Graf Ostad 2

1

Algoritmos e Estruturas de Dados II

Grafos tipo abstrato de dados

Thiago A. S. Pardo

Profa. M. Cristina

Material de aula da Profa.

Josiane M. Bueno

2

Grafos

Tipo Abstrato de Dados

ltima aula: TAD grafo?

3

Grafos

Tipo Abstrato de Dados

ltima aula: TAD grafo?

Dados/informao (encapsulados)

Estruturas de dados adequadas

Operaes

4

Grafos

Estruturas de Dados

A escolha da estrutura de dados certa para

a representao de grafos tem um enorme

impacto no desempenho de um algoritmo.

H duas representaes usuais:

Matriz de Adjacncias

Listas de Adjacncias

5

Grafos

Matriz de Adjacncias

Dado um grafo G = (V, E) , a matriz de

adjacncias M uma matriz de ordem

|V|x|V|, tal que:

|V| = nmero de vrtices

M[i,j] = 1, se existir aresta de i a j

M[i,j] = 0, se NO existir aresta de i a j

6

Grafos

Matriz de Adjacncias

Qual a matriz de adjacncias do grafo a

seguir?

5

1 2

4

3

7

Grafos

Matriz de Adjacncias

Resposta:

Grafo no direcionado

Matriz simtrica

8

Grafos

Matriz de Adjacncias

Se o grafo for direcionado

M[i,j] deve indicar ou no a presena de uma

aresta divergente de i e convergente em j, ou

seja i j

9

Grafos

Matriz de Adjacncias

Qual a matriz de adjacncias do dgrafo a

seguir?

5

1 2

4

3

10

Grafos

Matriz de Adjacncias

Possvel resposta:

Matriz

assimtrica

0 1 0 0 0

0 0 0 1 1

1 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

11

Grafos

Matriz de Adjacncias

Se o grafo for valorado

M[i,j] deve conter o peso associado com a aresta

Se no existir uma aresta entre i e j, ento

necessrio utilizar um valor que no possa ser

usado como peso (como o valor 0 ou negativo,

por exemplo)

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Grafos

Matriz de Adjacncias

Qual a matriz de adjacncias do grafo direcionado e

valorado a seguir? Suponha que o grafo represente

a distncia em km entre cidades

5

1 2

4

3

50

10

12 8

10

13

Grafos

Matriz de Adjacncias

Possvel resposta:

Grafo simtrico

ou assimtrico?

-1 10 -1 -1 -1

-1 -1 -1 8 12

50 -1 -1 -1 -1

-1 -1 0 -1 -1

-1 -1 -1 10 -1

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

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Grafos

Matriz de Adjacncias

Forma mais simples de representao

Propriedades

armazenamento: ?

teste se aresta (i,j) est no grafo: ?

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Grafos

Matriz de Adjacncias

Forma mais simples de representao

Propriedades

armazenamento: O(|V|2)

teste se aresta (i,j) est no grafo: O(1)

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Grafos

Matriz de Adjacncias

Representao til para grafos densos

Boa para quando desejamos buscar arestas

rapidamente

Ruim quando se necessita examinar a matriz toda:

O(|V|2)

Insero e remoo de vrtices e arestas:

representao boa ou ruim?

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Grafos

Matriz de Adjacncias

Ateno

No incomum encontrar representaes de

dgrafos em matrizes de adjacncias em que a

coluna aponta para a linha

Representao ao gosto do cliente!

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Grafos

Exerccio de Fixao

Represente os grafos acima utilizando

matrizes de adjacncias

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Grafos

Matriz de Adjacncias

Implementao de algumas das operaes mais

comuns

Criar grafo vazio

Inserir aresta

Retirar aresta

Existe aresta?

Obter lista de vrtices adjacentes a um determinado vrtice

Lista est vazia?

Retornar primeiro vrtice da lista

Retornar prximo vrtice adjacente da lista

Imprimir grafo

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Grafos

Matriz de Adjacncias

Exerccio

Implementar sub-rotina que encontre a aresta de

menor peso em um grafo valorado

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Grafos

Matriz de Adjacncias

Questo

Cada grafo associa-se a uma nica matriz de

adjacncia. O inverso verdade?