Funcii continueContinuitatea punctualIntroducere n continuitate
Are sens s punem problema continuitii sau discontinuitii unei
funcii ntr-un punct dac si numai dac acel punct face parte din
domeniul de definiie al funciei studiate .Continuitatea unei funcii
ntr-un punctnainte de a ncepe studiul continuitii vom fixa
urmatoarele entiti :a). O functie realaR D f :,R D ;b). Domeniul de
definitie Dfiind reprezentat printr-un interval sau o reuniune de
intervale ;c). Un punctacare apartine lui D.Ne punem urmatoarea
problema: compararea comportarii functieif in jurul punctuluiacu
valoarea ( ) a f.Definitia continuitatii-Fie o functieR D f :si un
punctadin domeniul de definitie D,D a;-Spunem cafunctiafeste
continua in punctuladacafare limita ina si:( ) ( ) a f x fa
xlimAceasta egalitate se mai scrie :( ) )lim(limx f x fa x a x
Adica o functie comuta cu limita -proprietate ce va fi extinsa
si la alte functii decat cea identica: contiunitatea functiilor
compuse.Definitia continuitatii:-O functie R D f : este discontinua
in punctulD adaca nu este continua in acest punct -Punctula x se
numestepunct de discontinuitatepentru functie .Observatii:1) In
punctul in care functia nu este definita nu are sens sa se puna
problema continuitatii sau discontinuitatii .2). Problema
continuitatii unei functii se pune numai in punctele domeniului de
definitie al functiei .Definitia continuitatii utilizand
sirurile:-FunctiaR D f :este continua in punctul D a daca si numai
daca pentru orice sir:a xn , E xn avem ( ) ( )afxfn. Continuitate
pe un interval Definitiacontinuitatii pe un interval :-Se spune ca
o functieR D f :estecontinua pe un interval D I daca este continua
in fiecare punct din I .-Daca functia festecontinua pe tot domeniul
de definitie , atunci se spune simplu caf
este continua , fara a mai indica multimea pe care f are aceasta
proprietate .-Find data o functieR D f : , multimea punctelor din
Din care feste continua se numestedomeniul de continuitateal
functieif. Teorema:Functiile elementare suntfunctii
continue.-Functiile elementare: polinomiale , rationale , functia
radical , functia putere , functia exponentiala , functia
logaritmica , functiile trigonometrice directe , functiile
trigonometrice inverse sunt functii continue deoarecelimita
acestora intr-un punct a din domeniul de definitie se obtine
inlocuind pexcua, adica( ) ( ) a f x fa xlim , ceea ce exprima
faptul ca o astfel de functie este continua intr-un punct arbitrar
din domeniul de definitie .Continuitate laterala Intoducerein
studiul continuitatii laterale:-Fie o functieR D f :si un punct D a
;-Daca ( ) D a ; sau ( ) + ; a D atunci are senssa studiem limita
la stanga , respective la dreapta , a functieifina.
Definitiacontinuitatii la stanga:-Spunem ca functiafestecontinua la
stanga in punctul adaca:( ) ( ) ( ) x f a f a fa xa xslim0< are
sens , exista si( ) ( ) ( ) ( ) a f x f a f a fa xa xs +are sens ,
exista si( ) ( ) ( ) ( ) a f x f a f a fa xa xd +>lim0.
Teoremacontinuitatii intr-un punct cu ajutorul continuitatii
laterale:-FunctiaR D f :este continua in punctul D a daca si numai
dacafeste continua la stanga si la dreaptaina:( ) ( ) ( ) a f a f a
f + 0 0sau :( ) ( ) ( ) a f x f x fa xa xa xa x >lim0feste
continuain b, dacafeste continua la stanga in b, adica:( ) ( ) ( )
( ) b f x f b f b fb xb xs a x fx xx x ;b). R R f :,( ) 4 , , , 4
844162' a x fxxxx ;c). R R f :,( ) 0 , , , sin
0 10' axxx fxx . Exercitiul nr.2:Sa se studieze continuitatea
functiilor de mai jos in punctele indicate:a). R R f :,( ) 2 , ,
,-2 52 1 52'> +a x fxx x x ;b). R R f :, ( ) 1, 1, 3 1, 112'
+> ax -xxx fxx ;c).R R f : , ( )( )1 , 1 ,1 -
1 , 11 sin
' axxxxx f;d). R R f :,( )( )2 , , , 2 02221'a x fxx ex ;e). R R
f :, ( ) [ ]xx f2, 3 a .f). R R f :, ( ) 1 , 1 ,2
1 , 2 2'> + ax xx x xx f. Exercitiul nr.3:Sa se studieze
continuitatea functiilor de mai jos in punctele indicate:a).( ) R f
1 ; 1 : , ( )( )( ]0 , 0 ; 1, 2 1 ; 0,sin 43' + ax x xx x xx f;b).[
) { } R f 3 2 ; 2 : , ( )[ ]( ) 3 , 2 , 0, 3, 62 ; 0,1 5 0 ; 2, 13
2
2 ' + + a a axxxxxxx f;c). R R f :, ( ) 2 , 2 , 3 2 , 21
'+ axxxx f;d). R R f :, ( ) 0 , 0, 10, sin
' axxxxx f;e). R R f :, ( ) 0, 0,1 0, 1sin' axxxxx f;f). R R f
:, ( ) 1, 1, 1, 1112'>axxxex fxx ;g). R R f :, ( ) 2, 2,02,3 121
' ++axxx fx ;h).R R f : , ( ) 1, 1,1, 1 11'> +axxxx ex fxx ;i).(
) R f ; 1 : , ( )( )( )1, 1, 21 1,21 1 ; 1, 11 sin 2'> ax xxxxxx
f. Exercitiul nr.4:Determinati parametrul real m , astfel incat
functia f sa fie continua in punctul a unde :a).( )[ ]( ]1 ,2 ; 1,3
31 ; 0,1' + + ax mxx xx f;b).( ) 2 ,2,2,2'> + ax mxxm xx f;c).(
)( )0 ,0,, sin*x1' + ax mR x e xx fx ;d).( ) 1 ,1, 1,23 32'> + +
axm xxmx xx f;e).( ) 0 ,0,, * 2' ax mR x xx f;f).( ) 1 ,1, 31, 1
x1-2 ' + + + ax mxmxx mxx f;i).( )( )3 ,3,23,392 ' > + + ax
mxxxx mx f;j).( ) 2 ,2,2 2,1 32'> + + axmx xx m mxx f;k).( )( )5
,5,1 3 -5, 5252' +> ax mxxxx mx f;l).( ) 1 ,1,3 21, 12'< + +
ax mxxmxx f;m).( )( )1 ,1,1 21,3 41 sin 2 ' + >+ ++ ax mxxx xx
mx f;n).( )( )0 ,0,0, 11' +> + ax e xx mxx fx . Exercitiul nr.5:
Determinati parametrii realib a,, astfel incat functia f sa fie
continua in punctele indicate :a). R R f :, ( )21, 21,3 21, 21,1 30
'< > +xx xx bx axx f;b). R R f :, ( )( )0, 0, 0, 2 0, 2 1 ln
02'< + >+xxb ax xxxaxxx f. Exercitiul nr.6:Sa se precizeze
punctele de discontinuitate si felul lor pentru functiile :a). R R
f :, ( )'< >0,10,0 0,1 xxxx f;( functia signum (semn))b). R R
f :, ( )'0,00, 1sinxxxx f;c).[ ) R f ; 0 : , ( ) [ ] x x f ; (
functia parte intreaga )d). R R f :, ( )'0,00,1
xxxx f.
Exercitiul nr.7:Sa se precizeze punctele de discontinuitate si
felul lor pentru functiile :a). R R f :, ( )'> +1 ,31, 52xxxx
f;b). R R f :, ( )'0, 0 0, 1sin1 xxx xx f;c). R R f :, ( )' < +2
,12,3xx -xx f;d). R R f :, ( )'0, 0 0, 1osxxxcx f;e).[ ] R f 1 ; 0
: , ( ) [ ] x x f 3 ;f). R R f :, ( )' Q R xQ xx f,0,1 . Exercitiul
nr.8:Sa se studieze continuitatea laterala pentru functiile si
punctele indicate :a). R R f :, ( ) 1 ,1, 1 31, 32'> + ax xxx xx
f;b). R R f :, ( ) [ ] x x f 3 ,21t a ;c). R R f :, ( ) 1 ,1,1
1,11'axxex fx ;d). R R f :, ( ) 1 ,1, 1 3 -1, 5 32 ' + > ax xxx
xx f;e). R R f :, ( ) 0 ,0 , 1 2 0, 12'< + + ax x-xx xx ff). R R
f :, ( )( )2 ,2 ,22 sin12, 22, 21'axxxxxex fx ;g).[ ] R f 3 ; 1 : ,
( ) [ ] 2 ,2 axx f;h). R R f :, ( )( )1 ,1 , 1 ln1 , 11 21' + 1, 0
1, 1 2 2xxxx f;c).( ) [ ] x x f ;d).( )'0, 10, sin
xxxxx f;e).( )' Q R xxQ x xx f, 2
,3 ;f).( )x ex fxsin+ ;g).( )12 xx f;h).( )'< +0,10,2 x xxx
fx ;i).( )' < 1, 2 1,3 2x xx xx f;j).( )'2,3 2, 41
2,21 2xxxxxx f. Exercitiul nr.2:Sa se arate ca ecuatiile de mai
jos admit cel putin o radacina in intervalul indicat :a).[ ] 1;1 -,
0 12 5 +x x b).( ) [ ] 1 ; 0, 0 1 + x e xx c).[ ] ; 0,0 cos 2 sin x
xd).0, 0 5 73 13> + xx x e).[ ] 1 ; 0, 237473
,_
+
,_
x x f).( ) [ ] 1 ; 0,sin cos 1 x x x g).,_
+2; 0,0 lnx x xh).( ) 1 ; 0, 0 1 2 xxx i). N nxx xn *,2; 0, 0 1
sin
,_
j).[ ] 3;4, 22x xk).[ ] 2 ; 2, 42 x l).[ ] 0 ; 1, 12 + +x x m).[
] 2 ; 0,1 x.