FUNGSI DAN SIFATNYA - scele.ui.ac.id · KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1 Laju perubahan nilai-nilai peubah terikat terhadap satuan perubahan nilai peubah bebas dapat menjelaskan

Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

FUNGSI DAN SIFATNYA

Penyusun: Bevina D. Handari


DAFTAR ISI

1. Mengapa karakteristik grafik penting? 2. Fungsi Naik, Fungsi Turun

3. Titik Maksimum, Titik Minimum

4. Titik Maksimum Relatif, Titik Minimum Relatif 5. Titik Balik

6. Rasio Laju Perubahan 7. Fungsi Cekung


KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1

Fungsi berguna untuk memodelkan relasi antara dua peubah. Misalnya relasi antara waktu dan jumlah penduduk. Dengan menggunakan fungsi, kita dapat mengetahui sifat spesifik dari sebuah relasi, bahkan dengan fungsi kita mungkin dapat melakukan prediksi dari sebuah perubahan.

Seringkali data divisualisasikan dalam bentuk grafik garis. Informasi yang dapat kita amati secara langsung dari grafik garis misalnya: titik maksimum, titik minimum, laju perubahan dan lain-lain.



Representasi grafik garis (grafik) dari fungsi merupakan alat yang penting untuk dapat menganalisis karateristik fungsi yang mungkin dijumpai pada masalah.

Karena itu lingkup subpokok bahasan adalah mengenai karakteristik grafik dan fungsi, khususnya karakteristik grafik.

Pada pembahasan yang lalu telah dipelajari visualisasi informasi dengan grafik, sebagai contoh:

x T

1 30

2 60

3 90

4 120

5 150

Tem

era

tur (

Celc

ius)

Tabel Pengaruh Kedalaman Bumi (x) pada Temperatur (T)


Representasi fungsi dengan grafik

1 2 3 4 5

Pengaruh Kedalaman Bumi

pada Temperatur 160

140

120

100

80

60

40

20

0

Tem

era

tur

(Cel

ciu

s)

80

60

40

20

0

1 2 3 4 5

Kedalaman Bumi (km)

Titik (3,90) adalah salah satu titik pada grafik. Grafik

terdiri dari sejumlah tak hingga titik. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia


Grafik dari fungsi terdiri dari semua titik koordinat (a,b) dimana b adalah nilai peubah terikat dan a adalah nilai peubah bebas yang terkait dengan b. Pengaruh Kedalaman Bumi

pada Temperatur 160

140

120

100

(3,90)


2

0

4

14

12

10

8

6

2005 2006 2007 2008 2009 2010


Kenapa karakteristik grafik penting? Jika kita memahami karakteristik grafik, akan memudahkan kita mengidentifikasi sifat-sifat penting sebuah fungsi. Misalnya kapan fungsi naik atau turun, mencapai nilai maksimum, dan lain-lain. Tingkat Inflasi Tahun 2005-2010

18

16

Tingkat inflasi Titik absolut

maksimum

Titik absolut

minimum

Fungsi naik

Tahun 2007-2008

Fungsi Turun

Tahun 2005-2006


Jika diberikan sebuah grafik fungsi, dapatkah anda menentukan dengan cepat apakah grafik tersebut merepresentasikan sebuah fungsi atau bukan?

6

4

2

0

18

16

14

12

10

8

2005 2006 2007 2008 2009 2010

Tingkat Inflasi Tahun

2005-2010 Tingkat inflasi

Untuk menentukan suatu

grafik adalah sebuah fungsi

gunakan tes garis

vertikal

Jika sebarang garis

vertikal pada fungsi

memotong grafik hanya di

satu titik

Fungsi




1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

Fungsi Naik Peubah bebas

berada di sumbu horisontal. Peubah terikat berada di sumbu vertikal

Makin ke kanan nilai

peubah bebas makin besar, nilai peubah terikat juga makin besar

Fungsi

naik



1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

Fungsi Turun Peubah bebas

berada di sumbu horisontal. Peubah terikat berada di sumbu vertikal

Makin ke kanan nilai

peubah bebas makin besar, nilai peubah terikat makin kecil

Fungsi

turun


Titik tertinggi dari grafik sebuah fungsi memiliki nilai maksimum (absolut) dari fungsi.

-1

-1.2


1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

Titik

Maksimum

Pada titik

maksimum, nilai

peubah terikat

terbesar


0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

-1.4


Titik terendah dari grafik sebuah fungsi memiliki nilai minimum (absolut) dari fungsi. 0.2

Pada titik

minimum, nilai

peubah terikat

terkecil

Titik Minimum



Nilai peubah terikat di titik dimana fungsi berubah dari naik ke turun adalah sebuah nilai maksimum relatif/maksimum lokal dari fungsi.

Nilai peubah terikat di titik dimana fungsi berubah dari turun ke naik adalah sebuah nilai minimum relatif/minimum lokal dari fungsi.

Titik pada grafik dengan nilai peubah terikatnya maksimum lokal/minimum lokal dari fungsi merupakan sebuah titik balik.

M2

M1

m1

m2

m1, m2: nilai

minimum relatif dari

fungsi

M1, M2: nilai

maksimum relatif

dari fungsi

A

B

C

D

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1 Titik A,B,C,D

adalah titik

balik

Grafik fungsi dengan 2 nilai

maksimum relatif dan 2

minimum relatif Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Jateng 14.21 13.28 12.59 11.76 11.38 10.76 10.54

Bali 15.56 14.48 13.78 14.21 14.02 13.06 12.78



Berikut data persentase penduduk buta huruf menurut kelompok umur tahun 2003-2009:

Relatif maksimum dan relatif minimum data ini dapat ditentukan dengan mudah melalui grafik garis berikut.

Sumber:http://www.bps.go.id/

Per

sen

tase

15.56

14.21 14.48

13.28 13.78

12.59

14.21

11.76

14.02

11.38

13.06

10.76

12.78

10.54

8

6

4

2

0

16

14

12

10

2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

Tahun


KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1 Persentase Penduduk Buta Huruf

menurut Kelompok Umur 15+ Tahun

2003-2009 18

Jawa Tengah

Bali


Nilai persentase 13.78 penduduk buta huruf kelompok umur 15+ di Bali pada tahun 2005 adalah relatif minimum, karena pada

tahun 2004 nilai persentase 14.48,

tahun 2005 nilai persentase 13.78, dan

tahun 2006 nilai persentase 14.21.

Relatif Minimum Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

2004

14.48%

2005

13.78%

2006

14.21%



Nilai persentase 14.21 pada tahun 2006 adalah relatif maksimum, karena pada

tahun 2005 nilai persentase 13.78,

tahun 2006 nilai persentase 14.21, dan

tahun 2007 nilai persentase 14.02.

2005

13.78%

2006

14.21%

Relatif Maksimum 2007

14.02%



Pada tahun 2003, 15.58 adalah nilai persentase maksimum (absolut) penduduk buta huruf kelompok umur 15+ di Bali. Sedangkan tahun 2008, 12.78 adalah nilai persentase minimum (absolut).

Grafik Jawa Tengah adalah grafik fungsi turun dan tidak memiliki nilai maksimum relatif dan minimum relatif. Grafik hanya memiliki nilai persentase maksimum (absolut) 14.21 dan nilai persentase minimum (absolut) 10.54.



Dengan kata lain, persentase penduduk buta huruf menurut kelompok umur 15+ di Jawa Tengah dari tahun 2003 hingga tahun 2009 menurun.

Persentase penduduk buta huruf menurut kelompok umur 15+ di Bali pada tahun 2003-2005 menurun, meningkat sesudah tahun 2005 hingga 2007, dan menurun kembali sesudah tahun 2007.



Laju perubahan nilai-nilai peubah terikat terhadap satuan perubahan nilai peubah bebas dapat menjelaskan apakah nilai-nilai fungsi bertambah/berkurang dengan cepat atau lambat.

Nilai

Fungsi

naik

dengan

cepat

Nilai

Fungsi

naik lebih

lambat

-----------------------

------


Laju perubahan y dari 𝑥1 hingga 𝑥2 dinyatakan sebagai rasio , 𝑥1 dan 𝑥2 adalah 2 nilai peubah bebas dan 𝑦1 , 𝑦2 adalah nilai-nilai peubah terikat yang bersesuaian dengan 𝑥1 dan 𝑥2 .

𝑦2 -------------------------

𝑦1 ---

𝑦2 - 𝑦1 bernilai negatif

𝑥2 - 𝑥1 bernilai positif

Rasio negatif

Laju perubahan negatif

𝑥1 𝑥2 Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

Fungsi

turun

--------------------- ---


Fungsi naik 𝑦2 - 𝑦1 bernilai positif 𝑥2 - 𝑥1 bernilai positif

Rasio positif

𝑦2 --------------------------

Laju perubahan positif

𝑦1 ---

𝑥1

Rasio adalah laju

perubahan y dari 𝑥1 ke 𝑥2 .

x2


Tahun Kopi Teh 1995 49.3 81

1996 46.7 88.8

1997 61.8 89.3

1998 62.5 91.2

1999 63.2 91.6

2000 63.2 90

2001 62.5 83.3

2002 58.2 84.4

2003 57.4 83.3

2004 52.6 83.3

2005 52.9 81.7

2006 53.6 78.4

2007 52.5 77.6

2008 58.3 78.9



Berikut data tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia (000 Ha), 1995-2008:

Sumber: http://www.bps.go.id/


Grafik luas tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia (000 Ha). Grafik kiri periode 1995-2000, grafik kanan periode 2000-2005.

0

50

40

30

20

10

100

90

80

70

60

2000 2001 2002 2003 2004 2005

Kopi

Teh

0

50 40

30 20 10

100 90

80 70 60

1995 1996 1997 1998 1999 2000

Kopi

Teh

Sumber:http//www.bps.go.id




Rata-rata perubahan luas tanaman perkebunan besar kopi (000 Ha) selama tahun 1995-2000, adalah

bertambah sebesar ribu Ha.

Rata-rata perubahan luas tanaman perkebunan besar teh (000 Ha) selama tahun 1995-2000, adalah

bertambah sebesar ribu Ha.



Rata-rata pertambahan luas tanaman kopi pada periode 1995-2000,yaitu 2.78 ribu Ha, lebih besar dari rata-rata pertambahan luas tanaman teh sebesar 1.8 ribu Ha.

Jika laju perubahan bernilai positif, maka semakin curam grafik berarti laju perubahannya juga semakin besar.



Laju perubahan dua grafik ini positif.

Grafik B

Grafik A

Grafik A lebih curam dari grafik B pada selang yang

sama, maka laju perubahan grafik A lebih besar dari

laju perubahan grafik B

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI

Rata-rata perubahan luas tanaman perkebunan besar kopi (000 Ha) selama tahun 2000-2005, adalah

sebesar ribu Ha. Tanda minus berarti luas tanaman kopi berkurang. Rata-rata perubahan luas tanaman perkebunan besar teh (000 Ha) selama tahun 2000-2005, adalah

sebesar ribu Ha. Tanda minus berarti luas tanaman teh berkurang. Pada periode tersebut luas tanaman kopi berkurang lebih banyak dari luas tanaman teh. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI

Laju perubahan dua grafik ini negatif.

Grafik A Grafik B

Grafik B lebih curam dari grafik A pada selang yang

sama, maka laju perubahan grafik B lebih besar dari

laju perubahan grafik A




Observasi lain pada grafik fungsi adalah melihat bagaimana grafik melengkung, ke atas atau ke bawah, mengindikasikan apakah laju perubahan fungsi meningkat atau menurun. Sebuah fungsi adalah cekung ke atas jika grafik fungsi tersebut melengkung ke atas.

Naik dan melengkung ke atas Turun dan melengkung ke atas



Sebuah fungsi naik yang cekung ke atas berarti laju perubahan dari fungsi tersebut meningkat.

Fungsi turun yang cekung ke atas berarti laju perubahan yang tadinya negatif akan semakin besar atau menjadi kurang negatif karena grafik berkurang kecuramannya (laju perubahan menurun).

50

40


Berikut grafik luas tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia (000 Ha), 1995-2008: 100

90

80

70

60

Kopi

Teh

30

20

10

0

Sumber:http//www.bps.go.id


20

10

0

Namun dalam pembahasan laju perubahan biasa digunakan grafik garis. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

50

40

30


Grafik di atas dapat juga dinyatakan dalam grafik batang berikut. 100

90

80

70

60

Kopi

Teh



Pada grafik luas tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia, grafik tanaman teh pada tahun 1996-1999 naik dan melengkung ke atas.

Berarti laju perubahan luas tanaman teh meningkat namun peningkatannya melambat sesudah tahun 1999.

Dilihat dari sisi laju pertumbuhan, laju pertumbuhan tahun 1996-1999 positif.


Sebuah fungsi adalah cekung ke bawah jika grafik fungsi tersebut melengkung ke bawah.

Grafik dengan cekung ke bawah, laju perubahannya menurun. Dipergunakan hanya di lingkungan akademik Universitas Indonesia

Naik dan melengkung ke bawah Turun dan melengkung ke bawah



Grafik fungsi naik yang cekung ke bawah maka laju perubahannya positif dan semakin menurun. Bentuk grafik naik namun kecuramannya makin lama makin berkurang.

Grafik fungsi turun yang cekung ke bawah, maka laju perubahannya yang negatif akan semakin negatif, grafik semakin lama makin curam.



Pada grafik garis luas tanaman perkebunan besar menurut jenis tanaman di Indonesia, grafik tanaman teh pada tahun 2004-2007 turun dan melengkung ke keatas. Berarti laju perubahan luas tanaman teh menurun namun penurunannya melambat mendekati tahun 2007. Dari sisi laju perubahan, laju perubahan bernilai negatif namun penurunannya makin berkurang pada tahun 2007.

Pada grafik garis kopi tidak terlihat jelas bagian grafik yang cekung ke atas maupun ke bawah.

Apa yang

sudah kita pelajari?

Karakteristik

Grafik

KESIMPULAN Fungsi naik dan

fungsi turun

Titik maksimum,

titik minimum, titik balik

Rasio laju

perubahan

Fungsi cekung



SARAN

Tentukan informasi terkait dengan titik maksimum, titik minimum, titik maksimum relatif, titik minimum relatif, dan titik balik dari grafik garis yang anda gunakan.

Tentukan informasi pada saat grafik garis merupakan fungsi naik atau fungsi turun.

Tentukan apakah laju perubahan yang ada pada masalah anda meningkat atau menurun.


DAFTAR PUSTAKA

Angel, A.R., Abbot, C.D., Runde, D.C., A Survey of Mathematics with Applications, Pearson Addison Wesley, 8Ed, 2009.

Blitzer, R., Thinking Mathematically, New Jersey, Pearson Prentice Hall, 4Ed, 2008.

Pirnot, T., Mathematics All Around, Boston, Addison Wesley, 3Ed, 2006.

Sevilla A., Sommers K., Quantitave Reasoning Tools For Today’s Informed Citizen, Key College Publishing, 2007.


Sekian

FUNGSI DAN SIFATNYA - scele.ui.ac.id · KARAKTERISTIK GRAFIK DAN FUNGSI 1 Laju perubahan nilai-nilai peubah terikat terhadap satuan perubahan nilai peubah bebas dapat menjelaskan

Documents