Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica Proyecto MATEM MA0125 Matem´atica Elemental http://matem.emate.ucr.ac.cr/ Tel.: 2511 4528 Gr´ aficas de funciones trigonom´ etricas Elaborado por: Prof. Jos´ e Ml. Acosta Baltodano 1 Pr´ actica de gr´ aficas de funciones trigonom´ etricas Para cada una de las funciones siguientes obtenga: el periodo, la amplitud, el corrimiento de fase, el ´ambito y las intersecciones con los ejes coordenados. Adem´ as, trace la gr´ afica de la misma. 1. f : h - π 3 ,π i → R, donde f (x) = cos 2x + π 3 - 1 2. g : R → R, donde g(x)= -4 sen 2x - π 3 3. f : R → R, donde f (x)= -2 cos x - π 2 4. f : R → R, donde f (x)= -3 sen x + π 2 5. f : R → R, donde f (x)= -3 sen (4x) 6. f : R → R, donde f (x)= 4 3 cos - x 3 7. g : - π 4 , 3π 4 → R, donde g (x) = 2 sen (2x + π)+1 8. g : - 5π 12 , 4π 3 → R, donde g (x)= -2 cos 2x + π 3 +1 9. f :[-π,π] → R, donde f (x)= -3 sen (2x) 10. f : h - π 4 ,π i → R, donde f (x) = 3 cos (2x - π) 11. f : - 9π 4 , 7π 4 → R, donde f (x) = 2 sen x + π 4 12. f : -π, 3π 4 → R, donde f (x) = 3 sen 2x + π 2 1
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Gr a cas de funciones trigonom etricas - matem.emate.ucr.ac.cr€¦ · Gr a cas de funciones trigonom etricas Elaborado por: Prof. Jos e Ml. Acosta Baltodano 1 Pr actica de gr a cas
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Transcript
Universidad de Costa RicaEscuela de Matematica
Proyecto MATEMMA0125 Matematica Elemental
http://matem.emate.ucr.ac.cr/Tel.: 2511 4528
Graficas de funciones trigonometricasElaborado por: Prof. Jose Ml. Acosta Baltodano
1 Practica de graficas de funciones trigonometricas
Para cada una de las funciones siguientes obtenga: el periodo, la amplitud, el corrimiento de fase,el ambito y las intersecciones con los ejes coordenados. Ademas, trace la grafica de la misma.
1. f :[−π
3, π]→ R, donde f (x) = cos
(2x+
π
3
)− 1
2. g : R→ R, donde g(x) = −4 sen(
2x− π
3
)3. f : R→ R, donde f (x) = −2 cos
(x− π
2
)4. f : R→ R, donde f (x) = −3 sen
(x+
π
2
)5. f : R→ R, donde f (x) = −3 sen (4x)
6. f : R→ R, donde f (x) =4
3cos(−x
3
)7. g :
[−π
4,3π
4
]→ R, donde g (x) = 2 sen (2x+ π) + 1
8. g :
[−5π
12,4π
3
]→ R, donde g (x) = −2 cos
(2x+
π
3
)+ 1
9. f : [−π, π]→ R, donde f (x) = −3 sen (2x)
10. f :[−π
4, π]→ R, donde f (x) = 3 cos (2x− π)
11. f :
[−9π
4,7π
4
]→ R, donde f (x) = 2 sen
(x+
π
4
)12. f :
[−π, 3π
4
]→ R, donde f (x) = 3 sen
(2x+
π
2
)1
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 2
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas
1. f :[−π
3, π]→ R, donde f (x) = cos
(2x+
π
3
)− 1
(a) Periodo: ρ =2π
2= π
(b) Amplitud: 1
(c) Corrimiento de fase:π
6
2x+π
3= 0
⇒ 2x = −π3
⇒ x = −π6← punto de inicio para graficar
(d) Ambito: [−2, 0]
(e) Corte con el eje Y :
f (0) = cos(
2 · 0 +π
3
)− 1 = −1
2
∴ El corte con el eje Y es
(0,−1
2
)(f) Cortes con el eje X:
0 = cos(
2x+π
3
)− 1
⇒ 1 = cos(
2x+π
3
)⇒ 2x+
π
3= 2kπ, k ∈ Z
⇒ 2x = −π3
+ 2kπ, k ∈ Z
⇒ x = −π6
+ kπ, k ∈ Z
(−1, 0) (1, 0)
k x = −π6
+ kπ¿Esta en eldominio?
−1 −7π
6×
0 −π6
X
15π
6X
211π
6×
∴ Los cortes con el eje X son(π
6, 0)
y
(5π
6, 0
)
UCR–MATEM–MA0125
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 3
(g) Grafica
Para graficar
f (0) = −1
2
f (π) = −1
2
f(−π
3
)= −1
2periodo π
unidad: longitud π4
punto inicial
−π6
5π6
x f (x)
−2π
12= −π
60
π
4− π
6=
π
12=
π
12−1
2π
4− π
6=
4π
12=
π
3−2
3π
4− π
6=
7π
12=
7π
12−1
4π
4− π
6=
10π
12=
5π
60
−2
−1
1 f :[−π
3 , π]→ R
−π3−π
6π12
π3
7π12
5π6 π
2. g : R→ R, donde g(x) = −4 sen(
2x− π
3
)(a) Periodo: ρ =
2π
2= π
(b) Amplitud: 4
(c) Corrimiento de fase:π
6
2x− π
3= 0
⇒ 2x =π
3
⇒ x =π
6← punto de inicio para graficar
UCR–MATEM–MA0125
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 4
(d) Ambito: [−4, 4]
(e) Corte con el eje Y :
g(0) = −4 sen(
2 · 0− π
3
)= −4 sen
(−π
3
)= −4 · −
√3
2= 2√
3
∴ El corte con el eje Y es(0, 2√
3)
(f) Cortes con el eje X:
0 = −4 sen(
2x− π
3
)⇒ 0 = sen
(2x− π
3
)⇒ 2x− π
3= kπ, k ∈ Z
⇒ 2x =π
3+ kπ, k ∈ Z
⇒ x =π
6+kπ
2, k ∈ Z
(−1, 0) (1, 0)
Ejemplos de cortes:
k x =π
6+kπ
2¿Esta en elintervalo?
0π
6X
12π
3X
−1 −π3
X
27π
6X
......
∴ Los cortes con el eje X son los puntos de la forma
(π
6+kπ
2, 0
), con k ∈ Z
(g) Grafica
Para graficar
x g (x)
2π
12=
π
60
π
4+π
6=
5π
12=
5π
12−4
2π
4+π
6=
8π
12=
2π
30
3π
4+π
6=
11π
12=
11π
124
4π
4+π
6=
14π
12=
7π
60
periodo π
unidad: longitud π4
punto inicial
π6
7π6
UCR–MATEM–MA0125
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
π6
5π12
2π3
11π12
7π6
17π12
− π12
−π3
− 7π12
− 5π6
− 13π12
2√3
3. f : R→ R, donde f (x) = −2 cos(x− π
2
)(a) Periodo: ρ =
2π
1= 2π
(b) Amplitud: 2
(c) Corrimiento de fase:π
2
x− π
2= 0
⇒ x =π
2← punto de inicio para graficar
(d) Ambito: [−2, 2]
(e) Corte con el eje Y :
f(0) = −2 cos(
0− π
2
)= −2 cos
(−π
2
)= −2 · 0 = 0
∴ El corte con el eje Y es (0, 0)
UCR–MATEM–MA0125
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 6
(f) Cortes con el eje X:
0 = −2 cos(x− π
2
)⇒ 0 = cos
(x− π
2
)⇒ x− π
2=
π
2+ kπ, k ∈ Z
⇒ x =π
2+π
2+ kπ, k ∈ Z
⇒ x = π + kπ, k ∈ Z
(0,−1)
(0, 1)
∴ Los cortes con el eje Xson los puntos de la forma(π + kπ, 0), con k ∈ Z
(g) Grafica
Para graficar
x f (x)
π
2−2
π
2+π
2=
2π
2= π 0
2π
2+π
2=
3π
2=
3π
22
3π
2+π
2=
4π
2= 2π 0
periodo 2π
unidad: longitud 2π4 = π
2
punto inicial
π2
5π2
−2
−1
1
2
− 3π2
−π −π2
π2 π 3π
2 2π
UCR–MATEM–MA0125
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 7
4. f : R→ R, donde f (x) = −3 sen(x+
π
2
)(a) Periodo: ρ =
2π
1= 2π
(b) Amplitud: 3
(c) Corrimiento de fase:π
2
x+π
2= 0
⇒ x = −π2← punto de inicio para graficar
(d) Ambito: [−3, 3]
(e) Corte con el eje Y :
f(0) = −3 sen(
0 +π
2
)= −3 sen
(π2
)= −3 · 1 = −3
∴ El corte con el eje Y es (0,−3)
(f) Cortes con el eje X:
0 = −3 sen(x+
π
2
)⇒ 0 = sen
(x+
π
2
)⇒ x+
π
2= kπ, k ∈ Z
⇒ x = −π2
+ kπ, k ∈ Z
(−1, 0) (1, 0)
∴ Los cortes con el eje Xson los puntos de la forma(−π
2+ kπ, 0
), con k ∈ Z
(g) Grafica
Para graficar
x f (x)
−π2
0
π
2− π
2=
0π
2= 0 −3
2π
2− π
2=
π
2=
π
20
3π
2− π
2=
2π
2= π 3
4π
2− π
2=
3π
2=
3π
20
periodo 2π
unidad: longitud 2π4 = π
2
punto inicial
−π2
3π2
UCR–MATEM–MA0125
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 8
−3
−2
−1
1
2
3
−2π − 3π2
−π −π2
π2 π 3π
2 2π 5π2 3π
5. f : R→ R, donde f (x) = −3 sen (4x)
(a) Periodo: ρ =2π
4=π
2(b) Amplitud: 3
(c) Corrimiento de fase: 0
4x = 0
⇒ x = 0← punto de inicio para graficar
(d) Ambito: [−3, 3]
(e) Corte con el eje Y :
f(0) = −3 sen (4 · 0) = −3 sen (0) = −3 · 0 = 0
∴ El corte con el eje Y es (0, 0)
(f) Cortes con el eje X:
0 = −3 sen (4x)
⇒ 0 = sen (4x)
⇒ 4x = kπ, k ∈ Z
⇒ x =kπ
4, k ∈ Z
(−1, 0) (1, 0)
∴ Los cortes con el eje Xson los puntos de la forma(kπ
4, 0
), con k ∈ Z
UCR–MATEM–MA0125
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 9
(g) Grafica
Para graficar
x f (x)
0 0
π
8=
π
8−3
2π
8=
π
40
3π
8=
3π
83
4π
8=
π
20
periodo π2
unidad: longitudπ2
4 = π8
punto inicial
0 π2
−3
−2
−1
1
2
3
−π2
π2
−π4
π4
6. f : R→ R, donde f (x) =4
3cos(−x
3
)(a) Periodo: ρ =
2π13
= 6π
(b) Amplitud:4
3(c) Corrimiento de fase: 0
−x3
= 0
⇒ x = 0← punto de inicio para graficar
(d) Ambito:
[−4
3,4
3
]UCR–MATEM–MA0125
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 10
(e) Corte con el eje Y :
f(0) =4
3cos
(−0
3
)=
4
3cos (0) =
4
3· 1 =
4
3
∴ El corte con el eje Y es
(0,
4
3
)(f) Cortes con el eje X:
0 =4
3cos(−x
3
)⇒ 0 = cos
(−x
3
)⇒ −x
3=
π
2+ kπ, k ∈ Z
⇒ x = −3π
2− 3kπ, k ∈ Z
(0,−1)
(0, 1)
∴ Los cortes con el eje Xson los puntos de la forma(−3π
2− 3kπ, 0
), con k ∈ Z
(g) Grafica
Para graficar
x f (x)
04
33π
2=
3π
20
6π
2= 3π −4
39π
2=
9π
20
12π
2= 6π
4
3
periodo 6π
unidad: longitud 6π4 = 3π
2
punto inicial
0 6π
43
− 43
−9π − 15π2
−6π − 9π2
−3π − 3π2 9π
15π26π
9π23π
3π2
UCR–MATEM–MA0125
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 11
7. g :
[−π
4,3π
4
]→ R, donde g (x) = 2 sen (2x+ π) + 1
(a) Periodo: ρ =2π
2= π
(b) Amplitud: 2
(c) Corrimiento de fase:π
2
2x+ π = 0
⇒ 2x = −π
⇒ x = −π2← punto de inicio para graficar
(d) Ambito: [−1, 3]
(e) Corte con el eje Y :
g (0) = 2 sen (2 · 0 + π) + 1 = 2 · 0 + 1 = 1
∴ El corte con el eje Y es (0, 1)
(f) Cortes con el eje X:
0 = 2 sen (2x+ π) + 1
⇒ −1 = 2 sen (2x+ π)
⇒ −1
2= sen (2x+ π)
y = − 12
β = 11π6
β = 7π6
−12
= sen (β)
⇒ β =7π
6+ 2kπ
o
β =11π
6+ 2kπ
⇒ 2x+ π =7π
6+ 2kπ o 2x+ π =
11π
6+ 2kπ , k ∈ Z
⇒ 2x =π
6+ 2kπ o 2x =
5π
6+ 2kπ , k ∈ Z
⇒ x =π
12+ kπ o x =
5π
12+ kπ , k ∈ Z
∴ Los cortes con el eje X son de la forma( π
12+ kπ, 0
)o
(5π
12+ kπ, 0
), con k ∈ Z
UCR–MATEM–MA0125
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 12
k x = π12
+ kπ¿Esta en eldominio?
x = 5π12
+ kπ¿Esta en eldominio?
−1 −11π
12× −7π
12×
0π
12X
5π
12X
113π
12× 17π
12×
∴ Los cortes con el eje X son( π
12, 0)
y
(5π
12, 0
)(g) Grafica
Para graficar
x g (x)
−π2
1
π
4− π
2= −π
43
2π
4− π
2= 0 1
3π
4− π
2=
π
4−1
4π
4− π
2=
π
21
periodo π
unidad: longitud π4
punto inicial
−π2
π2
−1
1
2
3
g :
[−π4,3π
4
]→ R
−π4
π4
π2
3π4
8. g :
[−5π
12,4π
3
]→ R, donde g (x) = −2 cos
(2x+
π
3
)+ 1
(a) Periodo: ρ =2π
2= π
(b) Amplitud: 2
(c) Corrimiento de fase:π
6
2x+π
3= 0
⇒ 2x = −π3
⇒ x = −π6← punto de inicio para graficar
UCR–MATEM–MA0125
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 13
(d) Ambito: [−1, 3]
(e) Corte con el eje Y :
g (0) = −2 cos(
2 · 0 +π
3
)+ 1 = −2 cos
(π3
)+ 1 = −2 · 1
2+ 1 = 0
∴ El corte con el eje Y es (0, 0)
(f) Cortes con el eje X:
0 = −2 cos(
2x+π
3
)+ 1
⇒ −1 = −2 cos(
2x+π
3
)⇒ 1
2= cos
(2x+
π
3
)
x = 12 β = π
3
β = 5π3
12
= cos (β)
⇒ β = π3
+ 2kπ
o
β = 5π3
+ 2kπ
⇒ 2x+π
3=
π
3+ 2kπ o 2x+
π
3=
5π
3+ 2kπ , k ∈ Z
⇒ 2x = 2kπ o 2x =4π
3+ 2kπ , k ∈ Z
⇒ x = kπ o x =2π
3+ kπ , k ∈ Z
∴ Los cortes con el eje X son de la forma (kπ, 0) o
(2π
3+ kπ, 0
), con k ∈ Z
k x = kπ¿Esta en eldominio?
x = 2π3
+ kπ¿Esta en eldominio?
−2 −2π × −4π
3×
−1 −π × −π3
X
0 0 X2π
3X
1 π X5π
3×
2 2π × 8π
3×
UCR–MATEM–MA0125
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 14
∴ Los cortes con el eje X son(−π
2, 0)
, (0, 0),
(2π
3, 0
)y (π, 0)
(g) Grafica
Para graficar
x g (x)
−π6
−1
π
4− π
6=
π
121
2π
4− π
6=
π
33
3π
4− π
6=
7π
121
4π
4− π
6=
5π
6−1
periodo π
unidad: longitud π4
punto inicial
−π6
5π6
x g (x)
−5π
121
4π
33
−1
1
2
3
−π4
π4
π2
3π4 π 5π
4
9. f : [−π, π]→ R, donde f (x) = −3 sen (2x)
(a) Periodo: ρ =2π
2= π
(b) Amplitud: 3
(c) Corrimiento de fase: 0
2x = 0
⇒ x = 0← punto de inicio para graficar
(d) Ambito: [−3, 3]
(e) Corte con el eje Y :
UCR–MATEM–MA0125
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 15
f (0) = −3 sen (2 · 0) = −3 · 0 = 0
∴ El corte con el eje Y es (0, 0)
(f) Cortes con el eje X:
0 = −3 sen (2x)
⇒ 0 = sen (2x)
⇒ 2x = kπ, k ∈ Z
⇒ x =kπ
2, k ∈ Z
(−1, 0) (1, 0)
∴ Los cortes con el eje Xson los puntos de la forma(kπ
2, 0
), con k ∈ Z
k x = kπ2
¿Esta en eldominio?
−3 −3π
2×
−2 −π X
−1 −π2
X
0 0 X
1π
2X
2 π X
33π
2×
∴ Los cortes con el eje
X son (−π, 0),(−π
2, 0)
,
(0, 0),(π
2, 0)
y (π, 0)
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2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 16
(g) Grafica
Para graficar
x f (x)
0 0
π
4=
π
4−3
2π
4=
π
20
3π
4=
3π
43
4π
4= π 0
periodo π
unidad: longitud π4
punto inicial
0 π
−3
−2
−1
0
1
2
3
−π4
−π2
− 3π4
−π π4
π2
3π4 π
10. f :[−π
4, π]→ R, donde f (x) = 3 cos (2x− π)
(a) Periodo: ρ =2π
2= π
(b) Amplitud: 3
(c) Corrimiento de fase:π
2
2x− π = 0
⇒ 2x = π
⇒ x =π
2← punto de inicio para graficar
UCR–MATEM–MA0125
2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 17
(d) Ambito: [−3, 3]
(e) Corte con el eje Y :
f (0) = 3 cos (2 · 0− π) = 3 cos (−π) = 3 · −1 = −3
∴ El corte con el eje Y es (0,−3)
(f) Cortes con el eje X:
0 = 3 cos (2x− π)
⇒ 0 = cos (2x− π)
⇒ 2x− π =π
2+ kπ, k ∈ Z
⇒ 2x =3π
2+ kπ, k ∈ Z
⇒ x =3π
4+kπ
2, k ∈ Z
(0,−1)
(0, 1)
∴ Los cortes con el eje Xson los puntos de la forma(
3π
4+kπ
2, 0
), con k ∈ Z
k x = 3π4
+ kπ2
¿Esta en eldominio?
−3 −3π
4×
−2 −π4
X
−1π
4X
03π
4X
19π
4×
∴ Los cortes con el eje X son(−π
4, 0)
,(π
4, 0)
y
(3π
4, 0
)
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2 Soluciones de graficas de funciones trigonometricas 18
(g) Grafica
Para graficar
x f (x)
0 0
π
4=
π
4−3
2π
4=
π
20
3π
4=
3π
43
4π
4= π 0
periodo π
unidad: longitud π4
punto inicial
0 π
−3
−2
−1
1
2
3
−π4
−π2
− 3π4
−π π4
π2
3π4 π
11. f :
[−9π
4,7π
4
]→ R, donde f (x) = 2 sen
(x+
π
4
)(a) Periodo: ρ =
2π
1= 2π
(b) Amplitud: 2
(c) Corrimiento de fase:π
4
x+π
4= 0
⇒ 2x = −π4← punto de inicio para graficar
(d) Ambito: [−2, 2]
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(e) Corte con el eje Y :
f (0) = 2 sen(
0 +π
4
)= 2 sen
(π4
)= 2
√2
2=√
2
∴ El corte con el eje Y es(0,√
2)
(f) Cortes con el eje X:
0 = 2 sen(x+
π
4
)⇒ 0 = sen
(x+
π
4
)⇒ x+
π
4= kπ, k ∈ Z
⇒ x = −π4
+ kπ, k ∈ Z
(−1, 0) (1, 0)
∴ Los cortes con el eje Xson los puntos de la forma(−π
4+ kπ, 0
), con k ∈ Z
k x = −π4
+ kπ2
¿Esta en eldominio?
−3 −13π
4×
−2 −9π
4X
−1 −5π
4X
0 −π4
X
13π
4X
27π
4X
311π
4×
∴ Los cortes con el eje X son
(−5π
4, 0
),
(−9π
4, 0
),(−π
4, 0)
,
(3π
4, 0
)y
(7π
4, 0
)
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(g) Grafica
Para graficar
x f (x)
−π4
0
π
2− π
4=
π
42
2π
2− π
4=
3π
40
3π
2− π
4=
5π
4−2
4π
2− π
4=
7π
40
periodo 2π
unidad: longitud π2
punto inicial
−π4
7π4
−2
−1
1
2
−π4
− 3π4
− 5π4
− 7π4
− 9π4
π4
3π4
5π4
7π4
√2
12. f :
[−π, 3π
4
]→ R, donde f (x) = 3 sen
(2x+
π
2
)(a) Periodo: ρ =
2π
2= π
(b) Amplitud: 3
(c) Corrimiento de fase:π
4
2x+π
2= 0
⇒ 2x = −π2
⇒ x = −π4← punto de inicio para graficar
(d) Ambito: [−3, 3]
(e) Corte con el eje Y :
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f (0) = 3 sen(
2 · 0 +π
2
)= 3 sen
(π2
)= 3 · 1 = 3
∴ El corte con el eje Y es (0, 3)
(f) Cortes con el eje X:
0 = 3 sen(
2x+π
2
)⇒ 0 = sen
(2x+
π
2
)⇒ 2x+
π
2= kπ, k ∈ Z
⇒ 2x = −π2
+ kπ, k ∈ Z
⇒ x = −π4
+kπ
2, k ∈ Z
(−1, 0) (1, 0)
∴ Los cortes con el eje Xson los puntos de la forma(−π
4+kπ
2, 0
), con k ∈ Z
k x = −π4
+ kπ2
¿Esta en eldominio?
−2 −5π
4×
−1 −3π
4X
0 −π4
X
1π
4X
23π
4X
35π
4×
∴ Los cortes con el eje X son
(−3π
4, 0
),(−π
4, 0)
,(π
4, 0)
y
(3π
4, 0
)
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