Gerak dalam kerangka noninersial file•Gerak benda dalam kerangka noninersial, yaitu gerak suatu benda yang ditinjau oleh kerangka yang dipercepat. •Contoh: 1. Seseorang berjalan

Gerak dalam kerangkanoninersial

Dr. Agus Suroso

FI2104 Mekanika B

Kerangka noninersial

• Kerangka noninersial adalah kerangka yang dipercepat.

• Gerak benda dalam kerangka noninersial, yaitu gerak suatu bendayang ditinjau oleh kerangka yang dipercepat.

• Contoh:

1. Seseorang berjalan di dalam bus yang dipercepat ke depan.

2. Seseorang berjalan di dalam bus yang bergerak melingkar.

3. Seseorang berjalan di tepi jalan, diamati oleh orang di dalam bus yang dipercepat (baik lurus maupun melingkar).

agussuroso[fi]itb.ac.id FI2104 Mekanika B: Gerak pada kerangka noninersial 2

Kerangka bertranslasi dipercepat


Kerangka bergerak lurus dipercepat

Seseorang berjalan di dalam bus yang bergerakdipercepat, diamati oleh pengamat di rumah dan di dalam bus.

Bus dipercepat.




Bus dipercepat.

Rumah: kerangkainersial.




Bus: kerangkanoninersial.

Rumah: kerangkainersial.



Posisi orang:𝑥 = 𝑋 + 𝑥′

𝑋

𝑥

𝑥′agussuroso[fi]itb.ac.id FI2104 Mekanika B: Gerak pada kerangka noninersial 7



Kecepatan:𝑣 = 𝑉 + 𝑣′,

dengan

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡, 𝑉 =

𝑑𝑋

𝑑𝑡, 𝑣′ =

𝑑𝑥′

𝑑𝑡.

𝑉𝑣′




Kecepatan:𝑣 = 𝑉 + 𝑣′,

dengan

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡, 𝑉 =

𝑑𝑋

𝑑𝑡, 𝑣′ =

𝑑𝑥′

𝑑𝑡.

Percepatan:𝑎 = 𝐴 + 𝑎′,

dengan

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡, 𝐴 =

𝑑𝑉

𝑑𝑡, 𝑎′ =

𝑑𝑣′

𝑑𝑡.

𝐴𝑎′



Rumah:𝐹 = 𝑚𝑎

Bus:𝐹′ = 𝑚𝑎′ = 𝑚𝑎 −𝑚𝐴

Hukum II Newton





Hukum II Newton

Gaya fiktif:• Besarnya 𝑚𝐴• Arahnya berlawanan

dengan percepatankerangka.





Hukum II Newton

Gaya fiktif:• Besarnya 𝑚𝐴• Arahnya berlawanan

dengan percepatankerangka.

Gaya fiktif akibat kerangkabertranslasi dipercepat:

Ԧ𝐹𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑠𝑖 = −𝑚 Ԧ𝐴


Kerangka berotasi


Kerangka berotasiSeekor kura-kura berjalan di atas sebuah cakram.

𝑥

𝑦

𝑧

𝑦′

𝑥′

𝑧′Kerangkaruangan.

Kerangkacakram.

𝑂′

𝑂


Kerangka berotasiJika cakram berputar terhadap sumbu-z.

𝑥

𝑦

𝑧

𝜔𝑧

𝑦′

𝑥′

𝑧′

𝑂′

𝑂


Kerangka berotasiJika cakram berputar terhadap sumbu-z.

𝑥

𝑦

𝜔𝑧

𝑥′

𝑦′

𝑂

𝑂′


Tampak atas

Kerangka berotasi

𝜔𝑧

𝑥′

𝑦′

𝑥

𝑦𝑂

𝑂′

Perhatikan bahwa basis koordinat 𝑂dan 𝑂’ berbeda.


Kerangka berotasi

𝜔𝑧

ො𝑥′

ො𝑦′

ො𝑥

ො𝑦𝑂𝑂′

𝑑𝜙

𝑑𝑡= 𝜔𝑧

𝜙

𝜙

Perhatikan bahwa basis koordinat 𝑂dan 𝑂’ berbeda.

Hubungannya,

ො𝑥′ො𝑦′

Ƹ𝑧′

=cos 𝜙 sin𝜙 0−sin𝜙 cos 𝜙 0

0 0 1

ො𝑥ො𝑦Ƹ𝑧


Kerangka berotasiPosisi, kecepatan


Kerangka berotasi

𝑥

𝑦

𝜔𝑧

𝑥′

𝑦′

𝑂

𝑂′

𝑅

Ԧ𝑟′Ԧ𝑟

Posisi kura-kura:

Ԧ𝑟 = 𝑅 + Ԧ𝑟′.


Kerangka berotasiPosisi kura-kura:

Ԧ𝑟 = 𝑅 + Ԧ𝑟′.Kecepatan:

Ԧ𝑣 = 𝑉 +𝑑Ԧ𝑟′

𝑑𝑡,

dengan

Ԧ𝑣 =𝑑 Ԧ𝑟

𝑑𝑡, 𝑉 =

𝑑𝑅

𝑑𝑡.

𝑥

𝑦

𝜔𝑧

𝑥′

𝑦′

𝑂

𝑂′

𝑅

Ԧ𝑟′Ԧ𝑟





𝑑𝑡,

dengan

Ԧ𝑣 =𝑑 Ԧ𝑟

𝑑𝑡, 𝑉 =

𝑑𝑅

𝑑𝑡.

𝑥

𝑦

𝜔𝑧

𝑥′

𝑦′

𝑂

𝑂′

𝑅

Ԧ𝑟′Ԧ𝑟

Perhatikan suku ini.





𝑑𝑡,

dengan

Ԧ𝑣 =𝑑 Ԧ𝑟

𝑑𝑡, 𝑉 =

𝑑𝑅

𝑑𝑡.

Ingat bahwaԦ𝑟′ = 𝑟′ Ƹ𝑟′.

Sehingga turunannya terhadap waktu,𝑑 Ԧ𝑟′

𝑑𝑡=𝑑𝑟′

𝑑𝑡Ƹ𝑟′ + 𝑟′

𝑑 Ƹ𝑟′

𝑑𝑡.

Laju menurutkerangka 𝑂’,

𝑑𝑟′

𝑑𝑡= 𝑣′





𝑑𝑡,

dengan

Ԧ𝑣 =𝑑 Ԧ𝑟

𝑑𝑡, 𝑉 =

𝑑𝑅

𝑑𝑡.





𝑑 Ƹ𝑟′

𝑑𝑡.


𝑑𝑟′

𝑑𝑡= 𝑣′

Perubahan basis 𝑂’ terhadap waktu.


Kerangka berotasi Suku disamping diuraikan menjadi

𝑟′𝑑 Ƹ𝑟′

𝑑𝑡= 𝑥′

𝑑 ො𝑥′

𝑑𝑡+ 𝑦′

𝑑 ො𝑦′

𝑑𝑡+ 𝑧′

𝑑 Ƹ𝑧′

𝑑𝑡.

Dalam bentuk matriks,

𝑥′ 𝑦′ 𝑧′𝑑

𝑑𝑡


Ƹ𝑧′

.

Ingat bahwa


Ƹ𝑧′

=cos𝜙 sin𝜙 0− sin𝜙 cos 𝜙 0

0 0 1


,

dan d𝜙/𝑑𝑡 = 𝜔𝑧.





𝑑 Ƹ𝑟′

𝑑𝑡.




𝑑𝑡= 𝑥′

𝑑 ො𝑥′

𝑑𝑡+ 𝑦′

𝑑 ො𝑦′

𝑑𝑡+ 𝑧′

𝑑 Ƹ𝑧′

𝑑𝑡.



𝑑𝑡


Ƹ𝑧′

.

Ingat bahwa


Ƹ𝑧′


0 0 1


,






𝑑 Ƹ𝑟′

𝑑𝑡.




𝑑𝑡= 𝑥′

𝑑 ො𝑥′

𝑑𝑡+ 𝑦′

𝑑 ො𝑦′

𝑑𝑡+ 𝑧′

𝑑 Ƹ𝑧′

𝑑𝑡.



𝑑𝑡


Ƹ𝑧′

.

Ingat bahwa


Ƹ𝑧′


0 0 1


,





𝑑𝑡= 𝑥′

𝑑 ො𝑥′

𝑑𝑡+ 𝑦′

𝑑 ො𝑦′

𝑑𝑡+ 𝑧′

𝑑 Ƹ𝑧′

𝑑𝑡.



𝑑𝑡= 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′

𝑑

𝑑𝑡


Ƹ𝑧′

.

Ingat bahwa


Ƹ𝑧′


0 0 1


,


Sehingga

𝑑

𝑑𝑡


Ƹ𝑧′

= 𝜔𝑧

−sin𝜙 cos𝜙 0−cos𝜙 −sin𝜙 0

0 0 0


= 𝜔𝑧

ො𝑦′

−ො𝑥′Ƹ𝑧′

.




𝑑𝑡= 𝑥′

𝑑 ො𝑥′

𝑑𝑡+ 𝑦′

𝑑 ො𝑦′

𝑑𝑡+ 𝑧′

𝑑 Ƹ𝑧′

𝑑𝑡.



𝑑𝑡= 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′

𝑑

𝑑𝑡


Ƹ𝑧′

.

Ingat bahwa


Ƹ𝑧′


0 0 1


,


Sehingga

𝑑

𝑑𝑡


Ƹ𝑧′

= 𝜔𝑧

−sin𝜙 cos𝜙 0−cos𝜙 −sin𝜙 0

0 0 0


= 𝜔𝑧

ො𝑦′

−ො𝑥′0

.

Dengan demikian,


𝑑𝑡= 𝜔𝑧 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′ −

ො𝑦′

ො𝑥′0

= ො𝑥′ −𝜔𝑧𝑦′ + ො𝑦′ 𝜔𝑧𝑥

′

= 𝜔 × Ԧ𝑟′agussuroso[fi]itb.ac.id FI2104 Mekanika B: Gerak pada kerangka noninersial 29

Kerangka berotasiIngat bahwa

Ԧ𝑟′ = 𝑟′ Ƹ𝑟′.Sehingga turunannya terhadap waktu,

𝑑 Ԧ𝑟′



𝑑 Ƹ𝑟′

𝑑𝑡.

𝑑 Ԧ𝑟′

𝑑𝑡= 𝑣′ Ƹ𝑟′ + 𝜔 × Ԧ𝑟′


𝑑𝑟′

𝑑𝑡= 𝑣′

𝜔 × Ԧ𝑟′


Kerangka berotasiIngat bahwa

Ԧ𝑟′ = 𝑟′ Ƹ𝑟′.Sehingga turunannya terhadap waktu,

𝑑 Ԧ𝑟′



𝑑 Ƹ𝑟′

𝑑𝑡.


𝑑𝑟′

𝑑𝑡= 𝑣′

𝜔 × Ԧ𝑟′ Hasil ini dapat diperumum untuk sembarang

vektor 𝐵′ di koordinat 𝑂′,

𝑑𝐵′

𝑑𝑡=𝑑𝐵′

𝑑𝑡Ƹ𝑟′ + 𝜔 × 𝐵′

𝑑 Ԧ𝑟′



Kerangka berotasi

Posisi kura-kura:



𝑑𝑡= 𝑉 + Ԧ𝑣′ + 𝜔 × Ԧ𝑟′,

𝑥

𝑦

𝜔𝑧

𝑥′

𝑦′

𝑂

𝑂′

𝑅

Ԧ𝑟′Ԧ𝑟

𝑑 Ԧ𝑟′



Kerangka berotasi

Posisi kura-kura:



𝑑𝑡= 𝑉 + Ԧ𝑣′ + 𝜔 × Ԧ𝑟′,

𝑥

𝑦

𝜔𝑧

𝑥′

𝑦′

𝑂

𝑂′

𝑅

Ԧ𝑟′Ԧ𝑟

𝑑 Ԧ𝑟′


Kecepatan menurut 𝑂.


Kerangka berotasi

Posisi kura-kura:



𝑑𝑡= 𝑉 + Ԧ𝑣′ + 𝜔 × Ԧ𝑟′,

𝑥

𝑦

𝜔𝑧

𝑥′

𝑦′

𝑂

𝑂′

𝑅

Ԧ𝑟′Ԧ𝑟

𝑑 Ԧ𝑟′


Kecepatankerangka/cakram.


Kerangka berotasi

Posisi kura-kura:



𝑑𝑡= 𝑉 + Ԧ𝑣′ + 𝜔 × Ԧ𝑟′,

𝑥

𝑦

𝜔𝑧

𝑥′

𝑦′

𝑂

𝑂′

𝑅

Ԧ𝑟′Ԧ𝑟

𝑑 Ԧ𝑟′


Kecepatanmenurut 𝑂’.


Kerangka berotasi

Posisi kura-kura:



𝑑𝑡= 𝑉 + Ԧ𝑣′ + 𝜔 × Ԧ𝑟′,

𝑥

𝑦

𝜔𝑧

𝑥′

𝑦′

𝑂

𝑂′

𝑅

Ԧ𝑟′Ԧ𝑟

𝑑 Ԧ𝑟′


Kecepatanmenurut 𝑂’.


Kerangka berotasi

Posisi kura-kura:



𝑑𝑡= 𝑉 + Ԧ𝑣′ + 𝜔 × Ԧ𝑟′,

𝑥

𝑦

𝜔𝑧

𝑥′

𝑦′

𝑂

𝑂′

𝑅

Ԧ𝑟′Ԧ𝑟

𝑑 Ԧ𝑟′


Kecepatan menurut 𝑂.

Kecepatanmenurut 𝑂’.Kecepatan

kerangka/cakram. Kecepatan

menurut 𝑂’.


Kerangka berotasiPercepatan




Ԧ𝑣 = 𝑉 + Ԧ𝑣′ +𝜔 × Ԧ𝑟′.Percepatan:

Ԧ𝑎 =𝑑 Ԧ𝑣

𝑑𝑡=𝑑𝑉

𝑑𝑡+

𝑑

𝑑𝑡( Ԧ𝑣′ +𝜔 × Ԧ𝑟′)

𝑥

𝑦

𝜔𝑧

𝑥′

𝑦′

𝑂

𝑂′

𝑅

Ԧ𝑟′Ԧ𝑟

Ingat, untuk sembarang vektor 𝐵′ di koordinat 𝑂′,

𝑑𝐵′


𝑑𝑡Ƹ𝑟′ +𝜔 × 𝐵′





Ԧ𝑎 =𝑑 Ԧ𝑣

𝑑𝑡=𝑑𝑉

𝑑𝑡+

𝑑



𝑑𝐵′



Untuk 𝐵′ = Ԧ𝑣′ +𝜔 × Ԧ𝑟′,

𝑑𝐵′

𝑑𝑡=𝑑 Ԧ𝑣′

𝑑𝑡+𝑑𝜔

𝑑𝑡× Ԧ𝑟′ + 𝜔 ×

𝑑Ԧ𝑟′

𝑑𝑡

𝑑 Ԧ𝑣′

𝑑𝑡+ 𝜔 × Ԧ𝑣′





Ԧ𝑎 =𝑑 Ԧ𝑣

𝑑𝑡=𝑑𝑉

𝑑𝑡+

𝑑



𝑑𝐵′




𝑑𝐵′


𝑑𝑡+𝑑𝜔

𝑑𝑡× Ԧ𝑟′ + 𝜔 ×

𝑑Ԧ𝑟′

𝑑𝑡

Ԧ𝛼





Ԧ𝑎 =𝑑 Ԧ𝑣

𝑑𝑡=𝑑𝑉

𝑑𝑡+

𝑑



𝑑𝐵′




𝑑𝐵′


𝑑𝑡+𝑑𝜔

𝑑𝑡× Ԧ𝑟′ + 𝜔 ×

𝑑Ԧ𝑟′

𝑑𝑡

Ԧ𝑣′ +𝜔 × Ԧ𝑟′





Ԧ𝑎 =𝑑 Ԧ𝑣

𝑑𝑡=𝑑𝑉

𝑑𝑡+

𝑑



𝑑𝐵′


𝑑𝑡+𝑑𝜔

𝑑𝑡× Ԧ𝑟′ + 𝜔 ×

𝑑Ԧ𝑟′

𝑑𝑡

𝑑 Ԧ𝑣′

𝑑𝑡+ 𝜔 × Ԧ𝑣′

Ԧ𝛼Ԧ𝑣′ +𝜔 × Ԧ𝑟′

Sehingga,

Ԧ𝑎 = Ԧ𝐴 + Ԧ𝑎′ + ( Ԧ𝛼 × Ԧ𝑟′) + (2𝜔 × Ԧ𝑣′) + (𝜔 × 𝜔 × Ԧ𝑟′)


Kerangka berotasi

Sehingga,

Ԧ𝑎 = Ԧ𝐴 + Ԧ𝑎′ + ( Ԧ𝛼 × Ԧ𝑟′) + (2𝜔 × Ԧ𝑣′) + (𝜔 × 𝜔 × Ԧ𝑟′)

Ԧ𝑎: percepatan menurut O

Ԧ𝐴 : percepatan kerangka

Ԧ𝑎′: percepatan menurut 𝑂’

Ԧ𝛼 × Ԧ𝑟′: percepatan azimutal

2𝜔 × Ԧ𝑣′: percepatan koriolis

𝜔 ×𝜔 × Ԧ𝑟′ : percepatan sentrifugal


Gaya Fiktif

Percepatan,

Ԧ𝑎 = Ԧ𝐴 + Ԧ𝑎′ + Ԧ𝛼 × Ԧ𝑟′ + 2𝜔 × Ԧ𝑣′ + 𝜔 × 𝜔 × Ԧ𝑟′.atau

Ԧ𝑎′ = Ԧ𝑎 − Ԧ𝐴 − Ԧ𝛼 × Ԧ𝑟′ − 2𝜔 × Ԧ𝑣′ − 𝜔 × 𝜔 × Ԧ𝑟′ .

Gaya, menurut kerangka berotasiԦ𝐹′ = 𝑚 Ԧ𝑎′ = Ԧ𝐹 + Ԧ𝐹𝑓𝑖𝑘𝑡𝑖𝑓


Ԧ𝐹𝑎𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡𝑎𝑙 = −𝑚 Ԧ𝛼 × Ԧ𝑟′

Ԧ𝐹𝐶𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠 = −2𝑚𝜔 × Ԧ𝑣′

Ԧ𝐹𝑠𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑎𝑙 = −𝑚𝜔 ×𝜔 × Ԧ𝑟′

Ԧ𝐹 = 𝑚 Ԧ𝑎

FI2104 Mekanika B: Gerak pada kerangka noninersialagussuroso[fi]itb.ac.id 45

Latihan


Soal 1

Perhatikan gambar di samping. Semua sistem licin.

a) Jika kereta 𝑀 bergerak kekanan dengan percepatan 𝑎0, tentukan gaya fiktif yang dialami oleh 𝑚1.

b) Tentukan nilai 𝑎0 agar benda𝑚1 diam terhadap kereta.


𝑀 𝑚2

𝑚1

Kerangka kereta dipercepat kekanan sebesar 𝑎0, sehingga 𝑚1mengalami gaya fiktif berupa gayatranslasi

Ԧ𝐹𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑠𝑖 = −𝑚1 Ԧ𝑎0


𝑀

𝑚1

Solusi 1 a) Gaya fiktif pada 𝑚1 b) 𝑎0 agar 𝑚1 diam terhadap 𝑀

Ԧ𝐹𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑠𝑖 = −𝑚1𝑎0

𝑎0

Menurut kerangka kereta, keduabenda diam, jadi

𝑚2𝑔 − 𝑇 = 0𝑇 −𝑚1𝑎0 = 0

Dari kedua persamaan di atas, diperoleh

𝑎0 =𝑚2

𝑚1𝑔


𝑚1

Solusi 1 a) Gaya fiktif pada 𝑚1 b) 𝑎0 agar 𝑚1 diam terhadap 𝑀

𝑚1𝑎0

𝑎0𝑚2

𝑇 𝑇

𝑚2𝑔

𝑀

Soal 2

Balok 𝑚 diletakkan di atas permukaan papan 𝑀 yang kasar.

Jika papan 𝑀 dipercepat ke kanan dengan percepatan 𝑎0, tentukan koefisien gesek statik antara 𝑚 dengan 𝑀 agar balok𝑚 diam di atas papan tanpa tergelincir ke kiri.

Abaikan gesekan antara lantai dengan papan 𝑀.


Papan dipercepat ke kanan, sehingga balok mengalami gayafiktif sebesar 𝑚𝑎0 ke kiri.

Balok juga mengalami gaya gesek ke kanan sebesar 𝑓 = 𝜇𝑚𝑔.

Agar balok diam,

𝜇𝑚𝑔 −𝑚𝑎0 = 0 ⇒ 𝜇 =𝑎0𝑔


Solusi 2 𝑓

𝑀

𝑚𝑎0

𝑎0

Soal 3

Sebuah cakram berputar dengan kecepatan

𝜔 𝑡 = 𝑡2 − 2𝑡 + 1.

Seekor serangga berjalan di atas cakram itu secara radial menuju pusatcakram, dengan laju konstan sebesar 𝑢. Mula-mula (saat 𝑡 = 0) serangga berada pada jarak 𝑅 dari pusat.

a) Tentukan pada 𝑡 berapa serangga mencapai jarak𝑅

2dari pusat

cakram.

b) Identifikasi gaya-gaya fiktif yang bekerja pada serangga tersebut. Tentukan besar dan arah dari masing-masing gaya tersebut.



Solusi 2 a) serangga mencapai jarak 𝑅/2 b) Identifikasi gaya fiktif

𝜔

𝑦′

𝑥′

𝑧′

𝑂′

: seranggaMisal cakram berputar terhadap sumbu-𝑧dan serangga bergerak sepanjang sumbu 𝑦′.

Kecepatan sudut cakram: 𝜔 𝑡 = 𝑡2 − 2𝑡 + 1 Ƹ𝑧.

Kecepatan gerak serangga terhadapcakram:

Ԧ𝑣′ = −𝑢 ො𝑦′



𝜔 𝑡 = 𝑡2 − 2𝑡 + 1 Ƹ𝑧.Ԧ𝑣′ = −𝑢 ො𝑦′

Saat 𝑡 = 0: Ԧ𝑟′(0) = 𝑅 ො𝑦′.

Pada 𝑡 berapa Ԧ𝑟′(𝑡) =𝑅

2ො𝑦′?

𝜔

𝑦′

𝑥′

𝑧′

𝑂′

: serangga



𝜔 𝑡 = 𝑡2 − 2𝑡 + 1 Ƹ𝑧.Ԧ𝑣′ = −𝑢 ො𝑦′

Saat 𝑡 = 0: Ԧ𝑟′(0) = 𝑅 ො𝑦′.

Pada 𝑡 berapa Ԧ𝑟′(𝑡) =𝑅

2ො𝑦′?

Gunakan persamaan kinematika

Ԧ𝑟′ 𝑡 = Ԧ𝑟′ 0 +න0

𝑡

𝑢 𝑑𝑡,

untuk mendapatkan

𝑡 =𝑅

2𝑢. 𝜔

𝑦′

𝑥′

𝑧′

𝑂′

: serangga



Gaya Fiktif


Ԧ𝐹𝑎𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡𝑎𝑙 = −m Ԧ𝛼 × Ԧ𝑟′

Ԧ𝐹𝐶𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠 = −2m𝜔 × Ԧ𝑣′

Ԧ𝐹𝑠𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑎𝑙 = −m𝜔 × 𝜔 × Ԧ𝑟′

𝜔 𝑡 = 𝑡2 − 2𝑡 + 1 Ƹ𝑧.Ԧ𝑣′ = −𝑢 ො𝑦′

𝜔

𝑦′

𝑥′

𝑧′

𝑂′

: serangga



Gaya Fiktif

𝑭𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒍𝒂𝒔𝒊 = −𝒎𝑨 = 𝟎



Ԧ𝐹𝑠𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑎𝑙 = −𝑚𝜔 × 𝜔 × Ԧ𝑟′

Karena 𝐴 = 0.

𝜔 𝑡 = 𝑡2 − 2𝑡 + 1 Ƹ𝑧.Ԧ𝑣′ = −𝑢 ො𝑦′

𝜔

𝑦′

𝑥′

𝑧′

𝑂′

: serangga



𝜔 𝑡 = 𝑡2 − 2𝑡 + 1 Ƹ𝑧.Ԧ𝑣′ = −𝑢 ො𝑦′

Gaya Fiktif

Ԧ𝐹𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑠𝑖 = −𝑚 Ԧ𝐴 = 0

𝑭𝒂𝒛𝒊𝒎𝒖𝒕𝒂𝒍 = −𝒎 𝜶 × 𝒓′ = 𝒎𝑹

𝒖− 𝟐

𝑹

𝟐ෝ𝒙′



Saat serangga berada pada Ԧ𝑟′ =𝑅

2ො𝑦′, 𝑡 = 𝑅/2𝑢,

sehingga

Ԧ𝛼 =𝑅

𝑢− 2 Ƹ𝑧′.

Sehingga

Ԧ𝐹𝑎𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡𝑎𝑙 = −𝑚𝑅

𝑢− 2

𝑅

2Ƹ𝑧′ × ො𝑦′

= 𝒎𝑹

𝒖− 𝟐

𝑹

𝟐ෝ𝒙′.



Gaya Fiktif


Ԧ𝐹𝑎𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡𝑎𝑙 = −𝑚 Ԧ𝛼 × Ԧ𝑟′ = 𝑚𝑅

𝑢− 2

𝑅

2ො𝑥′

𝑭𝑪𝒐𝒓𝒊𝒐𝒍𝒊𝒔 = −𝟐𝒎𝝎× 𝒗′ = −𝟐𝒎𝒖𝑹

𝒖− 𝟏

𝟐

ෝ𝒙′


𝜔 𝑡 = 𝑡2 − 2𝑡 + 1 Ƹ𝑧.Ԧ𝑣′ = −𝑢 ො𝑦′


2ො𝑦′, 𝑡 = 𝑅/2𝑢′,

sehingga

𝜔 =𝑅

𝑢− 1

2

Ƹ𝑧′.

Sehingga

Ԧ𝐹𝐶𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠 = −2𝑚𝑅

𝑢− 1

2

Ƹ𝑧′ × (−𝑢 ො𝑦′)

= −𝟐𝒎𝑹

𝒖− 𝟏

𝟐

𝒖 ෝ𝒙′.



Gaya Fiktif



𝑢− 2

𝑅

2ො𝑥′

Ԧ𝐹𝐶𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠 = −2𝑚𝜔 × Ԧ𝑣′ = −2𝑚𝑢𝑅

𝑢− 1

2

ො𝑥′

𝑭𝒔𝒆𝒏𝒕𝒓𝒊𝒇𝒖𝒈𝒂𝒍 = −𝒎𝝎×𝝎 × 𝒓′ = 𝒎𝑹

𝒖− 𝟏

𝟒𝑹

𝟐ෝ𝒚′

𝜔 𝑡 = 𝑡2 − 2𝑡 + 1 Ƹ𝑧.Ԧ𝑣′ = −𝑢 ො𝑦′


2ො𝑦′, 𝑡 = 𝑅/2𝑢′,

sehingga

𝜔 × Ԧ𝑟′ = −𝑅

𝑢− 1

2𝑅

2ො𝑥′.

Sehingga

𝑭𝑺𝒆𝒏𝒕𝒓𝒊𝒇𝒖𝒈𝒂𝒍 = 𝒎𝑹

𝒖− 𝟏

𝟒𝑹

𝟐ෝ𝒚′



Gaya Fiktif



𝑢− 2

𝑅

2ො𝑥′

Ԧ𝐹𝐶𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠 = −2𝑚𝜔 × Ԧ𝑣′ = −2𝑚𝑅

𝑢− 2 𝑢 ො𝑥′

𝑭𝒔𝒆𝒏𝒕𝒓𝒊𝒇𝒖𝒈𝒂𝒍 = −𝒎𝝎×𝝎 × 𝒓′ = 𝒎𝑹

𝒖− 𝟏

𝟒𝑹

𝟐ෝ𝒚′

Sehingga, gaya fiktif total yang dialami olehserangga adalah jumlahan dari empat suku ini.

Soal 4

Bumi berotasi terhadap sumbunya dengan laju yang konstansebesar 𝜔 ≈ 7,3 × 10−5 rad/s. Dengan demikian, bumi merupakankerangka yang noninersial. Tinjau sebuah partikel bermassa 𝑚 yang diam pada posisi 𝜃 derajat lintang selatan (lihat gambar). Anggapbumi sebagai bola dengan jari-jari 𝑅 ≈ 6,38 × 106 m.

a) Identifikasi semua gaya fiktif yang bekerja pada benda. Tentukan besar dan arah tiap gaya fiktif.

b) Tentukan besar percepatan akibat gaya fiktif, bandingkandengan percepatan akibat gravitasi, 𝑔 ≈ 10 m/s2.

c) Tentukan besar dan arah percepatan total yang dialami oleh benda 𝑚.


𝑚

𝑦

𝑧

𝜔

𝜃

𝑅

Solusi 4 a) Identifikasi gaya fiktif b) Percepatan akibat gaya fiktif c) Percepatan total


Gaya Fiktif





𝑚

𝑦

𝑧

𝜔

𝜃

𝑅



Gaya Fiktif

𝑭𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒍𝒂𝒔𝒊 = −𝒎𝑨 = 𝟎




Karena 𝐴 = 0.

𝑚

𝑦

𝑧

𝜔

𝜃

𝑅



Gaya Fiktif


𝑭𝒂𝒛𝒊𝒎𝒖𝒕𝒂𝒍 = −𝒎 𝜶 × 𝒓′ = 𝟎



Karena 𝜔 konstan.

𝑚

𝑦

𝑧

𝜔

𝜃

𝑅



Gaya Fiktif


Ԧ𝐹𝑎𝑧𝑖𝑚𝑢𝑡𝑎𝑙 = −𝑚 Ԧ𝛼 × Ԧ𝑟′ = 0

𝑭𝑪𝒐𝒓𝒊𝒐𝒍𝒊𝒔 = −𝟐𝒎𝝎× 𝒗′ = 𝟎


Karena Ԧ𝑣′ = 0 (benda diam).

𝑚

𝑦

𝑧

𝜔

𝜃

𝑅



Gaya Fiktif



Ԧ𝐹𝐶𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠 = −2𝑚𝜔 × Ԧ𝑣′ = 0

𝑭𝒔𝒆𝒏𝒕𝒓𝒊𝒇𝒖𝒈𝒂𝒍 = −𝒎𝝎×𝝎 × 𝒓′

Dari gambar diketahui:• 𝜔 = 𝜔 Ƹ𝑧• Ԧ𝑟′ = 𝑅 cos 𝜃 ො𝑦 − sin 𝜃 Ƹ𝑧

𝑚

𝑦

𝑧

𝜔

𝜃

𝑅

Maka,

𝜔 × Ԧ𝑟′ =ො𝑥 ො𝑦 Ƹ𝑧0 0 𝜔0 cos 𝜃 − sin 𝜃

= −𝜔 cos𝜃 ො𝑥,

kemudian

𝜔 × 𝜔 × Ԧ𝑟′ =ො𝑥 ො𝑦 Ƹ𝑧0 0 𝜔

−𝜔 cos𝜃 0 0

= −𝜔2 cos 𝜃 ො𝑥



Gaya Fiktif



Ԧ𝐹𝐶𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠 = −2𝑚𝜔 × Ԧ𝑣′ = 0

𝑭𝒔𝒆𝒏𝒕𝒓𝒊𝒇𝒖𝒈𝒂𝒍 = −𝒎𝝎×𝝎 × 𝒓′

Dari gambar diketahui:• 𝜔 = 𝜔 Ƹ𝑧• Ԧ𝑟′ = 𝑅 cos 𝜃 ො𝑦 − sin 𝜃 Ƹ𝑧

𝑚

𝑦

𝑧

𝜔

𝜃

𝑅

Maka,

𝜔 × Ԧ𝑟′ =ො𝑥 ො𝑦 Ƹ𝑧0 0 𝜔0 𝑅cos 𝜃 −𝑅sin 𝜃

= −𝜔𝑅 cos 𝜃 ො𝑥,

kemudian

𝜔 × 𝜔 × Ԧ𝑟′ =ො𝑥 ො𝑦 Ƹ𝑧0 0 𝜔

−𝜔 cos𝜃 0 0

= −𝜔2𝑅 cos 𝜃 ො𝑦

JadiԦ𝐹𝑓𝑖𝑘𝑡𝑖𝑓 = Ԧ𝐹𝑠𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑎𝑙 = +𝑚𝜔2𝑅 cos 𝜃 ො𝑦

Ԧ𝐹𝑓𝑖𝑘𝑡𝑖𝑓



𝑚

𝑦

𝑧

𝜔

𝜃

𝑅

Percepatan akibat gaya fiktif:

Ԧ𝑎𝑓𝑖𝑘𝑡𝑖𝑓 =Ԧ𝐹𝑓𝑖𝑘𝑡𝑖𝑓

𝑚= 𝜔2𝑅 cos 𝜃 ො𝑦

JadiԦ𝐹𝑓𝑖𝑘𝑡𝑖𝑓 = Ԧ𝐹𝑠𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑎𝑙 = +𝑚𝜔2𝑅 cos 𝜃 ො𝑦

Ԧ𝑎𝑓𝑖𝑘𝑡𝑖𝑓



𝑚

𝑦

𝑧

𝜔

𝜃

𝑅





Diketahui: • 𝜔 ≈ 7,3 × 10−5 rad/s.• 𝑅 = 6,38 × 106 m.Sehingga𝑎𝑓𝑖𝑘𝑡𝑖𝑓 ≈ 3,4 × 10−2𝑚/𝑠2.



𝑚

𝑦

𝑧

𝜔

𝜃

𝑅





Diketahui: • 𝜔 ≈ 7,3 × 10−5 rad/s.• 𝑅 = 6,38 × 106 m.Sehingga𝑎𝑓𝑖𝑘𝑡𝑖𝑓 ≈ 3,4 × 10−2𝑚/𝑠2.

Nilai ini jauh lebih kecildibanding percepatangravitasi. Perbandingannya,

𝑎𝑓𝑖𝑘𝑡𝑖𝑓

𝑔≈ 3,4 × 10−3.



𝑚

𝑦

𝑧

𝜔

𝜃

𝑅





Percepatan akibat gaya gravitasi:

Ԧ𝑎𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑠𝑖 = Ԧ𝑔 = 𝑔(− cos 𝜃 ො𝑦 + sin 𝜃 Ƹ𝑧)Ԧ𝑔






Percepatan akibat gaya gravitasi:

Ԧ𝑎𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑠𝑖 = Ԧ𝑔 = 𝑔(− cos 𝜃 ො𝑦 + sin 𝜃 Ƹ𝑧)

Percepatan total

Ԧ𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜔2𝑅 − 𝑔 cos 𝜃 ො𝑦 + sin 𝜃 Ƹ𝑧

Ԧ𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑦

𝑧

𝜔

𝑅


Ԧ𝑔

Soal 5Tinjau sebuah benda bermassa 𝑚 = 1 kg jatuh bebas dari suatu

ketinggian ℎ = 20 m dari permukaan bumi (nilai ℎ dapat dianggap jauh

lebih kecil dari 𝑅 sehingga percepatan gravitasi bumi bernilai konstan).

Saat 𝑡 = 0, benda diam pada sumbu-𝑦 (lihat gambar). Anggap bumi

berotasi dengan kecepatan sudut konstan sebesar sudut konstan 𝜔 = 𝜔 Ƹ𝑧.

a) Identifikasi gaya-gaya fiktif yang bekerja pada benda 𝑚 tersebut saat

𝑡 = 0. Tentukan besar dan arah tiap gaya tersebut, bandingkan

dengan besarnya gaya berat benda.

b) Tentukan gaya fiktif yang bekerja pada benda saat 𝑡 > 0.


𝑚

𝑥

𝑦

𝑧

𝜔

𝑅 ℎ

c) Tinjau gerakan benda radial menuju permukaan bumi. Tentukan percepatan dan kecepatan radial

benda saat 𝑡 > 0. Anda dapat mengabaikan percepatan radial akibat gaya fiktif, jika nilainya sangat

kecil dibanding 𝑔.

d) Tentukan waktu yang diperlukan oleh benda untuk mencapai permukaan bumi.

e) Tentukan pergeseran posisi jatuhnya benda di permukaan bumi akibat gaya fiktif.

Gerak dalam kerangka noninersial file•Gerak benda dalam kerangka noninersial, yaitu gerak suatu benda yang ditinjau oleh kerangka yang dipercepat. •Contoh: 1. Seseorang berjalan

Documents