Top Banner
INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd University Karlovy OBLIGACE Studijní text č. 3 k předmětu Nástroje finančních trhů Oldřich Dědek, Česká národní banka
40

INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

Jan 15, 2017

Download

Documents

vankhanh
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ

Fakulta sociálních věd University Karlovy

OBLIGACE

Studijní text č. 3 k předmětu Nástroje finančních trhů

Oldřich Dědek, Česká národní banka

Page 2: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

2

A. OBLIGACE

1. Klasifikace obligací

a) podle kupónu

- konvenční obligace (straight, plain vanilla, bullet bond)

vyplácí pravidelný (roční, pololetní) kupón po předem stanovenou dobu,

při dospělosti jednorázová splátka jistiny

- obligace s nulovým kupónem (zero-coupon bond)

veškerý hotovostní tok soustředěn do okamžiku splatnosti

bezkupónové obligace často vznikají porcováním (stripováním) kupónové

obligace

- obligace s variabilním kupónem

velikost kupónu je odvozena od referenční veličiny, což může být pohyblivá

úroková sazba (FRN, floating rate note), inflace (indexovaná obligace),

akciový index, cena suroviny, aj.

- kolateralizovaná obligace

hotovostní tok obligace je odvozen od stanoveného balíku podkladových

aktiv (ABS, asset-backed securities)

- jednorázové (bullet b.) vs. rozvržené (amortised b.) splácení jistiny

b) podle termínu splatnosti

- pevný termín splatnosti

pětiletá (5R) obligace, desetiletá (10R) obligace, apod.

- bez stanoveného termínu splatnosti

konzol, perpetuita

- variabilní termín splatnosti

přivolatelná obligace (callable bond)

termín splatnosti může dle uvážení zkrátit emitent obligace

tato opce bývá využívána, lze-li stávající obligaci nahradit obligací

vyplácející nižší kupón

odvolatelná obligace (puttable bond)

termín splatnosti může dle uvážení zkrátit držitel obligace

- konvertibilní obligace

Page 3: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

3

při splatnosti lze danou obligaci vyměnit za jinou obligaci nebo za akcii

c) podle emitenta

- vládní, komunální, podniková (korporátní) obligace

- domácí (emitent je rezident) vs. zahraniční (emitent je nerezident) obligace

barvité názvy: Samurai (Japonsko), Yankee (USA), Bulldog (UK), Matador

(Španělsko), Kiwi (Nový Zéland), Alpine (Švýcarsko)

v obou případech je obligace denominována v rezidentní měně

- euroobligace (obligace emitovaná v nerezidentní měně)

d) podle rizika úvěruhodnosti (default risk, credit risk)

stupnice ratingových agentury pro kreditní riziko emitenta

Standard & Poor's, Moody's, Fitch

stupně: investiční, spekulační, póvl obligace (junk bond)

2. Oceňování obligací

korektní cena (fair price) je definována jako současná hodnota budoucího hotovostního

toku obligace

P ... cena obligace, M ...nominální hodnota (jistina), c ... kupónová sazba,

C ( = cM ) ... velikost kupónu, r … diskontní sazba (výnosová míra),

T …doba do splatnosti

a) roční diskontování ročních kupónových plateb:

( ) ( )∑

= ++

+=

T

tT

Tt

t zM

zcMP

1 11

plochá výnosová křivka ( rzt = )

( ) ( )

( )( )T

TT

tTt r

Mr

rcMr

Mr

cMP+

++−

=+

++

=−

=∑ 1

11111

inverzní vztah ceny a diskontní sazby (výnosu do splatnosti)

c = r ⇒ P = M (obligace s prodává za pari čili za svoji nominální

hodnotu)

zohlednění narostlého kupónu (τ … počet dní do nejbližší výplaty kupónu)

( ) ( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+++

++×

+= T

T

rC

rCC

rP

1...

11

1360τ

Page 4: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

4

perpetuita (perpetuity, console)

( ) rcM

rcMP

tt =

+=∑

=1 1

b) pololetní diskontování pololetních kupónových plateb

Tr

MC

r

Cr

CP 22

21

2/

21

2/

21

2/

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= K

c) pololetní diskontování ročních kupónových plateb (kupón vyplácen na konci roku,

úročí se pololetně)

Tr

MC

r

C

r

CP 242

21

21

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= K

d) roční diskontování pololetních kupónových plateb (kupón vyplácen pololetně, úročí

se ročně)

( ) ( )Tr

MCr

Cr

CP+

+++

++

+=

12/

)1(2/

12/

2/1 K

3. Narostlý kupón

plná cena (full price, dirty price) je cena obligace stanovená na bázi diskontované

hodnoty veškerého budoucího hotovostního toku z obligace (tržní cena obligace)

čistá cena (clean price) je plná cena snížená o narostlý kupón (kótovaná cena obligace)

narostlý (naběhlý) kupón (accrued coupon) je částka, kterou je při směně obligace

kompenzován prodávající resp. kupující za neobdržení alikvotní části kupónu

Ct ... dny výplaty kupónu, celý kupón vyplacen zaregistrovanému držiteli

obligace

Xt ... den bez dividendy (ex-dividend day), je důležitý pro určení příjemce

narostlého kupónu

a) obligace prodána v čase t1 (před dnem bez dividendy)

celý příští kupón C2 připadne kupujícímu (obligace je prodána

s dividendou), prodávající proto musí být kompenzován za držení obligace v

období (C1, t1)

Page 5: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

5

⇒ zaplacená cena bude vůči čisté ceně vyšší o 365

11 CtcM −×

b) obligace prodána v čase t2 (po dni bez dividendy)

celý příští kupón C2 připadne prodávajícímu (krátká doba pro přeregistraci),

kupující proto musí být kompenzován za držení obligace v období (t2, C2)

zaplacená cena bude nižší o ⇒365

22 tCcM −×

t2

t1 čistá cenaC3C2C1 X3X2X1

4. Měření výnosů obligace

a) výnos do splatnosti (yield to maturity, YTM)

diskontní sazba, při které se diskontovaný hotovostní tok rovná ceně obligace

je dána řešením rovnice

( ) ( )∑

= ++

+=

T

tTt r

Mr

cMP1 11

Obligace má plnou cenu 96,50 $ a anualizovaný kupón (vyplácený pololetně) 8,75 $. Zbývá jí

právě jeden rok do splatnosti. Jaký je její výnos do splatnosti?

96 50 8 75 2

12

100 8 75 2

12

12 58

2, , / , /

,

=+

++

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇒ =

r r

r %

omezení: i) ignorováno reinvestiční riziko

( ) ( ) ( )P r C r C r C MT T T1 1 11 2+ = + + + + + +− − ...

levá strana: výnos ze zainvestované částky ve výši ceny obligace

pravá strana: koncová hodnota průběžně reinvestovaných kupónů

ekvivalence obou investičních příležitostí nastává pouze v případě, že

všechny kupóny lze reinvestovat za YTM sazbu

Page 6: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

6

ii) výnos do splatnosti nezajímavý v případě prodeje obligace před

splatností

b) faktický výnos obligace

výnos do splatnosti je nahrazen explicitním odhadem budoucích reinvestičních

sazeb

( ) ( ) ( ) STTT

B PCrCrCrP ++++++=+ −− K22

11 111

PB ... kupní cena obligace, PS ... očekávaná prodejní cena obligace, rt ...

očekávané reinvestiční sazby

omezení: nejistota odhadů budoucích úrokových sazeb

c) běžný výnos (current yield)

cena čistá

kupón=r

omezení: nebere v úvahu kapitálový zisk/ztrátu, proto je vhodný pro obligace s

dlouhou dobou do splatnosti, kdy je kapitálový zisk méně významný

d) jednoduchý výnos do splatnosti

cenačistásplatnosti doroky

cena čistá cena odkupníkupón −+

=r

Obligace s kupónem 8,75 $ na 100 $ nominále je zakoupena za 95,3 $ a držena dva roky do

splatnosti.

3,952

5,9310075,8 výnosjednoduchý

−+

= = 9,18 (běžný výnos) + 3,41 (kapitálový zisk)

= 12,59 %

e) výnos peněžního trhu

obligace krátce před splatností představuje krátkodobou investiční příležitost, jejíž

výnosnost je třeba porovnat s ostatními instrumenty peněžního trhu

použity konvence peněžního trhu (přesný počet dní v měsíci, jednoduché úročení, aj.)

Page 7: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

7

f) paritní výnos

kupónová sazba, při které se cena obligace rovná své nominální hodnotě

paritní výnos pro T-letou splatnost se získá řešením rovnice

( ) ( )∑

= ++

+=

T

tT

Tt

t

T

zM

z

MrP

1 11

kupón pari obligace je současně jejím výnosem do splatnosti

odvození pari sazeb z nulových sazeb:

( )

;1

;1

1

1∑=

−=

+=

T

tt

TTt

tt

d

dr

zd

dt je diskontní faktor t-leté bezkupónové obligace

Page 8: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

8

B. ANALÝZA VÝNOSOVÉ KŘIVKY

1. Empirická výnosová křivka

Výnosová křivka (yield curve) resp. splatnostní struktura úrokových sazeb (term

structure of interest rates) je funkční vztah mezi výnosovou mírou a splatností

je konstruovaná z existujících obligací téže třídy rizika (vládní dluhopisy, podnikové

obligace, apod.)

výnos do splatnosti doba do s

s hrbem

(r )

nedostatky:

- implicitní předpoklad, že kupón je reinvestován při úroko

do splatnosti (abstrahováno od reinvestičního rizika)

- souběžná existence obligací se stejnou splatností ale rozd

cenou (proto i s odlišným výnosem do splatnosti)

2. Křivka nulových sazeb (zero-coupon yield curve)

t-letá nulová sazba (zt) je výnos t-leté bezkupónové obligace

( )

11

/1

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒

+=

t

ttt P

Mzz

MP

výnosy bezkupónových obligací nejsou vždy přímo pozorovatel

z výnosů dostupných obligací metodou extrakce (bootstrappi

porcování obligace (stripping)

při absenci arbitrážových příležitostí by se současná hodno

kupón měla rovnat současné hodnotě souboru bezkupónov

hotovostní tok je replikou hotovostního toku podkladové o

klesající evertovaná

rostoucí

plochá

platnosti

vé sazbě rovné výnosu

ílným kupónem a tržní

né, odvozují se však

ng)

ta obligace vyplácející

ých obligací, jejichž

bligace

Page 9: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

9

C + M C C C

C + M C C C

CP1 CP2 CPTCP3

Obligace

formulace problému:

na trhu lze odpozorovat výnosy kupónových pari obligací se

splatnostmi 1, 2, …, T

Trrr ,...,, 21

pari obligace je taková obligace, která se prodává za svoji nominální

hodnotu, takže její kupón se současně rovná výnosu do splatnosti (obecně se

dá použít jakákoli sada obligací, výsledek porcování však bude tímto

arbitrárním rozhodnutím ovlivněn)

hledá se soubor nulových sazeb jako výnosů hypotetických

bezkupónových obligaci

Tzzz ,...,, 21

• nulová sazba pro jednoletou splatnost

jednoletá obligace je bezkupónová obligace

⇒ 11 rz =

• nulová sazba pro dvouletou splatnost

současná hodnota pari obligace:

( )

11

11 2

2

2

2

2 =+

++

+ rr

rr

současná hodnota rozporcované pari obligace:

( )2

2

2

1

2

11

1 zr

zr

+

++

+

absence arbitrážových příležitostí zajišťuje rovnost obou výrazů, což implikuje

jednu rovnici pro neznámou z2

22

2

1

2

)1(1

11

zr

zr

++

++

=

Page 10: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

10

alternativní odvození: zakoupení dvouleté pari obligace a současně emitování jednoleté

obligace o nominální hodnotě rovné diskontované hodnotě prvního kupónu dvouleté

obligace

( )

1:2:1

11:0

2

22

12

+=−=

++−=

rtrrt

zrt

výnos investice do syntetické dvouleté bezkupónové obligace

1

2

22

11

11

zr

rz

+−

+=+ (shodný výsledek s předchozím postupem)

• nulová sazba pro T-letou splatnost

při postupné znalosti sazeb z1 , …, zT-1 lze zT získat řešením rovnice

TT

TT

tt

t

T

zr

zr

)1(1

)1(1

1

1 ++

++

= ∑−

=

Stanovení nulových sazeb pro zadanou splatnostní strukturu

Splatnost rt zt

1 10,00 10,00

2 10,25 10,26

3 10,75 10,83

, 00,1011 == rz( ) ( )2

21 1

1025,0110,01

1025,01z+

++

+= ,

( ) ( ) 3

321 )1(

1075,011026,01

1075,010,01

1075,01z+

++

++

+=

praktické problémy. - volba reprezentanta mezi kupónovými obligacemi dané splatnosti

(pari výnosy nemusí být vždy k dispozici)

- mezery ve splatnostech (použity techniky interpolace výnosů a

prokládání výnosové křivky ¨

Page 11: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

11

3. Implikované forwardové sazby

implikovaný forwardový výnos (forward-forward yield) je teoretický výnos

bezkupónové obligace dané splatnosti zakoupené ve stanoveném budoucím

okamžiku

tft+p ... výnos p-leté bezkupónové obligace nabyté ode dneška za t období

(symbolika FRA: 3*6, 6*12, apod.)

vztah nulových a forwardových sazeb

investiční alternativy:

- zakoupení dvouleté bezkupónové obligace o dnes známém výnosu z2

- zakoupení jednoleté obligace o dnes známém výnosu z1 a reinvestování výtěžku

opět do jednoleté obligace o dnes neznámém výnosu 1f2

absence bezrizikové arbitráže:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )21102

22211

111

111

ffz

zfz

+×+=+

+=+×+

nulová sazba je geometrickým průměrem forwardových sazeb (z1 = 0f1)

obecný vztah nulových a forwardových sazeb

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) tTTt

tt

TTT

T

fz

fffz−

+×+=

+××+×+=+

11

1...111 12110

zt ... nulová sazba t-leté bezkupónové obligace (t = 1,...,T)

tfT ... (T-t)-letá forwardová sazba očekávaná ode dneška za t období

predikování úrokových sazeb

expektační hypotéza: implicitní forwardová sazba je nejlepším odhadem budoucí

úrokové sazby

( ) pttptt fzE ++ =

rostoucí výnosová křivka (z1 < z2) implikuje očekávání růstu úrokových sazeb

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 12121

21

22211 1111zfzE

zzfz>=

+>+=+×+

klesající výnosová křivka (z1 > z2) implikuje očekávání na pokles sazeb

Page 12: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

12

Na trhu lze pozorovat výnos jednoleté, resp. dvouleté obligace ve výši 6,5 %, resp. 7 %. Jaký

jednoletý výnos trh momentálně očekává ode dneška za rok?

( )1 065 1 1 07

1 071 065

1 7 5

1 22

1 2

2

, * ,

,,

,

+ =

= − =

f

f %

Trh očekává růst výnosů čili pokles cen obligací.

nulové sazby sazby očekávané za rok sazby očekávané za dva roky 1 2 3 T-1 T

4. Oceňování obligací s pohyblivým kupónem

hotovostní tok obligace s pohyblivým kupónem je odvozen od budoucích (dnes

neznámých) sazeb

lze aplikovat forwardové sazby jako nejlepší dostupnou prognózu

⇒ očekávaný hotovostní tok = MMfMfMfMr TT +−132211 ,...,,,

diskontován nulovými sazbami zt

111

11

)1()1()1( +++ +=++

=t

zttt

t zfz

zr

Page 13: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

13

a) hodnota obligace bezprostředně po vyplacení kupónu

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )M

zM

zMM

zM

zzzzM

zM

zzzzM

zM

zz

zzzM

zM

zMf

zMf

zMz

TT

TT

TT

TT

TT

T

tt

tt

t

TT

tt

tt

T

tt

t

TT

TT

TT

=+

++

−=

++⎥

⎤⎢⎣

+−

++

+=

++

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

+−

++

+=

++

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−

+

+

++

+=

++

+++

++

+=

=+

+

++

=+

+

11

111

11

1

111

11

1

11

11

11

1

1111P

11

1

1

11

11

1

11

1

11

11

1

12

2

21

1

1float K

obligace s pohyblivým výnosem se prodává za nominální hodnotu

rovnost ceny a jistiny vyplývá i z ocenění obligace na bázi výnosu do splatnosti

jestliže c = r (kupónová sazba se rovná aktuální výnosové sazbě), potom

( ) ( )

( )( )

( )( )

Mr

rM

rM

rrrM

rM

rrMP

TT

T

TT

tTt

=⎥⎦

⎤⎢⎣

+++−=

++

+−=

++

+=

=∑

1111

111

111

b) hodnota obligace v mezidobí mezi dvěma platbami kupónu

2 8

∆ … o

τ … ok

∆z … n

τz … n

blíží-li

kupón

0

kamžik výplaty ne

amžik propočtu ce

ulová sazba pro ča

ulová sazba pro ča

360

1 τ

∆∆

+××

=z

zPfloat

se okamžik τ k n

u), cena se blfloatP

6

jbližšího kupónu

ny obligace

sový interval (0, ∆

sový interval (τ, ∆

360τ−∆×+ MM

ule (stanovení cen

íží k nominální ho

1

)

)

y se provádí bezpro

dnotě

1

τ

středně po výplatě

Page 14: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

14

Obligace o nominální hodnotě 100 mil EUR vyplácí kupón v pravidelných šestiměsíčních

intervalech indexovaný sazbou 6M Libor. Jakou hodnotu má obligace, jestliže k nejbližší

výplatě kupónu zbývají 2 měsíce? Aktuální 2M Libor činí 6,5 % a 6M Libor platný před 4

měsíci byl 7,5 %.

39,102065,0107,01

100122

126

=×+×+

×=floatP mil EUR

5. Indexovaná obligace (index-linked bond)

vlastnosti: - velikost výplaty kupónu i jistiny je vázána na hodnotu určitého indexu

(index spotřebitelských cen, index cen komodit, akciový index, apod.)

- velikost kupónu má charakter konstantního reálného výnosu (nižší

hodnota ve srovnání s kupónem tradiční obligace)

platba kupónu = kupónová sazba × jistina × b

t

II

splátka jistiny = jistina × b

T

II

Ib, It , IT …hodnota indexu v okamžiku emise obligace, výplaty

kupónu a splátky jistiny

při indexaci pomocí CPI se aplikují zpožděné hodnoty indexu (v UK platné před 8

měsíci)

důvod: - zpoždění ve statistickém vykazování (v červnu publikován index o

inflaci za květen)

- po celé kupónové období je nutné znát velikost narostlého kupónu

(pololetní vyplácení vyžaduje zpoždění 6 měsíců)

- zvládnutí administrativy s vyplácením kupónu

nominální a reálný výnos

r… nominální výnos, ρ … reálný výnos, π … míra inflace

Fisherova rovnice: ( ) ( ) ( )πρ +×+=+ 111 r

Page 15: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

15

( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( ) ( ) ⎥

⎤⎢⎣

++

+++

++

+=

++++

++++

++

+++

=

+

+++

++

+=

+++

Ta

TT

Taaa

TbTbb

float

MCCC

MCCC

rIIMC

rIIC

rIIC

P

ρρρπ

πρπ

πρπ

πρπ

1...

111

111...

111

111

1...

11

2

22

21

221

a)1( π+ je inflace v období mezi okamžikem emitování indexované

obligace a okamžikem propočtu ceny obligace

vyrovnávací inflace (break-even inflation)

hypotetická míra inflace, která vyrovnává nominální výnos indexované obligace

s výnosem konvenční obligace téže splatnosti

indikátor očekávané inflace v případě, že ve výnosech obou typů obligací

je inflace správně ohodnocena

přizpůsobovací mechanismus: vyrovnávací inflace < očekávaná inflace

⇒ investoři preferují indexované obligace před konvenčními

(indexovaná obligace bude vyplácet vyšší kupón ve srovnání

s kupónem, který indexovanou obligaci činí stejně výhodnou

jako neindexovanou obligaci)

vyšší poptávka po indexované obligace zvyšuje její cenu (a

snižuje její výnos), což přibližuje vyrovnávací inflaci

k očekávané inflaci

Page 16: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

16

C. MĚŘENÍ ÚROKOVÉHO RIZIKA

1. Rizika spojená s držením obligace

- úrokové riziko (cenové riziko, tržní riziko)

riziko kapitálové ztráty v důsledku nepříznivého vývoje úrokových sazeb

(nepřímý vztah mezi výnosem a cenou obligace)

nevztahuje se na držení obligace do doby splatnosti

- reinvestiční riziko

riziko, že průběžně přijímané kupónové platby budou reinvestovány za nižší

úrokové sazby

- riziko nedodržení závazků (kreditní riziko, riziko finančního selhání)

riziko, že emitent nedostojí závazkům z obligace (neplacení kupónu nebo

jistiny)

- riziko přivolání

riziko, že emitent využije přivolatelnou doložku (call provision) opravňující ke

dřívějšímu splacení obligace (vyšší sazby snižují placenou cenu přivolané

obligace, nižší sazby umožňují nahradit původní obligaci novou obligací platící

menší kupón)

- inflační riziko

riziko, že inflace znehodnotí realizovaný výnos obligace

(7 % výnos při 10 % inflaci není zajímavý)

- kurzové riziko

relevantní pro obligace, jejichž platby jsou denominovány v zahraniční měně

(zahraniční obligace)

- likviditní riziko

riziko, že na nelikvidním trhu větší obchodovaný objem může podstatně

rozhýbat ceny a vést k velkým kapitálovým ztrátám

mírou likviditního rizika je dealerský spread

není relevantní pro investora držícího obligaci do splatnosti

Page 17: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

17

2. Durace obligace (duration)

durace představuje průměrnou dobu čekání na hotovostní tok obligace

okamžik přijetí hotovostního toku je vážen podílem současné hodnoty tohoto toku

na celkové současné hodnotě (což je cena obligace)

Macaulayova durace (D)

( ) ( )

( ) ( )∑

=

=

+×+

+=

×+

+×+

=

T

tTt

T

t

Tt

rT

PM

rt

PC

TP

rMtP

rCD

1

1

11

1/1/

součet vah ( ) ( )

1111

11

=×=⎥⎦

⎤⎢⎣

++

+= ∑

=

PPr

Mr

CP T

T

rt

modifikovaná durace (DM) = r+1

durace aMacaulayov

Nechť P = M = 100 Kč, C = 10 Kč, T = 3 roky, r = 10 %.

let74,2

1,13

100100

1,13

1,12

1,11

10010

332

=

⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=D

Průměrná doba hotovostního toku obligace (Macaulayova durace) činí 2,74 let. Modifikovaná

durace je 2,49 let.

a) durace je menší nebo rovna splatnosti obligace D T≤

rovnost definičně nastává u bezkupónové obligace, která veškerý

hotovostní tok soustřeďuje do okamžiku splatnosti obligace

b) durace portfolia obligací je váženým součtem durací jednotlivých obligací

(váženo podílem hodnoty obligace na celkové hodnotě portfolia)

)()()( 221121 BDwBDwBBD +=+

Page 18: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

18

c) durace je mírou úrokového rizika (rovná se elasticitě ceny obligace vzhledem k

výnosové míře obligace)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) Drd

dPP

rrrd

PdPr

TMrtC

rddP

rM

rCP

T

tTt

T

tTt

−=+

×+

=++

−+

−=+

++

+=

=++

=

11

1/1/

111

11

111

1

resp.

MDrPDr

rPP ×∆×=×+∆

×−=∆1

čím nižší je durace (tj.obyčejně čím kratší je splatnost), tím méně je cena obligace

citlivá na fluktuace úrokových sazeb

O kolik procent se sníží cena obligace s parametry převzatými z předchozího příkladu, zvýší-

li se požadovaný výnos u obligací téže třídy z 10 na 10,5 %?

%25,1005,0

1,174,2

1

−=×−=

∆×+

−=∆ r

rD

PP

Cena obligace klesne o 1,25 %.

D

ln (1+ r*) ln (1+r)

ln P+

ln P

Page 19: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

19

d) grafické znázornění

durace je mírou úrokového rizika prvního řádu (při větších změnách úrokových

sazeb se chyba aproximace zvyšuje)

( ) ( )

D dP Pd r r

d Pd r

= −+ +

= −+

//

lnln ( )1 1 1

3. Konvexnost obligace

míra úrokového rizika druhého řádu ln P A B B A ln (1+r) obligace A a B mají stejnou duraci (stejný sklon tečny) a přesto je B

atraktivnější (B vykazuje větší růst ceny při poklesu a menší pokles ceny

při růstu úrokových sazeb)

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2

2

221

21

1

)1(21

)1(

1111

rKrr

DP

drrdPd

Pdr

rddP

PP

rdrfrdrfP

∆+∆+

−=

×+

+×+

=∆

+++′′+++′=∆ K

( ) ∑=

++ ++

+++

=⋅+

=T

tTt r

TTPM

rtt

PC

PrdPdK

1222

2

)1()1(

)1()1(1

1

O kolik procent se sníží cena obligace s parametry převzatými z předchozího příkladu,

vezme-li se navíc v úvahu konvexnost obligace?

Page 20: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

20

76,81,14.3

100100

1,143

1,132

1,121

10010

5543 =×+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×+

×+

×=K

%234,100011,001245,0

005,076,821005,0

1,174,2 2

−=+−=

××+×−=∆PP

Cena obligace poklesne o 1,234 %, tj. o 1,1 p.b. méně ve srovnání s propočtem, který

nepřihlíží ke konvexnosti obligace.

4. Imunizace portfolia obligací

Imunizace je technika zajištění hodnoty portfolia obligací proti pohybu úrokových

sazeb

růst sazeb ⇒ i) cenové riziko (pokles cen obligací způsobující kapitálovou ztrátu

ii) reinvestiční riziko (vyšší výnos z reinvestovaných kupónů)

pokles sazeb ⇒ opačné důsledky

pravidlo imunizace: durace portfolia se rovná okamžiku zajištění portfolia proti pohybu

úrokové sazby (vzájemná kompenzace cenového a reinvestičního rizika)

Je dána obligace s těmito parametry: cena P = 114,28 , splatnost T = 5 let, kupón C = 13,77,

výnos r = 10 %, jistina M = 100.

( ) 55432 )1(5

)1(5

)1(4

)1(3

)1(2

11

rPM

rrrrrPCD

+×+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

++

++

++

=

roky462,028,114

50069,1028,114

77,13=×+×= &&

roky CF 9 % 11 %

1

2

3

4

5

13,77

13,77

13,77

13,77

113,77

13,77*(1,09)3

13,77*(1,09)2

13,77*(1,09)

13,77

113,77/(1,09)

13,77*(1,11)3

13,77*(1,11)2

13,77*(1,11)

13,77

113,77/(1,11)

∑ 167,30 167,30

Page 21: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

21

reinvestiční výnos = 13,77 [(1 + r)3 + (1 + r)2 +(1 + r) + 1]

kapitálový výnos = 113,77 / (1 + r)

fixovaná výnosová míra %10128,11430,167

4 =−

imunizační riziko: vzniká při neparalelním posunu výnosové křivky, načež reinvestiční a

úrokové riziko není vzájemně kompenzováno

s pohybem tržních úrokových sazeb se mění také durace portfolia, na

což reagují techniky přeskupování (znovuvyvažování, rebalacování)

portfolia

prodlužování a zkracování durace (duration trading)

očekávaný růst úrokových sazeb ⇒ zkracování durace obligačního portfolia (při

kratší duraci růst úrokových sazeb vyvolá menší pokles celkové hodnoty obligací)

očekávaný pokles úrokových sazeb ⇒ prodlužování durace obligačního portfolia (při

delší duraci pokles úrokových sazeb vyvolá vyšší růst celkové hodnoty obligací)

i) užití spotového trhu

zkracovat duraci lze prodejem delších a nákupen kratších splatností

prodlužovat duraci lze nákupem delších a prodejme kratších splatností

DDKKP

DKP

DwDwDVVV+=

+=

VP resp. DP … hodnota resp. durace obligačního portfolia

VK resp. DK … hodnota resp. durace krátkodobých obligací ( PKK VVw = )

VD resp. DD … hodnota resp. durace dlouhodobých obligací ( PDD VVw = )

krátkými prodeji lze docílit hodnoty vah menší než 0 či větší než 1

ii) užití futuritního trhu

sestavení kombinovaného portfolia (VP) z portfolia obligací (VB) a futuritních

kontraktů (n×vP)

Page 22: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−±=×+=±=

×±=

F

BFFBFFBBP

FBP

DD

wDDDwDwD

vnVV

1, θθ

kladné resp. záporné znaménko značí nákup resp. prodej futuritních kontraktů

prodloužení durace (θ > 0): nákup futuritních kontraktů s durací delší než je

durace obligačního portfolia

zkrácení durace (θ < 0): nákup futuritních kontraktů s durací kratší než je durace

obligačního portfolia nebo prodej jakýchkoli futuritních kontraktů

Page 23: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

23

D. REPO

1. Standardní repo

repo (sale and repurchase agreement) je dohoda o prodeji cenného papíru a současně o

jeho pozdějším odkupu (v jednom kontraktu jsou svázány dvě transakce)

rozdíl mezi prodejní a odkupní cenou podkladového aktiva je odvozen z dohodnuté

úrokové sazby (repo sazby)

Obligace

Hotovost + úrok

Hotovost

Dealer Investor

Obligace

právní obsah: cenný papír je předmětem úplatné směny, čemuž odpovídá transfer

vlastnictví CP mezi účastníky transakce (prodávající vs. kupující)

ekonomický obsah: cenný papír má charakter zástavy za poskytnutou peněžní půjčku

(zapůjčovatel vs. vypůjčovatel)

terminologie (řídí se pohledem cenného papíru)

prodávající repa (vypůjčovatel) je prodávající obligace

kupující repa (zapůjčovatel, investor) je kupující obligace

reverzní repo: nákup a zpětný prodej cenného papíru (repo operace z pohledu

druhého účastníka transakce)

vlastnictví

právní nárok na kupón v průběhu repo operace má vlastník obligace, který však

kupón transferuje prodávajícímu obligace, neboť z ekonomického hlediska

obligace plní funkci zástavy (zapůjčovatel je kompenzován repo sazbou)

ekonomickému (a nikoli právnímu) vlastníkovi náleží i kapitálový zisk/ztráta

z cenového pohybu obligace

Page 24: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

24

netting při úpadku dlužníka (věřitel si ponechává zastavený cenný papír)

motivace repo operace

motivace hotovostí (cash-driven repo): primárním důvodem je potřeba vypůjčit si či

zapůjčit hotovost

motivace cenným papírem (security-driven repo): primárním důvodem je potřeba

vypůjčit si určitý cenný papír, tzv. speciál (obyčejně vyjednání výhodnější repo

sazby pro poskytovatele speciálu)

Doba repa = 28 dní, repo sazba = 4,0 %, kolaterál = marková obligace s 8,5 % kupónem

vypláceným ročně, součástí ceny je narostlý kupón za 111 dní, tržní cena obligace (čistá) =

108,95 (na 100 DEM nominále), motivace repa = vypůjčení obligací o nominálu DEM

60.000.000.

zahájení repa:

narostlý kupón = 111360

x 8,5 = 2,621 DEM

plná cena = 108,95 + 2,621 = 111,571 DEM

protihotovost za obligace = 60.000.000 x 111 571100

, = 66.942.600 DEM

DEM 60.000.000 obligace

DEM 66.942.600 hotovost

Vypůjčovatel Zapůjčovatel

ukončení repa:

úrok = 66.942.600 x 0,04 x 28360

= 208.266 DEM

protihotovost za obligace = 208.266 + 66.942.600 = 67.150.866 DEM

DEM 60.000.000 obligace

DEM 67.150.866 hotovost

Vypůjčovatel Zapůjčovatel

♦ tržní aktualizace

Page 25: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

25

tržní hodnota obligace = zápůjčka proti obligaci × (1 ± zástřih)

zástřih (haircut) je forma počáteční zálohy

kladný zástřih ⇒ přezajištění peněžní zápůjčky (např. o 2 %)

záporný zástřih ⇒ podzajištění peněžní zápůjčky (dáno úvěruhodností a

negociační silou protistran)

přeceňování hodnoty CP v zájmu udržení adekvátního jištění peněžní půjčky pokles ceny obligace ⇒ zapůjčovatel provádí výzvu k doplnění zálohy (margin

call) a vypůjčovatel je povinen zvýšit jištění dodáním většího počtu CP nebo

dorovnáním hotovosti

zvýšení ceny obligace ⇒ vypůjčovatel provádí výzvu a zapůjčovatel musí vrátit

nadbytečný počet obligací

substituce

právo prodávajícího měnit v průběhu repo kontraktu pokladový kolaterál, pokud je

protistranou akceptovatelný

maximální počet substitucí obyčejně dopředu dohodnut

netting při bankrotu dlužníka

možnost realizace

křížové měnové repo (cross-currency repo)

odlišná měnová denominace CP a hotovostního toku (např. jištění půjčky v EUR

pomocí obligaci denominované v USD)

vyšší nároky na doplňování zálohy v důsledku kurzových pohybů

ukončení repo operace

termínové repo ... doba mezi prodejem a zpětným nákupem je předem dohodnuta

(jeden den až několik měsíců)

otevřené repo ... možnost některé z protistran kdykoliv ukončit repo operaci

(rolování repa na denní bázi)

2. Účastníci repo operací

a) obchodníci s obligacemi

i) financování dlouhé pozice (zakoupení obligace)

Page 26: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

26

obvyklé situace: obchodník spekuluje na růst ceny obligace, zájem protistrany o

prodej obligace, selhání kompenzačního obchodu, uskladnění (dočasné

zajištění) otevřené pozice

Zakoupená obligace

Dealer

Obligace

Repo

Výdaj hotovosti Hotovost

průchodnost operace umožněna souběžným vypořádáním repa a

nákupu obligace

ii) krytí krátké pozice (prodej obligace)

zrcadlově analogické situace (zejména při spekulaci na pokles ceny obligace)

Prodej obligace

Dealer

Obligace (speciál)

Reverzní repo

Příjem hotovosti Hotovost

iii) spekulace na pohyb úrokových sazeb (případ očekávaného růstu)

idea shodná s řízením výnosové křivky

Obligace

Dealer

5M za 5,9 % (příjem hotovosti, placení úroku)

Obligace

Reverzní repo Repo 2M za 5,7 %

(výdaj hotovosti, obdržení úroku)

požadavek na minimální nárůst rolovací sazby 3M

1 0 0591 0 057

1 36092

5 9715336061

360

+ ×+ ×

−⎛

⎝⎜

⎠⎟ × =

,,

, %

iv) jištění futuritních obchodů

a) termínový prodej

základní logika držebného: vypůjčení hotovosti na spotové zakoupení obligace

Page 27: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

27

termínový prodej obligace (nárok na alikvotu kupónu)

držení obligace do dospělosti futuritního kontraktu

splacení půjčky z termínového prodeje obligace

užití repa: nákup obligace na spotovém trhu financovaný pomocí repa (zakoupená

obligace dána do zástavy a za vypůjčenou částku uhrazena spotová

cena)

termínový prodej obligace

držení obligace do splatnosti futuritního kontraktu

ukončení repa (z repa uvolněná obligace použita k plnění termínového

prodeje, termínovým prodej získána hotovost k financování

zpětného odkupu obligace)

b) termínový nákup obligace:

zrcadlově opačný průběh transakcí

dodaná obligace z futuritního kontraktu ale nemusí být současně obligace

vypůjčená v repu, čímž vznikají dodatečné transakční náklady

b) investoři

repo je vhodný instrument pro krátkodobé investování (alternativa k bankovnímu

depozitu, vkladovému certifikátu, vládnímu papíru,...)

výhody: zdvojené jištění kreditního rizika (úvěruhodnost dlužníka + vlastnictví

podkladového cenného papíru)

strukturování repo operací podle potřeb zákazníka (splatnost, velikost

investice, ...)

alternativní pohledy na netting v případě bankrotu dlužníka

c) správci fondů

i) posilování výnosů

použití vybraných cenných papírů ve spravovaném portfoliu jako speciál při

zachování kreditního rizika

Repo

Zápůjčka za 8 %

Obecný kolaterál

Výpůjčka za 7 %

Speciál

Reverzní repo Správce fondu

Page 28: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

28

ii) zvýšení finanční páky

spekulační technika hedgeových fondů

0. kolo Navýšení portfoliaCP 100

Hotovost 100

Investice 100

Repo CP 100

Hotovost 98 Navýšení portfolia

CP 98

Hotovost 98

1. kolo

Repo CP 98

Hotovost 96 Navýšení portfolia

CP 96

Hotovost 96

2. kolo

Repo CP 96

Hotovost 94 Navýšení portfolia

CP 94

Hotovost 94

3. kolo

při 2 % zástřihu lze teoreticky dosáhnout až 50 násobného zvětšení počáteční

investice (princip multiplikátoru)

značně riziková strategie při eventuálním poklesu cen cenných papírů

(předkládány výzvy k doplnění zálohy, které nutí ve stresu likvidovat

vybudované pozice)

d) centrální banky

i) řízení likvidity

stahovací repo: CB odebírá z ekonomiky nadbytečnou likviditu prodejem cenných

papírů (1D, 1T, 2T, 3M)

dodávací repo: CB přidává do ekonomiky dodatečnou likviditu nákupem cenných

papírů (vládní dluhopisy) nebo neobnovováním vlastních splatných závazků

(nerolování repa)

Page 29: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

29

ii) úroková politika

repo sazba představuje základní instrument, jehož změny signalizují zpřísňování

resp. uvolňování měnové politiky (nejistý a proměnlivý transmisní

mechanismus úrokové politiky)

iii) rozvoj finančních trhů

rozvinutý repo trh je podmínkou pro rozvoj dalších finančních trhů (derivátové

trhy, trh s obligacemi)

iv) snižování systémového rizika

systémové riziko: nesolventnost či jiná porucha jednoho subjektu ohrožuje

lavinovitě zdravou část daného segmentu ekonomiky

přednosti repa: - kolateralizované zapůjčování hotovosti

- efektivní a rychlé jištění dlouhých i krátkých police na

spotovém a derivátovém trhu

Page 30: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

30

E. CENNÉ PAPÍRY PENĚŽNÍHO TRHU

cenné papíry se splatností zpravidla ne delší než jeden rok (mezibankovní depozitum,

vkladový certifikát, poukázky MF, dlouhodobá obligace krátce spřed splatností, aj.)

patří do rodiny pevně úročených CP (fixed-income securities)

1. Způsoby kotace

a) na výnosové bázi: emitování cenného papíru za nominální hodnotu, při splatnosti

držiteli vyplacena nominální hodnota plus kupón

c ... kupónová sazba (anualizovaná), M ... nominální hodnota, T ... splatnost (počet

dní), C ... velikost úroku ( )365TMc ××=

anualizovaný výnos cTM

CTM

CM==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

3653651

různé konvence pro délku roku: ACT/360 (USA), ACT/365 (UK)

b) na diskontní bázi: emitování cenného papíru za nominální hodnotu sníženou o

diskont, při splatnosti držiteli vyplacena nominální hodnota

d ... diskontní sazba (anualizovaná), D ... diskont ( )365TMd ××=

anualizovaný výnos = 3651

3653651Td

dTDM

DTDM

M−

=×−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= ekvivalentní (efektivní) výnosová míra (re)

efektivní sazba = hypotetická sazba ročního složeného úročení, která zaručuje stejné

zhodnocení vložené investice jako porovnávaná investiční příležitost

vztah výnosové a diskontní sazby:

( )[ ] eee rrTdrd =×<−= 13651

Tříměsíční vládní dluhopis je prodáván s 10 % diskontem. Jak velká je ekvivalentní výnosová

míra?

( ) %26,101026,0365/911,01

1,0==

×−=er

Page 31: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

31

2. Výnosová křivka

vodorovná výnosová křivka odráží očekávání na pokles úrokových sazeb (dáno

technikou úročení)

podmínka neexistence arbitrážové příležitosti (např. pro sazby 1M a 2M):

( ) ( ) ( )36523652136512121 111 NNNN rfr ++=+×+

23651

365221

36511

11

21

Nrr

f N

NN

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

+=

+

odtud r r frr

rN1 2 1 21

1 36511 1

= ⇒ =+

<

alternativní tvrzení: neočekávají-li se změny úrokových sazeb, potom vodorovná

výnosová křivka implikuje existenci arbitrážové příležitosti (vyplatí se rolovat

depozitum před vytvářením delšího depozita)

stejná rovnice úrokové parity v logice oceňování obligací

( ) ( ) ( ) 36521

3652

3651

2211 111NNNN

rfr+

+=+×+

Při vodorovné výnosové křivce ( investor neočekává změnu úrokových

sazeb. K dispozici má 1 mil $.

)r r1 2 9 25%= = ,

i) rolování 1M depozita (N1 = 31, N2 = 28)

( ) ( )36528

36531 0925,010925,010000001 hodnota budoucí ×+××+×=

= 1015008

ii) vytvoření 2M depozita

( )budoucí hodnota = × + ×

=

+1000000 1 0 09251014952

31 28365,

$

arbitrážní zisk = 56 $

Page 32: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

32

3. Finanční aritmetika obchodovatelných dluhopisů

E K P S

emise koupě prodej splatnost

P ... tržní cena CD, c ... kupónová sazba, M ... jistina, r ... aktuální tržní výnos

kupní a prodejní cena CD:

( )( )( )

( )( )( )365/1

365/1,

365/1365/1

PSP

ESP

KSK

ESK Tr

TcMP

TrTcM

P+

+×=

++×

=

Vkladový certifikát o nominálu 1 mil. Kč a s dospělostí 91 dnů vyplácí 8 % kupón. Jaká je

jeho tržní cena, jestliže trh momentálně požaduje 9 % výnos a dluhopisu zůstává 61dnů do

splatnosti?

( )( )

Kč44,8310041365/6109,01365/9108,010000001

=++

×=P

výnosová míra za dobu držení CD :

( )( ) KPPSP

KSK

KPK

KPh

TTrTr

TPPPr

3651365/1365/1

365

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++

=

×−

=

Investor zakoupil 91denní CD (kupón 10 %, nominále 1 mil. Kč) v okamžiku, kdy do

splatnosti zbývalo 50 dnů a trh požadoval 10 %. O 30 dnů později CD prodal, přičemž trh

stále požadoval 10 %. Jaký je výnos za dobu držení dluhopisu?

( )( )

%95,9303651

365/201,01365/501,01

=

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

×+×+

=hr

výnos za dobu držení je nižší než tržní výnos

Page 33: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

33

cena CD s větším počtem kupónů:

( )( ) ( ) ( )365365

,1

365365

12

365

01,101120101 1...1

....111 TTNN

TTNNN rr

MCrr

Cr

CP

−++

+++

+++

+= −

ttC ,1− … velikost kupónu za kupónové období (t-1, t)

ttN ,1− … počet dní v kupónovém období (t-1, t)

Page 34: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

34

F. HYPOTÉKY

1. Hypotéka s pevnými splátkami

hotovostní tok z obligace: menší dílčí platby v průběhu života obligace (platby kupónu)

a vysoká jednorázová platba při splatnosti obligace (splátka jistiny)

P cMr

Mrt

t

T

T=+

++=

∑ ( ) ( )1 11

hotovostní tok z hypotéky (pevné splátky): průběžné splácení jistiny po celou dobu

života hypotéky tak, aby dílčí splátky byly stále stejné

H Ar

A rrt

t

T T

01 1

1 1=

+=

− +

=

∑ ( )( )

A H r rr

H aT

T T=+

+ −=0 0

11 1

( )( )

*

H0 ... velikost hypotéky, T ... splatnost hypotéky (počet měsíců), A ... velikost měsíční

splátky, r … hypoteční sazba, aT ... anuitní faktor

Jak velké budou měsíční splátky z 30leté hypotéky poskytnuté ve výši 100 000$ při hypoteční

sazbě 9,5%.

T = 30*12 = 360, H0 = 100 000$, r = 0,095/12 = 0,0079167

A =−

=100000 0 0079167 1 00791671 0079167 1

840 85360

360

, ( , )( , )

, $

dekompozice měsíční splátky na platbu úroku a částečnou splátku jistiny:

At = A = platba úroku + splátka jistiny

= rHt-1 + (Ht-1 - Ht)

velikost zůstatku hypotéky (důkaz matematickou indukcí):

( )1)1(

)1()1()1(1)1(

1010 −+

+−+=++

−++

= − T

tT

tT

T

t rrrHrH

rrrHH

velikost měsíční splátky jistiny (v období t):

( )

( )H H H

r r

rt t

t

T−

− =+

+ −1 0

11

1 1

Page 35: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

35

velikost úrokové platby (v období t):

[ ]

rH Hr r

rt

T t

T− =+ − +

+ −1 0

1 1

1 1

( ) ( )

( )

Jak vypadá splátkový kalendář hypotéky s parametry předchozího příkladu (T = 30 let,

r = 9,5% (měsíční sazba 9,5/12 = 0,79167 %, H0 = 100 000$)?

Měsíc Počáteční zůstatek

Měsíční splátka

Platba úroku

Splátkajistiny

Koncový zůstatek

1 100000,00 840,85 791,67 49,18 99950,82

2 99950,82 840,85 791,28 49,57 99901,25

3 99901,25 840,85 790,89 49,96 99851,29

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

alternativní konstrukce splátkového kalendáře

tTtTT aHaHaHA −− ==== K110

každoměsíční splácení a současné poskytování hypotéky ve výši nesplacené

jistiny vždy na zbývající období života hypotéky

Měsíc Počáteční zůstatek

Anuitní faktor

Měsíční splátka

Koncový zůstatek

1 100000,00 0,0084085 840,85 99950,82

2 99950,82 0,0084126 840,85 99901,25

3 99901,25 0,0084168 840,85 99851,29

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Page 36: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

36

2. Inovace hypotečních instrumentů

i) první problém tradiční hypotéky: hypoteční banka vystavena časovému nesouladu

aktiv a pasiv (mismatch problem)

strana pasiv: nutnost platit variabilní tržní sazby za poskytnuté zdroje

strana aktiv: dlouhodobě konzervovaný výnos z poskytnutých hypoték

problém vyostřen v období zvýšené inflace (150 mld USD záchranný plán na

ozdravění S&L)

řešení: častější úprava hypoteční sazby korespondující vývoji tržních úrokových

sazeb

- hypotéka s uzpůsobitelnou sazbou (adjustable-rate mortgage)

v pravidelných intervalech (1M, 6M, 1R,...) dochází k novému nastavení sazby

v souladu s vybraným referenčním indexem (sazby peněžního trhu, náklady

fondů hypotečních bank, aj.)

ochranné prvky: strop na maximální změnu hypoteční sazby nebo velikosti

splátky při znovunastavení sazby

strop na změnu hypoteční sazby za celou dobu splácení

hypotéky

- hybridní hypotéka

kombinuje prvky hypoték s pevnou a variabilní sazbou

- dlužník má opci, která umožňuje přeměnu variabilní hypotéky na hypotéku

s pevnou sazbou (konvertibilní hypotéka)

- hypoteční sazba se změní pouze tehdy, jestliže referenční index překročí

předem stanovenou hodnotu

ii) druhý problém tradiční hypotéky: znehodnocování jistiny v důsledku inflace (tilt

problem)

inflace permanentně ujídá z kupní síly zapůjčené jistiny (po 20 letech a při 10%

inflaci klesá kupní síla nesplacené jistiny na 15% = 1/1,120 původní hodnoty), což

demotivuje investování do hypoték

hypotéka s variabilním výnosem tento problém zcela neřeší (zřejmé při konstantní

inflaci)

Page 37: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

37

inflačně indexovaná hypotéka (price-level-adjusted mortgage, PLAM)

zadána požadovaná reálná výnosová míra (úroková sazba při nulové inflaci)

faktická splátka a faktický nesplacený zůstatek jistiny odvozen z míry inflace

Splátkový kalendář hypotéky PLAM při požadované reálné sazbě 4%, velikosti hypotéky

100000$ a splatnosti 20 let.

Rok Počáteční zůstatek

Referen-ční anuita

Úrok Amorti-zace

Koncový zůstatek

Index inflace

Faktická splátka

Faktickýzůstatek

1 100000 7358 4000 3358 96642 1,0628 7820 102711

2 96642 7358 3866 3492 93150 1,1466 8437 106806

3 93150 7358 3726 3632 89518 1,2546 9231 112309

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vlastnosti: - efekt negativní amortizace na začátku splácení (růst zadluženosti

namísto splácení dluhu)

- vysoké splátky ke konci života hypotéky (za 20 let při 10% inflaci

jde o 572 násobek)

- nehledě na možnost negativní amortizace bude hypotéka za stanovenou

dobu splacena (definiční pokles nesplaceného zůstatku k nule)

dvousazbová hypotéka (dual-rate mortgage, DRM)

pevná (anuitní) sazba pro stanovení velikosti měsíční splátky (analogie reálné

sazby u hypotéky PLAM)

pohyblivá (faktická) sazba pro určení velikosti nesplacené jistiny (kopíruje inflaci)

Splátkový kalendář hypotéky DRM se 4% anuitní sazbou, velikostí hypotéky 100000$ a

splatností 20 let. Faktická sazba je požadována ve výši inflace (shodně s předchozím

příkladem).

Page 38: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

38

Rok Počáteční

zůstatek

Anuitní

faktor

Roční

splátka

Faktická

sazba

Úrok Amorti-

zace

Koncový

zůstatek

1 100000 0,07358 7358 0,0628 6280 1078 98922

2 98922 0,07613 7531 0,0789 7805 -274 99196

3 99196 0,07899 7835 0,0942 9344 -1509 100705

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vlastnosti: - možnost negativní amortizace při inflaci

3. Finanční inženýrství s hypotékami

a) portfolio hypotečních půjček

Investor

Dlužník

Dlužník

Portfolio

hypoték

skladba hotovostního toku: - úrok

- plánovaná splátka jistiny

- předsplátka (prepayment)

důvody předsplátky: - při prodeji nemovitostí (změna zaměstnání, stěhování, rozvod)

- změna tržních podmínek (pokles úrokových sazeb)

- neplnění závazků dlužníka (splacení hypotéky z tržeb za prodej

nemovitosti a pojištění hypotéky)

- zničení nemovitosti životní událostí (splacení hypotéky z

Page 39: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

39

pojištění nemovitosti)

⇒ rizikový faktor při investování do hypoték

b) cenné papíry jištěné hypotékou (mortgage-backed securities)

cenné papíry, jejichž hotovostní tok je odvozen z podkladových hypoték umožňují

vytvářet atraktivnější a rozmanitější investiční parametry

sekuritizace hypoték: zprostředkovatel (banka) shromažďuje individuální hypoteční platby,

proti nimž emituje cenné papíry, takže závazky z těchto cenných papírů jsou

kryty hypotečními pohledávkami

Plátce hypotéky

Plátce hypotéky

Držitel MBS

Držitel MBS

ZprostředkovatelPortfolio hypoték

i) postupový cenný papír (passthrough)

majitel postupového CP dostává proporcionální podíl na všech třech složkách

hypoteční platby

výhoda: lepší rozložení rizika předsplátek (investice do 1 milionové hypotéky je

rizikovější než milionová investice do postupových CP v důsledku efektu

diverzifikace)

ii) kolateralizovaná hypotekární obligace

proti hypotečním pohledávkám jsou emitovány obligace různých tříd,

které vytvářejí systém prioritního postavení investorů

např.: emise obligací rozdělena do třídy A (40%), B (35%) a C (25%)

platba úroku: obligace všech tříd vyplácejí úrok ve vazbě na velikost

nominální hodnoty (nediferencovaný přístup)

platba jistiny: vypláceni nejprve majitelé třídy A, pak majitelé třídy B a

nakonec majitelé obligací třídy C

Page 40: INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd ...

40

výhoda: vytváření nových CP, které lépe reflektují preference

různých tříd investorů, lepší obchodovatelnost

iii) rozporcované cenné papíry (stripping)

proti hypotečním pohledávkám (držbě postupových CP) emitovány CP, které

rozdělují platbu úroku a jistiny

třída A. nárok na splátky jistiny

třída B: nárok na úrokové platby