Otpornost materijala Predavanje Br. 4

OTPORNOST MATERIJALA

Doc. Dr Strain Posavljak3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA1OTPORNOST MATERIJALADeformacije i Hukov zakon pri ravanskom stanju napona3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA2Deformacije pri ravanskom stanju napona odrediemo na osnovu saznanja o deformacijama pri dvoosnom naprezanju i istom smicanju.To isto vai i za Hukov zakon.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA3

Ravansko stanje napona Poduna deformacija x 3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA4

Ravansko stanje napona Poduna deformacija y 3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA5

Ravansko stanje napona Ugaona deformacija 3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA6

Iz prethodnog proizilazi da Hukov zakon koji povezuje deformacije i napone kod ravanskog stanja napona, ima oblik

Hukov zakon koji povezuje napone i deformacije kod ravanskog stanja napona.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA7Ravansko stanje napona, Transformacija deformacija pri rotaciji koordinatnog sistema

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA8



3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA11Slian je transformacionom izrazu za napon.Transformacioni izraz za deformaciju


Sabiranjem prva dva izraza dobijamo prvu invarijantu deformacija

Na osnovu slinosti sa transformacionim izrazima za napone dobijamo komplet transformacionih izraza za deformacije.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA13

Ako prva dva izraza pomnoimo, a trei kvadriramo i rezultate tih operacija oduzmemo, dobiemo drugu invarijantu deformacija

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA14Glavne deformacije

Pravci glavnih deformacija

Prostorno stanje napona i deformacija3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA15U najveem broju sluajeva imamo posla sa prostornim stanjem napona i deformacija.Prostorno stanje napona i deformacija za Dekartov koordinatni sistem definiu odgovarajui tenzori.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA16Tenzor naponaTenzor deformacija

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA17Hukov zakon sluaju prostornog stanja napona i deformacija, na osnovu onoga to smo spoznali kod ravanskog stanja napona, glasi:

Ovaj oblik Hukovog zakona povezuje deformacije i napone.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA18

Hukov zakon koji povezuje napone i deformacije (temperatura nije uzeta u obzir)3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA19Prostorno stanje napona i deformacija,Uticaj temperature

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA20Prostorno stanje napona, naponi za kosu ravan, glavni naponiNeka je naponsko stanje u taki T nekog optereenog tela definisano tenzorom

Komponente tenzora napona na stranicama elementarnog paralelepipeda zapremine dxdydz

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA21Iz elementarnog paralelepipeda zapremine dxdydz izdvojimo elementarni tetraedar sa bazom koja sadri taku T i lei u ravni definisanoj normalom nU taki T, na bazi elementarnog tetraedra povrine dAn, deluju komponente ukupnog napona pn: pnx, pny i pnz.Normala n sa pravcima osa x, y i z zaklapa uglove a, b i g. Elementarni tetraedar izdvojen iz elementarnog paralelepipeda zapremine dxdydz

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA22Za

Povrine strana elementarnog tetraedra koje su paralelne ravnima xyz koordinatnog sistema, iznose:

Koristan izraz:


Svaki zamiljeno izolovani deli optereenog tela, pa i na elementarni tetraedar, mora biti u ravnotei !Ravnoteu elementarnog tetraedra obezbeuju nulte sume sila u pravcima osa x, y i z.


Koijeve jednaine

Pomou Koijevih jednaina dolazimo do ukupnog napona pn i njegove komponente n za proizvoljnu kosu ravan

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA25Sa poznatim pn i n u mogunosti smo da odredimo i tangencijalnu komponentu ukupnog napona, za proizvoljnu kosu ravan Meu svim moguim ravnima, kojima bi pripadala taka T, postoje ravni kod kojih je ukupni napon u pomenutoj taki kolinearan sa odgovara-juim normalama. U ovom sluaju je u taki T

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA26Za sluaj kolinearnosti ukupnog napona i normale n, u taki T imamo samo normalnu komponentu napona i tada je

Koijeve jednaine

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA27Sistem homogenih linearnih jednaina sa nepoznatim kosinusima pravca normale (l, m i n).

Sve jednaine jednaine ovog sistema jednake nuli (0) ako je determinanta sistema jednaka nuli (0)


Kubna jednaina ija tri korena predstavljaju glavne napone 1, 2 i 3

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA29Invarijante napona u kubnoj jednaini

glase:3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA30

Glavni tangencijalni naponi

Glavne ravni tangencijalnih napona:


3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA32Prostorno stanje napona, pravci glavnih napona

Ove dve jednaine i jednaina kompatibilnosti uglova daju sistem:

Sukcesivnim unoenjem napona i (i=1,2,3) u ovaj sistem dolazimo do kosinusa smerova li , mi , ni , (i=1,2,3).3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA33





Troosnog stanja naponaTroosno stanje napona i deformacijaHukov zakon za sluaj troosnog naprezanja (uticaj temperature nije uzet u obzir).


Drugi oblik Hukovog zakona za sluaj troosnog naprezanja (uticaj temperature nije uzet u obzir).

Ravansko stanje deformacija3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA39Ravansko stanje deformacija se javlja kod tela sa velikom dimenzijom u pravcu jedne ose.Primer su kontinualno optereeni gredni nosai (ravansko stanje deformacija imamo na mestima dovoljno uidaljenim od oslonaca).Ravansko stanje deformacija imamo u cjevovodima pod pritiskom i sl.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA40Hukov zakon za ravansko stanje deformacija:U sluaju ravanskog stanja deformacija, osim napona x i y postoji i napon z koji se odreuje iz uslova:


Elipsoidi, elipse i Morovi krugovi napona i deformacija3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA42Grafiko predstavljanje stanja napona i stanja deformacija u proizvoljnoj taki optereenog deformabilnog tela, vri se elipsoidima, elipsama i Morovim krugovima.Elipsoidima predstavljamo trodimenzionalne sluajeve.Elipsama predstavljamo dvodimenzionalne sluajeve.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA43Morovim krugovima mogue je predstaviti jednodimenzionalne, dvodimenzionalne i trodimenzionalne sluajeve.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA44Elipsoid i elipsa naponaPrelaze u oblikAko pravce glavnih napona proglasimo za ose Dekartovog sistema onda Koijeve jednaine

Elipsoid napona (Lameov elipsoid)3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA45Kod ravanskog stanja napona imamo elipsu napona

Elipsa napona Elipsoid napona Morov krug napona u sluaju ravanskog stanja napona

Poi emo od izraza za transformaciju napona pri rotaciji koordinatnog sistema:3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA46



Ovo je Morov krug napona radijusa R i koordinata centra (a,b)

O predznacima napona

O predznacima napona postoji dogovor (konvencija).Razlikovaemo dve konvencije o predznacima.Jednu koja se odnosi na analitiki i drugu koja se odnosi na grafiki metod prikazivanja napona.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA493/20/2014OTPORNOST MATERIJALA50

Analitiki metodGrafiki metod3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA51Sada za primer, grafiki, pomou Morovog kruga, predstavimo naponsko stanje stanje u nekoj taki sredinje povrine ploe.Neka su za kvadratni elementarni deo poznati normalni i tangencijalni naponi x , y i .

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA521)



Za odreivanje pravaca glavnih normalnih napona 1 i 2 koristimo pol P.543/20/2014OTPORNOST MATERIJALA554)

Pravci glavnih normalnih napona 1 i 2 ?3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA565)

Ugao 21 i 1 ?3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA576)

Izaberimo sada proi-zvoljnu taku H.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA58

7)Naponi H i H ?Pravac napona H ?Slian Morovom krugu napona je Morov krug deformacija.Kod Morovog kruga napona u koordinatnom sistemu, ispod ose se crtaju tangencijalni naponi koji obru suprotno kazaljci na asovniku, a iznad tangencijalni naponi koji obru u smeru kazaljke na asovniku.Kod Morovog kruga deformacija u ,/2 sistemu, pozitivna ugaona deformacija se nanosi ispod ose, a negativna iznad.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA593/20/2014OTPORNOST MATERIJALA60Troosno stanje napona, Morovi krugovi napona

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA61ZADATAK 1

Zadat je tenzor napona

(Naponi su u MPa)

Grafiki pomou Morovog kruga napona odrediti:

Glavne normalne napone i maksimalni tangencijalni napon. Pravce glavnih normalnih napona, a zatim nacrtati odgovarajue naponske elemente.TEHNIKO SMICANJEisto smicanje je u praksi vrlo teo ostvariti.Isto je, skoro uvek, povezano sa savijanjem.U veini sluajeva savijanje je dominantno. Ponekad je situacija obrnuta.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA62Pri seenju tapa, osim smicanja, javlja se i savijanje momentom M, stim to je smicanje jae izraeno.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA63Seenje tapa

Slinu situaciju imamo i u sluaju probijanja otvora na limovima.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA64Teniko smicanje u slubi probijanja otvora na limovima

Probleme tehnikog smicanja imamo kod:Zakovanih veza (sa jednosenim ili viesenm zakivcima),Zavarenih veza,Osovinica preko kojih se prenosi vuna sila,Zavrtnjeva preko kojih se prenosi obrtni moment.3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA653/20/2014OTPORNOST MATERIJALA66Zakovane vezePrimer zakovane veze sa jednim jednosenim zakivkom

Moment savijanja ?Napon smicanja ?Bitno za dimenzionisanje zakivka:

d Dozvoljeni napon smicanja

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA67Primer zakovanih veza sa viesenim zakivcimaOpti izraz za napon smicanja je:

m broj povrina smicanja

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA68Zavarene vezePrimer zavarene vezeNapon smicanja je:

l Duina varaa Debljina vara

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA69Osovinice preko kojih se prenosi vuna silaPrimer osovinice preko koje se prenosi vuna sila

Napon smicanja je:

3/20/2014OTPORNOST MATERIJALA70Zavrtnjevi preko kojih se prenosi obrtni moment

Primer zavrtnjeva preko kojih se prnosi obrtni moment (kod krute spojnice)Uz pretpostavku da svi zavrtnjevi podjednako uestvuju u prenosu obrtnog momenta, napon smicanja je:

Otpornost materijala Predavanje Br. 4

Documents