Heat ransfer Outline Section 7 Newkiau.ac.ir/~heat-transfer-i/Lectuers/Section7.pdfﺮﺒﺠﻧر :ﻩﺪﻨﻨﮐ ﻪﻴﻬﺗ ﻢﺘﻔه ﺶﺨﺑ ﮏﻳ تراﺮﺣ لﺎﻘﺘﻧا٣٢

رنجبر: تهيه کننده بخش هفتم انتقال حرارت يک ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

٣٢از ١صفحه

ن خارجی اريج .در اين بخش فرآيند تبادل حرارت سيال با سطح در جريان خارجی را مورد مطالعه قرار می دهيم .در جريان خارجی اليه مرزی بدون تأثير سطوح مجاور، آزادانه رشد می کند .در خارج از اليه مرزی گراديان های دما و سرعت ناچيز می باشند .مورد مطالعه قرار می دهيمرا عت پايين و بدون تغيير فاز ابتدا جريان اجباری سيال با سر ان ا در بخش انتقال حرارت جابجائی آزاد، جريان خارجی با نيروی ارشميدس به عنوان عامل ايجاد جري

.مطالعه خواهيم نمود .هدف تعيين ضريب انتقال حرارت جابجائی برای جريان سيال از روی سطح می باشد دهای مختلف جابجائی برای تعيين ضريب ا رای فرآين ال حرارت جابجائی ب ل استفاده نتق از روشهای ذي

:می شودی ط : روش تجرب ارگيری رواب ون و بک تفاده از روش آزم ا اس ه ب دون ک د ب تفاده بع ادالت اس مع

ه در ه ک ه همانگون ود ک ی ش ائی موضعی و م رارت جابج ال ح ادالت ضرايب انتق ل مع بخش قب :بعد و بصورت زير استخراج گرديدندبصورت بدون متوسط

( )( )

*4

5

,Re ,Pr

Re ,Prx x

x x

Nu f x

Nu f

=

=

ودن 5fو يا 4fتوابع • د ب ی بع ه علت ب ايج حاصل ب ه نت ين می شوند ک ی تعي را از روش تجرب .روابط، برای اشکال هندسی و شرايط متنوعی از جريانها می توان اعمال نمود

وم خطی و که : ریروش تئو أ جرم، ممنت ادالت بق ه مرزی، شامل مع ادالت الي ر حل مع مبتنی ب :ذيل است دو روشمشتمل بر می باشد که انرژی

o روش بالزيوس که مبتنی بر حل معادالت ديفرانسيل می باشد(حل دقيق (. o ام روش (روش انتگرالی ه ن ه ب ه مرزی است ک ادالت الي روش تقريبی برای حل مع

.)کارمن ناميده می شود –فون

ال حرارت موضعی "و متعاقبا و ضريب انتقال حرارت موضعی بدون بعد را از xhضريب انتق :می شودرابطه زير محاسبه

*

*

*0

xx

f y

h L TNuk y =

∂≡ = +

∂

2

22

2

2

:.

0:...

1:...

0:..

yT

yu

cyTv

xTuEHeat

ypEMY

yu

xp

yuv

xuuEMX

yv

xuEC

p ∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

αν

νρ

xNu


٣٢از ٢صفحه

ر ض همچنين با تعيين رابطه رياضی برای ضريب انتقال حرارت موضعی وان از رابطه زي ريب می ت .را محاسبه نمود ونيز ضريب انتقال حرارت جابجائی متوسط انتقال حرارت جابجائی متوسط

1 1( ) ( )s

x

ss A

xx

f

h h dA h x h x dxA x

h LNuk

= → =

=

∫ ∫

.مورد بحث و بررسی قرار خواهيم داد نظردر حد مورد را در اين بخش هر دو روش تجربی و تحليلی

روش تجربیای جريان نمونه سيال از روی سطح صاف با توجه روش اندازه گيری ضريب انتقال حرارت جابجائی بر

:به شکل زير عبارتست از

)جريان الکتريکی عبوری از مقاومت الکتريکی )I و ولتاژ مربوطه( )E ائيم . را اندازه گيری می نم

)مقدار توان الکتريکی )E I⋅ حرارت جابجائی استبرابر نرخ تبادل. . دمای سطح و دمای سيال نيز اندازه گيری می شوند

.به سادگی قابل محاسبه است Lhضريب انتقال حرارت جابجائی متوسط

دز و پرا LNuمعلوم است لذا می توان عدد نوسلت متوسط Lطول ا استفاده از ، عدد رينول ل را ب نت .تعاريف آنها محاسبه نمود

; Re ; PrL Lf

hL VLNuk

νν α

= = =

ان آزاد رعت جري ا س يال ب رای س ايش را ب وان آزم ی ت )م )u∞ فحه ول ص يال L)(، ط نس س و ج . که اعداد پرانتل متفاوتی دارند، انجام داد... متفاوت مانند آب، هوا و

xh

xhxNu


٣٢از ٣صفحه

ر روی منحنی لگاريتم ايج ب )(لگاريتم –با رسم نت LogLog رای هر سيال − ل ثابت (ب ) عدد پرانتد ده امکان بکارگيری . مشاهده خواهد شد که نتايج بر روی خط صافی قرار می گيرن ن امر نشان دهن اي

ل رابطه زير برای ارتباط بين ضريب انتقال حرارت بدون بعد جريان با عدد ر ان و عدد پرانت دز جري ينول .سيال می باشد

(*)PrRe nmLL CNu =

. مستقل از جنس سيال هستند ولی برای جريانهای مختلف مقادير متفاوتی دارند nو C ،mمقادير .می ناميم رابطه تجربیک رابطه آزمايشگاهی است يک را که ي (*)رابطه رای منظور ذا ب د، ل ر می نماين ر دمای سيال، تغيي چون مقادير ترموفيزيکی در طول فرآيند به علت تغيي

:مقادير مذکور در روابط ارائه شده در ادامه بحث از دو روش استفاده شده استنمودن اين تغييرات o واص س تخراج خ ا اس به و ي يال محاس طح و س ط س ای متوس يلم (يال در دم ای ف )دم

2s

fT TT ∞+

=

o ان آزاد ای جري يال در دماه ا استخراج خواص س ويس (محاسبه و ي ر ن ا زي ای ) ∞ب ا دم و ي ) sزيرنويس با (سطح

حل تحليلی

:صفحه صاف در جريان موازی .راه با تبادل حرارت از روی سطح صاف کاربرد بسياری در مهندسی داردجريان سيال هم برای حل جريان اليه مرزی، اين

ه آرام و ه دو ناحي ان را ب جري .درهم تقسيم می نمائيم

ی ل تحليل ه آرام ح رای ناحي ب

ده ام ش وس انج ط بالزي توس .است


٣٢از ۴صفحه

)روش بالزيوس(اليه مرزی جريان آرامبرای ل تحليلی حراکم معاد م و ت ان آرام، دائ ا فرض جري ان سيال از روی سطح صاف ب رای جري الت جريان اليه مرزی ب

ين رای چن ه اينکه ب ا توجه ب ز ب ات اصطکاکی و ني ودن تلف ناپذير با خواص ثابت سيال و فرض ناچيز ب

0dPجريانی dx

:می باشد، عبارتند از =

2

2

2

2

:.

:...

0:..

yT

yTv

xTuEHeat

yu

yuv

xuuEMX

yv

xuEC

∂∂

=∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

α

ν

ان در اين ر ),(وش از مفهوم تابع جري yxΨ ر استفاده ه های سرعت بصورت زي رای تعريف مؤلف ب :می شود

;u vy x

∂Ψ ∂Ψ≡ ≡ −∂ ∂

د ی نماين أ م تگی را ارض ه پيوس وق معادل ف ف ا تعري رعت ب ای س ه ه ه . مؤلف ل معادل ه ح ازی ب ذا ني ل .پيوستگی نيست

:را بصورت زير تعريف می نمائيم و متغير مستقل fمتغير وابسته

( ) , uf yxxu

u

η ηνν

∞

∞∞

Ψ≡ ≡

ادالت ه مع وم و حرارت ب ی ممنت ا مشتقات جزئ ادالت ديفرانسيل ب اال، مع با استفاده از تغيير متغيرهای ب .معمولی تبديل خواهند شد

ام ه ن ده " η" و " Similarity Solutionحل تشابهی " روش بالزيوس ب ر تشابه نامي ام متغي ه ن ب . می شود

ه رغم رشد ضخامت الي ه مرزی علي علت نامگذاری به مناسبت مشابه بودن پروفيل سرعت در طول الي .مرزی می باشد

:شکل تشابهی پروفيل سرعت بصورت زير می باشد

با رابطه با فرض تغيير اليه مرزی

12x

uν

∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

):رابطه توزيع سرعت عبارتست از، )uu

φ η∞

=

ابه ر تش ر حسب متغي د ب دون بع ل سرعت ب ه پروفي ود ک ی ش اهده م ابعی از η)(مش ه ت yو xک .می باشد، تعريف شده است

η

..: LBVelocityyuu δ

δφ ∴⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

∞


٣٢از ۵صفحه

وم ادالت ممنت ر مع ر متغي رای تغيي ای ب د متغيره رژی، باي ای Tو u ،vو ان ب متغيره را برحس .تعريف نمائيم ηو مستقل fوابسته

12 2

x df u dfu u uy y u d x d

x f u u dfv u f fx u x u x x d

η νη η ν η

ν ν ν ηη

∞∞ ∞

∞

∞ ∞∞

∞ ∞

∂Ψ ∂Ψ ∂= = = =∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂Ψ ∂= − = − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

:خواهيم داشتهمچنين با مشتق گيری از مؤلفه های سرعت 2

2

2

2

2 2 3

2 3

2u u d fx x d

u u d fuy x d

u u d fy x d

ηη

ν η

ν η

∞

∞∞

∞

∂= −

∂

∂=

∂

∂=

∂

:با جايگذاری معادالت فوق در معادله ممنتوم خواهيم داشت 3 2

3 22 0d f d ffd dη η

+ =

ه ديفرانسيل ه معادل ی ب مالحظه می شود که معادله ديفرانسيل ممنتوم خطی جريان اليه با مشتقات جزئد روش معمولی درجه سه غيرخطی تبديل شده است که با استفاده داول حل عددی مانن از روش های مت

.می توان آن را حل نمود ۴کوتا درجه –رانج :برای حل معادله مذکور به شرايط اوليه نياز است که روابط مربوطه عبارتند از

( ,0) ( ,0) 0 , ( , )u x v x u x u∞= = ∞ = :بر حسب متغيرهای تشابه

0 1

(0) 0 , 1df dffd dη ηη η= =

= = =

.دمی باش ١-٧بصورت جدول حل عددی اين معادالتنتيجه حاصل از

5ηمالحظه می شود که مقدار با تقريب خوبی بيانگر لبه اليه مرزی است که در آن =

:لذا برای ضخامت اليه مرزی می توان نوشت

99.0=∞uu


٣٢از ۶صفحه

55.0 5

Rex

xuy u

xx

ηδ

ην

ν

∞∞

= ⎫⎪⇒ = =⎬= ⎪⎭

δ با افزايشν وx افزليش و با افزايش سرعت جريان آزادu∞ کاهش می يابد. :تنش برشی روی ديواره عبارتست از

2

2

0.332

sy

s

u u d fuy x d

uux

η

τ μ μν η

ρ μτ

∞∞

= =

∞∞

∂= =

∂

=

:ضريب اصطکاک موضعی برابر است با

, 1 2, 2 0.664Re

2s x

f x xCuτρ

−

∞

≡ =

ين شده و با حل معادالت ممنتوم و پيوستگی برای جريان اليه مرزی، ه مرزی تعي ان در الي سرعت جري .می توان معادله انرژی را حل نمود

.ثابت فرض می شود sTشرايط حرارتی دمای سطح

: بصورت تشابهی فرض می شود که * *( )T T η=

:با جايگذاری مقادير پارامترها در معادله انرژی خواهيم داشت 2 * *

2

Pr 02

d T dTfd dη η

+ =

.به معادله ممنتوم مربوط است fمالحظه می شود که معادله انرژی از طريق :ی برای معادله انرژی عبارتند اززشرايط مر

*(0) 0 & *( ) 1T T= ∞ = ا ب معادله انرژی برای مقادير مختلف عدد پرانتل حل شده است که می توان در مراجع معرفی شده در کت

.به آنها دست يافت6.0Prبرای سياالت با :گراديان دما در روی سطح عبارتست از <

1 3* 0.332PrdTd ηη =

=

:و لذا ضريب انتقال حرارت موضعی عبارتست از


٣٢از ٧صفحه

1 2

*

*

x sx

s s y

x

q T T Th kT T T T y

u dTh kx d ην η

∞

∞ ∞ =

∞

=

′′ − ∂= = −

− − ∂

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

:ضريب انتقال حرارت بدون بعد موضعی عبارتست از

1/ 2 1/ 30.332Re Pr Pr 0.6xx x

h xNuk

= = ≥

:نين از حل معادله انرژی نتيجه زير نيز حاصل خواهد گرديدهمچ

1/ 3 5.0Pr ,Ret xx

δ δδ

≈ =

ه مرزی آرام ان الي رای محاسبه پارامترهای جري وان ب )از نتايج فوق می ت )criticalx x< استفاده .نمود

اليه مرزی سرعت و از رابطه باال می توان نتيجه گرفت که برای سياالت با پرانتل نزديک به يک، رشد .دما مانند هم می باشند

:مقدار ضريب اصطکاک متوسط عبارتست از

,, 2 2

s xf xC

uτρ ∞

≡

:که تنش برشی متوسط با رابطه زير بيان می شود

, ,0

1 x

s x s xdxx

τ τ= ∫

:با جايگذاری مقدار تنش برشی متوسط در معادله باال، رابطه ضريب اصطکاک متوسط عبارتست از 1/ 2

, 1.328Ref x xC −= :ضريب انتقال حرارت جابجائی متوسط عبارتست از

1/ 21/ 3

1/ 20 0

1 0.332 Pr

2

x x

x x

x x

k u dxh h dxx x x

h h

ν∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

∫ ∫

:و ضريب انتقال حرارت جابجائی بی بعد عبارتست از

1/ 2 1/ 30.664Re Pr Pr 0.6xx x

h xNuk

≡ = ≥

.تأکيد می نمايد که اين روابط برای جريان آرام قابل استفاده می باشند" مجددا


٣٢از ٨صفحه

دد پر ا ع رای سياالت ب ل کوچک ب ايع (انت زات م د فل ی در ) مانن ه مرزی حرارت ت رشد سريع الي ه عل ب .مقايسه با اليه مرزی سرعت از روابط زير استفاده می نمائيم

1/ 20.565 Re PrPr 0.6 100x x x x

x

Nu Pe PePe

= =≥ ≥

رابطه ديگری برای جريان آرام با شرايط دمای سطح ثابت و برای تمامی اعداد پرانتل دلخواه عبارتست :از

xx NuNu 2=

1/ 2 1/ 3

1/ 42 / 3

0.3387Re Pr 1000.04681

Pr

xx xNu Pe= ≥

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

)روش فون کارمن(جريان اليه مرزی ) انتگرالی(حل تقريبی

:معادله ممنتوم انتگرالی در اليه مرزی

( )y

d uu u udydx y

δν∞

=

∂⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∂∫

:معادله انرژی انتگرالی در اليه مرزی

( )t

y

d TT T udydx y

δα∞

=

∂⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦ ∂∫

:روش حل معادالت انتگرالی .بر حسب ضخامت اليه مرزی فرض می شوند Tو uکميت های نامعلوم توابع مناسبی برای .١ .توابع فرض شده بايد شرايط مرزی را ارضأ نمايند .٢معادالت در معادالت انتگرالی جايگذاری شده و عبارات ضخامت های اليه مرزی سرعت و حرارت .٣

.تعيين می شوند .عت و حرارت در اليه مرزی با تعيين ضخامت اليه مرزی تعيين می شوندتوابع سر .۴

:اليه مرزی سرعت :پروفيل سرعت درجه دو

3

4

2

321 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

∞ δδδyayayaa

uu

:شرايط مرزی سرعت در اليه مرزی سرعت ( 0) 0( )

0y

u yu y u

uy δ

δ ∞

=

= == =

∂=

∂


٣٢از ٩صفحه

0uهر دو مؤلفه سرعت y=0همچنين چون در v= می باشند لذا از معادله ممنتوم خواهيم = :داشت

2

20

0y

uy =

∂=

∂

1اعمال شرايط مرزی سرعت با 3 2 43 10 ; ;2 2

a a a a= = = = :و لذا −

33 12 2

u y yu δ δ∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

)که ضخامت اليه مرزی )δ مجهول است. :با جايگذاری در معادله انتگرالی خواهيم داشت

239 3280 2

d uudx

νδδ∞

∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

: xبا جداسازی متغيرها و انتگرالگيری نسبت به 2

1140

2 13x C

uδ ν

∞

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

: δ=0شرط مرزی برای 00@ =→= δx

21Re64.4

xx=

δ

:با جايگذاری در معادله توزيع سرعت می توان نوشت

, 1 22

0.6461 Re2

ss

sf x

x

uy

Cu

τ μ

τ

ρ ∞

∂=

∂

= =

:اليه مرزی حرارت

:پروفيل دما 2 3

1 2 3 4s

s t t t

T T y y yT b b b bT T δ δ δ

∗

∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

:شرايط مرزی


٣٢از ١٠صفحه

2

2

( 0) 0 ( ) 1

0 0t t

t

y y

T y T y

T Ty yδ δ

δ∗ ∗

∗ ∗

= =

= = = =

∂ ∂= =

∂ ∂

:معادله توزيع دما 3

3 12 2t t

y yTδ δ

∗ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1Prبا جايگذاری مقادير مربوطه در معادله انتگرالی حرارت و فرض > :

026.1Pr 31−

=δδ t

:استفاده از رابطه ضريب انتقال حرارت جابجائی و با

32

y

s t

Tky kh

T T δ=

∞

∂−

∂= =

−

ی ه مرزی حرارت ال حرارت جابجائی حاصل و با جايگذاری رابطه ضخامت الي ، رابطه ضريب انتق :خواهد شد

3121 PrRe332.0 xx khxNu ==

جريان مغشوش .ثابت فرض می شود sTدمای سطح ين ضريب نتايجاز رای تعي وان ب دز اعالم شده می ت ا محدوده عدد رينول ه ت تجربی معلوم شده است ک

:اصطکاک موضعی جريان اليه مرزی درهم از رابطه زير استفاده نمود751

, 10ReRe0592.0 ≤= −xxxfC

:همچنين ضخامت اليه مرزی جريان درهم از ربطه زير قابل محاسبه است 5/1Re37.0 −= xxδ

م بسيار سريعتر با م ان دره ه مرزی جري قايسه روابط ضخامت اليه مرزی جريان آرام و درهم، رشد الي .می باشد

:برای جريان اليه مرزی درهم رابطه ضريب انتقال حرارت جابجائی بی بعد عبارتست از 4 / 5 1/ 3Re Pr 0.0296Re Pr 0.6 Pr 60x x xNu St= = ≤ ≤

ال حرارت جا ان آرام همچنين به علت اثرات جريان درهم، ضريب اصطکاک و انتق ه جري بجائی نسبت ب .بزرگتر می باشند

اليه مرزی مرکبر له ای براب م در فاص ه دره ان آرام ب ال از جري رزی، انتق ه م ان الي ر در جري )اگ ) 0.95cx L <

.اتفاق افتد بايد هر دو ناحيه جريان آرام و درهم را در محاسبات در نظر بگيريم


٣٢از ١١صفحه

:کل صفحه عبارتست از ضريب انتقال حرارت متوسط برای

0

1 c

c

x L

L lam turbx

h h dx h dxL

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

:با جايگذاری روابط جريان آرام و درهم و انتگرالگيری خواهيم داشت

( )

1/ 2 4 / 51/ 3

1/ 2 1/ 50

1/ 2 4 / 5 4 / 5 1/ 3, ,

0.332 0.0296 Pr

0.664Re 0.037 Re Re Pr

c

c

x L

Lx

L x c L x c

k u dx u dxhL x x

Nu

ν ν∞ ∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

∫ ∫

:و يا ( )

5,

2/1,

5/4,

3/15/4

105Re

Re664.0Re037.0

PrRe037.0

×=

−=

−=

cx

cxcx

LL

A

ANu

چنانچه عدد رينولدز بحرانی برابر 5

, 105Re ×=cx در نظر گرفته شود:

( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

×=

≤<×

<<

−=

5,

85

3/15/4

105Re

10Re10560Pr6.0

Pr871Re037.0

cx

L

LLNu

:و ضريب اصطکاک نيز برابر است با

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

×=

≤<×

−=

5,

85

5/1,

105Re

10Re105

Re1742

Re074.0

cx

L

LL

LfC

cLچنانچه x>> خواهيم داشت ،,Re ReL x c>> و لذا4 / 50.037ReLA وان >> لذا می ت

:نوشت

5/1,

3/15/4

Re074.0

PrRe037.0−=

=

LLf

LL

C

Nu

.خواص سيال در دمای فيلم محاسبه می شوند

حاالت خاص


٣٢از ١٢صفحه

=∞طولی از ابتدای صفحه در دمای چنانچه TTs باشد، رشد اليه مرزی حرارت ازx ξ= شروع0خواهد شد و در فاصله x ξ≤ . تبادل حرارت وجود ندارد ≥

:برای جريان آرام اليه مرزی در اين حالت ضريب انتقال حرارت جابجائی عبارتست از

( )0

13/ 4 3

1/ 2 1/ 3

1

0.332Re Pr

xx

x x

NuNu

x

Nu

ξ

ξ

==⎡ ⎤−⎣ ⎦

=

:عدد نوسلت برای جريان اليه مرزی درهم

( )0

19 /10 9

4 / 5 1/ 3

1

0.0296Re Pr

xx

x x

NuNu

x

Nu

ξ

ξ

==⎡ ⎤−⎣ ⎦

=

:عبارتست از Lو ضريب انتقال حرارت متوسط برای کل صفحه به طول 2

2 1 2 12 2

0

1/ 2 1/ 3

0

4 / 5 1/ 3

0

1

min 1 & 0.664Re Pr

4 & 0.037Re Pr

pp pp

L L

L L

L L

LNu NuL L

La ar Flow p Nu

Turblent Flow p Nu

ξ

ξ

ξ

ξξ

+ ++

=

=

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠

⎣ ⎦

→ = =

→ = =

o ذکر رارت د :ت ادل ح ه تب ود ک ه نم د توج رارت باي ال ح به انتق رای محاس ه ب له ک ر فاص)( ξ−L اتفاق می افتد.

ی ثابت sqبرای شرايط مرزی شدت حرارت const′′ ان = رای جري ال حرارت جابجائی ب ، ضرايب انتق :اليه مرزی آرام و درهم عبارتند از


٣٢از ١٣صفحه

o جريان آرام: 1/ 2 1/ 30.453Re Pr Pr 0.6x xNu = ≥

o جريان درهم: 4 / 5 1/ 30.0308Re Pr 0.6 Pr 60x xNu = ≤ ≤

.ه نمود که ضريب انتقال حرارت در اين حالت نسبت به حالت دمای سطح ثابت بيشتر می باشندبايد توج :با تعيين ضريب انتقال حرارت می توان رابطه ای برای دمای موضعی سطح بدست آورد

( ) ss

x

qT x Th∞

′′= +

ون م د، چ ی باش ائی متوسط نم رارت جابج ال ح ف ضريب انتق ه تعري ازی ب ت ني ن حال ادل در اي دار تب قs حرارت از رابطه sq q A′′= محاسبه می شود.

.ولی می توان دمای متوسط سطح را مشابه ضريب انتقال حرارت متوسط تعريف نمود

( ) ( )0 0

1 L Ls

s sx

q xT T T T dx dxL L kNu∞ ∞

′′− = − =∫ ∫

ه عی از رابط لت موض دد نوس ذاری ع ا جايگ ه ب /1ک 2 1/ 30.453Re Pr Pr 0.6x xNu = ≥ :هواهيم داشت

( )1/ 2 1/ 30.680Re Pr

ss

L

L L

q LT Tk Nu

Nu

∞

′′− =

=

روش محاسبات مسائل انتقال حرارت جابجائی تعيين شکل هندسی جريان .١ تعيين دمای مرجع و استخراج خواص سيال .٢ محاسبه عدد رينولدز و تعيين رژيم جريان .٣ا .۴ م از موضعی و ي از اع ورد ني ائی م رارت جابج ال ح به ضريب انتق رای محاس ه مناسب ب ين معادل تعي

متوسط رتمحاسبه نرخ تبادل حرا .۵

جريان عمود بر استوانه .جريان عمو بر محور استوانه از جريانهای متداول در مکانيک سياالت و انتقال حرارت جابجائی است کل، ابق ش مط

ه ان در نقط جريو کون جل ست ه حال توانه ب اس .سکون در می آيد

د ه بع از اين نقطه ب

ط تای خ در راس، فشار )x(جريان اه ه ک ش يافت


٣٢از ١۴صفحه

وب ) سرعت سيال افزايش می يابد( ان فشار مطل أثير گرادي )و به علت ت 0)dP dx ه مرزی > الي .رشد می نمايد

ان فشار معکوس " در نقطه ای نهايتا )فشار به کمترين مقدار خود رسيده و گرادي ) 0)dP dx > .شکل می گيرد

.ان و پايين دست جريان در شکل نشان داده شده اندتوزيع سرعت در منطقه باالدست جري

)بر عکس جريان اليه مرزی از روی صفحه صاف، جريان لبه اليه مرزی )u∞ ه د و ب ر می نماي تغيي

.بستگی داردسکون x)(فاصله از نقطهdP. ی باشدرابطه اويلر نشان دهنده ارتباط معکوس فشار و سرعت م u duρ ∞ ∞= −

کون ه س )از نقط 0)x وب = ان مطل ود گرادي ت وج ه عل يال ب )س 0)dP dx ه > تاب گرفت ش( 0)du dx∞ )و به بيشترين مقدار در < 0)dP dx .می رسد =

ه ان در ادام رعت جري ار س ان فش ود گرادي ت وج ه عل )ب ) 0)dP dx وس < د معک ی ياب اهش م . ک)0( <∞ dxdu

). در نقطه ای از جريان گراديان سرعت صفر خواهد شد )0yu y

=∂ اين نقطه به نام نقطه جدائی ∂

.ناميده می شوده مرزی کافی نمی باشد، جد فشار در اين نقطه به علت آنکه ممنتوم سيال برای غلبه بر گراديان ائی الي

.از سطح اتفاق می افتد .جدائی جريان از اليه مرزی موجب تشکيل گردابه ها گرديده و جريان بصورت بی قاعده در می آيد دز وابسته است محل نقطه جدائی ه ن بشدت به عدد رينول رای ح ب ه ب 5Reوی ک 2 10D ≤ ان × جري

رزی ه م دائی در الي ه ج ده و نقط اقی مان 80θآرام ب رای = ی ب د، ول ی افت اق م اتف5Re 2 10D ≥ رزی × ه م ديل الي م تب ه دره ه از آرام ب ا نقط دائی ت اده و ج اق افت 140θاتف = .افتد می قبع


٣٢از ١۵صفحه

ذارد أثير جدی می گ ل متشکل . فرآيند مذکور بر روی نيروی درگ وارد بر استوانه نيز ت ضريب درگ ک

.ی و درگ اصطکاکی می باشداز دو مقدار درگ فشار

ReDVD VDρμ ν

≡ =

:ضريب درگ بدون برای استوانه عبارتست از

2

2

DD

f

FCVA ρ

≡⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.برای اعداد رينولدز کم درگ اصطکاکی و در اعداد رينولدز باال درگ فشاری نقش مهمتری می يابد

انتقال حرارت جابجائی استوانه عمود بر جريان .ه ضريب انتقال حرارت جابجائی به علت پيچيدگی جريان، روش تجربی توصيه شده استبرای محاسب


٣٢از ١۶صفحه

دد نوسلت موضعی برحسب در شکل ه θرابطه ع ارائ .گرديده است

ا مطابق منحنی وم DRe، با حرکت بر روی منحنی ب معل510Re" مثال <D می شود که با افزايش ، مالحظهθ

وده ه مرزی آرام رشد نم ، يا حرکت از نقطه سکون، الي .کاهش می يابد Nuθو

ه دائی در نقط ر ج تالط در θ=80در اث اد اخ و ايج .افزايش می يابد θNuجريان،

با عدد رينولدز باال دو می نيمم مالحظه برای منحنی های می شود که مينيمم اول به علت تبديل رژيم جريان از آرام

.به درهم و می نيمم دوم به علت پديده جدائی استال حرارت رابطه مورد استفاده برای محاسبه ضريب انتق

:جابجائی در نقطه سکون عبارتست از( ) 1/ 2 1/ 30 1.15Re Pr , Pr 0.6D DNu θ = = ≥

ز از رابطه برای محاسبه ضريب انتقال حرارت متوسط ني .زير می توان استفاده نمود

nmDD C

kDhNu PrRe=≡

.)خواص در دمای فيلم( از جدول زير استفاده می نمائيم nو mو Cبرای مقادير ضرائب

ز ره ای ني وان از D)(در صورت اصالح طول مشخصه برای مقاطع غير داي ر می ت مطابق جدول زي

.رابطه فوق استفاده نمودويس ، ∞Tخواص در دمای کليه ( رابطه ديگری برای جريان استوانه عمود بر جريان sخواص با زير ن

:).می شوند در دمای سطح محاسبه

36.010Pr37.010Pr

=→>=→≤

nn

1/ 4

6

PrRe PrPr

0.7 Pr 5001 Re 10

m nD D

s

D

hDNu Ck

⎛ ⎞≡ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠< <⎡ ⎤

⎢ ⎥< <⎣ ⎦


٣٢از ١٧صفحه

:ت عبارتست ازرابطه ديگری که برای تمامی اعداد رينولدز صادق اس 4 / 55 /81/ 2 1/ 3

1/ 42 / 3

0.62Re Pr Re0.3 1282,0000.41

Pr

Re Pr 0.2

D DD

D

hDNuk

⎡ ⎤⎛ ⎞≡ = + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦>

جريان از روی کره

.به مقدار زيادی به جريان از روی استوانه شبيه استدر عبور جريان از روی کره اثرات اليه مرزی ت ده اس ان داده ش ل نش کل قب ره در ش رای ک ريب درگ ب م .ض يار ک رعت بس ا س ان ب رای جري ب

( )Creeping Flow کره را می توان از رابطه زير محاسبه نمودضريب درگ. 24 Re 0.5

ReD DD

C = <

: رابطه مورد استفاده برای ضريب انتقال حرارت عبارتست از

( )1/ 4

1/ 2 2 / 3 0.4

4

2 0.4Re 0.06Re Pr

0.71 Pr 3803.5 Re 7.6 10

D D Ds

D

Nu μμ

⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟

⎝ ⎠< <⎡ ⎤

⎢ ⎥< < ×⎣ ⎦


٣٢از ١٨صفحه

ل استخراج ر قاب د از رابطه زي يالی سقوط می کنن ه در س ه آزادان ايعی ک رای قطرات م ال حرارت ب انتق :است

1/ 2 1/ 32 0.6Re PrD DNu = + ه ه شده است ک ز در نظر گرفت فاصله از حالت xدر رابطه زير تغيير شکل قطرات در حال سقوط ني

:محاسبه می شود ∞Tسکون بوده و خواص در دمای سيال آزاد

1 ,max ,max

10Re 2000 Re 40,000

Pr 0.7

Lm

D D D

NNu C

≥⎡ ⎤⎢ ⎥= < <⎢ ⎥⎢ ⎥=⎣ ⎦

جريان عمود بر دسته لوله ها

.ه لوله ها در صنعت کاربرد زيادی داردجريان عمود بر دست .آرايش هندسی مسئله بصورت شکل زير می باشد

.رديف های لوله در جهت بصورت مستطيلی يا مثلثی آرايش داده می شوند .می شوند نمايش داده LSو فاصله طولی با پارامتر TSمقادير فاصله عرضی با پارامتر ه رارت لول ال ح ود ضريب انتق ی ش ين م ا در تعي رفتن آنه رار گ ل ق ا از مح ه در " اصوال. ه ه ای ک لول

ری ال حرارت بزرگت ان دارای ضريب انتق رديفهای ميانی به بعد قرار می گيرد، به علت درهم شدن جري . است


٣٢از ١٩صفحه

ه نرخ تبادل حرارت و افت هدف تعيين ضريب انتقال حرارت متوسط جابجائی دسته لوله ها و محاسب

.فشار از روی لوله هاستا ا ب ه ه ته لول وا از روی دس ان ه رای جري لت ب دد نوس به ١٠ع ر محاس ه زي تر از رابط ا بيش ف ي ردي

.در جدول داده شده اند mو 1Cمی شود که

max,maxRem

DV Dρμ

=

1 ,max

,max

Re

102000 Re 40,000Pr 0.7

mD D

L

D

Nu C

N

=

≥⎡ ⎤⎢ ⎥< <⎢ ⎥⎢ ⎥≥⎣ ⎦

ا ا ب ه ه ته لول ياالت از روی دس اير س ان س رای جري دد نوسلت ب ر ١٠ع ه زي تر از رابط ا بيش رديف ي .در جدول داده شده اند mو 1Cمحاسبه می شود که

1/ 31 ,max

,max

1.13 Re Pr

102000 Re 40,000Pr 0.7

mD D

L

D

Nu C

N

=

≥⎡ ⎤⎢ ⎥< <⎢ ⎥⎢ ⎥≥⎣ ⎦

.خواص سيال در دمای فيلم محاسبه می شوند ه ١٠تعداد رديف لوله کمتر از برای د ک 2Cرديف عدد نوسلت اصالح شده از رابطه زير بدست می آي

.از جدول مربوطه استخراج می گردد

( ) ( )210 10L LD D

N NNu C Nu

< ≥=

,maxReD بر اساس حداکثر سرعت سيال در عبور از روی دسته لوله ها محاسبه می شود.


٣٢از ٢٠صفحه

:اتفاق می افتد و عبارتست از 1Aی دسته لوله های با آرايش مستطيلی سرعت ماکزيمم در سطح برا

maxT

T

SV VS D

=−

.اتفاق افتد 2Aو يا در 1Aبرای دسته لوله ای مثلثی حداکثر سرعت می تواند در

.اتفاق خواهد افتاد 2Aدر maxVز شروط ذيل برقرار باشند حداکثر سرعت اگر هر يک ا

( ) ( )D TS D S D− < − 1/ 22

2

2 2T T

D LS S DS S

⎡ ⎤ +⎛ ⎞= + <⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

o حداکثر سرعت از رابطه( )max 2T

D

SV VS D

= .محاسبه می شود −

:اتفاق افتد حداکثر سرعت برابر است با 1Aدر صورتی که حداکثر سرعت در

maxT

T

SV VS D

=−

:رابطه ديگری برای ضريب انتقال حرارت از روی دسته لوله های عمود بر جريان 1/ 4

0.36,max

6,max

PrRe PrPr

200.7 Pr 5001000 Re 2 10

mD D

s

L

D

Nu C

N

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤≥⎢ ⎥

< <⎢ ⎥⎢ ⎥< < ×⎣ ⎦

.ارائه شده اندضرائب معادله مذکور در جدول زير ه ٢٠نين برای تعداد لوله ها در رديف بيش از چهم ود ک ر اصالح نم لوله می توان رابطه را بصورت زي

2C از جدول زير قابل دسترسی است:

( ) ( )220 20L LD D

N NNu C Nu

< ≥=

.مطابق شکل بعد شماتيک جريان عبوری از روی دسته لوله ها

ه بصور ر تعريف اختالف دمای مناسب مورد استفاده در اين فرآيند اختالف دمای لگاريتمی است ک ت زي :می شود


٣٢از ٢١صفحه

( ) ( )

( )( )

ln

s i slm

s i

s

T T T TT

T TT T

− − −Δ =

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎣ ⎦

o iT دمای سيال ورودی به روی دسته لوله ها

o T دمای سيال خروجی از روی دسته لوله ها

o sT دمای لوله ها : ابطه زيرمحاسبه نموددمای خروجی سيال از روی دسته لوله ها را می توان از ر

( )( )

exps

s i T T p

T T DN hT T VN S c

πρ

⎛ ⎞−= −⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠


٣٢از ٢٢صفحه

:ونرخ تبادل حرارت متبادله عبارتست از

( )lmq N h D Tπ′ = Δ :همچنين افت فشار سيال از روی لوله ها که پارامتر حائز اهميتی است از رابطه زير قابل محاسبه است

2max

2LVp N fρχ

⎛ ⎞Δ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

o f کاکضريب اصط o χ تخراج ی اس تطيلی و مثلث ه مس ش لول رای آراي ه و ب ی مربوط حيح از منحن ريب تص ض

.می شوند


٣٢از ٢٣صفحه

م سيال از : ID-7.6مسئله م و دره ه مرزی دائ ان الي را در نظر sTروی سطح صاف در دمای ثابت جريريم دای صفح . می گي ان از ابت م فرض می شود جري ا . ه دره ا و سرعت ب ل دم خواص سيال ثابت و پروفي

:روابط ذيل بيان شده اند1 71 7

; 1s t

u y T T yu T Tδ δ

∞

∞ ∞

⎛ ⎞−⎛ ⎞= = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i. با استفاده از رابطه تجربی تنش برشی سطحی مطابق رابطه زير: 1 4

20.0228suu δτ ρν

−∞

∞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

:در رابطه ممنتوم انتگرالی سرعت، نشان دهيد که 1 50.376Rexx

δ −=

f,و ضريب اصطکاک متوسط بدون بعد xC را محاسبه نمائيد. ii. د دون بع ائی ب رارت جابج ال ح رای ضريب انتق ه ای ب ی، رابط رژی انتگرال ه ان تفاده از معادل ا اس ب

.بدست آوريد xNuو عدد نوسلت متوسط xNuموضعی ) عدد نوسلت ( : حلi. معادله انتگرالی ممنتوم:

2

1 41 7 1 72 2

1 41 7 2 7

1

1 0.0228

0.0228

sd u uu dydx u u

ud y yu dy udx

ud y y dydx

δ

δ

δ

ρ τ

δρ ρδ δ ν

δδ δ ν

∞∞ ∞

−∞

∞ ∞

−∞

⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

∫

∫

1 48 7 9 7

1 7 21 7

1 4

1 41 4

7 7 0.02288 9

7 7 0.02288 9

7 0.022872

ud y ydx

uddx

uddx

δδ

δ δ ν

δδ δν

δ δν

−∞

−∞

−−∞

⎡ ⎤ ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


٣٢از ٢۴صفحه

1 4 1 41 4 5 4

1 54 5 1 5

7 7 40.0228 0.022872 72 5

0.376 0.376Re

x

x

d dx xu u

xu x

δ ν νδ δ δ

ν δδ

∞ ∞

−

∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= → =⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

ii. با جايگذاریδ در رابطه تنش برشی روی ديواره خواهيم داشت: 1 4

1 42 1 5

1 41 51 5 1 5

, 2

1 51 5

, ,

1 54 5

,

0.0228 0.376 Re

0.0456 0.376 0.0592Re2

1 1 0.0592

1 50.0592 0.074Re4

s x

sf x x

x x

f x f x

f x

uu x

u uC xxu

uC C dx x dxx x

uC xx

τ ρν

τρ ν ν

ν

ν

−−−∞

∞

−−− −∞ ∞

∞

−−∞

−∞

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞= = =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫1 5

x−

iii. معادله انرژی انتگرالی برای جريان درهم:

( ) ( )

1 71 7

8 7 8 7

1 7 1 7

1 5

8 7 8 7

1

7 78 9

, 0.376Re

7 78 9

t

t t

sp p

s t p

t t

p

tx

p

d q hu T T dy T Tdx c c

T Td u d y y hu dy u dydx u T T dx c

d hudx c

or Withx

d hudx c

u

δ

δ δ

ρ ρ

δ δ ρ

δ δδ δ ρ

δ δζδ

δζ δζρ

∞ ∞

∞∞ ∞

∞ ∞

∞

−

∞

′′− = = − −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎛ ⎞= − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤

− =⎢ ⎥⎣ ⎦

≡ =

⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

∫ ∫

8 7772 p

d hdx c

δζρ∞

⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦


٣٢از ٢۵صفحه

( ) ( )

1 5

4 51 5

1 5 1 5

1 5

4 5 4 51 5

1 0.376Re

7 0.37672

0.0292 Re 0.0292 Re

0.0292Re Pr

1 0.0292Pr 50.0292 Pr4

0.037Re

x

p

p x x

x x

x x

x

xx x

Withx

d xu hudx c

u xkh c ux

hxNuk

u u xkh hdx k x dxx x x

h xNuk

δζ

ν ρ

νρα ν

ν ν

−

−∞

∞

− −∞∞

−

−∞ ∞

≡ =

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

∫ ∫4 5 Pr

دازه -مسئله ا ان ادل حرات از يک چيپ سيليکون ب زايش تب برای اف4Wضلع mm= طول . ، فين مسی برروی چيپ نصب شده استين 12Lف mm= ر آن 2Dو قط mm= د ی باش ا . م وا ب ه

10Vسرعت m s= 27و دمایT C∞ ين = عمود بر محور فان دارد ای . جري ين در دم ه ف پ و ريش طح چي 350bTس K=

. نگهداری می شوندين، ضريب ) الف ان از روی ف ر روی جري أثير چيپ ب ا فرض عدم ت ب

.انتقال حرارت متوسط از روی فين را محاسبه نمائيدبا صرفنظر از اثرات تابش مقدار تبادل حرارت از فين را محاسبه ) ب

.نمائيدين می ) ج ا سطح ف ر ب با صرفنظر از اثرات تابش و فرض آنکه ضريب انتقال حرارت برای سطح چيپ براب

.باشد، تبادل حرارت کل از سطح چيپ را محاسبه نمائيد .ضريب تأثير فين را محاسبه نمائيد) د :توسط برای محاسبه خواص ترموفيزيکی هوادمای م: حل

3252

bav

T TT K∞+= =

:خواص ترموفيزيکی هوا5 2@1 ,325 : 1.841 10 ; 0.028 ; Pr 0.686Air atm K m s k W m Kν −= × = ⋅ =

:خواص ترموفيزيکی مس403cuk W m K= ⋅

:محاسبه ضريب انتقال حرارت جابجائی متوسط

D

L

W

هوا

∞TV

چيپ

فينميله ای


٣٢از ٢۶صفحه

( )

4 /55/81/ 2 1/3

12 /3 4

2

0.62Re Pr Re0.3 1 16.5282,0001 0.4 Pr

232.2

D DD D

D

Nu Nu

kh Nu h W m KD

⎡ ⎤⎛ ⎞= + + → =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+⎣ ⎦

= → = ⋅

. در نظر می گيريم در تقريب اول فين را با شرايط فين بی نهايت :کنترل فرض مذکور

( )

3

2 6 2

1

6.28 10

2 3.14 10

33.9

2.65 2.65 0.078

c c

cu c

cu c

P D P m

A D A m

hPm m mk A

k AL mm hP

π

π

−

−

−

∞

= → = ×

= → = ×

= → =

⎛ ⎞≡ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

12L mmL L Short Fin∞

=< ⇒

ی نهايت ا طول ب ين ب ذا فرض ف اهتر است ل ل کوت با توجه با اينکه طول واقعی فين از طول فين فرضی طوي .فرض درستی نبوده و بايد از حالت فين کوتاه استفاده نمائيم

:ميله ای طويل کوتاهنرخ تبادل حرارت از فين

sinh( ) cosh( )0.861

cosh( ) sinh( )

cu c b

cuf f

cu

M hPk A

hml mlmk

q M q Whml ml

mk

θ=

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠= → =⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟⎝ ⎠

:انتقال حرارت از سطح باقيمانده چيپ5 21.6 10

( ) 0.149chip

s chip c b s

A W W m

q h A A q Wθ

−= × = ×

= − → =

:و کل انتقال حرارت1.01tot f s totq q q q W= + → =

:ضريب تأثير فين


٣٢از ٢٧صفحه

5.4totf f

chip b

qhA

η ηθ

= → =

ئله ل -مس ه مح وپلی ک کل از ترموک ابق ش مطر ا قط ره ب رض 1.0mmاتصال بصورت ک ف

ل از داخ ای گ ری دم دازه گي رای ان ود، ب ی ش مراق )محفظه احت )T∞ از . استفاده شده است گ

5Vداغ با سرعت m s= جريان دارد .

ر دمای محيط ) الف ه براب )چنانچه ترموکوپل هنگام نصب در محفظه در دمای اولي )iT باشد، مدت الزم

)برای آنکه اختالف دمای گاز داغ و ترموکوپل )T T∞ ه %2برابر − )اختالف دمای اولي )iT T∞ − .از اثرات تابش و هدايت پايه ها صرفنظر نمائيد. شود را محاسبه نمائيد :خواص ترموفيزيکی

:ترموکوپل3100 ; 385 ; 8920k W m K c J kg K kg mρ= ⋅ = ⋅ = :محصوالت احتراق

6 20.05 ; 50 10 ; Pr 0.69k W m K m sν −= ⋅ = × = ر ) ب ل براب ا فرض آنکه ضريب صدور اتصال ترموکوپ 0.5εب ای = راق در دم وده و محصوالت احت ب

1000K 400و ديواره محفظه احتراق در دمایcT K= ل را باشند، دمای حا لت دائم اتصال ترموکوپ .محاسبه نمائيد

.فرآيند تبادل حرارت، جريان خارجی از روی کره در نظر گرفته می شود -حل ) الف

:فرضيات .اتصال ترموکوپل جسم تکدما فرض می شود - خواص ثابت - .از اثرات تابش صرفنظر می شود -

:تدر صورت برقراری جسم تکدما برای اتصال ترموکوپل خواهيم داش

exp

ln ln

ln

s

i i i

s i

i

i

s

T T T T hA tT T T T c

hA T T T Ttc T T T T

c T TthA T T

θθ ρ

ρ

ρ

∞ ∞

∞ ∞

∞ ∞

∞ ∞

∞

∞

⎡ ⎤⎛ ⎞− −= = = −⎢ ⎥⎜ ⎟− − ∀⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∀ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∀ −= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

smVKT

51000

==∞ mD

eTermocoupl001.0=

KTc 400=


٣٢از ٢٨صفحه

( )

ln0.02( )

ln 50

i

s i

s

c T TthA T T

cthA

ρ

ρ

∞

∞

⎛ ⎞∀ −= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

∀=

.می بايد مقدار ضريب انتقال حرارت جابجائی را محاسبه نمائيم

( )1/ 4

1/ 2 2 / 3 0.4

4

2 0.4Re 0.06Re Pr

0.71 Pr 3803.5 Re 7.6 10

D D Ds

D

Nu μμ

⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟

⎝ ⎠< <

< < ×

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ){ }

( )( )( )( )( ) ( )

6 2

1/ 2 2 / 3 0.4 1/ 4

2

3

2

5 0.001Re 100

50 100.05 2 0.4 100 0.06 100 0.69 1

0.001328.1

8920 0.001 385ln 50

6 328.1

6.82sec

D

m s mVDm s

W m Khm

h W m K

kg m m J kg Kt

W m K

t

ν −= = =×

⋅⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠= ⋅

⋅=

⋅

=

:کنترل جسم تکدما

( )2 0.0005328.13 3 0.00055

100s

rh W m K m sBi

k W m K

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

⋅

.که فرض درستی بوده است :ی را می نويسيمبرای اين حالت معادله انرژ) ب

( ) ( )( ) ( ) ( )

4 4

8 4 42 2 4328.1 1000 0.5 5.67 10 400

conv rad

s s s s c

s s

q q

hA T T A T T

W WT Tm K m K

εσ∞

−

=

− = −

⎛ ⎞− = × −⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠


٣٢از ٢٩صفحه

Ts 800:=

Given

328.1 1000 Ts−( )⋅ 0.5 5.67 10 8−⋅( )⋅ Ts

4 4004−⎛

⎝⎞⎠⋅

Ts Find Ts( ):= Ts 936=

مطابق شکل به عنوان تکيه گاه ترموکوپل mm 0.5و ضخامت mm 5نوار فلزی نازکی به طول -مسئله

به نوار فلزی جوش شده است بنابراين دمای نوار " ترموکوپل کامال. کروی مورد استفاده قرار گرفته استمحصوالت احتراق در . ن خواهد دادفلزی را نشا

. می باشند V = 10 m/sو سرعت :Tدمای ثابت (a نشان دهيد که دمای نوارمغناطيسی ضرورتا "

.يکنواخت خواهد بود(b اگر نوار مغناطيسی در زمان قراردادن

باشد، Tbدرمحفظه اتاق احتراق در دمای اتاق، T:-Tمدت زمان الزم برای آنکه اختالف دمای

را T:-Tiاختالف دمای اوليه آن %2رابر با ب . محاسبه نمائيد

.از اثرات انتقال حرارت تشعشع از نوار مغناطيسی و هدايت از پايه ها صرفنظر می شود :خواص ترموفيزيکی برای نوار فلزی و گاز داغ عبارتند از

3

6 2

: 100 . , 385 . , 8920: 0.05 . , 50 10 , Pr 0.69

Metalic Strip k W m K c J kg K kg mHot Gas k W m K m s

ρ

ν −

= = =

= = × =

:نوار فلزی را در نظر می گيريم: حل

د ذرا فرآين دايت گ رارت بصورت ه ال ح انتقا خواهد بود، لذا ابتدا مسئله را از نظر جسم باچيز ای ن ان دم ا گرادي ا ب ت ي ای يکنواخ دم

د ه باي ائيم ک بررسی می نمc

s

hLBik

را =

thicknessPlateLcکنترل نمائيم که در آن 21

:لذا خواهيم داشت =

( )1 0.5 0.25 0.000252cL mm mm m= = =

در نظر می گيريم 0.5mmو ضخامت 5mmنوار فلزی را بصورت صفحه ای با طول hمحاسبه برای :که بصورت موازی با جريان سيال قرار گرفته است لذا

5 mm

V=10m/s پايهT∞

ترموکوپل

نوار فلزی

0.5 mm

W

t= 0.5mm

L = 5mm V


٣٢از ٣٠صفحه

( )( )

6 2

10 0.005Re 1000

50 10Lm s mVL

m sν −= = =×

:با فرض سطح با دمای يکنواخت. که جريان آرام است

( ) ( )

( )( )

1 2 1 3

1 2 1 3

2

0.664Re Pr

0.664 1000 0.69

18.5618.56 0.05

185.60.005 .

L L

L L

L

L f

Nu

Nu

Nu

Nu k WhL m K

=

=

=

= = =

:خص شدن ضريب انتقال حرارت جابجائی می توان عدد بيوت را محاسبه نمودبا مش :پس فرض جسم با گراديان دمای ناچيز فرض درستی است

( )( )24185.6 0.00025

4.6 10 0.1100

W m K mBi

W mK−= = × ⟨

:لذا

( )

( )

( )( )( )( )3

2

0.02 exp

2 2

ln 0.02 .

ln 0.02 .20.0005 2 8920 385

ln 0.02 .185.6

18.1

i i

T T T T hA tT T T T c

L WA LW

cthA

cth

m kg m J kgKt

W m Kt s

ρτ τ

ρ

τ ρ

∞ ∞

∞ ∞

⎛ ⎞− −= = = −⎜ ⎟− − ∀⎝ ⎠

∀= =

∀= −

= −

= −

=

لوله دسته. به دسته لوله ها وارد می شود 20oCو در فشار اتمسفر و دمای m/s 6هوا با سرعت - مسئلهقطر خارجی لوله ها برابر . لوله تعبيه شده اند، می باشد 20رديف لوله که در هر رديف تعداد 14شامل

1.25cm و طول آنهاL = 2 m بوده و بصورت مربعی باSL/D = ST/D = 1.5 آرايش داده شده اند ، : مطلوبست محاسبه. می باشد

(a مقدار متوسط ضريب انتقال حرارت جابجائی (b مقدار کل انتقال حرارت برای دسته لوله ها

.فرض می شود 134oCدمای سطح لوله ها برابر


٣٢از ٣١صفحه

:شماتيک مسئله مطابق شکل زير در نظر گرفته می شود: حل

:خواص ترموفيزيکی

3 5

1.5

20 1341 , 77 : 0.998 / , 2.075 10 / ,2

1009 / , 0.03 /

L T

f

P

S SD D

Air at atm T C kg m kg ms

C J kg C k W m C

ρ μ −

= =

+= = = = ×

= =

:آرايش لوله ها بصورت مربعی

( )( )max

max,max 5

1.56 18 /1.5 11

0.998 18 0.0125Re 10,8222.075 10

T

T

D

SD

U U m sS

DU Dρμ

∞

−

= = =−−

× ×= = =

×

)10(سيال هوا و تعداد رديف لوله هاجريان ≥LN بيشتر از مي باشد، لذا می توان از رابطه زير استفاده :نمود

1 ,max

,max

Re10

2000 Re 40,000Pr 0.7

mD D

L

D

Nu CN

=

≥⟨ ⟨

=

: 7.5از جدول mو C1مقادير

C1 = 0.25 & m = 0.62 :بنابراين

T∞=20oC u∞=6 m/s

NL = 14 ST

ST

Tw=134oC D = 1.25 cm

L= 2m

NT = 20


٣٢از ٣٢صفحه

( )( )

kWTTCmqCT

eT

orT

TTTT

TTTT

LMTDhATTCmmDLNAreaSurfaceA

ULSNUArateFlowmTeTemperaturIutletAirfordsST

eTemperaturOutletAirfordsSTDifferenceeTemperaturLogaritmicMeanmeansLMTD

whereLMTDhATTCmBalanceEnergyGrossA

CmWh

CDkh

iP

w

iw

ii

SiP

totalS

TT

i

siP

mD

312)207.88)(1009)(5.4()(7.88114397.0134

397.020134

134923.0

20134134

ln

ln)0.22)(5.190())(1009)(5.4(

)()(0.22)20125.0)(1420())((

)(:tan:tan:

:);()(:

/5.1901082225.00125.0

03.0

Re

923.0

2

262.0

max,1

≅−=−==×−=∴

==−−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=−

=−=×××===

=≡≡

=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

−

∞∞∞

∞

ππ

ρρ

Heat ransfer Outline Section 7 Newkiau.ac.ir/~heat-transfer-i/Lectuers/Section7.pdfﺮﺒﺠﻧر :ﻩﺪﻨﻨﮐ ﻪﻴﻬﺗ ﻢﺘﻔه ﺶﺨﺑ ﮏﻳ تراﺮﺣ لﺎﻘﺘﻧا٣٢

Documents