VI[A TEHNI^KA [KOLA - S U B O T I C A
Dr. FIRSTNER STEVAN dipl.ing.
OOOTTTPPPOOORRRNNNOOOSSSTTT MMMAAATTTEEERRRIIIJJJAAALLLAAA (SKRIPTA)
SUBOTICA 2000.g.
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
1
PREDGOVOR
Iz oblasti otpornosti materijala studentima stoje na raspolaganju izvanredno napisane knjige ipriru~nici (jedan deo je dat u spisku kori{tene literature). Na`alost, pomenute knjige nisu uvekdostupne, ili im se obim i nivo bitno razlikuju od programa predvi|enog za Vi{e tehni~ke{kole.
Ovaj podsetnik (skripta) preporu~ujem studentima Vise tehni~ke {kole, po{to sadr`aj upotpunosti odgovara planu i programu [kole.
Trudio sam se da kori{ten metemati~ki aparat ne prevazilazi znanja ste~ena na kursevimamatematike na Vi{oj {koli. Izuzetno, ali samo u cilju jednostavnije deskripcije, koristio sammatri~ni i tenzorski ra~un.
Redosled obra|enog gradiva je tako postavljen da omogu}ava kontinualno pra}enje.Razumevanje gradiva podrazumeva poznavanje MATEMATI^KE ANALIZE i STATIKE navisoko{kolskom nivou.
Raspored gradiva po poglavljima je slede}i:
UVOD kratak istorijski pregled, predmet, hipoteze i osnovne zadatke otpornosti materijala.
1. POGLAVLJE karakteristike ravnih preseka
2. 3. i 4. POGLAVLJE naponska stanja, deformacije, veze napona i deformacija.
5. POGLAVLJE naponsko stanje greda
6. POGLAVLJE deformacije greda, metode deformacionog rada, teorija elasti~nih linija.
7. POGLAVLJE izvijanje greda
8. POGLAVLJE obrada stati~ki neodre|enih slu~ajeva
9. POGLAVLJE dimenzionisanje i hipoteze o slomu materijala.
Izlo`eno gradivo se odnosi samo na elemente i sisteme u stanju stati~ke ili dinami~keravnote`e, odnosno na ravne sisteme (prave grede, krive grede i grede sa izlomljenim osama -ramovi).
Uz svako poglavlje, kao ilustracija dat je po jedan numeri~ki primer.
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
2
SADR@AJ
PREDGOVOR..........................................................................1
KORI[TENE OZNAKE..............................................................9
UVOD.. ....................................................................................13
- Istorijski pregled ..................................................................................................14
- Predmet otpornosti materijala ..............................................................................18
- Hipoteze otpornosti materijala.............................................................................20
- Zadaci otpornosti materijala ................................................................................21
1. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH POVR[INA.. ......23
1.1. Generalisana geometrijska karakteristika .......................................................23
1.1.1. Povr{ina ..............................................................................................24
1.1.2. Stati~ki moment povr{ine ...................................................................25
1.1.3. Te`i{te i te`i{ni koordinatni sistem ....................................................25
1.1.4. Aksijalni momenti inercije .................................................................26
1.1.5. Centrifugalni momenti inercije ..........................................................27
1.1.6. Polarni moment inercije .....................................................................27
1.1.7. Otporni momenti ................................................................................27
1.1.8. Geometrijske karakteristike slo`enih povr{ina ..................................28
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
3
1.2. Promena vrednosti geometrijskih karakteristika ravnih povr{ina usled
translatornog pomeranja koordinatnog sistema.(Steinerova teorema) ............29
1.3. Promena vrednosti aksialnih momenata inercije ravnih povr{ina
usled rotacije te`i{nog koordinatnog sistema ................................................31
1.3.1. Glavni momenti inercije, glavne ose ..................................................33
1.3.2. Invarijante momenata inercije ...........................................................36
1.4. Geometrijska interpretacija momenata inercije (elipsa inercije) ...................36
2. NAPONSKA STANJA ..........................................................................50
2.1. Pojam napona .................................................................................................50
2.1.1. Pojam glavnih napona ........................................................................52
2.1.2. Teorema o konjugovanosti tangentnih napona ..................................53
2.2. Op{te prostorno naponsko stanje ....................................................................55
2.2.1. Izra~unavanje vrednosti normalnog napona .......................................58
2.2.2. Izra~unavanje vrednosti tangentnog napona ......................................58
2.2.3. Glavnih naponi i polo`aj glavnih ravni .............................................59
2.2.4. Izra~unavanje vrednosti napona u referentnoj
ravni pomo}u glavnih napona ............................................................62
2.3. Ravno naponsko stanje ...................................................................................63
2.4. Linearno naponsko stanje ...............................................................................66
2.5. Grafi~ka interpretacija napona ........................................................................69
2.5.1. MOHR-ovi krugovi ............................................................................69
2.5.1.1. Pozitivne vrednosti glavnih napona ......................................70
2.5.1.2. Vrednost jednog od glavnih napona je nula ..........................71
2.5.1.3. Vrednosti glavnih napona se po znaku razlikuju ...................71
2.5.2. A CULMAN-ov elipsoid ....................................................................73
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
4
3. DEFORMACIJE .. ..........................................................................82
3.1. Pojam deformacije ..........................................................................................82
3.1.1. Vektor deformacije .............................................................................85
3.1.2. Dilatacija ............................................................................................85
3.1.3. Ugao klizanja (ugaono pomeranje) ....................................................86
3.2. Prostorne deformacije .....................................................................................86
3.2.1. Deformacije pri prostornom naponskom stanju .................................91
3.2.2. Deformacije pri ravnom naponskom stanju .......................................92
3.2.3. Deformacije pri linearnom naponskom stanju ...................................92
3.2. Zapreminska dilatacija ....................................................................................93
4. VEZE IZME\U NAPONA I DEFORMACIJA .........................96
4.1. POISSON-ov koeficijent ................................................................................96
4.2. Generalisani HOOKE-ov zakon .....................................................................98
4.3. Veza izme|u modula elasti~nosti (E) i modula klizanja (G) ........................100
5. NAPONSKA STANJA RAVNIH GREDNIH NOSA^A . ...............103
- Op{te naponsko stanje ....................................................................104
- SAINT-VENANT-ov problem .......................................................106
5.1. Naponska stanja pravih greda .......................................................................108
5.1.1. Istezanje-pritisak...............................................................................108
5.1.1.1. Koncentracija napona ..........................................................113
5.1.1.2. Kontaktni naponi (HERTZ-ov napon) .................................114
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
5
5.1.1.3. Cevi i rezervoari ...................................................................120
- Debelozide cevi ........................................................................121
- Tankozide cevi .........................................................................126
- Rezervoari ................................................................................127
5.1.2. Smicanje ...........................................................................................130
5.1.3. Uvijanje ............................................................................................134
5.1.3.1. Uvijanje okruglih profila ....................................................134
- Uvijanje tankozidih cevi ...........................................................142
5.1.3.2. Uvijanje neokruglih profila .................................................143
- Uvijanje pravougaonih profila ..................................................144
- Uvijanje tankih pravougaonih profila .......................................145
- Uvijanje L profila ................................................................145
- Uvijanje U i I profila .....................................................146
5.1.4. Savijanje ...........................................................................................147
5.1.4.1. Odre|ivanje normalnog napona (~isto savijanje) ................150
5.1.4.2. Odre|ivanje tangentnog napona ..........................................153
5.1.4.3. Odre|ivanje glavnih napona ................................................156
5.1.5. Asimetri~no (koso) savijanje ............................................................163
5.1.5.1. Raspodela normalnog napona ..............................................163
5.1.5.2. Raspodela tangentnog napona..............................................167
5.1.6. Savijanje tankozidih plo~a ...............................................................171
5.2. Savijanje krivih greda ...................................................................................174
5.2.1. Odre|ivanje normalnog napona .......................................................175
5.2.2. Pomeranje neutralne ravni (ose) .......................................................179
5.3. Slo`ena naprezanja .......................................................................................183
5.3.1. Ekscentri~ni pritisak (istezanje) .......................................................183
5.3.1.1. Odre|ivanje jezgra preseka .................................................190
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
6
6. DEFORMACIJE GREDA ..............................................................................194
6.1. Teorija deformacionog rada ..........................................................................194
6.1.1. Definicija rada .................................................................................195
6.1.1.1. Odre|ivanje energije elasti~nih deformacija
kod (istezanja-pritiska) ........................................................198
6.1.1.2. Odre|ivanje energije elasti~nih deformacija
kod (smicanja-uvijanja) .......................................................200
6.1.1.3. Odre|ivanje energije elasti~nih deformacija
kod savijanja ........................................................................203
6.1.1.4. Odre|ivanje energije elasti~nih deformacija
kod op{teg prostornog naponskog stanja ............................204
- Specifi~na energija elasti~nih deformacija ...........................205
- Specifi~na energija na promeni zapremine ...........................206
- Specifi~na energija na promeni oblika .................................208
6.1.2. BETTI i MAXWELL ovi stavovi o zamenljivosti optere}enja .......208
6.1.3. CASTIGLIANO-va teorema ............................................................211
6.1.3.1. Odre|ivanje deformacija pri elasti~nim osloncima .............214
6.1.3.2. Odre|ivanje deformacija pri fiktivnim optere}enjima ........214
6.2. Jedna~ina elasti~ne linije ..............................................................................218
6.2.1. Konvencije o oznakama ...................................................................218
6.2.2. Op{ta diferencijalna jedna~ina elasti~ne linije .................................219
6.2.2.1. Relativni uticaj transverzalne sile.........................................222
- Kratke grede .........................................................................222
- Duga~ke grede ......................................................................223
6.2.3. Pribli`na diferencijalna jedna~ina elasti~ne linije ...........................223
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
7
- Izra~unavanje uglovnog pomeranja (nagib) .........................223
- Izra~unavanje vertikalnog pomeranja (ugib) ........................223
6.2.4. Odre|ivanje jedna~ine elasti~ne linije
u slu~aju slo`enih optere}enja (CLEBSCH-ov metod) ...................230
6.2.4.1. Oblici momentnih jedna~ina
za razne slu~ajeve optere}enja .............................................234
6.2.5. Deformacije greda sa stalnim i promenljivim presekom .................240
6.2.5.1. Grede sa stalnim presekom ..................................................240
6.2.5.2. Grede sa promenljivim presekom ........................................240
6.2.6. Deformacije greda sa izlomljenom
geometrijskom osom (ramovi) ..........................................................243
6.2.7. Deformacije krivih greda .................................................................250
7. IZVIJANJE GREDA.. .........................................................................................256
7.1. Stabilnost pritisnutih greda ...........................................................................256
7.1.1. Vitkost greda ....................................................................................257
7.2. EULER-ov postupak ....................................................................................257
7.2.1. Odre|ivanje kriti~ne sile...................................................................257
7.2.2. Odre|ivanje kriti~nog normalnog napona ........................................260
7.3. TETMAJER-ov postupak .............................................................................261
7.4. (w)-postupak .................................................................................................262
7.5. Dimenzionisanje i provera ............................................................................263
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
8
8. STATI^KI NEODRE\ENI ZADACI ...................................................................270
8.1. Odre|ivanje dopunskih jedna~ina .................................................................271
8.1.1. CLAPEYRON-ova jedna~ina ..........................................................271
8.1.2. Tabli~ni metod ..................................................................................278
8.1.3. Re{avanje problema metodom deformacionog rada ........................281
9. DIMENZIONISANJE GREDA (HIPOTEZE O SLOMU)..................................288
9.1. Hipoteze o slomu materijala ........................................................................288
9.1.1. (I) - hipoteza o najve}em glavnom naponu ......................................291
9.1.2. (II) - hipoteza o najve}oj dilataciji ...................................................292
9.1.3. (III) - hipoteza o najve}em tangentnom naponu ..............................292
9.1.4. (IV) - hipoteza o najve}em specifi~nom radu na promeni oblika ....293
KORI[TENA LITERATURA. ...................................................................................298
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
9
KORI[TENE OZNAKE
)( - op{ti koordinatni sistem( )jk - koordinatni sistem paralelan sa )( op{tim koordinatnim sistemom( )xy - te`i{ni koordinatni sistem( )uv - te`i{ni koordinatni sistem zaokrenut u odnosu na ( )xy te`i{ni koordinatni sistem( )3,2,1 - glavni te`i{ni koordinatni sistem( ) ( )CCCC yx ,;, - koordinate te`i{ta (C) u )( i ( )xy koordinatnim sistemima( )zy - jedna~ina elasti~ne linije grede, vertikalno pomeranje
( )'zy - jedna~ina nagiba grede
yx
kj
SSSSSS
,,,,,
- stati~ki momenti povr{ine za ( xyjk ,, ) ose
rI - redukovani aksialni moment inercije
II , - aksialni momenti inercije za ( ) ose
kj II , - aksialni momenti inercije za ose ( jk ), koje su paralelne sa ( ) osama
vu II , - aksialni momenti inercije za (uv ) te`i{ne ose, koje su zaokrenute
u odnosu na ( )xy te`i{ni koordinatni sistemPII ,0 - polarni momenti inercije
2,1 II - glavni momenti inercije
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
10
2,1,,, IIII uvxy - centrifugalni momenti inercije za (xy, , uv , 1,2) ose.
0,, WWW yx - otporni momenti za (xy) ose, i za ta~ku (0)
a, b .,l, - ozna~avanje du`ina
e - pomeranje neutralne ose
f - pomeranje ta~ke
i - radius inercije
g - relativni dimenzioni odnos
k - broj jedna~ina ravnote`e
lr - redukovana du`ina
n - broj reakcija veza, broj okretaja
u - specifi~ni deformacioni rad
w - specifi~ni rad spoljnjih optere}enja, poseban faktor izvijanja
uv, uf - specifi~ni deformacioni rad na promeni zapremine i oblika
A - ravna povr{ina
A, B, C,. - ozna~avanje ta~aka
C - te`i{te povr{ine
C1, C2,..,D1, D2,. - integracione konstante
D - tenzor deformacija
E - modul elasti~nosti (JOUNG-ov modul)
F - sila
FN, FT - normalna i tangentna sila
G - modul klizanja
G, g - glavna zakrivljenja
H - tenzor elasti~nosti
J - op{ta geometrijska karakteristika povr{ine
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
11
K - koeficijent koncentracije napona
M - momenat
Mf, Mt - moment savijanja i moment uvijanja (torzioni moment)
P - snaga
R, - radiusi zakrivljenja
S - koeficient stati~ke neodre|enosti
U - energija na promeni oblika
W - rad spoljnjeg sistema optere}enja
T - tenzor napona, transverzalna sila
X, Y, Z - sile u pravcima (xyz) osa
- normalni napon
DM , - ja~ina materijala na kidanje, dozvoljeni normalni napon
rta ,, - aksialni, tangentni i radialni normalni naponi
2,1 - glavni naponi
zyx ,, - normalni naponi u pravcima (xyz) osa
- tangentni napon
DM , - ja~ina materijala na smicanje, dozvoljeni tangentni napon
zxyzxy ,, - tangentni naponi u ravnima upravnim na (xyz) ose i paralelni (yzx) osama
,..,,,, - ugaona pomeranja
zxyzxy ,, - ugaona pomeranja u ( zxyzxy ,, ) ravnima
- dilatacija (specifi~na promena du`ine)
3,2,1 - glavne dilatacije
zyx ,, - dilatacije u pravcima (xyz) osa
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
12
- vitkost {tapa
- POISSON-ov koeficijent
- koeficijent sigurnosti
- kontinualno optere}enje
n - jedini~ni vektor povr{ine(vektor normale)
p - vektor napona
t - elementarni vektor pomeranja
f - vektor promene oblika
{ }jK - sistem spoljnjih optere}enja{ }K - ekvivalentni sistem optere}enja{ }SR - (S) izabrane reakcije veza{ }R - ekvivalentni sistem reakcije veza
( ) - ozna~avanje vektora: ( ,...,, p )( ) zyx ,, - ozna~avanje komponenata vektora u pravcima (xyz) osa: ( ,...,, zyx p )
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
13
UVOD
Ako se u mislima vratimo hiljadama godina unazad, osta}emo zadivljeni pred grandiozno{}udela, koja su slu`ila odr`anju svakodnevnog `ivota (sistemi za navodnjavanje, borbenasredstva, alati za obradu materijala, itd), opstanku i {irenju pojedinih religija (piramide uEgiptu, svetili{ta Chichenitze, gotske katedrale, itd), ili dru{tvenom funkcionisanju naselja iodr`anju kvaliteta `ivljenja u njima (dvorci, odbranbeni sistemi, oru`ja, muzi~ki instrumenti,itd)
Sa stanovi{ta otpornosti materijala, a u posedu dana{njih znanja, znaju}i da do rimskog dobanisu postojala zna~ajnija pisana teoretska ili primenljiva stru~na dela (izuzetak ~inesporadi~ne pojave opisa), neka pitanja se sama po sebi name}u:
- Sa kakvim su teoretskim znanjem raspolagali projektanti i graditelji?
- Da li su postojali sistematizovani podaci (na kom su nivou bili) o karakteristikamakori{tenih materijala?
- Kako su se postoje}a i novoste~ena znanja skupljala i prenosila na budu}a pokolenja?
Ako se sa pouzdano{}u jo{ ne mo`e odgovoriti na sva postavljena pitanja, ipak se mo`e re}ida su projektanti i graditelji vladali potrebnim i dovoljnim znanjima (istina ne u dana{njemsmislu re~i) pri ostvarenju, ~esto divljenja vrednih dela. I pre vi{e hiljada godina tehni~kiproblemi pri izradi i izgradnji morali su biti re{avani kao {to se to ~ini i danas, samo drugimsredstvima.
Na osnovu stru~nih re{enja koja su sa~uvana (zgrade, putevi, transportna sredstva, oru`ja,instrumenti, itd), da se zaklju~iti da se raspolagalo odre|enim znanjima o karakteristikamamaterijala (nosivost, trajnost, elasti~na svojstva, obradivost), da su postojali postupcidimenzionisanja, stajala su na raspolaganju osnovna znanja iz matematike i geometrije.
Postojala su upotrebljiva znanja o kori{tenju energetskih izvora (vetar, re~ni tokovi). Upostupku projektovanja zna~ajno mesto je zauzimala tradicija, kao i politi~ki odnosi vremenau kome su dela nastajala.
Mo`e se sa pouzdanos}u zaklju~iti da su se postoje}a znanja, u nedostatku pisanih formi,prenosila usmeno, sa generacije na generaciju, a svaka generacija je znanja oboga}ivalanovim iskustvima. Po{to teorijske osnove nisu postojale, upotrebljiva znanja su stvarana naosnovu vekovima sticanih uspeha i neuspeha. Na ovaj na~in ste~ena znanja su neretkodobijala formu tradicije, {tavi{e postajala su obele`ja pojedinih epoha (pojedine epohe gr~kearhitekture, gotika, geocentri~ni pogled na svet, brodogradnja, itd..)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
14
Razvijena dru{tva su stimulisana realnom potrebom-da nagomilana znanja sistematizuju, i daih u pisanoj formi o~uvaju za kori{tenje dolaze}im generacijama. Istovremeno sve ve}itehni~ki zahtevi (ve}e dimenzije, ve}a optere}enja i koli~ine, bolji faktori iskori{tenja, ve}iu~inci) doveli su do razvoja novih postupak, a sa time i novih op{tih znanja.
Mada je ve} u rimskom gra|evinarstvu postojala literatura koja se u dana{njem smislu re~imo`e okarakterisati kao stru~no-nau~na, ipak se kao vreme ra|anja odgovaraju}e literaturevezuje za period renesanse. Za taj istorijski period se vezuje ra|anje eksperimentalne fizike, istvaranje op{te pozitivne dru{tvene atmosfere za slobodniji razvoj ljudske misli. Velikimkoracima se razvijaju fundamentalni i primenjeni metodi (eksperimentalni metod, analiza-sinteza, indukcija-dedukcija). Srednjevekovna dru{tvena atmosfera, koja je kao ko~nicadelovala na razvoj civilizacije, u renesansi se (naro~ito u Engleskoj) korenito menja i mo`e seokarakterisati kao stimulativna za razvoj nauke. Ova konstatacija se naravno odnosi i nafiziku, a u okviru nje na teorijsku i na primenjenu mehaniku.
Krajem XIX veka, teoretska i prakti~na znanja koja danas ~ine predmet otpornosti materijala,izdvajaju se iz fizike, i prou~avaju kao posebna grana.
ISTORIJSKI PREGLED
Istoriju otpornosti materijala vremenski ograni~avaju svojim delima dva velikana nau~nemisli,, VITRUVIUS (I vek nove ere) i MAXWELL (1831-1869). U nazna~enom vremenskomperiodu stvorena je teoretska osnova, koja je polazna za primenjene discipline otpornostimaterijala. Ista slu`i kao polazi{te za dalji razvoj nau~ne misli u ovoj oblasti.
Za razvoj teorije, kao i za prakti~nu primenu, zaslu`an je veliki broj teoreti~ara i in`enjeraprakti~ara, me|u koje se ubrajaju:
VITRUVIUS Pollio Marcus (I vek nove ere.)
U istoriji je zabele`en kao izvanredan rimski graditelj, i kao pisac desetotomnog dela ("DEARCHITECTURA"). Pored stru~nog dela formulisaoje i op{ta znanja potrebna in`enjeru({irok spektar stru~nih znanja, op{ta kultura, objektivno poimanje politi~kog trenutka, ).Dela su mu vr{ila jak uticaj na razvoj nau~ne misli u doba renesanse.
PAPPOSZ Alexandriai (IV vek nove ere.)
Bio je istaknuti gr~ki matemati~ar. Teoretski je obradio problem poluge, kose ravni,zavojnice, zup~anik i zup~aste spojeve.
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
15
ALBERTI Leon Battista (1404-1472).
Firentinski matemati~ar, arhitekta, humanista i filozof. Najva`nija su mu dela ("DELLAPITTURA" i "LUDI MATHEMATICA"). Dao je obja{njenja zakonitosti perspektive,teoretski je objasnio osnove stereoskopije, i dao zna~ajan prilog razvoju nacrtne geometrije. Usvom delu ("DE REAEDIFICATORIA") daje iskustvene podatke za dimenzionisanjemostova.
LEONARDO da Vinci (1452-1519).
Spada u najistaknutije li~nosti renesanse. Istakao se kao slikar, vajar, gra|evinar, ma{inac. Usvojim radovima koristi preliminarnu analizu. Za sobom je ostavio veliki opus pisanog icrtanog materijala. Vredno je spomenuti da je koristio eksperimente kao metod rada, {to se unjegovo doba grani~ilo sa jeresi. U stru~nom delu svog rada bavio se kinematikom, elasti~nimsistemima, talasnom mehanikom (hidraulikom), dimenzionisanjem greda, vojnom tehnikom.Istina samo u naznakama, inicirao je ideju o virtualnim pomeranjima. Teoretski je obradiozavojnicu, kotura~u, itd.
GALILEI Galileo (1564-1642).
Vrlo poznat i po{tovan italijanski astronom. Bio je veliki po{tovalac Kopernika, zbog ~ega jebio izlo`en represijama. Rezultate svog rada je obuhvatio u svom delu ("DISCORSI EDIMONSTRATIONI MATEMATISCHE INTORNO A DUE NUOVE SCIENCE").Zanimao se za nosivost savijenih greda i analizu ravnih preseka. Kao prvi je ustanovio, danosivost grede optere}ene na savijanje zavisi od visine i od {irine preseka ( 2/2bh ). Kasnije jePARENT (1666-1716) ustanovio ta~an odnos ( 6/2bh ).
HOOKE Robert (1635-1703).
Kao istaknuti engleski fizi~ar istakao se svojim radovima u oblasti teorije elasti~nosti. Danasga pamtimo po tz. HOOKE - ovom zakonu, koji uspostavlja linearnu vezu izme|u napona idilatacije. Rezultate vezane za spomenuta istra`ivanja je objavio u svom delu ("LECTURESde POTENTIA RESTITUTIVA OROF SPRING"). Vezano za njegova istra`ivanja YOUNG(1773-1827) je na osnovu eksperimenata odredio (E) - modul elasti~nosti (YOUNG -ovmodul)
BERNOULLI Jacob (1654-1705).
Uveo je pojam elasti~ne linije, i time otvorio novu oblast u otpornosti materijala. U svimradovima koristio je najnovije tekovine matematike svog doba (diferencialni i integralnira~un)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
16
BERNOULLI Johann (1667-1748).
Bio je najpo{tovaniji matemati~ar svog vremena. Postavio je osnove teorije virtualnihpomeranja, i time dao ogroman zamah razvoju klasi~ne mehanike i otpornosti materijala.
EULER Leonhrd (1707-1783).
Najzna~ajnija dela su mu vezana za mehaniku (varijacioni princip, pojam otpornogmomenta). Istaknute rezultate je postigao na polju analize optere}enja greda. Za njegovo imeje vezan i danas kori{ten metod za analizu izvijanje greda.
NAVIER (1785-1836).
Bavio se teorijskom i primenjenom mehanikom. Postavio je sistem izu~avanja statike u oblikuu kome se i danas koristi. Za njegovo ime vezan je metod postavljanja veze napona ideformacije greda optere}enih na savijanje.
POISSON Simeon Denis (1781-1840).
U oblasti otpornosti materijala definisao je veze napona i deformacija u prostornomnaponskom stanju.
CAUCHY Augustin Louis (1789-1857).
Uveo je pojam napona i grafi~ku interpretaciju napona. Zasnovao je op{tu teoriju prostornognaponskog stanja, i izveo je stav o konjugaciji tangentnih napona.
SAINT - VENANT Athemr Jean Claude Barre (1797-1886).
Za njegovo ime je vezano re{enje problema analize naponskih stanja grede. Zna~ajni su murezultati na polju teorije elasti~nosti.
STEINER Jacub (1798-1863).
U oblasti otpornosti materijala pamtimo ga po metodu za odre|ivanje karakteristika ravnihpovr{ina za me|usobno paralelne koordinatne sisteme.
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
17
CLAPEYRON Benoit Paul Emil (1799-1864).
Bio je francuski fizi~ar i in`enjer. Zna~ajni su mu rezultati u oblasti prou~avanja greda sa vi{eoslonaca.
CULMAN Karl (1821-1881).
Kao profesor ciri{kog Univerziteta, postao je poznat u oblasti teorije i primene grafostatike.
CLEBSCH Alfrd (1833-1872).
Aktivno se bavio prou~avanjem elasti~nih sistema. Sa in`enjerskog stanovi{ta najzna~ajniji sumu radovi u oblasti re{avanja problema greda sa slo`enim sistemom optere}enja (univerzalnajedna~ina elasti~ne linije).
RITTER Wilhelm (1847-1906).
Zajedno sa Culmanom, smatra se tvorcem grafi~kih metoda u prou~avanju problema iz oblastiotpornosti materijala.
MOHR Otto (1835-1918).
Svoju aktivnost je obavljao na Univerzitetu u Drezdenu. Otpornost materijala je zadu`iografi~kim metodom za interpretaciju napona (Mohr-ovi krugovi), te radovima u oblastihipoteza o slomu materijala.
BETTI(1823-1892)., MAXWELL James Clerk(1831-1879).
U oblasti otpornosti materijala, za imena ovih nau~nika vezani su op{ti i posebni stavovi ozamenljivosti optere}enja.
CASTIGLIANO Alberto (1847-1884).
Postavio je metod odre|ivanja deformacija tela na osnovu deformacionog rada. Na taj na~in jeznatno pojednostavio izra~unavanje deformacija greda u odnosu na metod elasti~nih linija.
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
18
TETMAYER Johann Ludwig von (1850-1905).
Dao je veliki doprinos dimenzionisanju i proveri greda optere}enih na izvijanje.
Nabrojani nau~nici dali su neposredni doprimos teoriji i praksi otpornosti materija, ali pre njihili uporedo sa njima veliki broj teoreti~ara i prakti~ara dali su nemerljivi doprinos razvojuovog dela nauke (idejama, matemati~kim osnovama, pogledom na svet, novim tehni~kimre{enjima,..). Njihovi radovi su otvarali nova pitanja ili inicirali nova re{enja, kao osnove zadalji teorijski i prakti~an rad. Sa du`nim po{tovanjem prema svima, ovde }e se spomenutisamo neka od velikih imena:
ARKHIMEDES (p.n.e. 287-217).
EUKLEIDES (p.n.e. 330-..).
NEWTON Isaac (1642-1727).
LEIBNIZ Wilhelm (1646-1716).
COULOMB C.A. (1736-1806).
WATT James (1736-1819).
OSTROGRADSKI M.V. (1801 - 1861).
HERTZ Heinrich Rudolf (1857 -1894.)
.
U oblasti otpornosti materijala, kao uostalom i u drugim oblastima nauke, nova tehni~kasredstva (ra~unarska tehnika, informatika, novi postupci merenja, novi pristupi analizimaterijala, novi materijali,), kao i novi izazovi (svemirska istra`ivanja, tr`isni zahtevi, )stavljaju dana{nje i sutra{nje nau~nike i in`enjere prakti~are pred nove izazove nauke iprakse.
PREDMET OTPORNOSTI MATERIJALA
Predmet otpornosti materijala je prou~avanje i uspostavljanje veza izme|u sistema spoljnjih iunutra{njih optere}enja, napona i deformacija u materijalu, te dimenzija optere}enihelemenata i sistema.
Sa ~isto teorijskog stanovi{ta tela se mogu svrstati u:
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
19
KRUTA TELA
Krutim telima se nazivaju takva (apstraktna) tela koja se pri delovanju spoljnjih, unutra{njih ireaktivnih sila ne deformi{u (relativne mere i polo`aji i nakon prijema sistema optere}enjaostaju nepromenjeni). Ovakva tela i sistemi bili su predmet prou~avanja u predmetuSTATIKA.
DEFORMABILNA TELA
U stvarnosti, kao posledica sistema optere}enja telo se deformi{e. Pri deformaciji menjaju seme|umolekularna rastojanja, i javljaju se naponi u materijalu. U odnosu na nastale napone iodgovaraju}e deformacije, deformabilna tela se teorijski dele na:
ELASTI^NA TELA
Ovako nazivamo tela, koja po prestanku dejstva sistema optere}enja u potpunosti poprimajuoblik koji su imali pre prijema optere}enja.
PLASTI^NA TELA
Ovako nazivamo ona tela, koja se po prestanku dejstva sistema optere}enja ne vra}aju uprvobitni oblik koji su imali pre optere}enja, ve} trajno zadr`avaju oblik koji su dobili kaoposledicu sistema optere}enja.
ELASTI^NO-PLASTI^NA TELA
Stvarni, ugra|eni materijali (~elik, aluminijum,..) se pona{aju dvojako. Do odre|ene veli~inenapona pona{aju se kao elasti~na tela, a po pove}anju napona se pona{aju kao plasti~na tela.Zbog velikog zna~aja elasti~no-plasti~nih osobina materijala proizvo|a~i materijala su du`nida pri isporukama prilo`e i dijagram veze napona i dilatacija ( = E ), sa odgovaraju}imkvantifikacijama (tz. HOOKE-ov dijagram).
STVARNI SISTEMI
Po{to se svi ugra|eni materijali u neku konstrukciju pona{aju kao elasti~no-plasti~na tela, zao~ekivati je da }e nakon prestanka dejstva sistema optere}enja, telo, ili cela konstrukcijazadr`ati jedan deo deformacija (zaostale plasti~ne deformacije), koje su nastale prilikomdejstva optere}enja. Pojava zaostalih plasti~nih deformacija se ne mo`e izbe}i, ali se njeneveli~ine, metodama koji su predmet otpornosti materijala (na osnovu karakteristika materijalai odre|enih dimenzija elemenata ili konstrukcije u celini), mogu odrediti tako, da budu unutarunapred odre|enih, tj. dozvoljenih vrednosti.
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
20
HIPOTEZE OTPORNOSTI MATERIJALA
Kao {to je re~eno, u stvarnim konstrukcijama dolazi do promena medjumolekularnih polo`ajakao posledica delovanja sistema optere}enja. Sa druge strane tako nastale dilatacije izazivajunapone u materijalu.
Gore pomenuti odnosi su sa stanovi{ta teorijske razrade kompleksna materija. Za potrebeprakti~nog prou~avanja, koje treba da da dovoljno jednostavne, ali istovremeno i pouzdane iza praksu primenljive metode, uveden je pojam IDEALNO ELESTI^NO TELO, ~ijeosobine sa velikom ta~no{}u oslikavaju STVARNE OSOBINE MATERIJALA. Osobine idealnoelasti~nog tela formiraju se na bazi pretpostavki vezanih samo za odre|ene fizi~ke osobine.To zna~i da su osobine tako formulisanog tela hipoteti~ke, odnosno zasnivaju se naHIPOTEZAMA.
Predmet prou~avanja ovog kursa }e biti samo idealno elasti~no telo.
Osnovne hipoteze vezane za formulaciju idealno elasti~nog tela su:
NEPREKIDNOST
Posmatrano telo nema fizi~kih prekida ili skokovitih promena dimenzija.
IZOTROPIJA
Karakteristike materijala su u svim pravcima istovetna.
HOMOGENOST
Struktura materijala je u svakoj ta~ci identi~na.
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
21
MALE DEFORMACIJE
Deformacije, kao posledice sistema optere}enja su male u odnosu na dimenzije elemenata ilikonstrukcije u celini, te ne uti~u evidentno na osnovnu geometriju. Ova hipoteza omogu}avasabiranje (superpoziciju) deformacija, kao i pojednostavljenje kori{tenog matemati~kogaparata.
ELASTI^NE DEFORMACIJE
Pretpostavlja se da se telo pona{a kao elasti~no, pa se pri prora~unima primenjuje HOOKE-ovzakon.
RAVNI PRESECI
Pretpostavlja se da se pri optere}enju ravni preseci ne deformi{u.
POSTEPENOST POSTAVLJANJA OPTERE]ENJA
Optere}enje (sistem optere}enja) se emituje postepeno od NULE do NAZIVNE VREDNOSTI,tako da ono nema za posledicu dinami~ke pojave kao {to su oscilacije. Prakti~no to zna~i da}e se sva dalja prou~avanja odnositi na tela optere}ena u trajnom stati~kom stanju ravnote`e(na ovaj na~in mogu se koristiti svi postulati STATIKE).
ZAMENLJIVOST SISTEMA OPTERE^ENJA
Sistem optere}enja koji deluje na maloj povr{ini mo`e se zameniti koncentrisanom silom, akose pri tome ne menja karakter deformacija.
ZADACI OTPORNOSTI MATERIJALA
Sa in`enjerskog stanovi{ta, otpornost materijala re{ava dva osnovna problema i to:
DIMENZIONISANJE
Predstavlja niz radnji, pomo}u kojih se na osnovu unapred zadatih kriterijuma (optere}enje,vrsta materijala, veli~ina elesti}nih deformacija, faktori sigurnosti, itd.) ODRE\UJEDIMENZIJA ili dimenzije elemenata pojedine konstrukcije.
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
22
PROVERA
Predstavlja niz radnji pomo}u kojih se na osnovu utvrdjenih osobina neke konstrukcije(dimenzije, stepen o{te}enosti, vrsta materijala, stepen sigurnosti, itd.) mo`e utvrditiDOZVOLJENO OPTERE]ENJE ili DOZVOLJENA DEFORMACIJA.
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
23
1. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIHPOVR[INA
Na nosivost optere}enih elemenata, uti~u slede}i ~inioci:
- Mehani~ke osobine materija.
- Raspodela napona po preseku.
- Karakter redukovanog sistema optere}enja.
- Oblik preseka u odnosu na sistem optere}enja.
1.1. GENERALISANA GEOMETRIJSKA KARAKTERISTIKA
Proizvoljni ravni presek povr{ine (A) postavimo u proizvoljno odabrani pravougaonikoordinatni sistem ( ), (Sl. 1.01).
Sl. 1.01
C
1 2
i
d
I. kv.II. kv.
III. kv. IV. kv.
P
y
x
c
c
A A
A
AA
y max
x max
i i,( )
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
24
Na povr{ini (A) ozna~imo diferencijalno malu povr{inu (dA), sa koordinatama sopstvenogte`i{ta ( ), i udaljenjem te`i{ta od koordinatnog po~etka ( ).Uvedimo pojam GENERALISANA GEOMETRIJSKA KARAKTERISTIKA POVR[INE, u viduslede}e funkcije:
dAJ nA
m= (1.01)
Parametri (m, n) u jedna~ini (1.01) mogu imati slede}e vrednosti:
m = 0,1,2 ; n = 0,1,2 (1.02)
Izraz za diferencijalno malu povr{inu (dA) u koordinatnom sistemu ( ,,P ) je: dddA = (1.03)
Ako vrednost za (dA) iz jedna~ine (1.03) uvrstimo u jedna~inu (1.01), tada dobijamo op{tioblik GENERALISANE GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE POVR[INE, u vidu slede}egintegrala:
( ) ( )
ddddddJ
f
mn
f
nmnm
=
==
==
(1.04)
Ponekad je celishodno koordinate te`i{ta ( ), umesto u koordinatnom sistemu ( ,,P ),prikazati u polarnom koordinatnom sistemu ( ,,P ).
Po{to parametri (m, n) mogu imati vrednosti nazna~ene vezama (1.02), generalisanageometrijska karakteristika povr{ine (J), definisana integralom (1.04), dobija forme, koje udaljem radu koristimo kao definicije, i to:
1.1.1. POVR[INA
(m=0 ; n=0)
== A
AdAJ 00
[ ] 0;2 = AldAAA
(1.05)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
25
1.1.2. STATI^KI MOMENTI POVR[INE
(m=0 ; n=1), ili (m=1 ; n=0)
== SdAJA
10
[ ]3ldASA = (1.06)
0:...,
0:...,
SkvIVIII
SkvIII
SdAJA
== 01
[ ]3ldASA = (1.07)
0:...,
0:...,
SkvIIIIISkvIVI
1.1.3. TE@I[TE I TE@I[NI KOORDINATNI SISTEM
Svakoj povr{ini (A) odgovara (mo`e se odrediti) skup pravougaonih koordinatnih sistema(x, C, y), za koje su stati~ki momenti povr{ine ( yx SS , ) jednaki nuli. Ugaoni polo`ajkoordinatnog sistema (x, C, y) u odnosu na op{ti koordinatni sistem ( ,,P ) je invarijantan(nezavisan).
( )
( )
==
==
Ay
Ax
dAyS
dAyS
0
0
(1.08)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
26
Za proizvoljno odabrani koordinatni sistem ( ,,P ) va`e relacije koje su izvedene u statici.(Sl. 1.01):
==
=
==
=
ii
iii
A
Ac
ii
iii
A
Ac
A
A
AS
dA
dA
A
A
AS
dA
dA
(1.09)
Na ovaj na~in odre|ena ta~ka (C) se zove TE@I[TE POVR[INE, a koordinatni sistem(x, C, y) se zove TE@I[NI KOORDINATNI SISTEM.
1.1.4. AKSIJALNI MOMENTI INERCIJE
(m = 0 ; n = 2 ), ili (m =2 ; n = 0)
== IdAJA
20
[ ] 042 ldAIA
= (1.10)
== IdAJA
02
[ ] 042 ldAIA
= (1.11)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
27
1.1.5. CENTRIFUGALNI MOMENTI INERCIJE
(m = 1 ; n = 1 )
== IdAJA
11
[ ]4ldAIA
= (1.12)
0:...,
0:...,
IkvIVIIIkvIIII
(Ako je jedna, ili ako su obe ose te`i{nog koordinatnog sistema ujedno i ose simetrijepovr{ine, tada je vrednost centrifugalnog momenta inercije jednak nuli)
1.1.6. POLARNI MOMENT INERCIJE
)( 222 =+
=+== PA A
IdAdAJ )( 222
0+= IIIP (1.13)
1.1.7. OTPORNI MOMENTI
Otporne momente po definici dobijamo tako, da odgovaraju}e vrednosti aksijalnih momenatainercije podelimo sa najve}om udaljeno{}u od te`i{ne ose, odnosno pola, za koju je aksijalnimoment inercije, odnosno polarni moment inercije odre|en (Sl. 1.01).
o
oo
yy
xx
IW
xI
WyI
W
=== ;;maxmax
(1.14)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
28
1.1.8. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE SLO@ENIH POVR[INA
Na osnovu znanja iz integralnog ra~una, poznato je, da se integral neke povr{ine mo`e izrazitikao zbir integrala svih sastavnih delova (komponente) iste povr{ine:
+++=A A A Ai
dAdAdAdA1 2
(1.15)
U skladu sa jedna~inom (1.15), GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE SLO@ENIH RAVNIHPOVR[INA imaju oblik:
dAdAdA
dAJ
n
A A
mnmn
A
m
n
A
m
i
+++=
==
21
(1.16)
a jedna~ine (1.05, 1.06, 1.07, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13). se mogu napisati u slede}em obliku:
=
=
==
==
=
ipp
i
ii
ii
ii
i
i
ii
ii
II
II
IIII
SSSS
AA
)(
;
;
(1.17)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
29
1.2. PROMENA VREDNOSTI GEOMETRIJSKIHKARAKTERISTIKA RAVNIH POVR[INA USLEDTRANSLATORNOG POMERANJA KOORDINATNOGSISTEMA. (STEINEROVA TEOREMA)
Uvedimo koordinatni sistem (j, O, k), koji je paralelan sa op{tim koordinatnim sistemom( ,,P ). Predpostavimo da je te`i{ni koordinatni sistem (x, C, y) tako|e paralelan sa op{timkoordinatnim sistemom ( ,,P ), (Sl. 1.02).
Sl. 1.02
Napi{imo koordinate polo`aja diferencijalno male povr{ine (dA) u odnosu na koordinatnisistem ( ), pomo}u paralelnih udaljenja osa (a, b) i koordinata polo`aja u odnosu nakoordinatni sistem ( jk ):
akbj
+=
+=
(1.18)
Koriste}i jedna~ine (1.05, 1.06, 1.07, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13), kao i koordinate polo`aja (1.18),mo`emo odrediti karakteristike ravnih povr{ina u odnosu na koordinatni sistem ( ), kaofunkcije koordinata polo`aja ( jk ) i paralelnih udaljenosti osa (a, b):
j
a
b
k
j
P
O
k
dA A
cx
y
c
c
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
30
POLAZNE VREDNOSTI SU: jkkjkj IIISS ,,,,
PARALELNA POMERANJA OSA SU: ),( ba (1.19)
NOVE VREDNOSTI SU: IIISS ,,,,
Na osnovu definicija, karakteristike povr{ina }e biti:
AbaSaSbIdAakbjdAI
AbSbIdAbbjjdAI
AaSaIdAaakkdAI
AbSdAbdAjdAbjdAS
AaSdAadAkdAakdAS
jkjkAA
kkAA
jjAA
kAAAA
jAAAA
+++=++==
++=++==
++=++==
+=+=+==
+=+=+==
))((
2)2(
2)2(
)(
)(
2222
2222
(1.20)
U slu~aju da se koordinatni sistem (j, 0, k) poklopi sa te`i{nim koordinatnim sistemom(x, C, y), tada su po definicij vrednosti stati~kih momenata povr{ine jednake nuli, a paralelnaudaljenja osa odgovaraju koordinatama te`i{ta (Sl. 1.02),
( ) ( )cc
ykxj
baSS ==
====
,
;0;0
a jedna~ine (1.20) dobijaju slede}e forme:
AIIAII
AII
AS
AS
ccxy
cy
cx
c
c
+=
+=
+=
=
=
2
2(1.21)
Na osnovu veza (1.21) se zaklju}uje, da je geometrijska karakteristika povr{ine zakoordinatne ose paralelne te`i{nim koordinatnim osama, zbir te`i{nih i (takozvanih)polo`ajnih karakteristika iste povr{ine. Ovaj stav je poznat pod nazivom STEINEROVATEOREMA.
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
31
Po{to se u tablica iz otpornost materijala obi~no nalaze vrednosti te`i{nih momenata inercije( xyyx III ,, ) za te`i{ne ose (xy), relacije (1.21) su vrlo zna~ajne, jer se pomo}u njih moguodrediti momenti inercije ( III ,, ) za bilo koje paralelne ose ( ).
1.3. PROMENA VREDNOSTI AKSIJALNIH MOMENATAINERCIJE RAVNIH POVR[INA USLED ROTACIJETE@I[NOG KOORDINATNOG SISTEMA
Ako se shodno slici (Sl. 1.03) te`i{ni koordinatni sistem (xy) zarotira za ugao ( ) u novikoordinatni sistem (uv), tada }e do}i do promene postoje}ih vrednosti aksijalnih momenatainercije.
Sl. 1.03.a
POLAZNE VREDNOSTI SU: xyyx III ,,
UGAONO POMERANJE OSA JE: (1.22)
NOVE VREDNOSTI SU: uvvu III ,,
v
u
y
x
C
dA Ax
y
u
v
(1)(2)
(1)(2)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
32
Koordinate polo`aja diferencijalno male povr{ine (dA) u odnosu na zarotirani koordinatnisistem (uv) (Sl. 1.03.b) su:
Sl. 1.03.b
sincoscossin=
+=
xyvxyu
(1.23)
Na osnovu jedna~ina (1.10, 1.11, 1.12), i veza (1.23), vrednosti aksijalnih i centrifugalnihmomenata inercije za ose (uv) su:
( )( )
+=
===
dAxyxy
dAxydAvI
A
AAu
2222
22
sincossin2cos
sincos
2sinsincos 22 += xyyxu IIII (1.24)
( )
+== dAxydAuIAA
v
22 cossin
2sincossin 22 ++= xyyxv IIII (1.25)
C
dA
y
x
v
u
x sin
y cos
x cos y sin
x
y
u
v
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
33
( ) ( )
+== sincoscossin xyxydAvuIAA
uv
2cos2sin)(21
+= xyyxuv IIII (1.26)
Znak centrifugalnog momenta inercije ( uvI ) je promenljiv (+, -) u zavisnosti od polo`aja ( ),odnosno jedna~ina (1.26) ima nulte vrednosti.
02cos2sin)(21
=+= xyyxuv IIII (1.27)
Ako jedna~inu (1.27) re{imo po ( o = ), tada se mo`e odrediti ugaoni polo`aj, kojiodgovara vrednosti ( 0=uvI ):
( ),..1,0;2
221
0 =+
== kkII
Iarctg
yx
xy (1.28)
1.3.1. GLAVNI MOMENTI INERCIJE, GLAVNE OSE
Jedna~ine (1.24, 1.25) su trigonometrijske funkcije. Ekstremi ovih funkcija se moguizra~unati. Po{to se funkcije (1.24, 1.25) razlikuju samo po fazi ( 2/ ), u daljem radu jedovoljno analizirati samo jednu od dve. Kao osnova za analizu uzima se jedna~ina (1.24).
Ako odredimo ono ugaono pomeranje ( = ), za koje aksijalni moment inercije ( ( )fIu = )ima ekstremne vrednosti, tada takve vrednosti zovemo GLAVNI MOMENTI INERCIJE, i udaljem radu ih obele`avamo sa (I1, I2). Odgovaraju}i koordinatni sistem se zove GLAVNITE@I[NI KOORDINATNI SISTEM. Ose glavnog te`i{nog koordinatnog sistema seobele`avaju sa ( ) ( )[ ]2,1 , i zovu se GLAVNE TE@I[NE OSE.
min2max1 ; IIII == (1.29)
Unapred se ne mo`e odrediti kojoj od glavnih osa pripada najve}a, odnosno najmanjavrednost glavnih momenata inercije. Za odre|ivanje se koristi poznati pristup iz matemati~keanalize. Po tom pristupu se treba izra~unati drugi izvod funkcije aksijalnog momenta inercije
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
34
(1.24), pa se na osnovu znaka drugog izvoda odre|uju pripadaju}e vrednosti ekstrema.
Postupak odre|ivanja vrednosti glavnih momenata inercije, polo`aji glavnih osa i njihovkarakter odre|uju se slede}im redosledom:
Polo`aje glavnih osa ( = ), odre|ujemo tako, da nalazimo prvi izvod jedna~ine (1.24), i istiizvod izjedna~avamo sa nulom:
[ ]
=+
==
=+=
1,0;2
22
02cos2cossin2cossin2
kkII
Iarctg
IIIddI
yx
xy
xyyxu
[ ]1,0;2
221
=+
== kkII
Iarctg
yx
xy (1.30)
Ako koristimo trigonometrijske transformacije
2112cos;
2122sin
22 tgtgtg
+=
+=
a vrednosti uglova ( = ) iz jedna~ine (1.30) uvrstimo u polaznu jedna~inu (1.24), dobijamovrednosti glavnih momenata inercije u funkciji te`i{nih momenata inercije.
( ) ( )( ) ( ) 222
221
421
21
421
21
xyyxyx
xyyxyx
IIIIII
IIIIII
++=
+++=
(1.31)
U jedna~ini (1.28), odredili smo polo`aj koji odgovara nultoj vrednosti centrifugalnogmomenta inercije ( uvI ). Izra~unat ugao se poklapa sa vredno{}u ugla koji karakteri{e polo`ajeglavnih te`i{nih osa (1.30). Na osnovu toga se zaklju~uje da je vrednost glavnogcentrifugalnog momenata inercije jednak nuli.
02,1 =I (1.32)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
35
Karaklter glavnih te`i{nih osa ( ) ( )[ ]2,1 odre|uje se na osnovu znaka drugog izvoda funkcije(1.24).
Drugi izvod funkcije (1.24) je:
( )
2sin22cos22
+=
=
xyyxu III
dId
(1.33)
U odnosu na znak funkcije (1.33), mogu}a su dva slu~aja:
)1()2
()2()(2
2
2)2
()1()(2
2
;0
;0
IIIIdId
IIIIdId
uuu
uuu
==
==
+==
+==
(1.34)
Ako te`i{ni koordinatni sistem (x, C, .y) odaberemo tako da se poklopi sa glavnim te`i{nimkoordinatnim sistemom ( ) ( )[ ]2,1 == yx , tada su:
02,12
1
==
=
=
IIIIII
xy
y
x
(1.35)
Ako u jedna~ine (1.24, 1.25, 1.26) uvrstimo vrednosti veza (1.35), a ugao izme|u glavnete`i{ne (1), i neke proizvolje te`i{ne ose (u) obele`imo sa ( ), pa zatim primenimotrigonometrijske transformacije,
( ) ( ) 2cos121cos;2cos1
21sin 22 +==
dobijamo slede}e oblike aksijalnih momenata inercije za te`i{ni koordinatni sistem (uv):
( ) ( )( ) ( )( )
2sin21
cossin2cos21
21
sincos2cos21
21
21
22
212121
22
212121
=
+=++=
+=++=
III
IIIIIII
IIIIIII
uv
v
u
(1.36)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
36
U tablicama iz otpornosti momenata, ~esto nalazimo samo glavne momente inercije. Zaodre|ivanje aksijalnih i centrifugalnih momenata inercije za proizvoljno izabrane te`i{ne ose(uv) slu`e veze (1.36), {to iste ~ini izvanredno va`nim.
1.3.2. INVARIJANTE MOMENATA INERCIJE
Zbog jednostavnosti matemati~kih dokaza, samo se navode slede}i odnosi, koji se nazivajuinvarijante (nepromenljivosti) odnosa aksijalnih i centrifugalnih momenata inercije:
Prva invarijanta:
constIIIIII yxvu =+=+=+ 21 (1.37)
Druga invarijanta:
constIIIIIIII xyyxuvvu ===2
212 0 (1.38)
1.4. GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA MOMENATA INERCIJE(ELIPSA INERCIJE)
Defini{imo koordinatni sistem (Sl. 1.04), }ije se ose poklapaju sa glavnim pravcima( )[ ]))2(;1 ba == . Poznavaju}im pojam radiusa inercije,
AIi
AIi
AIi nn === ;; 2211 (1.39)
defini{imo jedan skup ta~aka (N), }iji radius vektori imaju slede}u strukturu:
nn i
iir 21 =! (1.40)
Komponente vektora (1.40) u pravcima osa (a, b) su:
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
37
21
21
sinsin
coscos
iibi
rb
iiai
ra
nn
nn
==
==
(1.41)
Sl. 1.04
Prvu od jedna~ina (1.36) podelima sa (A), i upotrebimo ozna~avanje (n=u):
( )
222
221
2
22
21
sincos
:sincos
+=
+=
iii
AIII
n
n
(1.42)
Ako u jedna~inu (1.42) uvrstimo funkcije ugla (1.41), te tako dobiveniu jedna~inu sredimo,dobijamo jednu centralnu jedna~inu elipse:
121
2
22
2
=+ib
ia
(1.43)
Ako na osnovu dobivene jedna~ine (1.43) nacrtamo odgovaraju~u elipsu, tada se pomo}u nje,za jednu proizvoljno izabranu osu (u=n), koja sa glavnom osom (1) zaklapa ugao ( ), mo`eodrediti vrednost aksijalnog momenta inercije, kori{tenjem veze (1.39).
(2)=b
(1)=aC
n
n
i1
i2
rn
in
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
38
AiI
AIi
nn
nn
2=
=
(1.44)
PRIMER 1.1.
Odrediti geometrijske karakteristike povr{ine pravouglog trougla, prikazanog na slici (Sl. 1.1).
SL. 1.1
Ose proizvoljnog koordinatnog sistema ( ,,P ) poklapaju se sa katetama (g, h), a paralelna rastojanja (a, b) te`i{nih osai osa proizvoljnog koordinatnog sistema, podudaraju se sa koordinatama te`i{ta ( CC , ).
ab CC == ; (P.1.01)
Jedna~ina hipotenuze u koordinatnom sistemu ( ,,P ) je:
ghh = (P.1.02)
Geometrijske karakteristike povr{ine odre|ujemo na osnovu jedna~ine (1.04). Shodno tome, vrednost diferencijano malepovr{ine (dA) odre|ujemo pomo}u veze (1.03).
hgh
gP
C
d
d
x
y
dA
c=a
c=b
=h-
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
39
ODRE\IVANJE VREDNOSTI U ODNOSU NA OSE ( , )
POVR[INA
Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.04, 1.05, P.1.02).
=
=
=
dghhddA
gghh
g
00
0
0
0
ghA21
= (P.1.03)
STATI^KI MOMENTI POVR[INE
Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.06, 1.07, P.1.02).
=
=
=
dghhddS
gghh
g 2
00
1
0
0
21
2
61 ghS = (P.1.04)
iIdenti~nim postupkom se odre|uje vrednost u odnosu na osu ( ).
hgS 261
= (P.1.05)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
40
KOORDINATE TE@I[TA
Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.09, P.1.03, P.1.04, P.1.05).
==
gh
gh
AS
C
2161 2
hC 31
= (P.1.06)
==
gh
hg
AS
C
21
61 2
gC 31
= (P.1.07)
AKSIJALNI MOMENTI INERCIJE
Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.04, 1.10, 1.11, P.1.02)
=
=
=
dghhddI
gghh
g 3
00
2
0
0
31
3
121 ghI = (P.1.08)
iIdenti~nim postupkom se odre|uje vrednost u odnosu na osu ( ).
hgI 3121
= (P.1.09)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
41
CENTRIFUGALNI MOMENT INERCIJE
Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.04, 1.12, P.1.02)
=
=
=
dghhddI
gghh
g 2
00
1
0
1
21
22
241 hgI = (P.1.10)
POLARNI MOMENT INERCIJE
Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.13, P.1.08, P.1.09)
+=+= 33
121
121 hgghIII P
( )22121 hgghI P += (P.1.11)
VREDNOSTI RA^UNATE NA TE@I[NE OSE ( yx, )
Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.08, 1.21, P.1.01).
STATI^KI MOMENTI INERCIJE
0;0 == yx SS (P.1.12)
AKSIJALNI MOMENTI INERCIJE
==
232
31
21
121 hghghAII Cx
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
42
3
361 ghI x = (P.1.13)
==
232
31
21
121 gghhgAII Cy
3
361 hgI y = (P.1.14)
== ghhghgAII CCxy 2
131
31
241 22
22
721 hgI xy = (P.1.15)
OTPORNI MOMENTI
Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.14, P.1.13, P.1.14.).
==
3236
3
max h
gh
yI
W xx
2
241 ghWx = (P.1.16)
3236
3
max g
hg
xI
W yy ==
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
43
2
241 hgWy = (P.1.17)
PRIMER 1.2.
Odrediti momente inercije za kru`ni presek prikazan na slici (Sl. 1.2).
Celishodno je, prvo na osnovu jedna~ine (1.13) odrediti vrednost polarnog momenta inercije (IP).
Izrazimo vrednost diferencijalno male povr{ine (dA) pomo}u polarnih koordinata:
dddA = (P.1.18)
Sl. 1.2
Koriste}i jedna~inu (1.13), i vezu (P.1.18), izra~unava se vrednost polarnog momenta inercije (IP):
==
=
===
...20
32
00
3
22
ddd
dddAI
rr
AP
4
2rIP
= (P.1.19)
x
y
C
d
d
dA
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
44
Tako|e je, na osnovu jedna~ine (1.13):
yxP III +=
Po{to su te`i{ne ose (xy) ujedno i ose simetrije kruga, vrednosti aksijalnih momenata inercije su:
=== yxPyx IIIII 22
4
4rII yx
== (P.1.20)
PRIMER 1.3.
Odrediti momente inercije za te`i{ne ose (xy), za standarni valjani profil (65 x 100 x 9), po standardu (JUS C.B.111). Polo`ajiugradnje, kao i usmerenosti te`i{nih osa prikazane su na slikama (Sl.1.3.a i SL.1.3.b).
1.3.a. bra 1.3.b. bra
Tabli~ne vrednosti za kori{ten profil su slede}e:
( )4
2
41
0
2.27160
5.22415.0
cmIcmI
arctg
=
=
== (P.1.21)
x
y
(1)
(2)
=()x
y
(1)
(2)
=(90)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
45
Vrednost aksijalnih momenata inercije za te`i{ne ose (xy) pri ugradbenom obliku (Sl. 1.07.a), odre|ujemo na osnovujedna~ina (1.36). Vodimo ra~una da je vrednost ugla ( ) u odnosu na usmerenost osa negativna.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
==
+=+=
+=+=
5.222sin2.27160212sin
21
5.22cos2.275.22sin160cossin
5.22sin2.275.22cos160sincos
21
020222
21
020222
21
III
IIIIII
xy
y
x
4
4
4
95.46
20.46
12.151
cmI
cmIcmI
xy
y
x
=
=
=
(P.1.22)
Ugradbeni oblik (Sl. 1.07.b) se u odnosu na ugradbeni oblik (Sl.1.07.a), razlikuje po usmerenosti te`i{nih osa i po vrednostiugla ( ) koja je sada pozitivna. Za ovakav ugradbeni oblik, vrednosti aksijalnih momenata inercije su:
4
4
4
95.46
12.151
20.46
cmI
cmIcmI
xy
y
x
=
=
=
(P.1.23)
PRIMER 1.4.
Ugradnja dva standardna profila prikazana je na slici (Sl. 1.4). Na slici su ozna~ene te~i{ne ose ( 2211 ,;, yxyx ), kao itabli~ne vrednosti pojedinih mera profila.
Potrebno je odrediti te`i{ne aksijalne momente inercije, centrifugalni te`i{ni moment inercije, glavne momente inercije,glavne pravce, i nacrtati elipsu inercije.
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
46
(Ako se vrednosti centrifugalnih momenata inercije za komponentne profile ne mogu tabli~no odrediti, tada se njihovoizra~unavanje obavlja na osnovu jedna~ine 1.36 ).
Redosled re{avanja zadatka je slede}i:
TABLI^NE VREDNOSTI
[ ] ( ) ( )[ ]
0.1712.32.........................1.120.191.46107...........................................
1.290.33..
1.295.92........................................
77.103.943.197.24.11..............................)86060(101.3.)119060(11.3......................................
.2.1
2,21,1
2221
1211
21
1
4
212
2
==
==
==
==
==
======
yxyx
yy
xx
yxyx
IILNICENTRIFUGAIIIIGLAVNIII
IIAKSIALNIcmINERCIJEMOMENTI
eeAeeAcmPOVRINEBCJUSBCJUSSTANDARDI
PROFILPROFIL
(P.1.24)
ODRE\IVANJE TE@I[TA (C) SLO@ENE POVR[INE
Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ine (1.09).
+
+==
+
+==
03.94.1103.923.44.1197.8
03.94.1103.923.44.1149.1
ii
ii
i
C
ii
ii
i
C
A
A
A
A
cmcm
C
C
87.670.2
=
=
(P.1.25)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
47
ODRE\IVANJE TE@I[NIH MOMENATA INERCIJE SLO@ENE POVR[INE
Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.16 i 1.21)
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
++=+++=
+++=+++=
+++=+++=
==
==
53.164.203.91721.11.24.1112.3253.103.91.291.24.1133
64.203.91.291.24.115.92
53.121.164.21.2
2222,21111,1
222222
2111
222222
2111
21
21
baAIbaAIIbAIbAII
aAIaAII
cmbcmbcmacma
yxyxxy
yyy
xxx
4
4
4
55.114
93.99
48.234
cmI
cmIcmI
xy
y
x
=
=
=
(P.1.26)
ODRE\IVANJE GLAVNIH TE@I[NIH MOMENATA INERCIJE SLO@ENE POVR[INE
Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.31, i P.1.26).
( ) ( )( ) ( )
++=
=++=
22
222,1
55.114493.998.2342193.998.234
21
421
21
xyyxyx IIIIII
42
41
44.34
28.300
cmIcmI
=
=
(P.1.27)
ODRE\IVANJE GLAVNIH PRAVACA (GLAVNIH OSA) SLO@ENE POVR[INE
Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ine (1.30).
( )
=
=
93.998.23455.1142
212
21 arctg
III
arctgyx
xy
)01(:2175.29 0 =+= kk (P.1.28)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
48
ODRE\IVANJE KARAKTERA GLAVNIH PRAVACA (GLAVNIH OSA) SLO@ENE POVR[INE
Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.33 i 1.34).
( )( ) ( ) 05.59sin55.11425.59cos93.998.234
2sin22cos00 +=
=+ xyyx III
Na osnovu kriterijuma (1.34), karakteri glavnih osa su slede}i:
02
01
75.11975.29
=
=
(P.1.29)
Sl. 1.4
C2
x2
y2
C1
y1
x1
P
4.23
4.23
C x
y
(1)
(2)
c=6.
87
c=2.7
i 1
i 2
8.97
1.53
-2.6
42.
16
-1.21
=29.75
0
1
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
49
ODRE\IVANJE RADIUSA INERCIJE SLO@ENE POVR[INE
Odre|ivanje vr{imo na osnovu jedna~ina (1.39).
==
==
43.2044.3443.2028.300
22
11
AIi
AIi
cmicmi
29.183.3
2
1
=
=
(P.1.30)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
50
2. NAPONSKA STANJA
2.1. POJAM NAPONA
Kao posledeica sistema optere}enja (aktivna i reaktivna optere}enja) u materijalu se javljajuunutra{nje sile.
Sl. 2.01
Analizirajmo jedno proizvoljno izabrano telo (Sl. 2.01), koje je vezano za pravouglikoordinatni sistem (xyz). Pretpostavimo, da na telo deluje sistem optere}enja:[ ]knn FFFF !!!! ,,.........,,........, 11 + (2.01)
A
dA
p
F
F
F
F
Fn F
A
2
n+1
k
A
n
n
x
y
z
O
1
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
51
koji obezbe|uje ravnote`no stanje. Presecimo telo (u mislima) sa jednom ravni ( ), i desnideo sa pripadaju}im podsistemom optere}enja
[ ]kn FF !! ,,.........1+ (2.02)odstranimo. Leva strana tela }e i dalje biti u stanju ravnote`e ako na povr{ini (A) prese~neravni ( ) bude delovao unutra{nji sistem optere}enja, koji }e zameniti odstranjeni sistemoptere}enja (2.02).
Na povr{ini (A) odaberimo ta~ku (N), i u njenoj okolini ozna~imo elementarnu povr{inu( A ), koju karakteri{e vektor normale ( n! ) (jedini~ni vektor). Unutra{nje sile (optere}enja)koje deluju na povr{ini ( A ), mogu se redukovati na te`i{te elementarne povr{ine ( A ) uvidu unutra{nje glavne sile ( F
! ) i unutra{njeg glavnog momenta ( M
! ).
Na osnovu odnosa glavnih unutra{njih optere}enja ( F!
, M!
) i povr{ine ( A ), uvode seslede}e konvencije:
0lim =AM!
(2.03)
pdAFd
AF
A
!!!
==
0
lim (2.04)
Grani~nu vrednost odnosa (2.04) nazivamo VEKTOR NAPONA.
Dimenzija vektora napona je (Paskal):
[ ] [ ]PaskalPadAFd
mN
dAFdp
!!!
== 2 (2.05
Zbir svih redukovanih unutra{njih glavnih sila ( F!
), na celokupnom preseku (A), mora bitijednaka aktivnom sistemu optere}enja
[ ]nFF !! ,........,1 (2.06)koji deluje na levoj strani tela, odnosno:
==== AA
ni
ii dApFF
!!!
1
(2.07)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
52
Rastavimo vektor napona ( p! ) tako, da jedna komponenta bude paralelna sa pravcem normale(n! ) na ravan ( A ), a druga da bude paralelna sa elementarnom povr{inom ( A ).
Komponenta vektora napona ( p! ) u pravcu normale ( n! ) zove se NORMALNI NAPON, iozna~ava se sa (
!).
Skalarna vrednost normalnog napona (!
) dobija se kao skalarni proizvod vektora napona( p! ) i vektora normale ( n! ).
np !! = (2.08)
Komponenta vektora napona ( p! ), koja je paralelna sa elementarnom povr{inom ( A ), {toistovremeno zna~i da tangira povr{inu, zove se TANGENTNI NAPON (tangencionalni,smi~u}i), i ozna~ava se sa (
!).
Veza izme|u vektora napona ( p! ), vektora normale ( n! ), i tangentnog napona (! ) je u oblikuvektorskog proizvoda:
. ( )npn !!!! = (2.09)
Po{to se kroz odabranu ta~ku (N) mo`e postaviti beskona~ano veliki broj prese~nih ravni ( ),to istovremeno zna~i da je i broj razli~itih vektora napona ( p! ) beskona~no veliki. Skupvektora napona nazivamo: NAPONSKO STANJE ta~ke (N).
U zavisnosti od odabranog koordinatnog sistema, vektor napona ( p! ) se mo`e predstavitipomo}u svojih komponenata u pravcima osa, naprimer u pravcima (normale i tangente) naelementarnu povr{inu (ravan) ( A ), i u pravcima koordinatnog sistema (xyz):
zyx pppp!!!!!!
++=+= (2.10)
Skalarna vrednost vektora napona ( p! ) se tako mo`e izraziti kao:
22222zyx pppp ++=+= (2.11)
2.1.1. POJAM GLAVNIH NAPONA
Ako prese~nu ravan ( ) odaberemo tako da se pravac normale ( n! ) poklopi sa pravcem
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
53
vektora napona ( p! ), tada }e vrednost vektora normalnog napona (! ) biti maksimalna, avrednost tangentnog napona (
!) }e biti jednaka nuli.
Opisano naponsko stanje se zove GLAVNO NAPONSKO STANJE, a odgovaraju}i normalninapon se naziva GLAVNI NAPON.
( ) ( ) 0;3,2,1max ==== !!!!
gp (2.12)
Sa oznakom (g=1, 2, 3) ukazujemo na to, da postoji vi{e glavnih naponskih stanja, {to }e se unastavku izlaganja i pokazati.
Geometrijske kategorije vezane za glavno naponsko stanje su slede}e:
GLAVNE RAVNI
Ravni u kojima deluju glavni naponi.
GLAVNI PRAVCI
Pravci u kojima deluju glavni naponi.
GLAVNI KOORDINATNI SISTEM
Koordinatni sistem ~ije se ose poklapaju sa glavnim pravcima.
GLAVNE OSE
Ose glavnog koordinatnog sistema.
2.1.2. TEOREMA O KONJUGOVANOSTI TANGENTNIH NAPONA
Izdvojmo iz tela koje je optere}eno ravnote`nim sistemom optere}enja jedan elementarniparalelopiped dimenzija (dx, dy, dz). Ivice paralelopipeda su ujedno i ose koordinatnogsistema (xyz).
Pretpostavimo da su na stranicama koje odgovaraju osama (yz), vektori napona jednaki nuli(Sl. 2.02).
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
54
Na stranicama tetraedra u kojima postoji vektor napona ( p! ) nazna~ene su odgovaraju}enormalne i tangentne komponente napona. Na suprotnim stranicama zbog diferencijalnomalih udaljenosti (dy, dz), vladaju}i naponi se razlikuju za diferencijalno male vrednosti(
!! dd , ).
U daljem radu }e se koristiti slede}i na~in obele`avanja tangentnih napona:
Po{to je elementarni paralelopiped u ravnote`nom stanju, mogu}e je postaviti stati~kejedna~ine ravnote`e. U ovom slu~aju koristit }e se momentna jedna~ina ravnote`e u odnosuna prese~nu ta~ku velikih dijagonala (A) paralelopipeda.
Sl. 2.02
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
+++
++=dzdxdyddzdxdy
dydzdxddydzdxM
zyzyzy
yzyzyzA
21
21
21
21
yzzy = (2.13)
A
x
y
Z
o
dz
dydx
y
z
zy
yz
zyzy+d
yz yz+d
z z+d
y y+ d
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
55
Obrazac (2.13) predstavlja teoremu o KONJUGOVANOSTI TANGENTNIH NAPONA:
(NA UZAJAMNO UPRAVNIM RAVNIMA, TANGENTNI NAPONI SU PO INTENZITETUJEDNAKI, A USMERENI SU, ILI PREMA, ILI OD PRESE^NE LINIJE TIH RAVNI).
2.2. OP[TE PROSTORNO NAPONSKO STANJE
Iz proizvoljno odabranog tela, iz okoline ta~ke (N) izdvoji se elementarni tetraedar sadiferencialno kratkim stranicama (dx, dy, dz), i isti se prese~e sa proizvoiljno postavljenomravni (dA), kako je to prikazano na slici (Sl. 2.03). Telo, pa i elementarni tetraedar nalaze se ustanju stati~ke ravnote`e. Ivice tetraedra se poklapaju sa osama koordinatnog sistema (xyz).
Sl. 2.03
y
z
x
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
56
Svakoj od ~etiri ravni pripadaju odgovaraju}e komponente totalnih napona (normalne itangentne komponente). Na me|usobno upravnim ravnima, ozna~ene su normalne i tangentnekomponente, dok je na proizvoljno postavljenoj prese~noj ravni (dA), ozna~en totalni vektornapona ( p! ) sa svojim komponentama ( ; )
Prese~noj ravni (dA) korespondira jedan normalni vektor ( n! ), koji sa koordinatnim sistemom(xyz) zaklapa uglove ( x y z; ; ):
nml zyx === cos;cos;cos (2.14)
Uvedimo vektor kolonu:
nml
n
z
y
x
==
coscoscos
!(2.15)
Razlo`imo vektor napona ( p! ) koji deluje na prese~noj ravni (dA), na pravce osakoordinatnog sistema (xyz), a zatim na pravac normalan tj. tangentan na prese~nu ravan.
!!!!!!
+=++= zyx pppp (2.16)
Skalarna vrednost vektora napona ( p! ) je tada:
22222zyx pppp ++=+= (2.17)
Ozna~ene komponente napona na stranicama, pomno`ene sa povr{inom stranica na kojimadeluju, daju sistem sila, koji tetraedar dr`i u stati~kom stanju ravnote`e, pa za takav sistemva`e odgovaraju}e jedna~ine ravnote`e u skalarnom obliku.
0coscoscos0coscoscos0coscoscos
======
xxzyyzzzzi
zzyxxyyyyi
zzxyyxxxxi
dAdAdAdApZdAdAdAdApYdAdAdAdApX
(2.18)
Podelimo jedna~ine (2.18) sa (dA) i izvr{imo sre|ivanje na slede}i na~in:
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
57
zzyyzxxzz
zzyyyxxyy
zzxyyxxxx
ppp
coscoscoscoscoscoscoscoscos
++=
++=
++=
(2.19)
Jedna~ine (2.19) predstavljaju CAUCHY-jeve jedna~ine. Iste jedna~ine mo`emo predstaviti i umatri~noj formi:
=
z
y
x
zyzxz
zyyxy
zxyxx
p
coscoscos
!(2.20)
odnosno:
nTp !! = (2.21)
Tenzor (T) naziva se TENZOR NAPONA.
Shodno stavu o konjugovanosti tangentnih napona, slede jednakosti slede}ih tangentnihnapona:
zyyzzxxzyxxy === ;; (2.22)
Na osnovu jednakosti (2.22) sledi, da je tenzor napona (T) simetri~an i sadr`i u op{temslu~aju {est napona.
Iz matri~nog oblika jedna~ine (2.20) mo`e se zaklju~iti: u svakoj ta~ci (N), i pripadaju}empreseku (dA) koji je karakterisan vektorom normale ( )n! , mogu se odrediti vektori napona( )p! , kao funkcije normalnih i tangentnih napona koji deluju u ravnima (xy, yz, zx), a koji suobuhva}eni tenzorom napona (T).
U daljem radu }e se pretpostaviti, da se poznaje tenzor napona (T), tj. vladaju}i normalni itangentni naponi u pravcima (xyz). Zadatak }e se svoditi na odre|ivanje tj. izra~unavanjevrednosti vektora totalnog napona ( )p! i njegovih komponenti ( !!, ) u proizvoljno odabranojreferentnoj ravni (dA) definisanoj sa vektorom normale ( )n! .
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
58
2.2.1. IZRA^UNAVANJE VREDNOSTI NORMALNOG NAPONA
Vektor normalnog napona predstavlja projekciju vektora napona ( )p! na pravac vektoranormale ( )n! , pa se isti odre|uje na osnovu skalarnog proizvoda vektora napona ( )p! i vektoranormale ( )n! , kako je to pokazano u jedna~ini (2.08):
z
y
x
z
y
x
ppp
np
coscoscos==
!!(2.23)
Napi{imo jedna~inu (2.23) u skalarnom obliku, koriste}i veze (2.19):
( )( )( ) ++++
++++
+++=
zzzyyzxxz
yzzyyyxxy
xzzxyyxxx
coscoscoscos
coscoscoscos
coscoscoscos
(2.24)
Na osvovu veza (2.22) koje su dobivene na osnovu konjugovanosti tangentnih napona, udaljem radu }emo koristiti kao oznake tangentnih napona ( zxyzxy ;; ). Na taj na~in op{tioblik jedna~ine za normalni napon ima formu:
( )xzzxzyyzyxxyzzyyxx
coscoscoscoscoscos2coscoscos 222
+++
+++=(2.25)
2.2.2. IZRA^UNAVANJE VREDNOSTI TANGENTNOG NAPONA
Vrednost vektora tangentnog napona ( ) se mo`e odrediti na osnovu jedna~ine (2.09), askalarna vrednost na osnovu jedna~ine (2.11).
22222zyx pppp ++=+=
Iz predhodne jednakosti izra`avamo skalarnu vrednost tangentnog napona:
2222 ++= zyx ppp (2.26)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
59
U svakom konkretnom slu~aju se preporu~uje u prvom koraku izra~unavanje vrednosti( zyx ppp ,, ) na osnovu jedna~ina (2.19), a zatim na osnovu jedna~ine (2.25) odre|ivanjevrednosti normalnog napona ( ). U poslednjem koraku se na osnovu jedna~ine (2.26)
odre|uje vrednost tangentnog napona )( .
2.2.3. GLAVNI NAPONI I POLO@AJ GLAVNIH RAVNI
U glavnom naponskom stanju, kako je to vezom (2.12) prikazano, vektor napona ( )p! i vektornormalnog napona ( ( )g
!!= ) (GLAVNI NAPON) se po intenzitetu i pravcu podudaraju, dok
je vrednost tangentnog napona (!
) jednaka nuli.
( ) 0;max === !!!!
gp (2.27)
Ovom naponskom stanju odgovara jedan normalni vektor, ~ije komponente treba odrediti, saciljem da se defini{u glavni pravci:
( )( )( )( ) g
g
g
zg
yg
xg
g
nml
nn ===
coscoscos
!!(2.28)
Projekcije glavnih napona ( ( )g ) u pravcima koordinatnih osa (xyz) mo`emo napisati umatri~nom obliku:
( )( )
( )( )
( )g
g
g
g
g
g
g
g nnml
==
000000
(2.29)
Izraz za vektor napona ( )p! , koji odgovara glavnom naponskom stanju, mo`e se napisati naosnovu jedna~ine (2.21):
( )gnTp = (2.30)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
60
Jednakost (2.27) mo`emo napisati koriste}i veze (2.29 i 2.30):
( )= gp
( ) ( )gg nnT = (2.31)
Iz relacije (2.31) da se zaklju~iti, da su projekcije vektora napona ( )p! i vektora glavnihnapona ( ( )g ) na pravce koordinatnih osa (xyz) po pravcu i intenzitetu podudarne. Napi{imosada matri~nu jedna~inu (2.31) u skalarnom obliku:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zggzgzygyzxgxz
yggzgzyygyxgxy
xggzgzxygyxxgx
coscoscoscos
coscoscoscos
coscoscoscos
=++
=++
=++
(2.32)
Skalarni sistem jedna~ina (2.32) sredimo na slede}i na~in:
( )( )( )
( ) 0)(0)(
0
=++
=++
=++
ggzgyzgxz
gzyggygxy
gzxgyxggx
nmlnml
nml
(2.33)
Sistem (2.33) predstavlja tri linearne algebarske jedna~ine sa ~etiri nepoznate ( ( ) gggg nml ,,, ).Ako nepoznatu ( ( )g ) tretiramo kao parametar, tada re{enje sistema (2.23) postoji samo akoje karakteristi~na determinanta sistema jednaka nuli:
( )( )( )
( )
0)(
)( =
gzyzxz
zygyxy
xzyxgx
(2.34)
Determinanta (2.34) se jo{ naziva i DETERMINANTA NAPONA.
Razvijanjem naponske determinante dobija se kubna jedna~ina, koja se zoveKARAKTERISTI^NA JEDNA^INA sistema.
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
61
[]
0)
2()(
)()(
222
222
23
=
+++
+++++
xyzzxyyzx
zxyzxyzyxgzxyzxy
xzzyyxgzyxg
(2.35)
Jednostavniji oblik karakteristi~ne jedna~ine sistema je:
0322
13
=+ TTT ggg (2.36)
Koeficijenti ( 321 ,, TTT ) se nazivaju INVARIJANTE NAPONA (ne zavise od polo`aja prese~neravni).
222
3
2222
1
2)(
xyzzxyyzx
zxyzxyzyx
zxyzxyxzzyyx
zyx
TT
T
+=
++++=
++=
(2.37)
Karakteristi~na jedna~ina sistema (2.35) ima tri re{enja ( 3,2,1=g ), odnosno op{temprostornom naponskom stanju odgovara tri glavna napona. Mo`e se dokazati da su pravcinormalnih napona me|usobno upravni.
321 (2.38)
Nakon izra~unavanja vrednosti glavnih napona ( )321 ,, , iste treba jedan po jedan uvrstiti ujedna~ine (2.33). Na taj na~in se dobija tri sistema linearnih algebarskih jedna~ina sa po trinepoznate ( ( ) ( ) ( )ggg nml ,, ). Re{avanjem tako dobivenih sistema odre|uju se, za svaki odglavnih napona, komponente normalnih vektora glavnih ravni ( ( ) ( ) ( )ggg nml ,, ).
( ) ( ) ( )3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1 ;;nml
nnll
nnml
n === !!! (2.39)
DR. FIRSTNER OTPORNOST MATERIJALA
62
2.2.4. IZRA^UNAVANJE VREDNOSTI NAPONA U REFERENTNOJ RAVNIPOMO]U GLAVNIH NAPONA
Odaberimo referentni koordinatni sistem tako da se podudari sa glavnim koordinatnimsistemom:
( ) ( ) ( )[ ]3;2;1 zyx . (2.40)Po{to u glavnim ravnima (odgovaraju glavnim pravcima) ne deluju tangentni naponi, tenzornapona (T) }e imati slede}i oblik:
3
2
1
000000
=T (2.41)
U ovom slu~aju, vrednost normalnog napona dobijamo na osnovu jedna~ine (2.25), koriste}ipodatke obuhva}ene tenzorom napona (2.41). U cilju razlikovanja, uglove vektora normalnog
napona ( n ) u odnosu na glavne ose bele`imo sa ( 3,2,1 ).
( ) ( ) ( )32
322
212
1 coscoscos ++= (2.42)
Odgovaraju}u skalarnu vrednost tangentnog napona ( ) odre|ujemo na osnovu jedna~ine(2.26), tako {to u istu uvr{tavamo vrednosti komponenti vektora napona (2.19) i vrednostnormalnog napona (2.42). Pri uvr{tavanju vrednosti vodimo ra~una o oznakama (2.40) i ovrednostima obuhva}enim tenzorom napona (2.41).
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1232213
32
222
32
22
122
21
coscos
coscos
coscos)(
+
++
+
= (2.43)
U specijalnom slu~aju, ako normalni vektor ( )n! sa glavnim osama zaklapa identi~ne uglove( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1coscoscos 3
22
21
2321 =++== (2.44)
tada su izrazi za normalni i za tangentni napon na osnovu jedna~ina (2.42, 2.43, 2.44) slede}i:
)(31
321 ++= (2.45)
( ) ( ) ( )213232221 ++= (2.46)
D