INTRODUCCIÓN La geometría, como parte de la matemática, también se desarrolló en cada cultura del antiguo Perú. Por diferentes necesidades, en los Andes también se desarrolló la geometría; en un primer momento en chavín y Nazca, luego en Wari y finalmente en los Incas. Para notarlo, no es necesario hacer una investigación profunda, ya que encontramos sus complejas construcciones, como canales de irrigación: andenes; palacios; templos; fortalezas; caminos; puentes; etc., dentro del territorio peruano, formando parte de nuestro patrimonio cultural. La aplicación de la geometría es fundamental en las construcciones de los edificios y de las ciudades mismas. Pero también, todo ser humano desde que tiene uso de razón establece, por ejemplo, la distancia de un lugar a otro, la altura de los objetos, etc, y para ello también utiliza la geometría. Veamos algunos ejemplos: El método del espejo para medir alturas Este método ya era conocido por Euclides y consiste en colocar un espejo a una distancia conocida del edificio, montaña o árbol que se intenta medir. La persona que está haciendo la observación se mueve hasta que ve reflejado en el espejo el punto más alto del objeto que se desea medir. Geometría 1
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Geometria- 3º Grado de Primaria. TEORIA Y EJERCICIOC.
TEORIA Y PRACTICA DE GEOMETRIA PARA ALUMNOS DEL TERCER GRADO DE PRIMARIA.
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INTRODUCCIÓN
La geometría, como parte de la matemática, también se desarrolló en cada cultura del antiguo Perú. Por diferentes necesidades, en los Andes también se desarrolló la geometría; en un primer momento en chavín y Nazca, luego en Wari y finalmente en los Incas.
Para notarlo, no es necesario hacer una investigación profunda, ya que encontramos sus complejas construcciones, como canales de irrigación: andenes; palacios; templos; fortalezas; caminos; puentes; etc., dentro del territorio peruano, formando parte de nuestro patrimonio cultural.
La aplicación de la geometría es fundamental en las construcciones de los edificios y de las ciudades mismas. Pero también, todo ser humano desde que tiene uso de razón establece, por ejemplo, la distancia de un lugar a otro, la altura de los objetos, etc, y para ello también utiliza la geometría.
Veamos algunos ejemplos:
El método del espejo para medir alturas
Este método ya era conocido por Euclides y consiste en colocar un espejo a una distancia conocida del edificio, montaña o árbol que se intenta medir. La persona que está haciendo la observación se mueve hasta que ve reflejado en el espejo el punto más alto del objeto que se desea medir.
1.8
m
3 m 30 m
Con los datos del gráfico, calcula la altura del árbol, sabiendo que en el
espejo el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. H = 18 m.
Geometría 1
Volumen, área y supervivencia de los animales
¿Te has preguntado alguna vez por qué razón los animales más grandes
(elefante, hipopótamo …) viven todos en zonas calurosas?
La relación existente entre el área y el volumen del cuerpo de un animal
es un factor clave para su supervivencia. Un animal con el mismo volumen
que otro pero mayor área de piel perderá calor mucho más rápidamente que
aquél. En los trópicos interesa perder calor con facilidad; luego, los animales
tienden a aumentar el área de sus cuerpos. En zonas frías, donde es vital
conservar el calor corporal, los animales adoptan forman en las que la
superficie corporal sea lo más pequeña posible.
La enorme superficie corporal de los dinosaurios unida al descenso de
temperaturas provocado por la caída de un meteorito, que levantó una
enorme cantidad de polvo ocultando la luz del sol, contribuyó según algunos
11. Pinta de rojo los cubos, de azul los prismas y de verde los cilindros
Geometría 12
TEMA Nº 2: CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS
Amiguito se trata de conseguir, encontrar o comparar figuras geométricas de igual medida en todas sus partes.
Ejemplo Nº 1:
2 cm
4 cm
3 cmEs igual o congruente a la figura del costado (esel m ism o triángulo, perode diferente posición).
2 cm
4 cm
3 cm
Ejemplo Nº 2:
2 cm
3 cmEs igual o congruente a la figura del costado (esel m ism o triángulo, perode diferente posición).
2 cm
3 cm
Ejemplo Nº 3:
Geometría 13
EJERCICIOS PARA LA CLASE
01. El trapecio mostrado
1 cm
2 cm
1 cm
5 cm
Será congruente con:
2 cm
2 cm
2 cm
5 cm
1 cm
3 cm
1 cm
4 cm
1 cm
2 cm
2 cm
2 cm
1 cm5 cm
1 cm
5 cm
1 cm
2 cm
3 cm
5 cm
a) b ) c)
d ) e)
02. Pintar la figura que sea congruente con el triángulo
Geometría 14
03. Colorea la figura es congruente con
04. Pinte la figura congruente con (lápiz)
05. Coloree la figura es congruente con
Geometría 15
EJERCICIOS PARA LA CASA
01. El pentágono mostrado
2cm 2cm
2cm 2cm
2cm
Es congruente con:
2cm
2cm
2cm
2cm2cm
2cm
2cm
2cm
2cm
2cm
2cm
2cm
2cm
4cm
a) b) c)
2cm 2cm
2cm 2cm
2cm 2cm
2cm
2cm
2cm
d) e)
02. Pintar la figura que sea congruente con el se llama:
______________________________
______________________________
Geometría 16
03. Colorea la figura que sea congruente con el pentágono
a) b) c) d) e)
04. Ubica las figuras que sean congruentes con el trapecio isósceles.
a) b) c) d) e)
05. ¿Qué figura es congruente con el semicírculo?
a) b) c) d) e)
Geometría 17
BLOQUES LÓGICOS
C o lo re a d e A z u l
C o lo re a d e A z u l C o lo re a
d e A z u l
C o lo re a d e A z u l
C o lo re a d e A z u l
C o lo re a d e A z u l
C o lo re a d e R o jo
C o lo re a d e R o jo
C o lo re a d e R o jo
C o lo re a d e R o jo
C o lo re a d e R o jo
C o lo re a d e R o jo
C olorea de amari l lo
C o lo re a d e a m a r illo
C o lo re a d e a m a r illo
C o lo re a d e a m a r illo
C o lo re a d e a m a r illo
C o lo re a d e a m a r illo
C o lo re a d e A z u l
C o lo re a d e ro jo
C o lo re a d e a m a r illo
C o lo re a d e a z u l
C o lo re a d e ro jo
C o lo re a d e a m a r illo
Geometría 18
TEMA: PUNTO, RECTA
La geometría se fundamenta en tres conceptos que son origen de otros conceptos más profundos. Éstos tres conceptos básicos son: el punto, la recta y el plano.
El Punto:
Punto es un concepto primitivo en matemática y como tal no se define. Pero si podemos dar ejemplos que nos den la idea de punto.
A
D
B
C Punto C
Pu n to B
La marca que deja la punta de un lápiz nos da una idea de PUNTO.
La marca que deja la tiza en la pizarra también nos da la idea de punto.
El punto representa una idea y no un objeto. Los puntos se nombran con letras mayúsculas. Ejemplo: En la figura anterior punto C, punto A, etc.
La Recta:
Una recta está conformada por un conjunto infinito de puntos que siguen una misma dirección ilimitada en ambos sentidos. Nos da la idea de recta el filo de una regla, si se prolonga al infinito en ambos sentidos.
AB Se lee: Recta AB
A B
SRecta S
Geometría 19
A
B
M
N
Recta M N
El Rayo:
El rayo es ilimitado por un sentido pero por el otro extremo es limitado “”. Al punto de partida del rayo se le llama origen.
EF Se lee rayo EF
E
P
El Segmento:
Es la porción de recta limitada por dos puntos llamados extremos.
En el segmento AB.
se denota AB o BA ..
Los puntos “AB” y “B” son los extremos del segmento.
El Plano:Nos da la idea de plano una hoja
de papel y la supe rficie de la pizarra o de una hoja, etc.
Noción de Plano: La pared o el piso son superficies que nos dan la noción de plano. El plano no tiene límites, por lo que sólo se puede representar una parte de él.
Geometría 20
Los puntos que están en unam ism a recta se llam an co lineales.
Los puntos que están en un m ism o p lano, se llam an
coplanares
A
Plano A A
Usualmente un plano se represent a gráficamente por medio de un paralelogramo y se denota con una letra mayúscula en su vértice.
Debes tener en cuenta que:
Por dos puntos pasa una sola recta.
A
B
Por un punto pasan infinitas rectas.
Geometría 21
EJERCICIOS DE CLASE
01. Completar:
La marca que deja la punta de un lápiz en una hoja de papel nos da la
idea de: ___________________________________________________
La superficie de una mesa nos da la idea de: ______________________
El filo de una regla nos da la idea de: ____________________________
La marca que deja la tiza en la pizarra nos da la idea de: ____________
02. Nombra los puntos en la siguiente figura:
03. Nombra y denota en cada caso:
Geometría 22
04. Dibuja un plano y dentro de este plano las rectas , y el segmento :
Geometría 23
05. Dibuja un plano y dentro de éste plano los puntos A, B, C, la recta y el
rayo .
06. Completa el siguiente cuadro y verifica si los puntos pertenecen ( ) o ( ) a las rectas P, M, G y L.
Geometría 24
P M G L
Punto A
Punto B
Punto C
Punto D
Punto E
REPASO – EJERCICIOS PARA LA CLASE
Recuerda:
La marca que deja la punta del lápiz en un papel nos da idea de punto.
El punto se representa con un punto pequeño y una letra mayúscula:
A; Se lee: punto A
El hilo tensado que sostiene la plomada, imaginándolo sin principio ni fin, nos da la idea de recta.
La recta se nombra con dos letras mayúsculas.
RT Se lee: recta RT
La pizarra sobre la que escribimos pero imaginándola ilimitada, nos da la idea de plano.
El plano se nombra con una letra mayúscula.
Notación:Plano Q : QSe lee: plano Q
Nombra las cosas que te den idea de:
Punto:
…………………………………………………………………………………………
Recta:
…………………………………………………………………………………………
Plano:
…………………………………………………………………………………………
Geometría 25
A
R
T
Completa:
P M N
Traza rectas que pasen por el punto P. ¿Cuántas rectas has podido trazar?.
…………………………………………………………………………………………
Con una regla traza rectas que pasen por los puntos M y N. ¿Cuántas rectas que pasen por los dos puntos puedes trazar?.
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
Marca tres puntos que no queden en la misma línea. ¿Cuántas rectas se pueden trazar pero que pasen por dos puntos por lo menos.
Traza dos rectas y nómbralas de dos formas diferentes.
Subconjunto de RectasObserva que los puntos A y B han formando varios subconjuntos en la recta L.
El subconjunto marcado de rojo se llama segmento.El segmento tiene principio y fin.Este segmento Se puede nombrar de dos maneras:Segmento AB o segmento BA .
Geometría 26
Graficando:
S egmento
A B L
Ahora observa que el punto P divide la recta AB en dos subconjuntos.
Subconjunto PA , que está formando por los infinitos puntos que están delante de P. Se llama semirrecta.
Se representa así: P AEl punto P es sólo la frontera y no pertenece a la semirrecta.
Subconjunto PB , formando por el punto P y todos los infinitos puntos que están detrás de P. Se llama rayo.
Se representa así: PB y se lee: rayo de origen P que pasa por B. El punto donde se inicia el rayo se llama origen y pertenece a él.
Observa las siguientes figuras y escribe las palabras segmento, rayo, semirrecta, según corresponda.
R TS
RT es un(a): ……………………………………………………………………….
RS es un(a): ……………………………………………………………………….
TR es un(a): ……………………………………………………………………….
ST es un(a): ……………………………………………………………………….
S R es un(a): ……………………………………………………………………….
TS es un(a): ……………………………………………………………………….
Escribe los símbolos ó de acuerdo a cada caso.
RT ST ST ……………… RT
RT ST TS ……………… S R
Geometría 27
El segmento, la semirrecta y el rayo son subconjuntos de recta.
B
P
Semirr
ecta
A
Rayo
R S
R ectas P ara le las
1 2
3
L
LL
1 2
3
TEMA 4: RECTAS PARALELAS Y SECANTES - SEGMENTOS
Trazado de Rectas
Trazado de Rectas ParalelasDos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto común.
Observa cómo se trazan rectas paralelas con la regla y la escuadra.
1. Se coloca la escuadra sobre la regla como indica la figura.
2. Se traza una recta paando el lápiz por el borde de la escuadra.
3. Se desliza la escuadra sobre la regla manteniendo fija la regla y se traza otra recta pasando, otra vez, el lápiz por el borde de la escuadra.
Así se tienen dos rectas R y S paralelas.
Ese procedimiento sirve para trazar tantas rectas paralelas como se quiera.
Trazado de Rectas Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando cuatro ángulos congruentes. Cada uno de estos ángulos es un ángulo recto. Observa como puedes trazar una perpendicular a una recta L con la escuadra y la regla.
1. Se colocan la regla y la escuadra como indica la figura.
2. Se traza una recta pasando el lápiz como indica la figura.
3. Con la regla se prolonga la recta que haz trazado.
La recta T trazada es perpendicular a la recta L.
Geometría 28
RELACIÓN ENTRE DOS RECTAS
Observa las rectas r y s y las rectas y m.
En este puente haylíneas paralelas y
perpendiculares
r
S
P
Rectas Secantes
r
S
r
S
Rectas para le las
Rectas Perpendiculares
Resuelve.
1. Traza dos rectas perpendiculares con la escuadra.
2. Traza rectas paralelas en tu cuaderno.
Geometría 29
Dos rectas que tienen un punto en común se llama rectas secantes.Dos rectas secantes que forman cuatro ángulos iguales se les llama perpendiculares.Dos rectas que no tienen ningún punto en común y la distancia entre dichas rectas son iguales, se les llama rectas paralelas.
Coloca la escuadra sobre la regla y desplázala como se indica.
3. Observa la siguiente figura. Luego, escribe (V) si la afirmación es verdadera o (F) si es falsa.
El punto P es el origen del rayo El punto P pertenece a la semirecta
La semirrecta P es subconjunto del rayo PD
La semirrecta P es lo mismo al rayo PDE, F, P están en línea recta.C, D, F no están en línea recta.
SEGMENTOS
1. Determina cuántos segmentos hay en cada una de las figuras mostradas,
Respuesta: _____________
Respuesta: _____________
Respuesta: _____________
2. Del siguiente esquema, determina cuántos segmentos hay en total.
Geometría 30
f1 :
f2 :
f3 : . .. .. .. .. .. .. .f60: . . . . .
3. En los esquemas mostrados:
Halla x + 6 Resolución
A CBx
40 cm
Halla el valor de x2 (x+1) Resolución
A DB
2x
C
2x 8 cm
20 cm
Halla el valor de ; si PT = 2x + 25
P TQ
2x-5
R
3x-8 x-2
Geometría 31
4. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C. Si AB = 2BC + 1 y AC = 31, halla el valor de BC.
5. Dados los puntos consecutivos A, B, C y D tales que:
AD = 24; AC = 16 y . Halla el valor de BC.
Geometría 32
PROBLEMAS DE CLASE
01. Hallar la medida de los segmentos
= _________________ = _________________
= _________________ = _________________
A DB C
3 c m 2 c m 1 c m
02. Calcular el valor de:
+ en
A B C
5 c m 7 c m
03. Calcular ; siendo M punto medio del segmento .
A M B
1 2 c m
04. Calcular: ; siendo:
M Punto medio del segmento
B M C
1 8 c m
Geometría 33
05. Hallar ; siendo:
M un punto medio del segmento y “N” un punto medio del segmento. Ver gráfico.
A B C
8 cm10 cm
06. Hallar ; de acuerdo al gráfico mostrado.
P Q R
7 cm12 cm
07. Hallar ; en el gráfico mostrado.
M N P
4 cm17 cm
08. Hallar siendo
R Pto. Medio de yT Pto. Medio de
Siendo:
A B C
4 cm16 cm
09. Hallar ; de acuerdo al gráfico mostrado.
P TM Q
16 cm
10. Hallar ; de acuerdo al gráfico mostrado:
P TM Q
12 cm
Geometría 34
PROBLEMAS PARA LA
01. Calcular el valor de
A B C
2 cm 3 cm
a) 2 cm b) 1 cm c) 5 cm d) 4 cm e) 7 cm
02.
B M C
22 cm
a) 11 cm b) 10 cm c) 8 cm d) 22 cm e) 15 cm
03. Hallar “ ” de acuerdo al gráfico mostrado.
P Q R
12 cm
5 cm
a) 4 cm b) 3 cm c) 5 cm d) 7 cm e) 9 cm
04. Hallar
A B D
12 cm
C
2 cm 3 cm
a) 7 cm b) 3 cm c) 5 cm d) 9 cm e) 11 cm
05. Hallar “ ”; de acuerdo al gráfico mostrado.
P M T
18 cm
Q
a) 9 cm b) 15 cm c) 18 cm d) 3 cm e) 6 cm
Geometría 35
06. Hallar de acuerdo al gráfico mostrado.
A M NB
3 cm
a) 9 cm b) 3 cm c) 6 cm d) 7 cm e) 8 cm
07. Hallar la medida de los segmentos “ ” + “ ”
P M N
3 cm2 cm
a) 5 cm b) 2 cm c) 7 cm d) 8 cm e) 10 cm
08. Hallar ; siendo M y N punto medio de y respectivamente.