Penerapan
I. Pokok Pembahasan
Integral tentu
Integral tak tentu
Sigma
II. Tujuan:
1. Mengetahui dan memahami bentuk-bentuk integral tentu dan
integral tak tentu
2. Mengetahui dan memahami bentuk sigma
3. Menyelesaikan bentuk integral dan sigma dengan maple
4. menentukan hasil penyelesaian integral dan sigma dengan
maplle
III. Landasan Teori
1. Integral Tentu dan Tak Tentu
Setelah kita memahami tentang integral tentu dan integral
taktentu, baik pada materi Calculus yang dipelajari di ruang kelas
maupun yang dipelajari pada bab lain dari perkuliahan matematika
komputasi ini, maka pada kesempatan ini pengetahuan itu akan kita
perluas pada penerapannya. Materi integral ini memang mendapat
porsi yang besar karena adalah inti dari Calculus di samping
turunan dan diferensial serta limit dan deret.
Program Maple dalam hal ini kita gunakan sebagai perangkat
pendukung untuk memperdalam pengetahuan kita tentang integral dan
melebih-nyatakan integral sehingga kita dengan mudah membangun
suatu konstruksi pemahaman di dalam pikiran yang pada akhirnya
dapat diingat lebih lama. Beberapa contoh akan kita uraikan sebagai
kajian, dan untuk pengembangan diri, anda diharapkan menerapkannya
pada contoh-contoh lain yang dapat anda jumpai pada
textbook-texbook Calculus. Kita awali dengan pendalaman pada
polynomial berpangkat 3.
Contoh 1 :
Carilah nilai-nilai a, b, c, dan d dari fungsi polynomial
pangkat tiga di mana fungsi ini memiliki titik maksimum relative
pada (1,7) dan titik minimum relative pada (8,-2). Perkenalkan
fungsinya :
> f:=a*x^3+b*x^2+c*x+d;
> el:=subs(x=1,f)=7;
> e2:=subs(x=8,f)=-2;
Suatu kurva yang memiliki titik maksimum dan minimum, pada
titik-titik tersebut nilai turunannya sama dengan nol. Sehingga
fungsi tersebut dapat kita turunkan dan mensubstitusikan nilai
titik-titik tersebut kemudian menyamakannya dengan 0.
Turunkan fungsi f(x) terhadap x :
> fdiff:=diff(f,x);
> e3:=subs(x=1,fdiff)=0;
> e4:=subs(x=8,fdiff)=0;
Kita telah mendapatkan 4 persamaan dengan empat variable yang
tidak diketahui, yaitu variable a, b, c, dan d. Kita selesaikan
ke-4 persamaan tersebut :
> q:=solve({e1,e2,e3,e4},{a,b,c,d});
Kemudian substitusikan nilai-nilai a, b, c dan d ke dalam
persamaan awal untuk mendapatkan bentuk sempurna persamaan itu
:
> f1:=subs(q,f);
Cara lain untuk menyelesaikan persoalan tersebut :
Dengean mengetahui titik-titik maksimum dan minimum kita dapat
membangun suatu persamaan dan mengintegralkan persamaan ini untuk
mendapatkan persamaan awal dengan beberapa konstanta yang belum
dikatahui :
> fp:=c*(x-1)*(X-8);
> F:=int(fp,x)+d;
Substitusikan titik-titik maksimum dan minimum ke persamaan
hasil integral :
> E1:=subs(x=1,F)=7;
> E2:=subs(x=8,f)=-2;
Kita mendapatkan dua persamaan dengan dua variable yang tidak
diketahui, selesaikan kedua persamaan ini untuk mendapatkan nilai
dua variable yang tidak diketahui tersebut :
> Q:=solve({E1,E2},{c,d});
Substitusikan hasilnya ke persamaan hasil integral :
> F1:=subs(Q,F);
Contoh 2 :
Carilah nilai-nilai a, b, c, dan d dari fungsi polynomial
pangkat tiga di mana fungsi ini memiliki titik maksimum relative
pada (8,4) dan titik minimum relative pada (5,1). > restart:>
gp:=c*(x-5)*(x-8);
> g:=int(gp,x)+d;
> e1:=subs(x=5,g)=1;
> e2:=subs(x=8,g)=4;
> q1:=solve({e1,e2},{c,d});
> g1:=subs(q1,g);
Contoh 3 :
Carilah luas yang dibatasi oleh persamaan f(x) dan g(x) pada
contoh 1 dan 2 .
Pertama-tama kira gambar dahulu kedua grafik dari persamaan
tersebut untuk melihat luasan yang dimaksud. Hasilnya adalah :
> restart:>
f1:=(18/343)*x^3-(243/343)*x^2+(432/343)*x+(2194/343);
> g1:=(-2/9)*x^3+(13/3)*x^2-(80/3)*x+(484/9);
> plot({f1,g1},x=3..10);
Dengan memperhatikan gambar di atas, maka luasan yang akan
dicari tersebut adalah luasan yang dibatasi dari kira-kira pada
harga x = 3 sampai x = kira-kira 10. Untuk lebih jelasnya mari kita
lihat titik potong kedua grafik tersebut.
> r:=fsolve(f1=g1,x);
Pada proses penghitungan luas yang dibatasi oleh dua kurfa
mempersyaratkan agar kita membedakan antara kurva bagian atas dan
kurva bagian bawah :
Dan hasil luas yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut adalah
:
> value(q2);
18.41475281
Contoh 4 :
Carilah panjang kurfa grafik sinus x pada batas x = 0 sampai x =
Pi.
> restart:
> with(student);
> f:=sin(x);
> fint:=Int(sqrt(1+diff(f,x)^2),x=0..Pi);
> evalf(fint);
3.820197789
Contoh 5 :
Suatu benda berosilasi pada suatu pegas dengan kecepatan. Pada
saat t=0, benda tersebut berada 2 cm di bawah titik keseimbangannya
yang ditentukan sebagai titik acuan. Carilah posisi sebagai fungsi
waktu x(t) dari benda tersebut dan gambar grafik pola gerakannya
pada batas t = 0 sampai t = 3Pi.
Karena kecepatan adalah turunan terhadap waktu dari posisi, maka
kita dapat mencari posisi dengan mengintegralkan fungsi kecepatan.
Akan tetapi kita membutuhkan suatu konstanta integrasi.
> restart:
Perkenalkan persamaan :
> v:=10*exp(-t)*sin(3*t);
Cari posisi benda dengan mengintegralkan kecepatan :
> x1:=int(v,t)+c;
Masukkan syarat batas untuk menentukan nilai c :
> x2:=subs(t=0,x1)=-2;
> solve(x2,c);
Substitusikan harga c ke dalam persamaan posisi :
> xt:=subs(c=1,x1);
Gambar grafik posisi :
> plot(xt,t=0..3*Pi);
2. Integral Tentu
Luasan Di Bawah Suatu Kurva
Bila digambarkan suatu persegi panjang pada suatu koordinat
cartesius,luas persegi panjang tersebut dengan mudah dapat dicari.
Perhatikan gambar 5.1 Luas persegi panjang adalah A=f(x)x.
Gambar 5.1
Bila jumlah persegi panjang kita perbanyak menjadi 4 dengan
lebar yang sama namun tinggi f(x)-nya berbeda-beda maka keadaannya
akan terlihat seperti gambar 5.2.
Gambar 5.2
Luas keseluruhan persegi panjang adalah :
A=A1+A2+A3+A4=f1(X) x + f2(x) x +f3(x) x +f4(x) x
xJika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 10
dengan tinggi f(x)-nya yang berbeda-beda dan dengan x nya kita
perkecil. Hasilnya akan menjadi seperti ditunjukkan pada gambar
5.3.
Gambar 5.3
Luas totalnya dirumuskan sebagai :
Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 100
dengan tinggi f(x)-nya yang berbeda-beda dan dengan x nya kita
perkecil lagi. Hasilnya akan menjadi seperti ditunjukkan pada
gambar 5.4.
Gambar 5.4
Pada gambar 5.1 sampai gambar 5.4 secara tidak disadari kita
telah membuat tinggi persegi panjang berubah memenuhi keteraturan
mendekati pola persamaan :
. Bila jumlah persegi panjang kita tambah lagi menjadi , dan
seiring dengan itu membuat , maka tinggi f(x) untuk setiap x
berubah secara kontinu mengikuti persamaan : . Sehingga luas
keseluruhan persegi panjangnya dinyatakan sebagai :
Jika kita membuat x mendekati 0, maka penulisan berubah menjadi
dan x berubah menjadi dx. Sehingga selengkapnya ditulis menjadi
:
Karena batas-batas pembuatan persegi panjang tadi kita sebar
dari 0 sampai 1, maka batas-batas tersebut kita letakkan pada tanda
dan ditulis seperti : . Tanda disebut sebagai integral atau lambang
integral. Bila integralnya tidak dibatasi, maka integral itu
disebut integral taktenu. Bila kita memberikan batasannya, seperti
contoh di 10
atas di mana batas-batas integralnya adalah dari 0 sampai 1,
maka tanda integralnya ditulis sebagai dan disebut sebagai integral
tentu. 10
Fungsi f(x) pada contoh di atas adalah fungsi satu variable
bebas, yaitu : variable x. Jika fungsi yang diintegralkan adalah
fungsi satu variable bebas maka hasilnya adalah merupakan luasan
(A) yang dibatasi oleh fungsi tersebut dengan sumbu-x. Maka untuk
mencari suatu luasan yang berada di bawah kurva suatu fungsi dapat
dilakukan dengan cara integral.
Penggunaan MAPLE Untuk Menyelesaikan Integral
Untuk menghantarkan teori integral ke bentuk yang lebih nyata
secara visual, agar mudah difahami, MAPLE digunakan sebagai
perangkat lunak yang tepat. Teori integral yang terlihat
seolah-olah semu dapat diperjelas dengan uraian gambar-gambar.
Defenisikan suatu fungsi persamaan yang dikehendaki :
> restart;
> with(student);
> f:=x^2+1;
:= f =x2 + 1
Menggambar persegi panjang persegi panjang yang tingginya
memenuhi persamaan f=x2 + 1 dan lebarnya sebesar x.>
leftbox(f,x=0..1);
> q:=leftsum(f,x=0..1);
q:=
> A:=value(q);
:A:=
> evalf(A);
1.218750000
Jumlah persegi panjang yang digambarkan adalah 4 yang tersebar
dari batas-batas 0 sampai 1 pada sumbu-x, sehingga besar x = 0,25.
Luas yang dihasilkan oleh penjumlahan luas seluruh persegi panjang
tersebut tentulah belum sama dengan luas di bawah kurva f(x)=x2 + 1
sampai ke sumbu-x, karena masih tersisa ada empat seperti berbentuk
segita yang berada di bagian atas persegi panjang yang luasnya
belum termasuk ke dalam perhitungan. Agar luasan yang tidak
terhitung ini menjadi kecil, maka cara yang dilakukan adalah
memperkecil lebar x. Kita coba lakukan dengan menambah jumlah
persegi panjang menjadi 10. Hasilnya ditunjukkan pada gambar
5.6
> leftbox(f,x=0..1,10);
Gambar 5.6
> q:=leftsum(f,x=0..1,10);
q:=
> A:=value(q);
A:=
> evalf(A);
1.285000000
Bila kita perhatikan gambar 5.6 dengan tiliti, maka masih
didapatkan luasan di bawah kurfa yang belum terhitung, namun
besarnya sudah semakin kecil dari yang sebelumnya. Untuk
mempersingkat waktu, maka kita buat jumlah persegi panjangnya
langsung 100. Hasilnya ditunjukkan pada gambar 5.7.
> leftbox(f,x=0..1,100);
> q:=leftsum(f,x=0..1,100);
q:=
> A:=value(q);
A:=
> evalf(A);
1.328350000
Tentu saja hasil pada gambar 5.7 lebih mendekati ke hasil yang
sebenarnya bila dibandingkan dengan hasil-hasil sebelumnya. Dengan
demikian, semakin kecil harga x dibuat, semakin dekat hasil luas
yang diperoleh ke luas yang sebenarnya. Untuk tujuan tersebut, kita
buat saja jumlah persegi panjangnya sebanyak n di mana n menuju
takhingga.
> restart:
> with(student);
> f:=x^2+1;
> q:=leftsum(f,x=0..1,n);
> A:=value(q);
> limit(A,n=infinity);
> evalf(limit(A,n=infinity));
1.333333333
Dengan membuat jumlah persegi panjang sebanyak takhingga pada
batas x = 0 sampai x = 1 sebagaimana dinyatakan oleh program
terakhir ini kita dapat memanfaatkan konsep limit untuk menghitung
hasilnya dan memberikan hasil yang sebenarnya. Pembuatan persegi
panjang sebanyak takhingga pada selang x = 0 sampai x = 1 seperti
di atas memaksa harga x mendekati 0 sehingga x berubah bentuk
menjadi dx. Dengan demikian konsep integral dapat kita gunakan
untuk mendapatkan hasil di atas dan kita mendapatkan hasil yang
sebenarnya :
> restart:
> with(student);
> f:=x^2+1;
> A1:=Int(f,x=0..1);
> evalf(value(A1));
1.3333333
Setelah kita dihantarkan pada pemahaman tentang konsep integral
tentu oleh uraian di atas, dalam ruang kuliah kita sering disuguhi
fungsi-fungsi persamaan untuk diintegralkan. Batas-batas integral
sering tidak dilibatkan untuk tujuan yang lebih umum. Persoalan
seperti ini tentu lebih menantang untuk diselesaikan. Bila
batas-batas integralnya tidak diketahui, maka integral semacam itu
disebut integral taktentu. Berikut ini urusan semacam itu diuraikan
dengan menggunakan program MAPLE.
Suatu fungsi persamaan tertentu disuguhi untuk diintegralkan,
Contoh : > restart:
> with(student);
> f1:=x^2-2;
> f1gral:=Int(f1,x);
> f1lai:=value(f1gral);
Hasil terakhir ini adalah hasil integral dari persamaan fI=X2-2
. Tentu anda yang sudah mendapatkan materi kuliah Calculus sudah
familiar dengan cara analitik integralnya. Sebagaimana kita ketahui
bahwa integral adalah suatu antiturunan, itu berarti kita dapat
mendapatkan ulang fungsi persamaan awal f1 dari hasil integralnya
dengan proses turunan, yaitu : > diff(f1lai,x);
Contoh terkahir ini adalah contoh yang relative mudah difahami.
Kita telusuri contoh yang sedikit lebih rumit :
> f2:=(x^3+4)^6*x^2;
> f2gral:=Int(f2,x);
> f2lai:=value(f2gral);
Kita ingin mencoba mengembalikan persamaan f2lai ke bentuk f2
dengan cara menurunkannya :
> f2run:= diff(f2lai,x);
Anda lihat, ternyata hasil yang didapatkan tidak persis sama
dengan persamaan f2 (walaupun sebenarnya adalah sama bila factor
pada f2 diuraikan). Agar hasilnya persis sama, maka harus kita
lakukan :
> factor(f2run);
Hasil terakhir ini terlihat sudah persis sama dengan persamaan
f2.
Kita perluas pemahaman kita untuk contoh yang melibatkan fungsi
trigonometri.
> restart:
> with(student);
> f3:=sin(x)^2*cos(x)^2;
> f3gral:=Int(f3,x);
> f3lai:= value(f3gral);
> f3run:=diff(f3gral,x);
Integral Tentu
Beberapa contoh di atas telah mengajari kita bagaimana
menyelesaikan integral taktentu dengan MAPLE. Berikut adalah cara
bagaimana menyelesaikan integral tentu. Kita ambil contoh persamaan
()()xxcossin yang akan kita integralkan pada batas x = 0 sampai x =
/2.
> restart:
> with(student);
> f4:=sin(x)*cos(x);
> f4gral1:=Int(f4,x=0..Pi/2);
> f4gral2:=int(f4,x);
> f4lai:=value(f4gral1);
Perhatikan perintah f4gral2:=int(f4,x); perintah ini kita
berikan untuk menunjukkan hasil integralnya dalam bentuk variable.
Artinya,.
Demikian uraian materi integral ini disajikan untuk
menghantarkan anda ke pemahaman yang lebih baik sehingga dapat
mengerti konsep integral dan juga dapat mengajarkannya dengan enak
dan persuasive kepada khalayak ramai.
3. Notasi Sigma
Secara umum, pengertian notasi sigma adalah sebagai berikut.
Dibaca jumlah ak untuk k sama dengan 1 sampai n atau jumlah ak
untuk k =1 sampai dengan k = n
Berikut ini sifat sifat notasi sigma yang perlu
diperhatikan.
1. ak = a1 + a2 + a3 + + an2. (ak + bk) = ak + bk3. cak = c ak
4. ak = ak p
5. c = (n m + 1)c
6. ak + ak = ak 7. ak = 0
8. (ak + bk)2 = ak2 + 2 ak bk + bk2Barisan Aritmetika
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, , Un-1,
Un.Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika
selisih untuk setiap suku ke-n (Un) dengan suku sebelumnya (Un-1)
adalah tetap (konstan). Selisih tersebut dinamakan beda (b).
Misalkan suku pertama = a, beda b, maka
U1, U2, U3, ..., Un
a, a + b, a + 2b, , a+(n 1)b
Dengan demikian, rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah :
Suku Tengah ( Ut)
Jika bilangan berurutan a, b, c membemtuk barisan aritmatika,
maka
terdapat hubungan.
2b = a + c atau
2 ( suku tengah ) = jumlah suku tepi
Contoh :
-4, 2, 8, 14, 20, 26, 32. merupakan barisan aritmatika
karena
2.14 = 8 + 20 = 2 + 26 = -4 + 32
b. Jika empat bilangan berurutan a, b, c, d, membemtuk barisan
aritmatik maka terdapat hubungan.
b + c = a + d atau
jumlah suku tengah = jumlah suku tepi
Contoh :
3, 7, 11, 15, 19, 23 merupakan barisan aritmatika karena
11 + 15 = 7 + 19 = 3 + 23
Contoh :
Deret Aritmatika ( Deret Hitung )
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika.
Jika U1, U2, U3, ,Un adalah barisan aitmatika, maka U1 + U2 + U3 +
,Un merupaka deret aritmatika. Jumlah n suku pertama disimbolkan
dengan Sn. Sn = U1 + U2 + U3 + ,Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah :
Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Geometri
Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, , Un-1,
Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai
perbandingan untuk setiap suku ke n ( Un ) dengan suku sebelumnya (
Un-1) adalah tetap. Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ),
ditulis :
R =
Dimana r 0 atau r 1
Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka
:
U1, U2, U3, ..., Un
a, ar, ar2 , ,arn 1
Dengan demikian, rumus suku ke n barisan geometri adalah :
Deret Geometri
Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku suku barisan
geometri.
Jika U1, U2, U3, U4, , Un-1, Un adalah barisan geometri, maka U1
+ U2 + U3 + ,Un
merupaka deret geometri. Jumlah n suku pertama disimbolkan
dengan (Sn) Sn = U1 + U2 + , Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah :
Deret Geometri Takhingga
Jika suatu deret geometri, Sn = U1 + U2 + , Un-1 + Un dengan
n
mendekati takhingga, maka deret geometri tersebut dikatakan
sebagai deret
geometri tak hingga dan di tulis dengan
S = U1 + U2 + , Un-1 +
Jika
Jika
Sehingga,runus jumlah deret geometri takhingga untuk
IV. Teladan
Contoh integral tak tentu 1
> Int(3*x^10-2*x^4+16*x-12,x);
> value(%);
> Contoh integral tak tentu 2
> Int((12*x^3/5-x+3),x);
> value(%);
Contoh integral tentu 1
Int(x^2-x-6,x=0..2);
value(%);
contoh integral tentu 2
> Int(x^2-4*x+5,x=1..4);
value(%);
Contoh sigma 1
> with(student):> Sum(1/n^3,n=1..100);
> evalf(%);
Contoh sigma 2
> with(student):> Sum(sqrt(3*x^2/4*x-4),x=1..10);
> evalf(%);
DAFTAR PUSTAKA
Anonim. Fungsi Invers. http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor
Pendamping/Praweda/Matematika/0375%20Mat%201-4e.htmAnonim. Matriks.
http://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_(matematika)Anonim. Invers dan
Matriks.
http://grid.ui.ac.id/files/manual-portal/node10.htmlAnonim. Mencari
Fungsi Invers dan Matriks dengan Maple.
http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0011.pdfDale Varberg,
Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam;
Penerbit Interaksara. EMBED Equation.3
Un = a+ (n -1)b
Sn = EMBED Equation.3
Sn = EMBED Equation.3
Un = arn-1
EMBED Equation.3
_1297536180.unknown
_1297536943.unknown
_1297537419.unknown
_1297538092.unknown
_1297538431.unknown
_1297538618.unknown
_1297539206.unknown
_1297538737.unknown
_1297538553.unknown
_1297538313.unknown
_1297538392.unknown
_1297538292.unknown
_1297537959.unknown
_1297538024.unknown
_1297537878.unknown
_1297537218.unknown
_1297537305.unknown
_1297537162.unknown
_1297536636.unknown
_1297536815.unknown
_1297536866.unknown
_1297536676.unknown
_1297536419.unknown
_1297536494.unknown
_1297536244.unknown
_1250480361.unknown
_1296495287.unknown
_1297535763.unknown
_1297536031.unknown
_1297536115.unknown
_1297535820.unknown
_1297535239.unknown
_1297535415.unknown
_1296495421.unknown
_1296494528.unknown
_1296495050.unknown
_1296495052.unknown
_1296494607.unknown
_1250480371.unknown
_1296475433.unknown
_1296494419.unknown
_1250480373.unknown
_1296475177.unknown
_1250480374.unknown
_1250480372.unknown
_1250480363.unknown
_1250480367.unknown
_1250480368.unknown
_1250480370.unknown
_1250480366.unknown
_1250480362.unknown
_1250480352.unknown
_1250480356.unknown
_1250480358.unknown
_1250480360.unknown
_1250480357.unknown
_1250480354.unknown
_1250480355.unknown
_1250480353.unknown
_1250480348.unknown
_1250480350.unknown
_1250480351.unknown
_1250480349.unknown
_1250480346.unknown
_1250480347.unknown
_1250480345.unknown
_1250480344.unknown