1 Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina www.faena.edu.ar [email protected]PRIMER BLOQUE MATEMATICA “Está permitida la reproducción total o parcial de parte de cualquier persona o institución que lo considere de utilidad para todo fin educativo.” FAENA.
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[email protected] _UNIDAD_1: Conjuntos – Relaciones y funciones Conjuntos. Elementos de un conjunto. Escritura de conjuntos. Diagramas de Venn. Relación de pertenencia. Diferentes
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Nivel Medio I-104 Provincia del Neuquén Patagonia Argentina
Si usted desea imprimir este material en color “Negro” (escala de grises) tan solo tiene que escoger la opción “negro” en las opciones de la impresora.
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_UNIDAD_1: Conjuntos – Relaciones y funciones
Conjuntos.
Elementos de un conjunto.
Escritura de conjuntos.
Diagramas de Venn.
Relación de pertenencia.
Diferentes tipos de conjuntos.
Subconjuntos. Conjuntos especiales.
Conjuntos iguales.
Propiedades de la inclusión entre conjuntos.
Operaciones entre conjuntos.
Propiedades de las operaciones entre conjuntos.
Pares ordenados.
Producto cartesiano.
Relación binaria.
Relación de equivalencia.
Relación de orden.
_UNIDAD_2: Geometría del plano y del espacio
Geometría del plano.
Relaciones fundamentales entre puntos, rectas y planos.
Concepto de segmento, semirrecta y semiplano.
El paralelismo en el plano.
Ángulos.
Polígonos.
Cuadriláteros.
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_UNIDAD_3: Números naturales
Conjunto de los números naturales.
Propiedades de los números naturales.
Orden de los números.
Diferentes sistemas de numeración.
Operaciones aritméticas con números naturales.
Propiedades de las operaciones con números naturales.
Ecuaciones.
Potenciación.
Propiedades de la potenciación.
Radicación.
Propiedades de la radicación.
_UNIDAD_4: Números enteros
Conjunto de los números enteros.
Definición y propiedades de los números enteros.
Representación en la recta numérica.
Valor absoluto.
Operaciones con números enteros.
Suma y resta con paréntesis, corchetes y llaves.
Otras operaciones con números enteros.
Operaciones con potencia y raíz.
Ecuaciones con números enteros.
Lenguaje coloquial y lenguaje matemático.
ACERCA DE ESTE MODULO
¿QUÉ CONTIENE Y CÓMO SE USA?
Este módulo está compuesto por cuatro unidades en las que se
despliegan los contenidos correspondientes al primer bloque de Matemática.
Para cada unidad encontrará actividades acordes que le permitirán poner en
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práctica los conceptos estudiados y poner a prueba su aprendizaje, lo cual deja
abierta la posibilidad de volver atrás y revisar lo ya aprendido si lo considera
necesario.
Al finalizar el módulo encontrará la bibliografía de referencia que le
permitirá profundizar en los contenidos trabajados, y responder a las dudas que
le suscite la lectura de este material.
La estructura de este módulo de estudio permite visualizar con claridad
los conceptos, que se encuentran apartados entre sí, lo cual facilita la
elaboración y comprensión de los mismos. Encontrará cuadros, esquemas y
palabras resaltadas que colaborarán para una mejor comprensión de los
contenidos.
Al final de cada unidad encontrará actividades de tipo evaluativas que
podrán ser tomadas para evaluaciones futuras y que usted puede usar a modo
de simulacro, para poner a prueba los conocimientos adquiridos a lo largo de
toda la unidad. Se recomienda cumplir con este trabajo de cierre ya que le
permitirá relacionar unos contenidos con otros y darle una conclusión al trabajo
realizado a lo largo de todo la unidad.
Todo lo que usted aporte a lo propuesto por este material, profundizará
su aprendizaje y su dominio sobre la materia. Es un trabajo que depende de
cada uno y que se trata de una inversión. “Quien más lee más sabe”, una
afirmación casi obvia pero poco practicada. Es de este modo cómo uno logra
diferenciarse, crecer y desarrollar un proceso propio.
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DESARROLLO DE CONTENIDOS DEL BLOQUE 1. PRIMER AÑO
A modo de introducción:
En este módulo se desarrollan los contenidos del primer bloque de
Matemática. En dichos temas, teoría de conjuntos, geometría, y conjuntos de
números naturales y enteros, se abordarán los contenidos desde lo más
general a lo particular. Se presentará primero la teoría del tema estudiado y
luego con ejemplos se aplicara lo aprendido. Seguido de cada tema
presentado, encontrara ejercicios para fijar los conceptos aprendidos.
En primera instancia se verán los conjuntos, estructuras muy
importantes en la teoría matemática. Se analizaran sus distintas propiedades y
formas de relacionarse entre ellos.
En segundo lugar se tocará el tema de la geometría. Se abordarán en
primer lugar los puntos, rectas y planos. Luego será definido el concepto de
ángulo y sus distintas formas de medirlo. Se presentara el sistema
sexagesimal, muy útil a la hora de trabajar con ángulos. El tema siguiente
serán los polígonos, que aunque parezcan abstractos, éstos entes son de
importancia en todas las ramas de las ciencias (estructuras atómicas, etc).
Por ultimo, se presentaran los conjuntos de los números naturales y de
los enteros. Se le dará una connotación histórica a éste tema y se vera la
ampliación de los conjuntos numéricos a medida que se fueron acomplejando
los cálculos. Se analizaran sus distintas propiedades y se aprenderá a resolver
ecuaciones. Para todos éstos temas encontrara ejemplos y ejercicios que
ayudarán al alumno a entender y aplicar los conceptos aprendidos.
Los contenidos abordados en este módulo constituyen un conjunto
básico de saberes que cualquier individuo debe manejar para un buen
desarrollo en todo lo que hace a la vida, tanto en el campo personal como
laboral.
Les dedicamos un buen y entusiasta recorrido de la materia.
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OBJETIVOS PARTICULARES DE CADA UNIDAD
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 1 Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
Que el alumno conozca lo que es un conjunto.
Que sepa representar diagramas de Venn.
Que diferencie y sepa trabajar con los distintos conjuntos.
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 2 Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
Que el alumno interprete los conceptos de puntos y rectas en dos
dimensiones.
Que reconozca las rectas paralelas, secantes y perpendiculares.
Que sepa clasificar los ángulos.
Que sepa operar en el sistema sexagesimal.
Que reconozca polígonos y su clasificación.
Que entienda el concepto de vector, muy importante en las áreas
tecnológicas y de ingeniería.
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 3 Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
Que el alumno reconozca los números naturales.
Que logre operar correctamente en los diferentes ejercicios que puedan
surgir.
Que pueda llegar a obtener la incógnita en una ecuación.
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 4 Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
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Que el alumno reconozca los números enteros.
Que logre operar correctamente en los diferentes ejercicios que puedan
surgir.
Que pueda llegar a obtener la incógnita en una ecuación.
Que logre traducir una expresión matemática escrita en palabras a una
ecuación matemática.
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_UNIDAD_1: CONJUNTOS – RELACIONES Y FUNCIONES
CONJUNTOS “Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen
una propiedad en común”. Esta definición fue creada por Georg Cantor hace
100 años.
Como este es un concepto primario, el conjunto no puede definirse; sólo se
puede dar una idea intuitiva de el. Se denota con letras mayúsculas e imprenta.
Ejemplos: los alumnos de un colegio, los números impares, los meses del año,
etc., siendo cada alumno del colegio, cada número impar, cada mes del año,
respectivamente, elementos de cada uno de los correspondientes conjuntos.
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ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
Elemento es cada uno de los objetos por los cuales esta conformado un
conjunto.
Los elementos se representan con letras minúsculas.
Ejemplo: los ejemplos tomados anteriormente en el concepto de conjunto.
Luis, Antonio, Paula, son los elementos del primer conjunto, porque ellos son
alumnos de colegio. 1,3,5 son elementos del segundo conjunto porque son
números impares.
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ESCRITURA DE CONJUNTOS
Un conjunto puede escribirse de dos formas:
1. Por extensión: consiste en anotar todos los elementos que pertenecen
al conjunto entre llaves.
2. Por comprensión: consiste en anotar entre llaves una propiedad
característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos.
Ejemplo:
Por extensión: A = {Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto,
septiembre, octubre, noviembre, diciembre}
Por comprensión: A = {meses del año}, o bien, de esta otra forma: A = {x / x
es un mes del año}, que se lee: A es el conjunto de elementos x tales que x es
un mes del año.
Ejemplo:
Por extensión: B = {Pulgar, Índice, Mayor, Anular, Meñique}
Por comprensión: B = {dedos de la mano}, o bien, de esta otra forma: B = {x /
x es dedo de la mano}, que se lee: B es el conjunto de elementos x tales que x
es un dedo de la mano.
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DIAGRAMAS DE VENN
El diagrama de Venn es la representación gráfica de un conjunto en la cual se
sitúan dentro de una línea cerrada los signos representativos de los elementos
del conjunto.
En la figura se muestra el diagrama de Venn del conjunto A:
A = a, b, c, d, e .
Diagrama de Venn
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RELACION DE PERTENENCIA
Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto, así, si un elemento
pertenece al conjunto, y se representa de esta forma.
Ejemplo: A = {x / x es dedo de la mano}
b = índice
entonces:
b A Cuando un elemento no esta en el conjunto, entonces dicho elemento no
pertenece al conjunto, y se representa de la siguiente manera.
Ejemplo: A = {x / x es mes del año}
b = índice
entonces:
b A
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DIFERENTES TIPOS DE CONJUNTOS
Conjunto Finito: Se denomina así al conjunto al cual podemos nombrar su
último elemento. Es decir, es un conjunto que posee una cantidad finita (que
puede contarse) de elementos.
Ejemplo: M = {x / x es mes del año}
Por que sabemos que el último mes es Diciembre.
Conjunto Infinito: Se denomina así al conjunto al cual no podemos nombrar
su último elemento. Es decir, un conjunto que posee una cantidad infinita de
elementos.
Ejemplo: M = {x / x es número natural}
Por que no sabemos cual es el último número
Conjunto Universal o Referencial: Se denomina así al conjunto formado por
todos los elementos del tema de referencia y se simboliza con la letra U y se
representa por medio de un rectángulo.
Ejemplo: U ={x / x es un animal}
U ={x / x es un mamífero}
U ={x / x es un reptil}
Conjunto vacío: Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A
pesar de no tener elementos se lo considera como conjunto y se representa de
la siguiente forma: { }
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Ejemplos:
_ El conjunto F es aquel que contiene los meses del año que terminan con a.
_ El conjunto F es aquel que contiene los números impares múltiplos de 2.
Conjunto unitario: Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo: Conjunto de los meses del año que tiene menos de treinta días,
solamente febrero pertenece a dicho conjunto.
B = febrero
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SUBCONJUNTOS. CONJUNTOS ESPECIALES
Subconjuntos: Sean dos conjuntos A y B.
Se dice que A es subconjunto de B o que A está incluido en B, y se anota
A B, cuando todo elemento de A es también un elemento de B.
Ejemplo: A = 1,2,3,4 y B = 1,2,3,4,5,6
Como todo elemento de A es también un elemento de B, se concluye que
A B.
OBSERVACIONES:
_ el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
_ todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
Conjuntos disjuntos: Se llaman conjuntos disjuntos a aquellos que no tienen
ningún elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.
Ejemplo: Los dos conjuntos siguientes:
C = {x / x es un número natural} y D = {x / x es un día de la semana}
Son disjuntos ya que no tienen ningún elemento común.
Conjunto de partes: Se llama así al conjunto formado por todos los
subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los
elementos son, a su vez, conjuntos. Se representan por p(A).
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Ejemplo: Dado el conjunto: A = {a , b , c , d.}
Formemos todos sus subconjuntos:
M = {a} , N = {b} , P = {c} , Q = {d} , R = {a , c} , T = {a , d} , U = {b , c} , V = {b ,
d} ,
X = {c , d} , Y = {a , b , c} , Z = {a , b , d} , L = {b , c ,d}
El conjunto de las partes de A, es decir (A), será: p(A) = { , M, N, P, Q, R, S, T,
U, V, X, Y, Z, L, A}
Se observa que el conjunto vacío y el mismo conjunto A forman parte del
conjunto de partes (valga la redundancia).
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CONJUNTOS IGUALES
Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todos los elementos del primero
son iguales a todos los elementos del segundo y todo elemento del segundo es
elemento del primero.
En términos matemáticos:
Sean dos conjuntos A y B. Se dice que A es igual a B, y se anota A = B,
cuando A B y B A ; o sea, A está incluido en B y a la vez B está incluido en
A.
En símbolos: ( A = B ) ( A B ) ^ ( B A )
Aclaraciones:
_ significa equivalencia, si y solo si. Sirve para unir en ambos sentidos dos
proposiciones.
_ ^ significa y.
Ejemplo: Los dos siguientes conjuntos: {x / x es un número natural} {x / x es un
número entero positivo} son iguales, ya que todo número entero positivo es un
número natural.
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PROPIEDADES DE LA INCLUSION ENTRE.CONJUNTOS
Como dijimos antes:
El conjunto A esta incluido en B si todos los elementos del conjunto A
pertenecen al conjunto B, y se escribe:
A B A esta incluido en B
1. Propiedad reflexiva: Todo conjunto está incluido en si mismo. Esto se
expresa de la siguiente forma:
A A
Ese símbolo significa que está incluido y es que es (o puede ser) igual. Es
equivalente al símbolo menor o igual .
2. Propiedad antisimétrica: Dados dos conjuntos A y B, si A está contenido
en B, y B esta incluido en A, entonces A es igual a B. Es decir:
siA ByB A→A B
3. Propiedad transitiva: Si un conjunto A está incluido en otro conjunto B y a
su vez B esta incluido en C, A esta incluido en C. Sean los conjuntos:
A = {a, b, c}; B = {a, b, c, d, n}; C = {a, b, c, d, n, m}
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En los cuales se observa con claridad que si los elementos del conjunto A son
elementos del conjunto B, y los del conjunto B son también elementos del
conjunto C, los elementos de A serán elementos de C. En símbolos:
si A B y B C → A C
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OPERACIONES.ENTRE CONJUNTOS
Unión de conjuntos: Sean dos conjuntos A y B, y sea U el conjunto universal,
es decir, A U y B U. Se denomina unión de un conjunto A con un conjunto
B, a un nuevo conjunto A B, se lee A unión B, que tiene como elementos a
aquellos que están en A o están en B, o bien que pertenecen a ambos
conjuntos.
En símbolos: A B = {x E / x A x B}
Se introdujo un nuevo símbolo : y significa o.
Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {d, f g, h} y B = {b, c, d, f}
La unión de dichos conjuntos será: AUB = {d, f, g, h, b, c}
Como se observa, los elementos repetidos se escriben una sola vez.
Unión de un conjunto consigo mismo: sea el conjunto A que es subconjunto
de U, la unión del conjunto A consigo mismo es el conjunto A.
Es decir: A A = A
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Unión de un conjunto y un subconjunto del mismo: Sean A y B dos
conjuntos y B A, la unión de ellos da como resultado el conjunto A.
Es decir: A B = A
Unión de un conjunto con el conjunto vacío: sea A un conjunto cualquiera y
sea el conjunto vacío; la unión de ellos da como resultado el conjunto A.
Es decir: A = A
Unión de más de dos conjuntos: sean los conjuntos A, B y C; la unión de
ellos, A B C es otro conjunto que tiene como elementos a aquellos que
pertenecen a todos los conjuntos.
Es decir: A B C = x / x E A x E B x E C
Intersección de conjuntos: sean dos conjuntos A y B, y A D y B D.
Se denomina intersección de un conjunto A con un conjunto B a un nuevo
conjunto A B, se lee, A intersectado con B, que tiene como elementos a
aquellos que pertenecen a A y que también pertenecen a B.
En símbolos: A B = {x D / x A x B}
Ejemplo: Dados los conjuntos A = { c, d, e, a, b } y B = { a, b, m, n, p }, su
intersección será: A B = {a , b}
La representación gráfica de dicha intersección esta representada en la figura,
en la cual la intersección es la parte en la que se encuentran únicamente los
elementos a y b.
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Intersección de un subconjunto consigo mismo: sea el conjunto A que es
subconjunto de D, la intersección del conjunto A consigo mismo es el conjunto
A.
Es decir: : A A = A
Intersección de un conjunto y un subconjunto: sean A y B dos conjuntos y
B A; la intersección de ellos da como resultado el subconjunto B.
Es decir: A B = B
Intersección de un conjunto con el conjunto vacío: sea A un subconjunto
cualquiera y el conjunto vacío; la intersección de ellos da como resultado .
Es decir: A =
Intersección de conjuntos disjuntos: sean A y B dos conjuntos distintos
cualesquiera, la intersección de ellos da como resultado el conjunto vacío .
Esto se debe a que no tienen elementos en común.
Intersección de más de dos conjuntos: sean los conjuntos A, B y C, la
intersección de ellos A B C, es otro subconjunto que tiene como elementos
a aquellos que son comunes a todos los conjuntos.
Es decir: A B C = x / x A x B x C
Se lee, A intersectado con B intersectado con C.
Diferencia de conjuntos: sean dos conjuntos A y B. Se denomina diferencia
de A y B, A – B (se lee A menos B), a un nuevo conjunto que tiene como
elementos a aquellos que pertenecen a A, pero que no pertenecen a B.
En símbolos A – B = { x U / x A x B}
Ejemplo: Si A = {a, b, c, d, e} y B = {a, b, m, n, p}, A - B = {c, d, e.}.
La representación gráfica se encuentra en la figura anterior.
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Complemento de un conjunto con respecto a otro:
Si A es un subconjunto de D, se llama complemento de A y se representa por
CA o A’, al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a D y no
pertenecen a A.
En símbolos: A‟ = { x / x D y x A}
Expresado más claramente: A‟ = D - A
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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.
UNION.
Asociatividad: la unión de conjuntos permite asociarlos; o sea, agruparlos de
distinta forma, obteniéndose el mismo conjunto como resultado.
Es decir: A ( B C ) = ( A B ) C.
Conmutatividad: la unión de conjuntos permite la conmutatividad; o sea, el
orden de los conjuntos da como resultado el mismo conjunto.
Es decir: : A B = B A
O también: A B C = C B A
INTERSECCIÓN.
Asociatividad: la intersección de conjuntos permite asociarlos; o sea,
agruparlos de distinta forma, siendo el conjunto resultado el mismo.
Es decir: A ( B C ) = ( A B ) C
Conmutatividad: la intersección de conjuntos permite la conmutatividad; o
sea, el orden de los conjuntos da como resultado el mismo conjunto.
Es decir: : A B = B A
O también : A B C = A C B
Ley distributiva: Tiene también dos formas de expresión:
De la unión respecto de la intersección: ( A B ) U C = ( A U C ) ( B U C )
De la intersección respecto de la unión: ( A U B ) C = ( A C ) ( B C )
DIFERENCIA.
Asociatividad: no cumple ésta condición.
Es decir: A – ( B – C ) ( A – B ) – C
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Conmutatividad: no cumple ésta condición.
Es decir: A – B B – A
Ley distributiva:
_ La diferencia es distributiva con respecto a la unión.
Es decir: (A B ) – C = ( A – C ) ( B – C )
_ La diferencia es distributiva con respecto a la intersección
Es decir: ( A B ) – C = ( A – C ) ( B – C)
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EJERCICIOS:
1) Escribir por extensión los siguientes conjuntos:
A x / x Z y |x| ≤ 5
B = x / x Z y -5< x < 3 se lee x menor que 3 y mayor que -5
C = x / x N y 2 < x < 6
D = x /x N y x es divisor de 6
2) Hallar la intersección de los siguientes conjuntos:
A = { A, B, C, D, E, F} B = { A, J, C, R, D, S, F}
3) Hallar la intersección de los conjuntos C, D.
C = { 5, 7, 9, 15, 19, 23} D = { 5, 7, 11, 13, 19, 23}
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PARES ORDENADOS
Muchas veces se tienen que considerar entes formados por dos elementos,
pero éstos no juegan un mismo rol; a ellos se les denomina pares ordenados.
No se debe confundir, sin embargo, éste conjunto par ordenado, que se anota
(a , b) con el conjunto a , b .
Definición: ( a , b ) = a , a , b
Donde a se denomina primer componente del par o antecedente del par y b se
denomina segundo componente del par o consecuente del par.
OBSERVACIONES.
1_ la condición necesaria y suficiente para que dos pares ordenados sean
iguales es que los antecedentes sean iguales y que los consecuentes también
sean iguales.
Es decir: (a,b) = (c,d) ssi a = c y b = d.
Apareció otro nuevo símbolo: ssi que quiere decir si y solo si.