GuiaUnidad5-Cvectorial-Aprendizaje

1

CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 5

1. PREREQUISITOS :1. PREREQUISITOS :1. PREREQUISITOS :1. PREREQUISITOS : Los temas necesarios para esta unidad son :

� Magnitud y gráfica de vectores en RRRR2 y RRRR3 � Rectas y planos � Curvas de nivel y superficies de nivel � Identificación y grafica de curvas en 2D. � Identificación de superficies y sus gráficas � Trazas y secciones de una superficie � Parametrización de curvas en el plano y en el espacio � Funciones vectoriales � Integrales dobles � Integrales triples 2.2.2.2. MATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYO � Libro de texto: STEWART, J.: “Cálculo de varias variables ”,(Sexta edición). Cengage Learning. 2008. � Tabla de integrales y fórmulas extraída del texto � Software matemático � Calculadora con CAS 3.3.3.3. ACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICAS � Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase. � Elaboración grupal de las respuestas del cuestionario, justificación de cada etapa del desarrollo de ejercicios. Discusión grupal sobre procedimientos, resultados. � Análisis crítico de los ejercicios desarrollados.

INSTITUTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICASINSTITUTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICASINSTITUTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICASINSTITUTO DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS GUIA DE GUIA DE GUIA DE GUIA DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE APRENDIZAJE APRENDIZAJE Nombre de la Asignatura : Nombre de la Asignatura : Nombre de la Asignatura : Nombre de la Asignatura : CÁLCULO VECTORIALCÁLCULO VECTORIALCÁLCULO VECTORIALCÁLCULO VECTORIAL CóCóCóCódigo : digo : digo : digo : 5759575957595759 Unidad 5Unidad 5Unidad 5Unidad 5 : : : : Análisis VectorialAnálisis VectorialAnálisis VectorialAnálisis Vectorial Guia No. 5Guia No. 5Guia No. 5Guia No. 5////5555 Autor de la Guia : Ing. Freddy Tello Autor de la Guia : Ing. Freddy Tello Autor de la Guia : Ing. Freddy Tello Autor de la Guia : Ing. Freddy Tello Revisado por : Ing. Freddy TelloRevisado por : Ing. Freddy TelloRevisado por : Ing. Freddy TelloRevisado por : Ing. Freddy Tello OBJETIVOSOBJETIVOSOBJETIVOSOBJETIVOS ESPECIFICOSESPECIFICOSESPECIFICOSESPECIFICOS � Representar campos vectoriales en R2 y R3. � Obtener el campo gradiente de un función escalar. � Comprender el significado de campo vectorial conservativo y su relación con la función potencial. � Obtener la divergencia, rotacional y laplaciano de un campo vectorial � Aplicar propiedades simples de un operador nabla. � Evaluar integrales de línea a lo largo de una simple trayectoria � Aplicar integrales de línea para calcular el trabajo de un campo de fuerzas � Aplicar el teorema de Green en el plano para ejemplos simples � Evaluar integrales de superficie y de flujo sobre superficies simples � Aplicar el teorema de la divergencia de Gauss a problemas simples � Aplicar el teorema de Stokes para trayectorias simples

2


4.4.4.4. METODOLOGÍAMETODOLOGÍAMETODOLOGÍAMETODOLOGÍA DE TRABAJODE TRABAJODE TRABAJODE TRABAJO � El docente durante la clase definirá los conceptos necesarios para el desarrollo de la guía. Para lo cual es imprescindible que el estudiante analice la teoría con anterioridad para facilitar el proceso enseñanza-aprendizaje. � En clase los estudiantes organizan equipos (dependiendo del número de estudiantes por curso) para desarrollar las actividades de la guía propuesta � El docente realiza el controlcontrolcontrolcontrol de desarrollo de guías y califica en clase según la rúbrica de evaluación y si no termina el grupo de desarrollar completamente la guía, entonces entregará la parte faltante al final de la clase o en la siguiente sesión. 5.5.5.5. ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase) Realizar los siguientes ejercicios para la siguiente sesión como preparación para el estudio de la unidad 4 sobre integrales múltiples. Esta tarea extraclase será evaluada con el fin de medir el nivel de conocimientos de los temas necesarios como prerrequisitos de la unidad unidad unidad unidad 5555. Además se le recuerda revisar la parte teórica de la unidad 5unidad 5unidad 5unidad 5.... 5.15.15.15.1 Identifique y grafique las siguientes ecuaciones en RRRR3333 a) x = 3 b) 4x – y + 2z = 4 c) x=2+3t , y =2 – t , z = 2t 5.2 5.2 5.2 5.2 Trace algunas curvas de nivel de la función dada y obtenga su gradiente . N(O, P) = POQ + PQ 5.35.35.35.3 Describa las superficies de nivel de la función y representarlas gráficamente. ℎ(O, P) = OQ + PQ − TQ + 4 5.4 5.4 5.4 5.4 Para la siguiente curva, hallar una función vectorial de acuerdo al sentido de orientación que se recorre la curva (arco de parábola) y determine su longitud de arco.

5.5.5.5.5555 Utilizando ecuaciones paramétricas, dibujar una semielipse con a = 3, b = 2, centro C(2,2) y el eje mayor horizontal. Halle y trace el vector tangente unitario en el punto de intersección con el eje “y”.

1 2 3 4 5

−3

−2

−1

x

y

3


5555.6 .6 .6 .6 Determinar ecuaciones paramétricas , para la curva cerrada formada por una semiparábola, una recta inclinada y una recta horizontal como se ve en la siguiente gráfica.

5.5.5.5.7777 Describa mediante una función vectorial: a) La recta que pasa por los puntos (1,2,-1) y (3,12,11) b) La curva intersección del paraboloide y= x2 + z2 y el plano y = 4 5.5.5.5.8888 Empleando integrales dobles, calcular el área de la región limitada por:

5555.9 .9 .9 .9 Calcular ∬ OZ P[\, donde D es la región comprendida entre la elipse O Q + 2P Q = 1 y la circunferencia O Q + P Q = 1 en el primer cuadrante. 5555.10 .10 .10 .10 Determine el volumen del sólido comprendido entre las esferas ]^: OQ + (P − 1)Q + TQ = 4 y ]^: OQ +(P + 1)Q + TQ = 4 5.5.5.5.11111111 Grafique la región en el primer octante limitada por la superficie Z=4-X2-Y2 y determine su volumen 5.5.5.5.12 12 12 12 Determine el volumen de la región comprendida dentro de la semiesfera 2216 YXZ −−= y del cilindro X2+Y2=1, limitado debajo por el plano Z=0. 6.6.6.6. REVISIÓN DE CONCEPTOS REVISIÓN DE CONCEPTOS REVISIÓN DE CONCEPTOS REVISIÓN DE CONCEPTOS 6.1 6.1 6.1 6.1 CAMPOS VECTORIALES EN RCAMPOS VECTORIALES EN RCAMPOS VECTORIALES EN RCAMPOS VECTORIALES EN R2222 Y Y Y Y RRRR3 3 3 3

En general un campo vectorial en R2 es una función F F F F que asigna un vector bidimensional a puntos del espacio(x, y) cuyo dominio es un conjunto de puntos en aQ y su rango es un conjunto de vectores en bQ, la forma de representarlos gráficamente es dibujar la flecha que representa al vector FFFF(x, y) que inicia en los puntos del dominio (x, y) es necesario saber que la magnitud de vector y la dirección reflejan la dirección y magnitud de un campo vectorial estos parámetros dependen de las funciones componentes del campo vectorial, los campos vectoriales representados en función de sus componente se los puede expresar de la siguiente manera:

1 2 3 4 5

−1

1

2

3

4

x

y

4


c(d, e) = ⟨g(O, P), h(O, P)⟩ c = gj + hk

Una de las maneras de reconocer un campo vectorial es observar si se los representa con la letra FFFF, otra forma de hacerlo es observando si la función depende de otras funciones componentes y estas a su vez dependen de una o más variables, caso contrario se trata de una función escalar. De igual forma un campo vectorial en RRRR3333 es una función que a cada punto del espacio(x, y, z) que pertenece al dominio le asigna un vector tridimensional F(x, y, z)F(x, y, z)F(x, y, z)F(x, y, z) de igual manera un campo vectorial se lo puede identificar ya que está formado por funciones componentes las mismas cuyo dominio es el dominio del campo vectorial, así como las componentes de un campo vectorial determina la magnitud y dirección del mismo, un campo vectorial puede expresarse en función de sus componentes de la siguiente manera:

c(O, P, T) = g(O, P, T)l + h(O, P, T)m + a(O, P, T)n El dominio de un campo vectorial tanto en R2 y R3 se lo puede determinar analizando el dominio de las funciones componentes, esto puede determinar de igual forma la continuidad de un campo vectorial (un campo vectorial es continuo en su dominio)

Ejemplo1 Ejemplo1 Ejemplo1 Ejemplo1 c = OOQ + PQ l − POQ + PQ m

Si analizamos M y N determinamos que el dominio es :opOQ + PQ ≠ 0r Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 2222 Muestre en una figura las representaciones que tiene su punto inicial en (x, y), de los vectores del campo vectorial: jxiyyxF

rrr+−=),(

Donde x = ± 1 o x = ± 2, y y = ± 1 o y = ± 2 rrrr (x, y) = xi + yj F(x, y) = -yi + xj El vector de posición r r r r cuyo punto terminal está en (x, y). Entonces : r(x, y) • F(x, y) = (xi + yj)*(-yi + xj) = -xy + xy= 0 lo que se obtiene de rrrr y FFFF son perpendiculares, la representación de F en los puntos (x, y) la cual es tangente a las curvas de nivel (circunferencias con centro origen y radio k ) ( )

222

2222)(,

kyx

kyxxyyxF

=+

=+=+−=

5


Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 3333 Sea r r r r = xi + yj +zk el vector de posición de un punto (x, y, z); se dice que un campo vectorial FFFF es un campo de variación inversa al cuadrado de la distancia si :

ur

czyxF

r

r

r

2),,( = Donde c es un escalar y u es un vector unitario que tiene la misma dirección que r y está dado por r

ru

rr

r 1=

6.26.26.26.2 ROTACIONAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIALROTACIONAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIALROTACIONAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIALROTACIONAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL Se define wx como el gradiente de alguna función escalar x(d, e, y) y genera un campo vectorial gradientecampo vectorial gradientecampo vectorial gradientecampo vectorial gradiente :

wx(O, P, T) = zNzO l + zNzP m + zNzT n Sea FFFF una función vectorial en tres dimensiones dada por FFFF(x, y, z) = M (x, y, z)i + N (x, y, z)j + P(x, y, z)k Donde M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región; el rotacional de FFFF está dado por

6


rotF = Ahora obtenemos rot F como un determinante : Suponga que FFFF(x, y, z) = M (x, y, z)i + N (x, y, z)j + P(x, y, z)k tal que M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región. La divergencia de F se denota por div F, o por F

r⋅∇ , y está dado por :

z

P

y

N

x

MFFdiv

∂∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇=

rr

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 4 4 4 4 Calcule divergencia y rotacional del siguiente campo vectorial:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

222

222

2

222

232

23

,,

6134

23

,,

yzxe

xzyz

yzxy

ex

zyxFFdiv

kxyzjiyxyz

xzyyzxe

zyx

kji

zyxFrot

x

x

x

++=

+∂∂+

∂∂+

∂∂=

⋅∇=

+−+−=

+∂∂

∂∂

∂∂=

rr

rrrr

6.36.36.36.3 CAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCION POTENCIALCAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCION POTENCIALCAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCION POTENCIALCAMPOS CONSERVATIVOS Y FUNCION POTENCIAL Se dice que un campo vectorial F es un campo vectorial conservativo si es el gradiente de una función escalar, es decir si ),,(),,( zyxfzyxF ∇=

r para una función f (potencial)

( ) kxzyyzjxiezyxF x )2(3,, 222 +++=

.ky

M

x

Nj

x

P

z

Mi

z

N

y

P

F

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂

=×∇

P

z

N

y

M

x

kji

FFrot∂∂

∂∂

∂∂

=×∇=)(

7


),,( kz

fj

y

fi

x

fzyxF

rrrr

∂∂+

∂∂+

∂∂=

TeoremaTeoremaTeoremaTeorema : : : : Sea F F F F = Mi + Nj + Pk, donde M, N y P son continuas junto con sus derivadas parciales de primer orden en un conjunto abierto y conexo D, que además es simplemente conexo. Entonces F F F F es conservativo (F F F F = f∇ ) si y solo si rot FFFF = 0; es decir, si y solo si

y

P

z

N

x

P

z

M

x

N

y

M

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

,, En particular, en el caso de dos variables, donde F = Mi + Nj es conservativo si y solo si

x

N

y

M

∂∂=

∂∂

Ley de conservación de la energía, Ley de conservación de la energía, Ley de conservación de la energía, Ley de conservación de la energía, si una partícula se mueve de un punto a otro en un campo vectorial de fuerza conservativo, entonces la suma de las energías potencial y cinética permanece constante, es decir, la energía total no cambia (se conserva). EjeEjeEjeEjemplo mplo mplo mplo 5555 Determinar si el campo vectorial kxyzjxzyseniyzxyxF

rrrr)2()2)(()2)(cos(),( +++++= es conservativo. Si lo es hallar su función potencial correspondiente.

voconservati

xy

Py

x

Pz

x

N

xz

Ny

z

Mz

y

M

222

222

=∂∂=

∂∂=

∂∂

=∂∂=

∂∂=

∂∂

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

22cos),,(

,22

)2(,,

,2cos)2(,,

,2)2(cos,,

2

2

2cos:

2

2

zxyzyxsenzyxf

yxlxyzz

dzxyzzyxf

zxhxyzydyxzsenyzyxf

zygxyzxsendxyzxzyxf

xyzf

xzysenf

yzxfpotencialf

z

y

x

++−=

++=+=

++−=+=

++=+=

+=

+=+=

∫

∫

∫

Ejemplo 6 Ejemplo 6 Ejemplo 6 Ejemplo 6 Considere el campo de velocidad vvvv(x, y, z)= - wyi + wxj, w > 0. Observe que vvvv es perpendicular a r= r= r= r= xi + yj, y que 22 yxwv += . Así, v describe un fluido que gira (como un sólido) en torno del eje z con velocidad angular constante w. Muestre que div vvvv = 0 y rot vvvv = 2wk.

8


wk

kwwji

wxwx

zyx

kji

FFrot

kjiFFdiv

yxwv

yjxiv

wxjwyizyxv

2

)(00

0

0

000*

),,(

22

=++−=

−∂∂

∂∂

∂∂=×∇=

=++=∇=

+=

→⊥

+−=

Ejemplo 7 Ejemplo 7 Ejemplo 7 Ejemplo 7 Un objeto de masa m, que gira en una órbita circular con velocidad angular constante w, está sujeto a la fuerza centrifuga dada por FFFF(x, y, z)= m w2 (xi + yj + zk) Determinar una función potencial para el campo FFFF....

6.46.46.46.4 INTEGRALES DE LINEA EN INTEGRALES DE LINEA EN INTEGRALES DE LINEA EN INTEGRALES DE LINEA EN FORMA ESCALARFORMA ESCALARFORMA ESCALARFORMA ESCALAR Una forma de generalizar la integral definida dxxf

b

a∫ )( reemplazando el conjunto [a, b] sobre el cual

integramos por conjuntos de dimensión dos y tres. Esto nos conduce a las integrales dobles y triples. Una generalización muy distinta se obtiene reemplazando [a, b] por una curva C en el plano xy. La integral resultante dsyxf

c∫ ),( se conoce como una integral de línea, pero sería más adecuado llamarla integral de curva. Sea C una curva plana suave; es decir, sea C dada en forma paramétrica por x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b

9


donde x´ y y´ son continuas y no se anulan simultáneamente en (a, b). Integrales de línea en dos dimensiones Integrales de línea en dos dimensiones Integrales de línea en dos dimensiones Integrales de línea en dos dimensiones

kk

kk

c

kk

kk

c

kk

kk

c

yVUfdyyxf

xVUfdxyxf

SVUfdsyxf

∆=

∆=

∆=

∑∫

∑∫

∑∫

→∆

→∆

→∆

),(),(

),(),(

),(),(

lim

lim

lim

0

0

0

Teorema de evaluaciónTeorema de evaluaciónTeorema de evaluaciónTeorema de evaluación para integrales de línea; si una curva C esta dad por x = g(t), y = h(t); a ≤ t ≤ b, y f (x, y) es continua en una región D que contiene a C, entonces [ ] [ ]

dtththtgfdyyxfiii

dttgthtgfdxyxfii

dtthtgthtgfdsyxfi

b

ac

b

ac

b

ac

∫∫

∫∫

∫∫

=

=

+=

)(´))(),((),()(

)(´))(),((),()(

)()())(),((),()(2,2,

La parametrización de una curva C induce una orientación: positiva (indicada C), la correspondiente a t creciente y negativa la opuesta (indicada – C) �) � N(O, P)

�� [O = − � N(O, P) � [O

�) � N(O, P) �� [P = − � N(O, P)

� [P

�) � N(O, P) �� [� = − � N(O, P)

� [�

Ejemplo 8 Ejemplo 8 Ejemplo 8 Ejemplo 8 Evalúe la integral de línea : ( )∫ −+ dyxyxdxxy 324 2

si la curva C consiste del segmento de recta de (-3, -2) a (1, 0) y el arco del primer cuadrante de la circunferencia x2 + y2 = 1 de (1, 0) a (0, 1), recorrida en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.

10


Paramétricamente línea recta : x = 1 + 2t -2 ≤ t ≤ 0 y = t

( )

( ) ( )( )

( ) 2642648

22

136

21318

213212)21(4

324

0

2

0

2

2

0

2

2

2

=−+−−=

++=

++=

+−+++=

−+

−

−

−

∫

∫

∫

ttt

dttt

dttttt

dyxyxdxxy

Arco de circunferencia en el primer cuadrante , las paramétricas correspondiente: x = cos t 0 ≤ t ≤ 1/2π y= sen t

( )

( )( )

( )

( )( )

( ) dtsenttttsent

dtsentttsenttsent

dtsenttttsent

dttsenttttsentsent

dyxyxdxxy

2

0

22

2

0

222

2

0

232

2

0

2

2

cos3)(cos6cos2(

)cos31cos2cos4(

cos3cos2cos4

coscos3cos2)(cos4

324

+−=

−−+−=

−+−=

−+−=

−+

∫

∫

∫

∫

∫

π

π

π

π

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

x

y

11


( ) ( )25

126324

1122

cos22

2

2

0

33

=

−+=−+

−=−−=

+−=

∫ dyxyxdxxy

ttsentsenπ

Ejemplo 9 Ejemplo 9 Ejemplo 9 Ejemplo 9 Determine la masa de un alambre con la forma de la curva y = x2 entre (-2, 4) y (2, 4) si la densidad está dada por δ(x, y) = k │x│

52.11

)12

1

12

17(2

)12

)14((2

412

)2()1(2

22

23

2

0

232

2

0

2

2

0

22

2

=

−=

+=

+=

+=

=

≤≤−==

∫

∫

∫

k

tk

dtttk

dtttk

dsxkm

t

ty

tx

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

1

2

3

4

5

x

y

12


6.5 6.5 6.5 6.5 INTEGRALES DE LÍNEA DE CAMPOS VECTORIALESINTEGRALES DE LÍNEA DE CAMPOS VECTORIALESINTEGRALES DE LÍNEA DE CAMPOS VECTORIALESINTEGRALES DE LÍNEA DE CAMPOS VECTORIALES Trabajo : Trabajo : Trabajo : Trabajo : Es la integral de línea con respecto a la longitud de arco de la componente tangencial a la fuerza. Sean CCCC una curva regular en el espacio, TTTT un vector unitario tangente a CCCC en (x,y,z), y FFFF la fuerza que actúa en (x,y,z). El trabajo WWWW realizado por la partícula a lo largo de CCCC es

� = � � ∙ �[� = � � ∙ [�� Donde � = Oj + Pk + T� es el vector desplazamiento

Ejemplo 10 Ejemplo 10 Ejemplo 10 Ejemplo 10 Dado el siguiente campo vectorial �� = (OQ + P)�� − (O + 1)P�� el cual representa un campo de fuerzas a) Reproduzca usando software matemático la representación grafica del campo vectorial para 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3 .

b) Sea C1 el segmento de recta que une el punto A (0,0) con B (2,0) C2 el segmento de recta que une el punto B (2,0) con C (2,2) Sin efectuar cálculos indique si el trabajo realizado por el Campo F F F F para trasladar una partícula desde A hasta B es positivo o negativo (explique). ¿Es positivo el trabajo realizado por el campo sobre C2?Justifique. � Solo con observar el grafico podemos notar que él y trabajo desde A hasta B es positivo ya que esta en los vectores del campo de fuerza está en la misma dirección de la trayectoria C1. � Por otro lado el trabajo desde B hasta C es negativo ya que el campo de fuerza está en sentido más o menos perpendicular al sentido de C2. c) Calcule el trabajo realizado por FFFF para trasladar una partícula desde A hasta B por C1 y desde B a C por C2. ¿Coincidió con lo conjeturado en a)? ¿Cuál es el trabajo realizado sobre C= C1+ C2?. Parametrización de curvas :

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CCCC1111:::: O = � P = 0 0 ≤ � ≤ 2 CCCC2222:::: O = 2 P = � 0 ≤ � ≤ 2 �1 = � � ∙ [�

�

�1 = ��9�Q + 0:�� − 9� + 1: ∗ 0�� ∙ 91�� + 0��:[�Q

�

�1 = �9�Q�� + 0��:Q

�∙ 91�� + 0��:[�

�1 = � �Q[� = 83

Q

�

�2 = ��92Q + �:�� − 92 + 1: ∗ �� ∙ 90�� + 1:[�Q

�

�2 = ��94 + �:�� − 3��Q

�∙ 90�� + 1��:[�

�2 = � −3�[� = −6Q

�

� = �1 + �2 = 83 − 6 = − ��

�

¿La integral de línea de un campo vectorial F a lo largo de C cambia con la orientación de C? � �� ∙ [�� = − � �� ∙ [�� Porque el vector unitario tangente T es reemplazado por su negativo cuando C es reemplazado por –C. ¿Cuál es la relación entre las integral de línea del campo vectorial F y las integrales de línea de los campos escalares correspondientes a las funciones componentes? La relación es: � c � ∙ [� �� = � g[O + h[P + ¡[T � donde �� = gl + hm + ¡n EjemploEjemploEjemploEjemplo 11111111 Calcular la masa de un resorte que tiene la forma de la hélice circular: �� = |�¢��, �£¤�, �} con 0 ≤ t ≤ 6π, si el material tiene una densidad ρ9x,y,z: = 1+z.

�´9�: = |−�£¤9�:, cos9�: , 1} ¦9O, P, T: = 1 + T ¦9�: = 1 + �

14


§ = � N(O, P, T) � [� = � ¦(�)|�´(�)

© |[� = � (1 + �)|[−�£¤(�), cos(�) , 1]|ª«

� [� = � (1 + �) ¬�−�£¤(�)�Q + (cos(�))Q + (1)Q®ª«

� [� = � (1 + �)¯√2±ª«

� [� = � √2 + �√2ª«

� [� = �√2 + �Q2 √2 ²6³ 0 = 277.89

6.66.66.66.6 TEOREMA FUNDAMENTAL PARA INTEGRALES DE LÍNEATEOREMA FUNDAMENTAL PARA INTEGRALES DE LÍNEATEOREMA FUNDAMENTAL PARA INTEGRALES DE LÍNEATEOREMA FUNDAMENTAL PARA INTEGRALES DE LÍNEA Sea C una curva uniforme definida por la función vectorial r(t),r(t),r(t),r(t), a < t < b. Sea f la función derivable de dos o tres variables cuyo vector gradiente ∇N es continuo en C. Entonces:

� ∇N ∙ [��

= N��9�:� − N9�9�::

Suponga que F es un campo vectorial que es continuo en una región conexa abierta D. Si � � ∙ [�� es independiente de la trayectoria en D, entonces F es un campo vectorial conservativo en D, Es decir existe una función f tal que . ∇N = ��.

La integral de un campo vectorial es independiente de la trayectoria cuando sus campos vectoriales son conservativos. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema : : : : sea F 9x, y: = M9x, y:i + N9x, y:j continuo en una región abierta y conexa D, y sea C una curva regular parte por parte en D con extremos A9x1, y1: y B9x2, y2:. Si F 9x, y: = ),( yxf∇ , entonces

y) (x,f y1) f(x1,-y2) (x2, f

dr F dy y) (x, N dx y) (x, M

)2,2(

)1,1(

c

y2) (x2,

y1) (x1,

yx

yx==

=+∫ ∫

Si un campo vectorial de fuerza F es conservativo, entonces el trabajo realizado a lo largo de la trayectoria C de A a B es igual a la diferencia de potencias entre A y B.

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Ejemplo12Ejemplo12Ejemplo12Ejemplo12 : : : : Considere el siguiente campo vectorial �� = 2�£¤(2O + P)�� + �£¤(2O + P)�� a) ¿Se puede asegurar que el campo es conservativo? ¿Por qué? z(2�£¤(2O + P))zP = 2cos (2O + P)

z(�£¤(2O + P))zO = 2cos (2O + P) Es conservativo por: z(¡)zP = z(¶)zO

b) Dada la siguiente integral � � �· ∙ [�� en la cual �� es el campo vectorial dado y C está formada por 2 segmentos de línea y un cuarto de circunferencia. El primer segmento une los puntos 9π,0: y 92,5:, el segundo segmento comienza en 92,5: y termina en 95π,0:, luego el arco se extiende desde este punto hasta 90,5π:.

¿Que métodos conoce para calcular la integral dada?. ¿Cuál considera más conveniente en este caso ?. Efectúe el cálculo de la integral.

Como es un campo vectorial conservativo realizamos los cálculos independientes de su trayectoria para no complicar mucho el cálculo. Se obtiene la función potencial del campo de fuerza: �� = 2�£¤92O + P:�� + �£¤92O + P:�� 1 N 9O, P: = 2�£¤92O + P: 2 N¹9O, P: = �£¤92O + P: Al integrar 1 con respecto a x se obtiene: 3 N9O, P: = −�¢�92O + P: + º9P: observe que la constante de integración está en función de y. Al derivar 3 con respecto a y tenemos:

16


4 N¹(O, P) = �£¤(2O + P) + º,(P) al compara 2 con 4 podemos decir que la función potencial es: x(d, e) = −»¼½(¾d + e) Calculo de la integral: � �� ∙ [��

= |−�¢�92 ∗ 2 + 5: + �¢�92 ∗ ³ + 0:} + |−�¢�92 ∗ 5³ + 0: + �¢�92 ∗ 2 + 5:}+ |−�¢�92 ∗ 0 + 5³: + �¢�92 ∗ 5³ + 0:} = ¾

Ejemplo 13 Ejemplo 13 Ejemplo 13 Ejemplo 13 la distancia de la tierra 9masa m :al sol 9masa M: varía desde un máximo 9afelio: de 152,1 millones de Km hasta un mínimo 9perihelio: de 147,1 millones de Km. Suponga que es válida la ley del cuadrado inverso de Newton, FFFF = -GMm / /rrrr/ 3, con G=6,67*10-11 Nm2/kg2, M = 1.99*1030 kg y m = 5.97 *1024 kg. ¿ cuanto trabajo realiza F F F F para mover la tierra en cada caso?

( )( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )

5

2

0 22

42

220

38

222

38

22

238

222

38

244

243011

222

10*234329656.2

1.147cos1.152

cos10*184.1

1.147cos1.152

cos1.1471.15201.147cos1.15210*924.7

10*924.7

02

.limcos1.1471.152

1.147cos1.152

)

1.147

cos1.152:

3.50059161741.2163841.23134

:

10*924.710*924.7

10*924.7

10*97.510*99.1)10*67.6(

23

23

2

23

23

23

−

−

=

+=

+

+−++−=

++

++−=

≤≤+−=+=

=

==

=+

=++

++−=

=

=++

++−=

∫

∫

∫

∫

w

tsent

dttsent

tsent

dtttsenjtsenit

drzyx

zkyjxi

titdtttsendr

jtsenitrdrFw

perihelioaafeliorealizadowa

tseny

txCaciónParametriz

yxCOrbita

NkmGMmzyx

zkyjxiF

Nm

GMmzyx

zkyjxiGMmF

c

π

π

π

17


6.76.76.76.7 TEOREMA DE GREENTEOREMA DE GREENTEOREMA DE GREENTEOREMA DE GREEN En esta parte se desarrolla el Teorema de Green, el cual permitió modelar diversas situaciones en el marco de las teorías de electricidad, magnetismo y el análisis de fluidos. Se dice que la curva es cerradacerradacerradacerrada si r r r r (a) = r r r r (b). C se dice que es una curva simple, si r r r r es inyectiva en (a,b), es decir, si rrrr(t1) ≠r r r r (t2). Para comprender mejor se ha tomado como convenio, para las curvas cerradas la orientación positivapositivapositivapositiva se define como el sentido antihorario. El teorema de Green vincula integrales de línea e integrales dobles. Sea C una curva regular parte por parte y cerrada simple, orientada positivamente, y sea R la región del plano acotada por C y su interior. Si M y N son dos funciones continuas que tienen primeras derivadas continuas en una región abierta D que contiene a R, entonces:

.dAdy

dM

dx

dNNdyMdx∫ ∫∫

−=+ .

El teorema de Green se puede extender a regiones que no son simplemente conexas, es decir, que tiene "agujeros" como la que se muestra en el dibujo.

La frontera de esta región está formada por dos curvas cerradas simples. La orientación que se debe tomar en cada trozo de la frontera es aquella que deja la región a la izquierda: la curva de fuera con sentido antihorario mientras que para la curva interior se toma el sentido horario. EjemploEjemploEjemploEjemplo 14141414 Verifique el teorema de Green para el campo vectorial dado y la región dada ¿Cuál de los 2 métodos es más conveniente? ��(O, P) = [PQ cos(O) , OQ + 2P]£¤(O)] zhzO = 2O + 2P�¢�(O) zgzP = 2P�¢�(O) � � ÁzhzO − zgzP Â [\ = � �(2O + 2P�¢�(O) − 2P�¢�(O))[\ = � � 2O[P[O

18


= � � 2OÃ¸�

Q� [P[O

= � 2OP ²3O 0Q

� [O = � 6OQQ

� [O = − 6OÃ3 ²2 0 = 16

Ejemplo 15 Ejemplo 15 Ejemplo 15 Ejemplo 15 Calcule el trabajo realizado por F = 2yi-3xj, al mover un objeto en torno al asteroide: 3

3

3

2

3

2

ayx =+ ∫ +c

NdyMdx

x = a cos3 t y = a sen3 t dx = -3 a cos3 t dy = 3 a sen3 t

( ) ( ) ( ) ( )dttatasentasen 23

232

3

12

0

3 cos33 tcos a +−∫π

( ) ( )dttatsenatasen 233

22

2

0

23

2

cos33 tcos a

+−

∫π

( ) ( )dtttsenata 223

52

0

228

5

cos3 tsencos 3 +−∫π

∫ =π2

0

00dt

−3 −2 −1 1 2 3

−2

−1

1

2

x

y

19


6.7.16.7.16.7.16.7.1 Area de una región Area de una región Area de una región Area de una región EjemploEjemploEjemploEjemplo 16 16 16 16 Aplique el teorema de Green para calcular el área de una región plana D limitada por un arco de la curva x=t – sen(t), y = 1 – cos(t). \ = 12 � O[P − P[O � = 12 � �� − �£¤(�)�(sin (�))[� − (1 − cos(�))(1 − cos(�))[��

Q« = 12 � ��£¤(�) − �£¤Q(�)� − (1 − cos(�))Q[��Q«

= 12 � ��£¤(�) + 2�¢�(�) − 2 [��Q«

= 12 [�£¤(�) − � cos(�) + 2�£¤(�) − 2�] 02³ = 12 (2³ + 4³) = 3³

6.86.86.86.8 INTEGRALES DE SUPERFICIEINTEGRALES DE SUPERFICIEINTEGRALES DE SUPERFICIEINTEGRALES DE SUPERFICIE 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

x

y

20


Una integral de superficie se caracteriza por ser una integral doble de una función de 3 variables sobre una

superficie generalizada, donde la región G es la superficie dada por la gráfica de ),( yxfz = donde (x,y) varía sobre el rectángulo RRRR en el plano xy. Sea P una partición de R en n subrectángulos Ri, esto produce una partición correspondiente de la superficie Gen n partes Gi, En la figura anterior se elige un punto de muestra ( )ii yx , en R y sea ( )),(,,,, iiiiiii yxfyxzyx = el punto correspondiente de Gi, entonces se define como la integral de superficie mediante la siguiente expresión.

( ) ( )∑∫∫=→

∆=n

iiiii

PG

SzyxgdSzyxg1

0,,lim,,

Donde iS∆ es el área de Gi, finalmente R es el conjunto cerrado y acotado por el plano xy. Para evaluar una integral de superficie la definición no es suficiente, se necesita una manera práctica de evaluar una integral de superficie, lo cual se presenta el siguiente : Si G es una superficie dada por ),( yxfz = , donde ),( yx esta en R, si f tiene derivadas parciales de primer orden continuas y )),(,,(),,( yxfyxgzyxg = es continua e R entonces

dydxyfxfyxyfxgdSzyxgG R∫∫ ∫∫ ++= 1)),(,(),,( 22

6.8.16.8.16.8.16.8.1 IIIIntegrales de superficie de campos vectorialesntegrales de superficie de campos vectorialesntegrales de superficie de campos vectorialesntegrales de superficie de campos vectoriales Aquí solo se consideran superficies de dos lados de modo que tenga sentido hablar de un fluido que fluye través de la superficie de un lado a otro, como si la superficie fuese una pantalla.

Además se supone que la superficie es suave, lo que significa que tiene un vector normal unitario nnnn que varía en forma continua. Siendo G tal superficie suave con dos lados, y se supone que se sumerge en un fluido con un campo de velocidad continuo ),,( zyxF si S∆ es el área de una pequeña parte de G, entonces F casi es constante ahí, y el volumen V∆ del fluido cruza este pedazo en la dirección del vector normal unitario nnnn es.

Ri

x

z

y

R

Gi z = f(x,y)

21


SnFV ∆≈∆ *

Lo cual se tiene que el flujo a través de G es :

∫∫=G

ndSFF * Si G es una superficie suave con dos lados, dada por ),( yxfz = , donde ),( yx esta en R, sea nnnn el vector normal unitario hacia arriba . Si f tiene primeras derivadas parciales continuas y F=Mi + Nj + Pk es un campo vectorial continuo, entonces el flujo de F a través de G está dado por :

[ ]dxdyPNfMfndSFFlujoFG G

yx∫∫ ∫∫ +−−== * Ejemplo 17 Ejemplo 17 Ejemplo 17 Ejemplo 17 Evaluar la integral ( )dSzxy

G∫∫ + , donde G es la parte del plano 32 =+− zyx por arriba del

triángulo R dado. En este caso z = 3+ y – 2x = f(x,y), fx = -2 fy = 1 y xyxyzyxg 23),,( −++=

( )∫∫ ∫ ∫ ++−−++=+G

x

dydxxyxydSzxy1

0 0

22 11)2()23( 1

1

x

y

n F

S

X

Y

Z

22


32 =+− zyx

∫

−++

1

0 0

22

22

32

6 dxxyy

yxy

x ∫

−+=

1

0

23

2

33

26 dx

xx

x8

69= Ejemplo 18 Ejemplo 18 Ejemplo 18 Ejemplo 18 Calcular el flujo hacia arriba de kxjyiF 9++−= a través de la parte de la superficie esférica G determinada por :

229),( yxyxfz −−== , 40 22 ≤+≤ yx El campo vectorial F es una corriente de flujo que se encuentra en la dirección del eje positivo.

( ) 0,9),,( 22 =−=−−−= yxfzyxzzyxH

xy

z

(2.00,2.00,0.00)

(-2.00,-2.00,3.00)

23


1)(

)(

1 22

22

+

+

+

+

=+−

+−−=

∇∇=

zy

zx

kjzyiz

x

ff

kjfif

H

Hn

yx

yx

Luego par encontrar el vector que apunta hacia arriba se realiza el siguiente cálculo. ( ) ( )

kz

jy

ix

z

kjzyizx

n3333

++=++

=

∫∫=g

ndSFFlujo * = ( )∫∫

++++−G

dSkz

jy

ix

kxjyi333

*9 = ∫∫

G

zdS3 = ∫∫ =R

dAz

z )2*(93

3 2π = π36 unidades cúbicas Ejemplo 19 Ejemplo 19 Ejemplo 19 Ejemplo 19 Evaluar el flujo para el campo vectorial zkyjxiF ++= a través del parte G el paraboloide

221 yxz −−= que está arriba del plano xy, considerando a nnnn como el vector normal hacia arriba.

221),( yxyxf −−=

xf x 2−= yf y 2−= zyxPNfMf yx ++=+−− 22 22

xy

z

(1.00,1.00,0.00)

(-1.00,-1.00,1.00)

24


222222 1122 yxyxyx ++=−−++= ( )∫∫ ∫∫ ++=

G R

dxdyyxndSF 221* ( )∫ ∫ =+=

π

πθ2

0

1

0

2

2

31 rdrdr

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 20 20 20 20 Calcule la masa y el centro de masa de un embudo delgado con forma de cono T = ÄOQ + PQ , 1 ≤ z ≤ 4 y densidad de masa (masa por unidad de área) dada por la función ρ = 10 – z . O = ��¢�(Å) P = ��£¤(Å) �Q = OQ + PQ 1 ≤ � ≤ 4 0 ≤ Å ≤ 2³ Masa § = Æ ¦(O, P, T) Ç [� § = Æ (10 − T) Ç �√2�[�[Å

§ = √2 � � (10 − �)�[�[ÅÈ^

Q«�

§ = √2 � 5�Q − �Ã3 ²4 1 [ÅQ«�

§ = √2 � 54[ÅQ«� = 108³√2 Centro de Masa O = PÊ = 0 → ¡¢� �j§£��j�

T = 1§ Æ T Ì ¦(O, P, T)[�

T = 1108³√2 √2 � � �(10 − �)�È^

Q«� [�[Å

xy

z

(4.00,4.00,1.00)

(-4.00,-4.00,4.00)

25


T = 1108³ � Í10�Ã3 S �È

4 Î 41Q«

� [Å T L 1108³ � 5854

Q«� [Å

T L ªÏQÈ Centro de Masa Ð0, 0, ªÏ

QÈÑ 6.8.26.8.26.8.26.8.2 IIIIntegrales de ntegrales de ntegrales de ntegrales de flujo en forma paramétrica flujo en forma paramétrica flujo en forma paramétrica flujo en forma paramétrica Si F es un campo vectorial continuo definido sobre una superficie orientada S con un vector unitario normal n, entonces la integral de superficie de F sobre S es

Æ �� ∙ [½ �Ì

L Æ �� ∙ ¤ � [�Ì

También se representa como:

Æ �� ∙ [½ �Ì

L Æ �� ∙ 9�Ò � Ó �Ô �:[\ Z

L Æ �� ∙ 9S¡ zºzO S ¶ zºzP M a:[\ Z

EjemploEjemploEjemploEjemplo 21212121 Calcular ∬ � � ∙ [��Ì si S es la superficie triangular 90, 0, 1:, 91, 0, 0: y 90, 1, 0: orientada según su normal hacia arriba. Siendo: �� L |O, O S P, 2T} . \ÕÊÊÊÊ L 9S1,1,0: \ÖÊÊÊÊ L 9S1,0,1: \ÕÊÊÊÊ Ó \ÖÊÊÊÊ L ² j k �S1 1 0S1 0 1² L 1j M 1k M 1� 19O S 1: M 1P M T L 0 O M P M T L 1 Parametrizando: O L × P L Ø T L 1 S × S Ø �Ò Ó �Ô L ²j k �0 1 S11 0 S1² L S1j M 1k S 1�

Æ � ∙ 9�Ò Ó �Ô:[\ Z

P L 1 S O

26


Æ(×j + (× − Ø)k + 2(1 − × − Ø)�) ∙ 9−1j + 1k − 1�:[\ Z

� � 9×j + 9× − Ø:k + 291 − × − Ø:�: ∙ 9−1j + 1k − 1�:[\��d

�

�

�

� � × − 2[\��d

�

�

�= � � O − 2[P[O

��d

�

�

�= − Ù

Ú

El resultado se lo puede interpretar como un caudal, flujo de calor y flujo eléctrico, según sea la aplicación. 6.9 6.9 6.9 6.9 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS.TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS.TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS.TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS.

Sea →→→→

++= kPjNiMF un campo vectorial tal que M, N y P tienen primeras derivadas parciales continuas en un sólido Q con frontera S, si →

n denota el vector normal unitario, entonces, el flujo de →F a través de una

frontera de una región cerrada en el espacio tridimensional es la integral triple de su divergencia sobre la región.

dvFDivdSnFQS ∫∫∫∫∫

→→→=.

Ejemplo 22 Ejemplo 22 Ejemplo 22 Ejemplo 22 Determinar el flujo total del campo →→→→++= kxyzjzxyiyzxzyxF 222),,( ; a través de la caja

ax ≤≤0 , by ≤≤0 y cz≤≤0

27


div xyzF 6=

→ == ∫∫∫∫∫

→→→dvFDivdSnF

QS. ∫ ∫ ∫

a b cxyzdzdydx

0 0 06 2)(

4

3abc=

Ejemplo 23Ejemplo 23Ejemplo 23Ejemplo 23 : : : : Sea E la región en RRRR3333 acotada por la superficie T = OQ + PQ y el plano z = 1 , aplique el teorema de la divergencia para calcular la siguiente integral ∬ �P�� + O�� + TQ� �� ∙ [��Ì , con “S” orientada hacia el exterior.

�� = P�� + O�� + TQ� � div�� = 2T T = OQ+PQ , T = 1 OQ + PQ = 1

T = �Q 0 ≤ Å ≤ 2³ 0 ≤ � ≤ 1

∬ �P�� + O�� + TQ� �� [��Ì = ∭ div�

Ü [b=∭ 2z Ü [b

x

y

z

(1.00,1.00,0.00)

(-1.00,-1.00,1.00)

28


� � � 2T^ÝÞ [T^

� �Q«� [�[Å

� � TQ ² 1 �Q^

� �Q«� [�[Å

� � (1 − �È)^� �Q«

� [�[Å � �Q2 − �ª6Q«

� ²1 0 [�[Å � 13Q«

� [Å = 2³3 Ejemplo 24 Ejemplo 24 Ejemplo 24 Ejemplo 24 Determinar el flujo total a través de la región Q siendo el campo vectorial

→→→→+−++= kxjzyizxzyxF )()(),,( 22 ; Q es sólido 10 22 ≤+≤ zx , 20 ≤≤ x

6.10 6.10 6.10 6.10 TEOREMA DE STOKESTEOREMA DE STOKESTEOREMA DE STOKESTEOREMA DE STOKES Sea S la superficie, C una curva cerrada suave por partes y →

n vector normal, →→→→++= kPjNiMF es un campo vectorial donde M y N tienen primeras derivadas parciales continuas en S y su frontera C. Si T denota el vector tangente unitario a C, entonces: La integral de línea de la componente tangencial de F a lo largo de C recorrida una vez en la orientación positiva es igual a la integral de superficie sobre S de la componente normal de rot F.

dSnFrotdsTFSC

→→→→

∫∫∫ = ).(.

29


El teorema de Stokes relaciona una integral de superficie sobre una superficie S con una integral de línea alrededor de la curva frontera de S, que es una curva en el espacio. Ejemplo 25 Ejemplo 25 Ejemplo 25 Ejemplo 25 Aplicar el teorema de Stokes siendo : →→→→

++= kzjyixF 222 ; S es el hemisferio 221 yxz −−= y →

n es el vector normal superior.

tx cos= ; senty = ; 0=z

→→→→++= kjsentitr cos

dtkjtisentrd )0cos(→→→→

++−= ∫∫∫∫

→→→→→→==

CSCrdFdSnFrotdsTF ).(.

( )[ ]∫ +−=π2

0

22 ).(cos.cos dtttsensentt [ ] π2

033cos tsent += 0=

x

y

z

(1.00,1.00,0.00)

(-1.00,-1.00,1.00)

30


Ejemplo 25Ejemplo 25Ejemplo 25Ejemplo 25 Sea S la parte del paraboloide T = 9 − OQ − PQ para T ≥ 0, sea C la traza de S en el plano OP. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial �� = 3Tj + 4Ok + 2P�.

º(O, P, T) = T − (9 − OQ − PQ) = T − 9 + OQ + PQ ¤ � = ∇º(O, P, T)‖∇º(O, P, T)‖ = 2Oj + 2Pk + �Ä4OQ + 4PQ + 1 �¢�� = áá j k �zzO zzP zzT3T 4O 2Páá = 2j + 3k + 4� Æ �¢�· � ∙ ¤[] = Æ 4O + 6P + 4

Ä4OQ + 4PQ + 1Ì[]

Æ �¢�·

� ∙ ¤[] = Æ 94O + 6P + 4â

:[\

Æ �¢�·

� ∙ ¤[] = � � 94��¢�Å + 6��£¤Å + 4:�[�[Å = 36³Ã

�

Q«

�

7.7.7.7. ACTIVIDADES A DESARROLLARACTIVIDADES A DESARROLLARACTIVIDADES A DESARROLLARACTIVIDADES A DESARROLLAR AC1AC1AC1AC1 Un alambre delgado esta doblado en forma de semicírculo OQ + PQ = 4 O ≥ 0 Si la densidad lineal es la constante k, calcule la masa y el centro de masa del alambre _ _ 4 Resp:Resp:Resp:Resp: m = 2 ��k (x,y)=( �� , 0 ) �

AC2 AC2 AC2 AC2 Encuentre el valor exacto de � OÃPQT � [� donde C es la curva con ecuaciones paramétricas

O = £�ã cos94�: ; P = £�ã sen94�:; T = £�ã , 0 ≤ � ≤ 2³. Graficar la curva. Resp Resp Resp Resp : 172704�√2 - 14��

x

y

z

(3.00,3.00,0.00)

(-3.00,-3.00,9.00)

31


�� (1 - � ) 5632705 AC3. AC3. AC3. AC3. La fuerza en (x,y) es �� = (2O M P)j M (O M 2P)k . Calcule el trabajo realizado por F a lo largo de las

siguientes curvas que van desde el punto (0,0) a (1,3): Representar el campo vectorial y las curvas mostradas con un software.

Resp:Resp:Resp:Resp: W=13 AC4AC4AC4AC4 Calcular el trabajo de del campo de fuerza es ��(O, P, T) = Pj M Tk M O� a lo largo de la cubica alabeada O = �, P = �Q, T = �Ã de (0,0,0) a (2,4,8). Use un software matemático para la grafica. Resp :Resp :Resp :Resp : 412/15

AC5AC5AC5AC5 Demostrar que si �(O, P, T) = PQ cos(O) j M (2P�£¤(O) M £Qä)k M 2P£Qä� es independiente de su trayectoria y encontrar una función de potencial para F. Suponiendo que F es un campo de fuerza, calcular el trabajo realizado por F a lo largo de una curva C de (0,1, 1/2) a (π/2, 3, 2). RespRespRespResp: � = 9 M 3£È S £ å 170,076

AC6AC6AC6AC6 Evalué la integral ∮ � �·

∙ [�� mediante el teorema de Green (compruebe la orientación de la curva antes de

analizar el teorema) �(O, P) =´ £¸ M OQP, £¹ S PQ { siendo C : la circunferencia OQ M PQ = 25 orientada en sentido de las manecillas del reloj . Resp:Resp:Resp:Resp: -625π/4

P = 3OQ

32


AC7AC7AC7AC7 Verifique el teorema de Green usando un sistema computarizado de algebra para evaluar la integral y la integral doble ¡(O, P) = PQ£¸; ¶(O, P) = OQ£¹ C consta del segmento de la recta de (-1, 1) a (1,1) seguido por el arco de la parábola y=2-x2 de (1,1) a (-1,1) Resp:Resp:Resp:Resp: 48e-1-8e ACACACAC8 8 8 8 Evalué la integral de superficie ∬ OQPT[� Ì S es la parte del plano T = 1 + 2O + 3P y que está situada encima del rectángulo [0,3]x[0,2] Resp:Resp:Resp:Resp: 639.82 ACACACAC9 9 9 9 Determine el centro de masa del hemisferio OQ + PQ + TQ = �Q T ≥ 0, si tiene densidad constante . _ _ _ Resp : Resp : Resp : Resp : x,y,z=(0,0,a/2) AC1AC1AC1AC10 0 0 0 Calcule el flujo a través de de S. ��(O, P, T) = Oj + Pk + T� ; S la parte del plano 2O + 3P + T = 6 contenida en el primer octante. Resp:Resp:Resp:Resp: 18 AC1AC1AC1AC11 1 1 1 Calcule ∬ �� ∙ ¤ � [½Ì si � = 2j + 5k + 3�; S es la parte superior del cono T = ÄOQ + PQque está dentro del cilindro OQ + PQ = 1. Resp:Resp:Resp:Resp: 3π AC1AC1AC1AC12 2 2 2 Mediante el teorema de la divergencia calcule el flujo total del campo vectorial de ��9O, P, T: = 3OPQl +O£äm + TÃn a través de ““““S” que es la superficie del sólido acotada por el cilindro PQ + TQ = 1 y los planos x=-1 y x=2 . Resp:Resp:Resp:Resp: 9π/2 AC1AC1AC1AC13 3 3 3 Mediante el teorema de la divergencia calcule la integral de superficie ∬ �� ∙

Ì []� es decir calcule el flujo de F a través de S. siendo ��9O, P, O: = 9cos9T: + OPQ:l + O£�äm + 9�£¤9P: + OQT:n, y S es la superficie del sólido acotada por el paraboloide T = OQ + PQ y el plano z=4 Resp:Resp:Resp:Resp: 32π/3 AC1AC1AC1AC14 4 4 4 Sean �� = 2Pj + £äk − ��¤O � y S la parte del paraboloide T = 4 − OQ − PQ recortada por el plano xy. Evalue ∬ �¢�· �� ∙ ¤ �[]. Resp Resp Resp Resp :::: -8π AC13 AC13 AC13 AC13 Bajo qué condiciones se cumple la siguiente igualdad: ∯ �¢� ��é^ ∙ []� = ∮ ��· ∙ [�� = ∯ �¢� ��éQ ∙ []� Desarrolle un ejemplo AC18 AC18 AC18 AC18 Verifique el Teorema de Stokes si el campo vectorial está dado por �� = ⟨3P, 4T, −6O⟩ y la superficie S está definida por T = 16 − OQ − PQ , con T ≥ 0 Resp:Resp:Resp:Resp: -48π

33


8.8.8.8. EJERCICIOS Y EJERCICIOS Y EJERCICIOS Y EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFUERZOPROBLEMAS DE REFUERZOPROBLEMAS DE REFUERZOPROBLEMAS DE REFUERZO SECCIÓN PÁGINA EJERCICIOS

16.2 1044 27,32,42,46

16.3 1054 33,34

16.4 1061 18,20

16.6 1080 43,54

16.7 1092 34,41,43

16.8 1097 11,17

16.9 1104 17,18,24 9.9.9.9. OBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALES � Revise los conceptos vistos en clase, que están relacionados con esta guía. � Desarrollar todos los ejercicios propuestos en esta guía y los recomendados por el docente. � Los talleres en clase pueden desarrollarse con grupos de 2 o 3 estudiantes � Utilice software matemático para ayuda con las gráficas de algunos ejercicios. � Ante cualquier duda, pregunte a su profesor. 10.10.10.10. REFERENCIAS DEL MÓDULOREFERENCIAS DEL MÓDULOREFERENCIAS DEL MÓDULOREFERENCIAS DEL MÓDULO

�� AUTOR: STEWART, JAMES. AUTOR: STEWART, JAMES. AUTOR: STEWART, JAMES. AUTOR: STEWART, JAMES. TITULO: Cálculo de varias variables TITULO: Cálculo de varias variables TITULO: Cálculo de varias variables TITULO: Cálculo de varias variables –––– Trascendentes tempranas / Cengage Learning. México. 6ta. edición. Trascendentes tempranas / Cengage Learning. México. 6ta. edición. Trascendentes tempranas / Cengage Learning. México. 6ta. edición. Trascendentes tempranas / Cengage Learning. México. 6ta. edición. 2008200820082008 �� AUTORAUTORAUTORAUTOR: THOMAS, GEORGE B. JR. TITULOTITULOTITULOTITULO: Cálculo de varias variables/ Editorial Pearson Educación. México. Undécima edición. 2006. �� AUTORAUTORAUTORAUTOR: LARSON, ROLAND .; HOSTETLER, ROBERT ; EDWARDS, BRUCE H. TITULO: Cálculo y geometría analítica/ Mc Graw-Hill. Madrid. 6ta. edición.Tomo 2. 1999. �� AUTORAUTORAUTORAUTOR:::: ZILL, DENNIS G.; DEWAR, JACQUELINE M. TITULO: TITULO: TITULO: TITULO: Matemáticas avanzadas para ingeniería: cálculo vectorial, análisis de Fourier y análisis complejo/ McGraw Hill. México. 3ra. edición. Tomo II . 2008. �� AUTOR:AUTOR:AUTOR:AUTOR: PENNEY, DAVID E.; EDWARDS, C. H. TITULO: TITULO: TITULO: TITULO: Cálculo con geometría analítica/ Prentice Hall Hispanoamericana. México. 1994

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