekonomik deildir, ok zordur veya baz durumlarda anlamszdr. rnein, retimdenkan10.000adetayakkabnntektekkontroluzamanalacandan,bu kitledenraslantsalolarakbelirlibirmiktarseereksadecebunlarnkontroludaha ekonomiktir. Kitle ok byk ise (bir lkede yaayan insanlar) bunlar ile teker teker grerekbilgitoplamakokzorvepahalveyabirfabrikadaimaledilentfek mermilerinintekertekerpatlatlarakkontroluanlamszolacandanbudurumlarda kitledenbelirlisaydaelemanasahiprnekgruplarseip,bunlarkontroledilerek kitle hakknda bir karar verilir. Bu tip istatistik teknikler iletme ynetimi, biyoloji, tp, tarm, psikoloji, sosyoloji, eitim bilimleri vb. btn deneysel alanlarda youn olarak kullanlr. Planlama aamasnda tatminkar bir sonu elde edilirse, uygulamaya geilir. En son olarak ta, bir rapor hazrlanarak aratrma projesinin amacna ulap ulamad deerlendirilir. 6 Equation Section (Next) 2.VER DAILIMININ YAPISAL KONTROLU 2.1.Tanmlar Varlk:Eyalar,insanlar,yerlervb.konulardabiristatistikalmayapldnda, aratrma konusu olan eye, cinsi gznne alnmakszn varlk denir. Deiken:Farklvarlklariinfarkldeerleralabilenfaktrlerdeikenolarak adlandrlr.Budeikenlersomutvarlklar(rneininsanlarnboylar,yllkgelirleri, ambalajlanan rnn miktar, bir kiinin eitim durumu) veya soyut kavramlar (rneinyaz tura atlar, hatal/hatasz kavram) olabilirler. Bir deiken ele alnan tm varlklar iin ayn deeri alyor ise bu deiken sabit olarak adlandrlr. Keyfi(Rassal)Deiken:BirXeitlideerleralabiliyorvebudeikeninalabilecei deerlerindalmmatematikselbirfonksiyonolarakifadeedilebiliyorsa,Xdeikenikeyfi deiken olarak adlandrlr. Nicel/SaysalDeiken:Birdeikeninalabileceideerlersaysalolarak(l,para birimiveyaadet)ifadeedilebiliyorise,budeikenenicel/saysaldeikendenir.rnein, insan boylar, bir parann boyu, hava scakl, mteri says vs. saysal deikenlerdir. NitelDeiken:Birdeikeninalabileceideerlersaysalolarakifadeedilemiyorsabu deikeneniteldeikendenir.rnein,imalattankanbirrnnhatal/hataszolmas, parannyazveyaturagelmesi,elealnandenekleringzrengi,eitimdurumu(ilk,orta, yksek retim)vs. nitel deikenlerdir. Kesikli Deiken : Bir deiken sadece belirli saysal deerler alabiliyor ise, bu deikene kesiklideikendenir.rnein,mterisayssadecetamsaydeerleralabilir;1,87veya 3,25 adet mteri anlamszdr; veya bir zar atnda sadece 1,2,3,4,5,6 deerleri elde edilebilir. Bu tip deikenler kesikli deikenlerdir. SrekliDeiken:Birdeikengerelsayolandeerleralabiliyorise,budeikene srekli deiken denir. rnein, bir para zerindeki deliin ap teorik olarak tm gerel say deerleri alabilir; bir para zerindeki deliin ap 10,234 mm, bir dierinin ap 10,256 mm ise, teorik olarak delik ap bu iki deer arasnda olan bir baka para olabilir. OlaslkFonksiyonu:BirXkeyfideikenininalabileceideerlerindalm matematiksel bir fonksiyon olarak ifade edilebiliyorsa, bu fonksiyon olaslk fonksiyonu veya younluk fonksiyonu ad verilir. AnaKitle/Yn:Biraratrmadabelirlibirdeikeninalabileceitmdeerlerkitle veyaynolarakadlandrlr.rnein,aratrmakonumuzbirokuldakirencilerinboylar ise, okulun tm rencilerin llen boylar ana kitleyi oluturur; aratrma konusu o okulun belirli bir snfndaki rencilerin boylar olduu durumda ise, o snftaki rencilerin boylar tm okuldakine gre ok kk bir say olmasna ramen yine yn oluturur.Kitle ana kitle ve hedef kitle olarak ta bir ayrma tabi tutulabilir. rnein bir aratrmada bir lkedeki16 18 yandaki genlerin okuduklar kitap trlerinin dalm tahmin edilmek 7 istensin. Burada o lkedeki 16 18 ya arasndaki ocuklar ana kitle, bunlarn arasnda kitap okuyanlar ise hedef kitle olarak adlandrlr. rnekleme:Yukardabahisedildiigibianakitlenintmelemanlarnnkontroluher zamanekonomikveyammknolmayabilir.Byledurumlardakitledenilenanatopluluun iinden alnan rnek elemanlarn zellikleri kullanlarak ana kitlenin zellikleri tahmin edilir. Buamalaoluturulanrnektakmnarneklemdenir.rneinbirokulunbelirlibir snfndaki rencilerin boylar, o okuldaki rencilen boylar kitlesinden alnm bir rnektir. rneklerdesonluveyasonsuzsaydaolabilirler.Kitledenrnekalmakiadeli(birtorbadan renkli bir top ekip, rengini kaydettikten sonra torbaya geri atmak) veya iadesiz (birtorbadan renkli bir top ekmek) olabilir.rneklemeninamackitlehakkndafikiredinebilmektir.Ancak,kitledensnrlsayda rnekalndndan,rneklerdeneldeedilensonularnkitleiingenelletirilmesibelirlibir risktar.Buriskinazaltlmasrnekgrubununhacmininolanaklarelverdiincearttrlmas veyntemsiledebilecekseimleryapmakilemmkndr.rneinfarkltorna tezgahlarndaimaledilenparalardantekbirtezgahaaitrnekleralmakyerinefarkl tezgahlardaretilenparalardaneitsaydarnekleralmakgibi.Buekildeseilenrnek grup, ana kitleye daha yakn bir deerler serisi meydana getirecektir.Kitle hakknda bilgi edinmek iin birimlere yaklam ok eitli olabilir. Bir rneklemede bilgi edinmeyntemleri anket, gzlem, deney veprojeksiyon olarak drtgrupta toplanabilir. rnekleme konusu rnekleme yntemleri bal altnda daha ayrntl olarak ele alnacaktr. ekil 2-1. Ana kitle, hedef kitle ve rneklem Ana kitle (Poplasyon) Hedef kitle rneklem 8 2.2.Saysal Verilerin Dzenlenmesi ve Tekerrr Dalmlar 2.2.1.Verilerin Sralanmas Biraratrmaprojesindenveyagnlkallagelenkaytlardaneldeedilenveriler deerlendiricilerinnnegenellikledzensizlistelerhalindegelir.Buverilerinsaysok fazla deilse ilk yaplacak ilem bu verilerin byklklerine gre sralanarak dzenli bir liste halinegetirilmesiolabilir.Bulistelerkktenbyeveyatersiolarakhazrlanabilir. Deerlendiricibusrallistelerebakarakincelenenolaykonusundakolaycabirnfikir edinebilir. rnein bir fabrikada alan 100 iinin srdrdkleri yalar aadaki gibi olsun : 20401920232434314241 21421827333029421928 32432739423932442734 35453241382426503236 33405453292643332027 21326053544251263343 22386250613548254129 34325632333833324727 43234228272123282936 55224326253027243130 Kark olarak gelen bu listeyi, yalar kkten bye doru sralayarak dzenli bir liste elde edilebilir. 18222628313335414351 19232628313336414353 19232628323336414353 20232729323338424354 20242729323338424454 20242729323338424555 21242729323439424756 21252730323439424860 21252730323440425061 22262730323540435062 Bu listeye bakarak kolayca aadaki veya benzer sonular karlabilir : -alan iilerin ok az (6 tanesi) 20 ya ve altndadr. -alan iilerin ou (70 tanesi) 40 ya ve altndadr. -alan iilerin ok az (3 tanesi) 60 ya ve stndedir. -alan iilerin yars 32 ya ve altndadr. 9 2.2.2.Tekerrr (Frekans) Dalm Srallistelerilkbaktabazbasitbilgilerverselerde,bulistelerdenistenenherbilgiye ulalmas,zellikleverilerinokfazlaolduudurumlarda,zamanalcvezorolur.Veri listeleribazkriterleregresnflaraayrlarakgruplandrlarakdahabilgilendiriciolan tekerrr (frekans) dalm tablolar elde edilir. Yukardakirnekteelealnanverilistesi1820ya,2130ya,3140ya,4150 ya, 51 60 ya ve 61 62 ya eklinde bir snflama yaplarak, bu snflara giren varlklarn adetlerikarlarnayazlmakyoluyla,bufabrikadaalaniilerinyalarnaaittekerrr dalm tablosu elde edilebilir. Burada snf aralklar birbirlerini takip etmeli ve snf snrlar birbirleri ile akmamaldr. Tablo 2-1. Bir fabrikada alan 100 iinin yalarnn dalmna ait tekerrr tablosu. Yalari Adedi 18 20 Ya6 ii 21 30 Ya34 ii 31 40 Ya30 ii 41 50 Ya20 ii 51 60 Ya8 ii 61 62 Ya2 ii Toplam100 ii Elealnanverilertekerrrdalmolarakdzenlenmekistendiindesnfsnrlarher zamanyukardakigibidoalsaydeerleralmayabilir.rnein120dairelibirsitededaire banaaylkdoalgazharcamasnn40139marasndadeitiibulunmutur.Bu aratrmadallenaylkdoalgazharcamalarnndalm,belirtilensnrlararasnda10 snfl bir tekerrr tablosu olarakaadaki gibi dzenlenebilir : Tablo 2-2. Aylk doalgaz harcamas dalmna ait tekerrr tablosu. D.G. Harcamas (m)Daire Says 40 491 50 593 60 695 70 7916 80 8922 90 9929 100 10923 110 11915 120 1294 130 1392 Toplam120 Ayn tekerrr tablosu aadaki gibi de dzenlenebilir. 10 Tablo 2-3. Aylk doalgaz harcamas dalmna ait tekerrr tablosunda snf snrlarnn farkl bir dzenlenii. D.G. Harcamas (m)Daire Says 40 501 50 603 60 705 70 8016 80 9022 90 10029 100 11023 110 12015 120 1304 130 1402 Toplam120 Butablodagrldgibihersnfnaltsnrbirstndekisnfnstsnrile akmaktadr.Aslndaburadaifadeedilmekistenenrnein8090snfiintketim miktarnn80meeitveyadahabykile90mtenkkolduudur.Budurumsnf snrlarolarak80 = = } } integralinin deerine eittir. -[a,b] _ ],[ olmak zere, Xin a ve b arasnda bir deere sahip olma olasl ise, ( ) ( )bap a X b f x dx s s = } integralinin deerine eittir. 66 3.5.2.Dalma ve Yaylma Fonksiyonlar [,B(),p]olaslkuzayndabirXkesiklirassaldeikeninindalm ( ) { } | | ( ) ( )1 2: , , , 0, ,n i if X x x x f x p X x O = = = fonksiyonuolaraktanmlanr.f fonksiyonu younluk fonksiyonu olarak adlandrlr. Butanmagreyounlukfonksiyonusfrveyapozitifdeerleralr.AyrcaX deikeninin alabilecei deerlerin olaslklar toplam da 1e eit olmaldr. ( ) | | ( )10, , 1nn iif x x p X x=e = =

Xin srekli rassal bir deiken olmas durumunda ise, bu art ( ) 1 f x dx =} olarak ifade edilir. rnein bir zarn iki kez atlmas denemesini ele alnrsa gelen saylarn toplamnn,-kiden kk olma olasl p (X < 2) = 0 dr. f (x) = 0 -2 olma olasl p (X=2) = 1/36 dr. f (x) = 1/36 -3 olma olasl p(X=3) = 2/36 dr.f (x) = 2/36 - -12 olma olasl p (X=12) = 1/36 dr.f (x) = 1/36 -12den byk olma olasl p (X>12) = 0 dr.f (x) = 0 dr. Bu deerlere gre f (x) fonksiyonunun ubuk grafii aadaki gibidir : ekil 3-1. ki zarn toplamna ait olaslk fonksiyonu Xkesiklirassaldeikenininbirikimliolaslkfonksiyonuise, | | ( ) : 0,1 ,iF F p X x = < eklindebirfonksiyonolaraktanmlansn.KesiklirassalX deikeniiinyaylmafonksiyonunungrafiibirikimlibirmerdivenfonksiyondur.(Bkz. ekil 3-2) 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0 0123456< 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > 12f i X 67 ki zarn toplamnn : 2den kk olma olaslp (X < 2) = 0 dr.F (2) = 0 3den kk olma olaslp (X < 3) = 1/36 dr.F (3) = 1/36 4den kk olma olaslp (X < 4) = 3/36 dr.F (4) = 1/12 5den kk olma olaslp (X < 5) = 6/36 dr.F (5) = 1/6 6dan kk olma olaslp (X < 6) = 10/36 dr.F (6) = 5/18 7den kk olma olaslp (X < 7) = 15/36 dr.F (7) = 5/12 8den kk olma olaslp (X < 8) = 21/36 dr.F (8) = 7/12 9dan kk olma olaslp (X < 9) = 26/36 dr.F (9) = 13/18 10dan kk olma olaslp (X < 10) = 30/36 dr.F (10) = 5/6 11den kk olma olaslp (X < 11) = 33/36 dr.F (11) = 11/12 12den kk olma olaslp (X < 12) = 35/36 dr.F (12) = 35/36 12 ve 12den kk olmap (X 12) = 36/36 dr. F (13) = 1 olasl ekil 3-2. ki zarn toplamnn birikimli olaslk fonksiyonu BirikimliolaslkfonksiyonuilebirXkesiklirassaldeikeniilebetimlenenolaylarn olaslklarhesaplanabilir.rnein,Xkesiklirassaldeikenininbelirlibiraralktadeerler alma olasl p (a X < b) olsun. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 p a X b p X a X b p X a X b ( ( s < = < > = < > a < b olduundan, p [ (X < a) (X b) ] = 0 dr. Buna gre,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 p a X b p X a p X b p X a p X b( s < = < + > = < > ( ) ( )( )( ) ( ) 1 1 p a X b p X a p X b p X b p X a (s < = < < = < < elde edilir. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p a X b p X b p X a F b F a s < = < < = (3.5) Yukardakirnekteiinatlanikizarntoplamnn4veya4tenbykve7denkk olmaolasl, ( ) ( ) ( )15 3 12 14 7 7 4 (7) (4)36 36 36 3p X p X p X F F s < = < < = = = =olarak hesaplanr. 2 3 4 5 6 78 9 10 1112 1 3 6 10 15 21 26 30 33 35 36 F (x) X 68 Yukarda bahsedildii gibi X rassal deikeni kesikli olmayp, tm gerel say deerleri de alabilir.BudurumdaXsreklirassaldeikenolarakadlandrlr.Xinavebarasndabir deere sahip olma olasl, f (x) olaslk fonksiyonu olmak zere,( ) ( ) ( ) ( )bap a X b f x dx F b F a s s = = }dir.(3.6) 3.5.3.Kesikli Rassal Deiken iftleri 3.5.3.1.Rassal Deiken iftleri Kanunu [, B(), p] olaslk uzaynda X() = { x1, x2, , xn } ve Y() = { y1, y2, , ym }kesikli rassal deikenleri gznne alnsn. Bunlarn dalma fonksiyonlar da srasyla f ve g olsun.[(X = xi) [(Y = yj)] = X 1 (xi) Y 1 (yj) eklinde iki olayn arakesiti de bir olaydr. Bu olay, X(e) = xi ve Y(e) = yj olacak ekilde daki e olaslklarnn kmesidir.( ) ( ) X Y+O O tanml(xi,yj)pij=p[[(X=xi)[(Y=yj)]fonksiyonurassal deikeniftlerikanunuolarakadlandrlr.Bufonksiyongenellikleaadakigibibirtablo zerinde gsterilir. Tablo 3-1. Kesikli rassal deiken iftinin elemanlar Y X y1y2.yjym x1 p11p12.p1j.p1m x2 p21p22.p2j.p2m .. xi pi1pi2.pij.pim ... xn pn1pn2.pnj.pnm Tablo 3-2. Bir zarn 2 kez pepee atlmas deneyi iin, X ilk atlan zardaki say ve Y iki zarn toplam olmak zere (X,Y) iftlerine ait tablo. Y X 23456789101112 11/361/361/361/361/361/3600000 201/361/361/361/361/361/360000 3001/361/361/361/361/361/36000 40001/361/361/361/361/361/3600 500001/361/361/361/361/361/360 6000001/361/361/361/361/361/36 69 Teorem :1 i n , 1 j m ,p i = p (X = xi) = f (xi) ve p j = p (Y = yj) = g (yj) olmak zere, ( ) ( )1 1;m ni i ij j i ijj ip f x p p g y p= == = = = dir. spat :p i = p (X = xi) = p (X = xi) ( ) ( )1mi i jjp p X x Y y= ( (= = = ( ( ( ( ) ( )1mi i jjp p X x Y y= ( (= = = ( j j olmak zere, (Y = yj) (Y = yj) = olduundan,[ (X = xi) (Y = yj) ] [ (X = xi) (Y = yj) ] = dir. 3.3.1 blmndeki Teorem 3ten yararlanarak, ( ) ( )1 1m ni i j ijj ip p X x Y y p= = (= = = = bulunur. Teorem,p jiin de benzer ekilde ispatlanr. Bu teorem rassal deiken iftinin elemanlar ile beraber aadaki gibi bir tablo zerinde gsterilebilir. Tablo 3-3. Yukardaki teoremin kesikli rassal deiken iftinin elemanlar ile beraber tablo eklinde gsterilii. Y X y1y2.yjymf x1 p11p12.p1j.p1mp 1 x2 p21p22.p2j.p2mp 2 .. xi pi1pi2.pij.pimp i ... xn pn1pn2.pnj.pnmp n Gp 1p 2p jp m1 70 Tablo 3-4. Bir zarn 2 kez pepee atlmas deneyinde, Xilk atlan zardaki say ve Y iki zarn toplam olmak zere teoremin sonularnn tablosu. Y X 23456789101112f 11/361/361/361/361/361/36000001/6 201/361/361/361/361/361/3600001/6 3001/361/361/361/361/361/360001/6 40001/361/361/361/361/361/36001/6 500001/361/361/361/361/361/3601/6 6000001/361/361/361/361/361/361/6 G1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/361 3.5.3.2.artl Olaslk Bayes Teoremi Daha nce de ele alnd gibi X = xi gereklemi iken Y = yj nin gerekleme olasl,( )( )( ) ( )( )ii jijj X xi ip X x Y ypp Y yp X x p= (= = = = ==dir. Benzer ekilde, Y = yj gereklemi iken X = xinin gerekleme olasl, ( )( )( ) ( )( )ji jijiY yj jp X x Y ypp X xp p Y y= (= = = = ==dir. rnein, iki zarn toplam denemesinde, Tablo 3-4den yararlanarak, -X = 1 olduunda, Y = 4 olma olasl, ( )( )14111 36 141 6 6Xpp Yp== = = =-X = 2 olduunda, Y = 9 olma olasl, ( )( )292209 01 6Xpp Yp== = = =-Y = 2 olduunda, X = 1 olma olasl, ( )( )12221 361 11 36Ypp Xp== = = =-Y = 8 olduunda, X = 4 olma olasl, ( )( )48881 36 145 36 5Ypp Xp== = = =vs. eklinde hesaplanr. 71 3.5.3.3.Bamsz Rassal Deikenler 1 i n ve 1 j m olmak zere, (X = xi) ve (Y = yj) olaylar bamsz ise, X ve Y rassal deikenleri bamszdr denir. X ve Y rassal deikenleri bamsz deikenler ise, p ij = p [ (X = xi) (Y = yj) ] = p (X = xi) p (Y = yj) = p i p j dir. Yukardakiikizarntoplamdeneyinde,XveYrassaldeikenleribamszdeillerdir, nk rnein x = 4 ve y = 9 iin p ij = 1/36, oysa ki p i p j = 1/6 4/36 = 1/54 1/36 dr. 3.5.3.4.Rassal Deikenler ile lemler 1)[ , B() , p] olaslk uzaynda tanml X kesikli rassal deiken ve a bir gerel say ise, (X + a) ve aX de rassal deikenlerdir. 2)[ , B() , p] olaslk uzaynda tanml X ve Y bamsz rassal deikenler ve a , b gerel saylar ise, X + a ve Y + b bamsz rassal deikenlerdir. 3)[ , B() , p] olaslk uzaynda tanml X ve Y rassal deikenler ise, X + Y ve XY de rassal deikenlerdir. 3.5.4.Rassal Deikenlerin zellikleri 3.5.4.1.Beklenen Deer (Matematik mit)BirXkesiklirassaldeikenininbeklenendeeri,odeikeninalabileceiolasdeerler ileodeerlereaitolaslklarnarpmlarnntoplanmasyoluylabulunur.Xkesiklirassal deikeni x1, x2, .. , xn deerlerini p1, p2, .. , pn olaslklar ile alabiliyor ise Xin beklenen deeri, ( )1 1 2 21nn n i iiE x x p x p x p x p== + + + = (3.7) rnein, pepee atlan iki zarn toplam denemesinde, beklenen deer, ( ) ( )12 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 5 9 4 10 3 11 2 12 136E X = + ++ ++ + + + + + ( )252736E X = = bulunur. Bu rnekte grld gibi beklenen deer ve aritmetik ortalama ayn deerlerdir. rnek 3-13 : Birhissesenedininfiat%10olaslkla1,500TL,%30olaslkla2.000TL,%50 olaslkla 2,500 TL ve % 10 olaslkla 3.000 TL olacaksa bu hisse senedinin beklenen deeri nedir ? ( ) 1500 0,10 2000 0,30 2500 0,50 3000 0,10 2300 E X = + + + = olacaktr. 72 [a,b]aralndadeerleralabilenbirXsreklikeyfideikeniiinisebeklenendeer, ( ) ( )baE X x f x dx = }integraline eittir. Teorem 1 : Sonlu bir olaslk uzaynda tanml bir X kesikli rassal deikeni ve a bir gerel say olmak zere, ( ) ( ) ( ) E a x a E x a R = edir.(3.8) spat : Toplama sembolnn zelikleri kullanlarak bu teorem kolayca ispat edilebilir. ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1n n ni i i i i ii i iE a x a x p a x p a x p a E x= = = = = = = Teorem 2 : Sonlu bir olaslk uzaynda tanml X ve Y kesikli rassal deikenler olmak zere,( ) ( ) ( ) Y E X E Y X E + = +dir.(3.9) spat : ( ) ( )1 1 1 1 1 1n m n m n mij i j ij i ij ji j i j i jE X Y p x y p x p y= = = = = =+ = + = + ( )1 1 1 1n m m ni ij j iji j j iE X Y x p y p= = = =+ = + Blm3.5.3.1degsterildiigibi,( ) ( )1 1m ni i ij j j ijj ip f x p ve p g y p= == = = = olduundan,( ) ( ) ()1 1n mi i j ji jE X Y x p y p E X E Y= =+ = + = + olur. Sonu : X1,X2,..,Xnkesiklirassaldeikenlervea1,a2,..,angerelsaylarolmak zere aadaki eitlik yazlabilir. ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 n n n nE a X a x a x a E X a E X a E X + + + = + + + (3.10) Bu sonu teorem 1 ve 2den yaralanarak kolayca ispat edilir. 73 Teorem 3 : Sonlu bir olaslk uzaynda tanml X ve Y bamsz kesikli rassal deikenler olmak zere, ( ) ( ) () E X Y E X E Y = dir.(3.11) spat : ( )1 1n mij i ji jE X Y p x y= = = X = xi ve Y = yj bamsz olaylar ise, pij = p i . . pjdir. ( )1 1 1 1( ) ( )n m n mi j i j i i j ji j i jE X Y p p x y p x p y E X E Y= = = = ( ( = = = ( ( bulunur. 3.5.4.2.Varyans ve Standard Sapma [, B(), p] olaslk uzaynda tanmlX() = {x1, x2, . , xn} kesikli rassal deikeni gznne alnsn. Xin bir xi deerini alma olasl pi = p(X= xi) olmak zere, X kesikli rassal deikeninin,Varyans : ( ) ( ) ( ) ( )2 21ni iiV X E X E X x E X p= ( ( = = ( (3.12) Standart sapmas : ( ) ( ) X V X o = (3.13) olarak tanmlanr. ki zarn toplam rnei iin varyans, xipixi E(X)(xi E(X))pi . (xi E(X)) 21/362 7 = 5 2525/36 32/363 7 = 41632/36 43/364 7 = 3927/36 54/365 7 = 2416/36 65/366 7 = 115/36 76/367 7 = 000 85/368 7 = 115/36 94/369 7 = 2416/36 103/3610 7 = 3927/36 112/3611 7 = 41632/36 121/3612 7 = 52525/36 ------------ 210/36 ( ) ( )2105,83 2, 41536V X ve X o = = ~ bulunur. Teorem 4 : Sonlu bir olaslk uzaynda tanml X kesikli rassal deikeni iin, ( ) ( ) ( )22V X E X E X( = dir. (3.14) 74 spat : Tanm olarak, ( ) ( ) ( )2V X E X E X (= ( dir. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 222 V X E X E X E X X E X E X ((= = + (( (3.10) ve (3.11) bantlar kullanlarak, ( ) | | ( ) ( )22( ) 2 ( ) ( ) V X E X E X E E X E E X (= + ( E(X) sabit bir gerel say olduundan, E [E(X)] = E(X) veE [(E(X))] = (E(X))dir. ( ) | | | | ( ) | |2 2 22 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) V X E X E X E X E X E X = + = bulunur. Teorem 5 : avebgerelsaylarolmakzere,sonlubirolaslkuzayndatanmlXkesiklirassal deikeni iin, ( )2( ) V aX b a V X + = dir.(3.15) spat : ( ) ( ) ( ) ( )2( ) V X E X E X ve E aX b a E X b (= + = + ( olduundan, ( ) ( ) ( ) ( )2 2( ) V aX b E aX b E ax b E aX b a E X b ((+ = + + = + (( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2E aX a E X E a X E X a E X E X a V X (( (= = = = (( Teorem 6 : Sonlu bir olaslk uzaynda tanml X ve Y kesikli rassal deikenleri iin, ( ) ( ) () V X Y V X V Y + = + dir.(3.16) spat : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()2V X Y E X Y E X Y ve E X Y E X E Y (+ = + + + = + ( olduundan, ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( )2 2V X Y E X Y E X E Y E X E X Y E Y ((+ = + = + (( ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( )2 22 E X E X X E X Y E Y Y E Y (= + + ( ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( )2 22 E X E X E Y E Y E X E X Y E Y (( (= + + (( ( ) () ( ) ( ) () ( )2 V X V Y E X E X Y E Y (= + + E(X) ve E(Y) sabit olduundan [X E(X)] ve [Y E(Y)] bamsz deikenlerdir. ( ) ( ) () ( ) ( ) () E X E X Y E Y E X E X E Y E Y ((( = ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) () () 0 E X E E X E Y E E Y E X E X E Y E Y (((( = = = dr. Dolaysyla,( ) ( ) () V X Y V X V Y + = +bulunur. 75 Equation Section (Next) 4.BAZI NEML OLASILIK DAILIMLARI Biriletmedekarlalanouproblemlerbirtakmmatematikselifadelereindirgenerek zlebilir.Problemlerinmatematikselformllerilebetimlenmesinematematikmodelleme adverilir.letmelerdekarlalanfarkldurumlardanaslbirmatematikmodel oluturulacakararlatrlrken,kararetkileyecekunsurlarntahminibyknemtar. rnein bir ara bakm / onarm servisinde gnde hizmet verilecek ara says, servis alan ve personelsaysnnbelirlenmesindebalcakarardeikenidir.Ancakbusayncedenkesin olarak bilinemeyeceinden tahmin edilmelidir. te bu ekilde kararlar etkileyecek unsurlarn tahmininde olaslk hesaplar bavurulacak balca yoldur. Belirlibirolayngereklemeolasln,olaslkteorisininkanunlarndanfaydalanarak hesaplamakmmkndr.Ancak,geneldekarlalanproblemlerburayakadarele alnanlardan ok daha karmaktr. ou durumda olaylarn olaslklarn daha ksa srede ve kolaycahesaplamakiinzelyntemlerveformllergelitirmekgereklidir.Bylegenel formllerinoluturulmasamacylanceliklerassaldeikenlerikifarkltipeklinde gznnealnarakbunlarzerindeilemyaplr:kesiklirassaldeikenlervesreklirassal deikenler. 4.1.Kesikli Olaslk Dalmlar Daha nce de vurgulandgibi, birX rassal deikeni sadece belirli deerler alyorsa bu deiken kesikli rassal deiken olarak adlandrlr. rnein bir zar atnda X gelen say ise, X deikeni 1, 2, 3, 4 , 5 ve 6 deerlerini, bir torbadan ekilen beyaz toplarn saysn temsil eden X deikeni sadece tamsay deerler alabilir. Kesiklirassaldeikenlerinolaslklar,farkldurumlariindzgndalm,binomve Poissondalmlarvehipergeometrikdalmilehesaplanabilir.imdi,budalmlarteker teker ayrntl olarak ele alncaktr. 4.1.1.Kesikli Dzgn Dalm BirdenemedemmknolannsaydakisonucunolaslklarbirbirineeitiseXrassal deikeninin dalm dzgn dalmdr. Para atnda yaz veya tura gelmesi, hilesiz bir zar birkezatldnda1den6yakadarsaylarngelmesi,birdesteoyunkadnniindenbir taneekilmesivb.rneklerdeherolayeitolaslklolduundan,Xdeikenininolaslk dalm sreksiz dzgn dalm olarak ifade edilir. Dzgndalmtekparametreliveparametresinolanbirdalmdr.1dennyekadar deerler alan bir dzgn dalmn beklenen deeri ve varyans hesaplanmak istenirse : Beklenen deeri,( )( )1 1 111 1 1 12 2n n ni i i ii i in nnE X x p x xn n n= = = ++= = = = = Varyans, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2V X E X E X E X E X (= = ( ( )( ) ( ) ( )2222 21 11 2 1 11 1 12 6 4n ni i ii in n n nnx p E X xn n= = + + ++ | | ( = = = | \ . 21 2 1 1 1 1 12 3 2 2 6 12n n n n n n + + + + | |= = = |\ . 76 Sonu olarak kesikli dzgn dalmn, Beklenen deeri : ( )12nE X+= (4.1) Varyans :( )2112nV X= (4.2) rnein iinde 1den 9a kadar numaralanm toplar olan bir torbadan 1 top ekildiinde gelentopunbeklenendeeri ( )9 152E X+= = vevaryans( )29 1 206, 612 3V X= = = olarak bulunur. 4.1.2.Binom Dalm Uygulamalistatistikteenokkullanlankesiklidalmtiplerindenbiribinom dalmdr.Binomdalm,Bernoullidenemesiolarakadlandrlansreteneldeedilen sonularn olaslk dalmdr. 4.1.2.1.Bernoulli Denemesi Bernoullidenemelersreciaadakiartlargerekleyenbirdeneylerserisiolarak tanmlanr : 1)Birbirindenbamsznfarkldenemeszkonusudur,yanibirdenemedierbirinin sonucunu etkilememelidir. 2)Herdenemeninbaarveyabaarszlkolaraksnflandrlabilecekikiolassonucu olacaktr. 3)pilegsterilecekolanbaarolaslbirdenemedendierinesabitkalacaktr.A olay baar olarak kabul edilirse, p (A) = p ve ( )1 p A q p = = olacaktr. rneinbirmadeniparannnkezpepeeatlmasdenemesi,heratbirsonrakini etkilemediinden, her denemenin yaz veya tura olarak iki sonucu olduundan ve yaz gelme olaynn olasl her atta p = olduundan bir Bernoulli denemesidir. Benzerekilde,birtorbada4krmz+3sar+3beyaztopolsun.Butorbadan,her seferindeekilentoptorbayageriatlmakzere,pepee4topekildiibirdeneme dnlsn. Krmz top ekme olay (A) baar olarak kabul edilirse, her deneme iin baar olaslp=4/10olacandan,denemelerbamszolduklarndanveherdenemeninkrmz veyakrmzdeileklindeikiolassonucuolduundan,budenemebirBernoulli denemesidir.Oysaki,iadesizekimyaplrsadenemlerbamszolmayacaklarndanvep dahanceekilentoplarnrenginegreherseferindedeieceindendenemebirBernoulli denemesi olmayacaktr. 4.1.2.2.Binom Kanunu (Dalm) Birmadeniparannarkaarkaya10kezatlmasdurumuelealnsn.rneinyazgelme durumubaarolarakkabuledilirse,Xdeikeni10attagelenyazadediolarak tanmlanrsa, -Herbiratta,yazveyaturagelebileceindenmmknhalsays2dir.10attaki mmkn hal says ise 210 = 1024 olacaktr. -Her bir atta yaz gelme olasl dir. 77 10atyapldnda0kezyazve10kezturagelmeolaslolaslklarnarpm kanunundan 101 1 1 1 12 2 2 2 1024 = =olarak bulunur. 10atyapldnda1kezyazve9kezturagelmeolasl,10attanherhangibirinde tura gelebilecei dnlerek 101024 olur. 10 atyapldnda 2 kezyaz ve 8 kez tura gelme olasl, 10 attan herhangi ikisinde yaz gelebileceinden 210451024 1024C=dir. Byle devam edilerek, aadaki olaslklar elde edilir. kXk SaylarOlaslklar 0 Yaz 10 Tura 011 / 1024 1 Yaz 9 Tura 11010 / 1024 2 Yaz 8 Tura 24545 / 1024 3 Yaz 7 Tura 3120120 / 1024 4 Yaz 6 Tura 4210210 / 1024 5 Yaz 5 Tura 5252252 / 1024 6 Yaz 4 Tura 6210210 / 1024 7 Yaz 3 Tura 7120120 / 1024 8 Yaz 2 Tura 84545 / 1024 9 Yaz 1 Tura 91010 / 1024 10 Yaz 0 Tura 1011 / 1024 Buksaylar(x+y)nbinomalmnnkatsaylarolan 0 1, , ,nn n nC C C deerleriile ayndr.BuekildeBernoullidenemesineuygundenemeleriinolaslklarbinomdalm veya binom kanunu olarak adlandrlan bir forml ile hesaplanabilir. Engenelanlamda,birAolaynnbaarolaslp,baarszlolaslq=1pile gsterilirse, birbirinden bamsz n denemede A olaynn x kez gerekleme olasl, ( ) ( ) ; ; . 1n xx x x x n xn nb x n p C p p C p q= = (4.3) forml ile hesaplanr. Bu forml binom forml veya binom kanunu olarak adlandrlr. rnek 4-1 : Birbasketbolcufaulatlarndan%75inisayyaeviriyorsa,gelecek4faulatnda2 say ve en az 2 say yapma olasl nedir ? Birdeneme(faulat)birsonrakidenemeyietkilemediinden,herdenemeninolasiki sonucuolduundan(say/saydeil)veherdenemeiinbaarolasl(%75)eit olduundan Bernoulli denemesidir ve olaslklar binom forml ile hesaplanabilir. X,yaplanfaulatlarnnsayolmaolayntemsiledenrassaldeikenise,4faul atndan 2 say yapma olasl, p = 0,75 = , n = 4, x = 2 olmak zere, ( )( )2 4 2 2 2243 3 3 4! 3 12 2;4; 14 4 4 2! 4 2 ! 4 4p X b C| | | | | | | | | |= = = = ||||| \ . \ . \ . \ . \ . 78 ( )243 272 6 0, 211 %21,14 128p X = = = ~ = dir. En az iki say yapma olasl ise, 2, 3 veya 4 say yapma olaslklarnn toplamna eittir. (2, 3 veya 4 say yapma olaylar ayrk olaylar olup, bunlarn arakesitleri bo kmedir) p (X 2) = p (X = 2) + p (X = 3) + p (X = 4) ( )( )3 4 3 3 2343 3 3 4! 3 13 3;4; 1 0, 4224 4 4 3! 4 3 ! 4 4p X b C| | | | | | | | | |= = = = ~ ||||| \ . \ . \ . \ . \ . ( )( )4 4 4 4 0443 3 3 4! 3 14 4;4; 1 0,3164 4 4 4! 4 4 ! 4 4p X b C| | | | | | | | | |= = = = ~ ||||| \ . \ . \ . \ . \ . p (X 2) = 0,211 + 0,422 + 0,316 = 0,949 = % 94,9 Binom dalm iin beklenen deer ve varyans iin de n, p ve q cinsinden bantlar elde edilebilir. Beklenen deer tanm gerei,( )1ni iiE X x p== dir. ( )( )1 1 1!! !n n ni i n i i n ii i ni i knE X x p i C p q i p qn i i = = == = = p ve n sabit olduundan : ( )( )( )( )111 !! 1 !nk n kknE X n p p qn k k == k = i 1 indis deiiklii yaplsn. 1 i n0 k n 1 ( )( )( )1 11 110 01 !1 ! !n nk n k k k n knk knE X n p p q n p C p qn k k = == = Binom alm dnldnde( )( )11110nnn k k knkC p q p q = = + dir. Ayrca p + q = 1 olduundan, E(X) = n.pelde edilir. Varyans tanmndan, V(X) = E [ (X E(X)) ] = E [ (X n.p) ] = E [ X 2npX + n.p ]X yerine [ X . (X 1) + X ] yazlarak, V(X) = E [ X . (X 1) + X 2npX + n.p ]V(X) = E [ X . (X 1) + X ] E [2npX] + E [n.p]V(X) = E [ X . (X 1) ] + E(X) 2np.E [X] + n.p( ) ( ) ( ) ( )1 1!1 1 1! !n ni i n i i n ini inE X X i i C p q i i p qn i i = = ( = = p ve n sabit ve i = 1 iin toplamn ilk terimi 0 olduundan : ( ) ( )( )( )( )2 222 !1 1! 2 !ni n iinE X X n n p p qn i i = ( = k = i 2 indis deiiklii yaplrsa, 1 i n0 k n 2( ) ( )( )( )22 202 !1 12 ! !nk n kknE X X n n p p qn k k = ( = ( ) ( )( )22 2201 1nn k k knkE X X n n p C p q = ( = 79 Binom alm dnldnde( )2220nnk k n knkC p q p q= = +dir. Ayrca p + q = 1 olduundan, E [ X . (X 1) ] = n.(n 1).pelde edilir. ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 1 V X n n p n p n p n p n p n p n p p n p q = + + = + = = V (X) = n.(n 1).p + n.p 2.n.p + n.p = n.p n.p + n.p n.p = n.p.(1 p) V (X) = n.p.qbulunur. zetle binom dalmnn, Beklenen deeri : ( ) E X n p = (4.4) Varyans : ( ) ( )21 V X n p q n p p o = = = (4.5) rnek 4-2 : 2 zarn pepee 4 kez atld denemede iki zarn 0, 1, 2 , 3 ve 4 kez ayn gelme olaslklar ne olacaktr ? Bu dalmn beklenen deeri, varyans ve standart sapmas nedir ? Xikizarnayngelmeolayntemsiledenbirrassaldeikenolsun.Herattaikizarn ayngelmeolasl6/36=1/6dr.kizarn4kezpepeeatlmasbirBernoullidenemesi olduundan olaslklar binom dalm ile hesaplanr. ( )( )0 4 0 0 4404 41 1 1 4! 1 5 5 6250 0;4; 16 6 6 0! 4 0 ! 6 6 6 1296p X b C| | | | | | | | | |= = = = = = ||||| \ . \ . \ . \ . \ . ( ) 0 0, 4823 p X = ~( )1 4 1141 1 11 1;4; 1 0,38586 6 6p X b C| | | || |= = = ~ || |\ . \ .\ . ( )2 4 2241 1 12 2;4; 1 0,11576 6 6p X b C| | | | | |= = = ~ |||\ . \ . \ . ( )3 4 3341 1 13 3;4; 1 0, 01546 6 6p X b C| | | | | |= = = ~ |||\ . \ . \ . ( )4 4 4441 1 14 4;4; 1 0,00086 6 6p X b C| | | | | |= = = ~ |||\ . \ . \ . Beklenen deer : ( )1 24 0, 66 3E X n p = = = =Varyans : ( )1 5 54 0,56 6 9V X n p q = = = =Standart sapma :( )50, 7453V X o = = ~ 80 rnek 4-3 : Bir ehirde yaayan bireylerin % 30unun lise mezunu olduklar bilinmektedir. Bu bireyler arasndanrasgeleseilen5kiiden0,1,2,3,4ve5kiininlisemezunuolmaolaslklar nedir? Bu rnekte iadesiz ekim yapldndan denemeler birbirinden bamsz deildir. Bununla birlikte, ehir nfusu ok byk olduundan bunlarn arasndan seilen bir kiinin daha sonra yaplacakseimietkilemedii,dierbirdeyiledenemelerinbamszolacavarsaylarak binom dalm kullanlabilir. n = 5, x = 0, ... , 5 ve p = 0,30 alnarak, X seilen kiilerden lise mezunu olanlarn saysn gstermek zere, ( ) ( ) ( ) ( )0 5 0050 0;5;0,30 0,30 0,7 0,1681 p X b C= = = ~( ) ( ) ( )( )1 5 1151 1;5;0,30 0,30 0,7 0,3601 p X b C= = = ~( ) ( ) ( ) ( )2 5 2252 2;5;0,30 0,30 0,7 0,3087 p X b C= = = ~( ) ( ) ( ) ( )3 5 3353 3;5;0,30 0,30 0,7 0,1323 p X b C= = = ~( ) ( ) ( ) ( )4 5 4454 4;5;0,30 0,30 0,7 0,0284 p X b C= = = ~( ) ( ) ( ) ( )5 5 5555 5;5;0,30 0,30 0,7 0,0024 p X b C= = = ~olarak bulunur. Butopluluktanrasgeleseilecek80kiidentahminenkannlisemezunuolacan bulmakiindalmnbeklenendeerindenfaydalanlr.Budalmnbeklenendeerin deneysays(seilenkiilerinsays)80olduundan,E(X)=n.p=80.0,30=24kiininlise mezunu olmas beklenmelidir. Yenidenbataki10kezmadeniparaatprobleminednlrse,buradakiolaslklarn histogram ve tekerrr poligonu aadaki ekilde olacaktr : ekil 4-1. Pe pee 10 kez madeni para atnda yaz gelme olaslklar 0.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000Y+1T1Y+9T2Y+8T3Y+7T4Y+6T5Y+5T6Y+4T7Y+3T8Y+2T9Y+1T10Y+0T10 Kez Para Atnda Yaz Gelme Olaslklar 81 ekil4-1degrleceigibi10kezmadeniparaatproblemindeX(yazgelmeadedi) deikeniiinolaslkfonksiyonunungrafiisimetriktir.Eerbinomdalmndabirolayn gerekleme olasl p = 0,50 ise bu dalmn grafii simetriktir ve byle bir binom dalm simetrik binom dalm olarak adlandrlr.p0,5iseolaslk fonksiyonunungrafiindesaaylmagzlemlenir.Rasgeleseilen5kiidenlisemezunu olanlarnsaysolaraktanmlananXdeikenininolaslkdalmnaaitgrafiktebudurum aka grlr. (Bkz. ) ekil 4-2. Lise mezunlarnn oran 0,30 olan bir topluluktan rasgele seilen 5 kiiden lise mezunu olan kii saysna ait olaslklar Teorikolarak,binomdalmyasnrlbiryndaniadeliolarakekilenrneklerveya sonsuzbiryndaniadeliveyaiadesizekilenrneklerszkonusuolduundauygulanabilir. Oysa,pratikterneklerdaimasnrlbiryndanekilir.rneklersnrlbirkitledeniadesiz olarakekiliyorlarsa,herekimsonrasndaanaynnelemansays1azalacaktr.Bu durumdadaanaynnkarakteri,dolayssylapbaarolasldeiecektir.rnein,28 kadn ve 22 erkekten oluan 50 kiilik bir topluluktan rasgele 2 kii seilsin.1)lk seilen kiinin kadn olma olasl 28/50, erkek olma olasl 22/50 dir.2)kinci seimde : a)lk seilen kii kadn ise, ikinci seilen kiinin : i)Kadn olma olasl 27/49 ii)Erkek olma olasl 22/49 b) lk seilen kii erkek ise, ikinci seilen kiinin : i)Kadn olma olasl 28/49 ii)Erkek olma olasl 21/49 Herdurumdadaikinciseimdekiolaslklar,birinciseiminsonucundanetkilenecekve baarolaslfarklolacaktr.BudurumdaBernoullidenemesiszkonusuolmadndan binomdalmuygulanamayacaktr.Bununlabirlikteyndanalnanrneksays(n),ana ynn eleman saysnn (N)yannda ok kkise, baar olaslpok az deieceinden yine binom dalm (yaklak olarak) uygulanabilir. Genel olarak N > 10n olduu durumlarda binom dalmnn ok fazla hataya yol amadan uygulanabilecei kabul edilir. 0.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000.35000.40000 kii1 kii2 kii3 kii4 kii5 kiiRasgele seilen 5 kiiden lise mezunu olanlarn says (p = 0,30) 82 4.1.3.Poisson Dalm DiernemlibirolaslkdalmFranszmatematikiSimeonDenisPoissontarafndan 1837deyaynlananPoissondalmdr.Budalmbinomdalmnnzelbirekliolup, rnek saysnn (n) byk ve baar olaslnn (p) ok kk olduu hallerde uygulanr.Bu dalmn kullanlabilmesi iin belirli bir zellie sahip K elemann (rnein hatal oran), K/N oransabitolmaldr.Dierbirdeyileekileriniadeliolmasveyaekilerinynn karakterini etkilememesi gerekir. Poisson dalmnn genel ifadesi, binom formlnde n yaplarak bulunur.Bir anayndan rasgele seilen n elemandan belirli zellie sahip (rnein hatal) k tane olma olasl, !kkp ek= dir.(4.6) Burada , belirli bir zaman veya uzay aralnda llen elemanlar iinde istenen zellie sahip K elemann ortalamas ( = n.p) olup, dalmn parametresi olarak adlandrlr. e = 2,718281828459045.. gerel saysdr. Poisson dalm,-malattan kan hatal para says, zellikle de bir kuma topundaki hata olasl, -Bir kitaptaki yazm hatalar, -Bir fabrikadaki i kazas olasl, -Az raslanan bir hastala yakalanma olasl, -Radyoaktif parack emisyonu, vb. durumlarda kullanlabilir. Poisson dalmnn zellikleri yledir : 1)ncelenenolaylarbirbirlerindenbamszdr.Yani,belirlibirzamanveyauzay aralnda bir olayn oluumunun, ayn veya farkl bir zaman aralnda ayn olayn ikinci kez olmas olaslna bir etkisi yoktur. 2)Teorik olarak belirli bir aralkta olay sonsuz sayda ortaya kabilir. 3)Belirlibiraralktaolaynbirkezortayakolaslseilenaralnuzunluuile orantldr. 4)Sonsuz kk bir aralkta olayn birden fazla olma olasl ihmal edilebilir. 5)Poissondalmnndierbirilginzelliidedalmnhemortalamas,hemde varyansnn = n.p ye eit olmasdr. rnek 4-4 : Birfabrikadaalanbiriininbiryldaikazasgeirmeolaslbinde5dir.Bu iyerinde500iialtnagre,biryldahiikazasolmamave2iininikazas geirme olaslklar nedir ? kazasgeirmeolaslp=0,005sabitveokkkolduundanPoissondalm kullanlabilir. = n.p = 500 . 0,005 = 2,5 83 Bu fabrikada bir ylda hi i kazas olmama olasl k = 0 iin,( )02,5 2,502,510,0821 %8, 210! 1p e e = = ~ = Bu fabrikada bir ylda 2 i kazas olma olasl k = 2 iin,( )22,5 2,522,56, 250, 2565 %25, 652! 2p e e = = ~ =olarak bulunur. rnek 4-5 : Biratlyedeimaledilencivatalarn%3hatalkmaktadr.Civatalar10.000adetlik partilerhalindeteslimedilmektevealcherpartiden100adetcivataykontroletmektedir. Tesadfi olarak seilen 100 adet rnekte : a)Hi hatal bulunmama, b)En ok 2 hatal olma,c)2den fazla hatal olma olaslklar nedir ? p = 0,03 kk ve sabit olduundan Poisson dalm kullanlabilir. = n.p = 100 . 0,03 = 3 a) Hi hatal para olmama olasl (k = 0) : 030 33 1 10,0498 %4,980! 1p ee= = ~ = b)Seilen100paraiindeenok2hatalolmaolasl,0,1veya2hatalparaolma olaslklarnntoplamnaeittir.(Aynandafarklsaydahatalparaolamayacandan arakesitler sfrdr.) X , 100 para iindeki hatal saysn gstermek zere, p ( X 2 ) = p ( X = 0 ) + p ( X = 1 ) + p ( X = 2 ) = p0 + p1 + p2

1 23 31 23 30,1494 %14,94 0, 2240 %22, 401! 2!p e p e = ~ = = ~ =p ( X 2 ) = 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 = 0,4232 = % 42,32 c) 2den fazla hatal olma olasl p ( X > 2 ) = 1 p ( X 2 ) = 1 0.4232 = 0,5768dir. rnek 4-6 : Belirli bir kavakta ylda 48 tane trafik kazas olmaktadr. Bu kavakta bir ayda hi trafik kazas olmama ve 3 ve 3ten fazla trafik kazas olma olaslklar nelerdir ? Buradayllkkazasaysverildiindenaylkortalamakazasays=48/12=4tr.X, aylk kaza says olsun. Bu kavakta bir ayda hi trafik kazas olmama olasl : p (X = 0) =04040,0183 %1,830!p e= ~ = 84 3 ve 3ten fazla trafik kazas olma olasl p ( X 3 ) = 1 p ( X < 3 ) = 1 p ( X 2 ) p ( X 2 ) = p ( X = 0 ) + p ( X = 1 ) + p ( X = 2 ) + p ( X = 2 )dir. 1 241 24 40, 0733 %7,33 0,14651! 2!p e p e = ~ = = ~p ( X 3 ) = 1 p ( X 2 ) = 1 (0,0183 + 0,0733 + 0,1465) = 1 0,2381 = 0,7619 4.1.4.PoissonDalmnn,BinomDalmnnYaklakDeerininHesaplanmasnda Kullanlmas Poissondalm,rneksaysnn(n)bykvebaarorannn(p)okdkolduu hallerdeoldukaiyibiryaklamlabinomdalmyerinekullanlabilir.Buradanninne kadarbykvepninnekadarkkolmasgerektiikonusundakesinbirdeeryoktur. Bununla birlikte, n 20 ve p 0,05 deerleri iin binom dalmnn yaklak deeri Poisson dalm forml ile bulunabilir. Genelde n 100 ve n.p 10 iin yaklam olduka iyidir. rnek 4-7 : Birsigortairketitazminatdemelerinin%8ininhrszlklardankaynaklandntespit etmitir. Rastgele seilen 20 tazminat demesinden 3 den fazlasnn hrszlktan kaynaklanma olasl nedir ? X hrszlktan kaynaklanan tazminat says olmak zere, p ( X > 3 ) = 1 p ( X 3) p ( X 3 ) = p ( X = 0 ) + p ( X = 1 ) + p ( X = 2 ) + p ( X = 3 ) Bu problem binom dalm ile zlrse : ( ) ( ) ( )0 200200;20;0,08 0,08 1 0,08 0,1887 b C = ~( ) ( )( )1 191201;20;0,08 0,08 1 0,08 0,3282 b C = ~( ) ( ) ( )2 182202;20;0,08 0,08 1 0,08 0, 2711 b C = ~( ) ( ) ( )3 173203;20;0,08 0,08 1 0,08 0,1414 b C = ~p ( X 3 ) = 0,1887 + 0,3282 + 0,2711 + 0,1414 = 0,9294 p ( X > 3 ) = 1 0,9294 = 0,0706 = % 7,06 Ayn problem Poisson dalm ile zlrse : = n.p = 20 . 0,08 = 1,6 0 11,6 1,60 11, 6 1, 60, 2019 ; 0,32300! 1!p e p e = ~ = ~2 31,6 1,62 31, 6 1, 60, 2584 ; 0,13782! 3!p e p e = ~ = ~p ( X 3 ) = 0,2019 + 0,3230 + 0,2584 + 0,1378 = 0,9211 p ( X > 3 ) = 1 0,9211 = 0,0789 Buradagrldgibiikidalmarasnda7,897,06=8,3birfarkvardr.Buise olduka iyi bir yaklamdr. 85 Ayn problem iin p = 0,03 olsa idi. -Binomdalm:p(X3)=0,543794+0,336368+0,09883+0,01834= 0,997332ve p ( X > 3 ) = 0,002668 -Poissondalm:p(X3)=0,548812+0,329287+0,098786+0,019757= 0,996642 ve p ( X > 3 ) = 0,003358 Bu durumda iki dalmle elde edilen sonular arasnda 0,3358 0,2668 = 0,69 bir fark vardr ve yaklam ok daha iyidir. ekil 4-3de n = 20, p = 0,08 ve p = 0,03 iin X = 0 ile X = 7 arasnda iki dalm grafik olarakkarlatrlmaktadr.(X>7densonrasonularsfraokyaklatndanbunlar grafiklere dahil edilmemitir.) ekil 4-3. n = 20 , p = 0,08 ve p = 0,03 iin X = 0 ile X = 7 arasnda binom ve Poisson dalmlarnn karlatrlmas. 00.050.10.150.20.250.30.350 1 2 3 4 5 6n = 20 ; p = 0,08 : = 1,6 BinomPoisson-0.100.10.20.30.40.50.60 1 2 3 4 5 6n = 20 ; p = 0,03 ; = 0,6 BinomPoisson 86 4.1.5.Hipergeometrik Dalm Binomdalmnnuygulanabilmesiiindenemelerbamszolmalvep ilegsterilecek olanbaarolaslbirdenemedendierinesabitkalmaldr.Ancak,snrlbirkitleden iadesizolarakekimyapldnda,anakitleninkarakteri,dolayssylapbaarolasl deiecekveburadabinomdalmuygulanamayacaktr.Binomdalmnn uygulanamayaca bu gibi durumlarda hipergeometrik dalm ad verilen bir dalm modeli kullanlr.rnein, bir kutudaki 6 adet ampulden ikisinin hatal, drdnn hatasz olduu biliniyor. Bukutudaniadesizolarakekilen3ampuldenbirtanesininhatalolmaolaslnne olacaktr?sorusutemelolaslkkanunlarilecevaplandrlabilir.HatalolanampullerH, hataszolanlarSilegsterilerek,aadakigibibirizelgedebudenemelerdeortaya kabilecektmdurumlarirdelenebilir.Herdurumungereklemeolaslparanteziinde gsterilmitir. ekil 4-4. Bir kutudaki ikisi hatal 6 ampulden 3 adet ekildiinde hatal ve salam olma olaslklar Seilen 3 ampuln de hatal olma olasl sfrdr. Seilen3ampuldensadecebirininhatalolmadurumlar(III),(V)ve(VI)durumlarve olasl, olaslklarn toplam kanunundan, 1 1 1 30, 65 5 5 5+ + = =olacaktr. 1.ekili 2H 4S 2.ekili3.ekiliDalmOlaslk H (2/6) H H (1/5)HHS ( )2 1 4 16 5 4 15I = S (4/4) H (1/4) S (3/4) HSH HSS H S S (4/5) ( )2 4 1 16 5 4 15II =( )2 4 3 16 5 4 5III = S (4/6) S H (2/5) S (3/5) H S H (1/4) S (3/4) H (2/4) S (2/4) SHH SHS SSH SSS ( )4 2 1 16 5 4 15IV = ( )4 2 3 16 5 4 5V = ( )4 3 2 16 5 4 5VI = ( )4 3 2 16 5 4 5VI = 87 Bu sonu genelletirilirse, -N elemanl bir yndan n para seildiinde, toplam olaslk says nNCdir.-Bu ynda K tane belirli bir zellie sahip (rnein hatal) para varsa bunlardank tanesinin beraber bulunduu hallerin says kKCdr.-Buhallerinherbiridekalan(NK)parann(nk)lkombinasyonlarnnsays kadar grupta bulunacaktr. Olaslk stenen hal saysToplam hal says olarak tanmlandndan, N elemanl snrl birynda belirli bir A zelliine sahip (rnein hatal) K adet varlk varsa, bu yndan ekilen n adet rnekten A zelliine sahip olanlarn k tane olma olasl, k n kK N Kk nNC CpC= dr.(4.7) Hipergeometrik dalmn, Ortalamas : KnN = (4.8) Varyans: 211K K N nV nN N No | | | |= = ||\ . \ .(4.9) rnek 4-8 : Bir torbada 6 krmz ve 4 beyaz bilye vardr. Torbadan iadesiz olarak 2 bilye ekiliyor. a)Torbadan 2 krmz bilye ekme olasl, b) Torbadan 2 beyaz bilye ekme olasl, c)Torbadan 1 krmz, 1 beyazbilye ekme olasl nedir ? a) N = 10, K = 6 (krmz bilye says), n = 2 Torbadan 2 krmz bilye ekme olasl : 2 06 421015 1 10,345 3C CC = = =b) N = 10, K = 4 (beyaz bilye says), n = 2 Torbadan 2 beyaz bilye ekme olasl : 2 04 62106 1 20,1345 15C CC = = =c) 1 krmz top 6 krmznn arasndan 16Cfarkl ekilde, 1 beyaz top 4 beyazn arasndan 14Cfarkl ekilde gelebilir. Saymann temel ilkesine gre 1 krmz ve 1 beyaz top 1 16 4C C farkl ekilde gelebilir.Torbadan 1 krmz, 1 beyazbilye ekme olasl : 1 16 42106 4 80,5345 15C CC = = = 88 rnek 4-9 : 52 adetlik bir iskambil destesinden 3 kart ekiliyor. ekilen kartlarn, a)2 As ve 1 Papaz olma olasl, b) Her kartnda ayn renkte olma olasl, c)En az 2 As gelme olasl, nedir ? 52 karttan 3 tane ekildiinde toplam olas haller 35222100 C =dr. a) 2 As ve 1 Papaz 2 14 46 4 24 C C = =farkl ekilde gelebilir. 2 As ve 1 Papaz olma olasl 2 14 435224 60, 0010922100 5525C CC= = ~ b) Her kartn krmz veya siyah olma olaslklar hipergeometrik dalm ile hesaplanr. Her kartn krmz olma olasl : 3 026 263522600 222100 17C CC= =Her kartn krmz olma olasl : 3 026 263522600 222100 17C CC= =Olaslklarn toplam kanunundan her kartn krmz veya siyah olma olasl, 2 2 40, 235317 17 17+ = ~ c) En az 2 as gelme olasl 2 As ve 3 As gelme olaslklarnn toplamna eittir.( ) ( ) ( ) 2 2 3 p A p A p A > = = + =( )2 14 483526 48 6 12 72222100 5525 5525C Cp AC = = = = =( )3 04 483524 1322100 5525C Cp AC= = = =( )72 1 732 0, 013215525 5525 5525p A> = + = = 4.1.6.Hipergeometrik Dalmn Yaklak Hesabnda Binom Dalmnn Kullanlmas Hipergeometrik dalmn ortalama ve varyans binom dalm ile karlatrldnda, iki gruptanmeydanagelenbirynda(hatal/hatasz,beyaz/beyazdeilvb.)K/Noran,binom dalmnnpbaar(veyabaarszlk)olaslnaedeerolacaktr.Bunagre, hipergeometrikdalmnortalamas,=n.pyazlabilirki,budabinomdalmnn ortalamas ile ayndr. Dier taraftan, hipergeometrik dalmn varyansnda1 1KpN = olarakyazlabilir. Bu ekildehipergeometrikdalmnvaryans( ) 11N nV n p pN | |= |\ .olur.N,ninyannda 89 okbykbirsayise11N nNolacandan,hipergeometrikdalmnvaryansbinom dalmnnkine eittir. Sonuolarak,N>>nolmakzere,hipergeometrikdalmnvaryansnhesaplarken 1N nNterimiihmaledilebilir.Budurumdahipergeometrikdalmlahesaplanmasgereken bir problemin, binom dalm uygulayarak,yaklak bir deerini elde etmek olasdr. 1N nN terimisnrlyndzeltmekatsaysolarakadlandrlr.Pratikte,N10nolduu durumlarda hipergeometrik dalm yerine binom dalm ile yaklak hesap yaplabilir. Bir nceki rnekte 52 kartlk bir desteden ekilecek 3 kartn da siyah olma olasl binom dalmkullanarak, ( ) ( ) ( )3 0333;3;0,5 0,5 0,5 0,125 b C = = olarakhesaplanr. Hipergeometrik dalmla bulunan olaslk ise 2/17 = 0,11765 dir. 90 4.2.Srekli Olaslk Dalmlar 4.2.1.Srekli Rassal Deikenlerin Olaslk Dalm Binom,Poissonvehipergeometrikdalmlarkesiklirassaldeikenlerindalm modelleridir. Ancak keyfi deikenler sadece belirli deerler deil, rneinxa ve xb arasnda btn gerel say deerleri alabilir; bu tip deikenlere srekli rassal deikenler denir.rnein,birblmdeki200rencininnotortalamalarnn5,0010,00arasnda aadakitablodakigibiolduuvarsaylsn.Teorikolaraknotortalamalarbuaralktakitm gerel say deerleri alabilmektedir. Not Ortalamas Tekrar SaysBal Tekerrr [5,00 ; 5,50[80,04 [5,50 ; 6,00[200,10 [6,00 ; 6,50[320,16 [6,50 ; 7,00[380,19 [7,00 ; 7,50[360,18 [7,50 ; 8,00[280,14 [8,00 ; 8,50[200,10 [8,50 ; 9,00]100,05 [9,00 ; 9,50]60,03 [9,50 ; 10,00]20,01 -------------- Toplam2001,00 Butekerrrtablosundabaltekerrrstunundakisaylar,Xkeyfideikeninin(not ortalamalar) olaslk dalmn vermektedir. Bu olaslk dalmna ait histogram ve tekerrr poligonunu ekil 4-5deki gibi olacaktr. ekil 4-5. 200 rencinin not ortalamalarna ait olaslk dalm 00.050.10.150.2[5,00 ; 5,50[[5,50 ; 6,00[[6,00 ; 6,50[[6,50 ; 7,00[[7,00 ; 7,50[[7,50 ; 8,00[[8,00 ; 8,50[[8,50 ; 9,00][9,00 ; 9,50][9,50 ; 10,00] 91 Buhistogramda,snfaralklarnngenilii1birimalnrsatmdikdrtgenlerin alanlarnntoplam1birim2dir.Budurumdaherdikdrtgeninalanosnfakargelen olaslk dalmna eit olacaktr. rnein [6,00 ; 6,50[ snfnn olasl tekerrr tablosundaki deerden de yararlanarak 0,16 olarak bulunur. Benzer ekilde birden fazla snfn olasl bu snflaraaitdikdrtgenlerinalanlarnntoplamnaeitolacaktr.rneinnotortalamalar [6,00;8,00[aralndaolan(3,4,5.ve6.snflar)olaslbusnflaraaitdikdrtgenlerin alanlarn toplam olan 0,16 + 0,19 + 0,18 + 0,14 = 0,67 dir. Dahaok lmyaplarak (rnein bir blmdeki 200 renciyerine tm niversitedeki 4000 renci iin) dalm daha ok snfa ayrlrsa krkl tekerrr poligonu gittike bir eriye yaklaacaktr. (Bkz. ekil 4-6) ekil 4-6. 4000 rencinin not ortalamalarna ait olaslk dalm Teorik olarak veri adedi ve snf aral 0 olduunda tekerrr poligonu bir eriye dnr. Bu erinin denklemi f (x) olaslk fonksiyonudur. Histogramdakine benzer ekilde bu eri ile Ox ekseni arasnda kalan alan 1 br2 olarak kabul edilirse, y = f (x) erisi, Ox ekseni ve x = a ilex= b dorular arasnda kalan alana x b deerlerinin olasln verecektir.Bu alan ise, olaslk tanmnda belirtildii gibi y = f (x) fonksiyonunun a ile b snrlar arasndaki belirli integraline eittir.( ) ( )bap a X b A f x dx s s = = } Kesiklirassaldeikenleriinolduugibisreklirassaldeikenleriindebazteorik olaslk dalmlar mevcuttur. Bunlarn aada ele alnacak balcalar : -Srekli dzgn dalm -stel dalm -Normal (Gauss) dalm -Student (renci) veya t dalmdr. 00.020.040.060.080.10.12[5,00 ; 5,25[[5,25 ; 5,50[[5,50 ; 5,75[[5,75 ; 6,00[[6,00 ; 6,25[[6,25 ; 6,50[[6,50 ; 6,75[[6,75 ; 7,00[[7,00 ; 7,25[[7,25 ; 7,50[[7,50 ; 7,75[[7,75 ; 8,00[[8,00 ; 8,25[[8,25 ; 8,50[[8,50 ; 8,75[[8,75 ; 9,00[[9,00 ; 9,25[[9,25 ; 9,50[[9,50 ; 9,75[[9,95 ; 10,00[ 92 4.2.2.Srekli Dzgn Dalm Bazdurumlardasreklirassaldeikeninbiraralktadeerleralmaolasl,eit uzunluktakidieraralklardadeerleralabilmeolaslklarnaeittir.Dierbirdeyilebu deikenin olas her deer civarnda merkezleme eilimi ayndr. Bu tip deikenlere dzgn rassaldeiken,budeikenlerinolaslkdalmnadasreklidzgndalmadverilir. Srekli dzgn dalmn grafii uzunluu deikenin alabilecei deer aralR ve genilii (ykseklii) 1/R olan bir dikdrtgendir.Bir dzgn deikenin alabilecei en kk deer a ve en byk deer b ise deer aralR = b a olur. (Bkz. ekil 4-7) Bu durumda olaslk fonksiyonu, ( )| |1,0 , ,a x bb a f xx a bs s = e dir.(4.10) Dzgn dalmn, Birikimli olaslk fonksiyonu :( )x aF xb a=(4.11) Ortalamas : 2a b+= (4.12) Standart sapmas : 12b ao= (4.13) Younluk fonksiyonu Birikimli olaslk fonksiyonu ekil 4-7. Srekli dzgn dalmn grafii rnek 4-10 : Bir bilgisayara 2 7 arasnda rassal gerel saylar setirilmektedir. Bu aralkta her gerel saynn seilme olaslnn eit olduu varsaylrsa, bilgisayarn belirledii saynn, a) 3 4 arasnda olma, b) 4ten byk olmaolaslklar nedir ? Hergerelsaynnseilmeolasleitve27arasndagerelsaylarsrekli olduundan, 2 7 arasndaki gerel saylarn dalm srekli dzgn dalmdr. 2a b+=1b a x baab x f (x)F (x) A = 11 0 x 93 a)Bunagre, bilgisayarn belirledii saynn 3ten kk olma olasl 3 2 17 2 5=,4ten kkolmaolasl 4 2 27 2 5=dir.Saynn34arasndaolmaolaslise, 2 1 15 5 5 =olacaktr. b)Bilgisayarnbelirlediisaynn4tenbykolmaolaslise, ( ) ( )2 34 1 4 15 5p X p X > = s = =dir. rnek 4-11 : Dahanceyaplmolanlmleregre,birblgedeHaziranayiindehava scaklklarnn2432Carasndadeitiibilinmektedir.Herhangibirgniinhava scaklnn bu scaklklar arasnda dzgn olarak dald kabul edilirse, a) Haziran ay iinde ortalama scaklk katr ve dalmn standard sapmas nedir ? b) Dalmn dalma ve birikimli dalma grafiklerini iziniz. c)Haziranayiindebirgnscakln26Ctnaltndave2830Carasndaolma olaslklar nedir ? a) Dalmn,Ortalamas : 24 32282 2oa bC + += = =Standart sapmas : 32 242,3112 12ob aC o = = ~ b) Younluk fonksiyonu Birikimli olaslk fonksiyonu c) Scakln 26 Ctn altnda olma olasl : ( )26 24 2 126 0, 2532 24 8 4p X< = = = = dir. Scakln 28 30 C arasnda olma olasl :( ) ( ) ( )30 24 28 24 6 4 2 128 30 30 28 0, 2532 24 32 24 8 8 8 4p X p X p X < < = < < = = = = = x 24 C x f (x) F (x) 1 0 32 C28 C 1 132 24 8= 2632C283024 C A B 94 4.2.3.stel Dalm Srekliolaslkdalmlarndanbirdieri,Xrastgeledeikenininpozitifdeerlerald birdalmdr.Budalmdaistenenbirsonucunilkkezgereklemesinekadardevameden denemeleryaplarak,budenemelerinaralnngeniliiileilgiliolaslkhesaplar yaplmaktadr. Genellikle, bekleme sreleri ve eskimeyen bir sistemin mr problemleri stel dalm gsteren olaylardr. 10 = > dalmnparametresiolmakzeresteldalmaaitolaslkfonksiyonunun genel ifadesi, ( ) ( ) ; 0xp x e x = > dir.(4.14) X srekli deikeninin a ve b arasnda deerler alma olasl ise, bbx x a baae dx e e e = = } olacaktr.(4.15) ekil 4-8. Srekli rassal X deikeninin = 0,3 iin stel olaslk dalm fonksiyonu stel dalmn,Ortalamas : 1= (4.16) Varyans : 21V= (4.17) 00.050.10.150.20.250.30.350 1 2 3 4 5 6 7 = 0,3 95 rnek 4-12 : arayan bir kiinin ortalama i bulma sresi 100 gn olarak tahmin edilmitir. Bekleme sresininsteldalmgsterdiinivarsayarakiarayanbirkiinin80gnveyadahaksa srede ve 30 40 gn arasndayeni bir i bulma olaslklar nedir ? 1100 0, 01100 = = =( )8080800100 1000080 1 0, 449 0,551 %55,1xxp X e dx e e e s = = = = ~ =} ( )404030 40100 100 100303030 40 0, 7408 0, 6703 0, 0705 %7, 05xxp X e dx e e e s s = = = = = =} rnek 4-13 : Birbilgisayarnortalama6000saattebirarzayapttahminedilmektedir.Bu bilgisayarn 4000 saat boyuca arza yapmadan alma olasl nedir ? 160006000 = =Bu bilgisayarn 4000 saat iinde arza yapma olasl, ( )40004000400006000 6000004000 1 0,5134 0, 4866xxp X e dx e e e s = = = = =} dir. 4000 saat iinde arza yapmadan alma olasl ise, ( ) 1 4000 1 0, 4866 0,5134 %51,34 p X s = = =olacaktr. 96 4.2.4.Normal Dalm ve Normal Eri 4.2.4.1.Normal Dalm ve Normal Eri Normal dalm istatistikte en sk kullanlan olaslk dalmdr. Normal dalm forml ilk defa 1733de Abraham de Moivre (16671754) tarafndan yaynlanmtr. Ayrca Marquis deLaplace(16671754),PierreSimonveCarlFredericGauss(17771855)normaleri zerinde almalaryapm nemli matematikilerdir. Normal dalm Carl Frederic Gaussa ithafen Gauss dalm olarak ta adlandrlr. < x < olmak zere, normal dalm fonksiyonu,( )( )22212xf x eoo t= (4.18) eklinde tanmlanr. Burada, : dalmn standard sapmas x : lmler (Ox ekseni zerindeki saylar) : lmlerin aritmetik ortalamas : pi says = 3,14159. e : doal logaritma taban (e = 2,718281828459045..) Normaldalmfonksiyonunungrafiianeklindeolduundanbuerigenelliklean erisi olarak adlandrlr. (Bkz. ekil 4-9) ekil 4-9. Normal dalm fonksiyonunun grafii (an erisi) 00.10.20.30.40.5-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10f (x) x ( )( )222122, 1xf x eoo t o= = = = 2 97 Normal erinin zellikleri : 1)Normal eri x = , yani aritmetik ortalamaya gre simetriktir. 2)Normal eri x = deerinde bir maksimum noktasndan geer. 3)Normal dalmn ortalamas, modu ve medyan birbirlerine eittir. 4)Normal erinin altnda kalan alanlar toplam 1 dir. Erinin ortalamaya gre simetrik olmasndan dolay x = dorusunun sanda ve solunda kalan alanlar toplam alann yarsna eittir. 5)Eri altnda kalan alanlar, a)( ) s x s ( + ) aralnda toplam alann % 68,27 si b) ( 2) s x s ( + 2) aralnda toplam alann % 95,45 i c)( 3) s x s ( + 3) aralnda toplam alann % 99,73 olur. ekil 4-10. Normal erinin standard sapma deerlerine bal olarak deiimi Normaldalmkarakterizeedenbyklklerortalamavestandardsapmadr.Bu byklklerindeerlerinegrenormalerinineklifarkllar.Ortalamadeerideitike normal eri saa veya sola doru kayar, standard sapma deitike eri sivri veya bask hale gelir. ekil 4-10de normal erinin standard sapma deeri ile nasl deitii gsterilmitir. Bu ekilde elde edilen eri grubu iinde zel olarak, ortalamas = 0 ve standard sapmas =1 olan dalm standard normal dalm olarak adlandrlr. Bu durum iin standard ans deikenizilegsterilereknormaldalmaaitolaslkfonksiyonu, ( ) ( )2212zf z e zt= < < eklinde tanmlanr. 00.51-6 -4 -2 0 2 4 6 8 101 = 1 2 = 0,5 3 = 2 =2 2 < 1 = 1 < 3 98 ekil 4-11. Standard normal dalma ait normal eri znin a ve b gibi iki ayr deeri iin erinin altndaki alan, ayn zamanda ana kitledeki a ve b arasnda deer alabilecek btn olaylarn olasln gsterir. Bu alan f (z) fonksiyonunun a ile b arasndaki belirli integraline eittir. ( ) ( )2212b bza aALAN p a X b f z dz et= s s = = } }(4.19) Buintegralindeeritablolarhalindeverilmektedir.Ek.1dekitablodayukardaki integralinilebirzdeeriarasndakideerleri,dierbirdeyilebirzdeerininbirikimli olaslklarverilmektedir.Buintegralinz1=ailez2=barasndakideerlerineaitolaslk deeri, belirli integraldeki Chasles bantsndan yararlanarak, ( ) ( ) ( ) ( )21z b b az aALAN p a X b f z dz f z dz f z dz== = s s = = } } }(4.20)olarak elde edilir. Dier bir deyile, integralinz = a ile z = b arasndaki deerini hesaplamak iin,Ek.1dekitablodanz=bilez=ayekarlkgelendeerlerokunarakbunlarnZ(b) Z(a) fark alnr. 4.2.4.2.Standart Normal Dalm Tablolarnn Kullanl Ek.1dekistandartnormaldalmtablosundaz=3,5ilez=3,50arasndakistandart rassaldeikenin(z)olaslkdeerleriyeralmaktadr.Butabloda,ensoldakistunda ondalklolarakzdeerleriyeralmaktadr.Balktaki0,000,09deerlerininaltndaki stnlardan ise yzdelikli z deerleri okunabilir.rnein z = 1,5 deeri iin, en soldaki stundaki 1,5 deerininin bulunduu satr ile 0,00 stunununkesimenoktasndaki0,9332saysilez=1,50arasndakiolaslkdeerini verir.Dierbirifadeile,zstandartrassaldeikenininz=1,5denkkdeerleralabilme olasl 0,9332 dir. rnein z = 1,57 deeriiin ise, en soldaki stundaki 1,5 deerininin bulunduu satr ile 0,07 stununun kesime noktasndaki 0,9418, ilez = 1,57 arasndaki olaslk deeridir. Baz standart normal dalm tablolarnda sadece 0 3,5 arasndaki z deerleri yer alr. Bu tablolardapozitifzdeerlerininolaslklaryukardakigibidorudanokunur.Negatifz deerlerineaitolaslklarise,normalerininsimetrisindenyararlanlarakokunanpozitifz deeri 1den karlarak elde edilir. 00.10.20.30.40.5-5 -3 -1 1 3 5f (z) z = 0 ab = 1 99 rnein,bylebirtablodaz=1,5deerinekarlkgelenolaslkp(z1,5)=0,9332 olarak okunmu olsun. Normal erinin altnda kalan toplam alan deeri 1 olduundan, z = 1,5dorusununsandakalanA1alannndeerip(z1,5)=10,9332=0,0668dir. Standart normal erinin z = 0 dorusuna gre simetrisinden yararlanarak z = 1,5 dorusunun solundakalanA2alannndaA1eeitolduukolaycagrlr.Bualanise,standartrassal deiken iinp (z 1,5) olaslna eittir. (Bkz. ekil 4-12) ekil 4-12. z = z1e ait olaslk deerinin kullanarak z = z1e ait olaslk deerinin bulunmas. Diertaraftantablodaverilmemiolandeerlerinterpolasyonyardmylaeldeedilir. rnein, z = 1,487ye karlk gelen p (z 1,487) olasl bulunmak istensin. Tablodan z = 1,487ye karlk gelen deer dorudan okunamaz. Bunun bir alt ve bir stndeki deerler, z1 = 1,48 p1 = 0,9306 ve z2 = 1,49 p2 = 0,9319 tablodan okunur. z1 = 1,48 p1 = 0,9306z = 1,487 p z2 = 1,49 p2 = 0,9319 Benzer genlerden faydalanarak, 1 12 1 2 1p p z zp p z z = yazlabilir. Yukardaki deerler yerlerine konularak, 0,9306 1, 487 1, 480,9319 0,9306 1, 49 1, 48p = elde edilir. Buradan ise, ( ) ( ) 1, 487 1, 48 0,9319 0,93060,9306 0,931511, 49 1, 48p = + = bulunur. 00.10.20.30.40.5-5 -3 -1 1 3 5z = 1,5 A1 = 1 z1A2 = 1 z1 z = 1,5 z1 = 1,48z2 = 1,49 z = 1,487 p2 = 0,9319 p1 = 0,9306 p 100 rnek 4-14 : Standardnormalerininaltndavez=1,5ilez=1,7deerleriarasnda,alanalanka br2 dir ? Ek.1dekitablodanz=1,5ilez=1,7deerlerinekarlkgelenolaslklar(normal erinin altnda kalan alan deerleri) okunur. p (z 1,5) = 0,0668;p (z 1,7) = 0,9554 p (1,5 z 1,7) = p (z 1,7) p (z 1,5) = 0,9554 0,0668 = 0,8886 4.2.4.3.Normal Dalm Uygulamalar Normaldalmistatistiktahminproblemlerindeskakullanlanoknemlibirolaslk dalmdr.Ancak,normaldalmteorik,idealbirolaslkkanunundurvedoalolarak gerek hayatta karlalan durumlarn neredeyse tamam normal dalma tam tamna uymaz. Bununla birlikte, karlalan ou veri grubunun dalmlar tam olmasa da normal dalma yaknzelliklergsterirvebudurumlardanormaldalmpratikcevaplarbulmaktayeterli yaklaklkla kullanlabilir. Standart normal dalm gsteren bir ana kitlede, ilgili deikenin z = a ve z = b arasnda deerleralabilmesiolasltablolardanyararlanarakyukardaanlatldekildehesaplanr. Hatrlanacagibistandartnormaldalmnortalamas=0vestandartsapmas=1dir. Dolaysyla, ortalamas 0 ve standard sapmas 1 olan herhangi bir normal dalm iin butablolarndorudankullanlamayacaaktr.Bununlabirlikte,herhangibirnormal dalm,basitdzenlemeleryaparak,standartnormaldalmadntrmekyoluylaher normal dalm iin bu tablolar kullanmak mmkn klnabilir. Ortalamasvestandardsapmasolanvenormaldalmayaknbirdalmiin herhangi bir x deeri, xzo=dnm ile z standart rassal deikene dntrlebilir. xilebalangtaortalamasolandalmerisikaydrlarak,merkezi0noktasna getirilir.xdeeriileblnerekisedalmnyaylmaparametresideitirilir.Bylece varyans2olanzgnXdeikenininvaryansdntrlm,yanizdeikeniiin=1 yaplmolur.rneinortalamasvestandardsapmasolanvenormaldalm(veya yaklaknormaldalm)gsterenbirXdeikenininaxbolasl,standartnormal dalm tablolar kullanlarak yukarda akland ekilde hesaplanabilir. rnek 4-15 : Birsnavdarencilerinaldklarnotlarortalamas72vestandardsapmas15olanbir normal dalm gstermitir. Bu snavda 60, 93 ve 72 alan 3 rencinin standard notlar nedir ? 1. renci iin : 160 720,815z= = 2. renci iin : 293 721, 415z= =3. renci iin : 372 72015z= = 101 rnek 4-16 : Normalinaltndadoumarlnasahip1yandakibebeklerinzihinselgeliimlerinin deerlendirildiibirtestte,anaktleninortalamas30vestandartsapmas8olanbirnormal dalmgsterdiiizlenmitir.Bunagrebuanakitledenrasgeleseilen1yandakibir bebein bu testten 40n stnde ve 24 32 arasnda bir puan alm olmas olaslklar nedir ? x1 = 40 deeri standart deikene dntrlrse, 140 301, 258z= =elde edilir. Normal dalm tablolarndan z = 1,25e karlk gelen olaslk 0,8944 olarak okunur. Buna gre, p (z 1,25) = 0,8944 ve p (z > 1,25) = 1 p (z 1,25) = 1 0,8944 = 0,1056 bulunur. Yani, bu testten 40n zerinde bir puan alm olma olasl % 10,56 dr. x2 = 24 ve x3 = 32deerleri standart deikene dntrlrse, 2 324 30 32 300, 75 0, 258 8z z = = = =p ( 0,75 z 0,25) = p (z 0,25) p (z 0,75) = 0,5987 0,2266 = 0,3721 bulunur. Yani, bir rasgele seilen denein bu testten 24 32 arasnda bir puan alm olma olasl % 37,21 dir. rnek 4-17 : Bir atlyede delinen 200 para zerinden lme yaplarak delik aplarnn ortalamas 50,2 mm,standardsapmas0,5mmolarakbulunmutur.Budelikiintoleranssnrlar49,6ile 50,8 mm dir.a) Atlyede imal edilen paralarn hatal olanlarn oran nedir ? b) mal edilen paralardan delik aplar 49,2 mmnin altnda olanlarn oran nedir ? a) 49,6 ve 50,8 deerlerine karlk gelen standard z deerleri : 149, 6 50, 21, 20,5z= = 250,8 50, 21, 20,5z= = znin 1,2 ile 1,2 deerleri arasnda kalan paralar hatasz saylacaktr. Bunlarn oran ise standart normal erinin altnda kalan alana eittir. Yani hatasz para oran : ( ) ( ) ( ) ( )1,2 1,2 1,21, 21, 2 1, 2 0,8849 0,1151 p z f z dz f z dz f z dz s s = = = } } } ( ) 1, 2 1, 2 0,7698 %76,98 p z s s = =Hatal para oran ise, 1 0,7698 = 0,2302 = % 23,02 olur. b) 49,2 mmye karlk gelen standard z deeri, 49, 2 50, 220,5z= = dir.p ( X 49,2) = p ( z 2 ) = 0,0228 = % 2,28 dir. 102 rnek 4-18 : rencilerin istatistik snavndan alm olduklar notlar, ortalamas 44 ve standart sapmas 20 olan bir normal dalm gstermektedir. Buna gre, a)Rasgeleseilenbirrencininistatistiksnavndan70tenyksekbirnotalmolma olasl nedir ? b) Rasgele seilen bir rencinin istatistik snavndan 50 60 arasnda bir not alm olmaolasl nedir ? c) En yksek notlar alm %20 lik diliminde en dk notu alm rencinin notu katr ? a) 70e karlk gelen standard z deeri 70 441,320z= =dir.Tablodanp (z 1,3) olasl 0,9032 olarak okunur. Yani, bir rencinin 70ten dk not alma olasl % 90,32 dir. p ( X > 70) = 1 p (X 70) = 1 p (z 1,3) = 1 0,9032 = 0,0968 = % 9,68 bulunur. b) 50 ve 60 notlarna karlk gelen standard z deerleri : 1 250 44 60 440,3 0,820 20z z = = = =Buna gre, p ( 50 X 60) = p ( 0,3 z 0,8) = p ( z 0,8) p ( z 0,3) olur.Tablodan p ( z 0,8) = 0,7881 vep ( z 0,3) = 0,6179 okunur. O halde, rasgele seilen birrencininistatistiksnavndan5060arasndabirnotalmolmaolasl,0,7881 0,6179 = 0,1702 = % 17,02 dir. c)Enykseknotlaralm%20likdilimaadakiekildekiAblgesindeyeralan rencilerdir. Normal erinin altnda kalan toplam alann deeri 1 olduundan, B blgesinin alan 1 0,2=0,8dir.Buise,p(za)=0,8demektir.Dolaysylastandartnormaldalm tablosundan 0,8 olaslna kar gelen z deeri bulunmaldr. Tabloda 0,8 olasl olmadndanp1 = 0,7995 z1 = 0,84 ve p2 = 0,8023 z2 = 0,85 arasnda interpolasyon yaplmaldr. -4 -2 0 2 4f (z) z A B z = a 103 z2 = 0,85 p2 = 0,8023z = a p = 0,80z1 = 0,84 p1 = 0,7995 Benzer genlerden faydalanarak, 1 12 1 2 1p p z zp p z z = yazlabilir. Yukardaki deerler yerlerine konularak, 0,80 0, 7995 0,840,8023 0, 7995 0,85 0,84z = elde edilir. Buradan,0,84 0,001785 0,84 0,001785 0,84179 z z = = + = Standart z deikeni nota dntrlr. 440,84179 60,8420x xz xo = = =Yani,enykseknotlaralm%20likdilimindeendknotualmrencininnotu 60,84 61 dir. 4.2.4.4.Standart Normal Eriden Ayrlmalar Eilme (Skewness) : Normalerideilkgzearpanolaydalmdakisimetridir.Normaldalmdaortalama, modvemedyanststedervedalmdamkemmelbirsimetrivardr.Ortalama,modve medyan farkl noktalarda olduunda ise, dalmn ylma merkezi saa veya sola kayar. Bu durumadalmneilmesidenir.Bueilmeningerektenormaldalmdanbirayrlmam temsilettii,yoksatesadflerebal,biranlamtamayaneilmemiolduununbilinmesi gerekir. Birdalmdaeilme ( ) 3 MedyanEilmeo = forml(Pearsoneilmekatsays)ile belirlenir.Normaldalmdaortalamamedyanaeitolduundaneilmesfrdr.Veriler erininstucunadoruyldklarndadalmsolaeik(negatifeilme),verilererininalt ucuna doru yldklarnda dalm saa eik (pozitif eilme) denir. Sola (negatif) eilmeSaa (pozitif) eilme ekil 4-13. Normal eride eilme z1 = 0,84z2 = 0,85 z = a p2 = 0,8023 p1 = 0,7995 p = 0,80 104 Sivrilik (Kurtosis) : Sivrilikterimi,normaldalmilekarlatrldndadalmntepesininnormaleriye gre daha sivri veya daha dz olmasnn ifadesidir. Bir dalmn erisi normal eriden daha sivri ise bu dalma sivri (leptokurtic), daha dz ise dz (platikurtic) denir. (Bkz. ekil 4-10) Dalmlarneilmevesivrilikllerimomentleryardmyladahesaplanabilir. Snflanmverilerdencvedrdncmomentilesrasylanormaleridekieilmeve sivrilik lleri elde edilir. -Eilme :( )333 3 3i iif xvef oo = =3 0 ise eilme yok. -Sivrilik :( )444 4 4i iif xvef oo = = 4 = 3 ise sivrilik yok. Basklk = 4 3 4 3 < 0 ise eri bask4 3 > 0 ise eri sivri rnek 4-19 : 300rencininistatistiksnavndanaldklarnotlaraadaverilmitir.Momentler yardmyla dalmn normal dalma gre asimetri ve basklk llerini hesaplaynz. statistik Notlarrenci says [ 0 ; 20 [48 [ 20 ; 40 [66 [ 40 ; 60 [90 [ 60 ; 80 [54 [ 80 ; 100 ]42 Toplam300 Bu dalmn ortalama ve standart sapmas : statistik Notlarrenci says (fi)mifi . mifi . (mi )2 [ 0 ; 20 [481048070778,9 [ 20 ; 40 [6630198022345,0 [ 40 ; 60 [90504500230,4 [ 60 ; 80 [5470378025194,2 [ 80 ; 100 ]4290378072683,5 Toplam30014520191232,0 511452048, 4300i iif mn== = = ( )521191232637, 44 637, 44 25, 248300i iif mno o= = = = = = 105 Momentler : statistik Notlarrenci says (fi)fi . (mi )3fi . (mi )4 [ 0 ; 20 [482717909,0104367705,3 [ 20 ; 40 [66411147,37565109,7 [ 40 ; 60 [90368,6589,8 [ 60 ; 80 [54544195,611754624,6 [ 80 ; 100 ]423023634,4125783192,4 Toplam300439142,3249471221,8 ( )333 3 3439142,3 1463,811463,81 0, 09300 16093,8i iif xvef oo = = = = = = ( )444 4 4249471221,8 831570, 7831570, 7 2, 05300 406329,8i iif xvef oo = = = = = = 3 = 0,09 0 asimetri yok, 3 = 2,05 ve 4 3 = 0,95 < 0 ise eri normalden basktr. 4.2.4.5.Binom Dalmnn Yaklak Normal Dalm Olarak Hesaplanmas nvarlksaysyeterikadarbykvepbaaroransfrveyabireokyaknolmamak zere binom dalm, normal dalma okyakn zellikler gsterir. Bu durumda ok sayda veriierenbinomdalmlarnn,yaklaknormaldalmolarakkolaylklahesaplanma olana vardr.Binomdalmnnyaklaknormaldalmolarakhesaplanabilmesiiineitlikriterler ortayakonmutur.Genelden100olduundabinomdalmnnyaklaknormaldalm olarakhesaplanabileceivarsaylr.Ancak,pbaaroranndikkatealmadndanbukriter oksalkldeildir.Birbakakritern.p>5ven.(1p)>5olduudurumlardabinom dalmnnhesabndanormaldalmyaklamkullanlabileceidir.statistikkonusunda nemliaratrmalaryapmolanWilliamG.Cochran(19091980)binomdalmyerine normaldalmkullanlabilmekiineitlipdeerlerinekarlkgelenminimumvarlk saylarn (n) bir tablo eklinde dzenlemitir. (Bkz. Tablo 4-1) Tablo 4-1. Binom dalmnn normal dalm olarak hesaplanabilmesi iin gerekli varlk saylar (n) p baar oran (p < q)n.p (p < q)Varlk says (n) 0,51530 0,42050 0,32480 0,240200 0,160600 0,05701400 080 106 Binom dalm kesikli deikenler iin kullanlan bir dalmdr; oysa ki, normal dalm sreklideikenlerinolaslkdalmdr.Busebeplenormaldalmyaklamndabir dzeltme yapmak daha salkl sonular elde edilir; bu dzeltme binom dalmnn tutarllk dzeltmesi olarak adlandrlr. rneinn=20vep=0,3olanbirbinomdalmgznnealnsn.Budalmn histogram ve yumuatlm tekerrr poligonu ekil 4-14deki gibi olacaktr. BuhistogramdaX=xolmasolaslilgilidikdrtgeninalannaeittir.rneinX=8 deerini alma olasl 0,1144 olarak (ekildeki taral alan) hesaplanabilir.Aynolaslknormaldalmlahesaplanmakistenirse,p(7,5 70) = 1 p (X 70) = 1 0,2991 = 0,7009veya %70 dir. z1 = 0,53z2 = 0,52 p2 = 0,3015 p1 = 0,2981 p z = 0,527 108 4.2.5.renci (Student) Dalm 4.2.5.1.renci (Student) Dalm rneklemeteorisindeortalamastahminedilecekanakitledenalnmolanrneklemde varlk says az olduunda (n < 30 iin) rneklem ortalamalarnn gsterdii dalma, renci (student) veya t dalm ad verilir.WilliamSealyGossettarafndan1908debirmakaledeyaynlanmtr.Gossetbusrada bir bira fabrikasnda almakta idi. Szkonusu fabrika, daha nce yaplm bir yaynda ticari srlarn aklanm olduu gerekesi ile alanlarnn bilimsel yaynlar yapmasn yasaklam olduundan,Gossetmakalesinirenciadylayaynlamakzorundakalmt.Busebeple Gossetinortayaatmolduubudalmrenci(student)dalmolarakanlr.Daha sonrakitarihlerde,R.A.Fisherdebudalmzerindealmvebudalmlailgilit snamalar teorisini gelitirmitir. tdalm,normaldalmgibisimetrikancaknormaldalmagredahabaskve deikenliidahafazlabirdalmdr.tdalmnnbasklserbestlikderecesiolarak tanmlananbirniceliebaldr.Serbestlikderecesi,kparametresays(veyatahminleyen says) olmak zere s.d. = n kolarak hesaplanr. rnein, ana kitle ortalama tahmininde k = 1 olduundan s.d. = n 1 olarak tanmlanr. ekil 4-15. Normal eri ve farkl s.d. deerleri iin t dalmnn karlatrlmas ekil4-15degrldgibis.d.arttkaerisivrileir;ayrcaiftkuyruklubirdalm iin, rnein% 95 lik alan s.d. = 5 iin 2,5706 iken, s.d. = 10 iin 2,2281 e dmektedir. 00.10.20.30.4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4Normal Dalmt dalm (sd=5)t dalm (sd=10) 109 4.2.5.2.tDalm Tablolarnn KullanlEk.2detdalmnnpersantilleritablohalindeverilmektedir.Butablodailksatrda90, 95,...vs.saylarpersantillerigstermektedir.Ensoldakistundaiseserbestlikdereceleri verilmektedir. rnein k = 1 ve n = 11 iin, serbestlik derecesi n k deerinden hareketle 11 1=10olacaktr.Bunagrets.d.deikenininadankkdeerleralmaolaslrnein 0,95 olduunda bu tablodan serbestlik derecesi 10 satr ile t0,95 stununun kesitikleri hcrede t10 deeri 1,8125 olarak okunur. [p (t10 1,8125) = 0,95] (Bkz. ekil 4-16)Bunagret10deikeninin1,8125tenbykdeerleralmaolasliseolaslk kanunlarnagre,p(t10>1,8125)=10,95=0,05olacaktr.Budeer,ileridetahmin teorisindeyenidenayrntlolarakelealnacagibihatasolarakadlandrlr.hatasnn erininsadecebirtarafndaolmasbirkuyrukluveyabirtaraflhata,hatasnnerininher iki tarafnda olma durumu ise, iki kuyruklu veya iki tarafl hata olarak adlandrlr. Bu ayrm Ek.2dekitablonunenaltikisatrndaayrcabelirtilmitir.Budorultuda,rneinbir kuyruklu=0,05hatasnakarlkgelentdeeri,s.d.=10iinBirkuyruklusatrndan okunan0,05deerininbulunduustuniles.d.10satrnnkesitiklerihcredeki1,8125 deeridir. ekil 4-16. s.d. = 10 iin tablodan okunan t10 deerinin anlam (bir kuyruklu) ki kuyruklu hata durumunda ise rnein 0,05 hatas erinin her iki tarafnda yer alacaktr. terisininsimetrisindendolay,herikikuyruundeeri(alan)0,05/2=0,025olur.(Bkz. ekil 4-17) 00.10.20.30.40.5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4t10 = 1,8125 p (t10 1,8125) = 0,95 p (t10 > 1,8125) = = 0,05 110 ekil 4-17. s.d. = 10 iin tablodan okunan t10 deerinin anlam (iki kuyruklu) Bunagret=adorusununsolundakalanalan10,025=0,975eeitolacaktr.Buna karlkgelentdeeriEk.2dekitablodant0,975;10=2,2281olarakokunur.Yineterisinin simetrisinden dolay soldaki 0,025 alan deerine karlk gelent deeri de 2,2281 olacaktr. Dier bir ifade ile, erinin altnda kalan ve t = 2,2281 ile t = 2,2281 dorular ile snrlanm alann deeri 0,95 dir ki, bunun da anlam t deikeninin 2,2281 ile 2,2281 arasnda deerler alma olaslnn 0,95 olduudur. [ p (2,2281 t10 2,2281) = 0,95 ]Ayndeeri,tmbuilemleregerekkalmadantablodaenaltsatrdakiikikuyrukluhata deeri0,05inbulunduustuniles.d.10satrnnkesitiklerinoktadaki2,2281olarak okumak ta olasdr. 00.10.20.30.40.5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4/2 = 0,025/2 = 0,025 t10 = 2,2281t10 = 2,2281 p (2,2281 t10 2,2281) = 0,95 t = at = a 111 Equation Section (Next) 5.Ekler 5.1.Faktoriyel, Permtasyon, Kombinasyon 5.1.1.Faktoriyel (arpansal) ne olmakzere1dennyekadar(ndahil)doalsaylarnarpmnafaktoriyel (arpansal) denir ven !olarak gsterilir. n ! = 1 x 2 x ..... x n0 ! = 1 rnek 5-1 : 31903 220 193 2 1 ! 1820 19 ! 18! 3 ! 18! 20== = rnek 5-2 : ( )( )1 ! !2 1 ! !n nn n+ + + ifadesinin en sade hali nedir ? ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )nnn nn nn n nn n nn n nn nn n= =+ + + = + + + =+ + +! 1! 12 ! 11 !! 1 ! 1 2! 1 !! ! 1 2! ! 1 rnek 5-3 : 67! saysnn sondan ka basamanda 0 rakam bulunur. Her ift saynn 5 ile arpmndan bir tane 0 rakam gelecei dnlerek 67! says iinde ka tane 5 arpan bulunduu aratrlmaldr.65 / 5 = 13 / 5 = 2 67! iinde 13 + 2 = 15 tane 5 arpan vardr.O halde, 67 !saysnn sondan 15 hanesinde 0 rakam bulunacaktr. 112 5.1.2.Permtasyon n elemanl bir A kmesi gznne alnsn.p n olmak zere A kmesinin birbirlerinden farklptaneelemanndanoluansralplilerdenherbirineAkmesininplipermtasyonu denir.ntaneelemannplipermtasyonlarP(n,p), nPpveyaPnpsembollerindenbiriile gsterilir. n elemann pli permtasyonlarnn says ( )!!pnnPn p=dir. Birbirindenfarkldizililerveyasralamakavramtayanifadelerpermtasyonile zlr.rnein1,2ve3rakamlarileyazlabilecekveyaikibasamaklsaylargibi problemler permtasyon ile zlr. 3 basamakl saylar : 123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321P (3,3) = 3! = 6 adettir. 2 basamakl saylar : 12 , 21 , 13 , 31 , 23 , 32P (3,2) = 6 adettir. rnek 5-4 : A, B, C, D ve E isimli 5 ahs, a) Ka farkl ekilde dizilirler ? b)AveBisimliahslaryanyanagelecekekildeolmakzerekafarklekilde dizilirler? c) A ve B isimli ahslar yan yana gelmeyecek ekilde ka farkl ekilde dizilirler ? d) 3 kiilik bir sraya ka farkl ekilde oturtulabilirler ? a) 5 kii ( )120 5 4 3 2 1 ! 5! 0 5! 555= = == Pfarkl ekilde dizilebilirler. b)AveBisimliahslarnyanyanagelmesiistendiindenAveByibirkiigibi dnlrse,AileBvedierkiiler ( )24 4 3 2 1 ! 4! 0 4! 444= = == P farklekilde dizilebilirler. A ve B nin kendi aralarnda farkl srada dizilileri de 2 ! kadar olacandan, A veBninyanyanagelmekkaydyla5kiininfarkldizilileri2!x4!=2x24=48farkl ekilde olabilir. c) 5 kiinin, A ve B isimli ahslarn yan yana gelmemek zere farkl dizilileri ise 120 48 = 72 dir.d) 5 ahsn 3 kiilik sralara farkl oturu dzeni ise, ( )602 15 4 3 2 1! 3 5! 535= == P rnek 5-5 : 1,2,3,4,5 rakamlar ile, her rakam en fazla bir kere kullanlarak, ka tane 3 basamakl say yazlabilir ve bu saylarn ka tanesinde 4 rakam bulunur ? Bu5rakamile,herrakamenfazlabirkerekullanlarakyazlabilecek3basamaklsay adedi : ( )602 15 4 3 2 1! 3 5! 535= == P 113 Bu saylardan iinde 4 rakam bulunanlar : 1. Yol : 4 rakam kartlrsa kalan 4 rakam ile oluturulabilecek ikili dizililer : ( )122 14 3 2 1! 2 4! 424= == P tanedir 4rakambirler,onlarveyayzlerbasamanakonularak3basamaklsaylar oluturulabileceinden, iinde 4 rakam olan saylarn adedi 12 . 3 = 36 olarak bulunur. 2. Yol : 1,2,3 ve 5 rakamlar ileyazlan 3 basamakl saylarn iinde 4 rakam bulunmaz. Bu saylarn adedi : ( )2414 3 2 1! 3 4! 424= == P tanedir Dolaysyla iinde 4 rakamnn bulunduu saylarn adedi = 60 24 = 36dr. 5.1.3.Kombinasyon (Kombinezon) n,peNvepnolmakzere,nelemanlbirkmeninpelemanlheraltkmesine,n elemannplikombinasyonudenir.Buradanelemandanptanesininseimiilefarklgruplar oluturmakamalanmaktadr.Bugruplardapermtasyondaolduugibielemanlarndizili sralarnnnemiyoktur,sadecefarklelemanlarnbirarayagelmesiszkonusudur.n elemann pli kombinasyonu C (n,p), Cnpveyanp| | |\ . sembollerinden biri ile gsterilir. n elemann pli kombinasyonlarnn says( )!! !pnnCp n p= dir. Kombinasyonun zellikleri : 1) p q p n pn n n np q n ise C C veya C C + = = =2) 0 11 ;nn n nC C C n = = =3) 0 1 2 12n n nn n n n nC C C C C+ + + + + =4)!!pp p pnn n nPC ve P p Cp= = 5) 11p p pn n nC C C++ = rnek 5-6 : 15 kiilik bir snftan 6 kiilik ka farkl voleybol takm kurulabilir ? Buradaoyuncularnsrasveyadiziliinemlideildir.Sadecehangi6oyuncununbir aradabulanabileceivebuekildekafarklgrupoluturulabileceiaratrlmaktadr.Yani, bu problem kombinasyon ile zlecektir. ( )50056 5 4 3 2 115 14 13 12 11 10! 9 ! 6! 15! 6 15 ! 6! 15515= == = C farkl takm oluturulabilir. 114 rnek 5-7 : 10 kiilik bir snftan her seferinde en az 3, en ok 5 renciden olumak zere ka farkl ekilde bir alma grubu oluturulabilir ? Buradadarencilerinsrasveyadiziliinemlideildir.Ohalde10rencinin3l, 4l ve 5li kombinasyonlar hesaplanmaldr. 120! 7 ! 3! 10310== C ;210! 6 ! 4! 10410== C ;252! 5 ! 5! 10510== C Toplam grup says = 120 + 210 + 252 = 582 rnek 5-8 : 5kadnve7erkektenoluan12kiilikbirtopluluktan2erkekve2kadnolmakzere oluturulabilecek tm olas 4 kiilik gruplarn says katr ? 5 kadndan oluturulabilecek 2li gruplar : ( )255!102! 5 2 !C = = 7 erkekten oluturulabilecek 2li gruplar : ( )277 !212! 7 2 !C = = Tm gruplarn says saymann temel ilkesine gre 10 x 21 = 210 grup rnek 5-9 : 4kadnve8erkektenoluanbirtopluluktan3kiilikalmagruplarseilecektir.Bu topluluktan oluturulabilecek iinde en az 1 kadn bulunan tm alma gruplar ka tanedir? indeenaz1kadnbulunangruplar,1Kadn+2Erkek,2Kadn+1Erkekveya3 Kadndan oluabilir. 1 K + 2 E:1 Kadn 4 arasndan ( )144!41! 4 1 !C = = farkl ekilde seilebilir. 2 Erkek 8in arasndan( )288!282! 8 2 !C = = farkl ekilde seilebilir. Buna gre iinde 1 kadn bulunan 4 x 28 = 112 farkl grup seilebilir. 2 K + 1 E:2 Kadn 4 arasndan( )244!62! 4 2 !C = = farkl ekilde seilebilir. 1 Erkek 8in arasndan( )188!81! 8 1 !C = = farkl ekilde seilebilir. Buna gre iinde 2 kadn bulunan 6 x 8 = 48 farkl grup seilebilir. 115 3 K :3 Kadn 4 arasndan ( )344!43! 4 3 !C = = farkl ekilde seilebilir. Dolaysyla, iinde en az 1 kadn bulunacak ekilde oluturulabilecek toplam grup says, 112 + 48 + 4 = 164 dir. 116 5.2.Toplama Sembol ( ) sembolmatematiktebelirlibirkuralagreverilenardktoplamailemleriniifade etmekiinkullanlanbirsemboldr.rnein 1 2, , ,na a a e olmakzere 1 2 na a a + + +toplam 1nkka= olarak gsterilebilir. 1 21nk nka a a a== + + +(5.1) rnek 5-10 :2 + 5 + 12 + 19 + ......... + 201 toplamn sembol ile yaznz. Budiziyioluturantamsaylararasndagrldgibi7farkvardr.Dolaysylabu dizinin genel terimi 7n 2 olarak yazlabilir. n = 0 iin birinci terim7 0 2 2 = , n = 1 iin ikinci terim7 1 2 5 =bulunur. 201 2 2037 2 201 297 7n n+ = = = =olacaktr. Buna gre( )2902 5 12 19 7 2kk= + + + + = olarak yazlr. Matematikte ska kullanlan toplama ilemlerine ait formller aada verilmektedir. ( )111 2 32nkn nk n= += + + + + =(5.2) ( )12 2 4 6 2 1nkk n n n== + + + + = +(5.3) ( ) ( )212 1 1 3 5 2 1nkk n n= = + + + + =(5.4) ( ) ( )( )13 13 2 1 4 7 3 22nkn nk n= = + + + + =(5.5) ( ) ( )2 2 2 2 211 2 11 2 36nkn n nk n= + += + + + + =(5.6) ( ) ( )( )22 22 2 214 12 1 1 3 5 2 13nkn nk n= = + + + + =(5.7) 117 ( )23 3 3 3 3111 2 32nkn nk n= ( += + + + + =( (5.8) 1 2 3 11111n nk nkrr r r r rr == + + + + + =(5.9) ( ) ( )11 1 1 1 11 1 2 2 3 3 4 1 1nknk k n n n== + + + + = + + +(5.10) ( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 1 2nkk k k n n n=( + + = + + + + + + ( ) ( ) ( ) 1 2 34n n n n + + += (5.11) 2 311 1 1 1 1 112 2 2 2 2 2nk n nk == + + + + = (5.12) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 12 3 3 3 2111 1 2 3 1 12nk k nkn nk k = + = + + = (5.13) ( )1! 1 1! 2 2! 3 3! ! 1 ! 1nkk k n n n= = + + + + = + (5.14) ( )11cos cos2 2sin sin sin2 sin3 sin2sin2nknk nuuu u u u uu= (| | | | + ||(\ . \ . = + + + + =| | |\ .(5.15) ( )11cos cos cos2 cos3 cos sin cos2 2nkn nk nuu u u u u u= ( + | | | |= + + + + = ||(\ . \ . (5.16) 0!nxnxen==(5.17) 011 1p rk p rp r p rkeee e == = (5.18) 118 sembolnn zellikleri : Toplamindisininisminindeitirilmesitoplamannsonucunuetkilemez1 2 31 1n nk p nka a a a a a== = + + + + (5.19) nkk pa= toplamnda (n p + 1) tane terim vardr.(5.20) ( ) ( ) 1nk pc c c c c n p c c== + + + + = + e(5.21) ( ) ( )1 0. 1 .n nk kc n c ve c n c c= == = + e (5.22) ( )n nk kk p k pc a c a c= = = e (5.23) ( )n n nk k k kk p k p k pa b a b= = = = (5.24) ( )1q n nk k kk p k p k qa a a p q n= = = += + < < (5.25) ( ) ( ) ( )n n m n n mk k m k k mk p k p m k p k p ma a veya a a m n ++ = = = = += = e < (5.26) sembolnn deime zellii vardr. n m m nk kj p i p i p j pa a= = = =| | | |= ||\ . \ . (5.27) rnek 5-11 : 20 301 04 6k kve= = toplamlar katr ? (5.21) zellii kullanlarak,( ) ( )20 301 04 20 1 1 4 20 4 80 6 30 0 1 6 31 6 186k kve= == + = = = + = = elde edilir. 119 rnek 5-12 : 1043k = toplamnda ka terim vardr ve bu toplamn deeri nedir ? Bu toplamda (10 4 + 1) = 7 terim vardr ve bu toplam 1043 7 3 21k == = dir. rnek 5-13 : 6315kk= toplam katr ? (5.23) zellii ve (5.8) forml kullanlarak, ( )26 63 31 16 6 15 5 5 22052k kk k= = +(= = = (