propagacion de incertidumbres

SEMANA 2

Propagación de Incertidumbres:

• Suma

• Diferencia

• producto

• cociente.

• Incertidumbres independientes.

• Incertidumbre de una función

arbitraria de una variable.

Propagación de incertidumbre para

funciones de más de una variable

SUMA 𝒙 = 𝒙𝒐 ± 𝜹𝒙 𝒚 = 𝒚𝒐 ± 𝜹𝒚

Se realizan dos medidas con sus respectivas

incertidumbres:

El valor probable mas alto de

𝒙 + 𝒚 = 𝒙𝒐 + 𝜹𝒙 + 𝒚𝒐 + 𝜹𝒚

el valor más bajo

𝒙 + 𝒚 = 𝒙𝒐 − 𝜹𝒙 + 𝒚𝒐 − 𝜹𝒚

Por lo tanto la mejor estimación de 𝒙 + 𝒚 = 𝒙𝒐 + 𝒚𝒐

Y su incertidumbre 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚

𝒙 + 𝒚 = 𝒙𝒐 + 𝒚𝒐 ± ( 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚)

En general: Si varias cantidades 𝒙, 𝒚 … … . . 𝒘 se

miden con incertidumbres 𝜹𝒙, 𝜹𝒚, … … 𝜹𝒘

𝒙 + 𝒚 + ⋯ + 𝒘 = 𝒙𝒐 + 𝒚𝒐 + ⋯ 𝒘𝒐 ± (𝜹𝒙 + 𝜹𝒚+. . 𝜹𝒘)

𝒙 + 𝒚 = 𝒙𝒐 + 𝒚𝒐 + (𝜹𝒙 + 𝜹𝒚) 𝒙 + 𝒚 = 𝒙𝒐 + 𝒚𝒐 − ( 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚)

DIFERENCIA

El valor probable mas alto de

𝒙 − 𝒚 = 𝒙𝒐 + 𝜹𝒙 − (𝒚𝒐−𝜹𝒚)

El valor más bajo

𝒙 − 𝒚 = 𝒙𝒐 − 𝜹𝒙 − (𝒚𝒐 + 𝜹𝒚)

Por lo tanto la mejor estimación de 𝒙 − 𝒚 = 𝒙𝒐 − 𝒚𝒐

Y su incertidumbre 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚

𝒙 − 𝒚 = 𝒙𝒐 − 𝒚𝒐 ± ( 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚)

En general: Si varias cantidades 𝒙, 𝒚 … … . . 𝒘 se

miden con incertidumbres 𝜹𝒙, 𝜹𝒚, … … 𝜹𝒘

𝒙 + 𝒚 + ⋯ − (𝒖 + ⋯ 𝒘) =

𝒙𝒐 + 𝒚𝒐 + ⋯ − 𝒖𝒐 + … . 𝒘𝒐 ± (𝜹𝒙 + 𝜹𝒚+. . 𝜹𝒘)

𝒙 − 𝒚 = 𝒙𝒐 − 𝒚𝒐 + ( 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚) 𝒙 − 𝒚 = 𝒙𝒐 − 𝒚𝒐 − ( 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚)

PRODUCTO

𝒙 = 𝒙𝒐 𝟏 +𝜹𝒙

𝒙𝒐 y 𝒚 = 𝒚𝒐 𝟏 +

𝜹𝒚

𝒚𝒐

(𝒙𝒚)𝒎𝒂𝒙= 𝒙𝒐 𝟏 +𝜹𝒙

𝒙𝒐.𝒚𝒐 𝟏 +

𝜹𝒚

𝒚𝒐

(𝒙𝒚)𝒎𝒂𝒙= 𝒙𝒐𝒚𝒐 𝟏 +𝜹𝒙

𝒙𝒐. 𝟏 +

𝜹𝒚

𝒚𝒐

𝟏 +𝜹𝒙

𝒙𝒐. 𝟏 +

𝜹𝒚

𝒚𝒐 = 𝟏 +

𝜹𝒙

𝒙𝒐+

𝜹𝒚

𝒚𝒐+

𝜹𝒙

𝒙𝒐∗

𝜹𝒚

𝒚𝒐

Como 𝜹𝒙

𝒙𝒐< 𝟏 𝒚

𝜹𝒚

𝒚𝒐< 𝟏 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔

𝜹𝒙

𝒙𝒐∗

𝜹𝒚

𝒚𝒐<<<1

𝒙 = 𝒙𝒐 ± 𝜹𝒙 𝒚 = 𝒚𝒐 ± 𝜹𝒚

(𝒙𝒚)𝒎𝒂𝒙= (𝒙𝒐 + 𝜹𝒙)(𝒚𝒐 + 𝜹𝒚)

Entonces: 𝟏 +𝜹𝒙

𝒙𝒐. 𝟏 +

𝜹𝒚

𝒚𝒐= 𝟏 +

𝜹𝒙

𝒙𝒐+

𝜹𝒚

𝒚𝒐

Por lo tanto:

(𝒙𝒚)𝒎𝒂𝒙= 𝒙𝒐𝒚𝒐(𝟏 +𝜹𝒙

𝒙𝒐+

𝜹𝒚

𝒚𝒐)

(𝒙𝒚)𝒎𝒂𝒙= 𝒙𝒐𝒚𝒐(𝟏 +𝜹𝒙

𝒙𝒐+

𝜹𝒚

𝒚𝒐)

(𝒙𝒚)𝒎𝒂𝒙= 𝒙𝒐𝒚𝒐 + 𝒙𝒐𝒚𝒐(𝜹𝒙

𝒚𝒐+

𝜹𝒚

𝒙)

PRODUCTO

𝒙 = 𝒙𝒐 𝟏 −𝜹𝒙

𝒙𝒐 y 𝒚 = 𝒚𝒐 𝟏 −

𝜹𝒚

𝒚𝒐

(𝒙𝒚)𝒎𝒊𝒏= 𝒙𝒐 𝟏 −𝜹𝒙

𝒙𝒐.𝒚𝒐 𝟏 −

𝜹𝒚

𝒚𝒐

(𝒙𝒚)𝒎𝒊𝒏= 𝒙𝒐𝒚𝒐 𝟏 −𝜹𝒙

𝒙𝒐. 𝟏 −

𝜹𝒚

𝒚𝒐

𝟏 −𝜹𝒙

𝒙𝒐. 𝟏 −

𝜹𝒚

𝒚𝒐 = 𝟏 −

𝜹𝒙

𝒙𝒐−

𝜹𝒚

𝒚𝒐+

𝜹𝒙

𝒙𝒐∗

𝜹𝒚

𝒚𝒐

Como 𝜹𝒙

𝒙𝒐< 𝟏 𝒚

𝜹𝒚

𝒚𝒐< 𝟏 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔

𝜹𝒙

𝒙𝒐∗

𝜹𝒚

𝒚𝒐<<<1

𝒙 = 𝒙𝒐 ± 𝜹𝒙 𝒚 = 𝒚𝒐 ± 𝜹𝒚

(𝒙𝒚)´𝒎𝒊𝒏= (𝒙𝒐 − 𝜹𝒙)(𝒚𝒐 − 𝜹𝒚)

Entonces: 𝟏 −𝜹𝒙

𝒙𝒐. 𝟏 −

𝜹𝒚

𝒚𝒐= 𝟏 −

𝜹𝒙

𝒙𝒐−

𝜹𝒚

𝒚𝒐

Por lo tanto:

(𝒙𝒚)𝒎𝒊𝒏= 𝒙𝒐𝒚𝒐(𝟏 −𝜹𝒙

𝒙𝒐+

𝜹𝒚

𝒚𝒐)

(𝒙𝒚)𝒎𝒊𝒏= 𝒙𝒐𝒚𝒐(𝟏 −𝜹𝒙

𝒙𝒐−

𝜹𝒚

𝒚𝒐)

(𝒙𝒚)𝒎𝒊𝒏= 𝒙𝒐𝒚𝒐 −(𝜹𝒙

𝒚𝒐+

𝜹𝒚

𝒙)

Por lo tanto

𝒙𝒚 = 𝒙𝒐𝒚𝒐(𝟏 ±𝜹𝒙

𝒙𝒐+

𝜹𝒚

𝒚𝒐)

𝒙𝒚 = 𝒙𝒐𝒚𝒐 ± 𝒙𝒐𝒚𝒐(𝜹𝒙

𝒙𝒐+

𝜹𝒚

𝒚𝒐)

Demostrar para el caso del cociente

Se realizan las siguientes medidas

𝐴 = 200 ± 2, 𝐵 = 5,5 ± 0,1 𝐶 = 10,0 ± 0,4

Hallar: 𝑫 =𝑨𝑩

𝑪

𝛿𝐷

𝐷=

𝛿𝐴

𝐴+

𝛿𝐵

𝐵+

𝛿𝐶

𝐶= 1 + 2 + 4 % = 7%

𝐷 = 110 ± 8

𝐷0 =200 × 5,5

10,0= 11 × 101

Error del producto por una constante

𝑺𝒆𝒂: 𝒙 = 𝒙𝒐 ± 𝜹𝒙

A= constante (no tiene incertidumbre)

Hallar 𝒒 = 𝑨𝒙 con su incertidumbre

Aplicamos la regla del producto

𝛿𝑞

𝑞≈

𝛿𝐴

𝐴+

𝛿𝑥

𝑥𝑜=

𝛿𝑥

𝑥𝑜 𝜹𝒒 = 𝒒

𝜹𝒙

𝒙𝟎

𝒒 = 𝑨𝒙𝒐 ± 𝒒𝜹𝒙

𝒙

POTENCIA APLICANDO LA REGLA

DEL PRODUCTO

Ejercicio: MRUV

Un móvil parte con velicidad inicial =0 y recorre (46,2 ± 0,3 )𝑚 en

(1,6 ± 0,1)𝑠, ´cuál es la aceleración del móvil si tiene un MRUV.

𝑒 =1

2𝑎𝑡2 → 𝑎 =

2𝑒

𝑡2

𝑎𝑜 =2 × 46,2

1,62= 36m/𝑠2

𝛿𝑒

𝑒=

0,3

46,2= 0,6%

𝛿𝑡

𝑡=

0,1

1,60= 6,3%

𝛿𝑎

𝑎=

𝛿𝑒

𝑒+ 2

𝛿𝑡

𝑡= 0,6% + 2(6,3%) = 13,2%

𝛿𝑎 = 36,1 ×13,2

100% = 4,77 ≈ 4,8 ≈ 5 𝑚/𝑠2

𝑎 = (36 ± 5) 𝑚/𝑠2

EN RESUMEN

• Cuando se suman o restan las cantidades medidas, las

incertidumbres se suman.

• Cuando se multiplican o dividen las cantidades medidas, las

incertidumbres fraccionarias se añaden.

• Bajo ciertas condiciones, las incertidumbres calculadas usando las

reglas anteriores pueden ser innecesariamente grandes.

• Si las incertidumbres originales son independientes y aleatorios, una

estimación más realista (y más pequeño) a la incertidumbre final está

dado por reglas similares en los que se añaden las incertidumbres (o

incertidumbres fraccionarias) en cuadratura

ERRORES INDEPENDIENTES Y ALEATORIOS

Las reglas anteriores suponen una sobreestimación del error,

puesto que siempre nos situamos en el caso más

desfavorable.

En el caso de la suma

q= 𝒙 + 𝒚 = 𝒙𝒐 + 𝒚𝒐 ± ( 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚)

𝜹𝒒 ≈ 𝜹𝒙 + 𝜹𝒚

Sin embargo: El máximo valor posible de q, q ±δq se alcanza

cuando nos equivocamos simultáneamente δx en x y δy en y ,

lo que es altamente improbable si las medidas son aleatorias e

independientes.

Una sobreestimación (o subestimación ) de x no viene

necesariamente acompañada de una sobreestimación (o

subestimación) de y .

Si las medidas son independientes

La hipótesis pesimista es exagerada.

Los errores se cancelan parcialmente.

Los errores se propagan cuadráticamente.

INCERTIDUMBRE DE LA SUMA Y DIFERENCIA

Supongamos que tenemos:

𝐱, 𝒚, … . 𝒘 𝒄𝒐𝒏 𝒔𝒖𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂𝒔 𝒊𝒏𝒄𝒆𝒓𝒕𝒊𝒅𝒖𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝜹𝒙, 𝜹𝒚 … . . 𝜹𝒘

Si hallamos 𝑞 = 𝑥 + 𝑦 + ⋯ 𝑧 − (𝑢 + ⋯ 𝑤)

Si las medidas son independientes, la incertidumbre de

q la suma cuadrática

𝜹𝒒 = (𝜹𝒙)𝟐+ ⋯ … . 𝜹𝒛 𝟐 + ⋯ 𝜹𝒖 𝟐+. . (𝜹𝒘)𝟐

𝛿𝑞 ≤ 𝜕𝑥 + ⋯ . 𝜕𝑧 + 𝜕𝑢 + ⋯ 𝜕𝑤

INCERTIDUMBRE DEL PRODUCTO Y COCIENTE

Supongamos que tenemos

x, 𝒚, … . 𝒘 𝒄𝒐𝒏 𝒔𝒖𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂𝒔 𝒊𝒏𝒄𝒆𝒓𝒕𝒊𝒅𝒖𝒎𝒃𝒓𝒆𝒔 𝜹𝒙, 𝜹𝒚 … . . 𝜹𝒘

Si hallamos 𝑞 =𝑥×𝑦×⋯𝑧 𝑢×⋯×𝑤

Si las incertidumbres son independientes y aleatorias

𝜹𝒒

𝒒=

𝜹𝒙

𝒙

𝟐

+ ⋯ … .𝜹𝒛

𝒛

𝟐

+ ⋯𝜹𝒖

𝒖

𝟐

+. . (𝜹𝒘

𝒘)𝟐

𝜹𝒒

𝒒≤

𝜹𝒙

𝒙+ ⋯

𝜹𝒛

𝒛+

𝜹𝒖

𝒖+ ⋯ . .

𝜹𝒘

𝒘

ERRORES EN FUNCIONES DE UNA

VARIABLE

Analíticamente

El error absoluto de 𝑞 es: 𝛿𝑞 =𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥𝛿𝑥

𝜹𝒒 = 𝒒 𝒙 + 𝜹𝒙 − 𝜹𝒙

Usando la aproximación de calculo:

𝒒 𝒙 + 𝒖 − 𝒒 𝒙 =𝒅𝒒

𝒅𝒙𝒖

𝜹𝒒 = 𝒒 𝒙 + 𝜹𝒙 − 𝜹𝒙 =𝒅𝒒

𝒅𝒙𝜹𝒙

Entonces

Si

𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃 = (20 ± 3) 0

𝛿𝑥 =𝑑(𝑐𝑜𝑠𝜃)

𝑑𝜃𝛿𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝛿𝜃 = 0,34 × 0,05 = 0,02 (𝑟𝑎𝑑)

𝑐𝑜𝑠200 = 0,94

𝒙 = 𝟎, 𝟒𝟏 ± 𝟎, 𝟎𝟐

SI MEDIMOS EL ÍNDICE DE REFRACCIÓN 𝑛 =𝑠𝑒𝑛𝑖

𝑠𝑒𝑛𝑟

𝜹𝒏

𝒏=

𝜹𝒔𝒆𝒏𝒊

𝒔𝒆𝒏𝒊

𝟐

+𝜹𝒔𝒆𝒏𝒓

𝒔𝒆𝒏𝒓

𝟐

Para un ángulo 𝜃

𝜹𝒔𝒆𝒏𝜽 =𝒅(𝒔𝒆𝒏𝜽)

𝒅𝜽𝜹𝜽 = cos𝜽 𝜹𝜽

𝜹𝒔𝒆𝒏𝜽

𝒔𝒆𝒏𝜽= 𝒄𝒐𝒕𝜽 𝜹𝜽 (𝒆𝒏 𝒓𝒂𝒅)

i (grad) r (grad) seni senr n 𝒅(𝒔𝒆𝒏𝒊)

𝒔𝒆𝒏𝒊

𝒅(𝒔𝒆𝒏𝒓)

𝒔𝒆𝒏𝒓

𝜹𝒏

𝒏

20 13 0,342 0,225 1,52 5% 8% 9%

Verificar

ERROR EN FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

Sean x, y con errores 𝜹𝒙 , 𝜹𝒚

Calcular 𝒒 = 𝒇(𝒙, 𝒚)

Mediante el desarrollo en serie para el caso de varias

variables

𝒇 𝒙 + 𝜹𝒙, 𝒚 + 𝜹𝒚 = 𝒇 𝒙, 𝒚 +𝝏𝒇

𝝏𝒙𝜹𝒙 +

𝝏𝒇

𝝏𝒚𝜹𝒚 + ⋯ . .

Por lo tanto:

𝜹𝒒 = 𝒇 𝒙 + 𝜹𝒙, 𝒚 + 𝜹𝒚 − 𝒇 𝒙, 𝒚 ≈𝝏𝒇

𝝏𝒙𝜹𝒙 +

𝝏𝒇

𝝏𝒚𝜹𝒚 + ⋯ . .

𝑆𝑒𝑎: 𝑞 = 𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2

𝑥 = 3,0 ± 0,1 𝑦 = 2,0 ± 0,1

𝜹𝒒𝒙 =𝝏𝒒

𝝏𝒙𝜹𝒙 = 𝟐𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 𝝏𝒙 = 𝟏𝟐 − 𝟒 × 𝟎, 𝟏 = 𝟎, 𝟖

𝜹𝒒𝒚 =𝝏𝒒

𝝏𝒚𝜹𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 𝝏𝒚 = 𝟗 − 𝟏𝟐 × 𝟎, 𝟏 = 𝟎, 𝟑

𝜹𝒒 = 𝜹𝒒𝒙𝟐 + 𝜹𝒒𝒚

𝟐

𝜹𝒒 = 𝟎, 𝟖 𝟐 + 𝟎, 𝟑 𝟐 = 𝟎, 𝟗

𝒒 = 𝟔, 𝟎 ± 𝟎, 𝟗