FOURIER SERIES RANGKAIAN ELEKTRIK - dinus.ac.iddinus.ac.id/repository/docs/ajar/Fourier_Series.pdf · TUJUAN PERKULIAHAN Mahasiswa mampu melakukan rekonstruksi sinyal gelombang dengan

FOURIER SERIES(PENGANTAR TRANSFORMASI FOURIER )

RANGKAIAN ELEKTRIK

PRODI TEKNIK ELEKTRO 2017

By : Gutama Indra

电子工程学院

TUJUAN PERKULIAHAN

Mahasiswa mampu melakukan rekonstruksi sinyal gelombang dengan menggunakanteorema deret Fourier

Jika diketahui sebuah sinyal dengan fungsi 𝑓 𝑡 , bagaimana cara kita membentuk ulang

(merekonstruksi dengan pendekatan) sinyal yang tersebut dengan menggunakan pendekatan

“material” penjumlahan sinus dan cosinus ?

FOURIER GO EMBEDDED

Teorema Fourier sangat populer

digunakan pada perangkat embedded

system.

Pada umumnya digunakan untuk

keperluan Digital Signal Processing

(DSP).

Benchmarking table

FOURIER IMPLEMENTATION

SpectrometerFFT Chip developed by CSIRO

http://collectionsearch.nma.gov.au/object/218330

FOURIER SERIES ?Deret fourier menguraikan sebuah sinyal periodik yang dihasilkan dari sebuah fungsimenjadi penjumlahan sinyal sinus dan cosinus.

Sebuah deret Fourier dengan period sebesar 𝑇 adalah penjumlahan tak hingga darisebuah fungsi sinusoid (sinus dan cosinus), dengan besar frekuensi masing-masing

kelipatan dari1

𝑇

𝑓 𝑥 =1

2𝑎0 +

𝑚=1

∞

𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 +

𝑛=1

∞

𝑏𝑛𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥

=

𝑚=0

∞

𝑎𝑚𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 +

𝑛=1

∞

𝑏𝑛sin 𝑛𝑥

Konstanta 𝑎𝑚 dan 𝑏𝑛 disebut dengan koefisien deret fourier

KOEFISIEN FOURIER

𝑔 𝑡 =1

2𝒂𝟎 +

𝑚=1

∞

𝒂𝒎 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 +

𝑛=1

∞

𝒃𝒏𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥

𝑎0 =1

𝜋 −𝜋

𝜋

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏𝑛 =1

𝜋 −𝜋

𝜋

𝑓 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑡𝑎𝑚 =1

𝜋 −𝜋

𝜋

𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑡

Dimana 𝑎0, 𝑎𝑚 dan 𝑏𝑛 adalah koefisien fourier. Koefisien – koefisien ini adalah “pengendali”

utama dalam merekontruksi sebuah sinyal.

Untuk menentukan 𝑎0, 𝑎𝑚 dan 𝑏𝑛digunakan formula berikut ini:

Untuk menetukan jenis “pengendali” mana yang dipakai untuk merekonstruksi gelombang, maka harus

dilakukan klasifikasi sinyal berdasarkan sifat simetrisnya.

SIFAT SIMETRI GELOMBANGSimetri Genap

Simetri genap direpresentasikan oleh fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥)

Jika sinyal gelombang yang akan direkontruksi

mempunyai sifat simetri genap, maka harus

direkonstruksi dengan menggunakan deret

fourier Cosinus.

𝑎𝑚 =1

𝜋 −𝜋

𝜋

𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑡

𝑓 𝑥 =1

2𝑎0 +

𝑚=1

∞

𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥

Dengan nilai 𝑎𝑚

SIFAT SIMETRI GELOMBANG

Simetri Ganjil

Simetri ganjil direpresentasikan oleh fungsi 𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥)

Jika sinyal gelombang yang akan direkontruksi

mempunyai sifat simetri genap, maka harus

direkonstruksi dengan menggunakan deret

fourier Sinus.

𝑓 𝑥 =

𝑛=1

∞

𝑏𝑛𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥

𝑏𝑛 =1

𝜋 −𝜋

𝜋

𝑓 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑡

Dengan nilai 𝑏𝑛

CONTOH REKONSTRUKSI GELOMBANG

Diketahui fungsi gelombang kotakberikut ini:

Carilah koefisien fourier darigelombang tersebut kemudian lakukanrekonstruksi!

𝑓 𝑥 = 1, 0 < 𝑥 < 𝜋

−1, −𝜋 < 𝑥 < 0(𝑥)

Gelombang kotak tersebut adalah gelombang ganjil (odd), maka representasi dari deret fouriernya adalah

sebagai beirkut ini:

𝑓 𝑥 =

𝑛=1

∞

𝑏𝑛 sin (𝑛𝑥)

𝑏𝑛 =1

𝜋 −𝜋

𝜋

𝑓 𝑥 sin(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 , 𝑛 = 1,2,3, …

𝑓 𝑥 = 1, 0 < 𝑥 < 𝜋

−1, −𝜋 < 𝑥 < 0

𝑏𝑛 =1

𝜋

−𝜋

𝜋

𝑓 𝑥 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑏𝑛 =1

𝜋 −𝜋

0

−1 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥)) +1

𝜋 0

𝜋

1 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥

𝑏𝑛 =1

𝑛𝜋cos 𝑛𝑥

0

−𝜋−

1

𝑛𝜋𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥

𝜋

0=

1

𝑛𝜋1 + 1 −

1

𝑛𝜋(−1 − 1)

𝑏𝑛 =4

𝑛𝜋

𝑓 𝑥 =

𝑛=1

∞4

𝑛𝜋sin(𝑛𝑥)

(𝑥)

CONTOH REKONSTRUKSI GELOMBANG

deret_fourier.m

Proses pada saat iterasi Hasil Akhir

FENOMENA GIBBS

Fenomena gibbs adalah efek riak yang terjadi pada bagian pojok padagelombang kotak (berlingkaran merah).

Karena deret fourier bersifat infinite atautak hingga dan kita harus berhenti di jumlah perulangan tertentu maka terjadiefek osilasi (karena belum tuntas).

Efek gibbs dapat diminimalisasi denganmenambahkan jumlah iterasi atauperulangan.

FENOMENA GIBBS

𝑓 𝑥 =

𝑛=1

2004

𝑛𝜋sin(𝑛𝑥) 𝑓 𝑥 =

𝑛=1

5004

𝑛𝜋sin(𝑛𝑥)

FENOMENA GIBBS

𝑓 𝑥 =

𝑛=1

20004

𝑛𝜋sin(𝑛𝑥)

• Efek gibbs menghasilkan riak yang membuat

rekonstruksi sinyal menjadi kurang sempurna.

• Untuk mengatasi efek gibss dapat

meningkatkan jumlah iterasi.

• Menaikan jumlah iterasi berefek

memperlambat system komputasi.

Bentuk yang paling mendekati setelah 2000 iterasi

再见 - SEKIAN