BAB 4 VEKTOR

BAB 4VEKTO

RHome

PENDAHULUAN

Vektor di R2

Vektor di R3

PETA KONSEP

Perkalian Skalar Dua Vektor

Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain

Soal-Soal

45O

a

x

y

o

Home

VEKTOR

PENDAHULUAN

Dalam ilmu pengetahuan kita sering menjumpai

besaran yang dapat dinyatakan suatu bilangan

disertai satuan yang dinamakan besaran skalar. Di

samping itu ada besaran yang selain dinyatakan

dengan suatu bilangan disertai satuan juga mempuai

arah yang dinamakan Vektor. Vektor digunakan

sebagai alat bantu untuk menunjukan besar dan arah

suatu gaya.

Home

PETA KONSEP

VEKTOR

Vektor di R2 Vektor di R3

Operasi

Aljabar pada

Vektor

• Penulisan Vektor• Vektor Basis• Vektor Satuan

Proyeksi Ortogonal

Vektor pada Vektor lain

• Penjumlahan• Pengurangan• Perkalian Vektor

Perkalian Skalar 2 Vektor

Sifat-sifat Operasi

Aljabar pada Vektor

Home

Vektor di R2 adalah vektor yang terletak pada bidang

datar. Vektor di R2 dapat digambarkan pada bidang

kartesius. Secara geometri, suatu vektor digambarkan

dengan anak panah yang mempunyai titik pangkal

dan titik ujung.

1. PENGERTIAN VEKTOR DI R2

Vektor di R2

Next Home

Panjang anak panah

menyatakan besar vektor,

sedangkan arah anak panah

adalah arah vektor.

Vektor pada gambar disamping merupakan vector

dengan panjang 3 satuan dan arahnya 30o dari

sumbu X positif.

Vektor di R2

Next Back Home

A. NOTASI VEKTOR

Suatu vektor dapat ditulis dengan beberapa cara ;

1. Menggunakan huruf kecil yang dicetak tebal,

misalnya a, b ,c,….y, z

2. Menggunakan huruf kecil dengan tanda anak

panah diatasnya, misalnya a , b ,c,…

3. Menggunakan huruf kecil dengan tanda garis di

bawahnya, misalnya a, b, c,…

Vektor di R2

Next Back Home

B. VEKTOR POSSISIY

X

O

D

B

C Diberikan suatu persegi panjang

OBCD yang terletak pada

bidang cartesius dengan OB = 8

satuan panjang dan BC = 6 satuan panjang

seperti gambar di samping. Koordinat titik B

adalah (8,0) maka vektor posisi titik B terhadap

O adalah b = ‹8,0›. Koordinat titik C adalah

Vektor di R2

Next Back Home

C(8,6) maka vektor posisi C terhadap O adalah c =

‹8,6›. Koordinat titik D adalah D(0,6) sehingga

vektor posisi titik D terhadap O adalah d = ‹0,6›.

Vektor di R2

Dari hasil tersebut, yang dimaksud vektor posisi dari

suatu titik terhadap O adalah vektor yang titik

pangkalnya terletak pada pangkal koordinat O(0,0)

dan titik ujungnya adalah titik itu sendiri.

Next Back Home

Dari uraian diatas tampak bahwa suatu vektor di R2

ditentukan oleh komponen mendatar dan komponen

vertikal. Komponen mendatar bernilai positif jika

arahnya dari kiri ke kanan dan negatif jika arahnya

dari kanan ke kiri. Selanjutnya, komponen vertikal

bernilai positif jika arah vektor dari bawah ke atas dan

negatif jika arahnya dari atas ke bawah

Vektor di R2

Next Back Home

C. Panjang atau Besar Vektor

Perhatikan gambar disamping.

Dengan menggunakan

teorema Phytagoras dapat

ditentukan panjang atau besar

vektor OC = √82+62 = √100 =

10

X

O 8

y

6C

Vektor di R2

Next Back Home

2. OPERASI ALJABAR PADA VEKTOR

A. Kesamaan Dua Vektor

Dua vektor dikatakan sama apabila keduanya

mempunyai besar dan arah yang sama. Misalnya

diberikan dua vektor u = ‹u1 , u2› dan v = ‹v1 , v2›.

Vektor u = v jika u1 = v1 dan u2 = v2

Vektor di R2

Next Back Home

B. Penjumlahan Vektor

a

b

Misalkan vektor c adalah hasil

penjumlahan vektor a dengan

vektor b, ditulis c = a + b.

Vektor c dinamakan resultan dari vektor a dan

vektor b. Besar vektor c dapat ditentukan dengan

aturan segitiga dan aturan jajargenjang.

Vektor di R2

Next Back Home

1). Aturan segitiga

Diketahui dua buah vektor

seperti gambar di atas. Untuk

a b

c = a + b

mendapatkan vektor c = a + b, vektor b

dipindahkan sedemikian rupa, sehingga titik

pangkalnya berimpit dengan titik ujung vektor a.

vektor c = a + b adalah suatu vektor yang

pangkalnya merupakan titik pangkal vektor a dan

ujungnya merupakan titik ujung vektor b.

Vektor di R2

Next Back Home

2). Aturan jajargenjang

Cara lain untuk

mendapatkan vektor c = a

+ b adalah dengan

a

b

c = a + b

memindahkan vektor b sedemikian rupa

sehingga titik pangkalnya berimpit dengan

titik pangkal vektor a. Vektor c = a + b

yang kita cari adalah vektor yang titik

pangkalnya dititik pangkal vektor a dan b

serta berimpit dengan diagonal

jajargenjang yang dibentuk oleh a dan b.

Vektor di R2

Next Back Home

C. Vektor nol dan lawan suatu vektor

Vektor nol adalah suatu vektor yang panjangnya

sama dengan nol dan arahnya sembarang. Vektor

nol dinotasikan dengan 0 = ‹0, 0›. Lawan suatu

vektor a adalah suatu vektor yang apabila

a-a

dijumlahkan dengan vektor a menghasilkan vektor 0. Lawan

vektor a dapat ditulis –a yaitu suatu vektor yang panjangnya

sama dengan vektor a tetapi arahnya berlawanan dengan

vektor a, seperti gambar disamping.

Vektor di R2

Next Back Home

D. Sifat-sifat Penjumlahan

Jika a, b, dan c, adalah vektor-vektor sembarang,

pada operasi penjumlahan vektor berlaku sifat-sifat

Vektor di R2

1. Komutatif a + b = b + a

2. Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c)

3. Terdapat unsur identitas, yaitu vektor o sehingga

a + 0 = 0 + a = a

4. Setiap vektor mempunyai invers. Invers dari a adalah

–a sehingga a +(-a)= -a + a = 0

Next Back Home

E. Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor dapat dilakukan dengan

menggunakan pengertian invers jumlah suatu

vektor.

a – b = a + (-b)

ab a

-ba-b

(a) (b)

Misalkan diketahui vektor a dan b pada gambar (a).

Vektor a – b diperoleh dengan cara menjumlahkan

vektor a dengan lawan vektor b, seperti gambar (b)

Vektor di R2

Next Back Home

CONTOH SOAL

Tentukan AB, CD, dan EF pada gambar disamping !

Penyelesaian ;

Komponen mendatar 3

Komponen vertikal 2

Vektor AB = (3,2)

Dengan cara yang sama,

A

B

F

ED

C

Vektor di R2

diperoleh vektor CD= (5,1) dan EF=(-4,1)

Next Back Home

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika a adalah suatu vektor dan k adalah bilangan real

(skalar), perkalian antara vektor a dengan skalar k

ditulis sebagai ka, yaitu suatu vektor yang panjangnya

sama dengan |k| kali panjang vektor a dengan arah ;

a. Untuk k>0 maka ka searah dengan vektor a.

b. Untuk k<0 maka ka berlawanan arah dengan vektor

a. Jika a = (a1, a2) maka ka = (ka1, ka2)

A. Pengertian Perkalian Vektor dengn Skalar

Vektor di R2

Next Back Home

B. Sifat-sifat Perkalian Vektor dengan Skalar

Misalkan vektor a dan b adalah vektor

sembarang, sedangkan k dan l adalah sembarang

skalar. Perkalian vektor dengan skalar memenuhi

sifat-sifat berikut ;

1. |ka|=|k||a|

2. k(-a)=-ka

3. ka = ak

4. (kl)a = k (la) = a (kl)

5. (k + l)a = ka + la

6. K(a + b) = ka + kb

Vektor di R2

Next Back Home

CONTOH SOAL

Diketahui segitiga ABC dengan ruas0ruas garis berarah AC dan

AB berturut-turut mewakili vektor c dan b. Ruas garis PQ

menghubungkan titik P dan Q, dengan P adalah titik tengah AC

dan Q adalah titik tengh BC. Nyatakan QC dalam b dan c.

Penyelesaian ;

Perhatika QC = ½ BC

BC = AC – AB

= c – b

Dengan demikian QC = ½ (c – b)

A B

P Q

C

Vektor di R2

Next Back Home

4. Perkalian Skalar Dua Vektor

A. Pengertian Perkalian Skalar Dua Vektor

Perkalian vektor dengan vektor dinamakan

perkalian skalar dua vektor atau perkalian titik

antara dua vektor (dot product). Misalkan diberikan

sembarang vektor bukan nol yaitu a dan b. hasil

kali dari vektor a dan b ditulis a . b, didefinisikan

sebagai berikut ; a . b = |a||b| cos θ

Vektor di R2

Next Back Home

Dengan θ sudut terkecil yang dibentuk oleh a dan

b. Hasil kali titik dari vektor a dan b merupakan

suatu skalar.

Jika a = (a1 , a2) dan b = (b1 , b2) maka hasil kali

titik dari vektor a dan b adalah

a . b = a1b1 + a2b2

Vektor di R2

Next Back Home

B. sifat-sifat Perkalian Skalar Dua Vektor

Jika u, v dan w adalah vektor-vektor sembarang

dan k suatu skalar , berlaku sifat-sifat sebagai

berikut ;1. u . v = v . u

2. u . (v + w) = u . v + u . w

3. k (u . v) = (ku) . v = u .(kv)

4. 0 . v = v . 0 = 0

5. u . u = |u|2

Vektor di R2

Next Back Home

C. Teorema Ortogonalitas

Dari rumus dot product, diperoleh teorema

ortogonalitas yaitu dua vektor bukan nol

dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan

hanya jika perkalian skalar kedua vektor itu

hasilnya sama dengan nol. Jadi vektor u dan v

tegak lurus jika dan hanya jika ;

u . v = 0

Vektor di R2

Next Back Home

CONTOH SOAL

Tentukan nilai a agar vektor u =(8,a) dan vektor

v =(3,4) saling tegak lurus .

Penyelesaian ;

Dua vektor tegak lurus jika hasil kali titik kedua

vektor itu sama dengan nol, sehingga u . v = 0

24 – 4a = 0

4a = 24 ↔ a = 6

Vektor di R2

Next Back Home

5. Vektor Basis di R2

Misalkan terdapat vektor î =(1,0) dan ĵ = (o,1).

Dengan memandang komponen-komponen pada

vektor tersebut tampak bahwa kedua vektor itu

saling tegak lurus dan besar kedua vektor tersebut

adalah |î| =|ĵ| = 1. setiap vektor u = (u1, u2) dapat

dinyatakan secara tunggal oleh î dan ĵ, yaitu u=

(u1,u2)= u1(1,0)+ u2(0,1)= u1î + u2ĵ

Vektor di R2

Next Back Home

Dalam hal ini, vektor î dan ĵ dinamakan vektor basis

di R2 pada arah sumbu X positif dan sumbu Y positif.

Karena î dan ĵ mempunyai panjang satu satuan,

vektor î dan ĵ berturut-turut disbut vektor satuan pada

arah sumbu X positif dan sumbu Y positif.

Vektor di R2

Next Back Home

6. Vektor Satuan Di R2

Dalam subbab sebelumnya kita telah mengenal

vektor-vektor yang searah sumbu X positif dan

sumbu Y negatif, yaitu vektor satuan î dan ĵ.

Vektor di R2

Sebagai contoh, vektor yang

mewakili ruas garis berarah OP pada

gambar disamping dapat dinyatakan

sebagai OP = (3,2) atau OP = 3î + 2ĵ

p

y

xo

Next Back Home

Vektor di R2

â = a = 1 (x,y)

|a| √x2 + y2

î = (1,0) ; ĵ = (0,1)

Selanjutnya, kita juga dapat menentukan vektor

satuan yang searah dengan vektor a yang bukan

vektor nol. Vektor satuan yang searah dengan a

adalah suatu vektor yang besarnya 1 satuan dan

arahnya searah dengan vektor a. jika a =(x, y), vektor

satuan dari a, ditulis â, adalah sebagai berikut.

Next Back Home

Vektor di R2

CONTOH SOAL

Tentukan vektor satuan dari vektor a = (-3,4)

Penyelesaian ;

Panjang vektor a adalah |a| = √(-3)2 + 42 = √25 = 5

Vektor satuan dari a adalah â = (-3/5 , 4/5)

Vektor â panjangnya 1 satuan. Hal ini dapat kita

tunjukkan dengaan cara berikut ;

|â| = √(-3/5)2 + (4/5)2 = 1

Back Home

Jika vektor pada bidang dikatakan vektor d R2, vektor

pada ruang dikatakan vektor di R3.

1. Sistem Koordinat Ruang

Vektor-vektor dalam ruang dapat digambarkan dalam

sistem koordinat ruang yang terdiri dari sumbu X,

sumbu Y dan sumbu Z yang saling berpotongan di

titik pangkal O

Vektor di R3

Next Home

Sumbu X positif, sumbu Y positif dan sumbu Z

positif ditetapkan dengan kaidah tangan kanan.

Ketiga sumbu itu membentuk tiga bidang yaitu

sumbu X dengan sumbu Y membentuk bidang XY,

sumbu X dengan sumbu Z membentuk sumbu XZ,

serta sumbu Y dengan sumbu Z membentuk sumbu

YZ.

Vektor di R3

Next Back Home

2. Penulisan Vektor di R3

z

y

xA B

CD

OE F

GH

3

4

2

Perhatiikan gambar disamping.

Koordinat titik A(3,0,0) vektor

posisinya terhadap titik O adalah a

= OA = (3,0,0).dengan cara yang

sama diperoleh

b = OB = (3,4,0); e = OE = (3,0,2); g = OG =

(0,4,2).

Vektor di R3

Next Back Home

3. Vektor Basis Di R3

Vektor basis pada sumbu X dinyatakan dengan î,

vektor basis pada sumbu Y dinyatakan dengan ĵ, dan

vektor basis pada sumbu Z dinyatakan dengan k.

dengan demikian, setiap vektor pada ruang dapat

dinyatakan dalam bentuk v = v1î +v2ĵ +v3k dengan v1,

v2, v3 adalah komponen vektor dari vektor v.

Vektor di R3

Next Back Home

y

A B

CD

OE F

GH

3

4

2Pada gamba disamping, vektor

yang mewakili garis berarah OF

dapat dinyatakan OF = (3, 4, 2)

Atau OF = 3î + 4ĵ + 2kx

z

4. Operasi Aljabar pada Vektor di R3A. Kesamaan Vektor

Jika a = b maka a1 = b1, a2 = b2 dan a3 = b3

Vektor di R3

Next Back Home

B. Penjumlahan Vektor

a + b = (a1 , a2 , a3) + (b1 , b2 ,b3) = (a1+b1 , a2+b2 ,

a3+b3)

Pada penjumlahan terdapat ;

1. Unsur identitas, yaitu vektor O = (0,0,0)

2. Lawan dari vektor a adalah –a = (-a1, -a2, -a3)C. Pengurangan Vektor

a – b = (a1, a2, a3) – (b1, b2, b3) = (a1-b1, a2-b2, a3-b3)

Vektor di R3

Next Back Home

D. Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika c = ka maka c = k (a1, a2, a3) = (ka1, ka2, ka3)

5. Pembagian Ruas Garis

A. Pengertian Perbandingan Ruas Garis

Misalkan titik T terletak pada ruas garis AB

sehingga membagi ruas garis tersebut dengan

perbandingan AT : TB = m : n.

Vektor di R3

Next Back Home

Tanda positif atau negatif m dan n menentukan letak

titik T pada ruas garis AB dengan pedoman ;

1. Jika m dan n bertanda sama (keduanya bertanda

positif atau negatif) maka titik T terletak di antara

titik A dan B (titik T membagi ruas garis AB).

2. Jika m dan n berlawanan tanda (m positif dan n

negatif atau sebaliknya) maka titik T terletak di

luar garis AB.

Vektor di R3

Next Back Home

41

5

-27

-2

A T B BA T T A B

Pada gambar diatas, titik T membagi ruas garis AB

dengan perbandingan sebagai berikut ;

1. Pada gambar (a), titik T membagi ruas garis AB

didalam, dengan perbandingan AT : TB = 1 : 4

2. Pada gambar (b), titik T membagi ruas garis AB di

luar, dengan perbandingan AT : TB = 5 : -2

(a) (b) (c)

Vektor di R3

Next Back Home

3. Pada gambar (c), titik T membagi ruas garis AB di

luar, dengan perbandingan AT : TB = -2 : 7

B. Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor

Misalkan ruas garis AB terletak pada bidang

sehingga vektor posisi titik A dan B berturut-turut

adalah a dan b. Titik T terletak pada ruas garis AB

dengan perbandingan AT : TB = m : n.

Vektor di R3

Next Back Home

Jika t adalah vektor posisi titik

T, vektor t dapat ditentukan

dengan rumus berikut ;

AT

B

O

mn

t = na + mb , m + n ≠ 0 n + m

a tb

Rumus ini juga berlaku apabila titik T membagi ruas

garis AB di luar sehingga m dan n berlawanan tanda.

Vektor di R3

Next Back Home

C. Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk

KoordinatMisalkan titik A (xA, yA, zA) dan B (xB, yB, zB).

Titik T (xT, yT, zT) membagi ruas garis AB,

dengan perbandingan AT : TB = m : n.

Koordinat titik T dapat ditentukan dengan

rumus berikut ;

Vektor di R3

Next Back Home

6. Panjang Vektor dalam Ruang

Misalkan vektor a terletak

didalam ruang sehingga a

= a1î + a2ĵ + a3k tampak

pada gambar disamping.

z

y

x

a1

a2

a3

a

Panjang vektor a dapat ditentukan dengan rumus ;

|a| = √a12 + a2

2 + a32

Vektor di R3

Next Back Home

7. Jarak Antara Dua Titik di R3

Misalkan titik A (xA, yA, zA) dan B (xB, yB, zB).

AB = b – a = (xA, yA, zA)- (xB, yB,

zB) = (xA- xB, yA- yB, zA- zB)

Dengan demikian , panjang vektor AB adalah

; |AB|=√(xA- xB)2 + (yA- yB)2 + (zA- zB)2

Vektor di R3

Next Back Home

8. Vektor Satuan di R3

Vektor satuan dari sembarang vektor a yang bukan

vektor nol di R3, yaitu vektor yang searah dengan

vektor dan a besarnya 1 satuan. Jika vektor

a=(x,y,z), vektor satuan dari a dapat ditentukan

dengan rumus ;

â = a = 1 (x,y,z) |a| √x2 + y2 + z2

Vektor di R3

Next Back Home

Vektor di R3

CONTOH SOAL

Tentukan vektor Satuan a = (-2, 6, -3)

Penyelesaian ;

|a| =√(-2)2 + 62 + (-3)2 = 7

â = 1/7 (-2,6,-3)

= (-2/7 , 6/7 , -3/7)

Back Home

1. Pengertian Perkalian Skalar Dua Vektor

Misalkan diberikan sembarang vektor bukan nol

yaitu a dan b. hasil kali titik vektor a dan b, ditulis a .

b didefinisikan sebaai berikut ;

a . b = |a||b| cos θ

Jika a =(a1, a2, a3) dan b=(b1, b2, b3) maka hasil kali

titik vektor a dan b adalah a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3


Next Home

2. Sifat-sifat Perkalian Skalar Dua VektorJika a, b dan c adalah sembarang vektor dalam ruang,

sedangkan k adalah sembarang bilangan real, berlaku sifat-

sifat ;


a. Komutatif, a . b = b . a

b. Distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan,

a . (b + c) = a . b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

c. k(a . b) = ka . b = a . kb

d. a . a = |a|2 ≥ 0

Next Back Home


3. Sudut Antara Dua Vektor

Misalkan a dan b adalah vektor di R2 dan θ adalah

sudut yang dibentuk oleh a dan b. hasil kali skalar

kedua vektor ini adalah a . b = |a||b|cos θ. Dari

rumus ini diperoleh rumus sebagai berikut ;

Cos θ = a . b

|a||b|

Next Back Home


Dalam bentuk vektor, rumus diatas sama dengan di

R2. hanya yang berbeda adalah bentuk aljabar.

Jika a =(a1, a2, a3) dan b = (b1, b2, b3) maka berlaku

rumus ;

Cos θ = a1b1 + a2b2 + a3b3

√a12 + a2

2 + a32 x √b1

2 + b2

2 + b32

Next Back Home


Jika u dan v masing-masing adalah vektor

satuan dan sudut yang dibentuk antara 60o,

tentukan nilai berikut ;

a. u . v b. u . (u + v)

CONTOH SOAL

Penyelesaian ;

a. u . v = |u||v| cos θ = 1.1 cos 60o =1/2

b. u . (u + v) = u . u + u . v

= 1 + ½ = 3/2

Back Home

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain

A

BO C

Dalam geometri bidang, proyeksi

ortogonal suatu ruas garis pada

ruas gari lain tampak seperti

gambar disamping.

Proyeksi titik O dan titik A pada ruas garis OB

masing-masing adalah titik O sendiri dan tiitik C. oleh

karena itu, proyeksi ortogonal ruas garis OA pada

ruas garis OB adalah ruas garis OC.

Next Home


1. Panjang Proyeksi OrtogonalA

BO C

θc b

aPada gambar disamping, ruas

garis berarah OA mewakili vektor

a, ruas garis berarah OB mewakili vektor b , dan

ruas garis berarah OC mewakili vektor c. sudut yang

dibentuk oleh vektor a dan vektor b adalah θ.

Proyeksi ortogonal OA pada OB adalah OC.

Next Back Home


Dari gambar diatas, tampak bahwa|c|=|a|cos θ,

sedangkan berdasarkan rumus antara dua vektor,

kita ketahui ; Cos θ = a . b

|a||b|Oleh karena itu,

|c|=|a| a . b

= a . b

|a||b| |b|Nilai |c| ini adalah panjang proyeksi dari vektor a

pada vektor b. karena a . b mungkin bernilai negatif,

sedangkan |c| tidak boleh bernilai negatif,

Next Back Home


maka pada ruas kanan rumus panjang proyeksi

ortogonal vektor a pada vektor b di atas diberi tanda

mutlak . Oleh karena itu , kita dapat rumuskan

sebagai berikut.

Jika |c| adalah panjang proyeksi ortogonal dari vektor

a pada vektor b maka berlaku rumus ;

|c| = a . b

|b|

Next Back Home


2. Proyeksi Vektor Ortogonal A

BO

θc b

a

C

Perhatikan gambar disamping,

ruas garis berarah OC mewakili

vektor c sehingga c merupakan proyeksi vektor a

pada b. vektor c dinamakan proyeksi ortogonal dari a

pada b. vektor c merupakan hasil kali |c| dengan

vektor satuannya, yaitu vektor yang panjangnya 1

satuan dan searah dengan c. Vektor satuan dari c

Next Back Home


dinotasikan ĉ. Karena c searah dengan b,

vektorsatuan dari c sama dengan vektor satuan dari

b. karena ĉ = b maka diperoleh rumus ;

c = |c|b c = a . b b

|b| |b|Jadi dapat kita simpulkan sebagai berikut,

Jika c adalah vektor proyeksi dari vektor a pada

vektor b maka berlaku rumus ; c = a . b b

|b|2

Next Back Home


CONTOH SOAL

Diketahui a = (2, 3, -1) dan b (3, -4, 5)

a. Panjang proyeksi ortogonal vektor a pada b !

b. Proyeksi a pada b !Penyelesaian ;

a. |u|=

b.

Back Home

Soal-Soal

• Soal 1

• Soal 2

• Soal 3

• Soal 4

• Soal 5

•Soal 6

• Soal 7

• Soal 8

• Soal 9

• Soal 10

Sekian Home

Soal-Soal1. Diketahui A(3,5,2) dan B(1,-2,6). Vektor posisi AB

adalah ?

a. (2, 7, 4) d. (2, -7, -4)

b. (-2, -7, 4) e. (2, 7, -4)

c. (-2, -4, -7)

2. Jika v = 2î + 4ĵ -√5k, panjang vektor tersebut adalah ?

a. 5 c. 7 e. 4

b. 6 d. 4√5

Soal-soal

Soal-Soal3. Agar vektor v = pî - 2ĵ + k dan u = 2pî + pĵ – 4k

saling tegak lurus, nilai p adalah ?

a. p= 1 atau p= 2 d. p= -1 atau p= -2

b. p=-2 atau p= 1 e. p= -1 atau p= 2

c. p= 1 atau p= -1

4. Jika P(3, -1, 2), Q(2, 4, 0) dan R(1, 3, -2) maka nilai

PQ . QR =……

a. 12 c. 14 e. 0

b.13 d. 16

Soal-soal

Soal-Soal

5. Diketahi titik A(1, 0, 2) dan B(4, 2, -3). Titik P terletak

pada AB sedemikian rupa sehingga AP : PB = 2 : 3.

Jika p vektor posisi titik P maka p =………

a. (9/5 , 4/5 , -12/5) d. (11/3, 4/3 , -4)

b. (11/5 , 4/5 , -12/5 ) e. (2 , -6 , 11/2)

c. (11/7 , 4/7 , -12/7)

Soal-soal

Soal-Soal

6. Panjang dari proyeksi vektor u=-√3 î + 3ĵ +k pada

vektor v= √3 î + pĵ +3k adalah 3/2. nilai p = ………..

a. 2 atau -2 c. -1 atau 1 e. 2 atau 3

b. 2 atau -1 d. 2 atau 1

7. Titik A(3, 2, -1), B(1, -2, 1) dan C(7, p-1, -5) segaris

untuk nilai p =…………

a. 13 c. 5 e. -13

b. 11 d. -11

Soal-soal

Soal-Soal

8. Diketahui vektor a =(3, -2, 4) dan b=(-5, 4, -1).

Vektor c untuk c = 2(3a-b) adalah….

a. (-22, 20, 16) c. (-22, 10, 18)

e. (28, -20, 26)

b. (-11, 20, 8) d. (22, -10, -16)

9. Vektor PQ = (2, 0, 1) dan vektor PR=(1, 1, 2). Jika

PS=1/2PQ maka vektor RS=……………

a. (0, -1, -3/2) c. (3/2, 1, 0) e.(1, -1, 1)

b. (-1, 0, -3/2) d. (1/2, 0, 1)Soal-soal

Soal-Soal

10.Jika vektor a dan vektor b membentuk sudut 60o ,|a|

=4, |b|= 3 maka a . (a – b)=……….

a. 2 d. 8

b. 4 e. 10

c. 6

Soal-soal

SELAMAT BELAJAR

Home

BENAR…!!!

SOAL-SOAL

SALAH !!!!

SOAL-SOAL

BAB 4 VEKTOR

Documents