Gazdasági matematika gyakorló feladatsorusers.atw.hu/turizmuslev/anyagok/gazdmatgyaksormegold.doc · Web viewGazdasági matematika gyakorló feladatsor Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék

Gazdasági matematika gyakorló feladatsor

TARTALOMJEGYZÉK

TARTALOMJEGYZÉK........................................................................................................................................1

I. HALMAZELMÉLET...................................................................................................................................2

MEGOLDÁSOK A HALMAZELMÉLETHEZ...............................................................................................................2

II. FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAK....................................................................................................2

MEGOLDÁSOK A FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAKHOZ.......................................................................................3

III. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK...................................................................................................................4

MEGOLDÁSOK A PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOKHOZ......................................................................................................4

IV. SOROZATOK...........................................................................................................................................5

MEGOLDÁSOK A SOROZATOKHOZ........................................................................................................................5

V. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA......................................................................6

MEGOLDÁSOK A FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGÁHOZ................................................................6

VI. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS.................................................................................................................7

MEGOLDÁSOK A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSHOZ.....................................................................................................7

VII. KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK........................................................................................................7

MEGOLDÁSOK A KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEKHEZ..............................................................................................7

VIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS..........................................................................................................................7

MEGOLDÁSOK AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁSHOZ..........................................................................................................8

IX. LINEÁRIS ALGEBRA...........................................................................................................................9

MEGOLDÁSOK A LINEÁRIS ALGEBRÁHOZ..........................................................................................................10

X. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS...................................................................................................................12

Megoldások a Lineáris programozáshoz............................................................................................................12

- -1

Feladatok

I. HALMAZELMÉLET

1. Legyen .Valamint , és . Szemléltesse ezeket a halmazokat Venn diagramon! Határozza meg a következő halmazok elemeit: . Írjon fel halmazműveletek segítségével 1, 2, 3, 4 és 5 elemű halmazokat!

2. Legyen A=(-2,5] , B=[-7,1] és C=(0,2). Szemléltessük ezeket a halmazokat számegyenesen, majd határozzuk meg a következő halmazokat:

MEGOLDÁSOK A HALMAZELMÉLETHEZ

1.

2.

II. FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAK

1. Elemi függvények transzformációival ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben a következő függvényeket, majd határozza meg a tengelyekkel alkotott metszéspontokat:

2. Határozza meg az alábbi függvény értékkészletét és inverz függvényét, majd ábrázolja mindkét függvényt közös koordináta-rendszerben:

- -2

MEGOLDÁSOK A FÜGGVÉNYTANI ALAPFOGALMAKHOZ

1.

Metszéspontok:

2.

- -3

III. PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOK

1. 2001. május 1-én 280 000 Ft-ot helyezünk el egy bankban évi 7,8 %-os kamatozás mellett. Mennyi lesz a követelésünk a) 2001. október 1-én, b) 2002. május 1-én, c) 2006. július 1-én?

2. Hány évig kell minden év elején 50000 Ft-ot elhelyezni a bankban 8,3 %-os kamatozás mellett ahhoz, hogy végül 1000000 Ft-ot vehessünk ki?

3. Mekkora összeget vehetünk ki a bankból a 8. év végén, ha minden hó elején 5000 Ft-ot elhelyezünk és a kamatláb az első 5 évben 6%, majd 7%?

4. Mekkora lesz a havi törlesztő részlet, ha 2000000 Ft kölcsönt vettünk fel 6%-os kamatra és 10 évre?

5. Március 1-én felveszünk 750000 Ft kölcsönt 14%-os kamatra, amit augusztus 1-től 4 havi egyenlő részletben szeretnénk visszafizetni. Mekkora legyen ez a havi törlesztő részlet?

MEGOLDÁSOK A PÉNZÜGYI SZÁMÍTÁSOKHOZ

1.

2. . Tehát

11 évig, a 12. év elején már kevesebb összeget kell betenni.

3.

4.

5.

- -4

IV. SOROZATOK

1. Határozza meg az alábbi sorozatok határértéket ismert sorozatok és határértékre vonatkozó tételek alapján:

MEGOLDÁSOK A SOROZATOKHOZ

1.

- -5

V. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGA

1. Határozza meg az alábbi függvényhatárértékeket ismert függvények és határértékre vonatkozó tételek alapján:

MEGOLDÁSOK A FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE, FOLYTONOSSÁGÁHOZ

1.

VI. DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS

1. Határozza meg az alábbi függvények első derivált függvényét:

MEGOLDÁSOK A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSHOZ

1.

- -6

VII. KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

MEGOLDÁSOK A KÉTVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEKHEZ

VIII. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS

1. Adjuk meg a következő határozatlan integrálokat:

2. Mekkora az görbék által bezárt terület?

3. Mekkora annak a forgástestnek a térfogata, amelyet függvénygörbe [1,2] intervallum feletti ívének megforgatásakor kapunk?

- -7

MEGOLDÁSOK AZ INTEGRÁLSZÁMÍTÁSHOZ

1.

2.

A –x2+8x-7=x+3 egyenlet megoldásai:x1=2, x2=5, tehát kiszámítandó:

3. A térfogat:

- -8

IX. LINEÁRIS ALGEBRA

1. Legyen: . Végezze el a

következő műveleteket:

2. Legyen: .

Kérdések:

a) x kifejezhető-e a, b és c lineáris kombinációjaként?

b) Független-e az a, b, c vektorrendszer?

c) Független-e az a, b, d vektorrendszer?

d) Mennyi az f, g, h vektorrendszer rangja?

e) Mennyi az A mátrix rangja?

3. Oldja meg a következő lineáris egyenletrendszereket:

a) b) c)

d) e) f)

- -9

MEGOLDÁSOK A LINEÁRIS ALGEBRÁHOZ

1.

2. a)

Tehát x kifejezhető az a, b és c lineáris kombinációjaként:

b) Az előző táblázat alapján megállapítható, hogy az a, b, c vektorrendszer független.

c)

Az a, b, d vektorrendszer nem független. Pl: .

d)

Az f, g, h vektorrendszer rangja 2.

e)

Az A mátrix oszloprangja, vagyis a rangja 2.

- -10

3. a)

A megoldás egyértelmű.

b)

Tehát a b vektor előállításában a –5e4 tag is szerepel, így nincs megoldása az egyenletrendszernek.

c)

Végtelen sok megoldás van, az általános megoldás:

d)

Tehát a b vektor előállításában a –11e3 tag is szerepel, így nincs megoldása az egyenletrendszernek.

e) Tehát csak a triviális megoldás

létezik.

- -11

f)

Végtelen sok megoldás van, az általános megoldás:

Pl. egy partikuláris megoldás:

X. LINEÁRIS PROGRAMOZÁS

1. Oldja meg az alábbi lineáris programozási feladatokat:

a)

MEGOLDÁSOK A LINEÁRIS PROGRAMOZÁSHOZ

1. a)

- -12