MAKALAH INTEGRAL TAK TENTU

MAKALAH INTEGRAL TAK TENTU

Disusun sebagai Tugas Akhir Semester 5

Oleh :

ERIKA NIRWANA PUTRI (13010110033)

HENDY HALYADI (13010110037)

MUTIARANI (12010110070)

NOVIA LAROSA (12010110077)

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI ILMU KEGURUAN DAN PENDIDIKAN

TANGERANG

2015

Operasi Kebalikan Operasi

Penjumlahan Pengurangan

Pengurangan Penjumlahan

Perkalian Pembagian

Pembagian Perkalian

Fungsi Turunannya Kebalikan Turunan

𝑦 = 2𝑥 𝑦′ = 2 𝑦 = 2𝑥

𝑦 = 𝑥2 𝑦′ = 2𝑥 𝑦 = 𝑥2

𝑦 = sin 𝑥 𝑦′ = cos 𝑥 𝑦 = sin 𝑥

𝑦 = 𝑒𝑥 𝑦′ = 𝑒𝑥 𝑦 = 𝑒𝑥

INTEGRAL TAK TENTU

A. Pengertian Integral

Dalam kehidupan sehari-hari sering mengalami proses-proses kebalikan. Proses

tersebut mengembalikan suatu kondisi ke kondisi semula setelah melalui serangkaian

proses-proses yang mengubahnya. Salah satu contohnya yaitu dari rumah pergi ke kantor,

Proses kebalikannya dari kantor kembali ke rumah. Pada pelajaran matematika tingkat

dasar terdapat operasi-operasi aritmatika.

Proses kebalikan dari turunan dinamakan anti turunan atau integral.

Contoh :

Perhatikan table diatas data kolom 1 sama dengan kolom 2. Jadi proses kebalikan

mengubah fungsi turunan ke fungsi asal sebelum diturunkan.

Fungsi Asal Turunan Fungsi Turunan

𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)

Integral

B. Integral Tak Tentu

Mari lanjutkan membahas integral sedikit lebih jauh.Perhatikan table berikut ini

Fungsi Turunannya

𝑦 = 𝑥2 + 2 𝑦′ = 2𝑥

𝑦 = 𝑥2 + 5 𝑦′ = 2𝑥

𝑦 = 𝑥2 + 10 𝑦′ = 2𝑥

𝑦 = 𝑥2 − 20 𝑦′ = 2𝑥

Fungsi yang berbeda-beda pada kolom 1, menghasilkan turunan yang sama pada kolom 2.

Apabila proses diatas dibalik, maka turunannya akan kembali ke fungsi semula yang

berbeda-beda. Dengan demikian satu fungsi turunan, fungsi integralnya bisa berbeda-beda

tergantung konstantanya. Integral tak tentu didefinisikan sebagai berikut:

Contoh :

𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 10 merupakan anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 2𝑥 karena 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Perhatikanlah:

Fungsi 𝑦 = 𝑥𝑛 memiliki turunan 𝑦′ = 𝑛𝑥𝑛−1.

Fungsi 𝑦 = 𝑥𝑛+1 memiliki turunan 𝑦′ = (𝑛 + 1)𝑥𝑛

Maka ∫(𝑛 + 1)𝑥𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1 + 𝐶

Bagi kedua ruas dengan (𝑛 + 1),hasilnya

𝐹(𝑥) Disebut anti turunan dari 𝑓(𝑥) pada interval 𝐼 bila 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)∀𝑥 ∈ 𝐼

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

Dimana C = Konstanta

𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝑐, 𝑛 ≠ −1

Contoh:

Integralkan terhadap 𝑥

a) 𝑓(𝑥) = 10

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2

c) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥

d) 𝑓(𝑥) = 𝑥−5 − 𝑥3

4 + 𝑥1

2

Penyelesaian :

a) ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫10𝑥0𝑑𝑥 = 10𝑥 + 𝑐

b) ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑥2𝑑𝑥 =𝑥3

3+ 𝑐

c) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥2 − 4𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑐

d) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−5 − 𝑥3

4 + 𝑥−1

2 𝑑𝑥 = −1

4𝑥−4 −

4

7𝑥7

4 + 2√𝑥 + 𝑐

Latihan

1. Integralkan terhadap 𝑥

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2

b. 𝑓(𝑥) = 6𝑥2

c. 𝑓(𝑥) = 3𝑥5

d. 𝑓(𝑥) = 𝑥−4

e. 𝑓(𝑥) = −3𝑥−2

2. Integralkan terhadap 𝑥

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥1

2

b. 𝑓(𝑥) = 6𝑥2

c. 𝑓(𝑥) = 𝑥−1

2

d. 𝑓(𝑥) = 2𝑥−5

3. Selesaikanlah

a. ∫𝑥2 + 4𝑥 − 6 𝑑𝑥

b. ∫𝑥2 − 7𝑥 + 10 𝑑𝑥

c. 𝑥3 + 4𝑥3 − 6𝑥2 𝑑𝑥

d. ∫10𝑥9 + 5𝑥2 − 6 𝑑𝑥

e. ∫−3𝑥9 − 6𝑥2 + 8 𝑑𝑥

C. Metode Subtitusi

Misal 𝑢 = 𝑔(𝑥), 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝐹 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ anti turunan dari 𝑓, maka

Contoh

Integral terhadap 𝑥

a. 𝑓(𝑥) = (4𝑥 + 1)5

b. 𝑓(𝑥) = (2 − 3𝑥)7

Penyelesaian :

a. 𝑓(𝑥) = (4𝑥 + 1)5

Misal 𝑢 = 4𝑥 + 1 maka 𝑑𝑢 = 4 𝑑𝑥

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(4𝑥 + 1)5 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢41

4𝑑𝑢

∫𝑢4 𝑑𝑢 = 1

20𝑢5 + 𝐶 =

1

20(4𝑥 + 1)5 + 𝐶

b. 𝑓(𝑥) = (2 − 3𝑥)7

Misal 𝑢 = 2 − 3𝑥 maka 𝑑𝑢 = −3𝑑𝑥

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(2 − 3𝑥)7 𝑑𝑥 = −∫𝑢7 1

3𝑑𝑢

∫𝑢71

3𝑑𝑢 = −

1

24 𝑢8 + 𝐶 = −

1

24(2 − 3𝑥)7 + 𝐶

𝑓 𝑔(𝑥) 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑔(𝑥) + 𝐶

Latihan

1. Selesaikanlah

a. ∫ (𝑥 + 1)3 𝑑𝑥

b. ∫(3𝑥 + 7)8 𝑑𝑥

c. ∫ √(4𝑥 − 1)3 𝑑𝑥

d. ∫(6𝑥 + 1)7𝑑𝑥

e. ∫ (2𝑥2 + 𝑥)5 (𝑥 +1

4) 𝑑𝑥

D. Integral Fungsi Trigonometri

Dalam pembahasan integral tak tentu, tidak terlepas pula didalamnya mengenai

integral trigonometri. Integral trigonometri merupakan naikan dari suatu turunan

trigonometri atau sering pula dikatakan anti turunan . Sebelum mencoba dalam mengingat

rumus-rumus integral trigonometri, maka sebaiknya harus mengetahui turunan

trigonometri. Adapun turunan trigonometri dapat ditulisakan sebagai berikut:

Fungsi Trigonometri Turunannya

ƒ(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 ƒʹ(𝑥) = cos 𝑥

ƒ(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ƒʹ(𝑥) = −sin 𝑥

ƒ(𝒙) = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ƒʹ(𝑥) = sec² 𝑥

ƒ(𝒙) = 𝐜𝐨𝐭 𝒙 ƒʹ(𝑥) = −cose²𝑥

ƒ(𝒙) = 𝐬𝐞𝐜 𝒙 ƒʹ(𝑥) = sec 𝑥 tan 𝑥

ƒ(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝒙 ƒʹ(𝑥) = −csc 𝑥 cot 𝑥

Dengan demikian, anti turunan dari rumus-rumus diatas adalah:

1. ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐

2. ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐

3. ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑐

4. ∫ 𝑐𝑠𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝑐

5. ∫ sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝑐

6. ∫ csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = − csc 𝑥 + 𝑐

Rumus-rumus tersebut dapat dibuat lebih umum sebagai berikut :

1. ∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = 1

𝑎𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐

2. ∫ 𝑠𝑖𝑛 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = −1

𝑎𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐

3. ∫ 𝑠𝑒𝑐²(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 =1

𝑎 𝑡𝑎𝑛 (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐

4. ∫ 𝑐𝑠𝑐²(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = −1

𝑎 𝑐𝑜𝑡 (𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐

5. ∫ 𝑠𝑒𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑡𝑎𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 =1

𝑎 𝑠𝑒𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐

6. ∫ 𝑐𝑠𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑐𝑜𝑡(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = −1

𝑎 𝑐𝑠𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐

Tambahan: 4 rumus penting integral trigonometri

1. ʃ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −ln| cos 𝑥| + 𝐶

2. ʃ 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = ln| sin 𝑥| + 𝐶

3. ʃ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = ln| sec x + tan 𝑥| + 𝐶

4. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑 = ln |csc x – cot x| + C

Adapun pembuktian 4 rumus dari aturan trigonometri diatas :

1. ʃ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −ln| cos 𝑥| + 𝐶

sin 𝑥

cos 𝑥 𝑑𝑥 =

sin 𝑥 𝑑(cos 𝑥)

cos 𝑥 − sin 𝑥

= −1

cos 𝑥 𝑑(cos 𝑥)

Misal: cos 𝑥 = 𝑢 , 𝑘emudian substitusikan

−1

𝑢𝑑𝑢

Kembalikan 𝑢 = cos 𝑥

Sehingga

−1

𝑢𝑑𝑢 = −ln | cos 𝑥| + 𝑐

2. ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = ln | sin 𝑥| + 𝑐

cos 𝑥

sin 𝑥𝑑𝑥

= cos 𝑥

sin 𝑥 𝑑(sin 𝑥)

cos 𝑥

= 1

sin 𝑥𝑑(sin 𝑥)

Misal: sin 𝑥 = 𝑢, kemudian substitusikan

1

𝑢 𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝑐

Kembalikan 𝑢 = sin 𝑥

Sehingga

1

𝑢 𝑑𝑢 ln|𝑢| + 𝑐 = ln | sin 𝑥| + 𝑐

3. ∫ sec𝑥 𝑑𝑥 = ln | sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝑐

sec 𝑥sec 𝑥 + tan 𝑥

sec 𝑥 + tan 𝑥𝑑𝑥

Misal: 𝑢 = sec 𝑥 + tan 𝑥

𝑢 =1

cos 𝑥+sin 𝑥

cos 𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥=0(cos 𝑥) − (− sin 𝑥)

cos2 𝑥+cos 𝑥(cos 𝑥) − sin 𝑥(− sin 𝑥)

cos2 𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥=sin 𝑥

cos2 𝑥+cos2 𝑥 + sin2 𝑥

cos2 𝑥

𝑑𝑢 = (sec 𝑥 tan 𝑥 + sec2 𝑥) 𝑑𝑥

= sec2 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥

sec 𝑥 + tan 𝑥𝑑𝑥

Substitusikan 𝑢 dan 𝑑𝑢, sehingga

= 𝑑𝑢

𝑢= ln|𝑢| + 𝑐

Kembalikan 𝑢 ke bentuk trigonometri

Maka,

ln|𝑢| + 𝑐 = ln | sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝑐

4. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑 = ln |csc x – cot x| + C

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − cot 𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − cot 𝑥 𝑑𝑥

misal: 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − cot 𝑥

𝑢 =1

sin 𝑥−cos 𝑥

sin 𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥 =0(sin 𝑥) − 1(cos 𝑥)

sin2 𝑥−− sin 𝑥(sin 𝑥) − cos 𝑥(cos 𝑥)

sin2 𝑥

=− cos 𝑥

sin2 𝑥−−sin2 𝑥 − cos2 𝑥

sin2 𝑥

= −1

sin 𝑥

cos 𝑥

sin 𝑥+−(cos2 𝑥 + sin2 𝑥)

sin2 𝑥

=1

sin 𝑥

cos 𝑥

sin 𝑥+−1

sin2 𝑥

𝑑𝑢 = (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 cot 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥) 𝑑𝑥

= (𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + cot 𝑥)

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + cot 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑑𝑢

𝑢

= ln|𝑢| + 𝑐

= ln |𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − cot 𝑥| + 𝑐

Contoh soal:

Integralkan terhadap 𝑥

1. 𝑠𝑖𝑛 2𝑥

2. 𝑐𝑜𝑠 5𝑥

3. 𝑠𝑖𝑛 (5𝑥 + 4)

4. 5𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥

Penyelesaian:

1. ʃ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = ʃ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑(2𝑥)

2

= − 1

2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝑐

2. ʃ cos 5𝑥 𝑑𝑥 = ʃ cos 5𝑥𝑑(5𝑥)

5

=1

5 𝑠𝑖𝑛 5𝑥 + 𝑐

3. ʃ 𝑠𝑖𝑛 (5𝑥 – 4) 𝑑𝑥 = ʃ 𝑠𝑖𝑛 (5𝑥 – 4) 𝑑(5𝑥+4)

5

= − 1

5 𝑐𝑜𝑠 (5𝑥 + 4) + 𝑐

4. ʃ 5 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = 5

2 ʃ 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥

= 5

2 ʃ 𝑠𝑖𝑛 4𝑥

𝑑(4𝑥)

4

= − 5

8 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 + 𝑐

Contoh soal bentuk lain

Tentukan turunan integral dari soal dibawah ini

1. (2𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥² + 𝑥 + 3)

Penyelesaian:

(2𝑥 + 1) cos(𝑥2 + 𝑥 + 3) 𝑑𝑥

= ʃ (2𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥² + 𝑥 + 3) 𝑑(𝑥² + 𝑥 + 3)

2𝑥 + 1

= 𝑠𝑖𝑛 (𝑥² + 𝑥 + 3) + 𝑐

2. (8𝑥 + 12) 𝑠𝑒𝑐² (𝑥² + 3𝑥 + 5)

Penyelesaian:

(8𝑥 + 12)𝑠𝑒𝑐2(𝑥2 + 3𝑥 + 5)𝑑𝑥

= (8𝑥 + 12) 𝑠𝑒𝑐² (𝑥² + 3𝑥 + 5) 𝑑(𝑥² + 3𝑥 + 5)

2𝑥 + 3

= 4(2𝑥 + 3) 𝑠𝑒𝑐² (𝑥² + 3𝑥 + 5) 𝑑(𝑥² + 3𝑥 + 5)

2𝑥 + 3

= 4 𝑡𝑎𝑛 (𝑥² + 3𝑥 + 5) + 𝑐

Latihan

Selesaikanlah soal di bawah ini

1. ʃ 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 𝑑𝑥

2. ʃ 𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥

3. ʃ 3

5 𝑥 𝑠𝑒𝑐² (𝑥² − 5) 𝑑𝑥

4. ʃ (−4𝑥 + 6) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥² − 3𝑥 + 1) 𝑑𝑥

5. ʃ 8 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑐𝑜𝑠 7𝑥 𝑑𝑥

6. ʃ 𝑐𝑜𝑠 (9𝑥 – 2) 𝑑𝑥

7. ʃ 𝑠𝑒𝑐² (8𝑥 + 3) 𝑑𝑥

8. ʃ 8

9 𝑥 𝑠𝑒𝑐² (𝑥² − 9) 𝑑𝑥

9. ʃ (𝑥 + 5) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥² + 8𝑥 + 15) 𝑑𝑥

10. ʃ(2𝑥 − 10) sin(2𝑥2 − 9𝑥 − 5) 𝑑𝑥

Tantangan

1. ∫ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥

𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥

2. ʃ 𝑠𝑖𝑛(7𝑥+9)

𝑐𝑜𝑠 (7𝑥+9) 𝑑𝑥

3. ʃ 𝑠𝑒𝑐²(8𝑥+3)

𝑠𝑖𝑛( 8𝑥+3) 𝑑𝑥

E. Integral Fungsi Eksponen dan Logaritma

Fungsi Eksponensial adalah Fungsi yang biasa dinotasikan dalam bentuk 𝒆𝒙,

dimana e adalah basis logaritma natural. Dalam mengintegralkan fungsi eksponensial dan

logaritma, ada beberapa teorema yang harus dipahami.

Teorema 1

Contoh 1

Tentukan solusi dari ∫𝑥

𝑥−1𝑑𝑥 .

Penyelesaian :

𝑥

𝑥 − 1𝑑𝑥

= 𝑥 − 1 + 1

𝑥 − 1𝑑𝑥

= (𝑥 − 1) + 1

𝑥 − 1𝑑𝑥

= (𝑥 − 1)

𝑥 − 1𝑑𝑥 +

1

𝑥 − 1𝑑𝑥

= 1 𝑑𝑥 + 1

𝑥 − 1𝑑𝑥 = 𝑥 + ln|𝑥 − 1| + 𝑐

∫𝒅𝒙

𝒙= 𝑰𝒏|𝒙| + 𝒄

∫𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 𝒆𝒙 + 𝒄

Contoh 2

Tentukan solusi dari ∫1+𝑒𝑥

1−𝑒𝑥 𝑑𝑥.

Penyelesaian :

1 + 𝑒𝑥

1 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥

= 1 − 𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥

1 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥

= 1 − 𝑒𝑥

1 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥 +

2𝑒𝑥

1 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥

= 1. 𝑑𝑥 + 2𝑒𝑥

1 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥

= 1 − 𝑒𝑥

1 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥 +

2𝑒𝑥

1 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥 − 2 ln|1 − 𝑒𝑥| + 𝑐

Contoh 3

Tentukan solusi dari ∫𝑑𝑥

𝑥2−4 𝑑𝑥

Penyelesaian :

𝑑𝑥

𝑥2 − 4 𝑑𝑥

= 𝑑𝑥

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 𝑑𝑥

= 1

(𝑥 − 2)

1

(𝑥 + 2) 𝑑𝑥

=1

4

1

(𝑥 − 2)−

1

(𝑥 + 2) 𝑑𝑥

=1

4 (

𝑑𝑥

(𝑥 − 2)−

𝑑𝑥

(𝑥 + 2) )

=1

4 (𝑙𝑛|𝑥 − 2| − 𝑙𝑛|𝑥 + 2|)

=1

4 𝑙𝑛𝑥 − 2

𝑥 + 2

Contoh 4

Tentukan solusi dari ∫ 𝑒𝑥+25 𝑑𝑥

Penyelesaian :

𝑒𝑥+25 𝑑𝑥

= 𝑒𝑥+25 𝑑𝑥

= 1. 𝑒𝑥+25 𝑑𝑥

= 𝑒𝑥+25 + 𝐶

Teorema 2

Contoh 5

Tentukan solusi dari ∫510𝑥𝐼𝑛5 𝑑𝑥.

Penyelesaian :

510𝑥 ln 5 𝑑𝑥

= 510𝑥 ln 5𝑑(10𝑥)

10

=1

10510𝑥 + 𝐶

Contoh 4

Tentukan solusi dari ∫2𝑥𝑑𝑥 .

Penyelesaian :

2𝑥𝑑𝑥 =2𝑥

ln 2+ 𝐶

∫𝒂𝒙 𝒅𝒙 =𝒂𝒙

𝒍𝒏 𝒂+ 𝑪 , 𝒂 > 𝟎 & 𝒂 ≠ 𝟏

Teorema 3

Contoh 7

Tentukan solusi dari ∫1

𝑥+1log 𝑒 𝑑𝑥 .

Penyelesaian :

1

𝑥 + 1log 𝑒 𝑑𝑥

= 1

𝑥 + 1log 𝑒 𝑑(𝑥 + 1)

= log(𝑥 + 1) + 𝐶

Latihan soal

1. ∫𝑥3

𝑥2+1𝑑𝑥

2. ∫√𝑥2 − 4𝑥 + 5𝑑𝑥

3. ∫ 𝐼𝑛2 𝑑𝑥

4. ∫ 𝑒3𝑥+1 𝑑𝑥

5. ∫1

𝑥+5𝑙𝑜𝑔 𝑒 𝑑𝑥

6. ∫5𝑥. 9𝑥2𝐼𝑛9 𝑑𝑥

∫𝟏

𝒙 𝒍𝒐𝒈 𝒆 𝒅𝒙 = 𝒍𝒐𝒈 𝒙 + 𝒄

F. Integral Parsial

Jika aturan substitusi digunakan untuk menyelesaikan integral yang berkaitan

dengan aturan rantai, maka untuk menyelesaikan integral yang berkaitan dengan aturan

hasil kali turunan digunakan rumus integral parsial.

Misalkan 𝑦 = 𝑢𝑣, dimana 𝑢 dan 𝑣 differensiabel terhadap 𝑥, maka turunan 𝑦 adalah

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ 𝑣

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑(𝑢𝑣)

𝑑𝑥 = 𝑢

𝑑𝑣

𝑑𝑥+ 𝑣

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑(𝑢𝑣) = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢

∫ 𝑑(𝑢𝑣) = ∫ 𝑢𝑑𝑣 + ∫ 𝑣𝑑𝑢

𝑢𝑣 = ∫ 𝑢𝑑𝑣 + ∫ 𝑣𝑑𝑢

Contoh 1

Tentukan solusi dari ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

Penyelesaian:

Misal: 𝑢 = 𝑥 berarti 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 berarti ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = 𝑠𝑖𝑛𝑥

Rumus integrasi parsial memberikan:

∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥) = 𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑥) − ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

ln 2015 𝑥 𝑑𝑥 = (ln 2015 𝑥) 𝑥 − ∫ 𝑥. 𝑑(ln 2015 𝑥)

Contoh 2

Tentukan solusi dari ∫ 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥

Penyelesaian:

Misal: 𝑢 = 𝑥 berarti 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 berarti ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥

∫ 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥) = 𝑥(−𝑐𝑜𝑠𝑥) + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

= −𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐

Contoh 3

ln 2015 𝑥 𝑑𝑥

Penyelesaian:

Cara 1 :

Misal 𝑢 = ln 2015 𝑥

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

= 𝑥(ln 2015 𝑥) − ∫ 𝑥.2015

2015 𝑥𝑑𝑥

= 𝑥(ln 2015 𝑥) − 𝑥 + 𝑐

𝑥2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2 cos 𝑥 + 2 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶

Cara 2 :

ln 2015 𝑥 = ln 2015 + ln 𝑥

ln 2015 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (ln 2015 𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥 (ln 2015) + 𝑥 (ln 𝑥) − 𝑥 + 𝑐

= 𝑥(ln 2015 + ln 𝑥) − 𝑥 + 𝑐

= 𝑥(ln 2015 𝑥) − 𝑥 + 𝑐

Integral Parsial Berulang

Adalah integrasi parsial yang dilakukan beberapa kali (beruang-ulang).

Contoh 4

Carilah ∫ 𝑥2 sin 𝑥 𝑑𝑥.

Penyelesaian:

Misal: 𝑢 = 𝑥2 berarti 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = sin 𝑥 𝑑𝑥 berarti 𝑣 = − cos 𝑥

Maka

Dari bentuk ini harus dilakukan integrasi parsial seklai lagi pada integral di sebelah kanan.

Maka

Substitusikan hasil ini ke dalam hasil pertama, diperoleh

𝑥2 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2 cos 𝑥 + 2(𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶)

= −𝑥2 cos 𝑥 + 2𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐾

2 𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥(sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝐶

𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 =1

2 𝑒𝑥(sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝐾

𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 sin 𝑥 − 𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥

𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

𝑒𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥

Contoh 5

Tentukan

Penyelesaian:

Misal 𝑢 = 𝑒𝑥 berarti 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥.

𝑑𝑣 = sin 𝑥 𝑑𝑥 berarti 𝑣 = −cos 𝑥.

Jadi,

Dikarenakan masih terdapat bentuk integral, maka dilakukan integrasi parsial sekali lagi.

Pada integral di kanan,

Misalkan: 𝑢 = 𝑒𝑥 berarti 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥.

𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 berarti 𝑣 = sin 𝑥.

Maka

Substitusikan ini ke dalam hasil pertama, diperoleh

𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑒𝑥 sin 𝑥 − 𝑒𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥

Dengan memindahkan suku yg terakhir ke ruas kiri dan menggabungkan suku-sukunya,

diperoleh,

Latihan

Gunakan integrasi parsial untuk menghitung integral-integral dibawah ini.

1. 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥

2. 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

3. 𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥

4. (𝑡 − 3) cos(𝑡 − 3) 𝑑𝑡

5. ln 3𝑥 𝑑𝑥

Gunakan integrasi parsial dua kali untuk menghitung integral-integral dibawah ini.

1. 𝑥2 𝑒𝑥 𝑑𝑥

2. 𝑥5 𝑒𝑥2 𝑑𝑥

3. 𝑥2 cos 𝑥 𝑑𝑥

4. sin(ln 𝑥) 𝑑𝑥

5. 𝑒6𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥

Daftar Pustaka:

[1] Eko. 2008. MATERI KE-3 INTEGRAL FUNGSI TRANSENDEN. UNS

[2] Setiawan, Edwin. 2012. Bahan Ajar Kalkulus 1. Stkip Surya

[3] Purcell, dkk. 2011. Kalkulus Edisi Sembilan Jilid 2. Erlangga