Contenido Introducción ................................................................................................................................................. 2 Objetivos ...................................................................................................................................................... 2 Objetivos generales y secundarios ............................................................................................................ 2 Marco Teórico .............................................................................................................................................. 2 Teoría de Errores ...................................................................................................................................... 2 Fuentes de error de medición............................................................................................................... 2 Tipos de Errores ................................................................................................................................... 2 Otras definiciones ................................................................................................................................ 3 Precisión y Exactitud ............................................................................................................................ 4 Propagación de errores ........................................................................................................................ 4 Conceptos Estadísticos Generales ............................................................................................................. 4 Métodos numéricos de descripción de datos ........................................................................................ 4 Regresión Lineal ................................................................................................................................... 6 Correlación Lineal ................................................................................................................................ 6 Método de la reiteración .......................................................................................................................... 7 Relación Reiteración-Propagación de Error. .............................................................................................. 8 Montaje y Esquema de la Experiencia de Laboratorio ................................................................................... 8 Instrumentos............................................................................................................................................ 8 Planificación ............................................................................................................................................. 8 Esquema .................................................................................................................................................. 8 Resultados y desarrollo estadístico ............................................................................................................... 9 Registro de Observaciones e Identificación de Equivocac iones y Errores ................... ............. ............. ...... 9 Estadísticas procedentes de los datos generales ................................................................................... 9 Estadísticas por puntos ...................................................................................................................... 10 Estadísticas por observador ................................................................................................................ 11 Histogramas de Frecuencia................................................................................................................. 15 Conclusiones .............................................................................................................................................. 17 Precisión Angular, .................................................................................................................................. 17 Precisión del Distanciómetro .................................................................................................................. 17 Utilización de la aplicación Microsoft Excel para el registro, desarrollo y análisis de datos. ............. ......... 17 Recomendaciones ...................................................................................................................................... 17 Técnicas en la Manipulación de la Estación Total .................................................................................... 17 Numero de Reiteraciones ....................................................................................................................... 17
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Informe 3 Reiteracion y Propagacion de Errores PDF (SCRIBD)
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7/25/2019 Informe 3 Reiteracion y Propagacion de Errores PDF (SCRIBD)
Objetivos generales y secundarios ............................................................................................................ 2 Marco Teórico .............................................................................................................................................. 2
Teoría de Errores ...................................................................................................................................... 2
Fuentes de error de medición............................................................................................................... 2
Tipos de Errores ................................................................................................................................... 2
Otras definiciones ................................................................................................................................ 3
Precisión y Exactitud ............................................................................................................................ 4
Propagación de errores ........................................................................................................................ 4
(1) medidas de tendencia central, (2) las medidas de variación de datos, y (3) medidas de la posición relativa.
Estas categorías son todos llamadas estadísticas. Una estadística es un descriptor numérico calculado a partir
de datos de la muestra.
Medidas de tendencia central MTC)
Media Aritmética
Para un conjunto de n observaciones; , , ⋯ , ; la media aritmética es el promedio de las observaciones.
Su valor, , se calcula a partir de la siguiente ecuación:
∑ =
Típicamente, el símbolo , se utiliza para representar la media aritmética de la muestra, y el símbolo µ se
utiliza para representar la media de la población.
Mediana
Como se mencionó anteriormente, este es el punto medio de un conjunto de muestras cuando se disponen
en orden ascendente o descendente. La mitad de los datos están por encima de la mediana y la mitad están
por debajo de ella. Cuando hay un número impar de cantidades, sólo uno de esos satisface valor estacondición. Para un conjunto con un número par de cantidades de datos, el promedio de las dos observaciones
que se sitúan en el punto medio se utiliza para representar la mediana. Debido al pequeño número de
observaciones en la topografía, es que rara vez se utiliza.
Moda
Dentro de una muestra de datos, la moda es el valor más frecuente. Rara vez se utiliza en la topografía por el
número relativamente pequeño de valores observados en un conjunto típico de observaciones. También, en
pequeños conjuntos de muestras, pueden ocurrir varios valores diferentes con la misma frecuencia, y, por lo
tanto, la moda puede ser denominada como una medida de tendencia central. Es posible para un conjunto de
datos encontrar más de una moda. Un ejemplo común es un conjunto con dos modas o bien conjunto bimodal.
Medidas de dispersión MD)
Rango o Recorrido
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.
Desviación Respecto a la Media y Desviación Media
La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media
aritmética.
−
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.
| − |+|2 − | + ⋯ + | − |
∑ | − |=
Varianza
Es la media de los cuadrados de los errores y está dada por.
2 ∑ | −|=
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La desviación estándar corresponde a la raíz cuadrada de la varianza por lo que viene dada por.
2 ; 2
Regresión LinealEs un ajuste matemático que modela la relación entre una variable dependiente “Y” y un número determinado
de variables independientes “Xi” para verificar si se comportan de manera lineal.
Expresándolo en forma simple, la regresión lineal es una técnica que permite cuantificar la relación que puede
ser observada cuando se grafica un diagrama de puntos dispersos correspondientes a dos variables.
+
Correlación LinealEl análisis de correlación está orientado a la determinación de algunas características en el desarrollo de la
regresión lineal, como por ejemplo la dependencia de la variable “y” con respecto a “x”, el coeficiente de
correlación que mejor ejemplifica este tipo de dependencia es el desarrollado por Karl Pearson.
Coeficiente de Correlación de Pearson
Medida de relación lineal entre dos variables aleatorias cuantitativas, independiente de la escala de cada
variable permite hacer análisis de dependencia lineal entre dos magnitudes de distinta unidad.
Para una muestra estadística se puede calcular de la siguiente manera:
∑ −̅
− 1 ∑ − ∑ ∑
∑ 2 − ∑ 2 ∙ ∗ ∑ 2 − ∑ 2
Dónde ̅, , , son las medias aritméticas de las variables y sus desviaciones estándar respectivamente
Su interpretación es bastante simple y está relacionada a los intervalos que pueda tomar el valor del
coeficiente.
El intervalo general siempre será [-1,1]
Si r = 1, existe una correlación positiva perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos
variables denominada relación directa: cuando una de ellas aumenta, la otra también lo hace en
proporción constante.
Si 0 < r < 1, existe una correlación positiva.
Si r = 0, no existe relación lineal. Pero esto no necesariamente implica que las variables sonindependientes: pueden existir todavía relaciones no lineales entre las dos variables.
Si -1 < r < 0, existe una correlación negativa.
Si r = -1, existe una correlación negativa perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos
variables llamada relación inversa: cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye en proporción
constante.
Coeficiente de Determinación
Es un valor estadístico cuya magnitud indica la probabilidad para poder predecir posibles resultados en cuanto
a la regresión lineal.
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Algunas de las condiciones que revelan errores en las observaciones de topografía son que (1) los tres ángulos
medidos en un plano triángulo deben sumar 180◦, (2) la suma de los ángulos medidos en todo el horizonte en
cualquier punto debe ser igual a 360◦, y (3) la suma algebraica de las coordenadas parciales (E, N) debe ser
igual a cero para poligonales cerradas que empiezan y terminan en la misma estación. Muchas otras
condiciones podrían ser citadas; Sin embargo, en ninguna de ellas, las observaciones rara vez, o nunca, se
cumplen las condiciones requeridas, debido a la presencia de errores aleatorios.
Los ejemplos mencionados anteriormente no sólo demuestran que los errores están presentes en
observaciones topográficas, sino también ilustran la importancia de las reiteraciones: las mediciones
realizadas que están por encima de la cantidad mínima necesaria para determinar la incógnita de una
magnitud de interés. Dos mediciones de la longitud de una línea, por ejemplo, producen una sola reiteración.
La primera observación sería suficiente para determinar la longitud desconocida, y la segunda es redundante.
Sin embargo, esta segunda observación es muy valiosa. En primer lugar, mediante se examina la discrepancia
entre los dos valores, se puede hacer una evaluación del tamaño del error en las observaciones. Si existe una
gran discrepancia, puede que un descuido o un error grosero haya ocurrido. En ese caso, las observaciones de
la línea se repiten hasta que se obtuvieron dos valores que tienen una discrepancia aceptable (pequeña). En
segundo lugar, la reiteración permite realizar un ajuste con el fin de obtener un valor final para la longitud
desconocida de la línea, y de esta manera, el valor final ajustado será más preciso estadísticamente quecualquiera de las observaciones individuales. En este caso, si las dos observaciones eran de igual precisión, el
valor ajustado sería simplemente la media aritmética.
Otro ejemplo sería que se puede reiterar cuando se observan los tres ángulos de un triángulo en geometría
plana. Esto es cierto porque con dos ángulos observados, sean A y B, el tercero podría ser calculado como C =
180◦ -A - B, y por lo tanto la observación de C es innecesaria. La medición del ángulo C, sin embargo, permite
una evaluación en cuanto a los errores en los ángulos, y también hace posible un ajuste para obtener ángulos
finales con precisión mejorada desde el punto de vista estadístico. Suponiendo que los ángulos eran de igual
precisión, el ajuste haría cumplir la suma de 180◦ para los tres ángulos media nte la distribución de la
discrepancia (error) total en partes iguales a cada ángulo (compensación angular por partes iguales).
Aunque los ejemplos citados aquí son realmente simples, ayudan a definir el método de reiteración e ilustrarsu importancia. En las grandes redes de topografía, el número de reiteraciones puede llegar a ser muy grande,
y el proceso de ajuste es un poco más complicado de lo que es para los ejemplos básicos que se dan aquí.
Los Geomensores responsables siempre hacen reiteraciones en su trabajo, por las dos razones importantes
indicadas anteriormente: (1) para permitir la evaluación de los errores y tomar decisiones con respecto a la
aceptación o rechazo de las observaciones, y (2) para hacer posible un ajuste en el cual los valores finales con
mayor precisión determinan el valor de las incógnitas.
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Relación Reiteración-Propagación de Error.La propagación de errores y el método de reiteración se ven relacionados en topografía principalmente por el
tamaño de las muestras, es decir el número de reiteraciones, se ve claramente en el siguiente ejemplo.
La ecuación para determinar el error para el ángulo interior en un punto dadas varias reiteraciones es:
√
Donde n es el número de reiteraciones, al crecer n disminuye el error del ángulo interior.
Montaje y Esquema de la Experiencia de Laboratorio
InstrumentosEstación total x1, trípode x3, prisma x2.
Planificación
La experiencia consiste en calcular las medidas angulares y de longitud de un vértice definido por nosotrosmismos, vértice cuyo centro sería la estación llamada E1 en la cual se instaló la estación Trimble M3 y los dos
puntos restantes llamados “a” y “b”.
Esquema
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Registro de Observaciones e Identificación de Equivocaciones y
ErroresEl registro principal cuyos datos traspasados de la escritura a mano a una planilla de Excel están anexos al
documento en la figura 1. Allí se pueden observar las reiteraciones de los ángulos verticales y horizontales
además de las distancias y algunos cálculos de gabinete. Pero es necesario antes de desarrollar los datos
estadísticamente, rastrear posibles equivocaciones en la anotación de datos o en su posterior registro en la
planilla de Excel.
Lo que sea realizó fue graficar sección por sección los datos, así se pueden detectar valores atípicos dentro
del grupo de observaciones, la metodología en este caso fue aplicar criterios de formato en el color de fuente
y fondo en las casillas correspondientes a los errores de calaje e índice calculados en unidades sexagesimales,
se predefinió por consejo del profesor que las tolerancias angulares para un trabajo con estación total
deberían bordear como máximo los +- 15’’ sexagesimales, entonces se le aplicó color amarillo para los valores
que van desde los 15’’ a 30’’, en rojo a los valores entre 30’’ y 1’ y sobre el minuto fueron los más destacados
también en rojo, estos últimos fueron desechados para los análisis estadísticos posteriores.
En cuanto a las distancias inclinadas no fue necesario hacer el análisis dada la baja desviación de las lecturas.
Cálculos estadísticos.
A partir de la tabla sin los datos atípicos extremos eliminados por el criterio anteriormente mencionado, es
posible determinar algunas medidas estadísticas exhibidas en las siguientes tablas.
Estadísticas procedentes de los datos generalesEn esta tabla se pueden rescatar información importante, en términos generales, el error de calaje tiende a
ser mayor que el de índice, también existe una discrepancia en los promedios del ángulo interno de 8 ocho
segundos aproximadamente. Cada reiteración duraría en promedio 1 minuto y medio aproximadamenteinformación que puede ser relevante para optimizar el tiempo de trabajo.
D T Error Calaje Error Indice Error Calaje Error Indice D T
Precisión Angular,En cuanto a la precisión en las medidas de los ángulos horizontales y verticales es muy notoria la dispersión
de los valores en las reiteraciones. Sin embargo, es difícil incorporar una idea intuitiva sobre las magnitudes
angulares ya que el pensamiento humano tiende adoptar mejor las ideas sobre las precisiones lineales. Por loque no debiese haber un asombro en cuanto a estas variabilidades dado que siempre van a estar presentes al
momento de calcular ángulos.
Precisión del DistanciómetroEl distanciómetro presenta niveles de dispersión muy bajos en la lectura de distancias pequeñas, lo que nos
entrega muestras muy cercanas a lo que podría ser el valor exacto en la medida.
Utilización de la aplicación Microsoft Excel para el registro, desarrollo
y análisis de datos.Microsoft Excel es un software que permite la manipulación de datos numéricos y alfanuméricos organizados
de manera matricial-bidimensional. Este programa es ideal para el trabajo de datos de manera estadística,
gracias a su capacidad de realizar cálculos complejos a través de fórmulas y sentencias lógica-matemáticas.
Además, la posibilidad de aplicar formatos en las celdas mediante un análisis automático ayuda a comprender
de mejor manera el comportamiento de la información.
Recomendaciones
Técnicas en la Manipulación de la Estación TotalEs necesario que el operador de la estación trate de realizar las medidas apuntando lo más centrado al centro
del prisma, esto va a evitar de algún modo que los valores angulares sufran dispersiones muy elevadas.
Además, calibrar bien los equipos e ingresado correctamente los parámetros que considera la estación va a
mejorar la precisión del distanciómetro.
Numero de ReiteracionesComo ya se ha ejemplificado antes se puede calcular el número de reiteraciones para conseguir las precisiones
deseadas, y también es recomendable que sea siempre un solo observador, así es posible trabajar más
ordenadamente y generar estadísticas más fiables que aportan a las planificaciones del trabajo.