---------------------CAPITULO 2-------------------- 17 INTEGRACIÓN En este capítulo examinaremos el proceso de integración mediante dos pasos: El primero es hallar una fórmula que nos de todas las funciones posibles que puedan tener a f como derivada, estas funciones son llamadas Antiderivadas de f, y la fórmula que nos lleva a ellas es la integral indefinida de f. El segundo paso es usar el valor conocido de la función para seleccionar la Antiderivada que en particular queremos para la integral indefinida. La integración y la diferenciación están íntimamente relacionadas; la naturaleza de esta relación es una de las ideas más importantes en matemáticas, y su descubrimiento (hecho por Leibniz y Newton de manera independiente) sigue siendo uno de los avances técnicos más importante de los tiempos modernos. 2.1 ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN _________________________________________________________________________ Definición: Una función F se denomina Antiderivada de la función f en un intervalo I si x f x F ´ para todo valor de x en I La función 2 3 3x x x F es Antiderivada (o primitiva) de la función x x x f 6 3 2 , para todo x real, puesto que , 6 3 ´ 2 x f x x x F , x La función x arcsen x F es Antiderivada de la función 2 1 1 x x f en el intervalo 1 , 1 pues , 1 1 ´ 2 x f x x F 1,-1 x Del ejemplo 2.1 otra Antiderivada de f es la función x definida por 5 3 2 3 x x x , ya que ) ( 6 3 ' 2 x f x x x Por consiguiente si F y son antiderivadas de una función f , entonces difieren en una constante C , es decir C x F x ) ( ) ( Ejemplo 2.1: Ejemplo 2.2:
Segundo Capitulo de calculo integral temas la integral indefinida
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En este capítulo examinaremos el proceso de integración mediante dos pasos: El primero es hallar una fórmula que
nos de todas las funciones posibles que puedan tener a f como derivada, estas funciones son llamadas Antiderivadas de f, y la fórmula que nos lleva a ellas es la integral indefinida de f. El segundo paso es usar el valor conocido de la
función para seleccionar la Antiderivada que en particular queremos para la integral indefinida.
La integración y la diferenciación están íntimamente relacionadas; la naturaleza de esta relación es una de las ideas
más importantes en matemáticas, y su descubrimiento (hecho por Leibniz y Newton de manera independiente) sigue
siendo uno de los avances técnicos más importante de los tiempos modernos.
OBSERVACIÓN: Para un mejor entendimiento de los ejemplos dados a continuación se debe tener en cuenta las propiedades, reglas de la integral indefinida y las fórmulas de la tabla de integrales.
En algunos casos, empleando transformaciones idénticas de la función subintegral, la integral dada puede reducirse a otra, a la que podemos aplicar las reglas principales de integración y utilizar la tabla de integrales.
2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN DE LA VARIABLE
La sustitución de la variable es uno de los procedimientos principales de la integración de funciones.
Dada la integral indefinida , sea xgu y dxxgdu ' .
Si F es una Antiderivada de f , entonces
CxgFCuFduufdxxgxgf `
En la práctica la función xgu se elige de modo que la integral en el miembro derecho sea más simple que la
inicial, es decir una vez reconocido el factor xg , el problema puede resultar tan sencillo que hasta sea posible
resolverlo mentalmente, además el éxito depende muchas veces de algunos artificios adicionales y de la manipulación algebraica que usted tenga.
La observación anterior se ilustra en el siguiente ejemplo:
Calcular las integrales:
a) dxe
e
x
x
1
2
b)
12 xx
dx
a) dxe
e
x
x
1
2
Hacemos 1 xeu , expresamos x en función de u ,
1ln 221
21 uxueeu xx , entonces
duu
udx
1
22
, luego la integral dada nos queda
Ejemplo 2.7:
OBSERVACIÓN: La mayor parte de los problemas de sustitución resultan mucho más fáciles si se recurren a estos trucos de expresar x en función de u y dx en función de du en vez de hacer lo contrario, es decir,
Hacemos 1 xt , expresando x en función de t obtenemos:
12 tx entonces tdtdx 2 , por consiguiente
Ct
t
dt
tt
tdt
xx
dx
arctan2
12
1
2
12
2
2
En términos de la variable original x , obtenemos
1 donde ,1arctan2
12
xtCx
xx
dx
La observación anterior se ilustra en el siguiente ejemplo:
Calcular la integral dxx
xx
1
332
OBSERVACIÓN: En algunas integrales el integrando es el cociente de dos polinomios en el cual el grado del numerador es mayor o igual que el denominador (fracción racional impropia). En estos casos la integral resulta sencilla si aplicamos la división de polinomios y el algoritmo de la división de estos.
La observación anterior se ilustra en los siguientes ejemplos:
a) 12 xx
dx b) dx
xx
x
2432
23
a) 12 xx
dx
Completando cuadrado en 12 xx se tiene
332 xxxx 2
34 x44 x7
1x4x
Ejemplo 2.9:
Solución:
OBSERVACIÓN: Si una integral implica una expresión de segundo grado de la forma , o la raíz cuadrada de tales expresiones, ésta se puede reducir a una integral inmediata completando cuadrado
Si yH es la Antiderivada de yh y xG es la Antiderivada de xg , entonces
21 CxGCyH CxGyH Solución General, donde 12 CCC constante
arbitraria.
Esta última ecuación representa una familia de funciones que depende de una constate arbitraria C, por lo que se denomina familia de funciones de un parámetro.
Las gráficas de estas funciones forman una familia de curvas de un parámetro en un plano, y sólo una curva de esta
familia pasa por cualquier punto particular 00 , yx
EJEMPLO ILUSTRATIVO
Suponga que se desea encontrar la solución completa de la ecuación diferencial
xdx
dy2
Al separar las variables y escribir la ecuación con diferenciales se obtiene: xdxdy 2
Si se antiderivan los dos miembros de la ecuación se tiene:
xdxdy 2
2
2
1 CxCy
Como C2 – C1 es una constante arbitraria, entonces se puede reemplazar por C; obteniéndose
Cxy 2
La cual es la solución completa de la ecuación diferencial. La ecuación Cxy 2 representa una familia de
funciones de un parámetro. La figura 2.1 muestra las graficas de las funciones que corresponden a
Además tan'y , donde es el ángulo de inclinación en el punto 11, , con lo que 145tan' y ,
ahora para 1x y 1'y , se tiene:
11
121
3161 21
C
C
C
Reemplazando el valor de 11C , obtenemos posteriormente
1136' 21
xy , pero dx
dyy '
1136 21
xdx
dy Separando variables dxxdy 1136 2
1
Kxxy
dxdxxy
dxxdy
1134
1136
1136
23
21
21
Pero 1y , cuando 1x entonces
2011321
1113141 23
KK
K
Por lo tanto la ecuación de la curva es 201134 21
xxy
Carlos saca un vaso de agua fría del refrigerador y lo deja sobre una mesa. El día soleado y la temperatura de 30º C. Una vez afuera del refrigerador, temperatura del agua era de 0ºC y después de 10 minutos subió a 15ºC.
Determina una ecuación diferencial que modele el cambio de la temperatura en el tiempo, suponiendo que la razón a
la que cambia la temperatura de la bebida es proporcional:
a) A la diferencia entre su propia temperatura y la del medio que lo rodea.
b) Al cuadrado de la diferencia entre su propia temperatura y la del medio que lo rodea.
a) Establezcamos el modelo matemático de la situación. Para ello, observa que:
La frase “razón a la que cambia la temperatura” nos indica que se está hablando de la derivada
Finalmente la función de temperatura en el tiempo es
t
tT
10
30
Determinación del costo a partir del costo marginal
El costo marginal de producir gorras de béisbol a un nivel de producción de x gorras es de 3,2-0,001 x dólares
cada una y el costo de producir 50 gorras es $200. Determine la función de costo.
Solución
Se pide determinar la función de costo xC , dado que la función de costo marginal es de 3,2-0,001 x . Recordamos
que la función de costo marginal es la derivada de la función de costo; entonces xxC 001,020,3
Y se debe determinar xC . Ahora bien, xC debe ser la Antiderivada de xC , por lo que se escribe
Kxx
Kx
x
dxxxC
2
2
0005,020,3
2001,020,3
001,020,3
K es la constante de integración
Ahora, a menos que se conozca un valor de K , en realidad no se conoce la función del costo. Sin embargo, hay otro dato que no hemos tomado en cuenta: el costo de producir 50 gorras de béisbol de $200. En símbolos,
Ya que conocemos cuánto vale K podemos escribir la función de costo 25,410005,020,3 2 xxxC
Antes de seguir… Pregunta ¿Qué significa el término 41,25?
Respuesta Si sustituimos 0x obtendremos
25,4100005,0020,302C
O sea 25,410 C
Así, $41,25 es el costo de producir cero gorras; en otras palabras, es el costo fijo.
2.7 ECUACIÓN LOGÍSTICA
Dos de los modelos de crecimiento de una población que se han utilizado con buen éxito son los de Malthus y el
logístico. En el primero, se supone que la razón de crecimiento de una población es proporcional a la población
misma; es decir,
kpdt
dP
Si la población inicial es P0, no es difícil mostrar que la población está dada por P(t)=P0 ekt. Con este modelo, la
población crece sin medida. Sin embargo, sabemos que los recursos con que ella cuenta no son ilimitados y tendrán
efecto sobre su crecimiento. El modelo logístico incorpora este hecho y establece un límite a la población máxima
que se puede tener. En este caso, la ecuación diferencial apropiada es
r
Pkp
dt
dP1
Donde r y k son constantes positivas y el coeficiente r se conoce como la capacidad máxima de la población.
Expertos en demografía estiman que la máxima población que la Tierra puede sostener es de 30000 millones de
personas. Supón que la población crece siguiendo un modelo logístico, que en el año 2000 había 6000 millones de seres humanos y que en 2005 ya eran 6500 millones, aproximadamente. ¿En cuánto tiempo se alcanzaran 25000 millones de habitantes?
19. Establece una ecuación diferencial para cada una de las siguientes situaciones y resuelve.
a) La población de peces en un lago aumenta con una rapidez proporcional al número de estos que están
presentes en un instante dado.
b) La población de bacterias en un cultivo crece, de forma proporcional al cuadrado del número de bacterias
en un instante dado.
c) La razón de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre esta y la temperatura del medio ambiente.
d) La fortuna de un millonario crece proporcionalmente al cuadrado del dinero que tiene en un instante dado.
20. En el caso de un proceso adiabático en que interviene un gas perfecto, la presión P está relacionada con el
volumen V a través de la ecuación
VC
PC
dV
dP
v
p
Donde CP y Cv son calores específicos del gas a presión y volumen constantes, respectivamente. Resuelve la
ecuación para obtener la presión en función del volumen, suponiendo que la presión es de 4 libras por pulgada cubica, cuando el volumen es de una pulgada cúbica.
21. En cada punto de cierta curva es 312''
xy . Hallar la ecuación de la curva sabiendo que pasa por el punto
0,1 y es tangente en ese punto a la recta 66 yx
22. La población de estados era de 75 millones en 1900 y de 150 millones en 1950. Suponiendo que la tasa de
crecimiento es en cualquier instante proporcional al tamaño de la población, determine el tamaño de la población en un instante t. (Considere a 1900 como t=0). ¿Cuál es la población proyectada para el 2005?
23. La Ley del Enfriamiento de Newton viene dada por la ecuación sTTkdt
dT , donde T es la temperatura
del cuerpo en el instante t y ST es la temperatura ambiente, demuestre que la solución de la ecuación está dada
por kt
S AeTT .
24. El peso de un ser humano, desde el nacimiento hasta la muerte, puede modelarse por la ecuación de Gompertz:
WWbadt
dWln
Donde a y b son constantes apropiadas no nulas. Encuentra una solución de esta ecuación que satisfaga la condición inicial 00 0 WW