Fun¸ c˜ oes: Mon´ otonas, Limitadas e Peri´ odicas Fun¸c˜ oes Trigonom´ etricas Fun¸c˜ oes - Aula 07 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de S˜ ao Paulo S˜ ao Carlos SP, Brazil 23 de Mar¸ co de 2020 Primeiro Semestre de 2020 Turma 2020114 Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 0353 C´ alculo I
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Funcoes: Monotonas, Limitadas e PeriodicasFuncoes Trigonometricas
Funcoes - Aula 07
Alexandre Nolasco de CarvalhoUniversidade de Sao Paulo
Sao Carlos SP, Brazil
23 de Marco de 2020
Primeiro Semestre de 2020Turma 2020114
Alexandre Nolasco de Carvalho ICMC - USP SMA 0353 Calculo I
Funcoes: Monotonas, Limitadas e PeriodicasFuncoes Trigonometricas
Diremos que f e limitada se, e somente se, Im(f ) = f (Df ) ⊂ Rfor limitado. Caso contrario, a funcao f sera dita ilimitada. SeA1 ⊂ Df , entao f sera limitada em A1 se, e somente se, arestricao f |A1 for limitada, isto e, f (A1) ⊂ R for limitada.
Observacao: Da definicao acima, f sera limitada, se e somente se,existir L > 0 tal que
|f (x)| ≤ L, ∀ x ∈ Df ,
ou, equivalentemente, se ∃ L, l ∈ R tais que
l ≤ f (x) ≤ L, ∀ x ∈ Df .
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Considere f (x) = x − [x ], em que [x ] = max{n ∈ Z : n ≤ x} e afuncao maior inteiro menor ou igual a x . Entao f e 1-periodica e operıodo mınimo de f e 1. Faca o grafico de f
Solucao: Primeiramente provemos que [x+1]=[x ]+1. De fato,
[x ]≤x e [x ]+1>x =⇒ [x ]+1≤x+1 e ([x ]+1)+1>x+1.
Agora observe que, para todo x ∈ R,
f (x + 1) = (x + 1)− [x + 1] = (x + 1)− ([x ] + 1) = x − [x ] = f (x).
E facil ver que 1 e o menor perıodo. Basta fazer o grafico de f em[0, 1) e repetir em cada intervalo da forma [n − 1, n), n ∈ Z\{1}.
-3 -2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
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E claro que o seno e o cosseno de um angulo agudo sao numeroscompreendidos entre 0 e 1.
A relacao (1) sugere que para todo angulo α, os numeros cosα esenα sao as coordenadas de um ponto da circunferencia de raio 1e centro na origem de R2. Usaremos isto para estender as funcoescosseno e seno para angulos fora do intervalo (0, π/2).
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Observacao: Sempre que falarmos das funcoes seno e cosseno osangulos serao sempre medidos em radianos (πradianos = 180o).
Se considerarmos a circunferencia unitaria centrada na origem doR2 e marcarmos, a partir do eixo x , um angulo t, entao poderemosdefinir sen t e cos t de forma que as coordenadas do ponto Psejam (cos t, sen t).
&%'$
��r
@@
P = (cos t, sen t) rt
α
Q = (cosα, senα)
1−1-
6
Assim, sen t e cos t coincidem com a definicao original se0 < t < π/2 e podem ser estendidas para qualquer t ∈ R, semarcarmos angulos positivos no sentido anti-horario e angulosnegativos no sentido horario.
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Proposicao (Propriedades)(a) O seno e positivo no primeiro e segundo quadrantes e
negativo no terceiro e quarto quadrantes.
(b) O cosseno e positivo no primeiro e quarto quadrantes enegativo no segundo e terceiro quadrantes.
(c) O seno e cosseno sao 2π-periodicos com imagem em [−1, 1].
(d) O cosseno e uma funcao par e o seno e uma funcao ımpar.
(e) sen t = cos(π
2− t)
e cos t = sen(π
2− t)
.
(f) −sen t = cos(π
2+ t)
e cos t = sen(π
2+ t)
.
(g) sen t = sen(π − t) e − cos t = cos(π − t).
(h) −sen t = sen(π + t) e − cos t = cos(π + t).
(i) sen(0) = cos(π
2
)= 0 e cos(0) = sen
(π2
)= 1.
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Proposicao (Formulas de Adicao)
(a) cos(α + β) = cos(α) cos(β)− sen(α)sen(β).
(b) sen(α + β) = sen(α) cos(β) + sen(β) cos(α).Trocando β por −β e uzando propriedades das funcoes temos
(c) cos(α− β) = cos(α) cos(β) + sen(α)sen(β).
(d) sen(α− β) = sen(α) cos(β)− sen(β) cos(α).
A partir das formulas de adicao deduzimos
Proposicao (Arco Duplo)
(a) cos(2α) = cos2(α)− sen2(α).
(b) sen(2α) = 2 sen(α) cos(α).
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Das formulas de arco duplo e da identidade cos2α+sen2α=1, temos
Proposicao (Arco Metade)
(a) cos(α) = ±√
1 + cos(2α)
2.
(b) sen(α) = ±√
1− cos(2α)
2.
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A partir das formulas de adicao obtemos
Proposicao (Transformacao de Produto em Soma)
(a) cos(α) cos(β) =1
2cos(α+ β) +
1
2cos(α− β), [somando (a) e
(c) da Proposicao 3].
(b) sen(α)sen(β) =1
2cos(α + β)− 1
2cos(α− β), [subtraindo (a)
e (c) da Proposicao 3].
(c) sen(α) cos(β) =1
2sen(α + β)− 1
2sen(α− β) [subtraindo (b)
e (d) da Proposicao 3].
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Proposicao (Transformacao de Soma em Produto)
(a) sen (α) + sen (β) = 2sen(α + β
2
)cos(α− β
2
).
(b) cos(α) + cos(β) = 2 cos(α + β
2
)cos(α− β
2
).
Prova: Para provar as formulas acima proceda da seguinte forma
(a) Escreva α =α + β
2+α− β
2e β =
α + β
2− α− β
2e utilize
(b) e (d) da Proposicao 3.
(b) Escreva α e β como na parte (a) e utilize (a) e (c) daProposicao 3.
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De maneira analoga temos
Proposicao (Transformacao de Subtracao em Produto)
(a) sen (α)− sen (β) = 2sen(α− β
2
)cos(α + β
2
).
(b) cos(α)− cos(β) = −2sen(α + β
2
)sen(α− β
2
).
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Definicao
Definimos
I tg(α) =sen(α)
cos(α), D(tg) = {α : cosα 6= 0}
I cotg(α) =cos(α)
sen(α), D(cotg) = {α : senα 6= 0}
I cosec(α) =1
sen(α), D(cosec) = {α : senα 6= 0}
I sec(α) =1
cos(α), D(sec) = {α : cosα 6= 0}
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Exercıcio: De um significado geometrico para tg(α), cotg(α),sec(α) e cosec(α).
Exercıcio: Esboce os graficos das funcoes tg, cotg, sec e cosec.
Exercıcio: Classifique as funcoes trigonometricas em par, ımpar,periodica, limitada.
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