BAHAN AJAR APPLIED MATH Disusun Oleh Asih Widi Harini, S.Si, MT
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAHAN AJAR
APPLIED MATH
Disusun Oleh
Asih Widi Harini, S.Si, MT
PRAKATA
Alhamdulillah, saya menyambut baik diterbitkannya Bahan Ajar Applied
Mathematics yang ditulis oleh Asih Widi Harini, S.Si, MT, selaku dosen
pengampu mata kuliah tersebut di Fakultas Ilmu Komputer
Bahan ajar ini hendaknya bisa digunakan sebagai acuan bagi mahasiswa
maupun dosen yang bersangkutan untuk melaksanakan perkuliahan dalam setiap
semesternya sehingga bisa memberikan kemudahan bagi mahasiswa untuk
mengikuti kuliah maupun menelusuri lebih lanjut topik-topik yang diajarkan
dalam buku-buku acuan yang duanjurkan.
Dengan tetap memperhatikan perkembangan-perkembangan yang terjadi
pada dunia keteknikan, bahan ajar memerlukan penyempurnaan sehingga bisa
memberikan manfaat yang optimal bagi para mahasiswa.
Akhir kata, semoga bahan ajar ini bisa lebih meningkatkan hasil proses
belajar mengajar yang dilaksanakan khususnya di Fakultas Ilmu Komputer. Amin.
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ……………………………………………………… i
DAFTAR ISI ………………………………………………………………ii
BAB I : PENDAHULUAN
1.1. Sistem Bilangan …………………………………………… 5
1.2. Himpunan …………………………………………………. 6
1.3. Macam-macam Fungsi …………………………………… 6
1.3.1. Fungsi Aljabar ……………………………………... 6
1.3.2. Fungsi Transendental ……………………………… 7
1.3.3. Segitiga Pascal dan Binomium Newton …………… 9
1.3.4. Cara Menyajikan Suatu Persamaan ……………… 10
BAB II : Barisan Bilangan, Limit Fungsi dan Derivatif
2.1. Barisan Bilangan ………………………………………… 14
2.2. Limit Fungsi …………………………………………… .. 15
2.3. Kekontinuan ……………………………………………… 18
2.4. Derivatif ………………………………………………… 18
2.4.1. Rumus-rumus Derivatif …………………………… 20
2.4.2. Turunan Fungsi Komposisi atau Aturan Rantai ….. 23
2.4.3. Teorema Turunan Fungsi Invers …………………. 24
2.4.4. Mendeferensialkan Fungsi Implisit …………….. 27
2.4.5. Mendeferensialkan Fungsi dengan Peubah
Lebih Dari Satu ………………………………….. 29
2.4.6. Mendeferensialkan Persamaan Bentuk Parameter 29
2.4.7. Mendeferensialkan Fungsi Pangkat Fungsi …… 31
BAB III : TERAPAN DERIVATIF
3.1. Fungsi Naik dan Turun ………………………………..... 33
3.2. Teorema Rumus Taylor ….……………………………. 38
3.3. Bentuk-Bentuk Tak Tettentu …………………………… 40
BAB IV : INTEGRAL
4.1. Dibawa ke Bentuk I : cxfxdf )()( ………………. 43
4.2. Rumus Dasar Integral …………………………………… 43
4.3. Bentuk II: ......................………………………………… 43
4.4. Dibawa ke Rumus III: ………….……………………….. 45
4.5. Dibawa ke Rumus IV: ……… …………………………. 45
4.6. Integral Parsial ………………………………………….. 46
4.7. Integral Bentuk Rasional. ………………………………. 47
4.8. Integral Fungsi Trigonometri …………………………… 50
4.9. Integral Fungsi Pecah Rasional dalam Sin dan Cos ……. 51
4.10.Integral dengan Substitusi ……………………………… 52
4.11.Substitusi Aljabar ………………………………………. 55
DAFTAR PUSTAKA……………………………………………… 56
I. PENDAHULUAN
1.1. Sistem Bilangan
Gambar 1.1. Skema Bilangan
1.2. Himpunan
Himpunan adalah kumpulan elemen-elemen yang mempunyai sifat
keterikatan antara anggotanya dan yang berada dalam satu kesatuan.
Ada beberapa operasi antar himpunan, yaitu :
1. Union atau gabungan. A union B atau A gabungan B dapat dinyatakan sebagai
AB= ., RxBxAxx .
2. Interseksi atau irisan. A interseksi B atau A irisan B dapat dinyatakan sebagai
AB= RxBxAxx , .
3. Pengurangan. A – B = RxBxAxx ,
4. Penambahan. A + B = (AB)-(AB).
Bil riil
rasional irrasional
bulat pecah
negatif cacah nol
asli
5. Perkalian. A x B = .,,),( RbRaBbAaba
6. Komplemen atau Ac adalah ., RaAaa
1.3. Macam-macam fungsi
- Fungsi Aljabar
- Fungsi Transendental
1.4 Segitiga Pascal dan Binomium Newton
Segitiga pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
dst
Gambar 1.2. Skema Segitiga Pascal
Dengan menggunakan segitiga Pascal, maka perhitungan-perhitungan di
bawah ini akan lebih mudah dipahami.
(a – b)3 = 1.a
3 + 3 a
2b + 3ab
2 + 1.b3
= a3 + 3a
2b + 3ab2 + b3
(a – b)4 = (a + (-b))
4
= 1.a4 + 4a3 (-b) + 6a
2 (-b)
2 + 4a (-b)
3 + 1.b
4
= a4 – 4a
3b + 6a
2b
2 – 6ab
3 + b
4
Dst.
Jika ditemukan persamaan berbentuk (a b)1/2
, maka pemecahannya tidak
dapat menggunakan segitiga Pascal. Diperlukan rumus yang lebih umum yang
selain dapat dipakai untuk mencari bentuk-bentuk (a b) berpangkat bulat, juga
dapat dipakai untuk menemukan penyelesaian untuk (a b) berpangkat bilangan
pecah. Rumus umum yang dapat dipakai untuk menyelesaikan permasalahan di
atas adalah Rumus Binomium Newton, yang akan dibahas berikut ini.
Rumus Binomium Newton
(a+b)n = ...222110 baCbaCaC n
n
n
n
n
n
n
i
iini
n baC0
)(
dimana
k
n
knk
nC k
n)!(!
!
n! = 1, 2, 3,…n
sehingga
(a+b)n = a
n+ ...
!3
)2)(1(
!2
)1(
!1
33221
bannnbann
ban nn
n
1.3.4. Cara Menyajikan Suatu Persamaan
Ada beberapa cara penyajian suatu persamaan berdasarkan peubah-
peubahnya.
1. Bentuk Implisit:
Peubah bebas & tak bebas berada dalam satu ruas.
F (x,y) = 0
G (x,y,z) = 0
Contoh : x2 + 2y + 10 = 0
2. Bentuk Explisit:
Peubah bebas & tak bebas dalam ruas yang berbeda.
y= f(x) ; x = f(y) ; z = f(x,y)
Contoh : y = x2 + 2x +8
3. Bentuk Parameter:
Peubah merupakan fungsi dari suatu parameter.
x = g(), ; parameter.
y = g()
z = ()
Misalkan diberikan persamaan : x = 2t + t2 ; y = 5t + 10t
2; z = 3t
2 + 6t + 5
Contoh:
Sebagai Contoh diberikan suatu persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan
jari-jari 1. Bagaimanakah persamaannya dalam bentuk implisit, eksplisit, dan
bentuk parameter.
Jawab :
x2 +y
2 = 1
Bentuk Implisit:
x2 + y
2 – 1 = 0
Bentuk explisit:
y2 = 1- x
2
y = 21 x
Bentuk parameter
x = cos t
t parameter
y = sin t
1.4. Koordinat Kutub / Polar
Sertiap titik dalam koordinat kutub dinyatakan dengan r dan v
r = modulus yaitu jarak dari 0 ke titiknya (OP)
= argumen adalah sudut yang dibentuk oleh sumbu x positif dengan arah
berlawanan arah jarum jam dengan garis OP.
O adalah titik kutub, sedangkan OX adalah sumbu kutub.
Hubungan koordinat Orthogonal dengan kotub Polar adalah sebagai berikut :
y = r sin , x = r cos dan r = 22 yx .
Contoh:
1. r = 5 maka r = 22 yx
5 = 22 yx
25 = x2 + y
2
2. r = 3 cos V maka = 3. r
x
r = 3. 22 yx
x
22 yx = 22 yx
x
x2+ y2 = 3 x
x2 – 3x + y
2 = 0
2
2
3
x + y
2 =
2
3
pusat ,0,2
3
jari-jari =
2
3
3. r = 4 sin V
22
22 4yx
yyx
x2 + y
2 = 4y
x2 + y
2 – 4y = 0
x2 + (y – 2)
2 = 2
2
lingkaran pusat (0,2) jari-jari 2
BAB II
BARISAN BILANGAN , LIMIT FUNGSI
DAN DERIVATIF
Dalam membicarakan masalah barisan bilangan, maka setiap diberikan
kata barisan, yang dimaksud adalah barisan bilangan.
2.1. Barisan Bilangan
Definisi:
Bila C adalah himpunan tak kosong, barisan bilangan dalam C adalah harga
fungsi f dari A ke C, dimana A adalah bilangan asli.
Cara penyajiannya adalah {C1, C2, …, Cn} atau {Cn}, n A atau f(n) = Cn,
nA.
contoh:
1.
n
Cn1
,...,4
1,
3
1,
2
1,1
2. nCn ,...,4,3,2,1
3. nCn )1(,...,1,1,1
Limit suatu barisan bilangan didefinisikan sebagai
lCnn
~
lim artinya pada setiap >0, ada bilangan indeks no = no(), sehingga
untuk n no berlaku |Cn – c| <
Barisan yang berlimit disebut konvergen , sedangkan barisan yang tak berlimit
disebut divergen . Nul sequence adalah suatu barisan yang limitnya nol.
contoh :
Cn = 1n
n 1l
Misal diambil = 800
1
Dicari bilangan indeks no yang bergantung ,
Maka,
|Cn – l| <
800
11
1
n
n
800
1
1
)1(
1800
1
n
n
n
n
800
1
1
1
800
1
n
dann 1
1
800
1
800
1
1
1
n
– n – 1 < - 800 dan – 800 < n+1
– n< – 799 dan – 801<n
– n> 799 dan n > – 801
jadi yang memenuhi
n > 799 (no = 799)
sehingga n dipenuhi adalah 800
|C800 – 1| <800
1
2.2. Limit fungsi
Definisi:
L disebut limit kiri dari suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a dari sebelah
kiri atau Lxfax
)(lim artinya untuk setiap >0 dapat ditemukan ()
sedemikian sehingga untuk setiap harga dalam interval axa berlaku
(f(x) – L<).
L disebut limit kanan dari suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a dari
sebelah kanan atau Lxfax
)(lim artinya untuk setiap >0 dapat ditemukan s()
sedemikian sehingga untuk setiap harga x dalam interval axa berlaku
(f(x) – L<)
Jika
)(lim xfax
Lxfax
)(lim
maka dikatakan f(x) mempunyai limit di x = a atau Lxfax
)(lim .
Gambar 2.1 Skema Limit
contoh:
f(x) = 1
1
x atau
1
1
xy
Nilai f(x) untuk x sama dengan satu tidak terdefinisi, karena nilai f(x) menjadi
pecahan dengan penyebut bernilai nol.
f(x) = x, untuk x > 1
a a+
a-
= x2, untuk x < 1
= 0, untuk x = 1
2
11)(lim
xf
x=1
1)(lim1
xfx
, karena limit kiri sama dengan limit kanan maka dengan definisi di
atas terbukti 1)(lim1
xfx
.
Teorema-teorema tentang limit:
Ada beberapa teorema-teorema penting yang tidak diberikan buktinya di
sini, akan tetapi di bidang teknik penggunaannya sangat penting.
Jika diberikan fxfCx
)(lim dan gxgCx
)(lim , maka
1. )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfCxCx
Cx
= f g
2. )(lim.)(lim xfkxfkCxCx
, dimana k adalah suatu konstanta.
3. )(lim)(lim)().(lim xgxfxgxfCxCxCx
= f . g
4. 0,)(lim
)(lim
)(
)(lim
g
g
f
xg
xf
xg
xf
Cx
Cx
Cx
5. nn
Cx
n
Cxfxfxf
)(lim)(lim
6. )(lim)( )(lim)(limxg
Cx
xg
Cx
Cxxfxf
= f g
7. 0,)(lim)(lim
ffxfxf nncx
n
cx
8. 0,ln)(limln)(lnlim
ffxfxfcxCX
9. fxf
xf
cxkkk cx
)(lim)(lim
10. exx
x
xx
11lim
11lim
2.3. Kekontinuan
Definisi:
sebuah fungsi f dinamakan kontinu pada c, jika )()(lim CfxfCx
jadi syarat f kontinu di c:
1. f(c) ada (f terdefinisi di c)
2. adaxfx
3
)(lim , berarti limit kanan sama dengan limit kiri
3. )()(lim3
Cfxfx
Jika salah satu syarat tidak dipenuhi , maka f(x) diskontinu di C
2.4. Derivatif
Skema :
Gambar 2.2. Fungsi y = f(x) untuk
Mempermudah pemahaman derivative
Jika ada 2 titik : P(x,y); Q (x + x, y + y)
P dan Q berada pada fungsi y = f(x).
Garis singgung di P membentuk dengan sumbu x.
Garis singgung di Q membentuk + dengan sumbu x.
P
Q
tan < QPS = x
y
dengan x mendekati 0, dan mendekati 0, koefisien arah
garis singgung di P = tan = y
x
x
0lim . Jika Lim ada maka
tan = )()(' xDyxYdx
dy = derivatif pertama dari y ke x
y = f(x) maka y + y = f(x + x)
x
xfxxfxf
dx
dy
x
)()(lim)('
0 atau dy = f’(x) dx
y = f(x) maka y’ = )(' xfdx
df
Contoh:
y = 31
43 4 )1(1 xx
misal u = 1 – x4 34x
dx
du
y = u1/3
32
3
1 u
dx
dy
)4(13
1. 33
24 xx
dx
du
du
dy
dx
dy
Definisi
1. Misal fungsi f terdefinisi pada selang I yang bukan suatu titik. Fungsi f
dikatakan mempunyai turunan pada selang I, jika turunannya (f’) terdefinisi.
2. Derivatif pertama dari y = f(x) ke-x
x
xfxxf
dx
dy
x
)()(lim
0
= y’ = )(' xfdx
dy .
2.4.1.Rumus-rumus Derivatif
jika u, v, w fungsi dari x, a, b, c, n = konstan:
1. 0)( cdx
d
2. ccxdx
d)(
3. 1)( nn ncxcxdx
d
4. ...)( wvudx
d
= ...dx
dw
dx
dv
dx
du
5. dx
duccu
dx
d)(
6. dx
duv
dx
dvuuv
dx
d)(
7. dx
duvw
dx
dvuw
dx
dwuvuvw
dx
d)(
8. 2v
dx
dvu
dx
duv
v
u
dx
d
v 0
9. dx
duunu
dx
d nn 1)(
10. dx
du
du
dy
dx
dy.
11.
dudxdx
du 1
12.
dudx
dudy
dx
d
13. dx
duuu
dx
dcossin
14. dx
duuu
dx
dsincos
15. dx
duuu
dx
d 2sectan
16. dx
duuu
dx
d 2csccot
17. dx
duuuu
dx
dtansecsec
18. dx
duuuu
dx
dcotcsccsc
19. dx
du
uu
dx
d
2
1
1
1sin
20. dx
du
uu
dx
d
2
1
1
1cos
21. dx
du
uu
dx
d2
1
1
1tan
22. dx
du
uu
dx
d2
1
1
1cot
23. dx
du
uuu
dx
d
1
1sec
2
1
24. dx
du
uuucse
dx
d
1
1
2
1
25. dx
du
auu
dx
d a .ln
1log
26. dx
du
uu
dx
d.
1ln
27. dx
duaaa
dx
d uu ln
28. dx
duee
dx
d uu
29. uvv edx
du
dx
d ln
)ln(ln uvdx
de uv
dx
dvuu
dx
duvu
dx
duue
dx
du
u
ve
vv
uv
uv
ln
)1(ln
1
ln
ln
30. dx
duuu
dx
dcoshsinh
31. dx
duuu
dx
dsinhcosh
32. dx
duuhu
dx
d 2sectanh
33. dx
duhcu
dx
dseccoth
34. dx
duuhuhu
dx
dtanhsecsec
35. dx
ducthuhuchuc
dx
dsecsec
36. dx
du
uu
dx
d.
1
1sinh
2
1
37. dx
du
uu
dx
d
1
1cosh
3
1
38.
11
1
1tanh
2
1
u
dx
du
uu
dx
d
39.
1/\1
.1
1coth
2
1
uu
dx
du
uu
dx
d
40. dx
du
uuuh
dx
d
2
1
1
1sec
41. dx
du
uuucseh
dx
d
2
1
1
1
Contoh :
1. f(x) = x sin x
maka
f’(x) = x cos x + 1. Sin x
= x cos x + sin x
2. f(x) = 2 x3 + 3 x
2 tan x, x 0, maka
f’(x) = 6x2 + 3x2. Sec2x + 6x tan x
x 0
3. f(x) = 0,sin
xx
x
f’(x) = 2
sin1cos.
x
xxx , x 0
4. f(x) = 2x5 – 3x
2 -
2
31
xx , maka
f'(x) = 10x4 - 6x + x
-2 -6x
-3.
5. f(x) = 1,1
1
x
x
x, maka
f'(x) = {(-1)(1+x)-1(1-x)}/(1+x)2.
Catatan :
12cos2
1cos
2cos12
1sin
2
2
xx
xx
2.4.2.Turunan Fungsi Komposisi atau Aturan Rantai
Komposisi fungsi:
(f o g)1 (x ) = f’ (g(x)) . g’(x)
Aturan rantai
dx
dw
dw
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
dx
du
du
dy
dx
dy
...
.
Contoh:
1. f(x) = xx 32 2
dibentuk f(x) = (g o h) (x)
= g (h(x))
g(x) = x g(h(x)) = )(xh
h(x) = 2x2 + 3x
maka (g o h)1 (x) = g’ (h(x)) . h’(x)
h’ (x) = 4x + 3 f’ (x) =
34.322
1
)(')(2
1
2
x
xx
xhxh
g’ (x) = x
x2
1
2
12
1
cara lain
u = 2x2 + 3x f(x) = y = u y’ =
u2
1
34 xdx
du u = 2x
2 + 3x
f’ (x) =
34.322
1
34.2
1
.
2
xxx
xu
dx
du
du
dy
dx
dy
2. f(x) = sin (tan x), maka
f'(x) = {cos(tan x)}sec2x
3. f(x) = sec x
x
1
1 , maka
f'(x) = {sec x
x
1
1tan
x
x
1
1}{{(-1)(1+x)-1(1-x)}/(1+x)
2}
2.4.3.Teorema Turunan Fungsi Invers
misal y = f(x)
x’(y) = )('
1
xf
dxdydy
dx 1
teorema turunan
fungsi f (x) = xr, r rasional
f(x) = xr f’(x) = rxr-1
contoh :
Diberikan suatu fungsi f(x) = 3 22 )2( xx = (x2 – 2x)
2/3, maka
f’(x) = )22()2(3
23
1
2
xxx
= }2,0{,23
)1(4
3 2
x
xx
x
g(x) = cos 3
1
3 )(tancostan xx
g’(x) = xx 23
2
3
1
sec)(tan3
1.(tan x)sin -
=
-
bulatkkx
x
xx
,2
1
,)(tan3
sec.tansin
3 2
23
Contoh :
1. f(x) = x
x
1
1
2. f(x) = xxsin
3. f(x) = 3 sin x
4.
Jawab :
1) f(x) = 2
1
1
1
1
1
x
x
x
x=
f’(x) = 2
2
1
)1(
1)1()1)(1(.
1
1
2
1
x
xx
x
x
=
2
2
1
)1(
11.
1
1
2
1
x
xx
x
x
= 2
2
1
)1(
2.
1
1
2
1
xx
x
=
2
1
2
3
2
1
2
1
22
)1()1(
1
)1(
)1(.)1(
1
)1(1
1
1
xx
x
xx
xx
x
2) f(x) = 21
)sin(sin xxxx
f’(x) =
)cos(sin)sin(2
1
)cossin.1()sin(2
1
21
21
xxxxx
xsxxx
3) f(x) = 31
3 )(sinsin xx
f’(x) =
xxx
xxx
cos.)(sin6
1
)2
1(cos.)(sin
3
1
32
21
21
32
cari dx
dy dari x3 + y2 + x2 y3=3
di (1,1)
03223),( 2232
dx
dyxyxy
dx
dyyx
dx
yxfd
di (1.1)
055
03223
dx
dy
dx
dy
dx
dy
jika diminta untuk mencari dx
dy, maka
5dx
dy= – 5 , maka
dx
dy= –1 .
2.4.4.Mendeferensialkan Fungsi Implisit
Fungsi implicit adalah fungsi yang berbentuk f (x,y)= 0 atau f(x,y)=c.
Maka cara mencari dy/dx dari fungsi implicit adalah sebagai berikut:
Untuk memudahkan pemahaman , maka akan langsung diberikan beberapa
Contoh:
1) x2 + y2= 25 (fungsi Implisit)
022 dx
dyyx
dx
dy
xdx
dyy
dx
dyyx
22
022
y
x
dx
dy
y
x
dx
dy
2
2
2) jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0
tentukan 2
2
dx
yddan
dx
dy
di titik 2
3
y
x
x2 + y2 – 2x – 6y + 5 =0
2x + 2y 062 dx
dy
dx
dy
(2y - 6)dx
dy=2 – 2x
2 (y-3) dx
dy=2(1-x)
dx
dy=
3
1
y
x
di (3,2) 21
2
dx
dy
3
12
2
y
x
dx
d
dx
yd
51
)2(1
)32(
2).31()23(
)32(
)1()3(
)3(
)1)(1()1)(3(
2
2
2
2
dxdy
dxdy
xy
y
xy
3) f(x,y)= x + xy2 – x sin y
(atau, x + xy2 = x sin y)
cari dx
dydan
2
2
dx
yd
2.4.5.Mendeferensialkan Fungsi dengan Peubah Lebih Dari Satu
Secara umum jika diketahui z adalah funsi dari u1, u2, u3, …, un, dan u1,
u2, u3, …, un adalah fungsi dari x, maka
dx
du
u
z
dx
du
u
z
dx
du
u
z
dx
dz n
n
...... 2
2
1
1
u
z
= derifatif parsiil pertama dari z ke u
artinya peubah lain kecuali u dianggap konstan.
Contoh:
z = x2+y3+x2y3
222
3
2232
33
22
3232'
xyyzyy
z
xyxzx
z
dx
dyxyxy
dx
dyyxz
dx
dz
x
2.4.6. Mendeferensialkan Persamaan Bentuk Parameter
)(
)(
tgy
tfx
t = parameter
tx
ty
x
y
dx
dy
tx
00limlim
dtdx
dtdy
tx
ty
t
t
0
0
lim
lim
Jika
Xdt
dx
Ydt
dy
ydx
dy'
y’=
X
Y maka
dx
dt
dtdx
dtdy
dt
d
dtdx
dtdy
dx
d
dx
yd.
2
2
= 2
2
2
2
2
)(
1
dtdx
dtdxdt
xddt
dy
dtyd
dt
dx
= 3
"
x
xyyxy
x
yy'
Contoh:
1) x= 2 – t
y=t2 – 6t + 5
maka y’ =
x
y
dx
dy
2)2(2261
62'
1
62
ttt
dx
dyy
xdt
dx
tydt
dx
= 2x+2
= 2(x+1)
2) ty
ttx
cos1
sin
0<t<
y
t
t
ty
tdt
dyy
tdt
dxx
sin
cos1
sin'
sin
cos1
sin t dinyatakan dalam y
y= 1 – cos t
cos t = 1 – y (sin2t + cos2t = 1)
sin t = t2cos1
2)1(1 y = )21(1 2yy
2211 yy = 22 yy
y’= 221
yyy
2.4.7.Mendeferensialkan Fungsi Pangkat Fungsi
Jika diketahui z = f(u,v)= uv, dimana u,v adalah fungsi dalam x maka dx
dfdapat
dicari dengan 2 cara:
1. z = uv
ln z = ln uv
ln z = v ln u
diturunkan ke-x:
dx
du
u
vu
dx
dvu
dx
dz
dx
du
u
vu
dx
dv
dx
dz
z
v ln
ln.1
2. z = uv
z = uvu eev lnln
dx
du
u
vu
dx
dve
dx
dz uv lnln
dx
du
u
vu
dx
dvu v ln
contoh:
Diketahui z = xx
Cara pertama:
z = xx
ln z = ln xx
ln = x ln x
x
xx
dx
dz
z ln.1
1
dx
dz=xx (ln x +1)
Cara kedua:
z = xx
z = xxX eeX lnln
x
xxe
dx
dz xx ln1ln
)1(ln
1lnln
xx
xe
x
xx
BBAABB IIIIII
TTEERRAAPPAANN DDEERRIIVVAATTIIFF
33..11.. FFUUNNGGSSII NNAAIIKK DDAANN TTUURRUUNN
Definisi :
Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan
bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 < x2 yang
terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) < f(x2) .
Suatu fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = x0 , jika dapat ditunjukkan
bilangan pos kecil h sedemikian, sehingga untuk setiap titik tertentu x1 > x2 yang
terletak dalam interval (x0-h , x0+h) berlaku : f(x1) > f(x2) .
Untuk pemudahkan pemahamannyad diberikan skema pada gambar 3.1.
Skema :
x0-h x1 x0 x2 x0+h
x0-h x1 x0 x2 x0+h
Gambar 3.1. Skema Fungsi Naik dan Fungsi Turun
fs turun
fs naik
Dalil :
Jika 0)( 0
' xf y = f (x) naik di x = x0
0)( 0
' xf y = f (x) turun di x = x0
0)( 0
' xf titik stasioner dari fungsi f tercapai
0)( 0
" xf maka titik (x0 , f(x0)) titik maksimum
0)( 0
" xf maka titik (x0 , f(x0)) titik minimum
Contoh :
342)( 24 xxxf
Tentukan semua ekstrim relatif dari fungsi f
Jawab :
f (x) = 2x4 – 4x
2 + 3
f’ (x) = 8x3 – 8x
= 8x (x2 – 1)
f” (x) = 24x2 – 8
Titik stasioner tercapai jika f’’(x) = 0
f’ (x) = 8x (x2 – 1) = 0
= 8x (x+1) (x-1) = 0
x1 = 0 ; x2 = 1 ; x3 = -1
f(0) = 3 ; f(1) = 1 ; f(-1) = 1
-1 0 1
f” (0) = -8 < 0 maka (0, 3) titik maksimum
+ - + -
f” (1) = 16 > 0 maka (1, 1) titik minimum
f” (-1) = 16 > 0 maka (-1, 1) titik minimum
Sebelum mempelajari soal-soal lebih lanjut, akan diberikan terlebih dahulu
teorema-teorema yang mendukung fungsi naik maupun fungsi turun.
TTeeoorreemmaa UUjjii KKeettuurruunnaann KKeedduuaa uunnttuukk KKeecceekkuunnggaann
Misal f fungsi yang mempunyai turunan kedua pada selang I (terbuka)
1. Jika 0)(" xf Grafik f cekung ke atas pada I
2. Jika 0)(" xf Grafik f cekung ke bawah pada I
Definisi Titik Belok (Ekstrim)
f fungsi kontinu pada selang terbuka I Ia . Titik ( a , f ( a )) dikatakan titik belok
jika dipenuhi 2 syarat berikut :
1. Terdapat perubahan kecekungan dari grafik fungsi f disekitar x = a
2. Terdapat garis singgung pada grafik fs f di ( a , f ( a ))
Contoh :
235)( 53 xxxf
01515)( 24' xxxf
)1515( 22 xx
(a) Tentukan selang f cekung ke atas dan f cekung ke bawah
(b) Tentukan semua titik ekstrimnya
Jawab :
Rxxxxf ,235)( 53
Rxxxxf ,1515)( 42'
Rxxxxf ,6030)( 3"
= )2
1(60 2 xx
= 22
1()2
2
1(60 xxx
01 x 22
12 x 2
2
13 x
2)0( f ; 28
72)2
2
1( f ; 2
8
72)2
2
1( f
0
22
1 2
2
1
22
1x 02
2
1 x 2
2
1x
(a) f cekung ke atas :
2
2
1,0;2
2
1,n
f cekung ke bawah :
n,2
2
1;0,2
2
1
(b) Karena f”(x) ada di Rx dan disekitar 22
1,0,2
2
1 xxx
ada perubahan kecekungan, maka titik ekstrimnya
2
8
72,2
2
1;2,0;2
8
72,2
2
1
Titik
Ekstrim
Titik
Ekstrim
Titik
Ekstrim
+ + - - + + - -
Teorema-teorema yang mendukung pembahasan diatas adalah:
1. Teorema Rolle
Misalkan f memenuhi syarat :
a) Kontinu pada selang tertutup (a, b)
b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b)
c) f (a) = f (b)
Maka terdapat suatu ),( bac Э f’ (c) = 0
(Teorema ini menjamin adanya titik-titik pada grafik f(x) dimana f’ (x) = 0
atau garis singgung mendatar).
Skema :
f’(c) = 0
f (c)
f
f (a) = f (b)
a c b
Gambar 3.2. Skema Teorema Rolle.
2. Teorema Nilai Rata-rata
Misalkan f memenuhi syarat :
a) Kontinu pada selang tertutup (a, b)
b) Mempunyai turunan pada selang terbuka (a, b)
Maka terdapat suatu ),( bac sehingga ab
afbfcf
)()()('
(Teorema ini menjamin adanya titik pada f yang garis singgung // dengan ruas
garis yang menghubungkan titik (a, f(a)) dengan (b, f(b)).
(b, f (b))
Skema :
f’(c)
f (c)
f (b)
f (a)
a c b
b – a
Gambar 3.3 Skema Teorema
Nilai Rata-rata.
3.2.Teorema, Rumus Tayor
Misal fungsi f mempunyai turunan ke-(n+1) pada selang terbuka I yang
memuat titik x dan x0 , maka f(x) dapat diuraikan dalam bentuk :
f(x) = 2
00
00
0 )(!2
)(")(
!1
)(')( xx
xfxx
xfxf
1
0
)1(
00
)(
)()!1(
)()(
!
)(
nn
nn
xxn
cfxx
n
xf
c terletak antara x dan x0 .
Dapat ditulis :
)()()( xRxPxf nn
Dimana :
Pn(x) = suku banyak Taylor berderajad n
Rn(x) = 1
0
)1(
)()!1(
)(
nn
xxn
cf
= suku sisa uraian Taylor
Contoh :
Deretkan dengan R. Talyor f(x) = sin x di x0 = 0
Jawab :
f(x) = sin x f (0) = 0
f’(x) = cos x f’(0) = 1
f”(x) = -sin x f”(0) = 0
f3(x) = -cos x f
3(0) = -1
f4(x) = sin x f
4(0) = 0
f5(x) = cos x f
5(0) = 1
f(x) = 2
!2
)0("
!1
)0(')0( x
fx
ff
=
3
!3
)1(0.10 xx
= !5!3
53 xxx
Deret Taylor dimana x0 = 0 dinamakan Deret Mac Laurin.
Contoh :
Diket : f(x)=x3-9x
2+15x-5
Tentukan semua titik ekstrimnya.
Jawab:
f'(x) = 3x2-18x+15
SSttaassiioonneerr jjiikkaa ff''((xx)) == 00,, mmaakkaa 3x2-18x+15 ==00 aattaauu x
2-6x+5 = 0.
Sehingga (x-5)(x-1)=0, x1 = 5, x2 = 1..
ff''''((xx)) == 66xx –– 1188 ,, mmaakkaa ff''''((55)) >> 00,, ddaann ff''''((11)) << 00..
JJaaddii eekkssttrriimm mmiinniimmuumm tteerrjjaaddii ddii ttiittiikk ((55,, 1122)) ddaann eekkssttrriimm mmaakkssiimmuumm ddii ttiittiikk
((11,,--1122))..
33..33.. BBeennttuukk--bbeennttuukk TTiiddaakk TTeerrtteennttuu
YYaanngg ddiinnaammaakkaann bbeennttuukk--bbeennttuukk ttaakk tteerrtteennttuu aaddaallaahh bbeennttuukk--bbeennttuukk bbeerriikkuutt::
00 ;0;1;;.0;;0
0
Aturan dari de l’ Hospital :
1. Diketahui f(x) dan g(x) kontinu dan dapat dideferensialkan
sebanyak n kali disekitar x = a.
0)()(")(')( )1( afafafaf n
0)()(")(')( )1( agagagag n
Sedang f (n)
(a) dan g (n)
(a) salah satu atau keduanya tidak nol, maka :
)(
)(
)(
)(lim
)(
)(
ag
af
xg
xfn
n
ax
2. Kecuali untuk bentuk 0
0, aturan dari de l’ hospital bisa juga dipakai
untuk bentuk
.
)()(")(')(
)()(")(')(
1
1
agagagag
afafafaf
n
n
Sedang f (n)
(a) dan g (n)
(a) salah satu atau keduanya tidak tak berhingga,
maka :
)(
)(
)(
)(lim
)(
)(
ag
af
xg
xfn
n
ax
Contoh:
1. 0
0
2
22
2lim
x
xx
x
= 31
12lim
2
x
x
2. 0
0
sin
sin2
2
0lim
x
x
x
= 0
0
cossin2
cos2 2
0lim
xx
xx
x
= 0
0
2sin
cos2 2
0lim
x
xx
x
= x
xxxx
x 2cos2
sin)2()2(cos2 22
0lim
= 12
1.2
3.
13 2
2
lim x
xx
x
= 3
1
6
2
6
12limlim
xx x
x
= 3
1
6
2
6
12
lim
x
xxx
x
x
Contoh:
1. x
x
xtan
)2
ln(
lim2
=
2
lim
x x
x2sec
2/
1
=
2
lim
x 2/
cos 2
x
x=
2
lim
x 2/
)12(cos2/1
x
x=
2
lim
x 1
)2sin2(2/1 x= 0
2. 20
1lim
x
e x
x
= 2/1
2lim
2lim
00
x
x
x
x
e
x
e
3. 1
2
lim x
x
x
= xx e
x2lim
= 0
2lim
xx e
BBAABB IIVV
II NN TT EE GG RR AA LL
IInntteeggrraall aaddaallaahh aannttii ddeerriivvaattiiff aattaauu aannttii ttuurruunnaann.. RRuummuuss--rruummuuss yyaanngg bbeerrllaakkuu
uunnttuukk ddeerriivvaattiiff tteennttuu ssaajjaa bbeerrllaakkuu uunnttuukk iinntteeggrraall ddaallaamm aarrttii kkeebbaalliikkaannnnyyaa..
PPeerrssooaallaann iinntteeggrraall ttiiddaakk hhaannyyaa mmeenngggguunnaakkaann rruummuuss--rruummuuss ddaassaarr yyaanngg mmeerruuppaakkaann
kkeebbaalliikkaann ddeerriivvaattiiff,, aakkaann tteettaappii ppeerrlluu tteekknniikk--tteekknniikk yyaanngg ccuukkuupp rruummiitt yyaanngg aakkaann
ddiibbiiccaarraakkaann bbeerriikkuutt iinnii..
4.1. Dibawa ke Bentuk I : cxfxdf )()(
Contoh :
1. cxdx
2. cxxd tantan
3. cuud ..
4. cxnxnd .
5. cd xx .
4.2. Rumus dasar Integral:
1,1
1 1 ncun
duU nn
Contoh :
cxdxx 65
6
1
4.3. Dibawa ke Bentuk II:
cunu
du
cxfndxxf
xf )(
)(
)('
Catatan : dxabaxd )(
dxkxd )(
)((2
1 22 axddxx
4
)2
(2
22 ab
axbaxx
Contoh :
1.
dxx
xecdx
x
xec
cot
cos
cot
cos 22
xecxfxxf 2' cos)(cot)(
Sesuai bentuk dxxf
xf
)(
)('
Maka :
cxndxx
xec
cot
cot
cos 2
2. )()1()1( baxdxdxx nn
Dengan rumus duu n, maka = cx
n
n
1)1(1
1
3. )()(1
)( baxdbaxa
dxbax nn
= cbaxna
n
1)(1
1.
1
4. )(2
1 222 baxdbaxa
dxbaxx
= )()(2
1 22
1
2 baxdbaxa
= cbaxa
23
2
12
1
1.
2
1
= cbaxa
23
2
3
1
5.
cedxe
e x
x
x
5ln5
(menggunakan rumus bentuk III)
4.4.Dibawa ke Bentuk III:
ca
u
aau
du 1
22tan
1
c
au
aun
aau
du
2
122
Contoh :
1.
cx
x
dx
x
dx
3tan
3
1
)3(3
1
222
2.
2222)50()5(
)5(
50)5(2510 x
xd
x
dx
xx
dx
cx
x
50)5(
50)5(ln
502
1
4.5. Dibawa ke Bentuk IV :
22 ua
du = c
a
u
1sin
22 au
du = cauu 22ln
duua 22 = cua
u
a
u
a
a 221
2
2sin
duau 22 = cau
uauu
a 2222
2
2ln
2
Contoh :
1.
cx
x
xd
xx
dx
6
)1(sin
)1(6
)1(
25
1
22
2. )2
1(
4
11
2
13
2
2
xdxdxxx
cxx
xx
4
11
2
1
2
21
4
11
2
1
2
1ln
2
411 22
4.6. Integral Parsial
u dan v merupakan fungsi dari x maka duv = u dv + v du.
u dv = duv – v du
vduduvudv
vduuvudv ←
Contoh :
1. dxxln = xxdxx lnln
= dxx
xxx1
.ln
= cxxx ln
2. xx dxdxx 22
2
1
= dxx xx 22
2
1
= cx xx
22
2
1
2
1
2
1
= cx xx 22
4
1
2
1
4.7. Integral Bentuk Rasional.
Bentuk umumnya dapat diberikan sebagai )(
)()(
xQ
xPxH , dimana P(x)
adalah numerator, sedangkan Q(x) adalah denumerator. Jika P(x) > Q(x)
maka P(x) harus dibagi Q(x) terlebih dahulu. Integral dengan bentuk
rasional ini terdiri dari beberapa kasus, yang masing-masing akan dibahas
dibawah ini.
Kasus 1 :
Apabila faktor Q(x) semuanya linier dan berbeda.
Contoh :
dx
xxx
x
2
)1(23
xxx
x
2
123
=
)1)(2(
1
xxx
x
xxx
x
2
123
=
1)2(
x
C
x
B
x
A
1x = )2)(()1)(()1)(2( xxCxxBxxA
= )2()()2( 222 xxCxxBxxA
= )2()2()(2 AxCABCBAx
2
1
12
12
0
A
A
ACB
CBA
122
1
02
1
CB
CB
2
1CB
2
32 CB
3C =
2
4
C =
6
4
=
3
2
03
2
2
1
B
B = 2
1
3
2
= 6
34
= 6
1
Jadi
dx
xxx
x
)1)(2(
1 =
dxx
dxx
dxx 1
32
2
61
21
= cxxx 1ln3
22ln
6
1ln
2
1
= 4
3
)1(
)2(ln
6
1
x
xcx
Kasus 2 :
Jika semua akar riil dan ada yang sama.
Contoh :
dx
xx
x32
3
)2(
1
dx
xx
x32
3
)2(
1 =
)2()2()2( 232 x
E
x
D
x
C
x
B
x
A
x3-1 = 222233 )2()2()2()2( xExxDxCxxBxxA
x3-1 = 34 )46()( xEDBAxEB
= AxBAxEDCBA 8)812()42126( 2
16
3;
4
5;
4
7;
16
3;
8
1 EDCBA
dx
xx
x32
3
2
1 =
)2(16
3
)2(4
5
24
7
16
3
8
1232 x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
=
cxxx
xx
2ln
16
3
24
5
)2(8
)7(ln
16
3
8
12
Kasus 3 :
Jika tidak semua akar riil dan yang tidak riil semuanya berbeda.
Contoh :
dx
xxx
xx
221
322
2
1222 x
C
xx
BAx
221
322
2
xxx
xx =
1222
x
C
xx
BAx
5
4;
5
7;
5
9 CBA
Jadi :
dx
xxx
dxxdx
xxx
xx
1
54
22
57
59
221
3222
2
225
9
22
1
5
9
22
59
222 xx
dx
xx
dxxdx
xx
x
Maka :
dx
xxx
xx
221
322
2
15
4
225
7
225
9
22
12
2
1
5
9222 x
dx
xx
dx
xx
dxdx
xx
x
=
1ln
5
4
115
222ln
10
92
2 xx
dxxx
= cxxxx ln1ln5
41tan
5
222ln
10
9 12
Kasus 4 :
Jika tidak semua akar riil dan akar yang tidak riil ada yang sama.
Contoh :
dx
xxx
x22 54
2
5454222
xx
EDx
xx
CBx
x
A
22 54
2
xxx
x =
54
42
54
42222
xx
ExD
xx
CxB
x
A
… dst
4.8.Integral Fungsi Trigonometri
1. dxaxsin = daxaxa
sin1
= caxa
cos1
2. dxax2sin = dxax2cos2
1
2
1
= caxa
x 2sin4
1
2
1
3.
duun
nuu
nduu nnn 21 sin
1cossin
1sin
21 z z
1
x2
1
4.9. Integral Fungsi Pecah Rasional dalam Sin dan Cos
Substitusi : tan zx
2
1
x2
1 = arc tan z
sin 2x = 2 sin x cos x
x = 2 arc tan z
= 2 tan -1
z
dx = dzz 21
2
Sin x = xx2
1cos
2
1sin2
= 222 1
2
1
1.
1.2
z
z
zz
z
Cos z = )2
cos1
2
1cos:(1
2
1cos2 2
2t
tRumusx
Cos z = 11
12
2
2
z
=
2
2
2
2
2 1
1
1
1
1
2
z
z
z
z
z
Contoh :
xx
dx
cossin1 =
22
2
2
2
2
121
2
1
1
1
21
1
2
zzz
dz
z
z
z
z
dzz
=
czz
dz
z
dz1ln
1222
4.10. Integral dengan Substitusi
Kasus 1 :
Apabila memiliki bentuk 22 ua
a > 0
2
0 jika u > 0
02
1
jika u < 0
sinau d cosadu
Jadi 22 ua = sin222 aa
= sin1 22 a
= a . cos
1cossin 22
Kasus 2 :
Apabila memiliki bentuk 2222 uaau
a > 0
tanau dadu 2sec
2
0 jika u > 0
02
jika u < 0
32 ua = 222 tanaa
= 2tan1a
= 2seca
= seca
Kasus 3 :
Apabila memiliki bentuk 022 aau
2
0
jika u > a
2
3 jika u < -a
u = dtadua tansecsec
22222 sec aaau = 1sec2 a
= 2tana
= tana
Contoh-contoh Kasus
:
1.
dxx
x2
29
Substitusi : ddxx cos3sin3
dcos3
sin3
sin3322
222
=
dcos3
sin3
sin1322
2
=
d 2
2
sin
cos
= d2cot
= dec 1cos 2
= c cot
2. dxx 52
Substitusi : tan5x
ddx 2sec5
52 x = 5tan5 2
= 1tan5 2
= sec.5
dxx 52 = d2sec5sec5
= d3sec5 dengan inti parsial
= c tansecln2
5tansec
2
5
3. 223 3xx
dx
Substitusi : sec3x
ddx tansec3
22 3x = 222 3sec3
= 1sec3 2
= 3 tan
223 3xx
dx =
d tan3.sec3
tansec333
=
dd 2
2cos
27
1
sec
1
27
1
= d 2cos127
1
2
1
= c
2sin
2
1
54
1
4.11. Substitusi Aljabar
Substitusi dilakukan sedemikian sehingga bisa merubah bentuk irrasional
menjadi rasional.
Contoh :
43
21
22 xx
dx
Substitusi : 2x = 4z
dx = dzz34
2
1
2x = 221
4 zz
43
2x = 343
4 zz
Maka :
4
3
2
1
22 xx
dx = 32
34
zz
dzz =
dzzz
z32
3
4
=
dzzz
z
14
2
3
=
dzz
z
14
=
dzz
z
14 =
dz
z
z
1
114
= dzz
1
114
= czz 1ln44
= cxx 12ln424 44
DAFTAR PUSTAKA
Leithold, L ., 1972, The Calculus with Analitic Geometry, Harper International
Edition, Harper and Row, Publishers, New York, Hagerstown, San Francisco, London.
Martono, K., 1970, Modern Control Engineering, Prentice-Hall., Englewood Cliffs,
New Jersey. Kreyzig, E., 1983, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley and Sons,
Inc, Canada.
Related Documents
