FISIKA Bab 1 Vektor

Boat template

VEKTOR1SUB POKOK BAHASANDefinisi VektorPenjumlahan vektorVektor SatuanPenjumlahan vektor secara analitisPerkalian SkalarPerkalian VektorSasaran PembelajaranMahasiswa mampu mencari besar vektor, menentukan vektor satuanMahasiswa mampu menyelesaikan operasi-operasi vektorSyarat Kelulusan100 %49/6/2011Fisika I5Definisi Vektor

abRPerpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah di atas huruf (misal ) Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal. Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. 9/6/2011Fisika I6PENJUMLAHAN VEKTORPenjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c.Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua.bcaRSTT = R + S9/6/2011Fisika I7BESAR VEKTOR RESULTANJika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan :

Sudut menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S RSTT = R + S(1.1)9/6/2011Fisika I8PENGURANGAN VEKTORUntuk pengurangan vektor, misal A B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan. AB-BDD = A B 9/6/2011Fisika I9CONTOHSebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 kmkemudian bergerak ke Barat sejauh 40 kmSelanjutnya bergerak ke Selatan sejauh 10 km.Tentukan besar perpindahan mobil tersebut !NEU20 km40 kmBS10 km9/6/2011Fisika I10CONTOHJawab :40 km10 km20 km10 km40 kmABCD = A + B + CJika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D.Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah :

9/6/2011Fisika I11VEKTOR SATUANVektor satuan didefenisikan sebagai :

Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R.Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan.Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positifVektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positifVektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif(1.2)9/6/2011Fisika I12PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS

Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + RzkBesar vektor R adalah : RRyRzRxVektor dalam 2 Dimensi

Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat. 9/6/2011Fisika I13CONTOHSebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan :Vektor perpindahan dinyatakan secara analitisSudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X Panjang vektorJawab :(2,2)(-2,5)xyVektor perpindahan :R = (xujung xpangkal)i + (yujung ypangkal)jR = (-2 2)i + (5 2)j = -4i + 3jpangkalujungRxRya.9/6/2011Fisika I14CONTOH

(2,2)(-2,5)xypangkalujungRxRyb.Besar vektor R =

c.satuanSudut yang dibentuk :9/6/2011Fisika I15PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITISJika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :R = (x0 + +xi + +xn)i + (y0 + +yi + +yn)j xAxByAyBABxA + xBA + BAByA + yB(1.3)9/6/2011Fisika I16CONTOHDiketahui dua buah vektor. A = 3i + 2j B = 2i 4j Tentukan : a. A + B dan A + Bb. A B dan A BJawab :a. A + B = 3i + 2j + 2i 4j = 5i 2j A + B =

b. A B = 3i + 2j (2i 4j) = i + 6j A B =

ABA + B-BA B9/6/2011Fisika I17SOAL1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya!Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh vektor satuannya 3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA = 10 satuan !

4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan : a. A + B - C b. A + B + C9/6/2011Fisika I18SOLUSIR = Rxi + RyjDiketahui :Rx = R cos = 4 cos 60o = 2 satuanRy = R sin = 4 sin 60o = 2 satuanDengan demikian R = 2i + 2 j satuanVektor satuan :r = cos 60o + sin 60o = i + j

60o XYR

1.

9/6/2011Fisika I19SOLUSI

XYR152R = (x2 x1) i + (y2 y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan titik akhir (x2,y2) = (5,0). Dengan demikian vektor R = 4 i 2 j.R = c. 2.9/6/2011Fisika I20SOLUSI4.a. A + B C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4jb. A + B + C = 2i + 4j - 7i + 8j = -5i + 12j -5i + 12j = = 13 satuan

3.Besar vektor A = = 5 satuanDengan demikian nilai c = 2 satuan

9/6/2011Fisika I21PERKALIAN SKALARPerkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :A . B = AB cos (1.4)Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k, maka : A . B = axbx + ayby + azbz (1.5)Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain.AB9/6/2011Fisika I22PERKALIAN SKALAR

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0Perhatikan animasi di samping ini !9/6/2011Fisika I23CONTOH

Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i 2j. Tentukan sudut antara vektor A dan B !Jawab :ABUntuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4). A . B = (3i + 4j) . (4i 2j) = 3.4 + 4.(-2) = 4Besar vektor A =

Besar vektor B =

Dengan demikian = 79,7oAB9/6/2011Fisika I24PERKALIAN VEKTORPerkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :A B = C(1.6) Besar vektor C adalah :C = AB sin (1.7)Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A B tidak sama dengan B A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan. BBAAC = A BC = B AC = -C9/6/2011Fisika I25PERKALIAN VEKTORPerlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i i = j j = k k = 0 i j = k ; j k = i; k i = j j i = -k ; k j = -i; i k = -j

Perhatikan animasi di samping ini !9/6/2011Fisika I26PERKALIAN VEKTOR

Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut.Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :9/6/2011Fisika I27CONTOHDiketahui dua buah vektor. A = 3i + 4j B = 4i 2j + kTentukan : a. A B b. Buktikan A B = -B AJawab :A B = (3i + 4j) (4i 2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 6k + 3(-j) + 16(-k) 8.0 + 4i = 4i 3j 22ka.B A = (4i 2j + k) (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k 6(-k) 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A B terbuktib.9/6/2011Fisika I28SOALTentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j k dan vektor B = 3 i 4 k !Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j k terhadap arah vektor B = i + 3 j 4 k ! 3. Diberikan tiga buah vektor : A = 1 i + 2 j kB = 4 i + 2 j + 3 kC = 2 j 3 k Tentukan : a. A . (B C) b. A . (B + C) c. A (B + C)4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah tegak lurus ! 9/6/2011Fisika I29SOLUSI

Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A :

1.Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh :

Dengan demikian = 55,1oBesar vektor B :2.ABABPanjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya :

9/6/2011Fisika I30SOLUSIB C = (4i + 2j + 3k) (2j 3k) = 8(i j) 12(i k) 6(j k) + 6(k j) = 8k + 12j 12iA . (B C) = (i + 2j k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 8 = 4 3.a.B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j k).(4i + 4j) = 12b.A (B + C) = (i + 2j k) (4i + 4j) = i 4j 4kc.Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh : R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0 R . S = RxSx + RySy + RzSz Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka : R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0 4.9/6/2011Fisika I31BESARAN FISISSetiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya.

S = f(x1, x2, . . . , xn)(1.8)

S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada.

Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja.9/6/2011Fisika I32BESARAN FISISTinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x.Dari grafik di samping diketahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1. Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.yxx1x2x3x4y1y2y39/6/2011Fisika I33BESARAN FISISDi bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu. t (detik)x (meter)09142130415469716825936

x(t) = (t 3)29/6/2011Fisika I34BESARAN FISIS

Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.

r (m)E (N/C)1922,253140,562550,3660,2570.183780,140690,1111100,099/6/2011Fisika I35CONTOHSebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x !

xFF =kx9/6/2011Fisika I36 Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :Q(t) = q(1 e-At)dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t !2.CONTOH

tQ = q(1 e-At)Qq9/6/2011Fisika I37DIFERENSIALDiferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM. Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu. f(x)xcc+hf(c+h)f(c)Garis singgungLihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan oleh persamaan :P

(1.9)9/6/2011Fisika I38DIFERENSIAL

Jika x = c dan x = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi : (1.10)Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh : f(x)Dxy

Berlaku untuk turunan :Dx(cf(x)) = c Dxf(x)c : konstanta (1.11a)Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x)(1.11b)Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x))(1.11c)Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x)(1.11d)Dx(xn) = nXn-1(1.11e)9/6/2011Fisika I39DIFERENSIAL

Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk :Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh :

9/6/2011Fisika I40CONTOHMuatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :Q(t) = q(1 e-At)dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan : Fungsi arus sebagai waktu Besar arus saat t = 0 Gambarkan grafik I(t)Jawab :

Besar arus I :a.Pada saat t = 0 harga I adalah : I = qAe-A.0 = qAb.

qAI(t)tc.9/6/2011Fisika I41INTEGRALIntegral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x.

x0xx1x2x3x4x5x6x7Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x 3)2 + 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8.9/6/2011Fisika I42Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan :A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x INTEGRAL

Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi.Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga.

9/6/2011Fisika I43INTEGRAL

Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain.Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk : Sebagai contoh :Usaha = Gaya jarakFluks = Medan luas

9/6/2011Fisika I44CONTOHSebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan : Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu Jawab :Usaha yang dilakukan :

a.

W =kx2Wxb.9/6/2011Fisika I45SOALSebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan B = 5.103 N/m2. Tentukan : Grafik F terhadap x Perubahan Gaya F terhadap jarak Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm1.Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak.2.x (m)1084V (volt)Tentukan :Fungsi potensial V sebagai fungsi xJika diketahui medan listrik E adalah turunan pertama dari potensial listrik V, tentukan fungsi E(x)Gambarkan grafik E terhadap x9/6/2011Fisika I46SOALSebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t 2t2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan : Gambarkan grafik v(t) Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t) Gambarkan grafik a(t) Fungsi posisi x(t) terhadap waktu Posisi saat kecepatan v = 03.9/6/2011Fisika I47SOLUSI

x (cm)F (N)1. a.Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh

= A 2Bx = 103 104x1. b.9/6/2011Fisika I48SOLUSIUsaha yang dilakukan :

W = 36.10-4A 234.10-6B = 2,43 Joule1. c.2. a.Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b.Untuk titik (0,4)0.a + b = 4Untuk titik (10,8)10.a + b = 81084V (volt)x (m)Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 49/6/2011Fisika I49SOLUSIMedan listrik E(x) =

Dengan demikian nilai E(x) konstan. x (m)E (V/m)2,52. b.2. c.

x (m)v (m/s)3. a.= 2,59/6/2011Fisika I50SOLUSIKecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 2.32 = 12 m/s. 3. b.Percepatan a(t) =

= 10 4t3. c.

x (m)a (m/s2)3. d.9/6/2011Fisika I51SOLUSIFungsi posisi x(t) =

3. e.Saat v = 10t 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik posisi x di :

Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m3. f.x(5) = Colour schemeBackgroundText &LinesShadowsTitleTextFillsAccentAccent &HyperlinkFollowedHyperlink52Sample Graph (3 colours)

53Picture slideBullet 1Bullet 2

54Process FlowBullet 1Bullet 2Bullet 3

Bullet 1Bullet 2Bullet 3

Bullet 1Bullet 2Bullet 3

Bullet 1Bullet 2Bullet 3

Bullet 1Bullet 2Bullet 3

PlanDesignBuildTestEvaluate55Example of a tableTitleTitleDataDataNote: PowerPoint does not allow you to have nice default tables - but you can cut and paste this one56Examples of default stylesText and lines are like thisHyperlinks like thisVisited hyperlinks like thisTableText boxText boxWith shadow57Use of templatesYou are free to use these templates for your personal and business presentations.DoUse these templates for your presentations.Display your presentation on a web site provided that it is not for the purpose of downloading the template.If you like these templates, we would always appreciate a link back to our website. Many thanks.

DontResell or distribute these templates.Put these templates on a website for download. This includes uploading them onto file sharing networks like Slideshare, Myspace, Facebook, bit torrent etc.Pass off any of our created content as your own work.You can find many more free PowerPoint templates on the Presentation Magazine website www.presentationmagazine.com We have put a lot of work into developing all these templates and retain the copyright in them. You can use them freely providing that you do not redistribute or sell them.58