Integral Tak Tentu (Part 1)

Definisi :F(x) disebut anti turunan f(x) pada interval I jika

f(x) = F(x), xI (untuk semua x di I)

Contoh :

Tentukan anti turunan dari F(x) = 3x2 pada interval I = ,

Jawab :

F(x) = 3x2

f(x) = x3 + C

Notasi

Notasi anti turunan adalah notasi yang dibuat oleh

Leibnitz yaitu ......dx , jika contoh di atas ditulis

dengan notasi Leibnitz, maka menjadi : 2 3f(x)dx 3x dx x C

Teorema Anti Turunan :

1. Aturan Pangkat Jika n adalah bilangan sembarang rasional kecuali 1, maka :

n 1n xx dx C

n 1

2. Kasus khusus di atas untuk n = 0

0 10 xx dx C x C

0 1

atau dapat ditulis : 1dx x C

3. Aturan Trigonometri

sinx dx cosx C cosx dx sinx C

Teorema Anti Turunan :

4. Jika f(x) dan g(x) mempunyai anti turunan dan k adalah

konstanta, maka :

a. k.f(x)dx k. f(x)dx b. f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx

5. Aturan Pangkat Umum

Jika f(x)suatu fungsi yang apat diturunkan dan n suatu bilangan

Rasional, dengan n -1, maka : n 1

n f(x)f(x) f '(x)dx C

n 1

Latihan

Tentukan anti turunan F(x) + C untuk fungsi-fungsi berikut : 1. f(x) = x5 9. f(x) = 3(3x+2)4 2. f(x) = x 3 10.f(x) = 2x(x2-3)5

3. f(x) = x23 11. f(x) = 4 53x (2x 9)dx

4. f(x) = 4

3x

12. f(x) = 23x 3x 7dx 5. f(x) = -6 13. cari F(x) jika : 6. f(x) = -3 sin x a. F(x) = 3x+1 7. f(x) = -2 cos x b. F(x) = x 8. f(x) = 3x2 +10x+7

Pengantar PD (PersamaanDeferensial)

Dalam mengintegralkan suatu fungsi f untuk memperoleh fungsi baru F

dituliskan : f x dx F x C

Hal itu benar jika F' x f x atau dalam bahasa diferensial ditulis

d F x f x C, sehingga d F x F x C

Selesaikan persamaan diferensial berikut : 1. 2dy 3x 1,

dx y = 4 di x = 1

2. 3dy x ,dx y

y = 8 di x = 1

3. 3 3dy t .y ,dt

y = 1 di t = 2

4. 42 2dy y x x 2 ,dx

y = 1 di x = 0

Notasi Jumlah dan Sigma

Notasi jumlah yang digunakan adalah (sigma) yang mempunyai arti

jumlah semua bilangan berbentuk seperti yang ditunjukkan selama indeks

I menjelajahi bilangan bulat positif yang dimulai dari bilangan yang ada

di bawah tanda dan berakhir dengan bilangan yang ada diatas tanda

Contoh :

1. n

i 3

Ki = 3 4 nK K ........ K

2. 10

i 1 i

2t

= 1 2 10

2 2 2.........

t t t

3. 5

k 1

3k 1

= 2 + 5 + 8 + 1 + 14 = 40

Jika semua C dalam n

ii 1

c mempunyai nilai yang sama maka :

n

i 1 2 ni 1

C C C .......C C C C ....... C n.C

Contoh :

1. 7

i 1

3 = 21

2. 19

i 1

5

= -95

Sifat Sigma Andai ai dan bi menyatakan dua barisan dan k suatu konstanta maka :

1. i 1

k.ai

=

i 1

k ai

2. i 1

ai bi

= i 1 i 1

ai bi

3. i 1

k.ai .bi

= i 1 i 1

k. ai bi

Contoh :

jika 10

i 1

ai 40

10

i 1

bi 50

tentukan : 1. 10

i 1

2ai bi

=

2. 10

i 1

3ai 2bi

=

3. 10

i 1

4ai bi 2

=

4. 10

i 1

2bi 4

=