ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------------- Đào Thị Luyên GIAO THOA COULOMB - HADRON NĂNG LƢỢNG CAO LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – 2014
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------------
Đào Thị Luyên
GIAO THOA COULOMB - HADRON
NĂNG LƢỢNG CAO
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Hà Nội – 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------------
Đào Thị Luyên
GIAO THOA COULOMB – HADRON
NĂNG LƢỢNG CAO
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN NHƯ XUÂN
Hà Nội – 2014
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, TS. Nguyễn Như
Xuân là người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em trong suốt thời
gian học tập và hoàn thành luận văn thạc sĩ này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô, tập thể cán bộ
Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã giúp đỡ, dạy bảo,
động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em
có thể hoàn thành luận văn này.
Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các thầy cô ở Khoa Vật lý
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn khóa luận có nhiều
thiếu sót, em rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày 30 tháng 10 năm 2014
Học viên
Đào Thị Luyên
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
Chƣơng 1 - MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON7
1.1. Biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tương tác ............................................... 7
1.2. Pha biên độ tán xạ trong gần đúng eikonal ...................................................... 8
Chƣơng 2 - HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ ................................................................... 12
2.1. Ảnh hưởng của hệ số dạng điện từ vào biểu thức pha tán xạ ........................ 12
2.2. Hệ số dạng điện từ khi xung lượng truyền rất nhỏ ........................................ 14
Chƣơng 3 - PHA CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB - HADRON CẢI BIẾN
................................................................................................................................... 16
3.1. Phép khai triển Born eikonal ......................................................................... 16
3.2. Biểu thức của pha khi kể thêm bổ chính của hệ số dạng điện từ ................... 17
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 23
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 24
PHỤ LỤC A - PHA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ DẠNG GAUSS .................................... 26
PHỤ LỤC B - CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ ............................................ 29
PHỤ LỤC C - HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLEON ................................ 49
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1: Đồ thị của pha tán xạ toàn phần TOT , theo q2 (GeV
2) với giá trị
213B GeV và . 2 20 71 GeV ...............................................................................21
Hình 3.2: Đồ thị mô tả sự đóng góp của v (q2) vào pha tán xạ toàn phần TOT
................................................................................................................................... 21
1
MỞ ĐẦU
1. Bối cảnh nghiên cứu của đề tài
Những tiến bộ trong khoa học công nghệ đã cho ra đời các máy gia tốc năng
lượng cao cung cấp cho chúng ta cơ hội nghiên cứu bằng thực nghiệm các quá trình
tán xạ đàn hồi pp và pp ở năng lượng khối tâm ngày càng cao, đặc biệt là xác định
tiết diện tán xạ toàn phần của quá trình này, liên quan đến phần ảo của biên độ tán
xạ trước và tỉ số giữa phần thực và phần ảo của biên độ tán xạ, được suy ra từ các
định lý quang học. Lưu ý rằng, tiết diện tán xạ có thể suy ra được từ các nguyên lý
cơ bản của lý thuyết tán xạ lượng tử và có thể dễ dàng so sánh với thực nghiệm. [2-
8].
Hiện nay, với các số liệu thống kê phong phú về các phép đo tán xạ đàn hồi
của các nucleon tích điện ở mức năng lượng cao cho phép chúng ta thực hiện các
phân tích chi tiết các dữ liệu đo trong một vùng rộng lớn của t – bình phương xung
lượng truyền 4 chiều. Các vùng này là không chỉ gồm vùng ở gần hạt nhân nơi mà
tán xạ hadron chiếm ưu thế, có nghĩa là 2 2| | 10t GeV mà còn cả vùng mà tán xạ
Coulomb đóng vai trò ưu thế tức là 2 2| | 10t GeV (vùng này thường được chia
thành hai vùng nhỏ là vùng Coulomb và vùng giao thoa Coulomb – hadron).
2. Lý do chọn đề tài
Trong lý thuyết tán xạ tồn tại các bài toán hạt thực tế tham gia đồng thời hai
hay nhiều tương tác khác nhau. Ví dụ, trong tương tác hạt nhân của các hạt mang
điện, ngoài tương tác hạt nhân, cần phải xét tương tác Coulomb giữa các hạt va
chạm. [12]
Sử dụng phép gần đúng chuẩn cổ điển trong cơ học lượng tử Bethe đã thu
được công thức để cho tán xạ thế với góc tán xạ nhỏ của proton lên hạt nhân, trong
đó có tính đến sự giao thoa của các biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hạt
nhân. [12]
2
Biên độ tán xạ đàn hồi được ký hiệu bằng C NF và có thể biểu diễn một cách
hình thức dưới dạng tổng hai loại biên độ tán xạ sau: [12]
C N C N iF F F e , (0.1)
trong đó CF - biên độ tán xạ hoàn toàn Coulomb, NF - biên độ tán xạ hoàn toàn
hadron (liên quan với tương tác mạnh), 1/137,036 là hằng số cấu trúc, là
pha tương đối - sự lệch pha được dẫn ra bằng tương tác Coulomb tầm xa. Sử dụng
mô hình tán xạ thế, Bethe đã cho kết quả cụ thể: [12]
2ln 1,06 / qa (0.2)
trong đó q là xung lượng truyền, còn a là tham số đặc trưng cho kích thước của hạt
nhân.
Công thức (0.2) đã được các nhóm thực nghiệm sử dụng để đánh giá phần
thực của biên độ tán xạ hạt nhân phía trước. Phần thực của biên độ tán xạ cho phép
ta kiểm tra hệ thức tán sắc [16], hay dáng điệu tiệm cận khả dĩ của tiết diện tán xạ
toàn phần [10] hay việc kiểm nghiệm các mô hình lý thuyết khác nhau cho tương
tác mạnh.
Để xác định biên độ tán xạ trước thông thường người ta sử dụng sự giao thoa
với biên độ giao thoa Coulomb. Nếu tiến hành chuẩn hóa biên độ tán xạ Coulomb
theo công thức:
2
cm
d
dt sp
(0.3)
thì biên độ tán xạ Coulomb (cho các hạt tích điện cùng dấu) là:
2
C sF
q
(0.4)
với q là xung lượng truyền khối tâm. Nếu chúng ta giả thiết xung lượng này là nhỏ
thì có thể coi rằng năng lượng tán xạ pp và pp tại mọi điểm là rất cao: 2
ps M .
Chúng ta cũng xét quá trình tán xạ hạt – hạt trước, sau đó sẽ ngoại suy ra kết quả
đối với quá trình tán xạ giữa hạt và phản hạt.
3
Trong vùng xung lượng truyền nhỏ, biên độ tán xạ cổ điển có thể được tham
số hóa dưới dạng:
2 / 2N BqF Ae (0.5)
trong đó: 15 210B GeV . Theo định lý quang biên độ tán xạ toàn phần bằng:
N4ImF ( 0)TOT
cm
qp s
(0.6)
Với năng lượng siêu cao, tiết diện tán xạ toàn phần xấp xỉ 40 mb thì
Im 2A 4GeV s khi đó biên độ tán xạ đàn hồi Coulomb và hadron gần bằng xung
lượng truyền 2 2q GeV
4
. Phần lớn biên độ tán xạ này là thuần ảo. Từ việc xác
định sự giao thoa giữa biên độ tán xạ Coulomb và biên độ tán xạ hadron, chúng ta
có thể thu được pha giao thoa của 2 quá trình này.
Biểu thức (0.4) mô tả biên độ tán xạ Coulomb một cách đơn giản ở gần đúng
Born. Tuy nhiên thực tế thì biên độ tán xạ Coulomb được đặc trưng bởi pha
Coulomb liên quan đến bản chất của lực Coulomb. Hơn nữa nó cũng không thực sự
mô tả đúng được biên độ tán xạ giao thoa Coulomb và hadron. Nó chỉ biểu diễn các
biên độ tán xạ đơn lẻ cho từng loại tương tác. Biên độ tán xạ Coulomb ở vùng xung
lượng truyền nhỏ và biên độ tán xạ hadron ở vùng xung lượng truyền lớn. Thậm chí
trong vùng tương tác mạnh của các hadron, việc tìm biên độ tán xạ của chúng liên
quan đến bài toán trao đổi giữa các photon “mềm” có xung lượng ảo. Rõ ràng là có
sự ảnh hưởng của tương tác điện từ đến biên độ tán xạ các hadron.
Giao thoa Coulomb trong chất hạt nhân cũng đã được West và Yennie [3] xem
xét lại không dựa trên lý thuyết chuẩn thế mà hoàn toàn dựa vào giản đồ Feynman.
Họ đã thành công trong việc tìm ra biểu thức tổng quát của thế theo các số hạng
của biên độ tán xạ đàn hồi các hadron:
2 '2 '2
W-Y '2 2 2
0
( )ln [1 ]
| | ( )
s N
N
q dq F q
s q q F q
(0.7)
Bằng cách tham số hóa thích hợp: exp(- / )N 2F Bq 2 , suy ra:
4
2 2[ln( / 2) ( )]W Y Bq O Bq (0.8)
với , ...0 577 là hằng số Euler.
West và Yennie cũng đã xem xét một vài vấn đề khác của bổ chính tương tác
điện từ với tương tác mạnh của các hadron. Họ xét đến sự bức xạ các photon thực
một yếu tố quan trọng trong tán xạ p nhưng lại bỏ qua vấn đề này trong tán xạ pp.
Các giản đồ Feynman được họ xem xét chỉ bao gồm các thế phân kỳ hồng ngoại và
họ nhấn mạnh rằng có thể bỏ qua các giản đồ này vì nó chỉ cho sự đóng góp vào thế
mà thôi. Một điểm cần lưu ý nữa là cần phải tính đến sự đóng góp của giản đồ
phân cực chân không đối với lực tương tác Coulomb [2]. Nó dẫn đến sự phụ thuộc
của hằng số tương tác điện từ vào bình phương xung lượng truyền q2
:
2
2
2( ) 1 ln
3 4 e
m
(0.9)
Kết quả này sẽ làm tăng khoảng 50% giá trị hằng số tương tác trong khoảng
q2
được quan tâm.
3. Mục đích của nghiên cứu của luận văn
Mục đích của luận văn thạc sỹ sẽ xem xét lại vấn đề này kèm theo việc xác
định thế trong khuôn khổ mô hình eikonal. Nó sẽ cung cấp toàn bộ bức tranh vật
lý của quá trình tán xạ và đưa ra cách nhìn hơi khác biệt so với các tính toán của
West và Yennie [8].
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã sử dụng các phương pháp lý thuyết
trường lượng tử gồm một số phương pháp tách phân kỳ, các phép gần đúng Born,
gần đúng chuẩn cổ điển, mô hình eikonal và một số kỹ thuật tính tích phân. Đồ thị
được vẽ bằng phần mềm matlab.
Trong luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử 1c và
metric Feynman.
Các véctơ phản biến là tọa độ
5
0 1 2 3, , , ,x x t x x x y x z t x
thì các véctơ tọa độ hiệp biến
0 1 2 3, , , ,x g x x t x x x y x z t x
,
trong đó
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
g g
Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.
6. Ý nghĩa khoa học của luận văn
Luận văn là cơ sở lý thuyết khoa học để nghiên cứu các số liệu thực nghiệm về
tán xạ các hạt nucleon năng lượng cao thu được từ các máy gia tốc. Giúp chúng ta
hiểu rõ hơn về cơ chế tương tác của các nucleon trong hạt nhân. Từ đó là cơ sở để
nghiên cứu chuyên sâu thêm về cơ chế tương tác của các hadron khi có tính thêm
spin.
7. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và ba phụ lục.
Chƣơng 1: Mô hình eikonal và Giao thoa Coulomb - Hadron. Ở đây ta xuất
phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền
nhỏ (tán xạ phía trước), trong đó pha eikonal được tính từ biên độ tán xạ Born.
Trong mục 1.1, ta tính biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tương tác – tương tác
Coulomb và tương tác hạt nhân khi sử dụng biên độ tán xạ Born. Việc tính pha
eikonal khi ta vận dụng gần đúng eikonal cho tương tác Coulomb được trình bày ở
mục 1.2.
Chƣơng 2: Hệ số dạng điện từ. Để bài toán giao thoa Coulomb hiện thực
hơn, trong chương này chúng ta kể thêm hệ số dạng điện từ của nucleon. Về mặt vật
lý thì nucleon ở đây không phải là các hạt điểm như quan niệm trước kia mà nó có
cấu trúc. Cấu trúc này được xác định bằng các hệ số dạng điện từ (bao gồm các hệ
6
số dạng điện và dạng từ, xem phụ lục C). Trong luận văn này ta bỏ qua spin của hạt
nên các hệ số dạng điện từ đơn giản chỉ còn là một hàm số. Trong mục 2.1, ta
nghiên cứu sự cải biến biên độ tán xạ Coulomb khi tính đến hệ số dạng điện từ và
thu được biểu thức tổng quát cho pha. Việc cụ thể hóa dạng của hệ số dạng điện từ
được xem xét ở mục 2.2.
Chƣơng 3: Pha của biên độ tán xạ Coulomb cải biến. Việc kể thêm hệ số
dạng của hạt sẽ làm thay đổi biên độ tán xạ Coulomb. Trong chương này, ta xem
xét phép khai triển Born – eikonal cho biên độ tán xạ và tính pha của biên độ tán xạ
Coulomb cải biến. Trong mục 3.1, ta xem xét phép khai triển Born – eikonal cho
biên độ tán xạ và cụ thể hóa trong trường hợp hoàn toàn Coulomb. Việc kể thêm bổ
chính của hệ số dạng và tìm biểu thức cho pha sẽ được xem xét ở mục 3.2.
Kết luận dành cho việc liệt kê các kết quả thu được trong luận văn và phương
hướng nghiên cứu trong thời gian tới.
7
Chƣơng 1 - MÔ HÌNH EIKONAL VÀ GIAO THOA COULOMB - HADRON
Trong chương này, mục 1.1, xuất phát từ mô hình eikonal cho biên độ tán xạ
năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ (tán xạ phía trước), trong đó pha eikonal
được tính từ biên độ tán xạ Born, chúng ta tính biên độ tán xạ tổng quát cho hai
tương tác – tương tác Coulomb và tương tác hạt nhân khi sử dụng biên độ tán xạ
Born. Mục 1.2, ta tiến hành tính pha eikonal khi vận dụng gần đúng eikonal cho
tương tác Coulomb - Hadron.
1.1. Biên độ tán xạ cho tổng quát cho hai tƣơng tác
Mô hình eikonal được thuận tiện sử dụng khi xem xét tán xạ của các hạt với
góc tán xạ nhỏ dựa trên phép gần đúng coi quĩ đạo của các hạt tán xạ là thẳng (còn
gọi là gần đúng quĩ đạo thẳng). Trong quĩ đạo này thì pha của quá trình tán xạ sẽ
chứa toàn bộ thông tin về quá trình tán xạ.
2 2 . 2 ( )( ) [ 1]4
iq b i bsF q d be e
i
(1.1)
Công thức (1.1) cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao là tổng quát với ý
nghĩa nó không dựa vào cơ chế tương tác cụ thể nào. Tất cả động lực học của quá
trình trong mô hình eikonal được xác định, nếu cho trước dạng cụ thể của pha ( )b .
Pha này phụ thuộc vào tham số va chạm b và năng lượng của khối tâm. Ở năng
lượng siêu cao ( )b xác định bởi biểu thức:
2 . 21( ) ( )
2
iq b
Bornb d qe F qs
(1.2)
Ở đây chúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc của xung lượng truyền s vào biên độ
tán xạ Born. Khi đó, biên độ tán xạ eikonal ở vùng xung lượng truyền lớn là:
2 2 . 2 ( )( ) [ 1]4
iq b i b
eik
sF q d be e
i
(1.3)
Chúng ta giả thiết rằng sẽ có 2 pha eikonal, C và N , tương ứng với 2 quá
trình tán xạ Coulomb và tán xạ hạt nhân, vì thế biên độ tán xạ đầy đủ sẽ là:
2 2 . 2 ( ( ) ( ))( ) [ 1]4
C NN C iq b i b bsF q d be e
i
(1.4)
8
Nếu bỏ qua lực hạt nhân thì biên độ tán xạ Coulomb sẽ có dạng:
2 2 . 2 ( )( ) [ 1]4
CC iq b i bsF q d be e
i
(1.5)
Còn nếu bỏ qua lực tương tác Coulomb thì chúng ta sẽ có biên độ tán xạ các
hadron trong hạt nhân:
2 2 . 2 ( )( ) [ 1]4
NN iq b i bsF q d be e
i
(1.6)
Kết hợp các biểu thức trên, chúng ta viết lại biểu thức của biên độ tán xạ (1.4)
dưới dạng
'
'
2 2 2 . 2 ( ) 2 ( )
.2 22 2 2
2 2 2 ' '2 ' 2
( ) ( ) ( ) [ 1][ 1]4
1 14
( ) ( ) ( ) ([ ] )
C N
c N
N C C N iq b i b i b
i q q bi b i bC N iq b
C N C N
sF b F q F q d be e e
i
sF q F q d be e e e
i
iF q F q d q F q F q q
s
(1.7)
Biểu thức (1.7) là biểu thức tổng quát hóa của biên độ tán xạ eikonal của tán
xạ các nucleon trong hạt nhân khi có sự trộn lẫn cả 2 loại tương tác Coulomb và
tương tác mạnh của các hadron trong hạt nhân.
1.2. Pha biên độ tán xạ trong gần đúng eikonal
Để có thể áp dụng biểu thức này cho các bài toán về sau chúng ta cần lấy gần
đúng eikonal biên độ tán xạ Coulomb. Từ biểu thức (1.2) và (0.4), chúng ta đưa vào
khối một photon khối lượng nhỏ để khử phân kỳ hồng ngoại:
2 .
2 2
2 .
02 2
1( ) ( )
2
1 1( ) ( ) [ln( ) ( )]
2 2
C iq b
iq b
sb d be
s q
d be K b b O bq
(1.8)
các số hạng dạng ( )O b có thể được bỏ qua vì khối lượng photon đưa vào sẽ tiến
tới không. Như vậy thay (1.8) vào (1.5), ta có:
9
12 ln
22 2
2
22
2
2
0
0
( ) 14
14 2
12 2
i bC iqb
i
iiqb
i
i
sF q d be e
i
s ed be bq
i q
s edbbJ qb bq
i q
(1.9)
Sử dụng công thức tích phân sau [6]:
0
0
1( )
2( ) 21
( )2
dxx J x
(1.10)
Chúng ta có biểu thức của biên độ tán xạ Coulomb trong gần đúng bậc nhất
của hằng số tương tác :
2
2 2
2 2 1
0 02
0 0
2
2 1
2
( )2 1 2
2 2
1
2 2
1 (1 )2
2 (1 )
(1 )( ) ( )2
2 2 (1 )
Ceik
i i
i i
i
i
i qC i
e edbbJ qb bq d qb bq J qb
q q q
e i
q q i
s e i sF q e
iq q i q
(1.11)
với 2
2
2( ) ln( )C
eik qq
. (1.12)
Do tính kì dị của ( )C 2F q tại 2q 0 vì thế có thể viết lại biểu thức (1.7) như sau:
' 2
2 2 2 2 ' '2 2 '2
2
([ ] )( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1
( )
NN C C N C C
N
i i F q qF q F q F q d q F q d F q
s s F q
(1.13)
Trong mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân thứ 2, chúng ta đã cho 0 .
Tóm lại chúng ta có thể viết:
10
2
' 2 ' 2
2
2 2
2
2'
2 ' 2 '
2'2 2 '2
22 2 '
2 '2 2 '2
1 1
ceik
c ceik eik
ceik
i qN C N
N
i q i q
N
i qN
sF q e F q
q
F q qi s i s
d q e d q es q s q F q
s i s qF q e d q
q s q q
2'
2 '
2'21
Ni
N
F q qi s
d qs q F q
2
2
( )2
2
2 '2( )2 2 ' 2 '
'2 2 '2 ' 2 2
( )
( )( ) 1
[ ] ( )
Ceik
Ceik
i qN C
iQ Q Ni qN
N
sF q e
q
i s q i s F qF q e d q d q
s q q s q q F q
(1.14)
Trong biểu thức này chúng ta chỉ lấy cận trên của tích phân là Q để nhằm khử
các phân kỳ xuất hiện khi lấy riêng rẽ từng tích phân ở vùng xung lượng q2 lớn. Sau
khi lấy tổng hai tích phân này và lấy giới hạn 2Q sẽ thu được biểu thức hữu
hạn. Tổng của hai số hạng đầu tiên trong biểu thức (1.14) là:
222 2
2 ' 2 '
1'2 2 '2 2 '2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 1 ln
ceik
ii i
i q
i
i i i i
qi s q ie d q d q
s q q q q
Q Q Qi
q q q q q
(1.15)
Từ đó biểu thức (1.14) sẽ là:
2
2 '2( )2 2 '2
2 2 2 '2 2
0
1 ( )( ) ( ){1 ln [ 1]}
| | ( )
Ceik
Q Ni qN C N
N
s Q F qF q e F q i i dq
q q q q F q
(1.16)
chú ý rằng: 2
' '2 2 '2
0
1 2
2 cos | |d
qq q q q
(1.17)
Biểu thức dưới dấu tích phân trong (1.16) không có kì dị tại q = q’. So sánh
biểu thức (1.16) và (0.5), chúng ta suy ra được pha eikonal bằng:
11
2
2
2 '2'2
2 2 '2 2
0
1 ( )lim ln 1
| | ( )
Q N
eik NQ
Q F qdq
q q q F q
2
2
2 '2'2
2 2 '2 2
0
1 ( )lim ln 1
| | ( )
Q N
eik NQ
q F qdq
Q q q F q
(1.18)
kết quả này phù hợp với kết quả thu được (0.7) của West và Yennie bằng phương
pháp giản đồ Feynman.
12
Chƣơng 2 - HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ
Để bài toán giao thoa Coulomb hadron hiện thực tốt hơn, trong chương này
chúng ta kể thêm hệ số dạng điện từ của proton. Về mặt vật lý thì proton ở đây
không phải là hạt điểm như quan niệm trước kia mà nó có cấu trúc. Cấu trúc này
được xác định bằng các hệ số dạng điện từ. Trong luận văn, chúng ta bỏ qua spin
của nucleon nên các hệ số dạng điện từ chỉ đơn giản là một hàm số. Trong mục 2.1,
chúng ta nghiên cứu sự cải biến biên độ tán xạ Coulomb khi tính đến hệ số dạng
điện từ, từ đó thu được biểu thức tổng quát cho pha. Việc cụ thể hóa dạng của hệ số
dạng được xem xét ở mục 2.2.
2.1. Ảnh hƣởng của hệ số dạng điện từ vào biểu thức pha tán xạ
Thực tế là bài toán giao thoa Coulomb phải bao gồm cả tương tác điện từ của
proton. Các hệ số tương tác điện từ thu được bằng cách hiệu chỉnh biên độ tán xạ
Coulomb: đầu tiên là thay đổi số hạng gần đúng Born ( )2 2f q , tiếp theo là hiệu chỉnh
pha eikonal. Trong phần này chúng ta chỉ xét đến việc hiệu chỉnh hệ số gần đúng
Born
22 2 2
2 2 2( ) ( )
i
C sF q f q
q q
(2.1)
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ xét đến hiệu chỉnh pha.
Sử dụng (2.1) vào biên độ tán xạ Coulomb (1.13), chúng ta thu được biên độ
tán xạ cải biến:
2 22 2 2 2 2 ' 2 '2
2 2 '2 2 '2
2 ' 22 ' 2 '2
'2 '2 2
( ) ( ) ( ) 1 ( )
([ ] )1
( )
i i
N C N
iN
N
s i sF q f q F q d q f q
q q s q q
i s F q qd q f q
s q q F q
2 2 22 2 2 2 2 ' 2 '2
2 2 2 '2 2 '2
' 22 ' 2 '2
'2 2
( ) ( ) ( ) ( )
([ ] )1
( )
i i i
N C N
N
N
s i s qF q f q F q d q f q
q q q s q q
i s F q qd q f q
s q F q
(2.2)
13
Ở biểu thức này đã chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất của trong số hạng cuối.
Tích phân của số hạng cuối trong biểu thức (2.2) được xác định như sau:
2 22 ' 2 '2 '2 2 '2
'2 2 '2 '2 2 1
2 '2 2 2 '2'2 2 '2 ' 2 2 '2 '
2 2 2
0 0
2'2
2
0
( )( ) ( )
( )
[ ( ) ] ' 1 ln [ ( ) ]
1 l
ii
i
i i i
i
i s q qd q f g i dq f q
s q q q
q q q qdq f q dq i f q
q q
qi dq
'2
2 '2 '
2n [ ( ) ]
qf q
q
(2.3)
Ở đây các ký hiệu dấu phẩy ở ngoặc vuông có nghĩa là lấy đạo hàm theo q’2.
Từ (2.3) thế vào biểu thức (2.2), ta có:
2 '22 2 2 2 '2 2 '2
2 2 2
0
2 '2 ' 22 '
2 2
( ) ( ) ( ) 1 ln [ ( )]'
( ) ([ ] )1
( )
i
N C N
N
N
s qF q f q F q i dq f q
q q q
i f q F q qd q
q F q
(2.4)
Bây giờ chúng ta dễ dàng đi xác định biên độ tán xạ góc của các hadron
'2 2 2 ' '2 21( , ) . ([ 2 cos ]) / ( )
2
NNNF q q d F q qq q F q
(2.5)
biểu thức này có tính chất là: 2(0, ) 1N
F q (2.6)
Tiếp tục, chúng ta có:
2 '2 ' 2 2 '22 ' '2 '
2 2 2
0
'
2 '2 '2 2 '2 '2 '2 '2 2 2 '2
00
'2 '2 '2 2 2 '2 2 '2 '
0
( ) ([ ] ) ( )1 [ ( , ) 1]
( )
, 1 .ln ln ,
ln [ ( , ) ( ) ( )]
NN
N
NN
N
f q F q q f qd q dq F q q
q F q q
f q F q q q dq q F q q f q
dq q F q q f q f q
(2.7)
Sử dụng biểu thức này, thì biểu thức (2.4) trở thành:
14
22 2 2
2 2
'2 '2 '2 2 '2 ' '2 '2 '2 2 2 '2 2 '2
2
0 0
2 '22 2 2 2 '2 2 '2 '2 2 '
2 2 2
0
( ) ( )
( ) 1 ln [ ( )] . ln ,
( ) ( ) ( ) 1 ln [ ( ) ( , )]
i
N C
NN
iNN C N
sF q f q
q q
q iF q i dq f q dq q F q q f q f q
q
s qF q f q F q i dq f q F q q
q q q
(2.8)
So sánh lại với biểu thức (0.1), chúng ta thấy rằng:
'2
'2 2 '2 '2 2 '
'2
0
ln [ ( ) ( , )]Nq d
dq f q F q qq dq
(2.9)
Thực tế là q2 là nhỏ so với thang đo là nghịch đảo kích thước proton, vì thế
chúng ta có thể tổng quát hóa phép gần đúng:
'2 2 '2( , )] ( ) / (0)N
N NF q q F q F (2.10)
Từ đó suy ra biểu thức tổng quát cuối cùng của pha :
'2
'2 2 '2 '2
'2
0
ln [ ( ) ( ) / (0)]N Nq ddq f q F q F
q dq
(2.11)
2.2. Hệ số dạng điện từ khi xung lƣợng truyền rất nhỏ
Sự tham số hóa biên độ tán xạ các hadron ở bậc thấp của q2 được cho bởi biểu
thức (1.3). Dạng tham số thích hợp của hệ số tương tác điện từ là: [2]
22
2 2 2
2 2( ) ; 0.71f q GeV
q
(2.12)
Thêm vào đó dạng gần đúng bậc thấp theo q2 của hệ số tương tác điện từ là
22 2 /( ) qf q e (2.13)
Sử dụng (2.13), cho pha tán xạ ta thu được:
15
' 2 2 ' 2
2' 2
2
'2'2 4 / /2
2 '2
0
8
'2 220'2
0
2
2
ln
1
8ln( ) ln(1 )
2
q Bq
Bq
q ddq e e
q dq
dq e K Bqq
Bq
B
(2.14)
Nói cách khác đối với hệ số dạng lưỡng cực thì pha có dạng:
2 2
ln( ) ( )2 2
Bq Bg
(2.15)
trong đó: 2 3 2
1
11 2( ) (1 ) ( )
2 6 6 3 6
zz z z zg z z e E z (2.16)
và ( )1E z là biểu thức tích phân [8]: 1
1
( ) ztdtE z e
t
(2.17)
Hai kết quả này có thể được so sánh bằng cách chọn tham số B, tham số góc.
Với B = 13 GeV-2
thì phần tán xạ của (2.14) bằng ln / .2Bq 2 0 62 , còn hệ
số dạng lưỡng cực của (2.15) bằng ln / .2Bq 2 0 60 . Rõ ràng sự khác nhau ở
đây là không đáng kể.
So sánh thêm với cách tham số hóa của mô hình Wu – Yang [19] trong tán xạ
đàn tính pp thấy rằng trong mô hình này tiết diện tán xạ tỉ lệ với lũy thừa bậc 4 của
hệ số tương tác điện từ. Trong mô hình này thì B và 2 liên hệ với nhau bởi hệ thức
2B 8 . Khi đó pha giao thoa tham số mũ của (0.4) bằng: ln / ln2Bq 2 2 ,
còn pha giao thoa lưỡng cực của (2.15) bằng: ln / ( ln / )2Bq 2 4 363 140 .
Số hạng cuối cùng trong ngoặc gần bằng – 0.63, nó không sai khác nhiều lắm so với
– ln2 = -0.69. Tất nhiên trong mô hình của Wu – Yang cũng không xem xét một
cách chính xác, thậm chí cho các mục đich của họ vì rằng tham số B phụ thuộc vào
xung lượng s chứ không phải là 2 .
Do sự khác nhau giữa biểu thức (2.14) và (2.15) là nhỏ, biểu thức (2.14) đơn
giản hơn thích hợp và tiện lợi cho việc tính toán pha tán xạ .
16
Chƣơng 3 - PHA CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ COULOMB - HADRON CẢI BIẾN
Việc hiệu chỉnh biên độ tán xạ Coulomb - Hadron trong gần đúng Born có tính
đến tương tác điện từ được biểu diễn bởi số hạng ( )2 2f q . Thêm vào đó nó đã làm
thay đổi pha của biên độ tán xạ. Ở chương này chúng ta không lặp lại cách hiệu
chỉnh số hạng gần đúng Born một cách đơn giản như phần trên nữa mà chúng ta đi
hiệu chỉnh biên độ tán xạ bằng cách khai triển biểu thức biên độ tán xạ (2.1) theo
hằng số tương tác .
3.1. Phép khai triển Born eikonal
Để xác định các bổ chính cho biểu thức (2.1), ta trở lại mô hình eikonal, các
biểu thức (1.2), (1.3), khai triển theo chuỗi Born eikonal:
2 2 . 2 ( )( ) [ 1]4
iq b i b
eik
sF q d be e
i
(3.1)
2
2 .
2 . 2
41 2 ( ) ... 1
4 2
[2 ( ) 2 ( ) ...]4
iq b
iq b
bsd be i b
i
sd be i b b
i
(3.2)
2 2 ' '2 ' 2( ) ( ) ([ ] ) ...2
Born Born Born
iF q d q F q F q q
s (3.3)
Xét một ví dụ: Biên độ tán xạ thuần túy chỉ có tương tác Coulomb thì:
2
2 2( )Born
sF q
q
(3.4)
Số hạng gần đúng Born bậc 2 là:
2 2 '
'2 2 ' 2 2
1
2 2 '
'2 ' 2 2 2
0
12 2
2 2 2 2
0
1 1( )
2 ( )
1( )
2 [ 2 ]
1
2 [ 1 ]
is d q
s q q q
is dx d q
s q qq x xq
is dx p
s p xq x
17
12
2 2 2
0
2 4 2 2 22
2 22 4 2 2 2 4 2 2
1
2 1
412ln ( )( ) ln
2 4 4
is dx
s p xq x
q q q xi s qs i
s qq q q x q q q
(3.5)
Với bậc này thì ta có biên độ tán xạ eikonal bằng:
2 22 2 2 ln /
2 2( ) (1 ln / ) i q
eik
s sF q i q e
q q
(3.6)
Biểu thức này hoàn toàn phù hợp với (1.12).
3.2. Biểu thức của pha khi kể thêm bổ chính của hệ số dạng điện từ
Tiếp theo chúng ta xét trường Coulomb với hệ số dạng (form factor). Để cho
đơn giản chúng ta lấy:
2
2
2 2 2 2( ) ( )Born
s LF q
q L q
(3.7)
Nó đưa đến hiệu chỉnh trạng thái bậc thấp của q2 nếu chúng ta chọn: /2 2L 4 .
Số hạng gần đúng Born bậc hai trong mô hình eikonal có thể được xác định bằng kỹ
thuật giản đồ Feynman như chúng ta đã làm ở trên:
2 2 2 2 2 '
'2 2 '2 2 ' 2 ' 2 2
11 1
2 2 2 ' '2 2 '2 2 ' 2 2 ' 2 2 4
0 0 0
1( ) ( ) ( ).
2 [ ][ ][( ) ][( ) ]
( ) .6{(1 )( ) ( ) [( ) ] [( ) ]}2
eik
y zz
iF q sL d q
s q q L q q q q L
isL dz dy dx d q x y z q x q L y q q z q q L
s
(3.8)
Thay thế: ' ( )q p y z q và tiến hành lấy tích phân theo p, chúng ta tìm được:
11 1
2 2 2 2 2
0 0 0
2 2 2 2 4
11 1
2 2 2 2 2 2 2 2 3
0 0 0
( ) ( ) .2
.6 { (1 ) ( ) 1 }
( ) ( ) .2{ [( ) ( ) ] (1 ) ( )}2
y zz
eik
y zz
eik
iF q sL dz dy dx dp
s
p x z x z L q y z y z
iF q sL dz dy dx q y z y z x z x z
s
(3.9)
Dễ dàng lấy tích phân theo x:
18
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
0 0
2 2 2 2 2
1( ) ( ) .{[ ([ ] [ ] ) (1 )]
2
[ ([ ] [ ] ) (1 ) ] }
z
eik
iF q sL dz dy q y z y z y L y
s L
q y z y z z L z
(3.10)
Như vậy chúng ta định nghĩa:
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
0 0
1( , , ) .{[ [( ) ( ) ] (1 )}
z
I q L dz dy q y z y z y L yL
(3.11)
thì: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) [ ( , , ) ( , , )]2
eik
iF q sL I q L I q L
s
(3.12)
Trong biểu thức (3.11), đặt t = y + z thì
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
0 0
1
2 2 2 1 2 2 2 2 1
2 2
0
1( , , ) .{ [ (1 )} ]
1{[ ( ) ] [ ( ) (1 )]
I q L dt dy q t t y L yL
dt q t t L q t t t L tL
(3.13)
Định nghĩa: 1
2 2 2 2 2 2 2 1
0
( , , ) [ ( ) (1 )]J q L dt q t t t L t (3.14)
Chúng ta có hệ thức liên quan:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1( , , ) [ ( , , ) ( , , )]
( )I q L J q L J q L L
L
(3.15)
và: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1( ) ( ) [ ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )]
2 ( )eik
iF q sL J q L J q L J q J q L L
s L
(3.16)
Dễ dàng xác định được 2 2 2( , , )J q L . Kết quả là:
1
2 2 2
2 2 2 2
0
1 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2
0
1( , , )
1
1 1 [ ( , , ) ] ( ).ln
( , , ) [ ( , , ) ] ( )
J q L dtq t t t L t
S q L q Ldt
S q L S q L q Lq t q L t L
(3.17)
với: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( , , ) ( ) 4 ( , , )S q L q L L q S q L (3.18)
19
Đặc biệt : 2 2 2 2 2 2( , , ) ( , , )J q L J q L . Luôn nhớ rằng L nên:
2 22 2 2 2 2 2
2 2( , , ) ( )
q LS q L q L
q L
(3.19)
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
1 ( )( , , ) ln
q LJ q L
q L L
(3.20)
Nói cách khác:
4 2 2 2 2
2 2 2
2 24 2 2
( 4 )2( , , ) ln
44
q q L qJ q L L
L qq q L
(3.21)
22 2 2
2 2
2( , , ) ln
qJ q
q
(3.22)
Chúng ta quan tâm đến pha của biên độ tán xạ Coulomb cải biến trong vùng q2
rất nhỏ so với L2. Như vậy chúng ta có phép gần đúng sau:
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1( , , ) ln ln
q LJ q L
q L L q
(3.23)
2 2 2
2
1( , , )J q L L
L (3.24)
2
2 2 2
2 2
2( , , ) ln
qJ q
q
(3.25)
Chúng ta tìm được:
2
2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2( , , ) ( , , ) ( , , ) ln ln
( ) 2
L q q L qJ q L J q J q L L
q L q L q L
(3.26)
Sử dụng (3.16) và cộng thêm số hạng Born chúng ta có gần đúng eikonal bậc 2
theo :
2
2 2 2 2 2(1) (2) 2
2 2 2 2 2 2( ) 1 ln ln
2eik
s L q L qF q i
q L q q L q L
(3.27)
Như vậy thì thêm vào biểu thức pha Coulomb (1.12) còn có thêm một số hạng
pha v mới, nó sẽ không xuất hiện trong hạt điểm:
20
2 2 2
2 2ln
2
q L q
L q L (3.28)
Kết quả cuối cùng cho pha tán xạ là:
2 2 2 2
2 2 2 2
8 4 2ln ln 1 ln
2 4TOT
Bq q q
B q
(3.29)
thu được từ biểu thức (2.14) và (3.28), với chú ý là /2 2L 4 . Pha của tán xạ như là
một hàm của q2 (hình 3.1). Vấn đề quan trọng là suy ra kết quả của West – Yennie,
(2.14), (2.15) từ biên độ tán xạ Coulomb nhờ có các hệ số ảnh hưởng lên pha (3.28).
Sự đóng góp của v vào pha tán xạ được biểu diễn trên hình 3.2.
21
Đường đậm biểu diễn kết quả
đầy đủ pha tán xạ theo (3.30)
Đường gạch biểu diễn pha tán xạ
không có đóng góp của thừa số
dạng vào biên độ tán xạ Coulomb.
Hàm v (q2) thu được từ sự ảnh
hưởng của thừa số dạng vào pha của
tương tác điện từ.
Mặc dù có sự khá khác nhau về cấu trúc nhưng chúng ta cũng đã suy lại được
kết quả cơ bản của West – Yennie (0.8) và (1.18). Các cách tiếp cận này là khác
nhau về mặt kỹ thuật nhưng về tinh thần cơ bản thì là giống nhau, chúng đều bỏ quả
cùng một vài đóng góp vào biên độ tán xạ không cần thiết, những đóng góp này
hoàn toàn không làm thay đổi đến tính chất của biên độ tán xạ. Đặc biệt trong cách
tính này của chúng ta còn thỏa mãn thêm các tính chất của nhiễu xạ các nuclon ảnh
hưởng đến quá trình tán xạ, chứ không đơn thuần chỉ là tán xạ đàn hồi. Về kết quả,
chúng tôi không đồng ý với kết luận của West và Yennie rằng có sự không chắc
chắn về mặt lý thuyết trong kết quả này. Tuy nhiên, chúng ta hoàn toàn có thể yên
tâm khi nhìn vào các kết quả này, như pha của biên độ tán xạ Coulomb với hệ số
dạng là không lớn.
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
q2
GeV2
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
q2
GeV2
Hình 3.1: Đồ thị của pha tán xạ toàn
phần, TOT , theo q2 (GeV
2) với giá trị
213B GeV và . 2 20 71 GeV .
Hình 3.2: Đồ thị mô tả sự đóng góp của
v (q2) vào pha tán xạ toàn phần
TOT v
22
Việc xét thêm sự ảnh hưởng của thừa số dạng của tương tác điện từ vào biên
độ tán xạ có tính thuyết phục hơn so với kết quả của West – Yennie. Nó dẫn đến kết
quả đặc biệt ngắn gọn (3.29). Trái với những kết quả hiệu chỉnh trước đó cho biên
độ tán xạ sẽ thu được kết quả rất nhỏ.
23
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tán xạ các nucleon trong hạt nhân ở
vùng năng lượng cao dưới sự ảnh hưởng của tổng hai thế là thế tương tác Coulomb
và thế tương tác mạnh các hadron trong mô hình eikonal hiện tượng luận của West
và Yennie. Pha của biên độ tán xạ eikonal được suy ra từ biên độ tán xạ trong gần
đúng Born và hệ số dạng điện từ được kể thêm trong tính toán biên độ và các pha
tán xạ. Những kết quả chủ yếu thu được trong luận văn bao gồm:
1. Nhận được biểu thức giải tích cho pha tán xạ eikonal của biên độ tán xạ mà
các hadron tham gia cùng một lúc vào hai loại tương tác là tương tác Coulomb và
tương tác mạnh.
2. Đã thu được biểu thức cho pha giao thoa Coulomb - hadron tổng quát hơn
khi tương tác Coulomb được kể thêm hệ số dạng điện từ của nucleon.
3. Đã chứng minh rằng sự ảnh hưởng của hệ số dạng điện từ làm xuất hiện
thêm một số hạng mới ln2 2 2
2 2 2
4q 2qv
4q
trong pha giao thoa Coulomb – hadron
năng lượng cao mà nó không xuất hiện trong hạt điểm của nucleon.
Các kết quả thu được ở trên có thể mở rộng cho việc tính số để so sánh với các
số liệu thực nghiệm thu được từ LHC (Large Hadron Collider) hiện nay. Mục tiêu
này sẽ được phát triển tiếp cho các quá trình nghiên cứu tiếp theo.
24
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt.
1. Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, Đại học quốc gia Hà Nội, Hà
Nội.
2. Nguyễn Xuân Hãn. (1996), Cở sở lý thuyết trường lượng tử, Đại học quốc
gia Hà Nội, Hà Nội.
3. Nguyễn Quang Khang, Đavưđov A. X. (1974), Cơ học lượng tử, tập II, NXB
Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, tr. 468.
Tiếng Anh.
4. Abramowitz Eds. M., Stegun I. (1970), “Handbook of Mathematical
Functions”, National Bureau of Standards, pp. 358.
5. Ann. (1979), “The interplay between spin effects and Coulombichadronic
interference has been investigated by N.H. Buttimove”, E. Gotsmann,
Phys. 121, 285.
6. Bethe H. A. (1958), “Scattering and Polarization of Protons by Nuclei”,
Annals of Physics 3, 190-240.
7. Brown L. S., “Elementary hadronic processes and heavy ion interactions”,
J.S. Godfrey: unpublished; J.S. Godfrey: Yale University thesis,
unpublished.
8. Eden R. J. (1967), “High Enrgy Collissions of Elementary Particles”,
Cambridge Univ. Press, Cambridge.
9. Franco V. (1973), “Coulomb and hadronic Scattering in elastic high – enegy
nucleon collisins”, Phys. Rev. D7, 215 – 218.
10. Germond J. F, Wilkin C. (1977), “Why are the diffraction Minima in
and Scatterubg from 12C so different?”, Phys. Lett 68B, 229-233.
11. Hohler et all. (1976), “Analysis of electromagnetic nucleon form factors”,
Nucl. Phys. B 114, pp. 505.
25
12. Islam M. M. (1967), “Bethe’s Formula for Coulomb – Nuclear
Interference”, Phys. Rev. 162, 1426 – 1428.
13. Leader E. (1978), “Spin-dependent phenomena induced by electromagnetic
– hadronic interference at high energies”, Phys. Rev. D 18, 694.
14. Locher M. P. (1967), “Relativistic treatment ò structure in the Coulomb
interference problem”, Nucl. Phys. B 2, 525 – 531.
15. Martin A. (1982), “What do we learn from proton-antiproton diffrative
scattering at the CERN colliders”, Z. Phys. C-Particles and Fields 15, 91,
185- 191.
16. Nguyen Suan Han, Le Hai Yen and Nguyen Nhu Xuan (2011), “Functionl
Integration and High Energy Scattering of Particles with Snomalous
Magnetic Moments in Quantum Field Theory”, arXiv: 0368084[hep-th].
17. See, for example, W.K.H. Panofsky in. (1968): “Proceedings of the
Heidelberg International Conference on Elementary Particles”, ed. H.
Filthuth, p. 376. Amsterdam: North Holland.
18. Soding P. (1965), “The Lagacy of Leon Van Hove”, Phys. Letters 18, 285.
19. West G. B., Yennie D. R. (1966), “Coulomb interference in High – Energy
pp and scattering”, Phys, Rev. 172, 1413-1422 (1968). Related
discussions for high energy hadron-hadron scattering are given by J. Rix,
R.M. Thaler: Phys. Rev. 152, 1357.
20. Wu T. T., Yang C.N. (1965), “Statistical physics, High Energy, codensed
Matter and mathematical physics”, Phys. Rev. 137,B708.
26
PHỤ LỤC A - PHA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ DẠNG GAUSS
Để xác định pha của số hạng lưỡng cực (2.12) và biên độ tán xạ hadron
dạng Gauss chúng ta làm như sau. Theo phương trình (1.10), đầu tiên chúng ta xét
phép gần đúng:
' 2'2 2 / 2( , )
NBqF q q e (A.1)
Sử dụng (2.9) và định nghĩa biến không thứ nguyên ,2 2
2
q B
2
và '2
2
qz
,
chúng ta có thể viết:
4
0
ln [ (1 ) ]zddz z e z
dz
(A.2)
Lấy đạo hàm hai vế theo , sau đó lấy tích phân từng phần:
4 ( )e E
(A.3)
với [10]: 1
( )zt
n n
eE z dt
t
(A.4)
cho 0
; ln / lnzddz z e
dz
(A.5)
Với 0.577 là hằng số Euler. Bây giờ được xác định bằng cách tính tích
phân: 4 ( )dzE z
(A.6)
và điều chỉnh là hằng số độc lập để phù hợp với (A.5). Từ định nghĩa (A.4)
dễ dàng suy ra mối liên hệ [11]:
1( ), 1nn
dEE z n
dz (A.7)
11 '
[ ( ) ] 1( )
zzd E z e
E z edz z
(A.8)
1
1( ) [ ( )], 1
1
z
n nE z e zE z nn
(A.9)
27
Sử dụng (A.7) và (A.8), chúng ta tìm được:
4 4 3 2 1( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ln ( )zdze E z e E E E E C
(A.10)
Lặp lại biểu thức (A.9), suy ra:
2 2 2
4 1
11 2( ) [1 ] ( ) ln( ) ( )
2 6 6 3 6
zdze E z e E C
(A.11)
Sử dụng khai triển: 1 2 3
1 2! 3!( ) [1 ...]
zeE z
z z z z
(A.12)
Thì vế phải (A.11) trở thành:
2 3
4 10 40ln( ) ( ) ...C
(A.13)
Như vậy theo (A.5) ( ) lnC , cùng với:
2 3 2
1
11 2ln {[1 ] ( ) }
2 6 6 3 6e E
(A.14)
Kết quả này có thể được so sánh với kết quả thu được từ phep tham số hóa
hàm số mũ hệ số dạng (2.14) bằng cách khai triển. Hệ số lưỡng cực bằng:
2
2 2 4
8 40ln ...
2
Bq
B B
(A.15)
Trong khi đó hàm mũ được suy ra bằng:
2
2 2 2
8 32ln ...
2
Bq
B B
(A.16)
Thực tế là các khai triển này là không chính xác lắm khi 2B 10 .
Các số hạng tiếp theo trong khai triển của ( ' , )N 2 2F q q , (2.10) và (2.11), đưa đến
sự đóng góp thêm vào biên độ tán xạ. Chúng dễ dàng được tính:
4 4
0 0
ln / [ (1 ) ] (1 )zzd
dz z ze z dz e zdz
(A.17)
28
4( )e E (A.18)
Sử dụng giá trị chuẩn của B và 2 thì (A.18) trở thành:
21.(0.12)
2Bq (A.19)
Một sự bổ chính không đáng kể.
29
PHỤ LỤC B - CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
SCHRODINGER TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
Xét chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm tán xạ ( )U r . Giả thiết ( )U r
là trường đối xứng không phụ thuộc vào góc . Khi đó trong cơ học lượng tử, quá
trình tán xạ của hạt có thể được mô tả bởi nghiệm của phương trình Schrodinger:
2
2 ( ) ( ) ( )2
U r r E rm
.
B.1. Phƣơng pháp khai triển theo sóng riêng phần
Phương trình Schrodinger:
2
2 ( ) ( ) ( )2
U r r E rm
. (B.1.1)
Để giải phương trình này, ta đặt tâm tán xạ vào ở gốc tọa độ 0, chọn hướng
của các dòng hạt tới dọc theo trục Oz. Ta thấy rằng ở xa tâm tán xạ hạt không
không chịu tác dụng nên nó chuyển động tự do nên chuyển động của nó được mô tả
bởi sóng phẳng như sau:
( ) ikz
in r e (B.1.2)
Ở gần tâm tán xạ hạt sẽ bị tán xạ. Hàm thế U(r) mô tả tương tác của hạt với
tâm lực có thể giả thiết rằng hàm này chỉ khác không trong một miền không gian
hữu hạn r a nào đó mà ta gọi là miền tác dụng lực . Khi đó hàm sóng bị thay đổi
và chuyển động của các hạt tán xạ phải được mô tả bởi một hàm cầu phân kỳ:
( ) ( , )ikr
out
er f
r (B.1.3)
Biên độ sóng phân kì f(,) trong công thức (B.1.3) được gọi là biên độ tán xạ.
Hàm sóng toàn phần mô tả chuyển động của hạt tới và hạt tán xạ ở khoảng
cách lớn (r>a) đối với tâm tán xạ bằng tổng của sóng tới in và sóng tán xạ out :
( ) ( , )ikr
ikz er e f
r (B.1.4)
30
Với ( )r là nghiệm của phương trình Schrodinger (B.1.1) ở trên.
Trong biểu thức (B.1.4), số hạng thứ nhất được viết trong tọa độ Đề các, mô tả
chuyển động của hạt tới, còn số hạng thứ hai trong toạ độ cầu mô tả chuyển động
của hạt tán xạ trong toạ độ cầu. Ta có thể biểu diễn bằng hình vẽ sau:
Mặt khác, nghiệm của phương trình Schrodinger (B.1.1) trong trường hợp
( )U r đối xứng trục (đối với z) không phụ thuộc góc có thể viết dưới dạng:
0
( , ) ( ) (cos )l l
l
r b R r P
, (B.1.5)
ở đây, lb là hệ số không đổi được xác định bởi các điều kiện biên và điều kiện
chuẩn hoá. (cos )lP là đa thức Legendre được xác định bởi công thức:
21( ) 1
2 !
ll
l l l
dP x x
l dx
. (B.1.6)
Ta đi giải phương trình Schrodinger để tìm ra phương trình xuyên tâm của
( )lR r như sau:
Từ phương trình (B.1.1) ta có:
2
2 ( ) ( ) ( ) 02
r U r E rm
2
2
2( ) ( ) ( ) 0
mr E U r r
(B.1.7)
Thay biểu thức (B.1.5) vào phương trình (B.1.7), ta có:
Các sóng phẳng tới Các sóng cầu tán xạ
31
2
,2 2
1 ( ) 1( ) ( ) 0
d d rr r r
r dr dr r
(B.1.8)
Trong đó 2
, 2 2
1 1sin
sin sin
d d d
d d d
Và 2
2( )
mE U r
Giải phương trình dưới dạng tách biến:
( , , ) ( ) ( , )r R r Y (B.1.9)
Thay (B.1.9) vào (B.1.8), ta được hệ phương trình sau:
2
,2
,
2
2 2
0
0
10
d dRr
Ydx dxr
R Y
Y Y
d dRr R
r dx dx r
Với điều kiện
0,
; , 2 , ( 1)Y Y Y l l
(B.1.20)
Quay về phương trình với R ta thu được phương trình xuyên tâm của ( )lR r
dạng:
2
2 2
10
d dRr R R
r dr dr r
2
2 2 2
1 ( 1) 2( ) 0
d dR l l mr R E U r R
r dr dr r
. (B.1.21)
Trong toán học ta biết rằng 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình trên
là những hàm cầu Bessel ( , )lj k r và ( , )ly k r , có dạng:
32
1 sin( )
1 cos
l
l
l
l
l
l
d zj z z
z dz z
d zy z z
z dz z
(B.1.22)
ở đây ta đặt z =kr. Nếu xét trong tiệm cận gần đúng khi z tương ứng
với r nghĩa là ta chỉ xét các chuyển động vô hạn, ta có:
sin( )2( )
cos( )2( )
l
l
lzj z
z
lzy z
z
(B.1.23)
Khi đó nghiệm của phương trình (B.1.21) được viết bằng tổng 2 nghiệm riêng
độc lập tuyến tính của phương trình (B.1.23).
sin( ) cos( )
2 2( ) ( ) ( )l l l l l l l
l lkr krR r A j kr B y kr A B
kr kr
(B.1.24)
Ở đây lA và
lB là các hằng số thỏa mãn:
cosl l lA C ; sinl l lB C (B.1.25)
và l là độ dịch chuyển pha.
Thay (B.1.25) vào (B.1.24) ta có:
22
0( , ) 1
2liikbi s
f s t d be e
hay sin( )
2( )l
l l
lkrR r C
kr
(B.1.25)
Thay (B.1.10) vào (B.1.5), khi đó nghiệm của phương trình schrodinger
(B.1.1) được viết lại:
33
0 0
sin( )2( ) (cos ) ( ) (cos )
l
l l l l l
l l
lkrr C P R r C P
kr
. (B.1.26)
Các hệ số lC phải chọn như thế nào để hàm sóng có dạng:
( )ikz ikzf
e er
(B.1.27)
Đến đây, ta nhận thấy rằng để cân bằng (B.1.26) và (B.1.27) thì hàm sóng của
phương trình (B.1.26) phải được biểu diễn bởi 2 tổng ikze và ( ) ikzf
er
Với số hạng thứ nhất, ta sẽ khai triển hàm sóng phẳng ikze theo các sóng cầu
( ) ikzfe
r
ở khoảng cách lớn bằng cách sử dụng các đa thức Legendre:
cos
0
( ) (cos )ikz ikr
l l
l
e e f r P
, (B.1.28)
Trong đó ( )lf r các hệ số khai triển, đó là các hàm mà ta cần tìm dạng của nó.
Để đơn giản, ta đặt x = cos(), thay vào (B.1.28) ta có:
0
( ) ( )ikrx
l l
l
e f r P x
. (B.1.29)
Nhân cả 2 phương trình trên với '( )lP x và lấy tích phân theo x trong khoảng từ
-1 đến (n +1) (tương ứng với biến thiên từ đến 0)
1 1
' '
01 1
( ) ( ) ( ) ( )ikrx
l l l l
l
e P x dx f r P x P x dx
. (B.1.30)
Sử dụng tính chất của các đa thức Legendre:
1
, '
'
1
( ) ( )1
2
l l
l lP x P x dxl
.
Vế trái (B.1.14) được viết:
1 1
, '
'
0 01 1
( ) ( ) ( ) ( )1
2
l l
l l l l
l l
f r P x P x dx f rl
34
Lấy tổng theo l , khi l = 'l ta được:
1
, '
' ' '
0 1
2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 ' 1'2
l l
l l l l l
l
f r P x P x dx f r f rll
Thay vào (B.1.30), đổi l = 'l ta thu được công thức sau:
1
1
2 1( ) ( )
2
ikrx
l l
lf r e P x dx
. (B.1.31)
Lấy tích phân từng phần biểu thức trên, áp dụng các tính chất của hàm
Legendre (1) 1lP và ( 1) ( 1)l
lP , ta được:
1
1
1
1
1
1
1
1
2 1( ) ( ) ' ( )
2
(1) ( 1)2 1' ( )
2
1 ( 1)2 1' ( )
2
2 1 ( 1) 1
2
ikrx ikrxx
l l x l
ikr ikrxl l
l
ikr l ikrx
l
ikr l ikri
l e ef r P x P x dx
ikr ikr
e P Pl eP x dx
ikr ikr
el eP x dx
ikr ikr
l e ee
ikr ikr
1
1
' ( )krx
lP x dx
(B.1.32)
Ta nhận thấy, nếu tiếp tục tiến hành tính giá trị biểu thức (B.1.32) bằng cách
tích phân từng phần số hạng thứ 2, thứ 3, thứ 4, …, thứ l, ta sẽ thu được số hạng
tương tự với số hạng thứ nhất trong (B.1.32), còn dưới mẫu sẽ là 2(ikr) ,
3(ikr) , 4(ikr) , ..., 1(ikr)l . Do đó nếu xét r lớn, ta có thể giới hạn biểu thức của ( )lf r
ở số hạng bậc 1:
2 1 ( 1)
( )2
ikr l ikr
l
l e ef r
ikr
(B.1.33)
Thay 2 21 os sin .il il
ll l ic i e e e
,
Thay vào biểu thức (B.1.33) ta thu được kết quả như sau:
35
2 22 1 ( 1) 2 1 . .
( )2 2
il il
ikr l ikr ikr ikr
l
l e e l e e e ef r
ikr ikr
2 2 2 22 1 . .
2
il il il il
ikr ikrl e e e e e e
ikr
2 2
22 1 . .
2
il ilil ikr ikrl e e e e
eikr
2 2
22 1
2
il ilikr ikr
ill e e
eikr
(B.1.34)
Số hạng 2
il
e
có thể được biểu diễn dưới như sau:
2 cos sin2 2
l lil
ll le i i
và
2 2
il ilikr ikr
e e
ikr
cos( ) sin( ) cos( ) sin( )2 2 2 2
il il il ilikr ikr ikr ikr
ikr
sin( / 2)kr l
kr
Thay vào (B.1.34), ta được:
2 2
2sin( / 2) 2 1 . .
( ) (2 1)2
il ilil ikr ikr
l
l
kr l l e e e ef r i l e
kr ikr
hay: sin( / 2)
( ) (2 1)l
l
kr lf r i l
kr
. (B.1.35)
Thay biểu thức (B.1.35) vào biểu thức (B.1.28) ta có:
36
0
sin( / 2)(2 1) (cos )ikz l
l
l
kr le i l P
kr
. (B.1.36)
Tiếp theo, đối với số hạng thứ 2 trong biểu thức (B.1.27), ta khai triển hệ số
( )f theo các đa thức Legendre dạng:
0
( ) (cos )l l
l
f g P
. (B.1.37)
Thay các biểu thức (B.1.36) và (B.1.37) vào biểu thức (B.1.27) ta được:
( )ikz ikzf
e er
.
0 0
sin( / 2)(2 1) (cos ) (cos )
ikrl
l l l
l l
kr l ei l P g P
kr r
(B.1.38)
Mặt khác, như đã phân tích ở trên, hàm này có thể được biểu diễn dưới dạng
(B.1.11). Do đó ta cần cân bằng hai biểu thức (B.1.26) và (B.1.38) với nhau, cần
chú ý rằng ta có thể biểu diễn 2 2sin( / 2)
il ilikr ikr
kr l e e
kr ikr
và thay li bằng
/2i le . Kết quả ta được:
( /2) ( /2)
0
/2 ( /2) ( /2)
0
1(cos )
2
1 1(2 1) (cos )
2
l li kr l i kr l
l l
l
il i kr l i kr l ikr
l l
l
C e e Pikr
e l e e g e Pr ik
. (B.1.39)
Giản ước, cân bằng các hệ số của ikre và ikre , ta có:
( /2)1 2 1
2 2li l
l l
lC e g
ikr ki
, (B.1.40)
( /2)1 2 1
2 2li l il
l
lC e e
ikr ki
. (B.1.41)
Từ hệ thức (B.1.41) dễ dàng tìm được:
( /2)
(2 1) .li l
lC l e r
(B.1.42)
37
Thay (B.1.42) vào biểu thức (B.1.40) ta tìm được lg như sau:
( /2)2 1 1
2 2li l
l l
lg C e
ki ikr
( /2) ( /2)2 1 1
(2 1) .2 2
l li l i lll e re
ki ikr
22 1( 1)
2lil
eik
(B.1.43)
Cuối cùng, thay (B.1.43) vào biểu thức (B.1.37) ta nhận được biên độ tán xạ
theo sóng riêng phần
2
0 0
1( ) (cos ) (2 1)( 1) (cos )
2li
l l l
l l
f g P l e Pik
(B.1.44)
B.2. Phƣơng pháp hàm Green
Như đã đề cập ở mục 1.1, quá trình tán xạ trong cơ học lượng tử được mô tả
bởi phương trình Schrodinger:
2 2 ( ) ( ) ( )k r U r r , (B.2.1)
ở đây chúng ta đã sử dụng các ký hiệu 2
2
2mEk và
2
2 ( )( )
mU rU r .
Phương trình vi phân (B.2.1) có thể được viết lại dưới dạng phương trình tích
phân:
3
0( ) ( ) ' ( , ') ( ') ( ')r r d r G r r U r r , (B.2.2)
trong đó hàm ( )r thoả mãn phương trình cho hàm thế tự do:
2 2 ( ) 0k r , (B.2.3)
và hàm Green 0( , ')G r r là nghiệm của phương trình:
2 2 (3)
0( , ') ( ')k G r r r r . (B.2.4)
Các điều kiện biên của hàm ( )r và 0( , ')G r r được xác định từ điều kiện biên
của hàm ( )r . Phương trình tích phân (B.2.2) được gọi là phương trình Lippman-
Schwinger. Các nghiệm của phương trình (B.2.3) và (B.2.4) là:
38
. .
0 0( ) ik r ik rr A e B e , (B.2.5)
' '
0
1( , ')
4 ' '
ik r r ik r re e
G r r A Br r r r
, (B.2.6)
trong (B.2.6) chú ý rằng A+B =1. Sử dụng phương trình (B.2.5) và (B.2.6), thì
nghiệm của phương trình Lippman-Schwinger (B.47) được viết lại dạng:
' '
. . 3
0 0
1( ) ' ( ) ( ')
4 ' '
ik r r ik r r
ik r ik r e er A e B e d r A B U r r
r r r r
. (B.2.7)
Theo các điều kiện biên thì hàm sóng ( )r phải bao gồm hai thành phần:
thành phần sóng tới là sóng phẳng truyền theo chiều dương của trục z và thành phần
còn lại là sóng cầu tán xạ. Vì thế B0= B = 0 và (B.2.7) viết lại dưới dạng:
'
. 3
0
1( ) ' ( ) ( ')
4 '
ik r r
ik r er A e d r U r r
r r
. (B.2.8)
Như chúng ta đã phân tích trên, biên độ tán xạ có thể thu được trong miền tiệm
cận của hàm sóng trên. Trong phần lớn các bài toán mà chúng ta xem xét, thế U(r)
được xác định trong một thể tích hữu hạn của không gian và các máy đo (detectors)
các hiệu ứng tán xạ đặt rất xa vùng có chứa thế U(r). Từ đó, chúng ta có thể kết luận
rằng 'r r và do đó suy ra gần đúng sau:
2. ' '
'r r r
r r r Or r
. (B.2.9)
Từ (B.2.9), chúng ta có thể viết lại biểu thức (B.2.8) dạng:
. '
( ). 3
0
1 1( ) ' ( ') ( ')
4
r rik r
ik r rr r A e d r e U r r
r
. (B.2.10)
Đặt Ao = 1, suy ra: r r ( , )ikr
ik r ee f
r , (B.2.11)
với 31
( , ) ' ( ') ( ')4
ik rf d r e U r r
, (B.2.12)
39
được hiểu như là biên độ tán xạ của hạt trong trường thế V(r), ở đây r
k kr
.
Bức tranh minh hoạ cho các biến đổi phức tạp trên được chỉ rõ trong hình vẽ 1:
Hình B.1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính
toán trên. Chú ý rằng r , 'k và k là các cực toạ độ cầu và 'r là cực toạ độ trụ.
Thông thường, trong thực tế có thể coi ( , )f như là một hàm của k , 'k và
do đó có thể viết ( , ) ( , ')f f k k . Để ý rằng, mặc dù các thông tin liên quan tới
( , )f được chứa đựng trong miền tiệm cận của ( )r nhưng các đóng góp tới
( , )f trong phương trình (B.2.12) lại đến từ miền mà thế năng ở đó khác không.
Với các điều kiện cần thiết là 1U
E và
2
1 1
/ ( / )ka
U E U E. Trong miền
giới hạn đó, biên độ tán xạ được viết dưới dạng :
2 '. ' ( ')( , ) ' 1
2
ik b i bkf d b e e
(B.2.13)
ở đây:
2
1 2( ') ' ( ', ')
2
mb dz U b z
k
(B.2.14)
Thật vậy, trước tiên ta dẫn lại các công thức đã chỉ ra ở trên cho biên độ tán
xạ:
31
( , ) ' ( ') ( ')4
ik rf d r e V r r
,k z
''
rk k
r
x'b
y
sin cos , sin sin , cos
' sin cos , sin sin , cos
0,0,
' 'cos ', 'sin ', '
r r r r
k k k k
k k
r b b z
40
Và từ phương trình Schrodinger (B.1.3):
2 2 ( ) ( ) ( )k r U r r
Ta đặt: .( ) ( )ik rr e r và chọn k dọc theo hướng z. Khi đó phương trình trên
viết lại dạng:
22 ( , ) ( , ) ( , )ik U b z b z b zz
. (B.2.15)
ở đây chúng ta sử dụng ký hiệu ( , )r b z . Chúng ta có thể viết nghiệm của
phương trình (B.2.15) dạng:
2 '2( , ) ( , ) ' ' ( , , ', ') ( ', ').eb z b z d b dz G b z b z b z
(B.2.16)
( , )b z thoả mãn phương trình:
2 ( , ) ( , ) 0ik U b z b zz
. (B.2.17)
Và hàm ( , , ', ')eG b z b z thoả mãn:
(2)2 ( , ) ( , , ', ') ( ') ( ').eik U b z G b z b z b b z zz
(B.2.18)
Nghiệm của các phương trình (B.2.17) và (B.2.18) là:
1( , )
2( , )
z
duU b uik
b z e
. (B.2.19)
Với các điều kiện biên là ( ) ( , ) 1b b z . Và
41
'
'
'
1. ( , )
2(2)
1. ( , ) . ( , )
2(2)
1 1. ( , ) . ( , )
2 2(2)
1( , , ', ') ( ') ( ')
2
1( ') ( ')
2
1( ') ( ') .
2
1
2
z
z
z
z
z
z
du U b uik
e
du U b u du U b uik
du U b u du U b uik ik
G b z b z b b z z eik
b b z z eik
b b z z e eik
ik
(2) 1( ') ( ') ( , ) ( , ).b b z z b z b z
(B.2.20)
Thay (B.2.19) và (B.2.20) vào (B.2.16), ta thu được:
2
1 2
2
1( , ) ( , ) 1 ' ( , ) ( , ')
2 '
z
bb z b z dz b z b zik z
. (B.2.21)
Phương trình trên cũng có thể viết lại dạng sau:
( , ) ( , ) 1 ' , ', ,'
z
bb z b z dz K b zz
'
' , ', , '' , '', , ...' ''
z z
bbdz K b z dz K b zz z
(B.2.22)
ở đây biểu thức của , , ,bK b zz
tác động lên một hàm g(z) bất kỳ cho bởi:
21 2
2
1, , , ( ) ( , ) ( , ) ( )
2b bK b z g z b z b z g z
z ik z
. (B.2.23)
Thay chuỗi của ( , )b z trong (B.2.23) vào dạng của hàm .( ) ( )ik rr e r và
cuối cùng ta có thể viết lại biểu thức của biên độ tán xạ dưới dạng:
(0) (1) (2)( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ...f f f f (B.2.24)
ở đây:
(0) 2 ( '). '1
( , ) ' ' ( ', ) ( ', ')4
i k k rf d b dz e U b z b z
(B.2.25)
42
'
(1) 2 ( '). '1( , ) ' ' ( ', ') ( ', ') '' ( ', ")
4
z
i k k rf d b dz e U b z b z dz K b z
(B.2.26)
(2) 2 ( '). '1( , ) ' ' ( ', ') ( ', ')
4
i k k rf d b dz e U b z b z
' "
'' ( ', ") ''' ( ', ''')
z z
dz K b z dz K b z
(B.2.27)
chúng ta đã thay , , , ( , )bK b z K b zz
cho biểu thức gọn hơn. Biểu thức
mũ của các hàm e có thể được tính như sau với chú ý các vectơ sử dụng được minh
hoạ trong hình 1 ở trên.
' sin cos , sin sin , cos
0,0,
' 'cos ', 'sin ', '
k k k k
k k
r b b z
. ' '
'. ' 'sin( )cos( )cos( ') 'sin( )sin( )sin( ') ' s( )
( '). ' ' 'sin( )cos( )cos( ') 'sin( )sin( )sin( ') ' s( )
( '). ' '[1 s( )] 'sin( )[cos( )cos(
k r kz
k r kb kb kz co
i k k r ikz ikb kb kz co
i k k r ikz co ikb
2
') sin( )sin( ')]
( '). ' '.2sin 'sin( )cos( ')2
i k k r ikz ikb
(B.2.28)
Ta quan tâm tới hàm (0) ( , )f trong khai triển trên. Từ (B.2.19), (B.2.25) và
(B.2.26) ta có thể viết:
'
2
(0) 2 ( '). '
1. ( ', )
'sin( )cos( ') '.2sin 22 2
1( , ) ' ' ( ', ') ( ', ')
4
1' ' ( ', ')
4
z
i k k r
du U b uikb ikz ik
f d b dz e U b z b z
d b dz e U b z e
(B.2.29)
ở đây ta đang xét trường hợp khi mômen xung lượng vào lớn và góc tán xạ là
nhỏ. Khi đó ta có thể áp dụng gần đúng sau:
43
2'sin( )cos( ') '.2sin ' cos( ') '.22 2
ikb ikz ikb ikz
.
Xét ở gần đúng bậc nhất theo ta nhận được biểu thức:
2'sin( )cos( ') '.2sin ' cos( ')2
ikb ikz ikb
(B.2.30)
Bây giờ ta viết lại (B.2.29) như sau:
'1
2 . ( ', )2(0) 2 ' cos( ')
0
1( , ) ' ' '. ( ', ')
4
z
du U b uikikbf d b d e dz U b z e
. (B.2.31)
Chúng ta cần chú ý rằng phép xấp xỉ (B.2.30) cho phép chúng ta đưa ra ngoài
tích phân theo z trong (B.2.31) bằng cách thay thế bởi tích phân mới . ( ', )duU b u
.
Sau khi tính các tích phân, ta được:
2
(0) ' cos( ') ( ')
0 0( , ) ' ' '. 1
2
ikb i bkf b db d e e
i
. (B.2.32)
ở đây 0
1( ') ' ( ', ')
2
kb dz U b z
E
. (B.2.33)
Như đã đề cập ở trên, hàm thế là đối xứng qua trục z, không phụ thuộc vào
góc và hơn nữa ta có thể bỏ ' trong tích phân trên. Do vậy, biên độ tán xạ bậc
không sử dụng phương pháp hàm Green được viết lại dạng:
(0) ( ')
00
( ) ' ' ( ' ) 1i bkf b db J kb e
i
. (B.2.34)
ở đây chúng ta đã sử dụng đồng nhất thức:
2cos
00
1( )
2
itJ t d e
. (B.2.35)
B.3. Phƣơng pháp chuẩn cổ điển
Cũng xuất phát từ phương trình Schrodinger (B.1), nghiệm của phương trình
có dạng:
iS(x)/e (B.3.1)
44
Thế vào phương trình Schrodinger ta được:
2 2
iS/ iS/
2( )
2U x e Ee
m x
, 21 1
'' '2 2
S S E Um i m
Trong giới hạn cổ điển thì 0 và thay 2 2
2
kE
m ta có:
2 2 2'( )
( )2 2
S x kU x
m m (B.3.2)
Tích phân biểu thức
2 2 2
2
2( ' ) ' onst
z
L
S mU k U b z dz c
(B.3.3)
Từ đó suy ra hàm sóng có dạng:
2 2
2( ' ) '
3/2
1
(2 )
z
L
imU b z dz
kikze e
(B.3.4)
Và biên độ tán xạ được viết:
3 ' ' 2 2 '
2
'
2 2
2
1 2( ', ) ' ( )
4
exp ( ' ) '
ik x ikx
z
L
mf k k d x e v b z e
imU b z dz
k
(B.3.5)
Đưa vào hệ tọa độ trụ ta có: 3 ' 'b
d x bdbd dz . Hơn nữa
ˆ( ') ' ( ')( ' )k k x k k b z z
ˆ( ') ' ' 'k k z z kb k b k b (B.3.6)
Khi k b và 2ˆ( '). ( )k k z O có thể được bỏ qua khi góc lệch nhỏ.
Xét sự tán xạ trong mặt phẳng xz, ta có:
ˆ ˆ ˆˆ'. ( sin os ).( cos sin )b bk b k x kc z b x b y
45
ˆ ˆ ˆ ˆsin . cos sin . sin
ˆ ˆˆ ˆos . cos os . sin
ˆ ˆsin . cos cos
b b
b b
b b
k x b x k x b y
kc z b x kc z b y
k x b x kb
(B.3.7)
(vì ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ. 1; . 0; . 0; . 0x x x y z x z y và do nhỏ nên sin )
Vậy biểu thức f(k’.k) sau khi được đơn giản hóa là:
b
2
os
2
0 0
2 2
2
1 2( ', )
4
exp ( ' ) '
ikb c
b
z
L
mf k k bdb d e
imdzV U b z dz
k
(B.3.8)
Sử dụng tính chất của hàm Bessel ta có:
b
2
os
0
0
2 ( )ikb c
bd e J kb
(B.3.9)
Đối với thành phần sau của f(k’,k) ta có thể đặt L khi V(x) được định
xứ nên không có đóng góp bên ngoài –L
2
2 2exp ' exp '
zz z
L L z
im i k imdzU Udz Udz
k m k
(B.3.10)
Thay (B.2.31) và (B.2.32) vào (B.2.30) ta được:
2
02 2
0
1 2( ', ) .2 ( ). exp '
4
zz
L z
m i k imf k k bdb J kb Udz
m k
0 2
0
. ( )expim
ik bdb J kb Udzk
2 ( )
0
0
. ( ) exp 1i bik bdb J kb
(B.3.11)
Với 2 2
2( ) ( )
2
mb U b z dz
k
46
Biên độ tán xạ tính theo chuẩn cổ điển là:
(0) ( )
00
( ) ( ) 1i bkf bdbJ kb e
i
B.4. Mối liên hệ giữa biên độ tán xạ theo sóng riêng phần và biên độ tán xạ
eikonal
Trong mục này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng biểu thức tán xạ trong phép gần đúng
eikonal có quan hệ với biên độ tán xạ sóng riêng phần trong giới hạn của tán xạ
năng lượng cao và ngược lại.
B.4.1. Phép chuyển đổi từ biên độ sóng riêng phần sang biên độ sóng
eikonal.
Như đã tính toán ở trên, biên độ tán xạ thu được bằng phương pháp sóng riêng
phần có dạng:
2
0
1( ) 2 1 cos 1
2li
l
l
f l P eik
(B.4.1)
Với bài toán tán xạ năng lượng cao, coi maxka l là lớn thì chúng ta có thể
thay cho việc lấy tổng theo l bằng tích phân theo l.
2 ( )
0
1( , ) (2 1) (cos ) 1
2li k
lf k dl l P eik
(B.4.2)
Tiếp theo, đặt (2 1)
2
lb
k
suy ra dl kdb , ở đây b gọi là thông số va chạm.
Với k – lớn, - nhỏ và kb có giới hạn, khi đó đa thức Legendre trở thành hàm
Bessel bậc không:
k high
l 0smallP(cos ) J (2l 1)sin
2 (B.4.3)
Hơn nữa chúng ta có thể viết: 2 ( ) 2 ( ) ( , )l kbk k k b , (B.4.4)
như là hàm eikonal trong miền giới hạn tương tác. Và do đó, biểu thức của
biên độ tán xạ thu được dưới dạng:
47
( , )
00
( , ) . (2 1)sin 12
i k bf k ik bdb J l e
(B.4.5)
Khi góc nhỏ thì sin2 2
, ta có:
2 2 1
(2 1)sin (2 1)sin .2 sin2 2 2 2 2
k ll l k
k k
Thay biểu thức trên vào công thức (B.4.5), nhận được:
( )
00
( , ) ( ) 1i bkf s t bdbJ kb e
i
(B.4.6)
Một lần nữa, biên độ tán xạ eikonal bậc không lại thu được.
B.4.2. Phép chuyển đổi từ biên độ sóng eikonal sang biên độ sóng riêng
phần
Biên độ sóng eikonal được viết như sau:
( )
00
( ) ( ) 1i bkf bdbJ kb e
i
(B.4.7)
Đặt: (2 1)
2
lb
k
, suy ra
1db dl
k và
(2 1)
2
lk
b
(B.4.8)
Ta có (2 1) (2 1)
2 2
l lkb b
b
.
Khi góc nhỏ thì sin2 2
, lúc này ta có:
(2 1)
2 1 2 1 sin2 2 2
lkb l l
(B.4.9)
Với k – lớn, - nhỏ và kb có giới hạn, khi đó đa thức Legendre trở thành
hàm Bessel bậc không:
0 (2 1)sin (cos )2
k high
lsmallJ l P
(B.4.10)
Hơn nữa chúng ta có thể viết:
48
( , ) 2 ( ) 2 ( )kb lk b k k (B.4.11)
Thay (B.4.8), (B.4.10). (B.4.11) vào (B.4.7) ta được:
( )
00
( ) ( ) 1i bkf bdbJ kb e
i
2 ( )
0
(2 1) 1(cos ) 1
2l k
l
k ldlP e
i k k
2 ( )
0
1(2 1) (cos ) 1
2li k
ldl l P eik
(B.4.12)
Với bài toán tán xạ năng lượng cao, coi maxka l là lớn thì chúng ta có thể
thay cho việc lấy tích phân theo bằng l tổng theo l khi đó (B.4.12) trở thành:
2 ( )
0
1( ) (2 1) (cos ) 1
2li k
lf dl l P eik
(B.4.13)
Ta lại thu được biên độ của sóng riêng phần.
B.5. Sơ đồ mối liên hệ giữa các phƣơng pháp của bài toán tán xạ
Phƣơng trình Schrodinger
l2i
l
l 0
1f ( ) (2l 1)(e 1)P (cos )
2ik
Phương pháp
Sóng riêng phần
Phương pháp
Hàm Green
Phương pháp
Chuẩn cổ điển
Hàm sóng Hàm sóng Hàm sóng
Hai sóng dạng:
phẳng tới ik.r
in 0(r) A e
và cầu phân kỳ ik r r '
3
out
1 e(r) d r ' U(r) (r ')
4 r r '
Hai sóng dạng:
phẳng tới: ikz
in (r) e
và cầu phân kỳ ikr
out
e(r) f ( , )
r
Một sóng dạng:
eiS(x)/
Biên độ tán xạ Biên độ tán xạ Biên độ tán xạ
l2i
l
l 0
1f ( ) (2l 1)(e 1)P (cos )
2ik
(0) i (b)
00
kf ( ) bdbJ (kb ) e 1
i
(0) i (b ')
00
kf ( ) b'db'J (kb' ) e 1
i
49
PHỤ LỤC C - HỆ SỐ DẠNG ĐIỆN TỪ CỦA NUCLEON
Tán xạ đàn hồi và tán xạ không đàn hồi của electron lên các hadron- proton và
neutron - cho ta những thông tin đặc biệt quý giá về cấu trúc hadron. Trong gần
đúng bậc nhất theo tương tác điện từ, tán xạ electron lên nucleon được mô tả bằng
giản đồ Feymann. Biểu thức của biên độ tán xạ có dạng:
2
2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1
1
1, | | , ,N e N e e e N N N Np p S p p e u p u p u p p p u p
q
(C.1)
ở đây 1Nu p , 2Nu p - các spinor Dirac đầu và cuối của nucleon, còn 1eu p ,
2eu p các spinor Dirac đầu và cuối tương ứng của electron, 2 1,N Np p là đỉnh
mô tả tương tác của nucleon với photon ở tất cả các bậc theo tương tác mạnh,
2 1 2 1e e N Nq p p p p . Ta tham số hóa đỉnh tương tác này 2 1,N Np p . Lưu ý,
2 1,N Np p một mặt là ma trận, còn mặt khác là véctơ. Nếu là ma trân, nó nhất
thiết phải là tổ hợp tuyến tính của 16 ma trận Dirac.
5 5 1, , , ,
2I (C.2)
trong đó I - ma trận đơn vị. Nếu 2 1,N Np p là véctơ, nó phải được hình thành từ
các véctơ 1 2,N Np p và các ma trận (C.2). Như vậy, 2 1,N Np p là tổ hợp của các
đại lượng:
5 5
1 2
5
, , , ,
, , ,
N Np p p q p q
q p
(C.3)
Các hệ số của các đại lượng này là các hàm số vô hướng của các xung lượng
1 2,N Np p , có nghĩa là hàm số 2q . Sự bảo toàn chẵn lẻ trong các tương tác điện từ
và tương tác yếu sẽ loại bỏ các tổ hợp cùng ma trận 5 ( 5
2 1N Nu p u p - giả vô
hướng, 5
2 1N Nu p u p - giả véc tơ. Còn số hạng cùng q với sẽ triệt tiêu do bất
biến chuẩn.
2 1 0N Nq u p u p
. (C.4)
50
Suy ra:
p q
.
2q p M
. (C.5)
Như vậy, kết quả cuối cùng ta có :
2 2
2 1` 1 2,2
N Np p F q F q qM
. (C.6)
trong đó M khối lượng của nucleon, - moment từ dị thường của nucleon (trong
đơn vị magneton hạt nhân). Các hàm vô hướng 2
1,2F q của xung lượng truyền
được gọi là các hệ số dạng. Lưu ý, 1 20 , 0 1,F Q F
Thay cho các hệ số dạng 2
1,2F q thường dùng các hệ số dạng 2
EG q ,
2
MG q :
2
2 2 2
1 224E
qG q F q F q
M .
2 2 2
1 2MG q F q F q .
Ưu việt của các hệ số dạng 2
EG q , 2
MG q ở chỗ 2
EG q xác định sự phân
bố điện tích, còn 2
MG q là mômen từ.
Related Documents
