Hid Rodina Mica

Universidad Tecnolgica Nacional Facultad Regional Rosario

Ctedra de Fsica I

UNIDAD N 13

DINMICA DE FLUIDOS

Fsica I Ingeniera Mecnica

Ing. Stoppani Fernando 1

CONTENIDOS Introduccin. Lneas de corriente. Ecuacin de continuidad. Teorema de Bernoulli. Aplicaciones del

teorema de Bernoulli. Teorema de la cantidad de movimiento. Viscosidad. Ley de Stokes. Movimiento de

fluidos viscosos a travs de tubos. Deduccin de la ley de Poiseuille. Problemas

DINMICA DE FLUIDOS EN RGIMEN DE BERNOULLI El camino de una partcula individual en un fluido en movimiento se llama lnea de flujo Si el patrn global

de flujo no cambia con el tiempo, entonces tenemos un flujo estable. En un flujo estable, cada elemento

que pasa por un punto dado sigue la misma lnea de flujo. Una lnea de corriente es una curva cuya

tangente en cualquier punto tiene la direccin de la velocidad del fluido en ese punto. Si el patrn de flujo

cambia con el tiempo, las lneas de corriente no coinciden con las de flujo. Consideraremos slo

situaciones de flujo estable, en las que las lneas de flujo y las de

corriente son idnticas.

Las lneas de flujo que pasan por el borde de un elemento de rea

imaginario, como A en la figura, forman un llamado tubo de flujo. Por

definicin de lneas de flujo, si el flujo es estable el fluido no puede

cruzar las paredes laterales de un tubo de flujo; los fluidos de diferentes

tubos no pueden mezclarse.

Consideraremos en general a los lquidos como incompresibles, es decir, su densidad permanecer

constante en todas sus partes; mientras que los gases pueden considerarse incompresibles si las

diferencias de presin de una regin a otra no es muy grande.

El movimiento de los fluidos puede ser de dos tipos ROTACIONAL e IRROTACIONAL. El movimiento es

irrotacional si no existe un momento angular neto de las partculas del fluido en ninguno de los puntos

que ocupa (una pequea rueda de paletas colocada en cualquier lugar del fluido no rotara); en caso

contrario el movimiento sera rotacional.

Finalmente, decir que el estudio que realizamos de la dinmica de fluidos quedar reducido en su mayor

parte al movimiento de los mismos en rgimen laminar estacionario e irrotacional con las condiciones de

incompresibilidad y la no existencia de viscosidad; a tal fluido ideal que se mueve con tales restricciones

diremos que circula en RGIMEN DE BERNOUILLI y a pesar de todas las simplificaciones que hacemos en

su anlisis, tiene una amplia aplicacin en la prctica, como veremos a continuacin.



Caudal o Gasto (Q)

Llamamos Gasto o Caudal o Flujo volumtrico (Q) de una tubera al volumen de fluido que pasa por la

seccin transversal en la unidad de tiempo:

dtdVQ =

como dtdlvyAdldV == queda:

AvQ = o t

VQ =

s

pies

ls

m 33

Ecuacin o Ley de continuidad

Supongamos una masa M de fluido de densidad , limitado por las secciones A1, A2 y el tubo de corriente

(ver Fig.); en un tiempo dt por la seccin A1 penetra una masa M1 de fluido cuyo volumen (sombreado en

la figura) es A1 dl1; mientras que otra masa M2 que ocupa el volumen A2 dl2 sale por la seccin A2, y como

la masa M permanece invariable, por considerar al fluido como incompresible, todo el fluido que en ese

tiempo ha entrado por A1 sale por A2, es decir:

dtdlA

dtdlAdlAdlAMM 2211221121 ===

212211 QQvAvA ==

El nombre " continuidad "significa algo as como que el caudal siempre es continuo, no se interrumpe.

Igualdad que demuestra la ley de continuidad puesto que esta relacin se cumple para dos secciones

cualesquiera del tubo de corriente. En los lugares en que la tubera es de mayor dimetro el fluido se

desplaza con ms lentitud que en los lugares de menor dimetro.

Teorema de Bernoulli

El teorema de Bernouilli fue presentado por primera vez por Daniel Bernouilli (1700-1782) en su obra

Hydrodynamica (1738) enuncindose de la siguiente manera:

En un fluido incompresible y no viscoso en movimiento en rgimen estacionario bajo la accin

de la gravedad, la suma de las alturas geomtricas, piezomtrica y cintica es constante para

los diversos puntos de una lnea de corriente.

2211 vAvA = Ecuacin de continuidad



Consideraremos un elemento de fluido que inicialmente esta entre dos secciones trasversales a y c. En un

determinado dt el fluido que esta en (a) se mueve hasta (b), la masa desplazada es la misma.

dVdVdVdlAdlAdmdm ==== 21221121

La fuerza exterior F1 que acta sobre la seccin A1 habr realizado un

trabajo, en el tiempo dt, de valor: P1 A1 dl1, siendo dl1 el camino que se

ha trasladado la seccin A1. Tambin la fuerza exterior que acta sobre

la seccin A2, habr realizado un trabajo, en el mismo tiempo, igual a: .

P2A2 dl2 , el signo menos nos indica que la fuerza y el camino recorrido

son de sentido contrario.

Calcularemos el trabajo neto efectuado sobre el elemento de fluido

durante el intervalo dt.

dVPPdlAPdlAPdlFdlFdWneto )( 212221112211 === (1) En trabajo neto es igual al cambio de energa mecnica total (cintica y

potencial gravitatoria).

1122211

222 2

121 ghdmghdmvdmvdmdEdEdW PCneto +=+=

1221

22111222

2111

2222 2

121

21

21 dVghdVghdVvdVvghdlAghdlAvdlAvdlAdWneto +=+=

igualando con (1)

1221

222112

21

2221 2

121)(

21

21)( ghghvvPPdVghdVghdVvdVvdVPP +=+=

quedando

La ecuacin es valida solo para estado estacionario, fluido incompresible y sin viscosidad (fluido ideal).

Los subindices 1 y 2 se refieren a dos puntos cualesquiera del tubo de flujo; por lo que se puede escribir:

cteghvP =++ 221

ecuacin de Bernoulli

Dividiendo por g

ctehgv

gP

=++2

21

Fijese que esta forma de la ecuacin de Bernoulli esta expresada en trminos de altura. Definiendo

ALTURA GEOMTRICA (h): es la altura del punto sobre un plano horizontal arbitrario (X).

F1

F2 d c

V2

V1

a b

22221

211 2

121 ghvPghvP ++=++



ALTURA PIEZOMTRICA (h*) es la altura de fluido que sera necesaria para producir la presin hidrosttica

(P). Por el teorema general de hidrosttica P y h* vienen ligados por la ecuacin:

gPhghP

== **

ALTURA CINTICA (h) es la altura que sera necesaria para producir, en cada libre, la velocidad

v. Por consiguiente:

La suma de las tres alturas es llamada en ingeniera CARGA DEL FLUIDO que se mide en unidades

de longitud como lo indica la ecuacin dimensional de cada trmino.

ctegv

gPhhhh =++=++

2

21

"*

Esta frmula es la ecuacin de la conservacin de la energa para el lquido que va dentro del tubo. Al

plantear este choclazo, lo que uno plantea es la conservacin de la energa. Conclusin: Bernoulli no se

puede plantear si el lquido tiene viscosidad. En los lquidos, al rozamiento se lo llama viscosidad.

Conclusiones: A MAYOR SECCIN, MENOR VELOCIDAD (SI EL TUBO ES HORIZONTAL)

A MAYOR VELOCIDAD, MENOR PRESIN (SI EL TUBO ES HORIZONTAL)

A MAYOR SECCIN, MAYOR PRESIN (SI EL TUBO ES HORIZONTAL)

EJEMPLOS DE APLICACIN DEL TEOREMA DE BERNOULLI

TEOREMA DE TORRICELLI:

La velocidad de salida de un lquido en un deposito abierto, por un orificio practicado en pared

delgada, es la que tendra un cuerpo cualquiera cayendo libremente en el vaco desde el nivel del

lquido hasta el centro de gravedad del orificio.

Consideremos un deposito con un orificio de seccin muy pequea (el agujero puede estar en las paredes

o en el fondo del tanque) en comparacin con la superficie libre del lquido que contiene. Al salir lquido

por el orificio, podremos considerar con suficiente aproximacin, que la superficie libre est en reposo

(v2=0). Aplicando el teorema de Bernouilli, a los puntos 1 y 2 obtendremos:

Como P1=P2=Patm , z2-z1=h

2222

2111 2

121

vgzPvgzP ++=++

= M)(2 121 zzgv ghv 21 =

gvhghv

2

21

""2 ==



NOTA: La velocidad con que la que sale el agua no depende de la densidad del lquido ni del tamao del

agujerito.

Si A es el rea de la abertura: ghAAvQ 21 == A causa de las lneas de corriente, cuando se aproximan al orificio, la seccin transversal de la corriente

continua disminuyendo durante un pequeo recorrido fuera del deposito y por lo tanto la ecuacin del

caudal debe utilizarse el rea de seccin mnima llamada seccin contrada (vena contracta).

Para una abertura circular de bordes finos, el rea de la seccin contrada es aproximadamente del 61%

del rea del orificio. Por lo que el caudal practico es: ghAQp 2..61,0=

EL MEDIDOR DE VENTURI

Se utiliza para medir la velocidad (rapidez) de flujo en un tubo. Esta constituido por dos partes distintas,

cada una con una funcin diferente. La primera conocida por elemento primario, es la parte del sistema

que esta en contacto directo con el agua y proporciona algn tipo de interaccin con el flujo. La segunda,

el elemento secundario, es la parte del sistema que transforma estas interacciones en lecturas o registros

deseados.

En la figura anterior se observa la seccin transversal de un tubo venturi, donde se anotan las partes

principales que lo integran. La parte ms angosta se llama garganta.

La diferencia de altura se produce como resultado de la presin reducida en la garganta. La disminucin

como as el aumento de la seccin deben ser graduales para evitar remolinos y asegurar el rgimen

estacionario.

Como 21 hh = la ecuacin queda:

222

211 2

121

vPvP +=+

si en la igualdad anterior es v1 < v2, para que persista la igualdad se ha de verificar que p1 > p2.

22221

211 2

121 ghvPghvP ++=++



A todo aumento de velocidad en una lnea de corriente horizontal de un fluido en movimiento,

corresponde una disminucin de presin. (EFECTO VENTURI).

El manmetro diferencial de la figura nos indica una diferencia de presiones P , entre la parte ancha y

estrecha del tubo horizontal, por el que circula un lquido de densidad . Conocidas las secciones del

tubo (A1 y A2) se puede determinar el gasto de lquido en la tubera. En efecto:

12

122211 vA

AvvAvA ==

, reemplazando en la anterior:

=

+=+ 1

21

21

21

2

2

12121

21

2

2

12

211 A

AvPPv

AAPvP

Como )(2121 =+= HgHg ghPPghghPP , igualando queda:

= 1

21)(

2

2

121 A

AvghHg

=

1

)(22

2

1

1

AA

ghv

Hg

y

==

1

)(22

2

1

111

AA

ghAvAQ Hg

Esta ecuaciones son para fluidos incompresibles y sin friccin (viscosidad cero). Esta ecuacin se puede

multiplicar por un coeficiente CV (coeficiente de venturi) para tener en cuenta un pequeo rozamiento.

CV=0,98 para tuberas de 2 a 8 pulgadas de dimetro y CV=0,99 para tuberas con dimetros menores a 3

pulgadas.

Otra disposicin de un tubo venturi es como la que se muestra en la figura. Quedando,

222

211 2

121

vPvP +=+

12

122211 vA

AvvAvA ==

=

+=+ 1

21

21

21

2

2

12121

21

2

2

12

211 A

AvPPv

AAPvP

Como ` 2121 ghPPghPP =+= , igualando queda:

= 1

21

2

2

121 A

Avgh

=

1

22

2

1

1

AA

ghv y

==

1

22

2

1

111

AA

ghAvAQ

Observar que el liquido manomtrico ahora es el mismo fluido circulante.



TUBO DE PITOT:

Para la medida de la velocidad de la corriente de un lquido, basta

introducir en l un tubo de vidrio doblado como en la en el que

podamos efectuar una medida de las distancias entre los niveles

superiores del lquido en sus dos ramas. Una vez que est en

equilibrio el lquido del interior del tubo, queda en la disposicin de la

figura, aplicando el teorema de Bernouilli a los puntos 1 y 2 situados

al mismo nivel y teniendo en cuenta que el punto 1 no tiene velocidad

con respecto al tubo, la ecuacin de Bernouilli se transforma en:

22212

2221

211 2

121

21

vPPghvPghvP +=++=++

Como, ghvghPP 2221 =+=

Para la medida de la velocidad de gases, el tubo tiene la forma de la figura.

22212

2221

211 2

121

21

vPPghvPghvP +=++=++

Como

ghvghPP HgHg2

221 =+=

Puede emplearse el tubo de Pitot en la medida de velocidades de canoas,

aviones, etc. ya que la velocidad obtenida es la relativa entre el tubo y el fluido en cuyo seno est.

El tubo Venturi mide la velocidad media de toda la corriente del fluido mientras que el tubo Pitot mide

solamente la velocidad en un punto.

SIFN

Para la fsica, un sifn es un caito que se usa para pasar lquidos de un lado a

otro. Lo que uno puede calcular aplicando Bernoulli es la velocidad con que va a

salir el agua. Al igual que pasa en el teorema de Torriccelli, ac tambin la

velocidad es:

Atencin: Ac h es la distancia que va desde la parte de abajo del tubo hasta la superficie del agua. ( Ver

dibujo ). NOTA: La velocidad de salida no depende de la densidad del lquido ni del tamao o forma del

tubo.

ghv 21 =



DINMICA DE LOS FLUIDOS REALES VISCOSIDAD

La viscosidad es el rozamiento interno entre las capas de fluido. A causa de la viscosidad, es necesario

ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizar sobre otra. Tanto los lquidos como los

gases presentan viscosidad, aunque los lquidos son muchos ms viscosos que los gases.

Por el fenmeno de viscosidad la velocidad de los fluidos por los tubos crece desde las paredes al centro

del tubo, ya que en los puntos de contacto con la pared, el fluido se adhiere a ella y las restantes capas

son frenadas, unas con otras, por su viscosidad o frotamiento interno.

Fluido real (con viscosidad) Fluido Ideal (sin viscosidad)

Cuando tiro agua a la pared, la pared queda mojada. Si el agua no tuviera viscosidad la pared quedara

seca. El agua no se pegara porque no tiene viscosidad. La adherencia de un lquido a las paredes depende

de la viscosidad.

Coeficiente de viscosidad. Hiptesis de Navier

El gradiente de velocidad entre dos lminas de fluido en

movimiento es la relacin entre la diferencia de velocidades de las

lminas y la distancia entre ellas. Si v es la diferencia de velocidad

y e la distancia entre las lminas del fluido; ( )e

v

es el gradiente

de velocidad.

Para hacer que una capa lquida se deslice sobre otra, o que una superficie se deslice sobre otra cuando

entre ellas hay una capa de lquido (rgimen laminar), tendremos que ejercer una fuerza F que venza el

rozamiento debido a la viscosidad entre ellas. Esta fuerza tiende a arrastrar al fluido y tambin a la lmina

inferior hacia la derecha, luego para mantenerla en reposo o con la misma velocidad que tena antes de

aplicarle a la lmina superior la fuerza F, ser necesario aplicar una fuerza igual hacia la izquierda a la

lmina inferior, este efecto es similar al de produccin de una deformacin de cizalladura en un slido (ver

elasticidad). El valor de la fuerza F que tenemos que hacer sobre la superficie de rea A para vencer a los

rozamientos por viscosidad y que provoca un gradiente de velocidad, es segn cuantific Henri Navier

(1785-1836):

dedvA

e

vAF =

=



es el coeficiente de viscosidad o simplemente viscosidad, cuyo concepto fsico lo deducimos haciendo

A, v y e , iguales a la unidad, y podremos, as, definir: coeficiente de viscosidad es la fuerza necesaria

para comunicar a la unidad de superficie del lquido la velocidad constante unidad, estando tal superficie a

la distancia unidad de otra, en reposo, del mismo lquido. Este coeficiente da una idea de la fuerza que hay

que hacer para " deformar " al fluido, me dara algo as como la resistencia que opone un lquido a fluir.

Vendra a ser una medida de cunto se frena el lquido cuando circula por un conducto. Cuanto ms

grande sea, mayor ser el rozamiento con las paredes. O sea, este coeficiente es un nmero que da una

idea de la tendencia que tiene el lquido a pegarse a las paredes de un conducto.

La unidad CGS de viscosidad es el CENTIPOISE (cp =dina.s/cm2) o viscosidad de un fluido tal que para

comunicar a una capa de 1 cm2 de l, la velocidad constante de 1 cm/s, con relacin a otra capa distante

de la primera 1 cm hay que aplicarse la fuerza de una dina. La viscosidad del agua es, aproximadamente (1

centipoise).

La unidad en el sistema internacional es el Pascal por segundo POISE (1 P = 0,1 Pa s).

Al coeficiente se le llama en ocasiones COEFICIENTE DE VISCOSIDAD DINMICA, para distinguirlo del

llamado COEFICIENTE DE VISCOSIDAD CINEMTICA , que se define como = , donde es la densidad

del fluido, y que se mide en m2/s.

Una cosa que tenes que saber es que la viscosidad de los lquidos

depende mucho de la temperatura. A mayor temperatura, el lquido es

ms fluido. Es decir, la viscosidad disminuye.

Una aclaracin: Viscosidad no es densidad. Un lquido puede ser muy

denso pero poco viscoso. (El mercurio, por ejemplo).

Otra aclaracin: Si bien la unidad de viscosidad es el Poise, no uses esta

unidad para resolver los problemas. Usa Pa x Seg. (1 Poise = 0,1 Pa x Seg)

Fluido ideal

Un fluido ideal sale por la tubera con una velocidad, gHv 2= ,

de acuerdo con el teorema de Torricelli. Toda la energa potencial

disponible (debido a la altura H) se transforma en energa cintica.

Aplicando la ecuacin de Bernoulli podemos fcilmente comprobar

que la altura del lquido en los manmetros debe ser cero.

H



Fluido viscoso

Por efecto del rozamiento interno o viscosidad hay una prdida de

carga a lo largo del tubo, por lo que el balance de energa es muy

diferente. Al abrir el extremo del tubo, sale fluido con una

velocidad bastante ms pequea. Los tubos manomtricos marcan

alturas decrecientes, informndonos de las prdidas de energa

por rozamiento viscoso. En la salida, una parte de la energa

potencial que tiene cualquier elemento de fluido al iniciar el movimiento se ha transformado

ntegramente en calor. El hecho de que los manmetros marquen presiones sucesivamente decrecientes

nos indica que la prdida de energa en forma de calor es uniforme a lo largo del tubo

Por esta razn introducimos en la ecuacin de Bernoulli, que est expresada en trminos de alturas o

cargas, un nuevo trmino en el segundo miembro que llamaremos hf y es la prdida de carga debida al

frotamiento, quedndonos la ecuacin de la forma:

Ley de Poiseuille

Como veremos a continuacin, Jean Len Poiseuille (1799-1869), demostr la siguiente ley que lleva su

nombre:

El caudal de fluido (volumen por unidad de tiempo) que circula por un tubo cilndrico en

rgimen laminar, es directamente proporcional a la cuarta potencia del radio (R) y a la

diferencia de presiones entre la parte anterior y posterior del tubo ( p ), e inversamente

proporcional a la longitud de ste (l) y al coeficiente de viscosidad del lquido ( )

lpRQ =

pi

8.

4

Consideremos ahora un fluido viscoso que circula en

rgimen laminar por una tubera de radio interior R, y de

longitud L, bajo la accin de una fuerza debida a la

diferencia de presin existente en los extremos del tubo.

El movimiento del fluido es accionado por la fuerza debida a la diferencia de presin entre sus extremos,

menos la fuerza retardadora de viscosidad que acta en su superficie exterior. La primera de las fuerza

vale: F=(p1-p2)pi r2

La fuerza de viscosidad, en virtud es: drdvAF =

fhgv

gPh

gv

gPh +++=++

22

222

2

211

1



Sustituyendo F en la frmula y teniendo en cuenta que el rea A de la capa es ahora el rea lateral de un

cilindro de longitud L y radio r.

drdvlrrpp ..2..).( 221 pipi = =

dvdrl

rpp..2

).( 21

El signo negativo se debe a que v disminuye al aumentar r.

Integrando esta ecuacin, obtenemos el perfil de velocidades en funcin de la distancia radial, al eje del

tubo.

+

=

lrpp

v..4

).( 221

Las condiciones son: r=R v=0

l

Rpp..4).( 221

= )(..4

)( 2221 rRlpp

v

=

ecuacin de una parbola

El flujo tiene por tanto un perfil de velocidades parablico, siendo la velocidad mxima en el centro del

tubo.

Gasto

El volumen de fluido que atraviesa cualquier seccin normal del tubo

en la unidad de tiempo se denomina gasto

El volumen de fluido que atraviesa el rea del anillo comprendido

entre r y r+dr en la unidad de tiempo es: v(2pi rdr). Donde v es la velocidad del fluido a una distancia r del eje del tubo y 2pi rdr es el

rea del anillo

El gasto se hallar integrando

==Rq

drrRlpp

rdQvdAdQ0

2221

0

).(..4

)(...2

pi

Quedando:

lpRQ =

pi

8.

4

El gasto se puede expresar Q=R2, donde es la velocidad media del fluido



RESISTENCIA HIDRODINMICA

Supongamos que tens un tubo por donde circula un lquido. Te dicen que el lquido es viscoso y tiene

coeficiente . Al lquido le cuesta avanzar por el cao. Hay que empujarlo para que se mueva. Es decir, el

lquido quiere avanzar y el cao lo frena. Entonces inventamos una cosa que se llama resistencia

hidrodinmica. A esta magnitud se la indica con la letra RH . Esta resistencia me da una idea de cunto le

cuesta al fluido moverse dentro del tubo.

La frmula para calcular la resistencia hidrodinmica es esta:

Fijate una cosa: la resistencia hidrodinmica cambia si cambian las medidas del tubo. (Es decir, si cambian

la longitud l o el radio R). Pero ojo, porque aunque el cao sea siempre el mismo, la Resistencia

hidrodinmica cambia segn el lquido que vos pongas. Esto pasa porque RH depende tambin del

coeficiente de viscosidad, y cada lquido tiene uno distinto.

Remplazando en la ecuacin de Poiseuille, queda:

HRpQ =

RESISTENCIAS EN SERIE

Fijate lo que pasa cuando tengo dos tubos uno detrs del otro. A esto se lo llama conexin "en serie. Los

tubos pueden tener distinto largo y distinto dimetro. Dentro de los tubos hay un fluido que tiene

viscosidad. La pregunta es:

Qu resistencia hidrodinmica tiene el conjunto de los 2 tubos? Puedo reemplazar a los 2 tubos por

uno solo que tenga una resistencia hidrodinmica equivalente?

O sea, la idea es buscar la resistencia equivalente de los dos tubos. Se la llama resistencia equivalente o

resistencia total. ( RHT ). Supongamos que el tubo 1 tiene una resistencia RH1 y el tubo 2 tiene una

resistencia RH2.

Para dos tubos en serie, la resistencia equivalente sera la suma de las resistencias. Es decir el caudal que

fluye por estos dos tubos es equivalente al que fluira por un solo tubo con una resistencia igual a la suma

de las 2 resistencias. Este mismo razonamiento se aplica para cualquier cantidad de tubos conectados en

serie (se suman las R).

RESISTENCIA

HIDRODINMICA

RH1 RH2

RHT

21 HHHT RRR +=

4.

.8R

lRHpi

=



POTENCIA

A veces piden calcular la potencia que se gasta para hacer circular un lquido viscoso. Se habla de potencia

gastada, potencia consumida o de potencia que hay que entregar.

Esta potencia es la energa disipada por el rozamiento por unidad de tiempo. Es energa que se libera en

forma de calor.

En hidrodinmica la frmula para calcular la potencia es:

En esta frmula Q es el caudal que circula. Va en m3/seg. P es la diferencia de presin entre la entrada y

la salida. Va en Pascales. Pot es la potencia en Watts. (1 Watt = 1 Joule/seg)

RGIMEN TURBULENTO - MDULO DE REYNOLDS

Hemos visto que en rgimen laminar el fluido se desplaza por lminas paralelas entre s y al eje de

conduccin; el vector velocidad de una partcula en un punto determinado es paralelo al eje de la tubera

y por tanto no tiene componentes normales a dicho eje, siendo adems constante con el tiempo para

todas las partculas que pasan por el mismo punto.

Decimos que un fluido se mueve por un tubo con rgimen turbulento cuando aparecen componentes de la

velocidad normales a la direccin de propagacin, que originan movimientos de rotacin en forma de

torbellinos. Adems, el vector velocidad, no permanece constante para un mismo punto del espacio,

considerando tiempos distintos, sino que vara.

Osborne Reynolds, defini un nmero adimensional que se lo conoce como nmero de Reynolds:

Se comprueba experimentalmente que, salvo pequeas variaciones debidas al pulimiento de las paredes

del tubo, para cualquier fluido el flujo es laminar si R < 2000; para valores entre 2000 y 4000 el rgimen es

de transicin, y para R > 4000 el flujo es claramente turbulento. Es una buena aproximacin considerar

como valor crtico del nmero de Reynolds el de 2400.

Frmula de Stokes

Cuando un fluido viscoso se mueve alrededor de una esfera con rgimen laminar, o cuando una esfera se

desplaza en el interior de un fluido en reposo, se ejerce una fuerza resistente sobre la esfera.

Supongamos el caso de la esfera que cae en un lquido en reposo, la esfera se mueve bajo la accin de las

siguientes fuerzas: el peso, el empuje (se supone que el cuerpo est completamente sumergido en el seno

Potencia (en watts)

tubo del radio :R

viscosidad

densidad

:

:

RvN ...2Re =

PQPot = .



de un fluido), y una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad de la esfera (suponemos que

el flujo se mantiene en rgimen laminar).

La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad de la esfera respecto al fluido, y su expresin se

denomina ley de Stokes:

La ecuacin del movimiento ser, por tanto:

maFEmgmaF r ==

la velocidad lmite, se alcanza cuando la aceleracin sea cero, es decir, cuando

la resultante de las fuerzas que actan sobre la esfera es cero.

0....6.... lim = vRgVgV le pi

0....6..34

...

34

. lim33

= vRgRgR le pipipi

Despejamos la velocidad lmite vlim, queda:

La relacin anterior se cumple siempre que la velocidad no sea tan grande que se origine un rgimen

turbulento. Cuando esto ocurre, la resistencia es mucho mayor que la dada por la frmula de Stokes.

La ecuacin del movimiento es:

vREmgdtdv

m )6()( pi=

Integramos la ecuacin del movimiento para obtener la velocidad

de la esfera en funcin del tiempo:

=

tm

R

evv

pi6

lim 1

Esta ecuacin nos dice que se alcanza la velocidad lmite vlim despus de un tiempo tericamente infinito.

Si representamos v en funcin del tiempo la grfica tienen una asntota horizontal en v=vlim.

Las diferencias entre el movimiento de un cuerpo en cada libre y cuando cae en el seno de un fluido

viscoso se pueden resumir en el siguiente cuadro:

Cada libre En el seno de un fluido viscoso

La velocidad es proporcional al tiempo La velocidad tiende hacia un valor constante

El desplazamiento es proporcional al cuadrado del tiempo. El desplazamiento es proporcional al tiempo.

vRFr ....6 pi=

9)(2 2

limRg

v le

=

Hid Rodina Mica

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