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Actividad No. 3 HISTORIA DEL CALCULO INTEGRALTEOREMA FUNDAMENTAL
DEL CALCULODEFINICION LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDASUMADE
RIEMANNPROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDATEOREMA DE
EXISTENCIAFUNCION PRIMITIVAMETODOS DE INTEGRACION
HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL
La integracin se puede trazar en el pasado hasta el antiguo
Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Mosc, donde se demuestra
que ya se conoca una frmula para calcular el volumen de un tronco
piramidal. La primera tcnica sistemtica documentada capaz de
determinar integrales es el mtodo de exhauscin de Eudoxo (circa 370
a. C.), que trataba de encontrar reas y volmenes a base de
partirlos en un nmero infinito de formas para las cuales se
conocieran el rea o el volumen.Este mtodo fue desarrollado y usado
ms adelante por Arqumedes, que lo emple para calcular reas de
parbolas y una aproximacin al rea del crculo. Mtodos similares
fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del
siglo III por Liu Hui, que los us para encontrar el rea del crculo.
Ms tarde, Zu Chongzhi us este mtodo para encontrar el volumen de
una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronoma del
siglo XII del matemtico indio Bhaskara II, se encuentran algunas
ideas de clculo integral.Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer
adelantos significativos sobre el mtodo de exhauscin. En esta poca,
por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su mtodo de los
indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empez
a desarrollar los fundamentos del clculo moderno. A comienzos del
siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de
Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una
conexin entre la integracin y la derivacin.Newton y Leibniz
Los principales adelantos en integracin vinieron en el siglo
XVII con el descubrimiento del teorema fundamental del clculo,
realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema
demuestra una conexin entre la integracin y la derivacin.La
integracin fue rigurosamente formalizada por primera vez por
Riemann, empleando lmites.TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
Elteorema fundamental del clculoconsiste (intuitivamente) en la
afirmacin de que laderivacineintegracinde unafuncinson operaciones
inversas. Esto significa que toda funcin continua integrable
verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este
teorema es central en la rama de lasmatemticasdenominadaanlisis
matemticoo clculo.
El teorema es fundamental porque hasta entonces el clculo
aproximado de reas -integrales- en el que se vena trabajando desde
Arqumedes, era una rama de las matemticas que se segua por separado
al clculo diferencial que se vena desarrollando porIsaac
Newton,Isaac BarrowyGottfried Leibnizen elsiglo XVIIIy dio lugar a
conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran
investigadas como formas de estudiarreasyvolmenes, hasta que en ese
punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que
el estudio del "rea bajo una funcin" estaba ntimamente vinculado al
clculo diferencial, resultando la integracin, la operacin inversa a
la derivacin.
DEFINICION LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDAINTEGRAL INDEFINIDA:
es la funcion F(x) de la cual proviene f(x). Se le conoce como
antiderivada o funcion primitiva y se obtiene al aplicar la regla
de derivacion al reves (al final se le agrega una constante C de
integracion)INTEGRAL DEFINIDA: La integral definida es un concepto
utilizado para determinar el valor de las reas limitadas por curvas
y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus
puntos x, se define una funcin f (x) que es mayor o igual que 0 en
[a, b], se llama integral definida de la funcin entre los puntos a
y b al rea de la porcin del plano que est limitada por la funcin,
el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y
x = b.La integral definida de la funcin entre los extremos del
intervalo [a, b] se denota como:
SUMADE RIEMANN
es un mtodo de integracin numrica que nos sirve para calcular el
valor de una integral definida, es decir, el rea bajo una curva,
este mtodo es muy til cuando no es posible utilizar el Teorema
fundamental del clculo. Estas sumas toman su nombre del matemtico
alemn Bernhard Riemann.La suma de Riemann consiste bsicamente en
trazar un nmero finito de rectngulos dentro de un rea irregular,
calcular el rea de cada uno de los rectngulos y sumarlos. El
problema de este mtodo de integracin numrica es que al sumar las
reas se obtiene un margen de error muy grande.PROPIEDADES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDAPropiedades de la integral
definida1.El valor de la integral definidacambia de signo si se
permutan los lmites de integracin.
2.Si los lmites que integracin coinciden, laintegral
definidavalecero.
3.Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral
definidase descompone como una suma de dos integrales extendidas a
los intervalos [a, c] y [c, b].
4.Laintegral definidade una suma de funciones es igual a la suma
de integrales
5.La integral del producto de una constante por una funcin es
igual a la constante por la integral de la funcin.
Propiedades de la integral indefinida
1.La integral de una sumade funciones es igual a lasuma de las
integralesde esas funciones.
2.Laintegral del producto de una constantepor una funcin es
igual a laconstante por la integralde la funcin.
TEOREMA DE EXISTENCIAEs un teorema con un enunciado que comienza
'existe(n)...', o ms generalmente 'para todo x, y, ...existe(n)
...'. Esto es, en trminos ms formales de lgica simblica, es un
teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial.
Muchos teoremas no lo hacen explcitamente, como es usual en el
lenguaje matemtico estndar, por ejemplo, el enunciado de que la
funcin seno es una continua, o cualquier teorema escrito en la
notacin O.FUNCION PRIMITIVAFuncin primitivaoantiderivadade una
funcin dada f(x), es otra funcin F(x) cuya derivada es la funcin
dada.
Si una funcin f(x) tiene primitiva, tieneinfinitas primitivas,
diferencindose todas ellas en unaconstante.
METODOS DE INTEGRACIONMtodo de integracin por sustitucinElmtodo
de integracin por sustitucinopor cambio de variablese basa en
realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir
el integrando en algo sencillo con unaintegralo anti derivada
simple.Mtodo de integracin por partess el que resulta de aplicar el
siguiente teorema:Regla mnemotcnica: "Un Da Vi Una Vaca menos
flaca(menos integral)Vestida De Uniforme".Eligiendo adecuadamente
los valores dey, puede simplificarse mucho la resolucin de
laintegral.
Mtodo de integracin por cambio de variablesEl cambio de
variables es uno de los mtodos ms usados en la integracin. Permite
expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un
nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para
integrales simples de una sola variable sies la variable original
yes una funcin invertible, se tiene:
Referencias:http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo
http://matematica.wikia.com/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integral
http://www.hiru.com/matematicas/la-integral-definida
http://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_Riemann
http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_existencia
http://www.ditutor.com/indefinidas/funcion_primitiva.html