I. OBJETIVOS
1. Determinar la velocidad media de un mvil que se desplaza a lo largo de un plano inclinado.
2. Determinar la velocidad instantnea de un mvil (Rueda de Maxwell)0, en un punto de su trayectoria.
3. Determinar experimentalmente la aceleracin instantnea de un mvil con movimiento rectilneo uniforme variado.
4. Utilizar correctamente las ecuaciones de un movimiento variado.
II. MATERIALES A UTILIZAR
Una rueda de Maxwell.
Una rueda graduada en milmetros.
Un cronmetro.
Un soporte con dos varillas paralelas.
Un tablero de mampresa con tornillo de nivelacin.
Un nivel de burbuja.
III. MARCO TEORICO Y CONCEPTUAL
VELOCIDAD MEDIA
La velocidad entre dos puntos de la trayectoria de un mvil, se define como:
Donde, , representa el desplazamiento del mvil y , es el intervalo de tiempo durante el cual se efecta el desplazamiento.
VELOCIDAD INSTANTANEA
La velocidad instantnea en un punto cualquiera de la trayectoria se obtiene haciendo los intervalos de tiempo tan pequeos como sea posible, acercndose cada vez ms al punto en referencia, es decir:
Para determinar la velocidad instantnea del mvil en el punto P de su trayectoria, basta medir las velocidades medias alrededor de dicho punto... la Fig. 1 muestra una pista formada por dos varillas inclinadas sobre la cual se encuentra en movimiento el eje de una volante desplazndose sin deslizar desde A hasta B. Se determina las velocidades medias en un tramo cada vez ms corto respecto al punto P, tanto a la izquierda: AP, A1P, A2P, A3P, como por la derecha PB1, PB2, PB3, PB.
Un grfico de las velocidades medias , en funcin de los intervalos de tiempo , se muestra en la Fig.2. Donde , es la velocidad media correspondiente al intervalo AP; es la velocidad media correspondiente al intervalo A1P; etc. debe tenerse en cuenta que el mvil siempre inicia su movimiento partiendo del reposo en el punto A. De este grfico se puede encontrar la velocidad instantnea en el punto P al prolongar la recta hasta que corte el eje vm (es decir cuando )0, tal como se muestra en la Fig.2.
Siguiendo el procedimiento se procede para el tramo PB. En este caso el mvil tambin inicia su movimiento en el punto A. Trazando un grfico similar a la Fig.2, se puede hallar el otro valor par la velocidad instantnea en el punto P (tericamente debera ser el mismo). Esta superposicin de grficos est mostrada en la Fig.3.
ACELARACION INSTANTANEA
Para encontrar la aceleracin de un mvil a lo largo del plano inclinado se grafican las velocidades instantneas en diferentes puntos de su trayectoria en funcin del tiempo. La pendiente de dicha grafica nos da la aceleracin. Para el logro de este objetivo se utiliza un procedimiento que permite encontrar la velocidad instantnea a partir de las velocidades medias.
Consideremos el movimiento uniformemente variado de un mvil que partiendo del punto O pasa por A y B, como se ve en la Fig.4.
La aceleracin media se define como:
Donde: y
La aceleracin instantnea se obtiene tomando valores mas y mas pequeos de , de tal forma que
Una relacin que involucra el desplazamiento, la velocidad y la aceleracin a lo largo de la trayectoria est dada por la ecuacin.
Cuando la velocidad es constante, , cada una de las tres ecuaciones cinemticas pueden integrarse para obtener formulas que relaciones a, v, x y t. Para determinar la velocidad como una funcin del tiempo se integra la ecuacin (4), en la forma
Para determinar el desplazamiento como una funcin del tiempo se integra la ecuacin (6), esto es
Si el mvil parte desde el reposo en el origen de coordenadas, la ecuacin (7) se escribe
Para determinar la velocidad como una funcin de desplazamiento se integra la ecuacin (5) en la forma
Teniendo en cuenta que , la ecuacin (9) se escribe
Por otro lado se sabe que un movimiento uniformemente variado la velocidad instantnea en el punto medio de AB de la Fig. 4, es
Donde , es la velocidad instantnea en el tiempo
Reemplazando la ecuacin (11)* en la ecuacin (10), se obtiene
Al sustituir la ecuacin (6) en la ecuacin (13), obtenemos
Que corresponde al valor de la velocidad media entre los puntos A y B. Esta velocidad media en el intervalo de tiempo mencionado es igual en valor a la velocidad instantnea en el tiempo . Si se traza una grfica , como se muestra en la Fig. 5, la pendiente de la recta nos da el valor de la aceleracin instantnea.
IV. METODOLOGA
4.1 PARA DETERMINAR LA VELOCIDAD INSTANTANEA
a) Nivele el tablero horizontalmente mediante los tres pernos de apoyo, utilizando el nivel de burbuja.b) Coloque las barras paralelas en forma inclinada, buscando un ngulo apropiado de tal manera que la volante ruede sin deslizar por la pendiente.
c) Divida el tramo AB en dos partes una de longitud L/3 y la otra 2L/3 y ubique el punto P tal como se muestra en la Fig. 6a. A continuacin divida los tramos AP y PB en cuatro partes iguales cada una.
d) Con la regla mida las distancias AP, A1P, A2P y A3P, en forma anloga las distancias PB, PB3, PB2, PB1. registre sus valores en la Tabla I.
e) Suelte la volante a partir del reposo en el punto A y con el cronmetro mida el tiempo que demora la rueda en recorrer el tramo AP, por cinco veces consecutivas. Registre sus lecturas en la Tabla I.
f) Dejando libre al volante desde el mismo punto de partida que para el caso anterior, mida los tiempos correspondientes a los tramos A1P, A2P, A3P, por cinco veces consecutivas para cada caso. Registre sus lecturas en la Tabla I.
g) Siempre poniendo en movimiento la rueda desde el mismo punto de partida que en los pasos c y d, mida por cinco veces los tiempos correspondientes a los tramos PB, PB3, PB2, PB1. registre sus valores en la Tabla I.
Tabla I. Datos y clculos para determinar la velocidad instantnea.
TramoDesplazamiento
Tiempo t (s)Vm = (cm)
12345
AP169.039.019.059.049.059,0361,770695
A1P124.544.64.554.534.554,5542,63504611
A2P82.542.552.492.502.482,5123,18471338
A3P41.171.201.201.181.201,193,36134454
PB326.676.76.696.76.686,6884,784689
PB3245.435.55.445.455.465,4564,39882698
PB2163.83.853.813.833.83,8184,19067575
PB181.9721.981.971.991,9824,03632694
4.2 Para determinar la aceleracin instantneaa. Instale el equipo tal como se ve en la figura 6b.
b. Divida el tramo a recorrer por la volante en puntos que estn situados a 7; 14; 21; 28; 35; 42 cm, respectivamente desde un origen comn A. registre estas medidas en la tabla II.
c. Suelte la volante a partir del reposo en el punto A y con el cronometro mida el tiempo que demora en recorrer en tramo AA1, por cinco veces consecutivas. Registre sus valores en la tabla II.
d. Dejando libre la volante en el mismo punto que el paso c mida los tiempos correspondientes para los tramos AA2; AA3; AA4; AA5; AA6; etc. Registre sus valores en la tabla II
Tabla II. Datos y clculos para determinar la aceleracin instantnea.
TramoDesplazamientoTiempo t (s)viti'
(x (cm.)12345(t(cm/s)(s)
AA175,965,95,955,855,885,9081,184834122,954
AA2147,27,257,237,287,267,2441,93263393,622
AA32110,961111,0110,9810,9910,9881,911175835,494
AA42811,411,411,411,3811,3911,3942,457433745,697
AA53513,0913,113,0813,113,0913,0922,673388336,546
AA64213,913,913,9213,8913,913,9023,021148046,951
e. Con sus datos de la tabla II y las ecuaciones (12)* y (14)*, elabore la tabla III para encontrar las velocidades instantneas en los puntos medios de los tramos AA1; AA2; AA3; AA4; AA5; AA6.Tabla III. Datos y clculos para determinar la aceleracin instantnea.
Tramo
AA11,184834122,954
AA21,93263393,622
AA31,911175835,494
AA42,457433745,697
AA52,673388336,546
AA63,021148046,951
V. CUESTIONARIO:
5.1.) Para determinar la velocidad media E instantnea:
a) Con los datos de la tabla I, trace en papel milimetrado una grfica velocidad media vm en funcin del intervalo de tiempo (t, y a partir de ella determine la velocidad instantnea del mvil en el punto P.
a) Para el tramo AP:Tramo
DesplazamientoTiempo t (s)vm = (x/ (tDatos para la recta de ajuste
(x (cm.)12345(t(cm/s)(t(t.vm
AP169.039.019.059.049.059,0361,77069581,64929616
A1P124.544.64.554.534.554,5542,6350461120,73891612
A2P82.542.552.492.502.482,5123,184713386,3101448
A3P41.171.201.201.181.201,193,361344541,41614
(17,29210,951799
110,114456
40
a) Graficando por el mtodo de mnimos cuadrados.
Donde:
(Nmero de medidas)
S
Cm/s
cm.
s2
s2
Cm/s
Cm/s
Donde:
(Nmero de medidas)
S
Cm/s
cm.
s2
s2
Cm/s
Cm/s Reemplazando tenemos :
b) Clculo del error absoluto para el tramo AP
TramoDatos de laboratorioRecta Ajustada(vm - vm ')
t (s)t (s2)vm (cm/s)t (s)vm' (cm/s)(cm2/s2)
AP9,03681,64931,7719,0361,7205120,00252
A1P4,55420,73892,6354,5542,6527680,0003
A2P2,5126,310143,1852,5123,077504 0,0115
A3P1,191,41613,3611,193,35248 0,0001
(17,292110,110,0144
Clculo del error absoluto de a
Donde:
Cm/s
Cm/sClculo del error absoluto de b
Donde:
Cm/s
Cm/s Entonces a y b son :
Por lo tanto las rectas ajustadas sern:
Vm = 3,561 - 0.222 t ............. ( a )
Vm = 3.711 - 0.193 t ............. ( b )
b) Para el tramo PB:Tramo
DesplazamientoTiempo t (s)vm = x/tDatos para la recta de ajuste
x (cm.)12345t (s)(cm/s)t (s2)t. vm (cm)
PB326,676,706,696,76,686,6884,78544,72932
PB3245,435,55,445,455,465,4564,39929,76824
PB2163,803,853,813,833,83,8184,19114,57716
PB181,9721,981,971,991,9824,0363,9288
(17,94417,41193,00380
a) Graficando por el mtodo de mnimos cuadrados
Donde:
(Nmero de medidas)
Cm/s
Cm/s
Donde:
(Nmero de medidas)
Cm/s
Cm/s Reemplazando tenemos:
Vmi = 3.672 - 0.152 t cm/sb) Clculo del error absoluto para el tramo PB
TramoDatos de laboratorioRecta Ajustada(vm - vm ') (cm2/s2)
t (s)t (s2)vm (cm/s)t (s)vm ' (cm/s)
PB6,68844,72934,7856,6882,6554244,53377
PB35,45629,76794,3995,4562,8426882,4216
PB23,81814,57714,1913,8183,091664 1,2078
PB11,9823,928324,0361,9823,370736 0,443
(17,94493,008,6062
Clculo del error absoluto de a
Donde:
Cm/s
Cm/s Clculo del error absoluto de b
Donde:
Cm/s
Cm/s Entonces a y b son :
Por lo tanto las rectas ajustadas sern:
Vm =0,844 - 0,435 t ............. ( c )
Vm = 6,501 - 0,738 t ............. ( d )
P es la interseccin del as restas, hallamos las coordenadas de P:Igualamos las ecuaciones (a) y (c):
a = c
S
Reemplazamos en (a) o en (c):
(e)
Igualamos las ecuaciones (b) y (d):
b = d
S
Reemplazamos en (b) o en (d):
(f)
Las ecuaciones (e) y (f) nos indican las velocidades instantneas en el punto P:
Cm/sb) En qu tramo se tiene mayor valor para la velocidad media y para cual el menor valor? Por qu?
El mayor valor para la velocidad media deberamos tenerla en el tramo PB debido a que la rueda de Maxwell tiene obtiene mayor velocidad en este tramo porque su aceleracin va aumentando. El menor valor, la deberamos tener en el tramo AP, pues en este tramo inicia su movimiento desde una posicin de reposo que va aumentando a medida que acelera. Pero experimentalmente no nos sale esa conclusin.
c) Qu importancia tiene que las rectas se crucen antes o despus del eje de coordenadas o sea cuando ?
Es de suma importancia, ya que nos permiten calcular la velocidad instantnea en el punto P, sino no podramos determinarla.
5.2.) Para determinar la aceleracin instantnea:
a)Con los datos de la tabla II y utilizando la ecuacin (8), trazar en papel milimetrado una grafica de desplazamiento x, en funcin del intervalo de tiempo (t) y a partir de ella determine la aceleracin instantnea de la volante. En este caso para analizar los datos hacemos un cuadro donde la ecuacin de la recta sea:
x = a0 + a1tTramoDesplazamiento
x (cm)t (s)t (s)
(t) (s4)
t.x (cm.s)
AA175,90834,9041218,32244,33
AA2147,24452,4762753,68734,66
AA32110,988120,73614577,222535,46
AA42811,394129,82316854,073635,05
AA53513,092171,40029378,125999,02
AA64213,902193,26637351,598117,16
(14762,5
702,61
102133,0
21265,67
Hallando el valor de a0:
cm
Hallando el valor de a1:
Cm/s Finalmente se obtiene la siguiente ecuacin:
Calculo del error absoluto de a0 y a1:
TramoDatos de laboratorioRecta ajustada((x - (x')
(t (s2)((t) (s4)(x (cm)(t (s2)(x (cm)(cm2)
AA134,9041218,3734,9046,5145110,2357
AA252,4762753,71452,47610,0990115,218
AA3120,73614577,221120,73624,024179,1456
AA4129,82316854,128129,82325,877944,5031
AA5171,40029378,135171,40034,359690,41
AA6193,26637351,642193,26638,8201810,111
(702,605102133,039,623
Para ao se tiene:
Dnde.
cm
Para a1 se tiene:
Dnde.
Cm/s2Entonces los errores de a0y a1 son:
(
(
Por lo tanto las rectas ajustadas sern:
Sabemos que la aceleracin es igual a la pendiente de la recta:
Cm/s2
(()
Cm/s2
(()
De la ecuacin cinemtica tenemos:
(a)
Tambin sabemos que:
(b)
De las ecuaciones (a) y (b) deducimos que:
(
Reemplazando en (() y ((), tenemos
cm/s2
cm/s2
b)Con los datos de la tabla II, y usando la ecuacin (12)* y (14)* trace en papel milimetrado una grafica vi ti y a partir de ella determine el valor de la aceleracin instantnea de la rueda:
En este caso para analizar los datos hacemos un cuadro donde la ecuacin de la recta sea:
vi = a0 + a1(ti
Tramo(t (s)vi (cm/s)(ti' (s)(ti' (s2)(ti'.vi (cm)
AA175,9081,1742,9548,726
AA2147,2441,9443,62213,119
AA32110,9881,9165,49430,184
AA42811,3942,4565,69732,456
AA53513,0922,6746,54642,850
AA64213,9023,0226,95148,316
(14762,52813,18731,264175,651
Hallando el valor de a0:
Donde:
cm
Hallando el valor de a1:
Donde:
Cm/s Finalmente se obtiene la siguiente ecuacin:
Determinamos los errores absolutos de ao y a1:
TramoDatos de laboratorioPor recta de ajuste( Vi- Vi)
Viti'ti' ti' Vi
AA11,1742,9548,7262,9540,8955660,0778
AA21,9443,62213,1193,6221,1487380,6331
AA31,9165,49430,1845,4941,8582260,0033
AA42,4565,69732,4565,6971,9351630,2714
AA52,6746,54642,8506,5462,256934 0,1738
AA63,0226,95148,3166,9512,4104290,3735
Total175,65131,2641,533
Para ao:
Donde:
Para a1:
Donde:
Entonces los valores son:
(
(
Por lo tanto las rectas ajustadas sern:
Los valores de a1 (pendiente de la recta) son las aceleraciones, entonces:
c) Con los datos de la tabla III, trace una grafica vi-ti y a partir de ella obtenga el valor de la aceleracin instantnea de la volante
d) Compare los datos de aceleracin obtenida en a, b, c Cul cree usted que es mejor valor para la aceleracin?
Respuesta:
El mejor valor se obtuvo en a, ya que los valores de la aceleracin son casi iguales.
e) De qu forma influye el ngulo de inclinacin de los rieles en la determinacin de la velocidad y la aceleracin instantnea? Cul fue el ngulo que utilizo en su experimento?
Respuesta:
- Si el ngulo es demasiado grande la volante no rodara, sino mas bien se deslizara a travs de los rieles.
- Si el ngulo es muy pequeo, la rueda no la volante no lograra moverse adecuadamente y se detendra en intervalos de tiempo.
- Si el ngulo no es tan pequeo, ni tan grande la rueda podara sin deslizarse y producindome un movimiento adecuado.
-El ngulo que utilizamos fue 5,43.f) Cules cree que son las posibles fuentes de error de su experimento? Enuncie y explique.
Respuesta:
- La pendiente: puesto que no permaneca constante debido al movimiento.
- Las distancias: puesto que no es preciso calcular el punto exacto de medida, puesto que el eje de la volante tiene cierto grosor.
-Los tiempos: existe un intervalo de tiempo pequeo que se demora en presionar el botn del cronometro.
Los tramos que recorre el mvil no son uniforme, por lo que puede influir en los errores de este experimento.
VI. RECOMENDACIONES
Cuide que el Angulo de inclinacin de los rieles sea el apropiado, para esto haga varias pruebas antes de iniciar la experiencia. En todas las graficas use el ajuste por mnimos cuadrados.
VII. BIBLIOGRAFIA GIANBERNANDINO, V. teora de errores Edit. Reverte. Espaa 1987 SQUIRES, G.L. fsica practica Edit. Mc. Graw-Hill 1990
SERWAY. Fsica vol1 (1993) p.539-540 Edit .Mc. Graw Hill
TIPLER, fsica vol1 (1993) p.517-518. Edit. Reverter
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