TOÁN RỜI RẠC - toanroirac2011.files.wordpress.com · Toán rời rạc: 2011-2012 Nội dung 1. Giới thiệu về lý thuyết đồ thị. 2. Đồ thị vô hướng –Đồ

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải

TOÁN RỜI RẠC

Chương 06:Đồ thị

Toán rời rạc: 2011-2012

Nội dung

1. Giới thiệu về lý thuyết đồ thị.

2. Đồ thị vô hướng – Đồ thị có hướng.

3. Bậc của đỉnh.

4. Một số dạng đồ thị đặc biệt.

5. Biểu diễn đồ thị trên máy tính.

Chương 6: Đồ thị 2


Giới thiệu

Những câu hỏi cũ:

Đường nào nhanh nhất tới nhà người yêu?

Đường nào gần nhất tới café Gió và Nước?



Giới thiệu

Câu hỏi khác:

Thế kế mạng LAN cho tòa nhà 20 tầng thế nào đây?

Sắp đặt các links trong website sao cho hợp lý?

Sắp xếp cả núi công việc để hoàn thành sớm nhất?



Giới thiệu

Định nghĩa đồ thị (graph): cấu trúc rời rạc gồm

Các đỉnh (vertices or nodes).

Các cạnh (edges) nối các đỉnh.

Biểu diễn:

Đỉnh: các điểm.

Cạnh: đường thẳng/cong.

Hai loại:

Đồ thị vô hướng (undirected graph).

Đồ thị có hướng (directed graph).



Giới thiệu

Lý thuyết đồ thị:

Là một lý thuyết kinh điển.

Ứng dụng rộng rãi ngày nay, trong nhiều lĩnh vực:

• Nghiên cứu Khoa học.

• Công nghiệp.

Khởi xướng:

Leonard Euler (thế kỷ 18).




Đồ thị vô hướngĐồ thị có hướng

Chương 06


Đồ thị đơn cạnh

Simple graph (đơn đồ thị): G = (V, E)

V: một tập hợp không rỗng của các đỉnh.

E: tập các cặp đỉnh (tức các cạnh) không-thứ-tự.

Các cạnh nối (connect) các đỉnh lại với nhau.

Giữa 2 đỉnh chỉ có đúng 1 cạnh.



Đồ thị đa cạnh

Multi-graph (đa đồ thị): G = (V, E)

E: cho phép nhiều cạnh nối một cặp đỉnh.



Đồ thị “giả”

Pseudo-graph (giả đồ thị): G = (V, E)

E: cho phép lặp (loop) tại các đỉnh.

(Còn gọi là chứa các khuyên)



Đồ thị có hướng

Directed graph: G = (V, E)

V: một tập hợp không rỗng của các đỉnh.

E: tập các cặp đỉnh có-thứ-tự.

Cạnh nối 2 đỉnh gọi là cung (arc).




Bậc của đỉnh

Chương 06


Một số thuật ngữ cơ bản

Đồ thị vô hướng:

Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng và

u và v gọi là 2 đỉnh liền kề (adjacent).

e gọi là cạnh nối (cạnh kề: incident) của u và v.

u và v gọi là điểm cuối của e.

Bậc (degree) của đỉnh là số các cạnh nối với nó.

Kí hiệu: deg(e) = …


Evue ),(


Bậc của đỉnh – Ví dụ


Điểm “bị treo”

Điểm “cô lập”

( )

( )


Một số thuật ngữ cơ bản

Đồ thị có hướng:

Cho G = (V, E) là đồ thị có hướng và

u gọi là nối tới v, v gọi là được nối từ u.

u gọi là đỉnh đầu, v gọi là đỉnh cuối.

Khi đó:

deg−(u): bậc “vào” (in-degree) của u.

deg+(u): bậc “ra” (out-degree) của u.


Evue ),(


Bậc của đỉnh – Ví dụ



Bậc của đỉnh – Định lý

Định lý 1:

Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng:

(Handshaking theorem)

Một đồ thị luôn có 1 số chẵn các đỉnh bậc lẻ.

Lưu ý: định lý 1 đúng ngay cả khi đồ thị là đa cạnh hoặc có chứa khuyên.


Vv

vdegE )(2


Bậc của đỉnh – Định lý

Định lý 2:

Cho G = (V, E) là đồ thị có hướng:


VvVv

vdegvdegE )()(


Một số dạng đồ thị đặc biệt

1. Đồ thị đầy đủ (complete): n đỉnh

Mỗi cặp đỉnh đều có đúng 1 cạnh nối. Kí hiệu: Kn.




2. Đồ thị chu trình (cycle - vòng): n ≥ 3 đỉnh

Kí hiệu: Cn.




3. Đồ thị bánh xe (wheel): n ≥ 3 đỉnh và 1 đỉnh ở giữa nối với các đỉnh kia.

Kí hiệu: Wn.




4. Đồ thị hình sao(star): n ≥ 3 đỉnh và 1 đỉnh ở giữa nối với các đỉnh kia.

Kí hiệu: Sn.




5. Đồ thị dạng khối n chiều : n-cube.

Kí hiệu: Qn.


Q3

Q2


Một số ứng dụng

Mạng cục bộ (LAN):

hình sao,

vòng,

bus,

lai (có dư thừa nhưng tăng độ tin cậy).

Cấu trúc kết nối của máy tính song song:

một chiều,

lưới,

siêu khối (n-cube).



Đồ thị phân đôi

Bipartite graph:

Các đỉnh của 1 đồ thị chia làm 2 tập con.

Mỗi cạnh nối 1 đỉnh từ tập này đến 1 đỉnh ở tập kia.

Ví dụ:

Quan hệ hôn nhân trong một làng, gồm 2 tập con là phái nam và phái nữ.

Quan hệ “gán” giữa danh sách các công việc và danh sách các nhân viên.




Định nghĩa: G = (V, E)

và


212121 ,, VVVVVVV

21,,),( VvVuEvu



Đồ thị phân đôi đầy đủ (complete bipartite): G = (V, E) là phân đôi đầy đủ nếu

G là đồ thị phân đôi.

Kí hiệu: Km,n với |V1| = m, |V2| = n


EvuVvVu ),(,, 21

K3,3

K3,4




K12,12


Đồ thị đều

Regular graph: đồ thị đơn được gọi là đều nếu

Ví dụ:


Vvuvdegudeg ,),()(


Đồ thị bù

Complementary graph: Cho đồ thị đơn G = (V, E). Đồ thị bù G = (V, E)

của G được định nghĩa như sau:

Ví dụ:


),( FWG

}),(|),{( EvuVvVuvuF

VW

GG


Tạo đồ thị mới từ đồ thị cũ

Đồ thị con (subgraph) của G = (V, E) là đồ thị H = (W, F), trong đó W⊆V, F⊆E.

Cho 2 đồ thị và

Định nghĩa


),(

),( ),(

212121

222111

EEVVGG

EVGEVG



Biểu diễn đồ thị trong máy tính


Các cách biểu diễn

1. Danh sách cạnh kề (adjacency list).

2. Ma trận đỉnh kề (adjacency matrix).

3. Ma trận cạnh kề (incidence matrix).



Danh sách cạnh kề (adjacency list)



Ma trận đỉnh kề (adjacency matrix)

Cho đồ thị G = (V, E). Ma trận đỉnh kề AG

Kích thước: |V|* |V|

Giá trị các phần tử:


otherwise

if

0

),( 1 Evva

ji

ij


Ma trận cạnh kề (incidence matrix)

Cho đồ thị G = (V, E). Ma trận cạnh kề MG

Kích thước: |V|* |E|

Giá trị các phần tử:


otherwise

with incident if

0

1 ii

ij

vem

TOÁN RỜI RẠC - toanroirac2011.files.wordpress.com · Toán rời rạc: 2011-2012 Nội dung 1. Giới thiệu về lý thuyết đồ thị. 2. Đồ thị vô hướng –Đồ

Documents